អនុញ្ញាតឱ្យមានអថេរចៃដន្យ Xជាមួយនឹងការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា មនិងការបែកខ្ញែក ឃខណៈពេលដែលប៉ារ៉ាម៉ែត្រទាំងពីរនេះមិនស្គាល់។ លើសរ៉ិចទ័រ Xផលិត នការពិសោធន៍ឯករាជ្យ ដែលបណ្តាលឱ្យមានសំណុំ នលទ្ធផលជាលេខ x 1 , x 2 , … , x N. ជាការប៉ាន់ប្រមាណនៃការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា វាជាការធម្មតាក្នុងការស្នើរសុំមធ្យមនព្វន្ធនៃតម្លៃដែលបានសង្កេត។
| (1) |
នៅទីនេះដូច x ខ្ញុំតម្លៃជាក់លាក់ (លេខ) ដែលទទួលបានជាលទ្ធផលនៃ នការពិសោធន៍។ ប្រសិនបើយើងយកអ្នកដទៃ (ឯករាជ្យពីអ្នកមុន) នការពិសោធន៍ បន្ទាប់មក ជាក់ស្តែង យើងនឹងទទួលបានតម្លៃខុសគ្នា។ ប្រសិនបើអ្នកយកច្រើនទៀត នការពិសោធន៍ យើងនឹងទទួលបានតម្លៃថ្មីមួយទៀត។ បញ្ជាក់ដោយ X ខ្ញុំអថេរចៃដន្យដែលបណ្តាលមកពី ខ្ញុំការពិសោធន៍ បន្ទាប់មកការសម្រេច X ខ្ញុំនឹងជាលេខដែលទទួលបានជាលទ្ធផលនៃការពិសោធន៍ទាំងនេះ។ វាច្បាស់ណាស់ថាអថេរចៃដន្យ X ខ្ញុំនឹងមានដង់ស៊ីតេចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេដូចគ្នានឹងអថេរចៃដន្យដើម X. យើងក៏សន្មតថាអថេរចៃដន្យ X ខ្ញុំនិង Xjមានឯករាជ្យនៅ ខ្ញុំ, មិនស្មើគ្នា j(ឯករាជ្យផ្សេងៗគ្នាទាក់ទងនឹងការពិសោធន៍គ្នាទៅវិញទៅមក) ។ ដូច្នេះ យើងសរសេររូបមន្ត (1) ឡើងវិញក្នុងទម្រង់ផ្សេងគ្នា (ស្ថិតិ)៖
| (2) |
ចូរយើងបង្ហាញថាការប៉ាន់ស្មានគឺមិនលំអៀងទេ៖
ដូច្នេះ ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃមធ្យមភាគគឺស្មើនឹងការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាពិតនៃអថេរចៃដន្យ ម. នេះគឺជាការពិតដែលអាចព្យាករណ៍បាន និងអាចយល់បាន។ ដូច្នេះ មធ្យមគំរូ (2) អាចត្រូវបានយកជាការប៉ាន់ស្មាននៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យមួយ។ ឥឡូវនេះសំណួរកើតឡើង: តើមានអ្វីកើតឡើងចំពោះការប្រែប្រួលនៃការប៉ាន់ស្មានការរំពឹងទុកនៅពេលដែលចំនួននៃការពិសោធន៍កើនឡើង? ការគណនាវិភាគបង្ហាញថា
តើភាពខុសគ្នានៃការប៉ាន់ប្រមាណនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា (2) និង ឃ- បំរែបំរួលពិតនៃអថេរចៃដន្យ X.
ពីខាងលើវាធ្វើតាមថាជាមួយនឹងការកើនឡើង ន(ចំនួននៃការពិសោធន៍) ភាពខុសគ្នានៃការប៉ាន់ប្រមាណមានការថយចុះ i.e. កាលណាយើងសង្ខេបការអនុវត្តឯករាជ្យកាន់តែច្រើន នោះកាន់តែខិតទៅជិតតម្លៃដែលរំពឹងទុក យើងនឹងទទួលបានការប៉ាន់ប្រមាណ។
ការប៉ាន់ស្មានបំរែបំរួលគណិតវិទ្យា
នៅ glance ដំបូង, ការប៉ាន់ស្មានធម្មជាតិបំផុតហាក់ដូចជា
| (3) |
កន្លែងដែលត្រូវគណនាដោយរូបមន្ត (2) ។ ចូរយើងពិនិត្យមើលថាតើការប៉ាន់ប្រមាណគឺមិនលំអៀង។ រូបមន្ត (៣) អាចសរសេរដូចខាងក្រោម៖
យើងជំនួសកន្សោម (2) ទៅក្នុងរូបមន្តនេះ៖
ចូរយើងស្វែងរកការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃការប៉ាន់ប្រមាណបំរែបំរួល៖
| (4) |
ដោយសារវ៉ារ្យង់នៃអថេរចៃដន្យមិនអាស្រ័យលើអ្វីដែលការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យនោះ យើងនឹងយកការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាស្មើនឹង 0, i.e. ម = 0.
| (5) | |
| នៅ។ | (6) |
តម្រូវការក្នុងការប៉ាន់ស្មានការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាដោយផ្អែកលើលទ្ធផលតេស្តលេចឡើងក្នុងបញ្ហាដែលលទ្ធផលនៃការពិសោធន៍ត្រូវបានពិពណ៌នាដោយអថេរចៃដន្យ ហើយសូចនាករគុណភាពនៃវត្ថុដែលកំពុងសិក្សាត្រូវបានសន្មត់ថាជាការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យនេះ។ ឧទាហរណ៍ ការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យានៃពេលវេលាដំណើរការនៃប្រព័ន្ធមួយអាចត្រូវបានគេយកជាសូចនាករនៃភាពអាចជឿជាក់បាន ហើយនៅពេលវាយតម្លៃប្រសិទ្ធភាពនៃការផលិត ការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យានៃចំនួនផលិតផលល្អជាដើម។
បញ្ហានៃការប៉ាន់ប្រមាណការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាត្រូវបានរៀបចំដូចខាងក្រោម។ ឧបមាថាដើម្បីកំណត់តម្លៃដែលមិនស្គាល់នៃអថេរ X វាត្រូវបានសន្មត់ថាធ្វើឱ្យ n ឯករាជ្យនិងមិនមានការវាស់វែងកំហុសជាប្រព័ន្ធ។ X v X 2 ,..., X ទំ។វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីជ្រើសរើសការប៉ាន់ស្មានដ៏ល្អបំផុតនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា។
ការប៉ាន់ប្រមាណល្អបំផុត និងទូទៅបំផុតនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាក្នុងការអនុវត្តគឺមធ្យមនព្វន្ធនៃលទ្ធផលតេស្ត
បានហៅផងដែរ។ ស្ថិតិឬ មធ្យមគំរូ។
ចូរយើងបង្ហាញថាការប៉ាន់ស្មាន t xបំពេញតម្រូវការទាំងអស់សម្រាប់ការវាយតម្លៃនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រណាមួយ។
1. វាធ្វើតាមពីកន្សោម (5.10) នោះ។
i.e. ពិន្ទុ t "x- ការប៉ាន់ស្មានមិនលំអៀង។
2. យោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទ Chebyshev មធ្យមនព្វន្ធនៃលទ្ធផលតេស្តនេះ បង្រួបបង្រួមប្រូបាប៊ីលីតេទៅនឹងការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា ពោលគឺឧ។
អាស្រ័យហេតុនេះ ការប៉ាន់ប្រមាណ (5.10) គឺជាការប៉ាន់ស្មានស្របគ្នានៃការរំពឹងទុក។
