2. ការកែប្រែនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss

វិធីសាស្រ្ត Gauss ជាមួយនឹងជម្រើសនៃធាតុសំខាន់។ ការកំណត់សំខាន់នៃវិធីសាស្ត្រ Gaussian គឺជាការសន្មត់ថាធាតុទាំងអស់ដែលការបែងចែកត្រូវបានធ្វើឡើងនៅជំហាននីមួយៗនៃការឆ្ពោះទៅមុខគឺមិនស្មើនឹងសូន្យទេ។ ធាតុទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថា ធាតុសំខាន់ ហើយមានទីតាំងនៅលើអង្កត់ទ្រូងសំខាន់នៃម៉ាទ្រីស A ។

ប្រសិនបើនៅជំហានមួយចំនួននៃការឆ្ពោះទៅមុខផ្លាស់ទីធាតុសំខាន់ = 0 នោះដំណោះស្រាយបន្ថែមទៀតនៃប្រព័ន្ធគឺមិនអាចទៅរួចទេ។ ប្រសិនបើធាតុសំខាន់មានតម្លៃតូចជិតសូន្យនោះការកើនឡើងយ៉ាងខ្លាំងនៃកំហុសគឺអាចធ្វើទៅបានដោយសារតែការកើនឡើងយ៉ាងខ្លាំងនៃតម្លៃដាច់ខាតនៃមេគុណដែលទទួលបានជាលទ្ធផលនៃការបែងចែក។ ក្នុងស្ថានភាពបែបនេះវិធីសាស្ត្រ Gauss មិនស្ថិតស្ថេរ។

វិធីសាស្រ្ត Gauss ជាមួយនឹងជម្រើសនៃធាតុសំខាន់អនុញ្ញាតឱ្យមិនរាប់បញ្ចូលការកើតឡើងនៃករណីបែបនេះ។

គំនិតនៅពីក្រោយវិធីសាស្រ្តនេះគឺដូចខាងក្រោម។ នៅជំហាន k-th មួយចំនួននៃការផ្លាស់ទីទៅមុខ វាមិនមែនជាអថេរ x k ដែលត្រូវបានដកចេញពីសមីការនោះទេ ប៉ុន្តែអថេរបែបនេះ មេគុណដែលធំជាងគេក្នុងតម្លៃដាច់ខាត។ នេះធានាអវត្តមាននៃការបែងចែកដោយសូន្យនិងស្ថេរភាពនៃវិធីសាស្ត្រ។

ប្រសិនបើនៅជំហាន kth ¹ ត្រូវបានជ្រើសរើសជាធាតុសំខាន់ នោះជួរដេកដែលមានលេខ k និង p និងជួរឈរដែលមានលេខ k និង q គួរតែត្រូវបានប្តូរក្នុងម៉ាទ្រីស A¢។

ការផ្លាស់ប្តូរជួរដេកមិនប៉ះពាល់ដល់ដំណោះស្រាយទេព្រោះវាត្រូវគ្នាទៅនឹងការផ្លាស់ប្តូរសមីការនៅក្នុងប្រព័ន្ធ ប៉ុន្តែការផ្លាស់ប្តូរជួរឈរមានន័យថាការផ្លាស់ប្តូរលេខរៀងនៃអថេរ។ ដូច្នេះ ព័ត៌មានអំពីជួរឈរដែលបានអនុញ្ញាតទាំងអស់ត្រូវតែរក្សាទុក ដូច្នេះបន្ទាប់ពីបញ្ចប់ការផ្លាស់ទីបញ្ច្រាស លេខរៀងដើមនៃអថេរអាចត្រូវបានស្ដារឡើងវិញ។

មានការកែប្រែសាមញ្ញចំនួនពីរនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss៖

ជាមួយនឹងជម្រើសនៃធាតុសំខាន់ដោយជួរឈរ;

ជាមួយនឹងជម្រើសនៃធាតុសំខាន់ដោយបន្ទាត់។

ក្នុងករណីដំបូង ធាតុធំបំផុតនៃជួរ kth (ក្នុងចំណោមធាតុ , i = ) ត្រូវបានជ្រើសរើសជាធាតុសំខាន់។ នៅក្នុងទីពីរ - ធាតុតម្លៃដាច់ខាតធំបំផុតនៃជួរឈរ k-th (ក្នុងចំណោមធាតុ , i = ) ។ វិធីសាស្រ្តទីមួយគឺរីករាលដាលបំផុត ចាប់តាំងពីលេខរៀងនៃអថេរមិនផ្លាស់ប្តូរនៅទីនេះ។

វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាការកែប្រែដែលបានចង្អុលបង្ហាញទាក់ទងនឹងវគ្គសិក្សាផ្ទាល់នៃវិធីសាស្ត្រ Gaussian ប៉ុណ្ណោះ។ ការផ្លាស់ទីបញ្ច្រាសត្រូវបានអនុវត្តដោយគ្មានការផ្លាស់ប្តូរប៉ុន្តែបន្ទាប់ពីទទួលបានដំណោះស្រាយវាអាចចាំបាច់ដើម្បីស្ដារលេខដើមនៃអថេរ។

ការបំផ្លាញ LU ។ នៅក្នុងកម្មវិធីកុំព្យូទ័រទំនើប វិធីសាស្ត្រ Gaussian ត្រូវបានអនុវត្តដោយប្រើ LU-decomposition ដែលត្រូវបានយល់ថាជាតំណាងនៃម៉ាទ្រីសមេគុណ A ជាផលិតផល A = LU នៃម៉ាទ្រីសពីរ L និង U ដែល L ជាម៉ាទ្រីសត្រីកោណទាប U គឺ ម៉ាទ្រីសត្រីកោណខាងលើ

ប្រសិនបើ LU-decomposition ត្រូវបានទទួល នោះដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធដើមនៃសមីការ (2) ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាដំណោះស្រាយបន្តបន្ទាប់នៃប្រព័ន្ធពីរខាងក្រោមនៃសមីការជាមួយនឹងម៉ាទ្រីសមេគុណត្រីកោណ

លេខសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ

ដែល Y = - វ៉ិចទ័រនៃអថេរជំនួយ។

វិធីសាស្រ្តនេះធ្វើឱ្យវាអាចដោះស្រាយម្តងហើយម្តងទៀតនូវប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរជាមួយផ្នែកខាងស្តាំផ្សេងគ្នា B. ក្នុងករណីនេះផ្នែកដែលប្រើពេលវេលាច្រើនបំផុត (LU-decomposition នៃម៉ាទ្រីស A) ត្រូវបានអនុវត្តតែម្តងប៉ុណ្ណោះ។ នីតិវិធីនេះត្រូវគ្នាទៅនឹងវិធីសាស្ត្រ Gaussian ផ្ទាល់ ហើយមានការប៉ាន់ប្រមាណបញ្ចូលកម្លាំងពលកម្ម O(n 3)។ ដំណោះស្រាយបន្ថែមទៀតនៃប្រព័ន្ធសមីការ (6) និង (7) អាចត្រូវបានអនុវត្តម្តងហើយម្តងទៀត (សម្រាប់ B ផ្សេងគ្នា) ហើយដំណោះស្រាយនៃពួកវានីមួយៗត្រូវគ្នាទៅនឹងការរត់បញ្ច្រាសនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss និងមានការប៉ាន់ប្រមាណនៃភាពស្មុគស្មាញនៃការគណនា O (n 2) ។

ដើម្បីទទួលបានការបំបែក LU អ្នកអាចប្រើក្បួនដោះស្រាយខាងក្រោម។

1. សម្រាប់ប្រព័ន្ធដើម (1) អនុវត្តវិធីសាស្រ្ត Gauss ដោយផ្ទាល់ និងទទួលបានប្រព័ន្ធនៃសមីការត្រីកោណ (5) ។

2. កំណត់ធាតុនៃម៉ាទ្រីស U តាមក្បួន

u ij = C ij (i = ; j = )

3. គណនាធាតុនៃម៉ាទ្រីស L តាមច្បាប់

រូបមន្តគណនាសម្រាប់ប្រព័ន្ធដោះស្រាយ (៦) មានដូចខាងក្រោម៖

y 1 \u003d b 1 / l 11;

រូបមន្តគណនាសម្រាប់ប្រព័ន្ធដោះស្រាយ (7)

(i = n − 1, n − 2, ... , 1)។

ទន្ទឹមនឹងនេះ ការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺជាដំណើរការដ៏លំបាកមួយ ហើយការសរសេរកម្មវិធីរបស់វាស្ទើរតែមិនអាចហៅថាជាកិច្ចការបឋមបានទេ។ ដូច្នេះនៅក្នុងការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តលេខសម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរត្រូវបានគេប្រើញឹកញាប់ជាង។ វិធីសាស្រ្តជាលេខសម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែររួមមានដូចជា៖ វិធីសាស្ត្រ Gauss វិធីសាស្ត្រ Cramer វិធីសាស្ត្រដដែលៗ។ ឧទាហរណ៍នៅក្នុងវិធីសាស្ត្រ Gauss មួយធ្វើការលើ...

35437 x4=0.58554 5 x1=1.3179137 x2=-1.59467 x3=0.35371 x4=0.58462 6 x1=1.3181515 x2=-1.59506 x3=0.35371 x4=0.58462 6 x1=1.3181515 x2=-1.59506 x3=0.350xi8 xe4 អនុគមន៍ a, អនុគមន៍ a នោះ = 0.3504555 អាចខុសគ្នាចំនួនដងគ្រប់គ្រាន់។ ...

នៅក្នុង Turbo Pascal 7.0 សម្រាប់ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ ដោយប្រើវិធីសាស្រ្ដសាមញ្ញ។ 1.2 រូបមន្តគណិតវិទ្យានៃបញ្ហា អនុញ្ញាតឱ្យ A ជាម៉ាទ្រីសមិនឯកវចនៈ ហើយយើងត្រូវដោះស្រាយប្រព័ន្ធដែលធាតុអង្កត់ទ្រូងនៃម៉ាទ្រីស A មិនសូន្យ។ 1.3 ទិដ្ឋភាពទូទៅនៃវិធីសាស្រ្តលេខដែលមានស្រាប់សម្រាប់ដោះស្រាយបញ្ហា Gauss method ក្នុង Gauss method ម៉ាទ្រីស SLAE ដោយប្រើសមមូល...

លេខ)។ លើសពីនេះ យោងតាមរូបមន្ត (2), xn-1, xn-2,…, x1 ត្រូវបានរកឃើញជាបន្តបន្ទាប់សម្រាប់ i=n-1, n-2,…,1 រៀងគ្នា។ ដូច្នេះ ដំណោះស្រាយនៃសមីការនៃទម្រង់ (1) ត្រូវបានពិពណ៌នាដោយវិធីសាស្ត្រមួយហៅថា sweep method ដែលត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការគណនាដោយប្រើរូបមន្តសាមញ្ញចំនួនបី៖ ការស្វែងរកអ្វីដែលគេហៅថា sweep coefficients δi, λi ដោយប្រើរូបមន្ត (3) for i= 1,2,…,n (ការបោសសំអាតដោយផ្ទាល់) ហើយបន្ទាប់មកមិនស្គាល់ xi ដោយ...

