• ប្រព័ន្ធ មសមីការលីនេអ៊ែរជាមួយ នមិនស្គាល់។
  ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរគឺជាសំណុំនៃលេខ ( x 1 , x 2 , … , x n) ការជំនួសដែលទៅក្នុងសមីការនីមួយៗនៃប្រព័ន្ធ នោះសមភាពត្រឹមត្រូវត្រូវបានទទួល។
  កន្លែងណា a ij, i = 1, …, m; j = 1, …, នគឺជាមេគុណនៃប្រព័ន្ធ;
  b i , i = 1, …, m- សមាជិកឥតគិតថ្លៃ;
  x j , j = 1, …, n- មិនស្គាល់។
  ប្រព័ន្ធខាងលើអាចត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស៖ A X = B,
  
  
  
  
  កន្លែងណា ( ក|ខ) គឺជាម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធ;
  ក- ម៉ាទ្រីសពង្រីកនៃប្រព័ន្ធ;
  X- ជួរឈរនៃមិនស្គាល់;
  ខគឺជាជួរឈរនៃសមាជិកឥតគិតថ្លៃ។
  ប្រសិនបើម៉ាទ្រីស ខមិនមែនជាម៉ាទ្រីស ∅ ទេ ដូច្នេះប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរនេះត្រូវបានគេហៅថា inhomogeneous ។
  ប្រសិនបើម៉ាទ្រីស ខ= ∅ បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរនេះត្រូវបានគេហៅថា homogeneous ។ ប្រព័ន្ធដូចគ្នាតែងតែមានដំណោះស្រាយសូន្យ (មិនសំខាន់)៖ x 1 \u003d x 2 \u003d ..., x n \u003d 0.
  ប្រព័ន្ធរួមនៃសមីការលីនេអ៊ែរគឺជាប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានដំណោះស្រាយ។
  ប្រព័ន្ធមិនស៊ីសង្វាក់គ្នានៃសមីការលីនេអ៊ែរគឺជាប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ ដែលមិនមានដំណោះស្រាយ។
  ប្រព័ន្ធជាក់លាក់នៃសមីការលីនេអ៊ែរគឺជាប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។
  ប្រព័ន្ធមិនកំណត់នៃសមីការលីនេអ៊ែរគឺជាប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់។
• ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរជាមួយ n មិនស្គាល់
  ប្រសិនបើចំនួនមិនស្គាល់ស្មើនឹងចំនួនសមីការ នោះម៉ាទ្រីសគឺការ៉េ។ កត្តាកំណត់ម៉ាទ្រីសត្រូវបានគេហៅថា កត្តាកំណត់សំខាន់នៃប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ ហើយត្រូវបានតាងដោយនិមិត្តសញ្ញា Δ ។
  វិធីសាស្រ្ត Cramerសម្រាប់ប្រព័ន្ធដោះស្រាយ នសមីការលីនេអ៊ែរជាមួយ នមិនស្គាល់។
  ក្បួនរបស់ Cramer ។
  ប្រសិនបើកត្តាកំណត់សំខាន់នៃប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរមិនស្មើនឹងសូន្យ នោះប្រព័ន្ធគឺស្រប និងកំណត់ ហើយដំណោះស្រាយតែមួយគត់ត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្ត Cramer៖
  ដែល Δ i គឺជាកត្តាកំណត់ដែលទទួលបានពីកត្តាកំណត់សំខាន់នៃប្រព័ន្ធ Δ ដោយជំនួស ខ្ញុំ th column ទៅជួរឈរនៃសមាជិកឥតគិតថ្លៃ។ .
• ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ m ជាមួយ n មិនស្គាល់
  ទ្រឹស្តីបទ Kronecker-Cappelli.
  
  
  ដើម្បីឱ្យប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរមានភាពស៊ីសង្វាក់គ្នា វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធនេះស្មើនឹងចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីកនៃប្រព័ន្ធ។ ចំណាត់ថ្នាក់(Α) = ចំណាត់ថ្នាក់(Α|B).
  ប្រសិនបើ ក rang(Α) ≠ rang(Α|B)បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធច្បាស់ជាមិនមានដំណោះស្រាយទេ។
  ប្រសិនបើ ចំណាត់ថ្នាក់(Α) = ចំណាត់ថ្នាក់(Α|B)បន្ទាប់មកករណីពីរអាចធ្វើទៅបាន៖
  1) rang(Α) = ន(ចំពោះចំនួនមិនស្គាល់) - ដំណោះស្រាយគឺមានតែមួយគត់ហើយអាចទទួលបានដោយរូបមន្តរបស់ Cramer ។
  2) ចំណាត់ថ្នាក់(Α)< n - មានដំណោះស្រាយជាច្រើនគ្មានកំណត់។
• វិធីសាស្រ្ត Gaussសម្រាប់ដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ
  
  
  ចូរយើងចងក្រងម៉ាទ្រីសដែលបានបន្ថែម ( ក|ខ) នៃប្រព័ន្ធមេគុណដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅផ្នែកមិនស្គាល់ និងខាងស្តាំ។
  វិធីសាស្ត្រ Gaussian ឬការលុបបំបាត់វិធីសាស្រ្តមិនស្គាល់មាននៅក្នុងការកាត់បន្ថយម៉ាទ្រីសដែលបានបន្ថែម ( ក|ខ) ដោយមានជំនួយពីការផ្លាស់ប្តូរបឋមលើជួរដេករបស់វាទៅជាទម្រង់អង្កត់ទ្រូង (ទៅជាទម្រង់ត្រីកោណខាងលើ) ។ ត្រឡប់ទៅប្រព័ន្ធនៃសមីការវិញ ភាពមិនស្គាល់ទាំងអស់ត្រូវបានកំណត់។
  ការបំប្លែងបឋមលើខ្សែអក្សររួមមានដូចខាងក្រោម៖
  1) ការផ្លាស់ប្តូរពីរបន្ទាត់;
  2) គុណលេខមួយដោយលេខក្រៅពី 0;
  3) ការបន្ថែមទៅខ្សែអក្សរ ខ្សែអក្សរមួយទៀតគុណនឹងលេខបំពាន។
  4) ការបោះបង់ខ្សែអក្សរទទេ។
  ម៉ាទ្រីសពង្រីកដែលកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់អង្កត់ទ្រូងត្រូវគ្នាទៅនឹងប្រព័ន្ធលីនេអ៊ែរដែលស្មើនឹងអ្វីដែលបានផ្តល់ឱ្យ ដំណោះស្រាយដែលមិនបង្កឱ្យមានការលំបាក។ .
• ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដូចគ្នា។
  ប្រព័ន្ធដូចគ្នាមានទម្រង់៖
  
  វាត្រូវគ្នាទៅនឹងសមីការម៉ាទ្រីស A X = 0.
  1) ប្រព័ន្ធដូចគ្នាគឺតែងតែស្រប, ចាប់តាំងពី r(A) = r(A|B)តែងតែមានដំណោះស្រាយសូន្យ (0, 0, …, 0)។
  2) សម្រាប់ប្រព័ន្ធដូចគ្នាដើម្បីឱ្យមានដំណោះស្រាយមិនសូន្យ វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ r = r(A)< n ដែលស្មើនឹង Δ = 0 ។
  3) ប្រសិនបើ r< n បន្ទាប់មក Δ = 0 បន្ទាប់មកមានការមិនស្គាល់ដោយឥតគិតថ្លៃ c 1 , c 2 , … , c n-rប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយមិនសំខាន់ ហើយមានច្រើនមិនចេះចប់។
  4) ដំណោះស្រាយទូទៅ Xនៅ r< n អាចត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់ម៉ាទ្រីសដូចខាងក្រោមៈ
  X \u003d c 1 X 1 + c 2 X 2 + ... + c n-r X n-r,
  តើដំណោះស្រាយនៅឯណា X 1 , X 2 , … , X n-rបង្កើតប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយ។
  ៥) ប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយអាចទទួលបានពីដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធដូចគ្នា៖
  
  ,
  ប្រសិនបើយើងសន្មត់តម្លៃនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រជា (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1)។
  ការរលាយនៃដំណោះស្រាយទូទៅនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយគឺជាកំណត់ត្រានៃដំណោះស្រាយទូទៅដែលជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃដំណោះស្រាយដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាន។
  ទ្រឹស្តីបទ. ដើម្បីឱ្យប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរមានដំណោះស្រាយមិនសូន្យ វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែល Δ ≠ 0 ។
  ដូច្នេះ ប្រសិនបើកត្តាកំណត់គឺ Δ ≠ 0 នោះប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។
  ប្រសិនបើ Δ ≠ 0 នោះប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរមានដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់។
  ទ្រឹស្តីបទ. ដើម្បីឱ្យប្រព័ន្ធដូចគ្នាមានដំណោះស្រាយមិនសូន្យ វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ r(A)< n .
  ភស្តុតាង:
  1) rមិនអាចលើសពីនេះទេ។ ន(ចំណាត់ថ្នាក់ម៉ាទ្រីសមិនលើសពីចំនួនជួរឈរឬជួរ);
  2) r< n , ដោយសារតែ ប្រសិនបើ r=nបន្ទាប់មកកត្តាកំណត់សំខាន់នៃប្រព័ន្ធ Δ ≠ 0 ហើយយោងទៅតាមរូបមន្តរបស់ Cramer មានដំណោះស្រាយមិនសំខាន់តែមួយគត់ x 1 \u003d x 2 \u003d ... \u003d x n \u003d 0ដែលផ្ទុយនឹងលក្ខខណ្ឌ។ មានន័យថា r(A)< n .
  ផលវិបាក. ដើម្បីឱ្យប្រព័ន្ធតែមួយ នសមីការលីនេអ៊ែរជាមួយ នមិនស្គាល់មានដំណោះស្រាយមិនសូន្យ វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែល Δ = 0 ។

ប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ (SLAE) ដែលមិនស្គាល់ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ មេគុណដែលជាធាតុនៃម៉ាទ្រីស ហើយសមាជិកឥតគិតថ្លៃគឺជាលេខ

លិបិក្រមទីមួយនៅជាប់នឹងមេគុណបង្ហាញថាសមីការដែលមេគុណស្ថិតនៅ ហើយទីពីរ - នៅត្រង់ណាដែលមិនស្គាល់វាស្ថិតនៅ។

ប្រសិនបើកត្តាកំណត់ម៉ាទ្រីសមិនស្មើនឹងសូន្យ

បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។

ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរគឺដូចជាសំណុំលេខលំដាប់ ដែលនៅពេលបង្វែរសមីការនីមួយៗនៃប្រព័ន្ធទៅជាសមភាពត្រឹមត្រូវ។

ប្រសិនបើផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធស្មើសូន្យ នោះប្រព័ន្ធនៃសមីការត្រូវបានគេហៅថាដូចគ្នា។ ក្នុងករណីនៅពេលដែលពួកគេមួយចំនួនគឺ nonzero, non-uniform

ប្រសិនបើប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរមានដំណោះស្រាយយ៉ាងហោចណាស់មួយ នោះវាត្រូវបានគេហៅថាត្រូវគ្នា បើមិនដូច្នេះទេវាមិនឆបគ្នា។

ប្រសិនបើដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធមានតែមួយ នោះប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរត្រូវបានគេហៅថាច្បាស់លាស់។ ក្នុងករណីនៅពេលដែលដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធរួមគ្នាមិនមានតែមួយគត់នោះប្រព័ន្ធនៃសមីការត្រូវបានគេហៅថាមិនកំណត់។

ប្រព័ន្ធពីរនៃសមីការលីនេអ៊ែរត្រូវបានគេហៅថាសមមូល (ឬសមមូល) ប្រសិនបើដំណោះស្រាយទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធមួយគឺជាដំណោះស្រាយនៃទីពីរ និងច្រាសមកវិញ។ ប្រព័ន្ធសមមូល (ឬសមមូល) ត្រូវបានទទួលដោយប្រើការបំប្លែងសមមូល។

ការផ្លាស់ប្តូរសមមូលនៃ SLAE

1) ការរៀបចំឡើងវិញនៃសមីការ;

2) គុណ (ឬការបែងចែក) នៃសមីការដោយលេខមិនសូន្យ;

3) បន្ថែមទៅសមីការមួយចំនួន សមីការមួយផ្សេងទៀត គុណនឹងចំនួនមិនសូន្យតាមអំពើចិត្ត។

ដំណោះស្រាយ SLAE អាចរកបានតាមវិធីផ្សេងៗគ្នា។

វិធីសាស្រ្តរបស់ CRAMER

ទ្រឹស្តីបទរបស់ CRAMER ។ ប្រសិនបើកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរជាមួយនឹងការមិនស្គាល់គឺមិនសូន្យទេនោះប្រព័ន្ធនេះមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ដែលត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត Cramer៖

គឺជាកត្តាកំណត់ដែលបង្កើតឡើងដោយការជំនួសជួរឈរ i-th ដោយជួរឈរនៃសមាជិកឥតគិតថ្លៃ។

ប្រសិនបើ ហើយយ៉ាងហោចណាស់មួយមិនសូន្យ នោះ SLAE មិនមានដំណោះស្រាយទេ។ ប្រសិនបើ បន្ទាប់មក SLAE មានដំណោះស្រាយជាច្រើន។ ពិចារណាឧទាហរណ៍ដោយប្រើវិធីសាស្ត្ររបស់ Cramer ។

—————————————————————

ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរបីដែលមិនស្គាល់ចំនួនបីត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយវិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer

ស្វែងរកកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសនៃមេគុណសម្រាប់មិនស្គាល់

ចាប់តាំងពីពេលនោះមក ប្រព័ន្ធសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺស្រប និងមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។ ចូរយើងគណនាកត្តាកំណត់៖

ដោយប្រើរូបមន្តរបស់ Cramer យើងរកឃើញអ្វីដែលមិនស្គាល់

ដូច្នេះ ដំណោះស្រាយតែមួយគត់ចំពោះប្រព័ន្ធ។

ប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរចំនួនបួនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយវិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer ។

ចូរយើងស្វែងរកកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសនៃមេគុណសម្រាប់មិនស្គាល់។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងពង្រីកវាដោយបន្ទាត់ទីមួយ។