3. ភាពខុសគ្នានៃការប៉ាន់ស្មាន t x,ស្មើ
នៅពេលដែលទំហំគំរូកើនឡើង n ថយចុះដោយគ្មានកំណត់។ វាត្រូវបានបង្ហាញថាប្រសិនបើអថេរចៃដន្យ X ស្ថិតនៅក្រោមច្បាប់ចែកចាយធម្មតា នោះសម្រាប់ណាមួយ។ ទំបំរែបំរួល (5.11) នឹងជាអប្បបរមាដែលអាចធ្វើបាន និងការប៉ាន់ប្រមាណ t x- ការប៉ាន់ស្មានប្រកបដោយប្រសិទ្ធភាពនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា។ ការដឹងពីភាពខុសគ្នានៃការប៉ាន់ប្រមាណធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើការវិនិច្ឆ័យអំពីភាពត្រឹមត្រូវនៃការកំណត់តម្លៃដែលមិនស្គាល់នៃការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យាដោយប្រើការប៉ាន់ប្រមាណនេះ។
ជាការប៉ាន់ប្រមាណនៃការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា មធ្យមនព្វន្ធត្រូវបានប្រើប្រសិនបើលទ្ធផលការវាស់វែងមានភាពសុក្រឹតស្មើគ្នា (បំរែបំរួល D, ខ្ញុំ = 1, 2, ..., ទំគឺដូចគ្នានៅគ្រប់ទំហំ)។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយនៅក្នុងការអនុវត្តមនុស្សម្នាក់ត្រូវតែដោះស្រាយជាមួយនឹងភារកិច្ចដែលលទ្ធផលនៃការវាស់វែងមិនស្មើគ្នា (ឧទាហរណ៍ក្នុងអំឡុងពេលធ្វើតេស្តការវាស់វែងត្រូវបានធ្វើឡើងដោយឧបករណ៍ផ្សេងៗ) ។ ក្នុងករណីនេះ ការប៉ាន់ប្រមាណសម្រាប់ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាមានទម្រង់
កន្លែងណា 
គឺជាទម្ងន់នៃការវាស់វែង i-th ។
នៅក្នុងរូបមន្ត (5.12) លទ្ធផលនៃការវាស់វែងនីមួយៗត្រូវបានរួមបញ្ចូលជាមួយនឹងទម្ងន់ផ្ទាល់ខ្លួនរបស់វា។ ពី.. ដូច្នេះការវាយតម្លៃលទ្ធផលការវាស់វែង t xហៅ ទម្ងន់មធ្យម។
វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថាការប៉ាន់ប្រមាណ (5.12) គឺជាការប៉ាន់ប្រមាណដែលមិនលំអៀង ស្រប និងមានប្រសិទ្ធភាពនៃការរំពឹងទុក។ បំរែបំរួលអប្បបរមានៃការប៉ាន់ប្រមាណត្រូវបានផ្តល់ដោយ
នៅពេលធ្វើការពិសោធន៍ជាមួយម៉ូដែលកុំព្យូទ័រ បញ្ហាស្រដៀងគ្នានេះកើតឡើងនៅពេលដែលការប៉ាន់ប្រមាណត្រូវបានរកឃើញពីលទ្ធផលនៃការធ្វើតេស្តជាច្រើនស៊េរី ហើយចំនួននៃការធ្វើតេស្តនៅក្នុងស៊េរីនីមួយៗគឺខុសគ្នា។ ជាឧទាហរណ៍ ការធ្វើតេស្តពីរស៊េរីត្រូវបានអនុវត្តជាមួយនឹងកម្រិតសំឡេង ទំ ១និង n 2 យោងទៅតាមលទ្ធផលនៃការប៉ាន់ស្មាន t xi និង t x _ ។ដើម្បីបង្កើនភាពត្រឹមត្រូវ និងភាពជឿជាក់នៃការកំណត់ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា លទ្ធផលនៃស៊េរីនៃការធ្វើតេស្តទាំងនេះត្រូវបានបញ្ចូលគ្នា។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះសូមប្រើកន្សោម (5.12)
នៅពេលគណនាមេគុណ C ជំនួសឱ្យការប្រែប្រួល D ការប៉ាន់ប្រមាណរបស់ពួកគេដែលទទួលបានពីលទ្ធផលតេស្តក្នុងស៊េរីនីមួយៗត្រូវបានជំនួស។
វិធីសាស្រ្តស្រដៀងគ្នានេះក៏ត្រូវបានប្រើក្នុងការកំណត់ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យដែលកើតឡើងដោយផ្អែកលើលទ្ធផលនៃការធ្វើតេស្តជាបន្តបន្ទាប់។
ដើម្បីប៉ាន់ប្រមាណការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យ X បន្ថែមលើមធ្យមគំរូ ស្ថិតិផ្សេងទៀតអាចត្រូវបានប្រើ។ ភាគច្រើនជាញឹកញាប់ សមាជិកនៃស៊េរីបំរែបំរួលត្រូវបានប្រើសម្រាប់គោលបំណងទាំងនេះ ពោលគឺ ស្ថិតិលំដាប់ ដែលផ្អែកលើការប៉ាន់ស្មានត្រូវបានបង្កើតឡើង។
ការបំពេញតម្រូវការសំខាន់គឺ ភាពស្ថិតស្ថេរ និងភាពមិនលំអៀង។
សន្មតថាស៊េរីបំរែបំរួលមាន n = 2kសមាជិក។ បន្ទាប់មក មធ្យមភាគណាមួយអាចត្រូវបានគេយកជាការប៉ាន់ស្មាននៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា៖
ឯណា ទៅអ៊ីមធ្យម
គ្មានអ្វីក្រៅពីមធ្យមភាគស្ថិតិនៃការចែកចាយអថេរចៃដន្យ X ទេ ព្រោះសមភាពជាក់ស្តែងកើតឡើង
អត្ថប្រយោជន៍នៃមធ្យមភាគស្ថិតិគឺថាវាគ្មានឥទ្ធិពលនៃលទ្ធផលសង្កេតមិនប្រក្រតី ដែលជៀសមិនរួចនៅពេលប្រើមធ្យមភាគដំបូង នោះគឺជាមធ្យមភាគនៃស៊េរីបំរែបំរួលតូចបំផុត និងធំបំផុត។
ជាមួយនឹងទំហំគំរូសេស ទំ = 2k- 1 មធ្យមភាគស្ថិតិគឺជាធាតុកណ្តាលរបស់វា, i.e. ទៅ- សមាជិកនៃស៊េរីបំរែបំរួល ខ្ញុំ = x k ។
មានការចែកចាយដែលមធ្យមនព្វន្ធមិនមែនជាការប៉ាន់ស្មានដ៏មានប្រសិទ្ធភាពនៃការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា ឧទាហរណ៍ ការចែកចាយ Laplace ។ វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថាសម្រាប់ការចែកចាយ Laplace ការប៉ាន់ប្រមាណប្រកបដោយប្រសិទ្ធភាពនៃមធ្យមគឺជាមធ្យមគំរូ។
វាត្រូវបានបង្ហាញថាប្រសិនបើអថេរចៃដន្យ X មានការចែកចាយធម្មតា នោះជាមួយនឹងទំហំគំរូធំគ្រប់គ្រាន់ ច្បាប់ចែកចាយនៃមធ្យមភាគស្ថិតិគឺនៅជិតធម្មតាជាមួយនឹងលក្ខណៈលេខ។
ពីការប្រៀបធៀបនៃរូបមន្ត (5.11) និង (5.14) វាដូចខាងក្រោមថាការបែកខ្ញែកនៃមធ្យមភាគស្ថិតិគឺ 1.57 ដងធំជាងការបែកខ្ចាត់ខ្ចាយនៃមធ្យមនព្វន្ធ។ ដូច្នេះ មធ្យមនព្វន្ធជាការប៉ាន់ប្រមាណនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាគឺមានប្រសិទ្ធភាពជាងមធ្យមភាគស្ថិតិ។ ទោះបីជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ដោយសារតែភាពសាមញ្ញនៃការគណនា ភាពមិនស៊ីសង្វាក់នៃលទ្ធផលរង្វាស់មិនធម្មតា ("ការចម្លងរោគ" នៃគំរូ) ក្នុងការអនុវត្តជាក់ស្តែង មធ្យមភាគស្ថិតិត្រូវបានគេប្រើជាការប៉ាន់ស្មាននៃការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា។
វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាសម្រាប់ការចែកចាយស៊ីមេទ្រីជាបន្តបន្ទាប់មធ្យមនិងមធ្យមគឺដូចគ្នា។ ដូច្នេះ មធ្យមភាគស្ថិតិអាចបម្រើជាការប៉ាន់ស្មានដ៏ល្អនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាសម្រាប់តែការចែកចាយស៊ីមេទ្រីនៃអថេរចៃដន្យប៉ុណ្ណោះ។
សម្រាប់ការចែកចាយមិនច្បាស់ មធ្យមភាគស្ថិតិ ខ្ញុំមានភាពលំអៀងយ៉ាងសំខាន់ទាក់ទងទៅនឹងការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា ដូច្នេះវាមិនស័ក្តិសមសម្រាប់ការប៉ាន់ស្មានរបស់វា។
អនុញ្ញាតឱ្យមានអថេរចៃដន្យ Xជាមួយនឹងការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា មនិងការបែកខ្ញែក ឃខណៈពេលដែលប៉ារ៉ាម៉ែត្រទាំងពីរនេះមិនស្គាល់។ លើសរ៉ិចទ័រ Xផលិត នការពិសោធន៍ឯករាជ្យ ដែលបណ្តាលឱ្យមានសំណុំ នលទ្ធផលជាលេខ x 1 , x 2 , … , x N. ជាការប៉ាន់ប្រមាណនៃការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា វាជាការធម្មតាក្នុងការស្នើរសុំមធ្យមនព្វន្ធនៃតម្លៃដែលបានសង្កេត។
| (1) |
នៅទីនេះដូច x ខ្ញុំតម្លៃជាក់លាក់ (លេខ) ដែលទទួលបានជាលទ្ធផលនៃ នការពិសោធន៍។ ប្រសិនបើយើងយកអ្នកដទៃ (ឯករាជ្យពីអ្នកមុន) នការពិសោធន៍ បន្ទាប់មក ជាក់ស្តែង យើងនឹងទទួលបានតម្លៃខុសគ្នា។ ប្រសិនបើអ្នកយកច្រើនទៀត នការពិសោធន៍ យើងនឹងទទួលបានតម្លៃថ្មីមួយទៀត។ បញ្ជាក់ដោយ X ខ្ញុំអថេរចៃដន្យដែលបណ្តាលមកពី ខ្ញុំការពិសោធន៍ បន្ទាប់មកការសម្រេច X ខ្ញុំនឹងជាលេខដែលទទួលបានជាលទ្ធផលនៃការពិសោធន៍ទាំងនេះ។ វាច្បាស់ណាស់ថាអថេរចៃដន្យ X ខ្ញុំនឹងមានដង់ស៊ីតេចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេដូចគ្នានឹងអថេរចៃដន្យដើម X. យើងក៏សន្មតថាអថេរចៃដន្យ X ខ្ញុំនិង Xjមានឯករាជ្យនៅ ខ្ញុំ, មិនស្មើគ្នា j(ឯករាជ្យផ្សេងៗគ្នាទាក់ទងនឹងការពិសោធន៍គ្នាទៅវិញទៅមក) ។ ដូច្នេះ យើងសរសេររូបមន្ត (1) ឡើងវិញក្នុងទម្រង់ផ្សេងគ្នា (ស្ថិតិ)៖
| (2) |
ចូរយើងបង្ហាញថាការប៉ាន់ស្មានគឺមិនលំអៀងទេ៖
ដូច្នេះ ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃមធ្យមភាគគឺស្មើនឹងការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាពិតនៃអថេរចៃដន្យ ម. នេះគឺជាការពិតដែលអាចព្យាករណ៍បាន និងអាចយល់បាន។ ដូច្នេះ មធ្យមគំរូ (2) អាចត្រូវបានយកជាការប៉ាន់ស្មាននៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យមួយ។ ឥឡូវនេះសំណួរកើតឡើង: តើមានអ្វីកើតឡើងចំពោះការប្រែប្រួលនៃការប៉ាន់ស្មានការរំពឹងទុកនៅពេលដែលចំនួននៃការពិសោធន៍កើនឡើង? ការគណនាវិភាគបង្ហាញថា
តើភាពខុសគ្នានៃការប៉ាន់ប្រមាណនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា (2) និង ឃ- បំរែបំរួលពិតនៃអថេរចៃដន្យ X.
ពីខាងលើវាធ្វើតាមថាជាមួយនឹងការកើនឡើង ន(ចំនួននៃការពិសោធន៍) ភាពខុសគ្នានៃការប៉ាន់ប្រមាណមានការថយចុះ i.e. កាលណាយើងសង្ខេបការអនុវត្តឯករាជ្យកាន់តែច្រើន នោះកាន់តែខិតទៅជិតតម្លៃដែលរំពឹងទុក យើងនឹងទទួលបានការប៉ាន់ប្រមាណ។
ការប៉ាន់ស្មានបំរែបំរួលគណិតវិទ្យា
នៅ glance ដំបូង, ការប៉ាន់ស្មានធម្មជាតិបំផុតហាក់ដូចជា
| (3) |
កន្លែងដែលត្រូវគណនាដោយរូបមន្ត (2) ។ ចូរយើងពិនិត្យមើលថាតើការប៉ាន់ប្រមាណគឺមិនលំអៀង។ រូបមន្ត (៣) អាចសរសេរដូចខាងក្រោម៖
យើងជំនួសកន្សោម (2) ទៅក្នុងរូបមន្តនេះ៖
ចូរយើងស្វែងរកការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃការប៉ាន់ប្រមាណបំរែបំរួល៖
| (4) |
ដោយសារវ៉ារ្យង់នៃអថេរចៃដន្យមិនអាស្រ័យលើអ្វីដែលការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យនោះ យើងនឹងយកការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាស្មើនឹង 0, i.e. ម = 0.
| (5) | |
| នៅ។ | (6) |
អនុញ្ញាតឱ្យអថេរចៃដន្យជាមួយនឹងការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាដែលមិនស្គាល់ និងភាពប្រែប្រួលត្រូវបានទទួលរងនូវការពិសោធន៍ឯករាជ្យដែលផ្តល់លទ្ធផល - 
. អនុញ្ញាតឱ្យយើងគណនាការប៉ាន់ប្រមាណដែលស្របនិងមិនលំអៀងសម្រាប់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ និង .
ជាការប៉ាន់ស្មានសម្រាប់ការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា យើងយកមធ្យមនព្វន្ធនៃតម្លៃពិសោធន៍
. (2.9.1)
យោងទៅតាមច្បាប់នៃចំនួនដ៏ធំការប៉ាន់ស្មាននេះគឺ ទ្រព្យសម្បត្តិ ជាមួយនឹងទំហំនៃប្រូបាប៊ីលីតេ។ ការប៉ាន់ស្មានដូចគ្នាគឺ មិនលំអៀង , ដោយសារតែ
. (2.9.2)
ភាពខុសគ្នានៃការប៉ាន់ស្មាននេះគឺ
. (2.9.3)
វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថាសម្រាប់ការចែកចាយធម្មតាការប៉ាន់ស្មាននេះគឺ ប្រសិទ្ធភាព . សម្រាប់ច្បាប់ផ្សេងទៀត នេះប្រហែលជាមិនមានទេ។
ឥឡូវនេះ ចូរយើងប៉ាន់ស្មានភាពខុសគ្នា។ ចូរយើងជ្រើសរើសរូបមន្តសម្រាប់ការប៉ាន់ប្រមាណជាមុនសិន ការបែកខ្ញែកស្ថិតិ
. (2.9.4)
ចូរយើងពិនិត្យមើលភាពស៊ីសង្វាក់គ្នានៃការប៉ាន់ប្រមាណបំរែបំរួល។ តោះបើកតង្កៀបក្នុងរូបមន្ត (2.9.4)
.