(SLAE) ដែលមានសមីការដែលមិនស្គាល់៖

វាត្រូវបានសន្មត់ថាមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ចំពោះប្រព័ន្ធពោលគឺឧ។

អត្ថបទនេះនឹងពិចារណាពីមូលហេតុនៃកំហុសដែលកើតឡើងក្នុងអំឡុងពេលដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss វិធីដើម្បីកំណត់អត្តសញ្ញាណ និងលុបបំបាត់ (កាត់បន្ថយ) កំហុសនេះ។

ការពិពណ៌នាអំពីវិធីសាស្រ្ត

ដំណើរការនៃការដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ

យោងតាមវិធីសាស្ត្រ Gauss មាន 2 ដំណាក់កាល:

1. យើងសន្មត់ថា . បន្ទាប់មកយើងបែងចែកសមីការទីមួយនៃប្រព័ន្ធដោយមេគុណ ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានសមីការ។ បន្ទាប់មក ពីសមីការដែលនៅសល់នីមួយៗ ទីមួយត្រូវបានដក គុណនឹងមេគុណសមស្រប។ ជាលទ្ធផល ប្រព័ន្ធត្រូវបានបំប្លែងទៅជាទម្រង់៖ 2. សន្មត់ថា យើងបែងចែកសមីការទីពីរដោយមេគុណ ហើយដកចេញមិនស្គាល់ពីសមីការបន្តបន្ទាប់ទាំងអស់។ល។ 3. យើងទទួលបានប្រព័ន្ធសមីការជាមួយម៉ាទ្រីសត្រីកោណ៖

• ថយក្រោយ ការកំណត់ដោយផ្ទាល់នៃមិនស្គាល់

1. ពីសមីការ th នៃប្រព័ន្ធយើងកំណត់ 2. ពី th - យើងកំណត់។ល។

វិធីសាស្រ្តវិភាគ

វិធីសាស្រ្តនេះជាកម្មសិទ្ធិរបស់ថ្នាក់នៃវិធីសាស្រ្តផ្ទាល់សម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ ដែលមានន័យថាដំណោះស្រាយពិតប្រាកដអាចទទួលបានក្នុងចំនួនកំណត់នៃជំហាន ដោយផ្តល់ថាទិន្នន័យបញ្ចូល (ម៉ាទ្រីស និងផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ - ) គឺ បានបញ្ជាក់យ៉ាងពិតប្រាកដ ហើយការគណនាត្រូវបានអនុវត្តដោយគ្មានការបង្គត់។ ដើម្បីទទួលបានដំណោះស្រាយ គុណ និងការបែងចែកត្រូវបានទាមទារ នោះគឺជាលំដាប់នៃប្រតិបត្តិការ។

លក្ខខណ្ឌដែលវិធីសាស្ត្របង្កើតដំណោះស្រាយពិតប្រាកដគឺមិនអាចធ្វើទៅបានក្នុងការអនុវត្តទេ ទាំងកំហុសទិន្នន័យបញ្ចូល និងកំហុសបង្គត់គឺជៀសមិនរួច។ បន្ទាប់មកសំណួរកើតឡើង៖ តើដំណោះស្រាយអាចទទួលបានភាពត្រឹមត្រូវប៉ុណ្ណាដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss តើវិធីសាស្ត្រត្រឹមត្រូវប៉ុណ្ណា? អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់ស្ថេរភាពនៃដំណោះស្រាយដោយគោរពតាមប៉ារ៉ាម៉ែត្របញ្ចូល។ រួមជាមួយនឹងប្រព័ន្ធដើម សូមពិចារណាប្រព័ន្ធដែលរំខាន៖

សូមឱ្យបទដ្ឋានមួយចំនួនត្រូវបានណែនាំ។ - ត្រូវបានគេហៅថាលេខលក្ខខណ្ឌនៃម៉ាទ្រីស។

៣ ករណីអាចធ្វើទៅបាន៖

លេខលក្ខខណ្ឌម៉ាទ្រីសគឺតែងតែ។ ប្រសិនបើវាធំ () នោះម៉ាទ្រីសត្រូវបានគេនិយាយថាមិនមានលក្ខខណ្ឌ។ ក្នុងករណីនេះ ការរំខានតិចតួចនៃផ្នែកខាងស្តាំនៃប្រព័ន្ធ បណ្តាលមកពីភាពមិនត្រឹមត្រូវក្នុងការកំណត់ទិន្នន័យដំបូង ឬបណ្តាលមកពីកំហុសក្នុងការគណនា ប៉ះពាល់យ៉ាងខ្លាំងដល់ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធ។ និយាយ​ឲ្យ​ចំ​បើ​មាន​កំហុស​ខាង​ស្តាំ​ដៃ នោះ​កំហុស​នៃ​ដំណោះ​ស្រាយ​នឹង​មាន។

ចូរយើងបង្ហាញលទ្ធផលដែលទទួលបាននៅលើឧទាហរណ៍ជាលេខខាងក្រោម៖ ផ្តល់ប្រព័ន្ធ

នាងមានដំណោះស្រាយ។

ឥឡូវពិចារណាប្រព័ន្ធរំខាន៖

ដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធបែបនេះគឺវ៉ិចទ័រ។

ជាមួយនឹងការរំខានតិចតួចនៃផ្នែកខាងស្តាំ យើងបានទទួលការរំខានដ៏ធំមិនសមាមាត្រនៃដំណោះស្រាយ។ "ភាពមិនគួរឱ្យទុកចិត្ត" នៃដំណោះស្រាយនេះអាចត្រូវបានពន្យល់ដោយការពិតដែលថាម៉ាទ្រីសគឺស្ទើរតែ degenerate: បន្ទាត់ដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងសមីការទាំងពីរស្ទើរតែស្របគ្នាដូចដែលអាចមើលឃើញនៅក្នុងក្រាហ្វ:

លទ្ធផលបែបនេះអាចត្រូវបានរំពឹងទុកដោយសារតែលក្ខខណ្ឌមិនល្អនៃម៉ាទ្រីស៖

ការគណនាគឺស្មុគស្មាញណាស់ ប្រៀបធៀបទៅនឹងដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធទាំងមូល ដូច្នេះដើម្បីប៉ាន់ប្រមាណកំហុស វិធីសាស្ត្ររដុបជាង ប៉ុន្តែងាយស្រួលអនុវត្តត្រូវបានប្រើ។

វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ការប៉ាន់ប្រមាណកំហុស

1) បូកសរុប៖ ជាធម្មតាត្រូវបានប្រើដើម្បីការពារកំហុសចៃដន្យនៅក្នុងដំណើរការគណនាដោយគ្មានជំនួយពីកុំព្យូទ័រ។

យើងបង្កើតជួរឈរត្រួតពិនិត្យ រួមមានធាតុត្រួតពិនិត្យនៃប្រព័ន្ធ៖

នៅពេលបំលែងសមីការ ប្រតិបត្តិការដូចគ្នាត្រូវបានអនុវត្តលើធាតុវត្ថុបញ្ជា ដូចជានៅលើសមាជិកសេរីនៃសមីការ។ ជាលទ្ធផល ធាតុគ្រប់គ្រងនៃសមីការថ្មីនីមួយៗត្រូវតែស្មើនឹងផលបូកនៃមេគុណនៃសមីការនេះ។ ភាពខុសគ្នាដ៏ធំរវាងពួកវាបង្ហាញពីកំហុសក្នុងការគណនា ឬអស្ថិរភាពនៃក្បួនដោះស្រាយការគណនាទាក់ទងនឹងកំហុសក្នុងការគណនា។

2) កំហុសទាក់ទងនៃដំណោះស្រាយដែលគេស្គាល់ អនុញ្ញាតឱ្យដោយគ្មានការចំណាយបន្ថែមសំខាន់ៗ ដើម្បីទទួលបានការវិនិច្ឆ័យអំពីកំហុសនៃដំណោះស្រាយ។

វ៉ិចទ័រជាក់លាក់មួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយសមាសធាតុដែលមាន បើអាចធ្វើបាន លំដាប់ដូចគ្នា និងសញ្ញាជាធាតុផ្សំនៃដំណោះស្រាយដែលចង់បាន។ វ៉ិចទ័រត្រូវបានគណនា ហើយរួមជាមួយនឹងប្រព័ន្ធដើមនៃសមីការ ប្រព័ន្ធត្រូវបានដោះស្រាយ។

អនុញ្ញាតឱ្យនិងទទួលបានដំណោះស្រាយពិតប្រាកដនៃប្រព័ន្ធទាំងនេះ។ ការវិនិច្ឆ័យលើកំហុសនៃដំណោះស្រាយដែលចង់បានអាចទទួលបានដោយផ្អែកលើសម្មតិកម្ម៖ កំហុសទាក់ទងគ្នាក្នុងការដោះស្រាយដោយវិធីសាស្ត្រលុបបំបាត់ប្រព័ន្ធដែលមានម៉ាទ្រីសដូចគ្នា និងផ្នែកខាងស្តាំខុសគ្នា ដែលរៀងគ្នាតម្លៃ និងខុសគ្នា។ មិនមែនដោយចំនួនច្រើនដងទេ។

3) ការពង្រីកឡើងវិញ - បច្ចេកទេសប្រើដើម្បីទទួលបានគំនិតនៃតម្លៃពិតនៃកំហុសដែលកើតឡើងដោយសារតែការបង្គត់ចេញក្នុងការគណនា។

រួមជាមួយនឹងប្រព័ន្ធដើម ប្រព័ន្ធត្រូវបានដោះស្រាយដោយវិធីដូចគ្នា។

ដែលជាកន្លែងដែលនិងជាលេខ

ប្រសិនបើមិនមានកំហុសបង្គត់ទេ នោះសមភាពនឹងរក្សាសម្រាប់ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធដើម និងមាត្រដ្ឋាន៖ . ដូច្នេះហើយ សម្រាប់ និង ដែលមិនមែនជាអំណាចនៃពីរ ការប្រៀបធៀបនៃវ៉ិចទ័រ និងផ្តល់គំនិតអំពីទំហំនៃកំហុសក្នុងការគណនា

ការកែលម្អការលុបបំបាត់ Gaussian

ការកែប្រែនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss ដែលបានពិចារណាខាងក្រោមធ្វើឱ្យវាអាចកាត់បន្ថយកំហុសនៃលទ្ធផល។

ការជ្រើសរើសធាតុសំខាន់

ការកើនឡើងចម្បងនៃកំហុសនៅក្នុងវិធីសាស្រ្តកើតឡើងក្នុងអំឡុងពេលផ្លាស់ទីទៅមុខ នៅពេលដែលជួរនាំមុខត្រូវបានគុណដោយមេគុណ។ ប្រសិនបើមេគុណគឺ 1%20" alt=">1"> នោះកំហុសដែលទទួលបានក្នុងជំហានមុនគឺ បានបង្គរ។ Gaussian ជាមួយនឹងជម្រើសធាតុសំខាន់ នៅជំហាននីមួយៗ ជម្រើសនៃធាតុអតិបរមាដោយជួរឈរត្រូវបានបន្ថែមទៅគ្រោងការណ៍ធម្មតាដូចខាងក្រោម៖

អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធសមីការខាងក្រោមទទួលបានក្នុងវគ្គនៃការលុបបំបាត់មិនស្គាល់៖

, .

ស្វែងរកបែបនោះ ហើយប្តូរសមីការ -th និង -th ។

ការផ្លាស់ប្តូរបែបនេះនៅក្នុងករណីជាច្រើនកាត់បន្ថយយ៉ាងសំខាន់នូវភាពប្រែប្រួលនៃដំណោះស្រាយចំពោះកំហុសឆ្គងក្នុងការគណនា។

ការកែលម្អលទ្ធផលដដែលៗ

ប្រសិនបើមានការសង្ស័យថាដំណោះស្រាយដែលទទួលបានត្រូវបានបង្ខូចទ្រង់ទ្រាយយ៉ាងខ្លាំងនោះលទ្ធផលអាចត្រូវបានកែលម្អដូចខាងក្រោម។ បរិមាណត្រូវបានគេហៅថាសំណល់។ កំហុសបំពេញប្រព័ន្ធសមីការ

.

ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនេះ យើងទទួលបានប្រហាក់ប្រហែល និងកំណត់

.