ស្វែងរកធាតុផ្សំនៃកត្តាកំណត់៖

ជំនួសតម្លៃដែលបានរកឃើញទៅក្នុងកត្តាកំណត់

ដូច្នេះកត្តាកំណត់ ប្រព័ន្ធសមីការគឺស្រប និងមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។ យើងគណនាកត្តាកំណត់ដោយប្រើរូបមន្តរបស់ Cramer៖

ចូរពង្រីកកត្តាកំណត់នីមួយៗដោយជួរឈរដែលមានលេខសូន្យច្រើនជាង។

តាមរូបមន្តរបស់ Cramer យើងរកឃើញ

ដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធ

ឧទាហរណ៍នេះអាចដោះស្រាយបានដោយប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខ YukhymCALC. បំណែកនៃកម្មវិធី និងលទ្ធផលនៃការគណនាត្រូវបានបង្ហាញខាងក្រោម។

——————————

វិធីសាស្រ្ត C R A M E R

|1,1,1,1|

ឃ=|5,-3,2,-8|

|3,5,1,4|

|4,2,3,1|

D=1*(-3*1*1+2*4*2+(-8)*5*3-((-8)*1*2+2*5*1+(-3)*4* 3))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3) )+1*(5*5*1+(-3)*4*4+(-8)*3*2-((-8)*5*4+(-3)*3*1+5* 4*2))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4* 3))= 1*(-3+16-120+16-10+36)-1*(5+32-72+32-6-60)+1*(25-48-48+160+9- 40)-1*(75-12+12-40+27-10)=1*(-65)-1*(-69)+1*58-1*52=-65+69+58-52= ដប់

|0,1,1,1|

Dx1=|1,-3,2,-8|

|0,5,1,4|

|3,2,3,1|

Dx1=-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3)) +1*(1*5*1+(-3)*4*3+(-8)*0*2-((-8)*5*3+(-3)*0*1+1*4 *2))-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3 ))= -1*(1+24+0+24+0-12)+1*(5-36+0+120+0-8)-1*(15-9+0-30+0-2 )= -1*(37)+1*81-1*(-26)=-37+81+26=70

|1,0,1,1|

Dx2=|5,1,2,-8|

|3,0,1,4|

|4,3,3,1|

Dx2=1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3))+ 1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))-1* (5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3))= 1*(1 +24+0+24+0-12)+1*(0+16-72+0-3-60)-1*(0+4+18+0-9-15)= 1*37+1* (-119)-1*(-2)=37-119+2=-80

|1,1,0,1|

Dx3=|5,-3,1,-8|

|3,5,0,4|

|4,2,3,1|

Dx3=1*(-3*0*1+1*4*2+(-8)*5*3-((-8)*0*2+1*5*1+(-3)*4* 3))-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3) )-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))= 1*(0+8-120+0-5+36)-1*(0+16-72+0-3-60)-1*(75+0+6-20+27+0)= 1* (-81)-1*(-119)-1*88=-81+119-88=-50

|1,1,1,0|

Dx4=|5,-3,2,1|

|3,5,1,0|

|4,2,3,3|

Dx4=1*(-3*1*3+2*0*2+1*5*3-(1*1*2+2*5*3+(-3)*0*3))-1* (5*1*3+2*0*4+1*3*3-(1*1*4+2*3*3+5*0*3))+1*(5*5*3+( -3)*0*4+1*3*2-(1*5*4+(-3)*3*3+5*0*2))= 1*(-9+0+15-2- 30+0)-1*(15+0+9-4-18+0)+1*(75+0+6-20+27+0)= 1*(-26)-1*(2)+ 1*88=-26-2+88=60

x1=Dx1/D=70.0000/10.0000=7.0000

x2=Dx2/D=-80.0000/10.0000=-8.0000

x3=Dx3/D=-50.0000/10.0000=-5.0000

x4=Dx4/D=60.0000/10.0000=6.0000

មើលសម្ភារ:

(jcomments លើ)

នៅក្នុងករណីទូទៅ ច្បាប់សម្រាប់ការគណនាកត្តាកំណត់នៃលំដាប់ទីគឺពិបាកជាង។ ចំពោះកត្តាកំណត់នៃលំដាប់ទីពីរ និងទីបី មានវិធីសមហេតុផលក្នុងការគណនាពួកគេ។

ការគណនានៃកត្តាកំណត់លំដាប់ទីពីរ

ដើម្បីគណនាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសនៃលំដាប់ទីពីរ វាចាំបាច់ក្នុងការដកផលិតផលនៃធាតុនៃអង្កត់ទ្រូងបន្ទាប់បន្សំពីផលិតផលនៃធាតុនៃអង្កត់ទ្រូងចម្បង:

ឧទាហរណ៍

លំហាត់ប្រាណ។គណនាកត្តាកំណត់លំដាប់ទីពីរ

ដំណោះស្រាយ។

ចម្លើយ។

វិធីសាស្រ្តសម្រាប់គណនាកត្តាកំណត់លំដាប់ទីបី

មានច្បាប់សម្រាប់គណនាកត្តាកំណត់លំដាប់ទីបី។

ច្បាប់ត្រីកោណ

តាមគ្រោងការណ៍ ច្បាប់នេះអាចត្រូវបានតំណាងដូចខាងក្រោមៈ

ផលិតផលនៃធាតុនៅក្នុងកត្តាកំណត់ដំបូងដែលត្រូវបានតភ្ជាប់ដោយបន្ទាត់ត្រូវបានយកដោយសញ្ញាបូក; ស្រដៀងគ្នានេះដែរ សម្រាប់កត្តាកំណត់ទីពីរ ផលិតផលដែលត្រូវគ្នាត្រូវបានយកដោយសញ្ញាដក ពោលគឺឧ។

ឧទាហរណ៍

លំហាត់ប្រាណ។កត្តាកំណត់គណនា វិធីសាស្រ្តត្រីកោណ។

ដំណោះស្រាយ។

ចម្លើយ។

ក្បួនសារ៉ាស

នៅខាងស្ដាំនៃកត្តាកំណត់ ជួរឈរពីរដំបូងត្រូវបានបន្ថែម ហើយផលិតផលនៃធាតុនៅលើអង្កត់ទ្រូងមេ និងនៅលើអង្កត់ទ្រូងស្របនឹងវាត្រូវបានយកដោយសញ្ញាបូក។ និងផលិតផលនៃធាតុនៃអង្កត់ទ្រូងបន្ទាប់បន្សំ និងអង្កត់ទ្រូងស្របនឹងវា ដោយមានសញ្ញាដក៖

ឧទាហរណ៍

លំហាត់ប្រាណ។កត្តាកំណត់គណនា ដោយប្រើក្បួន Sarrus ។

ដំណោះស្រាយ។

ចម្លើយ។

ការពង្រីកជួរ ឬជួរឈរនៃកត្តាកំណត់

កត្តាកំណត់គឺស្មើនឹងផលបូកនៃផលិតផលនៃធាតុនៃជួរដេកនៃកត្តាកំណត់ និងការបំពេញបន្ថែមពិជគណិតរបស់វា។

ជាធម្មតាជ្រើសរើស row/column ដែល/th មានសូន្យ។ ជួរ​ដេក ឬ​ជួរ​ឈរ​ដែល​ការ​បំបែក​ត្រូវ​បាន​អនុវត្ត​នឹង​ត្រូវ​បាន​បង្ហាញ​ដោយ​សញ្ញា​ព្រួញ។

ឧទាហរណ៍

លំហាត់ប្រាណ។ការពង្រីកលើជួរទីមួយ គណនាកត្តាកំណត់

ដំណោះស្រាយ។

ចម្លើយ។

វិធីសាស្រ្តនេះអនុញ្ញាតឱ្យការគណនានៃកត្តាកំណត់ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការគណនានៃកត្តាកំណត់នៃលំដាប់ទាបជាង។

ឧទាហរណ៍

លំហាត់ប្រាណ។កត្តាកំណត់គណនា

ដំណោះស្រាយ។ចូរយើងអនុវត្តការបំប្លែងដូចខាងក្រោមនៅលើជួរនៃកត្តាកំណត់៖ ពីជួរទីពីរយើងដកបួនដំបូង ហើយពីជួរទីបី ជួរទីមួយគុណនឹងប្រាំពីរ ជាលទ្ធផល យោងទៅតាមលក្ខណៈសម្បត្តិនៃកត្តាកំណត់ យើងទទួលបាន កត្តាកំណត់ស្មើនឹងអ្វីដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

កត្តាកំណត់គឺសូន្យព្រោះជួរទីពីរនិងទីបីគឺសមាមាត្រ។

ចម្លើយ។

ដើម្បីគណនាកត្តាកំណត់នៃលំដាប់ទីបួន និងខាងលើ ទាំងការពង្រីកក្នុងជួរដេក/ជួរឈរ ឬការកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ត្រីកោណ ឬប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Laplace ត្រូវបានប្រើ។

ការខូចទ្រង់ទ្រាយនៃកត្តាកំណត់ក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃធាតុនៃជួរដេក ឬជួរឈរ

ឧទាហរណ៍

លំហាត់ប្រាណ។កត្តាកំណត់គណនា បំបែកវាដោយធាតុនៃជួរដេកខ្លះ ឬជួរឈរខ្លះ។

ដំណោះស្រាយ។អនុញ្ញាតឱ្យយើងធ្វើការបំប្លែងបឋមនៅលើជួរដេកនៃកត្តាកំណត់ដោយបង្កើតលេខសូន្យឱ្យបានច្រើនតាមដែលអាចធ្វើទៅបាន ទាំងក្នុងមួយជួរ ឬក្នុងជួរឈរមួយ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះដំបូងយើងដកប្រាំបួនភាគបីពីជួរទីមួយ ប្រាំភាគបីពីទីពីរ និងបីភាគបីពីជួរទីបួន យើងទទួលបាន:

យើងពង្រីកកត្តាកំណត់លទ្ធផលដោយធាតុនៃជួរទីមួយ៖

កត្តាកំណត់លំដាប់ទីបីដែលជាលទ្ធផលក៏ត្រូវបានពង្រីកដោយធាតុនៃជួរដេក និងជួរឈរ ដោយទទួលបានសូន្យពីមុន ឧទាហរណ៍ក្នុងជួរទីមួយ។

ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងដកខ្សែទីពីរពីរពីជួរទីមួយហើយទីពីរពីជួរទីបី:

ចម្លើយ។

មតិយោបល់

កត្តាកំណត់ចុងក្រោយ និងចុងក្រោយមិនអាចគណនាបានទេ ប៉ុន្តែភ្លាមៗត្រូវសន្និដ្ឋានថាពួកគេស្មើនឹងសូន្យ ដោយសារពួកវាមានជួរសមាមាត្រ។

នាំកត្តាកំណត់ទៅជាទម្រង់ត្រីកោណ

ដោយមានជំនួយពីការបំប្លែងបឋមលើជួរដេកឬជួរឈរ កត្តាកំណត់ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ត្រីកោណ ហើយបន្ទាប់មកតម្លៃរបស់វាយោងទៅតាមលក្ខណៈសម្បត្តិនៃកត្តាកំណត់គឺស្មើនឹងផលិតផលនៃធាតុនៅលើអង្កត់ទ្រូងមេ។

ឧទាហរណ៍

លំហាត់ប្រាណ។កត្តាកំណត់គណនា នាំវាទៅជារាងត្រីកោណ។

ដំណោះស្រាយ។ដំបូងយើងធ្វើសូន្យនៅក្នុងជួរឈរទីមួយនៅក្រោមអង្កត់ទ្រូងមេ។

4. លក្ខណៈសម្បត្តិនៃកត្តាកំណត់។ កត្តាកំណត់នៃផលិតផលនៃម៉ាទ្រីស។

ការបំប្លែងទាំងអស់នឹងកាន់តែងាយស្រួលអនុវត្ត ប្រសិនបើធាតុស្មើនឹង 1។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ យើងនឹងប្តូរជួរឈរទីមួយ និងទីពីរនៃកត្តាកំណត់ ដែលយោងទៅតាមលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់កត្តាកំណត់នឹងបណ្តាលឱ្យវាផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាទៅផ្ទុយ។ :

បន្ទាប់យើងទទួលបានសូន្យនៅក្នុងជួរឈរទីពីរជំនួសឱ្យធាតុនៅក្រោមអង្កត់ទ្រូងមេ។ ហើយម្តងទៀតប្រសិនបើធាតុអង្កត់ទ្រូងស្មើនឹង នោះការគណនានឹងកាន់តែសាមញ្ញ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងប្តូរជួរទីពីរនិងទីបី (ហើយក្នុងពេលតែមួយប្តូរទៅសញ្ញាផ្ទុយនៃកត្តាកំណត់):

ចម្លើយ។

ទ្រឹស្តីបទ Laplace

ឧទាហរណ៍

លំហាត់ប្រាណ។ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Laplace គណនាកត្តាកំណត់

ដំណោះស្រាយ។យើងជ្រើសរើសជួរពីរនៅក្នុងកត្តាកំណត់លំដាប់ទីប្រាំនេះ - ទីពីរនិងទីបីបន្ទាប់មកយើងទទួលបាន (យើងលុបចោលលក្ខខណ្ឌដែលស្មើនឹងសូន្យ):

ចម្លើយ។

សមីការលីនេអ៊ែរ និងវិសមភាព I

§ 31 ករណីនៅពេលដែលកត្តាកំណត់សំខាន់នៃប្រព័ន្ធសមីការគឺស្មើនឹងសូន្យ ហើយយ៉ាងហោចណាស់កត្តាកំណត់ជំនួយមួយគឺខុសពីសូន្យ

ទ្រឹស្តីបទ។ប្រសិនបើកត្តាកំណត់សំខាន់នៃប្រព័ន្ធសមីការ

(1)

ស្មើនឹងសូន្យ ហើយយ៉ាងហោចណាស់កត្តាកំណត់ជំនួយមួយគឺខុសពីសូន្យ បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា។

ជា​ផ្លូវការ ភស្តុតាង​នៃ​ទ្រឹស្តីបទ​នេះ​មិន​ពិបាក​នឹង​ទទួល​បាន​ដោយ​ភាព​ផ្ទុយ​គ្នា​ទេ។ ចូរយើងសន្មត់ថាប្រព័ន្ធសមីការ (1) មានដំណោះស្រាយ ( x 0 , y 0). ចំណែកឯ ដូចដែលបានបង្ហាញក្នុងកថាខណ្ឌមុន

Δ x 0 = Δ x , Δ y 0 = Δ y (2)

ប៉ុន្តែតាមលក្ខខណ្ឌ Δ = 0 ហើយយ៉ាងហោចណាស់មួយក្នុងចំនោមកត្តាកំណត់ Δ x និង Δ y ខុសពីសូន្យ។ ដូច្នេះ សមភាព (២) មិនអាចមានក្នុងពេលដំណាលគ្នាបានទេ។ ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ វាហាក់ដូចជាគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ក្នុងការបញ្ជាក់ឱ្យបានលម្អិតបន្ថែមទៀតថាហេតុអ្វីបានជាប្រព័ន្ធនៃសមីការ (1) មិនស៊ីសង្វាក់គ្នានៅក្នុងករណីដែលកំពុងពិចារណា។

មានន័យថាមេគុណនៃការមិនស្គាល់នៅក្នុងប្រព័ន្ធសមីការ (1) គឺសមាមាត្រ។ អនុញ្ញាតឱ្យឧទាហរណ៍

ក 1 = កា 2 , ខ 1 = គីឡូបៃ 2 .