សម្រាប់ , ពាក្យទីមួយបង្រួបបង្រួមក្នុងប្រូបាប៊ីលីតេទៅជាបរិមាណ 
, នៅក្នុងទីពីរ - ទៅ . ដូច្នេះ ការប៉ាន់ប្រមាណរបស់យើងបង្រួបបង្រួមប្រូបាប៊ីលីតេទៅភាពប្រែប្រួល
,
ដូច្នេះនាងគឺ ទ្រព្យសម្បត្តិ .
សូមពិនិត្យមើល ភាពមិនលំអៀង
ការប៉ាន់ស្មានសម្រាប់បរិមាណ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងជំនួសកន្សោម (2.9.1) ទៅជារូបមន្ត (2.9.4) ហើយយកទៅក្នុងគណនីអថេរចៃដន្យនោះ។ ឯករាជ្យ
,
. (2.9.5)
អនុញ្ញាតឱ្យយើងឆ្លងកាត់រូបមន្ត (2.9.5) ទៅនឹងការប្រែប្រួលនៃអថេរចៃដន្យ
ការពង្រីកតង្កៀបយើងទទួលបាន
,
. (2.9.6)
ចូរយើងគណនាការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យានៃតម្លៃ (2.9.6) ដោយគិតដល់នោះ។ 
. (2.9.7)
ទំនាក់ទំនង (2.9.7) បង្ហាញថាតម្លៃគណនាដោយរូបមន្ត (2.9.4) មិនមែនជាការប៉ាន់ប្រមាណដែលមិនលំអៀងទេ។ សម្រាប់ការបែកខ្ញែក។ ការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យារបស់វាមិនស្មើគ្នាទេ ប៉ុន្តែតិចជាងបន្តិច។ ការប៉ាន់ស្មានបែបនេះនាំឱ្យមានកំហុសជាប្រព័ន្ធធ្លាក់ចុះ។ ដើម្បីលុបបំបាត់ភាពលំអៀងបែបនេះ វាចាំបាច់ត្រូវណែនាំការកែតម្រូវដោយការគុណមិនមែនតម្លៃ។ បន្ទាប់មក ភាពប្រែប្រួលនៃស្ថិតិដែលបានកែតម្រូវបែបនេះអាចបម្រើជាការប៉ាន់ស្មានដោយមិនលំអៀងសម្រាប់ការប្រែប្រួលនេះ។
. (2.9.8)
ការប៉ាន់ប្រមាណនេះគឺដូចគ្នាទៅនឹងការប៉ាន់ស្មានដែរ ពីព្រោះសម្រាប់ .
នៅក្នុងការអនុវត្ត ជំនួសឱ្យការប៉ាន់ប្រមាណ (2.9.8) ជួនកាលវាងាយស្រួលជាងក្នុងការប្រើការប៉ាន់ប្រមាណសមមូលដែលទាក់ទងនឹងពេលវេលាស្ថិតិដំបូងទីពីរ
. (2.9.9)
ការប៉ាន់ស្មាន (2.9.8), (2.9.9) មិនមានប្រសិទ្ធភាពទេ។ វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថានៅក្នុងករណីនៃការចែកចាយធម្មតាពួកគេនឹងមាន មានប្រសិទ្ធិភាព asymptotically (នៅពេលណាដែលនឹងមានទំនោរទៅតម្លៃអប្បបរមាដែលអាចធ្វើបាន) ។
ដូច្នេះ គេអាចបង្កើតច្បាប់ខាងក្រោមសម្រាប់ដំណើរការសម្ភារៈស្ថិតិដែលមានកម្រិត។ ប្រសិនបើនៅក្នុងការពិសោធន៍ឯករាជ្យ អថេរចៃដន្យយកតម្លៃ 
ជាមួយនឹងការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាដែលមិនស្គាល់ និងភាពខុសគ្នា បន្ទាប់មកដើម្បីកំណត់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រទាំងនេះ អ្នកគួរតែប្រើការប៉ាន់ស្មានប្រហាក់ប្រហែល
(2.9.10)
បញ្ចប់ការងារ -
ប្រធានបទនេះជាកម្មសិទ្ធិរបស់៖
ឯកសារបង្រៀនស្តីពី ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេគណិតវិទ្យា ស្ថិតិគណិតវិទ្យា
នាយកដ្ឋានឧត្តមសិក្សាគណិតវិទ្យា និងព័ត៌មានវិទ្យា.. ឯកសារបង្រៀន..ក្នុងគណិតវិទ្យា..
ប្រសិនបើអ្នកត្រូវការសម្ភារៈបន្ថែមលើប្រធានបទនេះ ឬអ្នកមិនបានរកឃើញអ្វីដែលអ្នកកំពុងស្វែងរក យើងសូមណែនាំឱ្យប្រើការស្វែងរកនៅក្នុងមូលដ្ឋានទិន្នន័យការងាររបស់យើង៖
តើយើងនឹងធ្វើអ្វីជាមួយសម្ភារៈដែលទទួលបាន៖
ប្រសិនបើសម្ភារៈនេះប្រែជាមានប្រយោជន៍សម្រាប់អ្នក អ្នកអាចរក្សាទុកវាទៅក្នុងទំព័ររបស់អ្នកនៅលើបណ្តាញសង្គម៖
| ធ្វីត |
ប្រធានបទទាំងអស់នៅក្នុងផ្នែកនេះ៖
ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ
ទ្រឹស្ដីប្រូបាប៊ីលីតេ គឺជាផ្នែកមួយនៃគណិតវិទ្យាដែលសិក្សាពីគំរូនៃបាតុភូតម៉ាស់ចៃដន្យ។ ចៃដន្យគឺជាបាតុភូតមួយ។
និយមន័យស្ថិតិនៃប្រូបាប៊ីលីតេ
ព្រឹត្តិការណ៍គឺជាបាតុភូតចៃដន្យមួយដែលជាលទ្ធផលនៃបទពិសោធន៍អាចឬមិនលេចឡើង (បាតុភូតតម្លៃពីរ) ។ កំណត់ព្រឹត្តិការណ៍ជាអក្សរធំជាអក្សរឡាតាំង
ចន្លោះនៃព្រឹត្តិការណ៍បឋម
អនុញ្ញាតឱ្យសំណុំនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងបទពិសោធន៍មួយចំនួន និង: 1) ជាលទ្ធផលនៃបទពិសោធន៍ មួយ និងតែមួយគត់
សកម្មភាពលើព្រឹត្តិការណ៍
ផលបូកនៃព្រឹត្តិការណ៍ពីរ និង
ការផ្លាស់ប្តូរ
ចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរផ្សេងគ្នានៃធាតុត្រូវបានបញ្ជាក់
កន្លែងស្នាក់នៅ
ការដាក់ធាតុដោយ
បន្សំ
ការរួមបញ្ចូលគ្នានៃធាតុ
រូបមន្តសម្រាប់បន្ថែមប្រូបាប៊ីលីតេសម្រាប់ព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនឆបគ្នា។
ទ្រឹស្តីបទ។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃផលបូកនៃព្រឹត្តិការណ៍មិនឆបគ្នាពីរគឺស្មើនឹងផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះ។ (មួយ។
រូបមន្តបន្ថែមប្រូបាប៊ីលីតេសម្រាប់ព្រឹត្តិការណ៍បំពាន
ទ្រឹស្តីបទ។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃផលបូកនៃព្រឹត្តិការណ៍ពីរគឺស្មើនឹងផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះដោយគ្មានប្រូបាប៊ីលីតេនៃផលិតផលរបស់ពួកគេ។