ប្រសិនបើភាពត្រឹមត្រូវនៃការប៉ាន់ស្មាននេះគឺមិនពេញចិត្ត នោះយើងធ្វើប្រតិបត្តិការនេះម្តងទៀត។

ដំណើរការអាចត្រូវបានបន្តរហូតដល់សមាសធាតុទាំងអស់តូចល្មម។ ក្នុងករណីនេះ ការគណនាមិនអាចបញ្ឈប់បានទេ ដោយសារសមាសធាតុទាំងអស់នៃវ៉ិចទ័រសំណល់បានក្លាយទៅជាតូចគ្រប់គ្រាន់៖ នេះអាចជាលទ្ធផលនៃលក្ខខណ្ឌមិនល្អនៃម៉ាទ្រីសមេគុណ។

ឧទាហរណ៍លេខ

ពិចារណាឧទាហរណ៍ម៉ាទ្រីស Vandermonde 7x7 និងផ្នែកខាងស្តាំ 2 ផ្សេងគ្នា៖

ប្រព័ន្ធទាំងនេះត្រូវបានដោះស្រាយតាមពីរវិធី។ ប្រភេទទិន្នន័យគឺអណ្តែត។ ជាលទ្ធផល យើងទទួលបានលទ្ធផលដូចខាងក្រោម៖

វិធីសាស្រ្តសាមញ្ញ
1		2
1	2	1	2
0.999991	1	0.999996	1
1.00019	1	7.4774e-005	២.៣៣e-០០៨
0.998404	1	0.999375	1
1.00667	1	0.00263727	១.១២e-០០៦
0.985328	1	0.994149	1
1.01588	1	0.00637817	៣.២៧e-០០៦
0.993538	1	0.99739	1
0,045479	2.9826e-006	0,01818	៨.៨៣៦២e-០០៦
0,006497	៤.២៦០៨e-០០៧	0,0045451	២.២០៩e-០០៦
0,040152	៤.៣៤៤e-០០៥	0,083938	2.8654e-006

ជាមួយនឹងជម្រើសនៃធាតុនាំមុខដោយបន្ទាត់
1		2
1	2	1	2
1	1	1	1
1	1	-3.57628e-005	1.836e-007
1.00001	1	1.00031	1
0.999942	1	-0.00133276	៧.១៦e-០០៦
1.00005	1	1.00302	0,99998
1.00009	1	-0.0033505	1.8e-005
0.99991	1	1.00139	0,99999
0,000298	4.3835e-007	0,009439	5.0683e-005
4.2571e-005	6.2622e-008	0,0023542	1.2671e-005
0,010622	9.8016e-007	0,29402	1.4768e-006

វិធីសាមញ្ញបំផុតមួយដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ គឺជាវិធីសាស្ត្រដែលផ្អែកលើការគណនាកត្តាកំណត់ ( ក្បួនរបស់ Cramer) អត្ថប្រយោជន៍របស់វាគឺថាវាអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកកត់ត្រាដំណោះស្រាយភ្លាមៗវាងាយស្រួលជាពិសេសក្នុងករណីដែលមេគុណនៃប្រព័ន្ធមិនមែនជាលេខប៉ុន្តែប្រភេទនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រមួយចំនួន។ គុណវិបត្តិរបស់វាគឺភាពលំបាកនៃការគណនានៅក្នុងករណីនៃសមីការមួយចំនួនធំ លើសពីនេះច្បាប់របស់ Cramer មិនអាចអនុវត្តដោយផ្ទាល់ចំពោះប្រព័ន្ធដែលចំនួនសមីការមិនស្របគ្នាជាមួយនឹងចំនួនមិនស្គាល់។ ក្នុងករណីបែបនេះវាត្រូវបានគេប្រើជាធម្មតា វិធីសាស្រ្ត Gauss.

ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានសំណុំដូចគ្នានៃដំណោះស្រាយត្រូវបានគេហៅថា សមមូល. វាច្បាស់ណាស់ថាសំណុំនៃដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធលីនេអ៊ែរនឹងមិនផ្លាស់ប្តូរទេ ប្រសិនបើសមីការណាមួយត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរ ឬប្រសិនបើសមីការណាមួយត្រូវបានគុណដោយចំនួនដែលមិនមែនជាសូន្យមួយចំនួន ឬប្រសិនបើសមីការមួយត្រូវបានបន្ថែមទៅមួយទៀត។

វិធីសាស្រ្ត Gauss (វិធីសាស្រ្តនៃការលុបបំបាត់ជាបន្តបន្ទាប់នៃមិនស្គាល់) ស្ថិតនៅក្នុងការពិតដែលថា ដោយមានជំនួយពីការបំប្លែងបឋម ប្រព័ន្ធត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាប្រព័ន្ធមួយជំហានដែលសមមូល។ ទីមួយដោយមានជំនួយពីសមីការទី 1 ។ x 1 នៃសមីការជាបន្តបន្ទាប់ទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធ។ បន្ទាប់មកដោយប្រើសមីការទី 2 យើងលុបបំបាត់ x 2 នៃសមីការទី 3 និងសមីការបន្តបន្ទាប់ទាំងអស់។ ដំណើរការនេះហៅថា វិធីសាស្ត្រ Gauss ផ្ទាល់បន្តរហូតដល់នៅសល់តែមិនស្គាល់មួយនៅខាងឆ្វេងនៃសមីការចុងក្រោយ x ន. បន្ទាប់ពីនោះវាត្រូវបានបង្កើតឡើង Gaussian បញ្ច្រាស- ការដោះស្រាយសមីការចុងក្រោយយើងរកឃើញ x ន; បន្ទាប់ពីនោះដោយប្រើតម្លៃនេះពីសមីការចុងក្រោយដែលយើងគណនា x ន-១ ល។ ចុងក្រោយយើងរកឃើញ x 1 ពីសមីការទីមួយ។

វាងាយស្រួលក្នុងការអនុវត្តការបំប្លែង Gaussian ដោយអនុវត្តការបំប្លែងមិនមែនជាមួយនឹងសមីការខ្លួនឯងទេ ប៉ុន្តែជាមួយនឹងម៉ាទ្រីសនៃមេគុណរបស់វា។ ពិចារណាម៉ាទ្រីស៖

ហៅ ប្រព័ន្ធម៉ាទ្រីសពង្រីក,ដោយសារតែបន្ថែមលើម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធ វារួមបញ្ចូលជួរឈរនៃសមាជិកឥតគិតថ្លៃ។ វិធីសាស្ត្រ Gauss គឺផ្អែកលើការនាំយកម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធទៅជាទម្រង់ត្រីកោណ (ឬទម្រង់ trapezoidal ក្នុងករណីប្រព័ន្ធមិនការ៉េ) ដោយប្រើការបំប្លែងជួរដេកបឋម (!) នៃម៉ាទ្រីសពង្រីកនៃប្រព័ន្ធ។

ឧទាហរណ៍ 5.1 ។ដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss៖

ដំណោះស្រាយ. ចូរយើងសរសេរម៉ាទ្រីសដែលបានបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ ហើយដោយប្រើជួរទីមួយ បន្ទាប់ពីនោះយើងនឹងកំណត់ធាតុដែលនៅសល់ទៅជាសូន្យ៖

យើងទទួលបានសូន្យនៅជួរទី 2 ទី 3 និងទី 4 នៃជួរទីមួយ៖

ឥឡូវនេះយើងត្រូវការធាតុទាំងអស់នៅក្នុងជួរទីពីរខាងក្រោមជួរទី 2 ដើម្បីស្មើនឹងសូន្យ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះអ្នកអាចគុណជួរទីពីរដោយ -4/7 ហើយបន្ថែមទៅជួរទី 3 ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ដើម្បីកុំឱ្យដោះស្រាយជាមួយប្រភាគ យើងនឹងបង្កើតឯកតាមួយនៅជួរទី 2 នៃជួរទីពីរ ហើយមានតែ

ឥឡូវនេះ ដើម្បីទទួលបានម៉ាទ្រីសរាងត្រីកោណ អ្នកត្រូវដកធាតុនៃជួរទី 4 នៃជួរទី 3 ចេញ សម្រាប់ការនេះ អ្នកអាចគុណជួរទីបីដោយ 8/54 ហើយបន្ថែមវាទៅទីបួន។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ដើម្បីមិនដោះស្រាយជាមួយប្រភាគ យើងនឹងប្តូរជួរទី 3 និងទី 4 និងជួរទី 3 និងទី 4 ហើយមានតែបន្ទាប់ពីនោះយើងនឹងកំណត់ធាតុដែលបានបញ្ជាក់ឡើងវិញ។ ចំណាំថានៅពេលដែលជួរឈរត្រូវបានរៀបចំឡើងវិញ អថេរដែលត្រូវគ្នាត្រូវបានប្តូរ ហើយនេះត្រូវតែចងចាំ។ ការបំប្លែងបឋមផ្សេងទៀតជាមួយជួរឈរ (ការបន្ថែម និងគុណដោយលេខ) មិនអាចអនុវត្តបានទេ!

ម៉ាទ្រីសសាមញ្ញចុងក្រោយត្រូវគ្នាទៅនឹងប្រព័ន្ធនៃសមីការដែលស្មើនឹងគំរូដើម៖

ពីទីនេះដោយប្រើវគ្គសិក្សាបញ្ច្រាសនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss យើងរកឃើញពីសមីការទីបួន x 3 = -1; ពីទីបី x 4 = -2, ពីទីពីរ x 2 = 2 និងពីសមីការទីមួយ x 1 = 1. ក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីស ចម្លើយត្រូវបានសរសេរជា

យើងបានពិចារណាករណីនៅពេលដែលប្រព័ន្ធគឺច្បាស់លាស់, i.e. នៅពេលដែលមានដំណោះស្រាយតែមួយ។ តោះមើលថាតើមានអ្វីកើតឡើងប្រសិនបើប្រព័ន្ធមិនស្របគ្នាឬមិនកំណត់។

ឧទាហរណ៍ 5.2 ។រុករកប្រព័ន្ធដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gaussian៖

ដំណោះស្រាយ. យើងសរសេរចេញ និងបំប្លែងម៉ាទ្រីសដែលបានបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ

យើងសរសេរប្រព័ន្ធសមីការសាមញ្ញ៖

នៅទីនេះក្នុងសមីការចុងក្រោយ វាបានប្រែក្លាយថា 0=4, i.e. ភាពផ្ទុយគ្នា។ ដូច្នេះប្រព័ន្ធមិនមានដំណោះស្រាយទេ i.e. នាង​គឺ មិនឆបគ្នា។. à

ឧទាហរណ៍ 5.3 ។ស្វែងយល់ និងដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gaussian៖

ដំណោះស្រាយ. យើងសរសេរចេញ និងបំប្លែងម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ៖

ជាលទ្ធផលនៃការផ្លាស់ប្តូរ មានតែលេខសូន្យប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានទទួលនៅក្នុងជួរចុងក្រោយ។ នេះមានន័យថាចំនួនសមីការបានថយចុះមួយ៖

ដូច្នេះ បន្ទាប់ពីការធ្វើឱ្យសាមញ្ញ សមីការពីរនៅតែមាន និងមិនស្គាល់ចំនួនបួន ពោលគឺឧ។ "បន្ថែម" មិនស្គាល់ពីរ។ អនុញ្ញាតឱ្យ "ហួសហេតុ" ឬដូចដែលពួកគេនិយាយ។ អថេរឥតគិតថ្លៃ, នឹង x 3 និង xបួន . បន្ទាប់មក

សន្មត់ x 3 = 2កនិង x 4 = ខ, យើង​ទទួល​បាន x 2 = 1–កនិង x 1 = 2ខ–ក; ឬក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីស

ដំណោះស្រាយដែលសរសេរតាមរបៀបនេះត្រូវបានគេហៅថា ទូទៅចាប់តាំងពីដោយផ្តល់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ កនិង ខតម្លៃខុសគ្នា វាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីពិពណ៌នាដំណោះស្រាយដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធ។ ក

វិធីសាស្ត្រ Gauss ដែលត្រូវបានគេហៅថាវិធីសាស្រ្តនៃការលុបបំបាត់ជាបន្តបន្ទាប់នៃមិនស្គាល់មាននៅក្នុងដូចខាងក្រោម។ ដោយប្រើការបំប្លែងបឋម ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរត្រូវបាននាំមកជាទម្រង់មួយដែលម៉ាទ្រីសនៃមេគុណរបស់វាប្រែជា trapezoidal (ដូច​ជា​ត្រីកោណ​ឬ​ជំហាន​) ឬជិតទៅនឹង trapezoidal (ដំណើរផ្ទាល់នៃវិធីសាស្ត្រ Gauss បន្ទាប់មក - គ្រាន់តែជាចលនាដោយផ្ទាល់) ។ ឧទាហរណ៍នៃប្រព័ន្ធបែបនេះនិងដំណោះស្រាយរបស់វាត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងរូបភាពខាងលើ។

នៅក្នុងប្រព័ន្ធបែបនេះ សមីការចុងក្រោយមានអថេរតែមួយគត់ ហើយតម្លៃរបស់វាអាចត្រូវបានរកឃើញតែមួយគត់។ បន្ទាប់មកតម្លៃនៃអថេរនេះត្រូវបានជំនួសទៅក្នុងសមីការមុន ( Gaussian បញ្ច្រាស បន្ទាប់មក - គ្រាន់តែជាចលនាបញ្ច្រាស) ដែលអថេរមុនត្រូវបានរកឃើញ ហើយដូច្នេះនៅលើ។

នៅក្នុងប្រព័ន្ធ trapezoidal (ត្រីកោណ) ដូចដែលយើងឃើញ សមីការទីបីលែងមានអថេរទៀតហើយ yនិង xនិងសមីការទីពីរ - អថេរ x .