មានន័យថាមេគុណ នៅ ហើយលក្ខខណ្ឌសេរីនៃសមីការនៃប្រព័ន្ធ (1) មិនសមាមាត្រទេ។ ដោយសារតែ ខ 1 = គីឡូបៃ 2 បន្ទាប់មក គ 1 =/= kc 2 .

ដូច្នេះប្រព័ន្ធនៃសមីការ (1) អាចត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ

នៅក្នុងប្រព័ន្ធនេះ មេគុណសម្រាប់មិនស្គាល់គឺសមាមាត្ររៀងគ្នា ប៉ុន្តែមេគុណសម្រាប់ នៅ (ឬពេលណា X ) ហើយលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃមិនសមាមាត្រទេ។ ប្រព័ន្ធបែបនេះ ពិតណាស់មិនស៊ីសង្វាក់គ្នា។ ជាការពិតប្រសិនបើនាងមានដំណោះស្រាយ ( x 0 , y 0) បន្ទាប់មកសមភាពលេខ

k (ក 2 x 0 + ខ 2 y 0) = គ 1

ក 2 x 0 + ខ 2 y 0 = គ 2 .

ប៉ុន្តែ​សមភាព​មួយ​ក្នុង​ចំណោម​សមភាព​ទាំង​នេះ​ផ្ទុយ​នឹង​មួយទៀត៖ បន្ទាប់​មក គ 1 =/= kc 2 .

យើងបានពិចារណាតែករណីនៅពេលដែល Δ x =/= 0. ដូចគ្នានេះដែរ យើងអាចពិចារណាករណីនេះនៅពេល Δ y =/= 0."

ទ្រឹស្តីបទដែលបានបញ្ជាក់អាចត្រូវបានបង្កើតតាមវិធីដូចខាងក្រោម។

ប្រសិនបើមេគុណសម្រាប់មិនស្គាល់ Xនិង នៅនៅក្នុងប្រព័ន្ធនៃសមីការ (1) គឺសមាមាត្រ ហើយមេគុណសម្រាប់ការមិនស្គាល់ណាមួយទាំងនេះ និងលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃមិនសមាមាត្រទេ បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធនៃសមីការនេះគឺមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា។

ជាឧទាហរណ៍ វាងាយស្រួលណាស់ក្នុងការផ្ទៀងផ្ទាត់ថាប្រព័ន្ធនីមួយៗទាំងនេះនឹងមិនជាប់លាប់៖

វិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer សម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ

រូបមន្តរបស់ Cramer

វិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer គឺផ្អែកលើការប្រើប្រាស់កត្តាកំណត់ក្នុងការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ នេះបង្កើនល្បឿនដំណើរការដំណោះស្រាយយ៉ាងខ្លាំង។

វិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer អាចត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរច្រើនដូចដែលមិនស្គាល់នៅក្នុងសមីការនីមួយៗ។

វិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer ។ កម្មវិធីសម្រាប់ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ

ប្រសិនបើកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធមិនស្មើនឹងសូន្យ នោះវិធីសាស្ត្ររបស់ Cramer អាចត្រូវបានប្រើក្នុងដំណោះស្រាយ ប្រសិនបើវាស្មើនឹងសូន្យ នោះវាមិនអាចទៅរួចនោះទេ។ លើសពីនេះទៀតវិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer អាចត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។

និយមន័យ. កត្តាកំណត់ដែលផ្សំឡើងដោយមេគុណនៃមិនស្គាល់ត្រូវបានគេហៅថា កត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធ និងត្រូវបានតំណាងដោយ (ដីសណ្ត)។

កត្តាកំណត់

ត្រូវបានទទួលដោយការជំនួសមេគុណនៅមិនស្គាល់ដែលត្រូវគ្នាដោយលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃ៖

;

.

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Cramer. ប្រសិនបើកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធមិនសូន្យ នោះប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរមានដំណោះស្រាយតែមួយ ហើយអ្វីដែលមិនស្គាល់គឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃកត្តាកំណត់។ ភាគបែងមានកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធ ហើយភាគយកមានកត្តាកំណត់ដែលទទួលបានពីកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធដោយជំនួសមេគុណដោយមិនស្គាល់ដោយលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃ។ ទ្រឹស្តីបទនេះសម្រាប់ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ណាមួយ។

ឧទាហរណ៍ ១ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ៖

យោង​ទៅ​តាម ទ្រឹស្តីបទរបស់ Cramerយើង​មាន:

ដូច្នេះដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធ (២)៖

ករណីបីក្នុងការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ

ដូចដែលលេចឡើងពី ទ្រឹស្តីបទរបស់ Cramerនៅពេលដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ ករណីបីអាចកើតឡើង៖

ករណីទីមួយ៖ ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់

(ប្រព័ន្ធគឺស្របនិងច្បាស់លាស់)

*

ករណីទីពីរ៖ ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរមានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់

(ប្រព័ន្ធគឺស្របនិងមិនកំណត់)

**
,

ទាំងនោះ។ មេគុណនៃការមិនស្គាល់ និងលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃគឺសមាមាត្រ។

ករណីទីបី៖ ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរមិនមានដំណោះស្រាយទេ។

(ប្រព័ន្ធមិនស្របគ្នា)

ដូច្នេះប្រព័ន្ធ មសមីការលីនេអ៊ែរជាមួយ នអថេរត្រូវបានគេហៅថា មិនឆបគ្នា។ប្រសិនបើវាមិនមានដំណោះស្រាយ និង រួមប្រសិនបើវាមានដំណោះស្រាយយ៉ាងហោចណាស់មួយ។ ប្រព័ន្ធរួមនៃសមីការដែលមានដំណោះស្រាយតែមួយត្រូវបានគេហៅថា ជាក់លាក់និងច្រើនជាងមួយ។ មិនប្រាកដប្រជា.

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រ Cramer

អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធ

.

ផ្អែកលើទ្រឹស្តីបទរបស់ Cramer

………….
,

កន្លែងណា
—

ឧបករណ៍កំណត់អត្តសញ្ញាណប្រព័ន្ធ។ កត្តាកំណត់ដែលនៅសេសសល់ត្រូវបានទទួលដោយការជំនួសជួរឈរជាមួយនឹងមេគុណនៃអថេរដែលត្រូវគ្នា (មិនស្គាល់) ជាមួយនឹងសមាជិកឥតគិតថ្លៃ៖

ឧទាហរណ៍ ២

.

ដូច្នេះប្រព័ន្ធគឺច្បាស់លាស់។ ដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយរបស់វា យើងគណនាកត្តាកំណត់

តាមរូបមន្តរបស់ Cramer យើងរកឃើញ៖

ដូច្នេះ (1; 0; -1) គឺជាដំណោះស្រាយតែមួយគត់ចំពោះប្រព័ន្ធ។

ដើម្បីពិនិត្យមើលដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធសមីការ 3 X 3 និង 4 X 4 អ្នកអាចប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខតាមអ៊ីនធឺណិត វិធីសាស្ត្រដោះស្រាយ Cramer ។

ប្រសិនបើមិនមានអថេរនៅក្នុងប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរក្នុងសមីការមួយ ឬច្រើនទេនោះ នៅក្នុងកត្តាកំណត់ ធាតុដែលត្រូវនឹងពួកវាគឺស្មើនឹងសូន្យ! នេះជាឧទាហរណ៍បន្ទាប់។

ឧទាហរណ៍ ៣ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រ Cramer៖

.

ដំណោះស្រាយ។ យើងរកឃើញកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធ៖

សូមក្រឡេកមើលប្រព័ន្ធសមីការ និងកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធដោយយកចិត្តទុកដាក់ ហើយឆ្លើយសំណួរម្តងទៀត ក្នុងករណីដែលធាតុមួយ ឬច្រើននៃកត្តាកំណត់ស្មើនឹងសូន្យ។ ដូច្នេះ កត្តាកំណត់មិនស្មើនឹងសូន្យទេ ដូច្នេះប្រព័ន្ធកំណត់ច្បាស់លាស់។ ដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយរបស់វា យើងគណនាកត្តាកំណត់សម្រាប់អ្វីដែលមិនស្គាល់

តាមរូបមន្តរបស់ Cramer យើងរកឃើញ៖

ដូច្នេះដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធគឺ (2; -1; 1) ។

ដើម្បីពិនិត្យមើលដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធសមីការ 3 X 3 និង 4 X 4 អ្នកអាចប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខតាមអ៊ីនធឺណិត វិធីសាស្ត្រដោះស្រាយ Cramer ។

កំពូលនៃទំព័រ

ធ្វើតេស្តលើប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ

ដូចដែលបានបញ្ជាក់រួចមកហើយ ប្រសិនបើកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធស្មើនឹងសូន្យ ហើយកត្តាកំណត់សម្រាប់មិនស្គាល់មិនស្មើនឹងសូន្យ ប្រព័ន្ធគឺមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា ពោលគឺវាគ្មានដំណោះស្រាយទេ។ សូម​បង្ហាញ​ជា​មួយ​នឹង​ឧទាហរណ៍​ខាង​ក្រោម។

ឧទាហរណ៍ 4ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រ Cramer៖

ដំណោះស្រាយ។ យើងរកឃើញកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធ៖

កត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធគឺស្មើសូន្យ ដូច្នេះប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរគឺមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា និងច្បាស់លាស់ ឬមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា ពោលគឺវាមិនមានដំណោះស្រាយទេ។ ដើម្បីបញ្ជាក់ យើងគណនាកត្តាកំណត់សម្រាប់មិនស្គាល់

កត្តាកំណត់សម្រាប់មិនស្គាល់គឺមិនស្មើនឹងសូន្យទេ ដូច្នេះប្រព័ន្ធមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា ពោលគឺវាគ្មានដំណោះស្រាយ។

ដើម្បីពិនិត្យមើលដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធសមីការ 3 X 3 និង 4 X 4 អ្នកអាចប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខតាមអ៊ីនធឺណិត វិធីសាស្ត្រដោះស្រាយ Cramer ។

នៅក្នុងបញ្ហាប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ ក៏មានផងដែរ ដែលបន្ថែមពីលើអក្សរដែលបង្ហាញពីអថេរ ក៏មានអក្សរផ្សេងទៀតផងដែរ។ អក្សរទាំងនេះតំណាងឱ្យលេខមួយចំនួន ដែលភាគច្រើនជាលេខពិត។ នៅក្នុងការអនុវត្ត សមីការ និងប្រព័ន្ធនៃសមីការបែបនេះនាំឱ្យមានបញ្ហាដើម្បីស្វែងរកលក្ខណៈទូទៅនៃបាតុភូត និងវត្ថុណាមួយ។ នោះគឺអ្នកបានបង្កើតសម្ភារៈ ឬឧបករណ៍ថ្មីមួយចំនួន ហើយដើម្បីពិពណ៌នាអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា ដែលជារឿងធម្មតាដោយមិនគិតពីទំហំ ឬចំនួនច្បាប់ចម្លង អ្នកត្រូវដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ ដែលជំនួសឱ្យមេគុណមួយចំនួនសម្រាប់អថេរមានអក្សរ។ អ្នកមិនចាំបាច់រកមើលឧទាហរណ៍ឆ្ងាយទេ។

ឧទាហរណ៍បន្ទាប់គឺសម្រាប់បញ្ហាស្រដៀងគ្នា មានតែចំនួនសមីការ អថេរ និងអក្សរដែលបង្ហាញពីចំនួនពិតមួយចំនួនកើនឡើង។

ឧទាហរណ៍ ៦ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រ Cramer៖

ដំណោះស្រាយ។ យើងរកឃើញកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធ៖

ស្វែងរកកត្តាកំណត់សម្រាប់មិនស្គាល់

តាមរូបមន្តរបស់ Cramer យើងរកឃើញ៖

,

,

.

ហើយចុងក្រោយ ប្រព័ន្ធនៃសមីការចំនួនបួនដែលមិនស្គាល់ចំនួនបួន។

ឧទាហរណ៍ ៧ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រ Cramer៖

.