រូបមន្តគុណប្រូបាប៊ីលីតេ
សូមឱ្យព្រឹត្តិការណ៍ពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ពិចារណាព្រឹត្តិការណ៍មួយ។
រូបមន្តប្រូបាប៊ីលីតេសរុប
សូមឱ្យជាក្រុមពេញលេញនៃព្រឹត្តិការណ៍មិនឆបគ្នាពួកគេត្រូវបានគេហៅថាសម្មតិកម្ម។ ពិចារណាព្រឹត្តិការណ៍មួយចំនួន
រូបមន្តនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃសម្មតិកម្ម (Bayes)
ពិចារណាម្តងទៀត - ក្រុមពេញលេញនៃសម្មតិកម្មមិនឆបគ្នានិងព្រឹត្តិការណ៍
រូបមន្ត Asymptotic Poisson
ក្នុងករណីដែលចំនួននៃការសាកល្បងមានទំហំធំ និងប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ។
អថេរផ្តាច់មុខដោយចៃដន្យ
តម្លៃចៃដន្យគឺជាបរិមាណដែលនៅពេលដែលការពិសោធន៍ត្រូវបានធ្វើម្តងទៀតអាចទទួលយកតម្លៃលេខមិនស្មើគ្នា។ អថេរចៃដន្យត្រូវបានគេហៅថាដាច់,
អថេរបន្តចៃដន្យ
ប្រសិនបើជាលទ្ធផលនៃការពិសោធន៍ អថេរចៃដន្យអាចយកតម្លៃណាមួយពីផ្នែកជាក់លាក់មួយ ឬអ័ក្សពិតទាំងមូល នោះវាត្រូវបានគេហៅថាបន្ត។ ច្បាប់
អនុគមន៍ដង់ស៊ីតេប្រូបាប៊ីលីតេនៃអថេរបន្តចៃដន្យ
អនុញ្ញាតឱ្យ។ ពិចារណាចំណុចមួយ ហើយផ្តល់ឱ្យវាបន្ថែម
លក្ខណៈលេខនៃអថេរចៃដន្យ
អថេរចៃដន្យ ឬអថេរបន្តត្រូវបានចាត់ទុកថាត្រូវបានបញ្ជាក់ទាំងស្រុង ប្រសិនបើច្បាប់ចែកចាយរបស់ពួកគេត្រូវបានគេស្គាល់។ ជាការពិតណាស់ដោយដឹងពីច្បាប់នៃការចែកចាយ មនុស្សម្នាក់តែងតែអាចគណនាប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយ
បរិមាណនៃអថេរចៃដន្យ
បរិមាណនៃលំដាប់នៃអថេរបន្តចៃដន្យ
ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យ
ការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យកំណត់លក្ខណៈតម្លៃមធ្យមរបស់វា។ តម្លៃទាំងអស់នៃអថេរចៃដន្យត្រូវបានដាក់ជាក្រុមជុំវិញតម្លៃនេះ។ ដំបូងពិចារណាអថេរដាច់ដោយឡែកចៃដន្យ
គម្លាតស្តង់ដារ និងបំរែបំរួលនៃអថេរចៃដន្យ
ដំបូងពិចារណាអថេរដាច់ដោយឡែកចៃដន្យ។ លក្ខណៈជាលេខនៃរបៀប មធ្យម បរិមាណ និងការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា
គ្រានៃអថេរចៃដន្យ
បន្ថែមពីលើការរំពឹងទុក និងបំរែបំរួលតាមគណិតវិទ្យា ទ្រឹស្ដីប្រូបាប៊ីលីតេប្រើលក្ខណៈជាលេខនៃលំដាប់ខ្ពស់ជាង ដែលត្រូវបានគេហៅថាគ្រានៃអថេរចៃដន្យ។
ទ្រឹស្តីបទស្តីពីលក្ខណៈលេខនៃអថេរចៃដន្យ
ទ្រឹស្តីបទ 1. ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរដែលមិនចៃដន្យគឺស្មើនឹងតម្លៃនេះដោយខ្លួនវាផ្ទាល់។ ភស្តុតាង៖ អនុញ្ញាតឱ្យ
ច្បាប់នៃការចែកចាយប៊ីណូម៉ា
ច្បាប់ចែកចាយ Poisson
អនុញ្ញាតឱ្យអថេរដាច់ដោយឡែកដោយចៃដន្យយកតម្លៃ
ច្បាប់ចែកចាយឯកសណ្ឋាន
ច្បាប់ឯកសណ្ឋាននៃការចែកចាយអថេរបន្តចៃដន្យ គឺជាច្បាប់នៃអនុគមន៍ដង់ស៊ីតេប្រូបាប៊ីលីតេ ដែល
ច្បាប់ចែកចាយធម្មតា។
ច្បាប់ធម្មតានៃការចែកចាយអថេរបន្តចៃដន្យគឺជាច្បាប់នៃមុខងារដង់ស៊ីតេ
ច្បាប់ចែកចាយអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល
ការចែកចាយអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ឬអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលនៃអថេរចៃដន្យ ត្រូវបានប្រើនៅក្នុងកម្មវិធីនៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ ដូចជា ទ្រឹស្តីតម្រង់ជួរ ទ្រឹស្តីភាពជឿជាក់
ប្រព័ន្ធនៃអថេរចៃដន្យ
នៅក្នុងការអនុវត្ត នៅក្នុងការអនុវត្តទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ ជារឿយៗគេត្រូវដោះស្រាយបញ្ហាដែលលទ្ធផលនៃការពិសោធន៍មួយមិនត្រូវបានពិពណ៌នាដោយអថេរចៃដន្យមួយ ប៉ុន្តែដោយអថេរចៃដន្យជាច្រើនក្នុងពេលតែមួយ។
ប្រព័ន្ធនៃអថេរចៃដន្យពីរ
អនុញ្ញាតឱ្យអថេរចៃដន្យពីរបង្កើតជាប្រព័ន្ធមួយ។ តម្លៃចៃដន្យ
ប្រព័ន្ធនៃអថេរបន្តចៃដន្យពីរ
ឥឡូវនេះអនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយអថេរបន្តចៃដន្យពីរ។ ច្បាប់ចែកចាយនៃប្រព័ន្ធនេះត្រូវបានគេហៅថាប្រហែលជា
ច្បាប់តាមលក្ខខណ្ឌនៃការចែកចាយ
អនុញ្ញាត និងពឹងផ្អែកលើអថេរបន្តចៃដន្យ
លក្ខណៈជាលេខនៃប្រព័ន្ធនៃអថេរចៃដន្យពីរ
ពេលដំបូងនៃលំដាប់នៃប្រព័ន្ធនៃអថេរចៃដន្យ
ប្រព័ន្ធនៃអថេរចៃដន្យជាច្រើន។
លទ្ធផលដែលទទួលបានសម្រាប់ប្រព័ន្ធនៃអថេរចៃដន្យពីរអាចត្រូវបានគេដាក់ជាទូទៅចំពោះករណីនៃប្រព័ន្ធដែលមានចំនួនអថេរចៃដន្យ។ អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយសំណុំ
ការចែកចាយធម្មតានៃប្រព័ន្ធនៃអថេរចៃដន្យពីរ
ពិចារណាប្រព័ន្ធនៃអថេរបន្តចៃដន្យពីរ។ ច្បាប់ចែកចាយនៃប្រព័ន្ធនេះគឺជាច្បាប់ចែកចាយធម្មតា។
កំណត់ទ្រឹស្តីបទនៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ
គោលដៅចម្បងនៃវិន័យនៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេគឺដើម្បីសិក្សាពីគំរូនៃបាតុភូតម៉ាស់ចៃដន្យ។ ការអនុវត្តបង្ហាញថាការសង្កេតនៃម៉ាស់នៃបាតុភូតចៃដន្យដូចគ្នាដែលបង្ហាញ
វិសមភាពរបស់ Chebyshev
ពិចារណាអថេរចៃដន្យជាមួយនឹងការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា
ទ្រឹស្តីបទ Chebyshev
ប្រសិនបើអថេរចៃដន្យមានភាពឯករាជ្យជាគូ ហើយមានបំរែបំរួលកំណត់កំណត់ក្នុងចំនួនប្រជាជន
ទ្រឹស្តីបទ Bernoulli
ជាមួយនឹងការកើនឡើងគ្មានដែនកំណត់នៃចំនួននៃការពិសោធន៍ ភាពញឹកញាប់នៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយនឹងទៅជាប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ។
ទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់កណ្តាល
នៅពេលបន្ថែមអថេរចៃដន្យជាមួយនឹងច្បាប់ចែកចាយណាមួយ ប៉ុន្តែជាមួយនឹងការប្រែប្រួលមានកំណត់នៅក្នុងសរុប ច្បាប់ចែកចាយ
ភារកិច្ចចម្បងនៃស្ថិតិគណិតវិទ្យា
ច្បាប់នៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេដែលបានពិភាក្សាខាងលើគឺជាកន្សោមគណិតវិទ្យានៃគំរូពិតដែលពិតជាមាននៅក្នុងបាតុភូតម៉ាស់ចៃដន្យផ្សេងៗ។ សិក្សា
ស្ថិតិសាមញ្ញ។ មុខងារចែកចាយស្ថិតិ
ពិចារណាអថេរចៃដន្យមួយចំនួនដែលច្បាប់ចែកចាយមិនស្គាល់។ ទាមទារដោយផ្អែកលើបទពិសោធន៍
បន្ទាត់ស្ថិតិ។ ក្រាបសសរ
ជាមួយនឹងការសង្កេតមួយចំនួនធំ (នៃលំដាប់រាប់រយ) ប្រជាជនទូទៅក្លាយជាការរអាក់រអួល និងពិបាកសម្រាប់កត់ត្រាសម្ភារៈស្ថិតិ។ សម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់និងបង្រួម សម្ភារៈស្ថិតិ
លក្ខណៈជាលេខនៃការបែងចែកស្ថិតិ
នៅក្នុងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ លក្ខណៈលេខផ្សេងៗនៃអថេរចៃដន្យត្រូវបានពិចារណា៖ ការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា ការបែកខ្ញែក គ្រាដំបូង និងកណ្តាលនៃលំដាប់ផ្សេងៗ។ លេខស្រដៀងគ្នា
ជម្រើសនៃការចែកចាយទ្រឹស្តីដោយវិធីសាស្រ្តនៃគ្រា
នៅក្នុងការចែកចាយស្ថិតិណាមួយ មានធាតុផ្សំនៃភាពចៃដន្យដែលទាក់ទងជាមួយចំនួនកំណត់នៃការសង្កេត។ ជាមួយនឹងចំនួនដ៏ច្រើននៃការសង្កេត ធាតុនៃភាពចៃដន្យទាំងនេះត្រូវបានរលូនចេញ។
ការធ្វើតេស្តភាពអាចជឿជាក់បាននៃសម្មតិកម្មអំពីទម្រង់នៃច្បាប់ចែកចាយ
អនុញ្ញាតឱ្យការបែងចែកស្ថិតិដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានប៉ាន់ស្មានដោយខ្សែកោងទ្រឹស្តីមួយចំនួនឬ
លក្ខខណ្ឌនៃការយល់ព្រម
ពិចារណាលើការធ្វើតេស្តភាពសមសួនដែលប្រើជាទូទៅបំផុតមួយ ដែលហៅថាការធ្វើតេស្ត Pearson ។ សន្មត់
ការប៉ាន់ស្មានចំណុចសម្រាប់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រចែកចាយមិនស្គាល់
នៅក្នុង p.p. ២.១. - 2.7 យើងបានពិចារណាលម្អិតអំពីវិធីនៃការដោះស្រាយបញ្ហាចម្បងទីមួយ និងទីពីរនៃស្ថិតិគណិតវិទ្យា។ ទាំងនេះគឺជាភារកិច្ចនៃការកំណត់ច្បាប់នៃការចែកចាយអថេរចៃដន្យយោងទៅតាមទិន្នន័យពិសោធន៍
ចន្លោះពេលទំនុកចិត្ត។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃទំនុកចិត្ត
នៅក្នុងការអនុវត្ត ជាមួយនឹងការពិសោធន៍មួយចំនួនតូចលើអថេរចៃដន្យ ការជំនួសប្រហាក់ប្រហែលនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រដែលមិនស្គាល់
សូមឱ្យមានអថេរ X ចៃដន្យ ហើយប៉ារ៉ាម៉ែត្ររបស់វាគឺជាការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា កនិងភាពខុសប្លែកគ្នាគឺមិនស្គាល់។ លើសពីតម្លៃ X ការពិសោធន៍ឯករាជ្យត្រូវបានអនុវត្តដែលផ្តល់លទ្ធផល x 1, x 2, x n ។
ដោយមិនបន្ថយភាពទូទៅនៃហេតុផល យើងនឹងពិចារណាតម្លៃទាំងនេះនៃអថេរចៃដន្យដើម្បីខុសគ្នា។ យើងនឹងចាត់ទុកតម្លៃ x 1, x 2, x n ជាអថេរដែលចែកចាយដោយអត្តសញ្ញាណ X 1, X 2, X n ។
វិធីសាស្រ្តសាមញ្ញបំផុតនៃការប៉ាន់ប្រមាណស្ថិតិ - វិធីសាស្រ្តនៃការជំនួសនិងភាពស្រដៀងគ្នា - មាននៅក្នុងការពិតដែលថាតាមការប៉ាន់ប្រមាណនៃលក្ខណៈលេខមួយឬមួយផ្សេងទៀត (មធ្យម, ការប្រែប្រួល, ល) នៃប្រជាជនទូទៅ, ពួកគេយកលក្ខណៈដែលត្រូវគ្នានៃការចែកចាយគំរូ។ - លក្ខណៈគំរូ។
ដោយវិធីសាស្រ្តជំនួសជាការប៉ាន់ស្មាននៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា កវាចាំបាច់ក្នុងការទទួលយកការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃការចែកចាយគំរូ - មធ្យមគំរូ។ ដូច្នេះយើងទទួលបាន
ដើម្បីសាកល្បងភាពមិនលំអៀង និងភាពស៊ីសង្វាក់គ្នានៃមធ្យោបាយគំរូតាមការប៉ាន់ស្មាន កពិចារណាស្ថិតិនេះជាមុខងារនៃវ៉ិចទ័រដែលបានជ្រើសរើស (X 1, X 2, X n) ។ ដោយពិចារណាថាបរិមាណនីមួយៗ X 1, X 2, X n មានច្បាប់ចែកចាយដូចគ្នាទៅនឹងបរិមាណ X យើងសន្និដ្ឋានថាលក្ខណៈលេខនៃបរិមាណទាំងនេះនិងបរិមាណ X គឺដូចគ្នា: M (X ខ្ញុំ) = M(X) = ក, ឃ(X ខ្ញុំ) = D(X) = , ខ្ញុំ = 1, 2, ន , ដែល X i គឺជាអថេរចៃដន្យឯករាជ្យរួម។