បន្ទាប់ពីម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធបានយករូបរាង trapezoidal វាលែងពិបាកក្នុងការតម្រៀបសំណួរនៃភាពឆបគ្នានៃប្រព័ន្ធកំណត់ចំនួនដំណោះស្រាយនិងស្វែងរកដំណោះស្រាយដោយខ្លួនឯង។

គុណសម្បត្តិនៃវិធីសាស្ត្រ៖

1. នៅពេលដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានសមីការច្រើនជាងបី និងមិនស្គាល់ វិធីសាស្ត្រ Gauss មិនស្មុគស្មាញដូចវិធីសាស្ត្រ Cramer ទេ ដោយសារការគណនាតិចជាងត្រូវបានទាមទារនៅពេលដោះស្រាយវិធីសាស្ត្រ Gauss ។
2. ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss អ្នកអាចដោះស្រាយប្រព័ន្ធមិនកំណត់នៃសមីការលីនេអ៊ែរ ពោលគឺមានដំណោះស្រាយរួមមួយ (ហើយយើងនឹងវិភាគពួកវានៅក្នុងមេរៀននេះ) ហើយដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Cramer អ្នកអាចបញ្ជាក់បានថាប្រព័ន្ធមិនប្រាកដប្រជា។
3. អ្នកអាចដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ ដែលចំនួនមិនស្គាល់មិនស្មើនឹងចំនួនសមីការ (យើងក៏នឹងវិភាគពួកវានៅក្នុងមេរៀននេះផងដែរ);
4. វិធីសាស្រ្តគឺផ្អែកលើវិធីសាស្រ្តបឋម (សាលា) - វិធីសាស្រ្តនៃការជំនួសនៃមិនស្គាល់និងវិធីសាស្រ្តនៃការបន្ថែមសមីការដែលយើងបានប៉ះនៅក្នុងអត្ថបទដែលត្រូវគ្នា។

ដើម្បីឱ្យមនុស្សគ្រប់គ្នាមានភាពស្រើបស្រាលជាមួយនឹងភាពសាមញ្ញដែលប្រព័ន្ធ trapezoidal (ត្រីកោណ ជំហាន) នៃសមីការលីនេអ៊ែរត្រូវបានដោះស្រាយ យើងបង្ហាញដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធបែបនេះដោយប្រើការដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាលបញ្ច្រាស។ ដំណោះស្រាយរហ័សចំពោះប្រព័ន្ធនេះត្រូវបានបង្ហាញក្នុងរូបភាពនៅដើមមេរៀន។

ឧទាហរណ៍ ១ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរដោយប្រើចលនាបញ្ច្រាស៖

ដំណោះស្រាយ។ នៅក្នុងប្រព័ន្ធ trapezoidal នេះអថេរ zត្រូវបានរកឃើញដោយឡែកពីសមីការទីបី។ យើងជំនួសតម្លៃរបស់វាទៅក្នុងសមីការទីពីរ ហើយទទួលបានតម្លៃនៃអថេរ y:

ឥឡូវនេះយើងដឹងពីតម្លៃនៃអថេរពីរ - zនិង y. យើងជំនួសពួកវាទៅក្នុងសមីការទីមួយ ហើយទទួលបានតម្លៃនៃអថេរ x:

ពីជំហានមុន យើងសរសេរដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធសមីការ៖

ដើម្បីទទួលបានប្រព័ន្ធ trapezoidal នៃសមីការលីនេអ៊ែរ ដែលយើងដោះស្រាយយ៉ាងសាមញ្ញ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីអនុវត្តចលនាផ្ទាល់ដែលទាក់ទងនឹងការបំប្លែងបឋមនៃប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ។ វាក៏មិនពិបាកខ្លាំងដែរ។

ការបំប្លែងបឋមនៃប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ

ការធ្វើម្តងទៀតនូវវិធីសាស្រ្តសាលានៃការបន្ថែមពិជគណិតនៃសមីការនៃប្រព័ន្ធ យើងបានរកឃើញថាសមីការមួយផ្សេងទៀតនៃប្រព័ន្ធអាចត្រូវបានបន្ថែមទៅសមីការមួយនៃប្រព័ន្ធ ហើយសមីការនីមួយៗអាចត្រូវបានគុណដោយលេខមួយចំនួន។ ជាលទ្ធផល យើងទទួលបានប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលស្មើនឹងតម្លៃដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ នៅក្នុងនោះ សមីការមួយមានអថេរតែមួយរួចហើយ ដោយជំនួសតម្លៃដែលចូលទៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត យើងមករកដំណោះស្រាយ។ ការបន្ថែមបែបនេះគឺជាប្រភេទនៃការផ្លាស់ប្តូរបឋមនៃប្រព័ន្ធ។ នៅពេលប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss យើងអាចប្រើការបំប្លែងប្រភេទជាច្រើន។

គំនូរជីវចលខាងលើបង្ហាញពីរបៀបដែលប្រព័ន្ធនៃសមីការប្រែទៅជាបណ្តើរ ៗ ទៅជា trapezoidal ។ នោះគឺមួយដែលអ្នកបានឃើញនៅគំនូរជីវចលដំបូងបំផុត ហើយធ្វើឱ្យប្រាកដថាវាងាយស្រួលក្នុងការស្វែងរកតម្លៃនៃអ្វីដែលមិនស្គាល់ទាំងអស់ពីវា។ របៀបអនុវត្តការផ្លាស់ប្តូរបែបនេះ ហើយជាការពិតណាស់ ឧទាហរណ៍នឹងត្រូវបានពិភាក្សាបន្ថែមទៀត។

នៅពេលដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរជាមួយនឹងចំនួនសមីការ និងមិនស្គាល់នៅក្នុងប្រព័ន្ធសមីការ និងក្នុងម៉ាទ្រីសពង្រីកនៃប្រព័ន្ធ អាច:

1. ការផ្លាស់ប្តូរបន្ទាត់ (នេះត្រូវបានលើកឡើងនៅដើមអត្ថបទនេះ);
2. ប្រសិនបើលទ្ធផលនៃការផ្លាស់ប្តូរផ្សេងទៀតដែលស្មើគ្នា ឬបន្ទាត់សមាមាត្របានលេចចេញមក ពួកវាអាចត្រូវបានលុបចេញ លើកលែងតែមួយប៉ុណ្ណោះ។
3. លុបជួរ "ទទេ" ដែលមេគុណទាំងអស់ស្មើនឹងសូន្យ។
4. គុណឬចែកខ្សែអក្សរណាមួយដោយលេខមួយចំនួន;
5. បន្ថែមទៅបន្ទាត់ណាមួយ បន្ទាត់ផ្សេងទៀតគុណនឹងលេខមួយចំនួន។

ជាលទ្ធផលនៃការបំប្លែង យើងទទួលបានប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលស្មើនឹងតម្លៃដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ក្បួនដោះស្រាយ និងឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរជាមួយម៉ាទ្រីសការ៉េនៃប្រព័ន្ធ

ពិចារណាជាដំបូងអំពីដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលចំនួនមិនស្គាល់គឺស្មើនឹងចំនួនសមីការ។ ម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធបែបនេះគឺការ៉េ ពោលគឺចំនួនជួរដេកក្នុងវាគឺស្មើនឹងចំនួនជួរឈរ។

ឧទាហរណ៍ ២ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss

ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយប្រើវិធីសាលា យើងបានគុណពាក្យដោយពាក្យមួយក្នុងសមីការដោយចំនួនជាក់លាក់មួយ ដូច្នេះមេគុណនៃអថេរទីមួយក្នុងសមីការទាំងពីរគឺជាលេខផ្ទុយគ្នា។ នៅពេលបន្ថែមសមីការ អថេរនេះត្រូវបានលុបចោល។ វិធីសាស្ត្រ Gauss ដំណើរការតាមរបៀបស្រដៀងគ្នា។

ដើម្បីសម្រួលរូបរាងនៃដំណោះស្រាយ បង្កើតម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ:

នៅក្នុងម៉ាទ្រីសនេះ មេគុណនៃមិនស្គាល់មានទីតាំងនៅខាងឆ្វេងមុនរបារបញ្ឈរ ហើយសមាជិកទំនេរគឺនៅខាងស្តាំបន្ទាប់ពីរបារបញ្ឈរ។

ដើម្បីភាពងាយស្រួលនៃការបែងចែកមេគុណនៃអថេរ (ដើម្បីទទួលបានការបែងចែកដោយមួយ) ប្តូរជួរទីមួយ និងទីពីរនៃម៉ាទ្រីសប្រព័ន្ធ. យើងទទួលបានប្រព័ន្ធដែលស្មើនឹងប្រព័ន្ធដែលបានផ្តល់ឱ្យ ចាប់តាំងពីនៅក្នុងប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ គេអាចរៀបចំសមីការឡើងវិញបាន៖

ជាមួយនឹងសមីការដំបូងថ្មី។ លុបបំបាត់អថេរ xពីសមីការទីពីរ និងបន្ទាប់ទាំងអស់។. ដើម្បីធ្វើដូចនេះបន្ថែមជួរទីមួយគុណនឹង (ក្នុងករណីរបស់យើងដោយ) ទៅជួរទីពីរនៃម៉ាទ្រីសហើយជួរទីមួយគុណនឹង (ក្នុងករណីរបស់យើងដោយ) ទៅជួរទីបី។

នេះអាចទៅរួចដោយសារតែ

ប្រសិនបើមានសមីការច្រើនជាងបីនៅក្នុងប្រព័ន្ធរបស់យើង នោះបន្ទាត់ទីមួយគួរតែត្រូវបានបន្ថែមទៅសមីការជាបន្តបន្ទាប់ទាំងអស់ គុណនឹងសមាមាត្រនៃមេគុណដែលត្រូវគ្នា ដែលយកដោយសញ្ញាដក។

ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានម៉ាទ្រីសដែលស្មើនឹងប្រព័ន្ធដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃប្រព័ន្ធសមីការថ្មីដែលក្នុងនោះសមីការទាំងអស់ចាប់ផ្តើមពីទីពីរ។ មិនមានអថេរ x :

ដើម្បីសម្រួលជួរទីពីរនៃប្រព័ន្ធលទ្ធផល យើងគុណវាម្តងហើយម្តងទៀតទទួលបានម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធសមីការដែលស្មើនឹងប្រព័ន្ធនេះ៖

ឥឡូវនេះ ការរក្សាសមីការដំបូងនៃប្រព័ន្ធលទ្ធផលមិនផ្លាស់ប្តូរ។ ដោយប្រើសមីការទីពីរ យើងលុបបំបាត់អថេរ y ពីសមីការបន្តបន្ទាប់ទាំងអស់។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះបន្ថែមជួរទីពីរគុណនឹង (ក្នុងករណីរបស់យើងដោយ) ទៅជួរទីបីនៃម៉ាទ្រីសប្រព័ន្ធ។

ប្រសិនបើមានសមីការច្រើនជាងបីនៅក្នុងប្រព័ន្ធរបស់យើង នោះបន្ទាត់ទីពីរគួរតែត្រូវបានបន្ថែមទៅសមីការជាបន្តបន្ទាប់ទាំងអស់ គុណនឹងសមាមាត្រនៃមេគុណដែលត្រូវគ្នា ដែលយកដោយសញ្ញាដក។

ជាលទ្ធផល យើងទទួលបានម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធដែលស្មើនឹងប្រព័ន្ធដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃសមីការលីនេអ៊ែរ៖

យើងបានទទួលប្រព័ន្ធ trapezoidal នៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលស្មើនឹងមួយដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖

ប្រសិនបើចំនួនសមីការ និងអថេរគឺធំជាងក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង នោះដំណើរការនៃការលុបបំបាត់អថេរបន្តបន្ទាប់គ្នារហូតដល់ម៉ាទ្រីសប្រព័ន្ធក្លាយជា trapezoidal ដូចនៅក្នុងឧទាហរណ៍សាកល្បងរបស់យើង។

យើងនឹងរកឃើញដំណោះស្រាយ "ពីទីបញ្ចប់" - បញ្ច្រាស. សម្រាប់​ការ​នេះ ពីសមីការចុងក្រោយដែលយើងកំណត់ z:
.
ការជំនួសតម្លៃនេះទៅក្នុងសមីការមុន, ស្វែងរក y:

ពីសមីការទីមួយ ស្វែងរក x:

ចម្លើយ៖ ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធសមីការនេះ .

៖ ក្នុងករណីនេះ ចម្លើយដូចគ្នានឹងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ប្រសិនបើប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។ ប្រសិនបើប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយរាប់មិនអស់ នោះចម្លើយនឹងដូចគ្នា ហើយនេះគឺជាប្រធានបទនៃផ្នែកទីប្រាំនៃមេរៀននេះ។

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss ដោយខ្លួនឯង ហើយបន្ទាប់មកមើលដំណោះស្រាយ

មុនពេលយើងម្តងទៀតគឺជាឧទាហរណ៍នៃប្រព័ន្ធស្របនិងច្បាស់លាស់នៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលក្នុងនោះចំនួនសមីការគឺស្មើនឹងចំនួនមិនស្គាល់។ ភាពខុសគ្នាពីឧទាហរណ៍សាកល្បងរបស់យើងពីក្បួនដោះស្រាយគឺថាមានសមីការចំនួនបួន និងមិនស្គាល់ចំនួនបួនរួចទៅហើយ។

ឧទាហរណ៍ 4ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss៖

ឥឡូវអ្នកត្រូវប្រើសមីការទីពីរ ដើម្បីដកអថេរចេញពីសមីការជាបន្តបន្ទាប់។ តោះធ្វើការងារត្រៀមខ្លះ។ ដើម្បីធ្វើឱ្យវាកាន់តែងាយស្រួលជាមួយនឹងសមាមាត្រនៃមេគុណអ្នកត្រូវទទួលបានឯកតានៅក្នុងជួរទីពីរនៃជួរទីពីរ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះដកជួរទីបីពីជួរទីពីរហើយគុណលទ្ធផលនៃជួរទីពីរដោយ -1 ។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងអនុវត្តការលុបបំបាត់អថេរពិតប្រាកដចេញពីសមីការទីបី និងទីបួន។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះបន្ថែមទីពីរ គុណនឹង , ទៅជួរទីបី និងទីពីរ គុណនឹង , ទៅទីបួន។

ឥឡូវនេះដោយប្រើសមីការទីបី យើងលុបបំបាត់អថេរចេញពីសមីការទីបួន។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះទៅជួរទីបួនបន្ថែមទីបីគុណនឹង . យើងទទួលបានម៉ាទ្រីសពង្រីកនៃរាងរាងចតុកោណ។

យើងទទួលបានប្រព័ន្ធសមីការ ដែលស្មើនឹងប្រព័ន្ធដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖

ដូច្នេះ ប្រព័ន្ធលទ្ធផល និងផ្តល់ឲ្យមានភាពស៊ីសង្វាក់គ្នា និងច្បាស់លាស់។ យើងរកឃើញដំណោះស្រាយចុងក្រោយ "ពីទីបញ្ចប់" ។ ពីសមីការទីបួន យើងអាចបង្ហាញដោយផ្ទាល់នូវតម្លៃនៃអថេរ "x ទីបួន"៖

យើងជំនួសតម្លៃនេះទៅក្នុងសមីការទីបីនៃប្រព័ន្ធ ហើយទទួលបាន

,

,

ទីបំផុតការជំនួសតម្លៃ

នៅក្នុងសមីការទីមួយផ្តល់ឱ្យ

,

កន្លែងដែលយើងរកឃើញ "x ដំបូង":

ចម្លើយ៖ ប្រព័ន្ធសមីការនេះមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។ .

អ្នកក៏អាចពិនិត្យមើលដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធនៅលើម៉ាស៊ីនគិតលេខដែលដោះស្រាយដោយវិធីសាស្ត្ររបស់ Cramer៖ ក្នុងករណីនេះ ចម្លើយដូចគ្នានឹងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យប្រសិនបើប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។

ដំណោះស្រាយដោយវិធីសាស្រ្ត Gauss នៃបញ្ហាដែលបានអនុវត្តលើឧទាហរណ៍នៃបញ្ហាសម្រាប់យ៉ាន់ស្ព័រ

ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរត្រូវបានប្រើដើម្បីធ្វើគំរូវត្ថុពិតនៃពិភពរូបវន្ត។ ចូរដោះស្រាយបញ្ហាមួយក្នុងចំណោមបញ្ហាទាំងនេះ - សម្រាប់យ៉ាន់ស្ព័រ។ ភារកិច្ចស្រដៀងគ្នា - ភារកិច្ចសម្រាប់ល្បាយ តម្លៃ ឬទំនាញជាក់លាក់នៃទំនិញនីមួយៗក្នុងក្រុមទំនិញ និងផ្សេងទៀត។

ឧទាហរណ៍ 5យ៉ាន់ស្ព័រចំនួនបីមានម៉ាស់សរុប 150 គីឡូក្រាម។ យ៉ាន់ស្ព័រទីមួយមានទង់ដែង 60% ទីពីរ - 30% ទីបី - 10% ។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះនៅក្នុងយ៉ាន់ស្ព័រទី 2 និងទី 3 ស្ពាន់មានទម្ងន់តិចជាង 28,4 គីឡូក្រាមបើប្រៀបធៀបទៅនឹងយ៉ាន់ស្ព័រទី 1 ហើយនៅក្នុងយ៉ាន់ស្ព័រទី 3 ទង់ដែងគឺតិចជាង 6,2 គីឡូក្រាម។ ស្វែងរកម៉ាស់នៃដុំនីមួយៗ។

ដំណោះស្រាយ។ យើងបង្កើតប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ៖

ការគុណសមីការទីពីរ និងទីបីដោយ 10 យើងទទួលបានប្រព័ន្ធសមមូលនៃសមីការលីនេអ៊ែរ៖

យើងចងក្រងម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ៖

យកចិត្តទុកដាក់, ចលនាដោយផ្ទាល់។ ដោយការបន្ថែម (ក្នុងករណីរបស់យើង ដក) ជួរមួយគុណនឹងចំនួនមួយ (យើងអនុវត្តវាពីរដង) ការបំប្លែងខាងក្រោមកើតឡើងជាមួយនឹងម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីកនៃប្រព័ន្ធ៖

ការរត់ត្រង់គឺចប់ហើយ។ យើងទទួលបានម៉ាទ្រីសពង្រីកនៃរាងរាងចតុកោណ។

តោះប្រើបញ្ច្រាស។ យើងរកដំណោះស្រាយពីទីបញ្ចប់។ យើងឃើញនោះ។

ពីសមីការទីពីរយើងរកឃើញ

ពីសមីការទីបី -

អ្នកក៏អាចពិនិត្យមើលដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធនៅលើម៉ាស៊ីនគិតលេខដែលដោះស្រាយដោយវិធីសាស្ត្ររបស់ Cramer៖ ក្នុងករណីនេះ ចម្លើយដូចគ្នានឹងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យប្រសិនបើប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។

ភាពសាមញ្ញនៃវិធីសាស្រ្ត Gauss ត្រូវបានបង្ហាញដោយការពិតដែលថាគណិតវិទូជនជាតិអាឡឺម៉ង់ Carl Friedrich Gauss ចំណាយពេលត្រឹមតែ 15 នាទីដើម្បីបង្កើតវា។ បន្ថែមពីលើវិធីសាស្រ្តនៃឈ្មោះរបស់គាត់ពីការងាររបស់ Gauss ពាក្យថា "យើងមិនគួរច្រឡំអ្វីដែលហាក់ដូចជាមិនគួរឱ្យជឿនិងមិនធម្មជាតិចំពោះយើងជាមួយនឹងអ្វីដែលមិនអាចទៅរួចនោះទេ" គឺជាប្រភេទនៃការណែនាំខ្លីៗសម្រាប់ការរកឃើញ។

នៅក្នុងបញ្ហាដែលបានអនុវត្តជាច្រើន ប្រហែលជាមិនមានការរឹតត្បិតទីបីទេ ពោលគឺសមីការទីបី បន្ទាប់មកវាចាំបាច់ដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពីរជាមួយនឹងការមិនស្គាល់ចំនួនបីដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss ឬផ្ទុយទៅវិញ មានភាពមិនស្គាល់តិចជាងសមីការ។ ឥឡូវនេះយើងចាប់ផ្តើមដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការបែបនេះ។

ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss អ្នកអាចកំណត់ថាតើប្រព័ន្ធណាមួយស្របគ្នា ឬមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា។ នសមីការលីនេអ៊ែរជាមួយ នអថេរ។

វិធីសាស្ត្រ Gauss និងប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ ជាមួយនឹងចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់

ឧទាហរណ៍បន្ទាប់គឺជាប្រព័ន្ធដែលជាប់លាប់ប៉ុន្តែមិនកំណត់នៃសមីការលីនេអ៊ែរ ពោលគឺវាមានចំនួនដំណោះស្រាយមិនកំណត់។

បន្ទាប់ពីអនុវត្តការបំប្លែងនៅក្នុងម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីកនៃប្រព័ន្ធ (ការអនុញ្ញាតជួរដេក គុណ និងបែងចែកជួរដោយចំនួនជាក់លាក់ បន្ថែមជួរមួយទៅមួយទៀត) ជួរដេកនៃទម្រង់

ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការទាំងអស់មានទម្រង់

សមាជិកឥតគិតថ្លៃគឺស្មើនឹងសូន្យ នេះមានន័យថាប្រព័ន្ធគឺគ្មានកំណត់ ពោលគឺវាមានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់ ហើយសមីការនៃប្រភេទនេះគឺ "លើស" ហើយត្រូវបានដកចេញពីប្រព័ន្ធ។

ឧទាហរណ៍ ៦

ដំណោះស្រាយ។ ចូរយើងចងក្រងម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ។ បន្ទាប់មកដោយប្រើសមីការទីមួយ យើងលុបបំបាត់អថេរចេញពីសមីការជាបន្តបន្ទាប់។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះទៅជួរទីពីរ ទីបី និងទីបួន បន្ថែមទីមួយ គុណនឹង រៀងគ្នា៖

ឥឡូវនេះសូមបន្ថែមជួរទីពីរទៅជួរទីបីនិងទីបួន។

ជាលទ្ធផលយើងមកដល់ប្រព័ន្ធ

សមីការពីរចុងក្រោយបានក្លាយជាសមីការនៃទម្រង់។ សមីការទាំងនេះត្រូវបានពេញចិត្តចំពោះតម្លៃណាមួយនៃអ្វីដែលមិនស្គាល់ ហើយអាចត្រូវបានលុបចោល។

ដើម្បីបំពេញសមីការទីពីរ យើងអាចជ្រើសរើសតម្លៃតាមអំពើចិត្តសម្រាប់ ហើយបន្ទាប់មកតម្លៃសម្រាប់នឹងត្រូវបានកំណត់ដោយមិនច្បាស់លាស់៖ . ពីសមីការទីមួយ តម្លៃសម្រាប់ក៏ត្រូវបានរកឃើញដោយឡែកផងដែរ៖ .