យកចិត្តទុកដាក់! វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ការគណនាកត្តាកំណត់លំដាប់ទីបួននឹងមិនត្រូវបានពន្យល់នៅទីនេះទេ។ បន្ទាប់ពីនោះ - ទៅផ្នែកសមស្របនៃគេហទំព័រ។ ប៉ុន្តែនឹងមានមតិមួយចំនួន។ ដំណោះស្រាយ។ យើងរកឃើញកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធ៖

មតិតូចមួយ។ នៅក្នុងកត្តាកំណត់ដើម ធាតុនៃជួរទី ៤ ត្រូវបានដកចេញពីធាតុនៃជួរទីពីរ ធាតុនៃជួរទី ៤ គុណនឹង ២ ត្រូវបានដកចេញពីធាតុនៃជួរទី ៣ ធាតុនៃជួរទីមួយគុណនឹង ២ គឺ ដកពីធាតុនៃជួរទីបួន។ គ្រោងការណ៍។ ស្វែងរកកត្តាកំណត់សម្រាប់មិនស្គាល់

សម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរនៃកត្តាកំណត់ជាមួយនឹងមិនស្គាល់ទីបួន ធាតុនៃជួរទីបួនត្រូវបានដកចេញពីធាតុនៃជួរទីមួយ។

តាមរូបមន្តរបស់ Cramer យើងរកឃើញ៖

ដូច្នេះដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធគឺ (1; 1; -1; -1) ។

ដើម្បីពិនិត្យមើលដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធសមីការ 3 X 3 និង 4 X 4 អ្នកអាចប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខតាមអ៊ីនធឺណិត វិធីសាស្ត្រដោះស្រាយ Cramer ។

អ្នកដែលយកចិត្តទុកដាក់បំផុតប្រហែលជាកត់សម្គាល់ឃើញថាអត្ថបទមិនមានឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយប្រព័ន្ធមិនកំណត់នៃសមីការលីនេអ៊ែរទេ។ ហើយទាំងអស់ដោយសារតែវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការដោះស្រាយប្រព័ន្ធបែបនេះដោយវិធីសាស្ត្រ Cramer យើងអាចបញ្ជាក់បានថាប្រព័ន្ធគឺគ្មានកំណត់។ ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធបែបនេះត្រូវបានផ្តល់ដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss ។

មិនមានពេលវេលាដើម្បីស្វែងយល់ពីដំណោះស្រាយមែនទេ? អាចបញ្ជាការងារបាន!

កំពូលនៃទំព័រ

ធ្វើតេស្តលើប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ

ផ្សេងទៀតលើប្រធានបទ "ប្រព័ន្ធសមីការ និងវិសមភាព"

ម៉ាស៊ីនគិតលេខ - ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការតាមអ៊ីនធឺណិត

ការអនុវត្តកម្មវិធីនៃវិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer នៅក្នុង C++

ដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រជំនួស និងវិធីសាស្ត្របន្ថែម

ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss

លក្ខខណ្ឌនៃភាពឆបគ្នានៃប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។

ទ្រឹស្តីបទ Kronecker-Capelli

ដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីស (ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស)

ប្រព័ន្ធនៃវិសមភាពលីនេអ៊ែរ និងសំណុំប៉ោងនៃចំនុច

ការចាប់ផ្តើមនៃប្រធានបទ "ពិជគណិតលីនេអ៊ែរ"

កត្តាកំណត់

នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងស្គាល់ពីគោលគំនិតដ៏សំខាន់មួយពីផ្នែកនៃពិជគណិតលីនេអ៊ែរ ដែលត្រូវបានគេហៅថា កត្តាកំណត់។

ខ្ញុំចង់កត់សម្គាល់ចំណុចសំខាន់មួយភ្លាមៗ៖ គោលគំនិតនៃកត្តាកំណត់មានសុពលភាពសម្រាប់តែម៉ាទ្រីសការ៉េ (ចំនួនជួរដេក = ចំនួនជួរឈរ) ម៉ាទ្រីសផ្សេងទៀតមិនមានវាទេ។

កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសការ៉េ(កត្តាកំណត់) - លក្ខណៈលេខនៃម៉ាទ្រីស។

ការកំណត់កត្តាកំណត់៖ |A|, det A, ∆ ក.

កត្តាកំណត់លំដាប់ "n" ត្រូវបានគេហៅថាផលបូកពិជគណិតនៃផលិតផលដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃធាតុរបស់វាដែលបំពេញតម្រូវការដូចខាងក្រោមៈ

1) ផលិតផលនីមួយៗមានធាតុ "n" យ៉ាងពិតប្រាកដ (ឧ. កត្តាកំណត់លំដាប់ទីពីរគឺ 2 ធាតុ)។

2) នៅក្នុងផលិតផលនីមួយៗមានតំណាងនៃជួរនីមួយៗនិងជួរឈរនីមួយៗជាកត្តា។

3) កត្តាពីរនៅក្នុងផលិតផលនីមួយៗមិនអាចជារបស់ជួរដេក ឬជួរឈរតែមួយបានទេ។

សញ្ញានៃផលិតផលត្រូវបានកំណត់ដោយលំដាប់នៃការឆ្លាស់គ្នានៃលេខជួរឈរ ប្រសិនបើធាតុនៅក្នុងផលិតផលត្រូវបានរៀបចំតាមលំដាប់ឡើងនៃលេខជួរដេក។

សូមពិចារណាឧទាហរណ៍មួយចំនួននៃការស្វែងរកកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស៖

សម្រាប់ម៉ាទ្រីសលំដាប់ទីមួយ (ឧ។

សមីការលីនេអ៊ែរ។ ប្រព័ន្ធដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរ។ វិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer ។

មានធាតុតែមួយ) កត្តាកំណត់គឺស្មើនឹងធាតុនេះ៖

2. ពិចារណាម៉ាទ្រីសការ៉េលំដាប់ទីពីរ៖

3. ពិចារណាម៉ាទ្រីសការ៉េនៃលំដាប់ទីបី (3 × 3):

4. ហើយឥឡូវនេះ សូមពិចារណាឧទាហរណ៍ជាមួយចំនួនពិត៖

ក្បួនត្រីកោណ។

ក្បួនត្រីកោណ គឺជាវិធីមួយដើម្បីគណនាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស ដែលពាក់ព័ន្ធនឹងការស្វែងរកវាតាមគ្រោងការណ៍ខាងក្រោម៖

ដូចដែលអ្នកបានយល់រួចហើយ វិធីសាស្ត្រត្រូវបានគេហៅថា ច្បាប់ត្រីកោណ ដោយសារតែធាតុម៉ាទ្រីសគុណបង្កើតជាត្រីកោណពិសេស។

ដើម្បីយល់កាន់តែច្បាស់ សូមលើកឧទាហរណ៍មួយមក៖

ហើយឥឡូវនេះពិចារណាការគណនានៃកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសជាមួយនឹងចំនួនពិតដោយប្រើច្បាប់ត្រីកោណ៖

ដើម្បីបង្រួបបង្រួមសម្ភារៈដែលគ្របដណ្តប់ យើងនឹងដោះស្រាយឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែងមួយទៀត៖

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃកត្តាកំណត់៖

1. ប្រសិនបើធាតុនៃជួរដេក ឬជួរឈរស្មើនឹងសូន្យ នោះកត្តាកំណត់គឺស្មើនឹងសូន្យ។

2. កត្តាកំណត់នឹងផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា ប្រសិនបើជួរដេក ឬជួរឈរ 2 ណាមួយត្រូវបានប្តូរ។ សូមក្រឡេកមើលរឿងនេះជាមួយឧទាហរណ៍តូចមួយ៖

3. កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស transposed គឺស្មើនឹងកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសដើម។

4. កត្តាកំណត់គឺសូន្យ ប្រសិនបើធាតុនៃជួរដេកមួយស្មើនឹងធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរដេកមួយទៀត (សម្រាប់ជួរឈរផងដែរ)។ ឧទាហរណ៍សាមញ្ញបំផុតនៃទ្រព្យសម្បត្តិនៃកត្តាកំណត់នេះគឺ៖

5. កត្តាកំណត់គឺសូន្យ ប្រសិនបើជួរ 2 របស់វាសមាមាត្រ (សម្រាប់ជួរឈរផងដែរ) ។ ឧទាហរណ៍ (បន្ទាត់ទី 1 និងទី 2 គឺសមាមាត្រ):

6. កត្តាទូទៅនៃជួរដេកមួយ (ជួរឈរ) អាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃកត្តាកំណត់។

7) កត្តាកំណត់នឹងមិនផ្លាស់ប្តូរទេប្រសិនបើធាតុនៃជួរដេកណាមួយ (ជួរឈរ) ត្រូវបានបន្ថែមទៅធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរផ្សេងទៀត (ជួរឈរ) គុណនឹងតម្លៃដូចគ្នា។ តោះមើលរឿងនេះជាមួយឧទាហរណ៍៖

ការបំពេញបន្ថែមពិជគណិត និងអនីតិជន

ការបូកនិងដកនៃម៉ាទ្រីសដោយឧទាហរណ៍

សកម្មភាពជាមួយម៉ាទ្រីស

គំនិតនៃ "ម៉ាទ្រីស"

មើល៖ 57258

កត្តាកំណត់ (aka determinant (determinant)) ត្រូវបានរកឃើញតែក្នុងម៉ាទ្រីសការ៉េប៉ុណ្ណោះ។ កត្តាកំណត់គឺគ្មានអ្វីក្រៅពីតម្លៃដែលរួមបញ្ចូលគ្នានូវធាតុទាំងអស់នៃម៉ាទ្រីស ដែលត្រូវបានរក្សាទុកនៅពេលបញ្ជូនជួរដេក ឬជួរឈរ។ វាអាចត្រូវបានតំណាងថាជា det(A), |A|, Δ(A), Δ ដែល A អាចជាម៉ាទ្រីស និងអក្សរដែលបង្ហាញពីវា។ អ្នកអាចស្វែងរកវាតាមវិធីផ្សេងៗគ្នា៖

វិធីសាស្រ្តទាំងអស់ដែលបានស្នើឡើងខាងលើនឹងត្រូវបានវិភាគលើម៉ាទ្រីសនៃទំហំ 3 ឬច្រើនជាងនេះ។ កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសពីរវិមាត្រត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើប្រតិបត្តិការគណិតវិទ្យាបឋមចំនួនបី ដូច្នេះការស្វែងរកកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសពីរវិមាត្រនឹងមិនធ្លាក់ចូលទៅក្នុងវិធីសាស្រ្តណាមួយឡើយ។ ជាការប្រសើរណាស់, លើកលែងតែជាការបន្ថែមមួយ, ប៉ុន្តែបន្ថែមទៀតនៅលើនោះនៅពេលក្រោយ។

ស្វែងរកកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស 2x2៖

ដើម្បីស្វែងរកកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសរបស់យើង វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីដកផលិតផលនៃលេខនៃអង្កត់ទ្រូងមួយពីមួយទៀត ពោលគឺ

ឧទាហរណ៍នៃការស្វែងរកកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសលំដាប់ទីពីរ

ការបំបែកជួរដេក/ជួរឈរ

ជួរ​ដេក ឬ​ជួរ​ឈរ​ណា​មួយ​ក្នុង​ម៉ាទ្រីស​ត្រូវ​បាន​ជ្រើស។ លេខនីមួយៗក្នុងជួរដែលបានជ្រើសរើសត្រូវបានគុណនឹង (-1) i+j ដែល (i,j ជាជួរដេក លេខជួរឈរនៃលេខនោះ) ហើយគុណនឹងកត្តាកំណត់លំដាប់ទីពីរដែលបង្កើតឡើងដោយធាតុដែលនៅសល់បន្ទាប់ពីលុប i - row និង j - ជួរឈរ។ សូមក្រឡេកមើលម៉ាទ្រីស

1. ជ្រើសរើសជួរដេក/ជួរឈរ

ឧទាហរណ៍យកជួរទីពីរ។

ចំណាំ៖ ប្រសិនបើវាមិនត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់ជាមួយនឹងបន្ទាត់ណាមួយដើម្បីស្វែងរកកត្តាកំណត់ សូមជ្រើសរើសបន្ទាត់ដែលមានលេខសូន្យ។ វានឹងមានការគណនាតិចជាង។

1. តែងកន្សោម

វាមិនពិបាកក្នុងការកំណត់ថាសញ្ញានៃលេខផ្លាស់ប្តូររាល់ពេលនោះទេ។ ដូច្នេះជំនួសឱ្យឯកតា អ្នកអាចត្រូវបានណែនាំដោយតារាងខាងក្រោម៖

1. ចូរយើងផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៃលេខរបស់យើង។

1. ចូរយើងស្វែងរកកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសរបស់យើង។

1. យើងពិចារណាវាទាំងអស់។

ដំណោះស្រាយអាចសរសេរដូចនេះ៖

ឧទាហរណ៍នៃការស្វែងរកកត្តាកំណត់ដោយការពង្រីកជួរដេក/ជួរឈរ៖

វិធីសាស្រ្តនៃការកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ត្រីកោណ (ដោយប្រើការបំប្លែងបឋម)

កត្តាកំណត់ត្រូវបានរកឃើញដោយកាត់បន្ថយម៉ាទ្រីសទៅជាទម្រង់ត្រីកោណ (ជំហាន) និងគុណធាតុនៅលើអង្កត់ទ្រូងមេ

ម៉ាទ្រីសត្រីកោណគឺជាម៉ាទ្រីសដែលធាតុនៅម្ខាងនៃអង្កត់ទ្រូងគឺស្មើនឹងសូន្យ។

នៅពេលបង្កើតម៉ាទ្រីស ចងចាំច្បាប់សាមញ្ញចំនួនបី៖

1. រាល់ពេលដែលខ្សែត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរ កត្តាកំណត់ផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាទៅផ្ទុយ។
2. នៅពេលគុណ/ចែកបន្ទាត់មួយដោយលេខមិនសូន្យ វាគួរតែត្រូវបានបែងចែក (ប្រសិនបើគុណ) / គុណ (ប្រសិនបើបែងចែក) ដោយវា ឬអនុវត្តសកម្មភាពនេះជាមួយនឹងកត្តាកំណត់លទ្ធផល។
3. នៅពេលបន្ថែមខ្សែអក្សរមួយគុណនឹងលេខទៅខ្សែមួយទៀត កត្តាកំណត់មិនផ្លាស់ប្តូរទេ (ខ្សែអក្សរគុណនឹងយកតម្លៃដើមរបស់វា)។

តោះព្យាយាមរកលេខសូន្យក្នុងជួរទីមួយ បន្ទាប់មកនៅទីពីរ។

តោះមើលម៉ាទ្រីសរបស់យើង៖

តាអាក. ដើម្បីធ្វើឱ្យការគណនាកាន់តែរីករាយ ខ្ញុំចង់បានលេខដែលនៅជិតបំផុតនៅលើកំពូល។ អ្នកអាចទុកវាបាន ប៉ុន្តែអ្នកមិនចាំបាច់ទេ។ មិនអីទេ យើងមាន deuce នៅក្នុងជួរទីពីរ និងបួននៅលើទីមួយ។