អាស្រ័យហេតុនេះ
ដូច្នេះតាមនិយមន័យ យើងទទួលបាននោះគឺជាការប៉ាន់ប្រមាណដែលមិនលំអៀង កហើយចាប់តាំងពី D()®0 ជា n®¥ បន្ទាប់មកដោយគុណធម៌នៃទ្រឹស្តីបទនៃកថាខណ្ឌមុន គឺជាការប៉ាន់ស្មានស្របគ្នានៃការរំពឹងទុក កប្រជាជនទូទៅ។
ប្រសិទ្ធភាព ឬអប្រសិទ្ធភាពនៃការប៉ាន់ប្រមាណអាស្រ័យលើទម្រង់នៃច្បាប់ចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យ X. វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថាប្រសិនបើតម្លៃ X ត្រូវបានចែកចាយយោងទៅតាមច្បាប់ធម្មតា នោះការប៉ាន់ប្រមាណមានប្រសិទ្ធភាព។ សម្រាប់ច្បាប់ចែកចាយផ្សេងទៀត នេះប្រហែលជាមិនដូច្នោះទេ។
ការប៉ាន់ស្មានមិនលំអៀងនៃការប្រែប្រួលទូទៅគឺជាភាពខុសគ្នានៃគំរូដែលបានកែ
,
ដោយសារតែ 
តើភាពខុសគ្នាទូទៅនៅឯណា។ ពិតជា 
ការប៉ាន់ប្រមាណ s -- 2 សម្រាប់ការប្រែប្រួលទូទៅក៏ស្របគ្នាដែរ ប៉ុន្តែមិនមានប្រសិទ្ធភាពទេ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ នៅក្នុងករណីនៃការចែកចាយធម្មតា វាគឺ "មានប្រសិទ្ធភាព asymptotically" ពោលគឺនៅពេលដែល n កើនឡើង សមាមាត្រនៃការប្រែប្រួលរបស់វាទៅនឹងអប្បបរមាដែលអាចធ្វើទៅបានគឺជិតដល់ពេលកំណត់។
ដូច្នេះ បានផ្តល់គំរូពីការចែកចាយ F( x) អថេរចៃដន្យ X ជាមួយនឹងការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាដែលមិនស្គាល់ កនិងការបែកខ្ចាត់ខ្ចាយ បន្ទាប់មកដើម្បីគណនាតម្លៃនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រទាំងនេះ យើងមានសិទ្ធិប្រើប្រាស់រូបមន្តប្រហាក់ប្រហែលខាងក្រោម៖
ក 
,
.
នៅទីនេះ x-i- -
ជម្រើសគំរូ, n- i - - ជម្រើសប្រេកង់ x i, -
- ទំហំធម្មតា។
ដើម្បីគណនាបំរែបំរួលគំរូដែលបានកែ រូបមន្តកាន់តែងាយស្រួល
.
ដើម្បីសម្រួលការគណនា វាត្រូវបានណែនាំឱ្យប្តូរទៅជម្រើសតាមលក្ខខណ្ឌ 
(វាមានប្រយោជន៍ក្នុងការយកបំរែបំរួលដំបូងដែលមានទីតាំងនៅកណ្តាលនៃស៊េរីបំរែបំរួលចន្លោះពេលជាគ)។ បន្ទាប់មក
, .
ការប៉ាន់ស្មានចន្លោះពេល
ខាងលើយើងបានពិចារណាសំណួរនៃការប៉ាន់ប្រមាណប៉ារ៉ាម៉ែត្រដែលមិនស្គាល់ កលេខមួយ។ យើងបានហៅការប៉ាន់ប្រមាណចំណុចប៉ាន់ស្មាន។ ពួកគេមានគុណវិបត្តិដែលជាមួយនឹងទំហំគំរូតូចមួយពួកគេអាចខុសគ្នាយ៉ាងខ្លាំងពីប៉ារ៉ាម៉ែត្រប៉ាន់ស្មាន។ ដូច្នេះ ដើម្បីទទួលបានគំនិតនៃភាពជិតគ្នារវាងប៉ារ៉ាម៉ែត្រមួយ និងការប៉ាន់ប្រមាណរបស់វា អ្វីដែលគេហៅថាការប៉ាន់ស្មានចន្លោះពេលត្រូវបានណែនាំនៅក្នុងស្ថិតិគណិតវិទ្យា។
អនុញ្ញាតឱ្យចំណុចប៉ាន់ស្មាន q * ត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងគំរូសម្រាប់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ q ។ ជាធម្មតា អ្នកស្រាវជ្រាវត្រូវបានផ្តល់ឱ្យជាមុនដោយប្រូបាប៊ីលីតេធំគ្រប់គ្រាន់មួយចំនួន (ឧទាហរណ៍ 0.95; 0.99 ឬ 0.999) ដែលព្រឹត្តិការណ៍ដែលមានប្រូបាប៊ីលីតេ g អាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាការអនុវត្តជាក់ស្តែង ហើយពួកគេចោទជាសំណួរនៃការស្វែងរកតម្លៃបែបនេះ e> 0 សម្រាប់ ដែល
.
ការកែប្រែសមភាពនេះ យើងទទួលបាន៖
ហើយក្នុងករណីនេះយើងនឹងនិយាយថាចន្លោះពេល] q * - e; q * + e[ គ្របដណ្តប់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រប៉ាន់ស្មាន q ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ g ។
ចន្លោះពេល] q * -e; q * +e [ត្រូវបានហៅ ចន្លោះពេលទំនុកចិត្ត .
ប្រូបាប៊ីលីតេ g ត្រូវបានគេហៅថា ភាពជឿជាក់ (ប្រូបាប៊ីលីតេទំនុកចិត្ត) ការប៉ាន់ប្រមាណចន្លោះពេល។
ចុងបញ្ចប់នៃចន្លោះពេលទំនុកចិត្ត, i.e. ចំណុច q * -e និង q * +e ត្រូវបានហៅ ព្រំដែនជឿទុកចិត្ត .
លេខ e ត្រូវបានហៅ ភាពត្រឹមត្រូវនៃការវាយតម្លៃ .
ជាឧទាហរណ៍នៃបញ្ហានៃការកំណត់ដែនកំណត់ទំនុកចិត្ត សូមពិចារណាសំណួរនៃការប៉ាន់ប្រមាណការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យ X ដែលមានច្បាប់ចែកចាយធម្មតាជាមួយនឹងប៉ារ៉ាម៉ែត្រ កនិង s, i.e. X = N( ក, s) ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាក្នុងករណីនេះគឺស្មើនឹង ក. យោងតាមការសង្កេត X 1 , X 2 , X n គណនាជាមធ្យម 
និងការវាយតម្លៃ 
ការបែកខ្ញែក s 2 ។
វាប្រែថាយោងទៅតាមទិន្នន័យគំរូវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីបង្កើតអថេរចៃដន្យ
ដែលមានការចែកចាយរបស់សិស្ស (ឬ t-distribution) ជាមួយនឹង n = n -1 ដឺក្រេនៃសេរីភាព។
ចូរប្រើតារាង A.1.3 ហើយស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលបានផ្តល់ឱ្យ g និងលេខ n លេខ t g ដូចនេះប្រូបាប៊ីលីតេ
P(|t(n)|< t g) = g,
.