ទាំងប្រព័ន្ធដែលបានផ្តល់ឱ្យ និងចុងក្រោយគឺត្រូវគ្នា ប៉ុន្តែគ្មានកំណត់ និងរូបមន្ត

សម្រាប់ការបំពាន និងផ្តល់ឱ្យយើងនូវដំណោះស្រាយទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

វិធីសាស្ត្រ Gauss និងប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលមិនមានដំណោះស្រាយ

ឧទាហរណ៍ខាងក្រោមគឺជាប្រព័ន្ធមិនស៊ីសង្វាក់គ្នានៃសមីការលីនេអ៊ែរ ពោលគឺវាមិនមានដំណោះស្រាយទេ។ ចម្លើយចំពោះបញ្ហាបែបនេះត្រូវបានបង្កើតដូចខាងក្រោម៖ ប្រព័ន្ធមិនមានដំណោះស្រាយទេ។

ដូចដែលបានបញ្ជាក់រួចមកហើយនៅក្នុងការតភ្ជាប់ជាមួយនឹងឧទាហរណ៍ទីមួយ បន្ទាប់ពីអនុវត្តការផ្លាស់ប្តូរនៅក្នុងម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីកនៃប្រព័ន្ធ បន្ទាត់នៃទម្រង់

ដែលត្រូវគ្នានឹងសមីការនៃទម្រង់

ប្រសិនបើក្នុងចំនោមពួកគេមានសមីការយ៉ាងហោចណាស់មួយជាមួយនឹងពាក្យមិនសូន្យ (ឧ។ ) នោះប្រព័ន្ធនៃសមីការនេះគឺមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា ពោលគឺវាគ្មានដំណោះស្រាយ ហើយនេះបញ្ចប់ដំណោះស្រាយរបស់វា។

ឧទាហរណ៍ ៧ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss៖

ដំណោះស្រាយ។ យើងចងក្រងម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ។ ដោយប្រើសមីការទីមួយ យើងដកអថេរចេញពីសមីការជាបន្តបន្ទាប់។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះត្រូវបន្ថែមលេខទីមួយគុណនឹងជួរទីពីរ ទីមួយគុណនឹងជួរទីបី ហើយទីមួយគុណនឹងជួរទីបួន។

ឥឡូវអ្នកត្រូវប្រើសមីការទីពីរ ដើម្បីដកអថេរចេញពីសមីការជាបន្តបន្ទាប់។ ដើម្បីទទួលបានសមាមាត្រចំនួនគត់នៃមេគុណ យើងប្តូរជួរទីពីរ និងទីបីនៃម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីកនៃប្រព័ន្ធ។

ដើម្បីដកចេញពីសមីការទីបី និងទីបួន បន្ថែមទីពីរ គុណនឹង , ទៅជួរទីបី និងទីពីរ គុណនឹង , ទៅទីបួន។

ឥឡូវនេះដោយប្រើសមីការទីបី យើងលុបបំបាត់អថេរចេញពីសមីការទីបួន។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះទៅជួរទីបួនបន្ថែមទីបីគុណនឹង .

ប្រព័ន្ធដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺស្មើនឹងដូចខាងក្រោម:

ប្រព័ន្ធលទ្ធផលគឺមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា ចាប់តាំងពីសមីការចុងក្រោយរបស់វាមិនអាចពេញចិត្តដោយតម្លៃណាមួយនៃអ្វីដែលមិនស្គាល់។ ដូច្នេះប្រព័ន្ធនេះមិនមានដំណោះស្រាយទេ។

វិធីសាស្រ្ត Gaussល្អសម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ (SLAE)។ វាមានអត្ថប្រយោជន៍ជាច្រើនលើវិធីសាស្ត្រផ្សេងទៀត៖

• ជាដំបូង មិនចាំបាច់ធ្វើការស៊ើបអង្កេតជាមុនអំពីប្រព័ន្ធនៃសមីការសម្រាប់ភាពឆបគ្នានោះទេ។
• ទីពីរ វិធីសាស្ត្រ Gauss អាចត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយមិនត្រឹមតែ SLAEs ដែលចំនួនសមីការត្រូវគ្នានឹងចំនួនអថេរដែលមិនស្គាល់ ហើយម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធមិនខូចទេ ប៉ុន្តែក៏មានប្រព័ន្ធនៃសមីការដែលចំនួនសមីការមិនស្របគ្នា។ ជាមួយនឹងចំនួនអថេរដែលមិនស្គាល់ ឬកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសចម្បងគឺស្មើនឹងសូន្យ។
• ទីបី វិធីសាស្ត្រ Gauss នាំទៅរកលទ្ធផលជាមួយនឹងចំនួនប្រតិបត្តិការគណនាតិចតួច។

ការពិនិត្យឡើងវិញសង្ខេបនៃអត្ថបទ។

ដំបូង យើងផ្តល់និយមន័យចាំបាច់ និងណែនាំសញ្ញាណមួយចំនួន។

បន្ទាប់មក យើងពិពណ៌នាអំពីក្បួនដោះស្រាយនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss សម្រាប់ករណីសាមញ្ញបំផុត នោះគឺសម្រាប់ប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ ចំនួនសមីការដែលស្របគ្នានឹងចំនួនអថេរដែលមិនស្គាល់ ហើយការកំណត់នៃម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធគឺមិនមែនទេ។ ស្មើនឹងសូន្យ។ នៅពេលដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការបែបនេះ ខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss អាចមើលឃើញយ៉ាងច្បាស់បំផុត ដែលមាននៅក្នុងការលុបបំបាត់អថេរដែលមិនស្គាល់ជាបន្តបន្ទាប់។ ដូច្នេះវិធីសាស្រ្ត Gaussian ត្រូវបានគេហៅថាវិធីសាស្រ្តនៃការលុបបំបាត់ជាបន្តបន្ទាប់នៃមិនស្គាល់។ ចូរយើងបង្ហាញដំណោះស្រាយលម្អិតនៃឧទាហរណ៍ជាច្រើន។

សរុបសេចក្តីមក យើងពិចារណាអំពីដំណោះស្រាយ Gaussian នៃប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ ដែលម៉ាទ្រីសចម្បងគឺចតុកោណកែង ឬ degenerate ។ ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធបែបនេះមានលក្ខណៈពិសេសមួយចំនួនដែលយើងនឹងវិភាគលម្អិតដោយប្រើឧទាហរណ៍។

ការរុករកទំព័រ។

និយមន័យមូលដ្ឋាននិងកំណត់ចំណាំ។

ពិចារណាប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ p ជាមួយ n មិនស្គាល់ (p អាចស្មើនឹង n):

តើអថេរមិនស្គាល់លេខណា (ពិត ឬស្មុគស្មាញ) គឺជាសមាជិកឥតគិតថ្លៃ។

ប្រសិនបើ ក បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរត្រូវបានគេហៅថា ដូចគ្នាបើមិនដូច្នេះទេ - ខុសគ្នា.

សំណុំនៃតម្លៃនៃអថេរមិនស្គាល់ ដែលនៅក្នុងសមីការទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធប្រែទៅជាអត្តសញ្ញាណត្រូវបានគេហៅថា ការសម្រេចចិត្តរបស់ SLAU.

ប្រសិនបើមានដំណោះស្រាយយ៉ាងហោចណាស់មួយចំពោះប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ នោះគេហៅថា រួមបើមិនដូច្នេះទេ - មិនឆបគ្នា។.

ប្រសិនបើ SLAE មានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ នោះគេហៅថា ជាក់លាក់. ប្រសិនបើមានដំណោះស្រាយច្រើនជាងមួយនោះប្រព័ន្ធត្រូវបានគេហៅថា មិនប្រាកដប្រជា.

ប្រព័ន្ធនេះត្រូវបានគេនិយាយថាត្រូវបានសរសេរនៅក្នុង ទម្រង់សំរបសំរួលប្រសិនបើវាមានទម្រង់
.

ប្រព័ន្ធនេះនៅក្នុង ទម្រង់ម៉ាទ្រីសកំណត់ត្រាមានទម្រង់ កន្លែងណា - ម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃ SLAE, - ម៉ាទ្រីសនៃជួរឈរនៃអថេរមិនស្គាល់, - ម៉ាទ្រីសនៃសមាជិកឥតគិតថ្លៃ។

ប្រសិនបើយើងបន្ថែមទៅម៉ាទ្រីស A ជាជួរឈរ (n + 1)-th ជួរម៉ាទ្រីសនៃលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃ នោះយើងទទួលបានអ្វីដែលគេហៅថា ម៉ាទ្រីសពង្រីកប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ ជាធម្មតា ម៉ាទ្រីសដែលបានបន្ថែមត្រូវបានសម្គាល់ដោយអក្សរ T ហើយជួរឈរនៃសមាជិកទំនេរត្រូវបានបំបែកដោយបន្ទាត់បញ្ឈរពីជួរដែលនៅសល់ ពោលគឺ។

ម៉ាទ្រីសការ៉េ A ត្រូវបានគេហៅថា degenerateប្រសិនបើកត្តាកំណត់របស់វាគឺសូន្យ។ ប្រសិនបើ នោះម៉ាទ្រីស A ត្រូវបានគេហៅថា មិន degenerate.

ចំណុចខាងក្រោមគួរកត់សំគាល់។

ប្រសិនបើសកម្មភាពខាងក្រោមត្រូវបានអនុវត្តជាមួយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ

• ប្តូរសមីការពីរ
• គុណទាំងសងខាងនៃសមីការណាមួយដោយចំនួនពិតប្រាកដ (ឬស្មុគស្មាញ) ដែលបំពាននិងមិនសូន្យ
• ទៅផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការណាមួយ បន្ថែមផ្នែកដែលត្រូវគ្នានៃសមីការផ្សេងទៀត គុណនឹងចំនួនបំពាន k,

បន្ទាប់មកយើងទទួលបានប្រព័ន្ធសមមូលដែលមានដំណោះស្រាយដូចគ្នា (ឬដូចជាប្រព័ន្ធដើម មិនមានដំណោះស្រាយ)។

សម្រាប់ម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ សកម្មភាពទាំងនេះនឹងមានន័យថាការបំប្លែងបឋមជាមួយជួរដេក៖

• ផ្លាស់ប្តូរខ្សែពីរ
• គុណនៃធាតុទាំងអស់នៃជួរណាមួយនៃម៉ាទ្រីស T ដោយលេខមិនសូន្យ k ,
• ការបន្ថែមទៅធាតុនៃជួរណាមួយនៃម៉ាទ្រីស ធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរផ្សេងទៀត គុណនឹងចំនួនបំពាន k ។

ឥឡូវនេះយើងអាចបន្តទៅការពិពណ៌នានៃវិធីសាស្ត្រ Gauss ។

ដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ ដែលក្នុងនោះចំនួនសមីការគឺស្មើនឹងចំនួនមិនស្គាល់ ហើយម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធគឺមិនខូចទ្រង់ទ្រាយដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss ។

តើ​យើង​នឹង​ធ្វើ​អ្វី​នៅ​សាលា ប្រសិន​បើ​យើង​ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​ភារកិច្ច​ក្នុង​ការ​ស្វែង​រក​ដំណោះ​ស្រាយ​ចំពោះ​ប្រព័ន្ធ​សមីការ .