តោះប្តូរបន្ទាត់ទាំងពីរនេះ។

យើងបានប្តូរបន្ទាត់ ឥឡូវយើងត្រូវផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៃបន្ទាត់មួយ ឬផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៃកត្តាកំណត់នៅចុងបញ្ចប់។

កត្តាកំណត់។ ការគណនាកត្តាកំណត់ (ទំ.២)

យើងនឹងធ្វើវានៅពេលក្រោយ។

ឥឡូវនេះ ដើម្បីទទួលបានសូន្យក្នុងជួរទីមួយ យើងគុណជួរទីមួយដោយ 2។

ដកជួរទី 1 ចេញពីជួរទីពីរ។

យោងតាមច្បាប់ទី 3 របស់យើងយើងត្រឡប់ខ្សែដើមទៅទីតាំងដំបូង។

ឥឡូវ​យើង​ធ្វើ​លេខ​សូន្យ​ក្នុង​ជួរ​ទី​៣។ យើងអាចគុណជួរទីមួយដោយ 1.5 ហើយដកពីទីបី ប៉ុន្តែការធ្វើការជាមួយប្រភាគនាំមកនូវសេចក្តីរីករាយតិចតួច។ ដូច្នេះ ចូរយើងស្វែងរកលេខដែលខ្សែទាំងពីរអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយ - នេះគឺជា 6 ។

គុណជួរទី 3 ដោយ 2 ។

ឥឡូវនេះយើងគុណជួរទី 1 ដោយ 3 ហើយដកពីជួរទី 3 ។

ចូរយើងត្រលប់ទៅជួរទី 1 របស់យើង។

កុំភ្លេចថាយើងគុណជួរទី 3 ដោយ 2 ដូច្នេះយើងនឹងបែងចែកកត្តាកំណត់ដោយ 2 ។

មានជួរឈរមួយ។ ឥឡូវនេះដើម្បីទទួលបានសូន្យនៅក្នុងទីពីរ - ចូរយើងភ្លេចអំពីបន្ទាត់ទី 1 - យើងធ្វើការជាមួយបន្ទាត់ទី 2 ។ គុណជួរទីពីរដោយ -3 ហើយបន្ថែមវាទៅជួរទីបី។

កុំភ្លេចត្រឡប់ខ្សែទីពីរ។

ដូច្នេះយើងបានបង្កើតម៉ាទ្រីសរាងត្រីកោណ។ តើយើងនៅសល់អ្វី? ហើយវានៅសល់ដើម្បីគុណលេខនៅលើអង្កត់ទ្រូងសំខាន់ដែលយើងនឹងធ្វើ។

ជាការប្រសើរណាស់ វានៅតែត្រូវចាំថា យើងត្រូវបែងចែកកត្តាកំណត់របស់យើងដោយ 2 ហើយផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា។

ច្បាប់របស់ Sarrus (ច្បាប់នៃត្រីកោណ)

ច្បាប់របស់ Sarrus អនុវត្តតែចំពោះម៉ាទ្រីសការ៉េលំដាប់ទីបីប៉ុណ្ណោះ។

កត្តាកំណត់ត្រូវបានគណនាដោយបន្ថែមជួរឈរពីរដំបូងទៅខាងស្តាំនៃម៉ាទ្រីស គុណធាតុនៃអង្កត់ទ្រូងនៃម៉ាទ្រីស ហើយបូកពួកវា និងដកផលបូកនៃអង្កត់ទ្រូងផ្ទុយ។ ដកពណ៌ស្វាយចេញពីអង្កត់ទ្រូងពណ៌ទឹកក្រូច។

ក្បួន​ត្រីកោណ​គឺ​ដូចគ្នា មានតែ​រូបភាព​ខុសគ្នា​។

ទ្រឹស្ដីរបស់ Laplace ឃើញការខូចទ្រង់ទ្រាយជួរដេក/ជួរឈរ

ទំព័រដើម > ឯកសារ

ម៉ាទ្រីស, កត្តាកំណត់, ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ

និយមន័យនៃម៉ាទ្រីស។ ប្រភេទនៃម៉ាទ្រីសទំហំម៉ាទ្រីស m× នត្រូវបានគេហៅថាសរុប m nលេខដែលបានរៀបចំក្នុងតារាងចតុកោណនៃ មបន្ទាត់ និង នជួរឈរ។ តារាងនេះជាធម្មតាត្រូវបានរុំព័ទ្ធក្នុងវង់ក្រចក។ ឧទាហរណ៍ ម៉ាទ្រីស​អាច​មើល​ទៅ​ដូច​ជា៖

សម្រាប់ភាពខ្លី ម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានតាងដោយអក្សរធំតែមួយ ឧទាហរណ៍។ ប៉ុន្តែឬ អេ.ជាទូទៅ ម៉ាទ្រីសនៃទំហំ ម× នសរសេរដូចនេះ

.

លេខដែលបង្កើតជាម៉ាទ្រីសត្រូវបានគេហៅថា ធាតុម៉ាទ្រីស. វាមានភាពងាយស្រួលក្នុងការផ្គត់ផ្គង់ធាតុម៉ាទ្រីសជាមួយនឹងសន្ទស្សន៍ពីរ ក អ៊ី៖ ទីមួយបង្ហាញលេខជួរដេក ហើយទីពីរបង្ហាញពីលេខជួរ។ ឧទាហរណ៍, ក 23 - ធាតុគឺនៅជួរទី 2 ជួរទី 3 ប្រសិនបើចំនួនជួរដេកក្នុងម៉ាទ្រីសស្មើនឹងចំនួនជួរឈរនោះ ម៉ាទ្រីសត្រូវបានគេហៅថា ការ៉េហើយចំនួនជួរដេក ឬជួររបស់វាត្រូវបានគេហៅថា នៅ​ក្នុង​លំដាប់ម៉ាទ្រីស។ ក្នុងឧទាហរណ៍ខាងលើ ម៉ាទ្រីសទីពីរគឺការ៉េ - លំដាប់របស់វាគឺ 3 ហើយម៉ាទ្រីសទីបួន - លំដាប់របស់វាគឺ 1. ម៉ាទ្រីសដែលចំនួនជួរដេកមិនស្មើនឹងចំនួនជួរឈរត្រូវបានគេហៅថា ចតុកោណ. ក្នុង​ឧទាហរណ៍​នេះ​គឺ​ជា​ម៉ាទ្រីស​ទី​មួយ និង​លេខ​ទី​បី។ មាន​ម៉ាទ្រីស​ដែល​មាន​តែ​ជួរ​ដេក​មួយ​ឬ​ជួរ​ឈរ​មួយ​ផង​ដែរ​។ ម៉ាទ្រីស​ដែល​មាន​ជួរ​តែ​មួយ​ត្រូវ​បាន​ហៅ​ថា ម៉ាទ្រីស - ជួរ(ឬខ្សែអក្សរ) និងម៉ាទ្រីសដែលមានជួរឈរតែមួយ ម៉ាទ្រីស - ជួរឈរ.Matrix ធាតុទាំងអស់ដែលស្មើនឹងសូន្យត្រូវបានគេហៅថា មោឃៈហើយត្រូវបានតាងដោយ (0) ឬសាមញ្ញ 0។ ឧទាហរណ៍

.

អង្កត់ទ្រូងសំខាន់ម៉ាទ្រីស​ការ៉េ​គឺ​ជា​អង្កត់ទ្រូង​ដែល​ចេញ​ពី​ជ្រុង​ខាង​លើ​ទៅ​ខាង​ស្ដាំ​ផ្នែក​ខាង​ក្រោម។

ម៉ាទ្រីស​ការ៉េ​ដែល​ធាតុ​ទាំងអស់​នៅ​ខាងក្រោម​អង្កត់ទ្រូង​មេ​ស្មើ​នឹង​សូន្យ​ត្រូវ​បាន​ហៅ ត្រីកោណម៉ាទ្រីស។

.

ម៉ាទ្រីស​ការ៉េ​ដែល​ធាតុ​ទាំង​អស់ លើក​លែង​តែ​ធាតុ​ដែល​នៅ​លើ​អង្កត់ទ្រូង​មេ​ស្មើ​នឹង​សូន្យ​ត្រូវ​បាន​ហៅ​ថា អង្កត់ទ្រូងម៉ាទ្រីស។ ឧទាហរណ៍ ឬ . ម៉ាទ្រីសអង្កត់ទ្រូងដែលធាតុអង្កត់ទ្រូងទាំងអស់ស្មើនឹងមួយត្រូវបានគេហៅថា នៅលីវម៉ាទ្រីស និងត្រូវបានតាងដោយអក្សរ E. ឧទាហរណ៍ ម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណលំដាប់ទី 3 មានទម្រង់ .សកម្មភាពលើម៉ាទ្រីសសមភាពម៉ាទ្រីស. ម៉ាទ្រីសពីរ កនិង ខត្រូវ​បាន​គេ​និយាយ​ថា​ស្មើ​ប្រសិន​បើ​ពួក​គេ​មាន​ចំនួន​ជួរ​ដេក​និង​ជួរ​ឈរ​ដូច​គ្នា ហើយ​ធាតុ​ដែល​ត្រូវ​គ្នា​របស់​ពួក​គេ​គឺ​ស្មើ ក អ៊ី = ខ អ៊ី. អញ្ចឹង​បើ និង បន្ទាប់មក A=B, ប្រសិនបើ ក 11 = ខ 11 , ក 12 = ខ 12 , ក 21 = ខ 21 និង ក 22 = ខ 22 .ការផ្លាស់ប្តូរ. ពិចារណាម៉ាទ្រីសបំពាន កពី មបន្ទាត់ និង នជួរឈរ។ វាអាចត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយម៉ាទ្រីសខាងក្រោម ខពី នបន្ទាត់ និង មជួរឈរ ដែលជួរនីមួយៗជាជួរឈរនៃម៉ាទ្រីស កជាមួយនឹងលេខដូចគ្នា (ដូច្នេះជួរឈរនីមួយៗគឺជាជួរដេកនៃម៉ាទ្រីស កជាមួយនឹងលេខដូចគ្នា) ។ អញ្ចឹង​បើ បន្ទាប់មក .ម៉ាទ្រីសនេះ។ ខហៅ ឆ្លងម៉ាទ្រីស កនិងការផ្លាស់ប្តូរពី កទៅ ការផ្លាស់ប្តូរ B.ដូច្នេះ ការផ្លាស់ប្តូរគឺជាការបញ្ច្រាសនៃតួនាទីនៃជួរដេក និងជួរឈរនៃម៉ាទ្រីស។ ម៉ាទ្រីសប្តូរទៅម៉ាទ្រីស កជាធម្មតាត្រូវបានតំណាង ក ធ.ការតភ្ជាប់រវាងម៉ាទ្រីស កហើយការបកប្រែរបស់វាអាចត្រូវបានសរសេរជា . ឧទាហរណ៍។ស្វែងរកម៉ាទ្រីសដែលបានផ្ទេរទៅលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ការបន្ថែមម៉ាទ្រីស។អនុញ្ញាតឱ្យម៉ាទ្រីស កនិង ខមាន​ចំនួន​ជួរ​ដេក​ដូចគ្នា និង​ចំនួន​ជួរ​ឈរ​ដូចគ្នា ឧ. មាន ទំហំដូចគ្នា។. បន្ទាប់មកដើម្បីបន្ថែមម៉ាទ្រីស កនិង ខត្រូវការធាតុម៉ាទ្រីស កបន្ថែមធាតុម៉ាទ្រីស ខឈរនៅកន្លែងដដែល។ ដូច្នេះផលបូកនៃម៉ាទ្រីសពីរ កនិង ខហៅថាម៉ាទ្រីស គដែលត្រូវបានកំណត់ដោយច្បាប់ ឧទាហរណ៍

ឧទាហរណ៍។រកផលបូកនៃម៉ាទ្រីស៖ វាងាយស្រួលក្នុងការពិនិត្យមើលថាការបន្ថែមម៉ាទ្រីសគោរពតាមច្បាប់ខាងក្រោម៖ ការផ្លាស់ប្តូរ A+B=B+Aនិងសហការី ( A+B)+គ=ក+(B+C).គុណម៉ាទ្រីសដោយលេខ។ដើម្បីគុណម៉ាទ្រីស កក្នុងមួយលេខ kត្រូវការធាតុនីមួយៗនៃម៉ាទ្រីស កគុណនឹងលេខនោះ។ ដូច្នេះផលិតផលម៉ាទ្រីស កក្នុងមួយលេខ kមានម៉ាទ្រីសថ្មីដែលត្រូវបានកំណត់ដោយច្បាប់ ឬ .សម្រាប់លេខណាមួយ។ កនិង ខនិងម៉ាទ្រីស កនិង ខសមភាពត្រូវបានបំពេញ៖ ឧទាហរណ៍។ . ម៉ាទ្រីស គមិនអាចរកឃើញបានទេព្រោះ ម៉ាទ្រីស កនិង ខមានទំហំខុសៗគ្នា។ គុណម៉ាទ្រីស។ប្រតិបត្តិការ​នេះ​ត្រូវ​បាន​អនុវត្ត​ទៅ​តាម​ច្បាប់​ពិសេស។ ជាដំបូងយើងកត់សំគាល់ថាទំហំនៃកត្តាម៉ាទ្រីសត្រូវតែស្របគ្នា។ អ្នកអាចគុណបានតែម៉ាទ្រីសទាំងនោះដែលចំនួនជួរឈរនៃម៉ាទ្រីសទីមួយត្រូវគ្នានឹងចំនួនជួរដេកនៃម៉ាទ្រីសទីពីរ (ឧទាហរណ៍ ប្រវែងនៃជួរទីមួយស្មើនឹងកម្ពស់នៃជួរទីពីរ)។ ការងារម៉ាទ្រីស កមិនមែនជាម៉ាទ្រីសទេ។ ខហៅថាម៉ាទ្រីសថ្មី។ C=ABដែលមានធាតុផ្សំដូចខាងក្រោមៈ