បន្ទាប់ពីធ្វើការកែប្រែជាក់ស្តែង យើងទទួលបាន
នីតិវិធីសម្រាប់ការអនុវត្ត F-criterion មានដូចខាងក្រោម៖
1. ការសន្មត់មួយត្រូវបានធ្វើឡើងអំពីការបែងចែកធម្មតានៃចំនួនប្រជាជន។ នៅកម្រិតសារៈសំខាន់ a សម្មតិកម្មគ្មានន័យ H 0 ត្រូវបានបង្កើត៖ s x 2 = s y 2 អំពីសមភាពនៃការប្រែប្រួលទូទៅនៃចំនួនប្រជាជនធម្មតាក្រោមសម្មតិកម្មប្រកួតប្រជែង H 1: s x 2 > s y 2 ។
2. សំណាកឯករាជ្យពីរត្រូវបានទទួលពីចំនួន X និង Y នៃ n x និង n y រៀងគ្នា។
3. គណនាតម្លៃនៃបំរែបំរួលគំរូដែលបានកែ s x 2 និង s y 2 (វិធីសាស្ត្រគណនាត្រូវបានពិភាក្សាក្នុង§13.4)។ ការបែកខ្ចាត់ខ្ចាយធំជាង (s x 2 ឬ s y 2) ត្រូវបានកំណត់ថា s 1 2 តូចជាង - s 2 2 ។
4. តម្លៃនៃ F-criterion ត្រូវបានគណនាតាមរូបមន្ត F obs = s 1 2 / s 2 2 ។
5. យោងតាមតារាងនៃចំណុចសំខាន់របស់អ្នកនេសាទ - ការចែកចាយ Snedecor សម្រាប់កម្រិតសារៈសំខាន់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ a និងចំនួនដឺក្រេនៃសេរីភាព n 1 \u003d n 1 - 1, n 2 \u003d n 2 - 1 (n 1 គឺ ចំនួនដឺក្រេនៃសេរីភាពនៃបំរែបំរួលដែលបានកែតម្រូវធំជាង) ចំណុចសំខាន់ត្រូវបានរកឃើញ F cr (a, n 1, n 2) ។
ចំណាំថាតារាង A.1.7 បង្ហាញពីតម្លៃសំខាន់នៃលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យ F ដែលមានកន្ទុយតែមួយ។ ដូច្នេះប្រសិនបើលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យពីរជ្រុងត្រូវបានអនុវត្ត (H 1: s x 2 ¹ s y 2) បន្ទាប់មកចំណុចសំខាន់ខាងស្តាំ F cr (a / 2, n 1, n 2) ត្រូវបានស្វែងរកដោយកម្រិតសារៈសំខាន់ a / 2 (ពាក់កណ្តាលដែលបានបញ្ជាក់) និងចំនួនដឺក្រេសេរីភាព n 1 និង n 2 (n 1 - ចំនួនដឺក្រេនៃសេរីភាពនៃការបែកខ្ញែកកាន់តែច្រើន) ។ ចំណុចសំខាន់នៃដៃឆ្វេងប្រហែលជាមិនត្រូវបានរកឃើញទេ។
6. វាត្រូវបានសន្និដ្ឋានថាប្រសិនបើតម្លៃដែលបានគណនានៃលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យ F ធំជាងឬស្មើនឹងតម្លៃសំខាន់ (F obs ³ F cr) នោះការប្រែប្រួលខុសគ្នាយ៉ាងខ្លាំងនៅកម្រិតសារៈសំខាន់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ បើមិនដូច្នោះទេ (F obs< F кр) нет оснований для отклонения нулевой гипотезы о равенстве двух дисперсий.
កិច្ចការ 15.1. ការប្រើប្រាស់វត្ថុធាតុដើមក្នុងមួយឯកតាផលិតកម្មតាមបច្ចេកវិទ្យាចាស់គឺ៖
បច្ចេកវិទ្យាថ្មី:
ដោយសន្មតថាចំនួនប្រជាជនទូទៅដែលត្រូវគ្នា X និង Y មានការចែកចាយធម្មតា សូមពិនិត្យមើលថាការប្រើប្រាស់វត្ថុធាតុដើមសម្រាប់បច្ចេកវិទ្យាថ្មី និងចាស់មិនមានភាពខុសប្លែកគ្នាក្នុងភាពប្រែប្រួលនោះទេ ប្រសិនបើយើងយកកម្រិតសារៈសំខាន់ a = 0.1 ។
ដំណោះស្រាយ. យើងធ្វើតាមលំដាប់ដែលបានចង្អុលបង្ហាញខាងលើ។
1. យើងនឹងវិនិច្ឆ័យភាពប្រែប្រួលនៃការប្រើប្រាស់វត្ថុធាតុដើមសម្រាប់បច្ចេកវិទ្យាថ្មី និងចាស់ទាក់ទងនឹងតម្លៃនៃការបែកខ្ញែក។ ដូច្នេះ សម្មតិកម្ម null មានទម្រង់ H 0: s x 2 = s y 2 ។ ក្នុងនាមជាសម្មតិកម្មប្រកួតប្រជែង យើងទទួលយកសម្មតិកម្ម H 1: s x 2 ¹ s y 2 ដោយហេតុថាយើងមិនប្រាកដជាមុនថាការប្រែប្រួលទូទៅណាមួយគឺធំជាងផ្សេងទៀត។
២-៣. ស្វែងរកភាពខុសគ្នានៃគំរូ។ ដើម្បីសម្រួលការគណនា សូមបន្តទៅជម្រើសតាមលក្ខខណ្ឌ៖
u i = x i − 307, v i = y i − 304 ។
យើងនឹងរៀបចំការគណនាទាំងអស់ជាទម្រង់តារាងខាងក្រោម៖
| យូ | ម៉ែ | m i u i | m i u i ២ | m i (u i +1) ២ | v ខ្ញុំ | n ខ្ញុំ | n i v i | n i v i ២ | n i (v i +1) ២ | |
| -3 | -3 | -1 | -2 | |||||||
| å | - | |||||||||
| å | - |
ការគ្រប់គ្រង៖ å m i u i 2 + 2å m i u i + m i = Control: å n i v i 2 + 2å n i v i + n i = 13 + 2 + 9 = 24 = 34 + 20 + 13 = 67
ស្វែងរកភាពខុសគ្នានៃគំរូដែលបានកែតម្រូវ៖
4. ប្រៀបធៀបភាពខុសគ្នា។ ស្វែងរកសមាមាត្រនៃបំរែបំរួលដែលបានកែធំជាងទៅនឹងទំហំតូចជាងនេះ៖
.
5. តាមលក្ខខណ្ឌ សម្មតិកម្មដែលប្រកួតប្រជែងមានទម្រង់ s x 2 ¹ s y 2 ដូច្នេះ តំបន់សំខាន់គឺមានពីរជ្រុង ហើយនៅពេលស្វែងរកចំណុចសំខាន់ គេគួរតែយកកម្រិតសារៈសំខាន់ដែលស្មើនឹងពាក់កណ្តាលដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
យោងតាមតារាង A.1.7 ដោយកម្រិតសារៈសំខាន់ a/2 = 0.1/2 = 0.05 និងចំនួនដឺក្រេនៃសេរីភាព n 1 = n 1 − 1 = 12, n 2 = n 2 − 1 = 8 យើងរកឃើញ ចំណុចសំខាន់ F cr (0.05; 12; 8) = 3.28 ។
6. ចាប់តាំងពី F obl ។< F кр то гипотезу о равенстве дисперсий расхода сырья при старой и новой технологиях принимаем.
ខាងលើនៅពេលធ្វើតេស្តសម្មតិកម្ម វាត្រូវបានសន្មត់ថាការចែកចាយអថេរចៃដន្យដែលកំពុងសិក្សាគឺធម្មតា។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ការសិក្សាពិសេសបានបង្ហាញថា ក្បួនដោះស្រាយដែលបានស្នើឡើងមានស្ថេរភាពខ្លាំង (ជាពិសេសជាមួយនឹងទំហំគំរូធំ) ទាក់ទងនឹងគម្លាតពីការចែកចាយធម្មតា។