អ្នកខ្លះនឹងធ្វើដូច្នេះ។

ចំណាំថាដោយការបន្ថែមផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការទីមួយទៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការទីពីរ និងផ្នែកខាងស្តាំទៅផ្នែកខាងស្តាំ អ្នកអាចកម្ចាត់អថេរដែលមិនស្គាល់ x 2 និង x 3 ហើយស្វែងរក x 1 ភ្លាមៗ៖

យើងជំនួសតម្លៃដែលបានរកឃើញ x 1 \u003d 1 ទៅក្នុងសមីការទីមួយ និងទីបីនៃប្រព័ន្ធ៖

ប្រសិនបើយើងគុណផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការទីបីនៃប្រព័ន្ធដោយ -1 ហើយបន្ថែមវាទៅផ្នែកដែលត្រូវគ្នានៃសមីការទីមួយ នោះយើងកម្ចាត់អថេរដែលមិនស្គាល់ x 3 ហើយអាចរកឃើញ x 2៖

យើងជំនួសតម្លៃដែលទទួលបាន x 2 \u003d 2 ទៅក្នុងសមីការទីបី ហើយស្វែងរកអថេរដែលមិនស្គាល់ដែលនៅសល់ x 3៖

អ្នកផ្សេងទៀតនឹងបានធ្វើបើមិនដូច្នេះទេ។

ចូរដោះស្រាយសមីការទីមួយនៃប្រព័ន្ធទាក់ទងនឹងអថេរដែលមិនស្គាល់ x 1 ហើយជំនួសកន្សោមលទ្ធផលទៅជាសមីការទីពីរ និងទីបីនៃប្រព័ន្ធ ដើម្បីដកអថេរនេះចេញពីពួកវា៖

ឥឡូវនេះ ចូរយើងដោះស្រាយសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធទាក់ទងនឹង x 2 ហើយជំនួសលទ្ធផលដែលទទួលបានទៅក្នុងសមីការទីបី ដើម្បីដកអថេរដែលមិនស្គាល់ x 2 ចេញពីវា៖

វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញពីសមីការទីបីនៃប្រព័ន្ធដែល x 3 = 3 ។ ពីសមីការទីពីរយើងរកឃើញ ហើយពីសមីការទីមួយយើងទទួលបាន .

ដំណោះស្រាយដែលធ្លាប់ស្គាល់មែនទេ?

អ្វីដែលគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍បំផុតនៅទីនេះគឺថាវិធីសាស្រ្តដំណោះស្រាយទីពីរគឺសំខាន់វិធីសាស្រ្តនៃការលុបបំបាត់ជាបន្តបន្ទាប់នៃមិនស្គាល់, នោះគឺវិធីសាស្រ្ត Gauss ។ នៅពេលដែលយើងបង្ហាញអថេរដែលមិនស្គាល់ (ទីមួយ x 1, បន្ទាប់ x 2) ហើយជំនួសពួកវាទៅក្នុងសមីការដែលនៅសល់នៃប្រព័ន្ធ នោះយើងដកពួកវាចេញ។ យើងអនុវត្តការលើកលែងរហូតដល់ពេលដែលសមីការចុងក្រោយបន្សល់ទុកតែអថេរមិនស្គាល់មួយ។ ដំណើរការនៃការលុបបំបាត់ជាបន្តបន្ទាប់នៃមិនស្គាល់ត្រូវបានគេហៅថា វិធីសាស្ត្រ Gauss ផ្ទាល់. បន្ទាប់ពីការផ្លាស់ប្តូរទៅមុខត្រូវបានបញ្ចប់ យើងមានឱកាសគណនាអថេរដែលមិនស្គាល់នៅក្នុងសមីការចុងក្រោយ។ ដោយមានជំនួយរបស់វា ពីសមីការ penultimate យើងរកឃើញអថេរមិនស្គាល់បន្ទាប់ ហើយដូច្នេះនៅលើ។ ដំណើរការនៃការស្វែងរកអថេរមិនស្គាល់ជាបន្តបន្ទាប់ ខណៈពេលដែលផ្លាស់ទីពីសមីការចុងក្រោយទៅទីមួយត្រូវបានគេហៅថា វិធីសាស្ត្រ Gauss បញ្ច្រាស.

គួរកត់សំគាល់ថា នៅពេលយើងបង្ហាញ x 1 ក្នុងន័យ x 2 និង x 3 ក្នុងសមីការទីមួយ ហើយបន្ទាប់មកជំនួសកន្សោមលទ្ធផលទៅក្នុងសមីការទីពីរ និងទីបី សកម្មភាពខាងក្រោមនាំទៅរកលទ្ធផលដូចគ្នា៖

ជាការពិត នីតិវិធីបែបនេះក៏អនុញ្ញាតឱ្យយើងដកចេញអថេរ x 1 ដែលមិនស្គាល់ពីសមីការទីពីរ និងទីបីនៃប្រព័ន្ធ៖

Nuances ជាមួយនឹងការលុបបំបាត់អថេរដែលមិនស្គាល់ដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss កើតឡើងនៅពេលដែលសមីការនៃប្រព័ន្ធមិនមានអថេរមួយចំនួន។

ឧទាហរណ៍នៅក្នុង SLAU នៅក្នុងសមីការទីមួយ មិនមានអថេរ x 1 មិនស្គាល់ទេ (និយាយម្យ៉ាងទៀត មេគុណនៅពីមុខវាគឺសូន្យ)។ ដូច្នេះហើយ យើងមិនអាចដោះស្រាយសមីការដំបូងនៃប្រព័ន្ធទាក់ទងនឹង x 1 ដើម្បីដកអថេរដែលមិនស្គាល់នេះចេញពីសមីការដែលនៅសល់នោះទេ។ ផ្លូវចេញពីស្ថានភាពនេះគឺដើម្បីប្តូរសមីការនៃប្រព័ន្ធ។ ដោយសារយើងកំពុងពិចារណាប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ ដែលកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសសំខាន់ៗខុសពីសូន្យ វាតែងតែមានសមីការដែលអថេរដែលយើងត្រូវការមានវត្តមាន ហើយយើងអាចរៀបចំសមីការនេះឡើងវិញទៅទីតាំងដែលយើងត្រូវការ។ ឧទាហរណ៍របស់យើង វាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការប្តូរសមីការទីមួយ និងទីពីរនៃប្រព័ន្ធ បន្ទាប់មកអ្នកអាចដោះស្រាយសមីការទីមួយសម្រាប់ x 1 ហើយដកវាចេញពីសមីការដែលនៅសល់នៃប្រព័ន្ធ (ទោះបីជា x 1 គឺអវត្តមានរួចហើយនៅក្នុងសមីការទីពីរ)។

យើងសង្ឃឹមថាអ្នកទទួលបានចំណុចសំខាន់។

ចូរពណ៌នា ក្បួនដោះស្រាយវិធីសាស្រ្ត Gauss ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរជាមួយ n អថេរមិនស្គាល់នៃទម្រង់ ហើយទុកឱ្យកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសចម្បងរបស់វាមិនមែនជាសូន្យ។

យើងនឹងសន្មត់ថា ដោយសារយើងតែងតែអាចសម្រេចបានវាដោយការរៀបចំសមីការនៃប្រព័ន្ធឡើងវិញ។ យើងដកអថេរដែលមិនស្គាល់ x 1 ចេញពីសមីការទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធ ដោយចាប់ផ្តើមពីលេខទីពីរ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះបន្ថែមសមីការទី 1 គុណនឹងសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ បន្ថែមសមីការទី 1 គុណនឹងសមីការទី 3 ហើយបន្តបន្ទាប់ទៀត បន្ថែមលេខទីមួយគុណនឹងសមីការ n ។ ប្រព័ន្ធនៃសមីការបន្ទាប់ពីការបំលែងបែបនេះនឹងមានទម្រង់

កន្លែងណា ក .

យើងនឹងទទួលបានលទ្ធផលដូចគ្នា ប្រសិនបើយើងបង្ហាញ x 1 ក្នុងន័យនៃអថេរដែលមិនស្គាល់ផ្សេងទៀតនៅក្នុងសមីការដំបូងនៃប្រព័ន្ធ ហើយជំនួសកន្សោមលទ្ធផលទៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀតទាំងអស់។ ដូច្នេះ អថេរ x 1 ត្រូវបានដកចេញពីសមីការទាំងអស់ ដោយចាប់ផ្តើមពីទីពីរ។

បន្ទាប់យើងធ្វើសកម្មភាពស្រដៀងគ្នាប៉ុន្តែមានតែផ្នែកនៃប្រព័ន្ធលទ្ធផលប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានសម្គាល់នៅក្នុងរូប

ដើម្បីធ្វើដូចនេះបន្ថែមគុណនឹងទីពីរទៅសមីការទីបីនៃប្រព័ន្ធ បន្ថែមទីពីរគុណនឹងសមីការទីបួន ហើយបន្តបន្ទាប់ទៀត បន្ថែមទីពីរគុណនឹងសមីការ n ។ ប្រព័ន្ធនៃសមីការបន្ទាប់ពីការបំលែងបែបនេះនឹងមានទម្រង់

កន្លែងណា ក . ដូច្នេះ អថេរ x 2 ត្រូវបានដកចេញពីសមីការទាំងអស់ ដោយចាប់ផ្តើមពីទីបី។

បន្ទាប់មក យើងបន្តទៅការលុបបំបាត់ x 3 ដែលមិនស្គាល់ ខណៈពេលដែលធ្វើសកម្មភាពស្រដៀងគ្នាជាមួយផ្នែកនៃប្រព័ន្ធដែលបានសម្គាល់ក្នុងរូប។

ដូច្នេះយើងបន្តវគ្គសិក្សាដោយផ្ទាល់នៃវិធីសាស្ត្រ Gauss រហូតដល់ប្រព័ន្ធទទួលបានទម្រង់

ចាប់ពីពេលនេះតទៅ យើងចាប់ផ្តើមដំណើរបញ្ច្រាសនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss៖ យើងគណនា x n ពីសមីការចុងក្រោយ ដោយប្រើតម្លៃដែលទទួលបាននៃ x n យើងរកឃើញ x n-1 ពីសមីការ penultimate ហើយបន្តបន្ទាប់ទៀត យើងរកឃើញ x 1 ពី សមីការទីមួយ។

ចូរយើងវិភាគក្បួនដោះស្រាយជាមួយឧទាហរណ៍មួយ។

ឧទាហរណ៍។

វិធីសាស្រ្ត Gaussian ។

ដំណោះស្រាយ។

មេគុណ a 11 គឺខុសពីសូន្យ ដូច្នេះសូមបន្តទៅវគ្គផ្ទាល់នៃវិធីសាស្ត្រ Gauss ពោលគឺដើម្បីលុបបំបាត់អថេរដែលមិនស្គាល់ x 1 ពីសមីការទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធ លើកលែងតែទីមួយ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះទៅផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមីការទីពីរ ទីបី និងទីបួន បន្ថែមផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមីការទីមួយ គុណនឹង រៀងគ្នា។ និង៖

អថេរ x 1 ដែលមិនស្គាល់ត្រូវបានលុបចោល សូមបន្តទៅការដកចេញ x 2 ។ ទៅផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមីការទីបី និងទីបួននៃប្រព័ន្ធ យើងបន្ថែមផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមីការទីពីរ គុណនឹង និង :

ដើម្បីបញ្ចប់វគ្គបន្តនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss យើងត្រូវដកអថេរដែលមិនស្គាល់ x 3 ចេញពីសមីការចុងក្រោយនៃប្រព័ន្ធ។ បន្ថែមទៅផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមីការទីបួន រៀងគ្នា ផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមីការទីបី គុណនឹង :

អ្នកអាចចាប់ផ្តើមវគ្គសិក្សាបញ្ច្រាសនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss ។

ពីសមីការចុងក្រោយដែលយើងមាន ,
ពីសមីការទីបីយើងទទួលបាន
ពីទីពីរ
ពីដំបូង។

ដើម្បីពិនិត្យ អ្នកអាចជំនួសតម្លៃដែលទទួលបាននៃអថេរមិនស្គាល់ទៅក្នុងប្រព័ន្ធដើមនៃសមីការ។ សមីការទាំងអស់ប្រែទៅជាអត្តសញ្ញាណ ដែលមានន័យថាដំណោះស្រាយដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss ត្រូវបានរកឃើញត្រឹមត្រូវ។