ដូច្នេះ ជាឧទាហរណ៍ ដើម្បីទទួលបានផលិតផល (ឧ. នៅក្នុងម៉ាទ្រីស គ) ធាតុនៅជួរទី 1 និងជួរទី 3 គ 13 អ្នកត្រូវយកជួរទី 1 ក្នុងម៉ាទ្រីសទី 1 ជួរទី 3 នៅជួរទី 2 ហើយបន្ទាប់មកគុណធាតុជួរដេកដោយធាតុជួរឈរដែលត្រូវគ្នាហើយបន្ថែមផលិតផលលទ្ធផល។ ហើយធាតុផ្សេងទៀតនៃម៉ាទ្រីសផលិតផលត្រូវបានទទួលដោយប្រើផលិតផលស្រដៀងគ្នានៃជួរដេកនៃម៉ាទ្រីសទីមួយដោយជួរឈរនៃម៉ាទ្រីសទីពីរ។ ក្នុងករណីទូទៅ ប្រសិនបើយើងគុណម៉ាទ្រីស ក = (ក អ៊ី ) ទំហំ ម× នទៅម៉ាទ្រីស ខ = (ខ អ៊ី ) ទំហំ ន× ទំបន្ទាប់មកយើងទទួលបានម៉ាទ្រីស គទំហំ ម× ទំដែលធាតុត្រូវបានគណនាដូចខាងក្រោមៈ ធាតុ គ អ៊ីទទួលបានជាលទ្ធផលនៃធាតុ ខ្ញុំជួរទីនៃម៉ាទ្រីស កលើធាតុពាក់ព័ន្ធ j- ជួរទីនៃម៉ាទ្រីស ខនិងការបន្ថែមរបស់វា។ ពីច្បាប់នេះ វាធ្វើតាមដែលអ្នកតែងតែអាចគុណម៉ាទ្រីសការ៉េពីរនៃលំដាប់ដូចគ្នា ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានម៉ាទ្រីសការ៉េនៃលំដាប់ដូចគ្នា។ ជាពិសេស ម៉ាទ្រីសការ៉េតែងតែអាចគុណដោយខ្លួនវា ពោលគឺឧ។ ការ៉េ។ ករណីសំខាន់មួយទៀតគឺការគុណនៃជួរម៉ាទ្រីសដោយជួរឈរម៉ាទ្រីស ហើយទទឹងនៃទីមួយត្រូវតែស្មើនឹងកម្ពស់ទីពីរ ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានម៉ាទ្រីសនៃលំដាប់ទីមួយ (ឧ. ធាតុមួយ ) ពិតជា

.

ឧទាហរណ៍។ ស្វែងរកធាតុ គ 12 , គ 23 និង គ 21 ម៉ាទ្រីស គ.

ស្វែងរកផលិតផលនៃម៉ាទ្រីស។

.
ស្វែងរក ABនិង VA. ស្វែងរក ABនិង VA. , ខ- មិនសមហេតុសមផលទេ ដូច្នេះឧទាហរណ៍សាមញ្ញទាំងនេះបង្ហាញថា ម៉ាទ្រីស ជាទូទៅការនិយាយមិនទាក់ទងគ្នា ពោលគឺឧ។ A∙B ≠ B∙A . ដូច្នេះនៅពេលគុណម៉ាទ្រីស ត្រូវតែត្រួតពិនិត្យដោយប្រុងប្រយ័ត្ននូវលំដាប់នៃកត្តា។ វាអាចត្រូវបានផ្ទៀងផ្ទាត់ថាការគុណម៉ាទ្រីសគោរពតាមច្បាប់សមាគម និងការបែងចែក ពោលគឺឧ។ (AB)C=A(BC)និង (A+B)C=AC+BC.វាក៏ងាយស្រួលក្នុងការពិនិត្យមើលថានៅពេលគុណម៉ាទ្រីសការ៉េ កទៅម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណ អ៊ីនៃលំដាប់ដូចគ្នា យើងទទួលបានម៉ាទ្រីសម្តងទៀត កលើសពីនេះទៅទៀត។ AE=EA=Aយើងអាចកត់សម្គាល់ការពិតដែលចង់ដឹងចង់ឃើញខាងក្រោម។ ដូចដែលគេដឹង ផលគុណនៃលេខ 2 មិនសូន្យគឺមិនស្មើនឹង 0។ សម្រាប់ម៉ាទ្រីស នេះប្រហែលជាមិនមែនជាករណីទេ i.e. ផលិតផលនៃម៉ាទ្រីសមិនសូន្យ 2 អាចស្មើនឹងម៉ាទ្រីសសូន្យ។ ឧទាហរណ៍, ប្រសិនបើ បន្ទាប់មក

.

គំនិតនៃអ្នកកំណត់សូមឱ្យម៉ាទ្រីសនៃលំដាប់ទីពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ - ម៉ាទ្រីសការ៉េដែលមានជួរដេកពីរនិងជួរឈរពីរ។ កត្តាកំណត់លំដាប់ទីពីរដែលត្រូវគ្នានឹងម៉ាទ្រីសនេះគឺជាលេខដែលទទួលបានដូចខាងក្រោម៖ ក 11 ក 22 – ក 12 ក 21 .កត្តាកំណត់ត្រូវបានតាងដោយនិមិត្តសញ្ញា ដូច្នេះ ដើម្បីស្វែងរកកត្តាកំណត់លំដាប់ទីពីរ អ្នកត្រូវដកផលិតផលនៃធាតុតាមអង្កត់ទ្រូងទីពីរចេញពីផលិតផលនៃធាតុនៃអង្កត់ទ្រូងមេ។ ឧទាហរណ៍។គណនាកត្តាកំណត់លំដាប់ទីពីរ។

ស្រដៀងគ្នានេះដែរ យើងអាចពិចារណាម៉ាទ្រីសនៃលំដាប់ទីបី និងកត្តាកំណត់ដែលត្រូវគ្នា។ កត្តាកំណត់លំដាប់ទីបីដែលត្រូវគ្នានឹងម៉ាទ្រីសការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃលំដាប់ទីបី គឺជាលេខដែលតំណាង និងទទួលបានដូចខាងក្រោម៖

.

ដូច្នេះរូបមន្តនេះផ្តល់នូវការពង្រីកនៃកត្តាកំណត់លំដាប់ទីបីនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃធាតុនៃជួរទីមួយ ក 11 , ក 12 , ក 13 និងកាត់បន្ថយការគណនានៃកត្តាកំណត់លំដាប់ទីបីចំពោះការគណនានៃកត្តាកំណត់លំដាប់ទីពីរ។ ឧទាហរណ៍។គណនាកត្តាកំណត់លំដាប់ទីបី។
. (x+3)(4x-4-3x)+4(3x-4x+4)=0. (x+3)(x-4)+4(-x+4)=0. (x-4)(x-1)=0. x 1 = 4, x 2 = 1. ដូចគ្នាដែរ យើងអាចណែនាំគោលគំនិតនៃកត្តាកំណត់នៃ ទី៤ ទី៥។ល។ បញ្ជាដោយបន្ថយលំដាប់ដោយពង្រីកលើធាតុនៃជួរទី 1 ខណៈពេលដែលសញ្ញា "+" និង "-" ឆ្លាស់គ្នាសម្រាប់ពាក្យ។ ដូច្នេះមិនដូចម៉ាទ្រីសដែលជាតារាងលេខទេ កត្តាកំណត់គឺជាលេខដែលមាន នៅក្នុងវិធីជាក់លាក់មួយ តម្រឹមម៉ាទ្រីស។

លក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ឧបករណ៍កំណត់

ភស្តុតាងត្រូវបានអនុវត្តដោយការផ្ទៀងផ្ទាត់, i.e. ដោយប្រៀបធៀបផ្នែកទាំងពីរនៃសមភាពសរសេរ។ គណនាកត្តាកំណត់នៅខាងឆ្វេង និងស្តាំ៖

នៅពេលអនុញ្ញាត 2 ជួរ ឬជួរឈរ កត្តាកំណត់នឹងផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាទៅផ្ទុយ ដោយរក្សាតម្លៃដាច់ខាត ពោលគឺឧ.

ភស្តុតាងត្រូវបានអនុវត្តស្រដៀងគ្នាទៅនឹងភស្តុតាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិ 1 ដោយប្រៀបធៀបផ្នែកទាំងពីរ។ ចូរយើងអនុវត្តវាសម្រាប់អ្នកកំណត់លំដាប់ទីពីរ។

សម្រាប់កត្តាកំណត់លំដាប់ទីបី សូមពិនិត្យមើលខ្លួនឯង។ ជាការពិតណាស់ប្រសិនបើយើងរៀបចំជួរទី 2 និងទី 3 ឡើងវិញនៅទីនេះ នោះតាមទ្រព្យសម្បត្តិទី 2 កត្តាកំណត់នេះត្រូវតែផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា ប៉ុន្តែកត្តាកំណត់ខ្លួនឯងមិនផ្លាស់ប្តូរក្នុងករណីនេះ ពោលគឺឧ។ ទទួលបាន | ក| = –|ក| ឬ | ក| = 0. ភស្តុតាងអនុវត្តដោយការផ្ទៀងផ្ទាត់ ក៏ដូចជាទ្រព្យសម្បត្តិ 1. (ដោយឯករាជ្យ)

ប្រសិនបើធាតុទាំងអស់នៃជួរដេក ឬជួរឈរនៃកត្តាកំណត់គឺស្មើនឹងសូន្យ នោះកត្តាកំណត់ខ្លួនវាគឺស្មើនឹងសូន្យ។ (ភស្តុតាង - ការផ្ទៀងផ្ទាត់) ។ ប្រសិនបើធាតុទាំងអស់នៃជួរដេក ឬជួរឈរណាមួយនៃកត្តាកំណត់ត្រូវបានបង្ហាញជាផលបូកនៃ 2 នោះ កត្តាកំណត់អាចត្រូវបានតំណាងថាជាផលបូកនៃកត្តាកំណត់ 2 ដោយយោងតាមរូបមន្តឧទាហរណ៍។

.

ភស្តុតាង- ការផ្ទៀងផ្ទាត់ស្រដៀងនឹងទ្រព្យសម្បត្តិ ១.

ប្រសិនបើជួរណាមួយ (ឬជួរឈរ) នៃកត្តាកំណត់ យើងបន្ថែមធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរផ្សេងទៀត (ឬជួរឈរ) គុណនឹងលេខដូចគ្នា នោះកត្តាកំណត់នឹងមិនផ្លាស់ប្តូរតម្លៃរបស់វាឡើយ។ ឧទាហរណ៍,

. ចូរយើងបង្ហាញសមភាពនេះដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិពីមុនរបស់កត្តាកំណត់។
លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះនៃកត្តាកំណត់ត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់ក្នុងការគណនានៃកត្តាកំណត់ និងក្នុងបញ្ហាផ្សេងៗ។ ការបន្ថែមពិជគណិត និងអនីតិជនចូរមានកត្តាកំណត់លំដាប់ទីបី៖ .អនីតិជនដែលត្រូវគ្នានឹងធាតុនេះ។ ក អ៊ីកត្តាកំណត់លំដាប់ទីបីត្រូវបានគេហៅថា កត្តាកំណត់លំដាប់ទីពីរដែលទទួលបានពីវត្ថុដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយលុបជួរដេក និងជួរឈរនៅចំនុចប្រសព្វដែលធាតុដែលបានផ្តល់ឱ្យឈរ ពោលគឺឧ។ ខ្ញុំ- បន្ទាត់ទី និង j- ជួរឈរ។ អនីតិជនដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងធាតុដែលបានផ្តល់ឱ្យ ក អ៊ីយើងនឹងសម្គាល់ ម អ៊ី .ឧទាហរណ៍, អនីតិជន ម 12 ដែលត្រូវគ្នានឹងធាតុ ក 12 នឹងមានកត្តាកំណត់ ដែលត្រូវបានទទួលដោយការលុបជួរទី 1 និងជួរទី 2 ពីកត្តាកំណត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ដូច្នេះរូបមន្តដែលកំណត់កត្តាកំណត់លំដាប់ទីបីបង្ហាញថា កត្តាកំណត់នេះគឺស្មើនឹងផលបូកនៃផលិតផលនៃធាតុនៃជួរទី 1 និងដែលត្រូវគ្នា អនីតិជន; ខណៈពេលដែលអនីតិជនត្រូវគ្នាទៅនឹងធាតុ ក 12 ត្រូវបានគេយកដោយសញ្ញា "-" ពោលគឺឧ។ អាចត្រូវបានសរសេរនោះ។ ស្រដៀងគ្នានេះដែរ យើងអាចណែនាំនិយមន័យនៃអនីតិជនសម្រាប់ការកំណត់នៃលំដាប់ទីពីរ និងលំដាប់ខ្ពស់ជាង។ ចូរយើងណែនាំគោលគំនិតមួយទៀត។ ការបន្ថែមពិជគណិតធាតុ ក អ៊ីកត្តាកំណត់ត្រូវបានគេហៅថាអនីតិជន ម អ៊ីគុណនឹង (–1) i+j . បំពេញបន្ថែមធាតុពិជគណិត ក អ៊ីតំណាង ក អ៊ីពីនិយមន័យ យើងទទួលបានថាទំនាក់ទំនងរវាងការបំពេញបន្ថែមពិជគណិតនៃធាតុមួយ និងអនីតិជនរបស់វាត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយសមភាព ក អ៊ី= (–1) i+j ម អ៊ី . ឧទាហរណ៍, ឧទាហរណ៍។បានផ្តល់កត្តាកំណត់។ ស្វែងរក ក 13 , ក 21 , ក 32 .

វាជាការងាយស្រួលក្នុងការមើលឃើញថាដោយប្រើការបន្ថែមពិជគណិតនៃធាតុ រូបមន្ត (1) អាចត្រូវបានសរសេរជា យោងតាមទ្រព្យសម្បត្តិ 2 នៃកត្តាកំណត់យើងមាន: ចូរពង្រីកកត្តាកំណត់ដែលទទួលបានដោយធាតុនៃជួរទី 1 ។

.