ចម្លើយ៖

ហើយឥឡូវនេះយើងនឹងផ្តល់ដំណោះស្រាយនៃឧទាហរណ៍ដូចគ្នាដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss ក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

ឧទាហរណ៍។

ស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធសមីការ វិធីសាស្រ្ត Gaussian ។

ដំណោះស្រាយ។

ម៉ាទ្រីសពង្រីកនៃប្រព័ន្ធមានទម្រង់ . នៅពីលើជួរឈរនីមួយៗ អថេរដែលមិនស្គាល់ត្រូវបានសរសេរ ដែលត្រូវនឹងធាតុនៃម៉ាទ្រីស។

វគ្គសិក្សាផ្ទាល់នៃវិធីសាស្ត្រ Gauss នៅទីនេះពាក់ព័ន្ធនឹងការនាំយកម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធទៅជាទម្រង់ trapezoidal ដោយប្រើការបំប្លែងបឋម។ ដំណើរការនេះគឺស្រដៀងគ្នាទៅនឹងការដកចេញនូវអថេរដែលមិនស្គាល់ដែលយើងបានធ្វើជាមួយប្រព័ន្ធក្នុងទម្រង់កូអរដោណេ។ ឥឡូវនេះអ្នកនឹងជឿជាក់លើវា។

ចូរបំប្លែងម៉ាទ្រីស ដើម្បីឱ្យធាតុទាំងអស់នៅក្នុងជួរទីមួយ ចាប់ផ្តើមពីទីពីរក្លាយជាសូន្យ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះចំពោះធាតុនៃជួរទីពីរ ទីបី និងទីបួន បន្ថែមធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរទីមួយគុណនឹង , និងរៀងៗខ្លួន៖

បន្ទាប់មក យើងបំប្លែងម៉ាទ្រីសលទ្ធផល ដូច្នេះនៅក្នុងជួរទីពីរ ធាតុទាំងអស់ដែលចាប់ផ្តើមពីទីបី ក្លាយជាសូន្យ។ វានឹងឆ្លើយតបទៅនឹងការមិនរាប់បញ្ចូលអថេរដែលមិនស្គាល់ x 2 ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះបន្ថែមទៅធាតុនៃជួរទី 3 និងទី 4 ធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរទីមួយនៃម៉ាទ្រីស គុណនឹង និង :

វានៅសល់ដើម្បីដកចេញអថេរដែលមិនស្គាល់ x 3 ពីសមីការចុងក្រោយនៃប្រព័ន្ធ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះទៅកាន់ធាតុនៃជួរចុងក្រោយនៃម៉ាទ្រីសលទ្ធផល យើងបន្ថែមធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរដេកចុងក្រោយ គុណនឹង :

វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាម៉ាទ្រីសនេះត្រូវគ្នាទៅនឹងប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ

ដែលទទួលបានមុននេះ បន្ទាប់ពីការផ្លាស់ប្តូរដោយផ្ទាល់។

ដល់ពេលត្រូវត្រលប់មកវិញហើយ។ នៅក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីសនៃសញ្ញាណ ដំណើរបញ្ច្រាសនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss ពាក់ព័ន្ធនឹងការផ្លាស់ប្តូរនៃម៉ាទ្រីសលទ្ធផល ដូច្នេះម៉ាទ្រីសដែលបានសម្គាល់ក្នុងរូប។

បានក្លាយជាអង្កត់ទ្រូង ពោលគឺបានយកទម្រង់

តើលេខខ្លះនៅឯណា។

ការបំប្លែងទាំងនេះគឺស្រដៀងគ្នាទៅនឹងវិធីសាស្ត្រ Gauss ប៉ុន្តែត្រូវបានអនុវត្តមិនមែនពីបន្ទាត់ទីមួយទៅចុងក្រោយនោះទេ ប៉ុន្តែពីចុងក្រោយទៅទីមួយ។

បន្ថែមទៅធាតុនៃជួរទីបី ទីពីរ និងទីមួយ ធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរចុងក្រោយ គុណនឹង , នៅលើ និងនៅលើ រៀងគ្នា៖

ឥឡូវ​យើង​បន្ថែម​ទៅ​ធាតុ​នៃ​ជួរ​ដេក​ទី​ពីរ និង​ទី​មួយ​នូវ​ធាតុ​ដែល​ត្រូវ​គ្នា​នៃ​ជួរ​ទី​បី ដោយ​គុណ​នឹង​ដោយ​រៀង​ខ្លួន៖

នៅជំហានចុងក្រោយនៃចលនាបញ្ច្រាសនៃវិធីសាស្ត្រ Gaussian យើងបន្ថែមធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរទីពីរ គុណនឹង ទៅធាតុនៃជួរទីមួយ៖

ម៉ាទ្រីសលទ្ធផលត្រូវគ្នានឹងប្រព័ន្ធសមីការ ដែលយើងរកឃើញអថេរមិនស្គាល់។

ចម្លើយ៖

ចំណាំ។

នៅពេលប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss ដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ ការគណនាប្រហាក់ប្រហែលគួរតែត្រូវបានជៀសវាង ព្រោះនេះអាចនាំទៅរកលទ្ធផលមិនត្រឹមត្រូវទាំងស្រុង។ យើងណែនាំអ្នកកុំបង្គត់ខ្ទង់ទសភាគ។ វាជាការល្អប្រសើរជាងមុនដើម្បីផ្លាស់ទីពីប្រភាគទសភាគទៅប្រភាគធម្មតា។

ឧទាហរណ៍។

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការបីដោយវិធីសាស្ត្រ Gaussian .

ដំណោះស្រាយ។

ចំណាំថាក្នុងឧទាហរណ៍នេះ អថេរដែលមិនស្គាល់មានការរចនាខុសគ្នា (មិនមែន x 1, x 2, x 3 ទេ ប៉ុន្តែ x, y, z )។ ចូរបន្តទៅប្រភាគធម្មតា៖

លុបបំបាត់ x ដែលមិនស្គាល់ពីសមីការទីពីរ និងទីបីនៃប្រព័ន្ធ៖

នៅក្នុងប្រព័ន្ធលទ្ធផល មិនមានអថេរ y មិនស្គាល់នៅក្នុងសមីការទីពីរទេ ហើយ y មានវត្តមាននៅក្នុងសមីការទីបី ដូច្នេះយើងប្តូរសមីការទីពីរ និងទីបី៖

នៅចំណុចនេះ វគ្គផ្ទាល់នៃវិធីសាស្ត្រ Gauss ត្រូវបានបញ្ចប់ (អ្នកមិនចាំបាច់ដកចេញ y ពីសមីការទីបីទេ ព្រោះអថេរមិនស្គាល់នេះលែងមានទៀតហើយ)។

តោះត្រឡប់ទៅវិញ។

ពីសមីការចុងក្រោយដែលយើងរកឃើញ ,
ពីចុងក្រោយ


ពីសមីការទីមួយដែលយើងមាន

ចម្លើយ៖

X=10, y=5, z=-20 ។

ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ ដែលក្នុងនោះចំនួនសមីការមិនស្របគ្នាជាមួយនឹងចំនួនមិនស្គាល់ ឬម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធគឺ degenerate ដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss ។

ប្រព័ន្ធនៃសមីការដែលម៉ាទ្រីសចម្បងរបស់វាមានរាងចតុកោណកែង ឬការ៉េ degenerate អាចមិនមានដំណោះស្រាយ អាចមានដំណោះស្រាយតែមួយ ឬអាចមានដំណោះស្រាយមិនកំណត់។

ឥឡូវនេះយើងនឹងយល់ពីរបៀបដែលវិធីសាស្ត្រ Gauss អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្កើតភាពឆបគ្នាឬភាពមិនស៊ីសង្វាក់នៃប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរហើយក្នុងករណីនៃភាពឆបគ្នារបស់វាកំណត់ដំណោះស្រាយទាំងអស់ (ឬដំណោះស្រាយតែមួយ) ។

ជាគោលការណ៍ដំណើរការនៃការលុបបំបាត់អថេរដែលមិនស្គាល់នៅក្នុងករណីនៃ SLAEs បែបនេះនៅតែដដែល។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ វាមានតម្លៃរស់នៅយ៉ាងលម្អិតលើស្ថានភាពមួយចំនួនដែលអាចកើតឡើង។

ចូរយើងបន្តទៅជំហានសំខាន់បំផុត។

ដូច្នេះ ចូរយើងសន្មត់ថាប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរបន្ទាប់ពីការបញ្ចប់នៃការរត់ទៅមុខនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss យកទម្រង់ ហើយគ្មានសមីការណាមួយត្រូវបានកាត់បន្ថយ (ក្នុងករណីនេះ យើងនឹងសន្និដ្ឋានថាប្រព័ន្ធមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា)។ សំណួរឡូជីខលកើតឡើង: "អ្វីដែលត្រូវធ្វើបន្ទាប់"?

យើងសរសេរអថេរដែលមិនស្គាល់ដែលមាននៅក្នុងកន្លែងដំបូងនៃសមីការទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធលទ្ធផល៖

ក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង ទាំងនេះគឺ x 1 , x 4 និង x 5 ។ នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការនៃប្រព័ន្ធ យើងទុកតែពាក្យទាំងនោះដែលមានអថេរដែលមិនស្គាល់ x 1, x 4 និង x 5 យើងផ្ទេរពាក្យដែលនៅសល់ទៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការដែលមានសញ្ញាផ្ទុយ៖

អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់តម្លៃបំពានទៅអថេរមិនស្គាល់ដែលមាននៅជ្រុងខាងស្តាំនៃសមីការ ដែល - លេខ​តាម​ចិត្ត​:

បន្ទាប់ពីនោះ លេខត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការទាំងអស់នៃ SLAE របស់យើង ហើយយើងអាចបន្តទៅវគ្គបញ្ច្រាសនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss ។

ពីសមីការចុងក្រោយនៃប្រព័ន្ធដែលយើងមាន ពីសមីការចុងក្រោយដែលយើងរកឃើញ ពីសមីការដំបូងដែលយើងទទួលបាន

ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធសមីការគឺជាសំណុំនៃតម្លៃនៃអថេរដែលមិនស្គាល់

ការផ្តល់លេខ តម្លៃផ្សេងគ្នា យើងនឹងទទួលបានដំណោះស្រាយផ្សេងៗគ្នាចំពោះប្រព័ន្ធសមីការ។ នោះគឺប្រព័ន្ធសមីការរបស់យើងមានដំណោះស្រាយជាច្រើនគ្មានកំណត់។

ចម្លើយ៖

កន្លែងណា - លេខបំពាន។

ដើម្បីបង្រួបបង្រួមសម្ភារៈ យើងនឹងវិភាគលម្អិតអំពីដំណោះស្រាយនៃឧទាហរណ៍ជាច្រើនទៀត។

ឧទាហរណ៍។

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ វិធីសាស្រ្ត Gaussian ។

ដំណោះស្រាយ។

ចូរយើងដកអថេរ x ដែលមិនស្គាល់ពីសមីការទីពីរ និងទីបីនៃប្រព័ន្ធ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះបន្ថែមផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមីការទីមួយ រៀងគ្នាទៅផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមីការទីពីរ គុណនឹង និងទៅផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមីការទីបី ផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមីការ។ សមីការទីមួយ គុណនឹង៖

ឥឡូវនេះយើងដក y ចេញពីសមីការទីបីនៃប្រព័ន្ធលទ្ធផលនៃសមីការ៖

លទ្ធផល SLAE គឺស្មើនឹងប្រព័ន្ធ .

យើងទុកតែពាក្យដែលមានអថេរមិនស្គាល់ x និង y នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការនៃប្រព័ន្ធ ហើយផ្ទេរលក្ខខណ្ឌជាមួយនឹងអថេរមិនស្គាល់ z ទៅផ្នែកខាងស្តាំ៖