ពី​ទីនេះ ដោយសារតែ កត្តាកំណត់លំដាប់ទីពីរនៅក្នុងរូបមន្ត (2) គឺជាអនីតិជននៃធាតុ ក 21 , ក 22 , ក 23 . ដូច្នេះ , i.e. យើងទទួលបាន decomposition នៃ determinant ដោយធាតុនៃជួរទី 2។ ស្រដៀងគ្នាដែរ មនុស្សម្នាក់អាចទទួលបាន decomposition នៃ determinant ដោយធាតុនៃជួរទីបី។ ដោយប្រើលក្ខណសម្បត្តិ 1 នៃកត្តាកំណត់ (នៅលើការផ្លាស់ប្តូរ) យើងអាចបង្ហាញថាការពង្រីកស្រដៀងគ្នាក៏មានសុពលភាពផងដែរសម្រាប់ការពង្រីកនៅក្នុងធាតុជួរឈរ។ ដូច្នេះទ្រឹស្តីបទខាងក្រោមគឺពិត។ ទ្រឹស្តីបទ (នៅលើការពង្រីកនៃកត្តាកំណត់ក្នុងជួរ ឬជួរឈរដែលបានផ្តល់ឱ្យ)។កត្តាកំណត់គឺស្មើនឹងផលបូកនៃផលិតផលនៃធាតុនៃជួរណាមួយរបស់វា (ឬជួរឈរ) និងការបំពេញបន្ថែមពិជគណិតរបស់វា។ ទាំងអស់ខាងលើគឺជាការពិតសម្រាប់ការកំណត់នៃលំដាប់ខ្ពស់ជាងណាមួយ។ ឧទាហរណ៍។

គណនាកត្តាកំណត់ដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។ មុននឹងពង្រីកកត្តាកំណត់លើធាតុនៃជួរដេកណាមួយ ដោយកាត់បន្ថយវាទៅជាកត្តាកំណត់លំដាប់ទីបី យើងបំប្លែងវាដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិ 7 ដោយធ្វើឱ្យធាតុទាំងអស់នៅក្នុងជួរ ឬជួរឈរណាមួយ លើកលែងតែមួយ ស្មើនឹងសូន្យ។ ក្នុងករណីនេះវាងាយស្រួលក្នុងការពិចារណាជួរទី 4 ឬជួរទី 4៖

ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស

គោលគំនិតនៃម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសត្រូវបានណែនាំសម្រាប់តែ ម៉ាទ្រីសការ៉េ.ប្រសិនបើ ក កនោះគឺជាម៉ាទ្រីសការ៉េ បញ្ច្រាសសម្រាប់វា ម៉ាទ្រីស គឺជាម៉ាទ្រីសដែលតំណាងឱ្យ ក -1 និងការបំពេញលក្ខខណ្ឌ។ (និយមន័យ​នេះ​ត្រូវ​បាន​ណែនាំ​ដោយ​ភាព​ស្រដៀង​គ្នា​នឹង​ការ​គុណ​នៃ​លេខ​) ទ្រឹស្តីបទ​ខាង​ក្រោម​គឺ​ពិត៖ ទ្រឹស្តីបទ។សម្រាប់ម៉ាទ្រីសការ៉េ កមានបញ្ច្រាស វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលកត្តាកំណត់របស់វាខុសពីសូន្យ។ ភស្តុតាង:

ត្រូវការ. អនុញ្ញាតឱ្យសម្រាប់ម៉ាទ្រីស កមានម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស ក -1 . ចូរយើងបង្ហាញថា | ក| ≠ 0.

ជាបឋម យើង​កត់​សម្គាល់​ថា យើង​អាច​បញ្ជាក់​ពី​ទ្រព្យ​សម្បត្តិ​ខាង​ក្រោម​នៃ​កត្តា​កំណត់។ ឧបមាថា | ក| = 0. បន្ទាប់មក . ប៉ុន្តែនៅម្ខាងទៀត។ . លទ្ធផលផ្ទុយគ្នាបញ្ជាក់ថា | ក| ≠ 0. ចូរយើងបង្ហាញថាក្នុងករណីនេះម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺជាម៉ាទ្រីស កន្លែងណា ក អ៊ីការបំពេញបន្ថែមពិជគណិតនៃធាតុមួយ។ ក អ៊ី. ចូរយើងស្វែងរក AB=C. ចំណាំថាធាតុអង្កត់ទ្រូងទាំងអស់នៃម៉ាទ្រីស គនឹងស្មើនឹង 1។ ជាការពិត ឧទាហរណ៍

ស្រដៀងគ្នានេះដែរ តាមរយៈទ្រឹស្តីបទស្តីពីការពង្រីកនៃកត្តាកំណត់ក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃធាតុជួរដេក មនុស្សម្នាក់អាចបញ្ជាក់បានថា គ 22 = គ 33 = 1. លើសពីនេះ ធាតុបិទអង្កត់ទ្រូងទាំងអស់នៃម៉ាទ្រីស គគឺស្មើនឹងសូន្យ។ ឧទាហរណ៍,
អាស្រ័យហេតុនេះ AB=E. ដូច​គ្នា​នេះ​ដែរ​អ្នក​អាច​បង្ហាញ​ថា​ BA=E. នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល B=A -1 .ដូច្នេះទ្រឹស្តីបទមានវិធីដើម្បីស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌនៃទ្រឹស្តីបទត្រូវបានពេញចិត្ត នោះម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសទៅម៉ាទ្រីសត្រូវបានរកឃើញដូចខាងក្រោម។

,

កន្លែងណា ក អ៊ី- ការបន្ថែមពិជគណិតនៃធាតុ ក អ៊ីម៉ាទ្រីសដែលបានផ្តល់ឱ្យ កដូច្នេះ ដើម្បីស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស អ្នកត្រូវការ៖ ដូចគ្នាដែរ សម្រាប់ម៉ាទ្រីសនៃលំដាប់ទីពីរ ម៉ាទ្រីសខាងក្រោមនឹងដាក់បញ្ច្រាស .ឧទាហរណ៍។ |ក| = 2. ស្វែងរកការបន្ថែមពិជគណិតនៃធាតុនៃម៉ាទ្រីស ក. ការប្រឡង៖ . ស្រដៀងគ្នា A∙A -1 = អ៊ី. . តោះគណនា | ក| = 4. បន្ទាប់មក . .

ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ

ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ m ជាមួយ n មិនស្គាល់ហៅថាប្រព័ន្ធនៃទម្រង់

កន្លែងណា ក អ៊ីនិង ខ ខ្ញុំ (ខ្ញុំ=1,…,ម; ខ=1,…,ន) គឺជាលេខដែលគេស្គាល់មួយចំនួន និង x 1 ,…,x ន- មិនស្គាល់។ នៅក្នុងសញ្ញាណនៃមេគុណ ក អ៊ីសន្ទស្សន៍ដំបូង ខ្ញុំបង្ហាញពីចំនួនសមីការ និងទីពីរ jគឺជាចំនួននៃមិនស្គាល់ដែលមេគុណនេះឈរ។ មេគុណសម្រាប់មិនស្គាល់នឹងត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីស ដែលយើងនឹងហៅ ម៉ាទ្រីសប្រព័ន្ធ.លេខនៅជ្រុងខាងស្តាំនៃសមីការ ខ 1 ,…, ខ មហៅ សមាជិកឥតគិតថ្លៃ។សរុប នលេខ គ 1 ,…, គ នហៅ ការសម្រេចចិត្តនៃប្រព័ន្ធនេះ ប្រសិនបើសមីការនីមួយៗនៃប្រព័ន្ធក្លាយជាសមភាពបន្ទាប់ពីជំនួសលេខទៅក្នុងវា។ គ 1 ,…, គ នជំនួសឱ្យការមិនស្គាល់ដែលត្រូវគ្នា។ x 1 ,…,x ន.ភារកិច្ចរបស់យើងគឺស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធ។ ក្នុងករណីនេះ ស្ថានភាពបីអាចកើតឡើង៖ ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានដំណោះស្រាយយ៉ាងហោចណាស់មួយត្រូវបានគេហៅថា រួម. បើមិនដូច្នោះទេ i.e. ប្រសិនបើប្រព័ន្ធមិនមានដំណោះស្រាយទេនោះវាត្រូវបានគេហៅថា មិនឆបគ្នា។.សូមពិចារណាវិធីស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធ។ វិធីសាស្រ្តម៉ាទ្រីកសម្រាប់ប្រព័ន្ធដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរ Matrices ធ្វើឱ្យវាអាចសរសេរដោយសង្ខេបនូវប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធនៃសមីការ 3 ដែលមិនស្គាល់ចំនួនបីត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ:

ពិចារណាម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធ និងជួរម៉ាទ្រីសនៃសមាជិកមិនស្គាល់ និងឥតគិតថ្លៃ តោះស្វែងរកផលិតផល

ទាំងនោះ។ ជាលទ្ធផលនៃផលិតផល យើងទទួលបានផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការនៃប្រព័ន្ធនេះ។ បន្ទាប់មកដោយប្រើនិយមន័យនៃសមភាពម៉ាទ្រីស ប្រព័ន្ធនេះអាចត្រូវបានសរសេរជា ឬខ្លីជាងនេះ។ ក∙X=Bនៅទីនេះ ម៉ាទ្រីស កនិង ខត្រូវបានគេស្គាល់ និងម៉ាទ្រីស Xមិនស្គាល់។ នាងត្រូវតែស្វែងរកព្រោះ។ ធាតុរបស់វាគឺជាដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធនេះ។ សមីការនេះត្រូវបានគេហៅថា សមីការម៉ាទ្រីស.សូមកំណត់ម៉ាទ្រីសមិនសូន្យ | ក| ≠ 0. បន្ទាប់មកសមីការម៉ាទ្រីសត្រូវបានដោះស្រាយដូចខាងក្រោម។ គុណផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការនៅខាងឆ្វេងដោយម៉ាទ្រីស ក -1 , បញ្ច្រាសនៃម៉ាទ្រីស ក:. ដោយសារតែ ក -1 A=Eនិង អ៊ី∙X=Xបន្ទាប់មកយើងទទួលបានដំណោះស្រាយនៃសមីការម៉ាទ្រីសក្នុងទម្រង់ X=A -1 ខ .ចំណាំថា ដោយសារម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសអាចត្រូវបានរកឃើញសម្រាប់តែម៉ាទ្រីសការ៉េ វិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីសអាចដោះស្រាយបានតែប្រព័ន្ធទាំងនោះប៉ុណ្ណោះ ចំនួនសមីការគឺដូចគ្នានឹងចំនួនមិនស្គាល់. ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ការសម្គាល់ម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធក៏អាចធ្វើទៅបានដែរក្នុងករណីដែលចំនួនសមីការមិនស្មើនឹងចំនួនមិនស្គាល់ បន្ទាប់មកម៉ាទ្រីស កមិនមែនជាការ៉េទេ ដូច្នេះវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធក្នុងទម្រង់ X=A -1 ខ.ឧទាហរណ៍។ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។ ចូរយើងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសទៅម៉ាទ្រីស ក. , ដោយវិធីនេះ x = 3, y = – 1.
ដូច្នេះ X 1 =4,X 2 =3,X 3 =5. យើងបង្ហាញពីម៉ាទ្រីសដែលត្រូវការ Xពីសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ចូរយើងស្វែងរកម៉ាទ្រីស ប៉ុន្តែ -1 . ការប្រឡង៖ ពីសមីការយើងទទួលបាន . អាស្រ័យហេតុនេះ ច្បាប់របស់ CRAMERពិចារណាប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរចំនួន 3 ដែលមិនស្គាល់ចំនួនបី៖

កត្តាកំណត់លំដាប់ទីបីដែលត្រូវគ្នានឹងម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធ i.e. ផ្សំឡើងដោយមេគុណនៅមិនស្គាល់

ហៅ ការកំណត់ប្រព័ន្ធ. បង្កើតកត្តាកំណត់បីបន្ថែមទៀតដូចខាងក្រោម៖ ជំនួសនៅក្នុងកត្តាកំណត់ D បន្តបន្ទាប់គ្នា 1, 2 និង 3 ជួរឈរជាមួយនឹងជួរឈរនៃសមាជិកឥតគិតថ្លៃ

បន្ទាប់មកយើងអាចបញ្ជាក់លទ្ធផលដូចខាងក្រោម។ ទ្រឹស្តីបទ (ក្បួនរបស់ Cramer) ។ប្រសិនបើកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធគឺ Δ ≠ 0 នោះប្រព័ន្ធដែលកំពុងពិចារណាមានដំណោះស្រាយមួយ និងតែមួយគត់ ហើយ

ភស្តុតាង. ដូច្នេះ សូមពិចារណាប្រព័ន្ធនៃសមីការចំនួន 3 ដែលមិនស្គាល់ចំនួនបី។ គុណសមីការទី 1 នៃប្រព័ន្ធដោយការបំពេញបន្ថែមពិជគណិត ក 11 ធាតុ ក 11 , សមីការទី 2 - លើ ក 21 និងទី 3 - នៅលើ ក 31 :

តោះបន្ថែមសមីការទាំងនេះ៖

ពិចារណាលើតង្កៀបនីមួយៗ និងផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការនេះ។ ដោយទ្រឹស្តីបទលើការពង្រីកនៃកត្តាកំណត់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃធាតុនៃជួរឈរទី 1

ស្រដៀងគ្នាដែរ យើងអាចបង្ហាញរឿងនោះបាន ហើយទីបំផុតវាងាយស្រួលមើលនោះ។ ដូចនេះ យើងទទួលបានសមភាព៖ .ហេតុដូច្នេះហើយ .សមភាព និងទទួលបានប្រហាក់ប្រហែលគ្នា ដែលសេចក្តីថ្លែងការណ៍នៃទ្រឹស្តីបទដូចខាងក្រោម។ ដូច្នេះហើយ យើងកត់សំគាល់ថា ប្រសិនបើកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធ Δ ≠ 0 នោះប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ និង ផ្ទុយ​មក​វិញ។ ប្រសិនបើកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធស្មើនឹងសូន្យ នោះប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់ ឬគ្មានដំណោះស្រាយ ពោលគឺឧ។ មិនឆបគ្នា។ ឧទាហរណ៍។ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ
ដូច្នេះ X=1, នៅ=2, z=3. ប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ប្រសិនបើ Δ ≠ 0 ។ . នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល ។ វិធីសាស្ត្រហ្គាសវិធីសាស្រ្តដែលបានពិចារណាពីមុនអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយតែប្រព័ន្ធទាំងនោះដែលចំនួនសមីការត្រូវគ្នានឹងចំនួនមិនស្គាល់ ហើយកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធត្រូវតែខុសពីសូន្យ។ វិធីសាស្ត្រ Gaussian គឺមានលក្ខណៈជាសកលជាង ហើយស័ក្តិសមសម្រាប់ប្រព័ន្ធដែលមានចំនួនសមីការណាមួយ។ វាមាននៅក្នុងការលុបបំបាត់ជាបន្តបន្ទាប់នៃមិនស្គាល់ពីសមីការនៃប្រព័ន្ធ។ សូមពិចារណាម្តងទៀតនូវប្រព័ន្ធនៃសមីការបីជាមួយនឹងមិនស្គាល់ចំនួនបី៖

.

សាខា KOSTROMA នៃសាកលវិទ្យាល័យយោធានៃការការពារ RCHB

នាយកដ្ឋាន "ស្វ័យប្រវត្តិកម្មនៃការគ្រប់គ្រងនិងការគ្រប់គ្រង"

សម្រាប់តែគ្រូបង្រៀនប៉ុណ្ណោះ។

"ខ្ញុំ​យល់ព្រម"

ប្រធាននាយកដ្ឋានលេខ ៩

វរសេនីយ៍ឯក YAKOVLEV A.B.

"____" ______________ ឆ្នាំ ២០០៤

សាស្រ្តាចារ្យរង A.I. Smirnova

"អ្នកកំណត់។

ដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ"

LECTURE № 2/1

បាន​ពិភាក្សា​ក្នុង​កិច្ច​ប្រជុំ​របស់​នាយកដ្ឋាន​លេខ​៩

"____" ___________ ឆ្នាំ ២០០៤

ពិធីសារលេខ ___________

Kostroma, ឆ្នាំ 2004 ។

សេចក្តីផ្តើម

1. ការកំណត់នៃលំដាប់ទីពីរនិងទីបី។

2. លក្ខណៈសម្បត្តិនៃកត្តាកំណត់។ ទ្រឹស្តីបទនៃការបំបែក។

3. ទ្រឹស្តីបទរបស់ Cramer ។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន

អក្សរសាស្ត្រ

1. V.E. Schneider et al ។ , វគ្គសិក្សាខ្លីក្នុងគណិតវិទ្យាឧត្តម, ភាគ I, Ch ។ 2, ធាតុ 1 ។

2. V.S. Shchipachev, Higher Mathematics, ch.10, p.2 ។

ការណែនាំ

ការបង្រៀននិយាយអំពីកត្តាកំណត់នៃលំដាប់ទីពីរ និងទីបី លក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ពួកគេ។ ក៏ដូចជាទ្រឹស្តីបទរបស់ Cramer ដែលអនុញ្ញាតឱ្យដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយប្រើកត្តាកំណត់។ កត្តាកំណត់ក៏ត្រូវបានគេប្រើនៅពេលក្រោយក្នុងប្រធានបទ "ពិជគណិតវ៉ិចទ័រ" នៅពេលគណនាផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រ។

សំណួរសិក្សាទី 1 វគ្គជម្រុះនៃវគ្គទីពីរ និងទីបី

បញ្ជាទិញ

ពិចារណាតារាងនៃចំនួនបួននៃទម្រង់

លេខនៅក្នុងតារាងត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរដែលមានសន្ទស្សន៍ពីរ។ លិបិក្រមទីមួយបង្ហាញពីលេខជួរដេក លិបិក្រមទីពីរបង្ហាញពីលេខជួរ។

និយមន័យ ១. កត្តាកំណត់លំដាប់ទីពីរ ហៅ កន្សោម ប្រភេទ :

(1)

លេខ ក 11, …, ក 22 ត្រូវបានគេហៅថាធាតុនៃកត្តាកំណត់។

អង្កត់ទ្រូងបង្កើតឡើងដោយធាតុ ក 11 ; ក 22 ត្រូវបានគេហៅថាមេ ហើយអង្កត់ទ្រូងដែលបង្កើតឡើងដោយធាតុ ក 12 ; ក 21 - នៅចំហៀង។

ដូច្នេះកត្តាកំណត់លំដាប់ទីពីរគឺស្មើនឹងភាពខុសគ្នារវាងផលិតផលនៃធាតុនៃអង្កត់ទ្រូងសំខាន់និងបន្ទាប់បន្សំ។

ចំណាំថាចម្លើយគឺជាលេខ។

ឧទាហរណ៍។គណនា៖

ឥឡូវ​នេះ សូម​ពិចារណា​តារាង​នៃ​លេខ​ប្រាំបួន​ដែល​សរសេរ​ជា​បី​ជួរ និង​បី​ជួរ ៖

និយមន័យ ២. កត្តាកំណត់លំដាប់ទីបី ត្រូវបានគេហៅថាទម្រង់បែបបទ :

ធាតុ ក 11; ក 22 ; ក 33 - បង្កើតជាអង្កត់ទ្រូងសំខាន់។

លេខ ក 13; ក 22 ; ក 31 - បង្កើតជាអង្កត់ទ្រូងចំហៀង។

ចូរយើងពណ៌នាតាមគ្រោងការណ៍ របៀបដែលពាក្យបូក និងដកត្រូវបានបង្កើតឡើង៖

" + " " – "

បូករួមបញ្ចូលៈ ផលិតផលនៃធាតុនៅលើអង្កត់ទ្រូងមេ ពាក្យពីរផ្សេងទៀតគឺជាផលិតផលនៃធាតុដែលមានទីតាំងនៅចំនុចកំពូលនៃត្រីកោណដែលមានមូលដ្ឋានស្របទៅនឹងអង្កត់ទ្រូងមេ។

លក្ខខណ្ឌដែលមានសញ្ញាដកត្រូវបានបង្កើតឡើងតាមរបៀបដូចគ្នាដោយគោរពតាមអង្កត់ទ្រូងបន្ទាប់បន្សំ។

ច្បាប់នេះសម្រាប់ការគណនាកត្តាកំណត់លំដាប់ទីបីត្រូវបានគេហៅថា

ត្រឹមត្រូវ។

ឧទាហរណ៍។គណនាដោយក្បួនត្រីកោណ៖

មតិ។ កត្តាកំណត់ក៏ត្រូវបានគេហៅថាកត្តាកំណត់ផងដែរ។

សំណួរសិក្សាទី ២ លក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ឧបករណ៍កំណត់។

ទ្រឹស្តីបទពង្រីក

ទ្រព្យ ១. តម្លៃនៃកត្តាកំណត់នឹងមិនផ្លាស់ប្តូរទេ ប្រសិនបើជួរដេករបស់វាត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរជាមួយជួរឈរដែលត្រូវគ្នា។

.

ការពង្រីកកត្តាកំណត់ទាំងពីរ យើងជឿជាក់លើសុពលភាពនៃសមភាព។

ទ្រព្យសម្បត្តិ 1 កំណត់សមភាពនៃជួរដេក និងជួរឈរនៃកត្តាកំណត់។ ដូច្នេះ លក្ខណៈសម្បត្តិបន្ថែមទាំងអស់នៃកត្តាកំណត់នឹងត្រូវបានបង្កើតសម្រាប់ទាំងជួរដេក និងជួរឈរ។

ទ្រព្យ ២. នៅពេលដែលជួរដេកពីរ (ឬជួរឈរ) ត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរ កត្តាកំណត់ផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាទៅផ្ទុយ ដោយរក្សាតម្លៃដាច់ខាត .

.

ទ្រព្យ ៣. មេគុណទូទៅនៃធាតុជួរដេក (ឬជួរឈរ)អាចត្រូវបានដកចេញពីសញ្ញានៃកត្តាកំណត់។

.

ទ្រព្យ ៤. ប្រសិនបើកត្តាកំណត់មានជួរពីរដូចគ្នា (ឬជួរឈរ) នោះវាស្មើនឹងសូន្យ។

ទ្រព្យសម្បត្តិនេះអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយការផ្ទៀងផ្ទាត់ដោយផ្ទាល់ ឬទ្រព្យសម្បត្តិ 2 អាចត្រូវបានប្រើ។

សម្គាល់កត្តាកំណត់ដោយ D. នៅពេលដែលជួរទីមួយ និងទីពីរដូចគ្នាបេះបិទ វានឹងមិនផ្លាស់ប្តូរទេ ហើយដោយលក្ខណៈសម្បត្តិទីពីរ វាត្រូវតែផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា ពោលគឺឧ។

D = − DÞ 2 D = 0 ÞD = 0 ។

ទ្រព្យ ៥. ប្រសិនបើធាតុទាំងអស់នៃខ្សែអក្សរមួយចំនួន (ឬជួរឈរ)គឺសូន្យ បន្ទាប់មកកត្តាកំណត់គឺសូន្យ។

ទ្រព្យសម្បត្តិនេះអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាករណីពិសេសនៃទ្រព្យសម្បត្តិ 3 ជាមួយ

ទ្រព្យ ៦. ប្រសិនបើធាតុនៃជួរពីរ (ឬជួរឈរ)កត្តាកំណត់គឺសមាមាត្រ បន្ទាប់មកកត្តាកំណត់គឺសូន្យ។

.

វាអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយការផ្ទៀងផ្ទាត់ដោយផ្ទាល់ ឬដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិ 3 និង 4 ។

ទ្រព្យ ៧. តម្លៃនៃកត្តាកំណត់មិនផ្លាស់ប្តូរទេ ប្រសិនបើធាតុនៃជួរដេកណាមួយ (ឬជួរឈរ) ត្រូវបានបន្ថែមទៅធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរដេកផ្សេងទៀត (ឬជួរឈរ) គុណនឹងចំនួនដូចគ្នា។

.

វាត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយការផ្ទៀងផ្ទាត់ដោយផ្ទាល់។

ការប្រើប្រាស់លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះនៅក្នុងករណីខ្លះអាចជួយសម្រួលដល់ដំណើរការនៃការគណនាកត្តាកំណត់ ជាពិសេសនៃលំដាប់ទីបី។

សម្រាប់​អ្វី​ដែល​បន្ទាប់​មក យើង​ត្រូវ​ការ​គោល​គំនិត​នៃ​ការ​បំពេញ​បន្ថែម​ពី​អនីតិជន និង​ពិជគណិត។ ពិចារណាគំនិតទាំងនេះដើម្បីកំណត់លំដាប់ទីបី។

និយមន័យ ៣. អនីតិជន នៃធាតុដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃកត្តាកំណត់លំដាប់ទីបីត្រូវបានគេហៅថា កត្តាកំណត់លំដាប់ទីពីរដែលទទួលបានពីវត្ថុដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយលុបជួរដេក និងជួរឈរនៅចំនុចប្រសព្វនៃធាតុដែលបានផ្តល់ឱ្យឈរ។

ធាតុអនីតិជន ក ខ្ញុំ jតំណាង ម ខ្ញុំ j. ដូច្នេះសម្រាប់ធាតុ ក 11 អនីតិជន

វាត្រូវបានទទួលដោយការលុបជួរទីមួយ និងជួរទីមួយនៅក្នុងកត្តាកំណត់លំដាប់ទីបី។

និយមន័យ ៤. ការបំពេញបន្ថែមពិជគណិតនៃធាតុកំណត់ ហៅវាថាអនីតិជនគុណនឹង (-1)k កន្លែងណា k - ផលបូកនៃលេខជួរដេក និងជួរនៅចំនុចប្រសព្វដែលធាតុដែលបានផ្តល់ឱ្យមានទីតាំងនៅ។

ការបន្ថែមធាតុពិជគណិត ក ខ្ញុំ jតំណាង ប៉ុន្តែ ខ្ញុំ j .

ដោយវិធីនេះ ប៉ុន្តែ ខ្ញុំ j =

.

ចូរយើងសរសេរការបន្ថែមពិជគណិតសម្រាប់ធាតុ ក១១ និង ក 12.

. .

វាមានប្រយោជន៍ក្នុងការចងចាំក្បួន៖ ការបំពេញបន្ថែមពិជគណិតនៃធាតុនៃកត្តាកំណត់គឺស្មើនឹងអនីតិជនដែលបានចុះហត្ថលេខារបស់វា។ បូកប្រសិនបើផលបូកនៃលេខជួរដេក និងជួរឈរដែលធាតុស្ថិតនៅ សូម្បីតែ,និងដោយសញ្ញា ដកប្រសិនបើចំនួននេះ។ សេស .

ចម្លើយ៖ វិធីសាស្ត្ររបស់ Cramer គឺផ្អែកលើការប្រើប្រាស់កត្តាកំណត់ក្នុងការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ នេះបង្កើនល្បឿនដំណើរការដំណោះស្រាយយ៉ាងខ្លាំង។

និយមន័យ។ កត្តាកំណត់ដែលផ្សំឡើងដោយមេគុណនៃមិនស្គាល់ត្រូវបានគេហៅថា កត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធ និងត្រូវបានតំណាងដោយ (ដីសណ្ត)។

កត្តាកំណត់

ត្រូវបានទទួលដោយការជំនួសមេគុណនៅមិនស្គាល់ដែលត្រូវគ្នាដោយលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃ៖

;

.

រូបមន្តរបស់ Cramer សម្រាប់ការស្វែងរកមិនស្គាល់៖

.

ការស្វែងរកតម្លៃនិងអាចធ្វើទៅបានលុះត្រាតែ

ការសន្និដ្ឋាននេះកើតឡើងពីទ្រឹស្តីបទខាងក្រោម។

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Cramer ។ ប្រសិនបើកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធមិនសូន្យ នោះប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរមានដំណោះស្រាយតែមួយ ហើយអ្វីដែលមិនស្គាល់គឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃកត្តាកំណត់។ ភាគបែងមានកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធ ហើយភាគយកមានកត្តាកំណត់ដែលទទួលបានពីកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធដោយជំនួសមេគុណដោយមិនស្គាល់ដោយលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃ។ ទ្រឹស្តីបទនេះសម្រាប់ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ណាមួយ។

ឧទាហរណ៍ 1. ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ៖

យោងតាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Cramer យើងមាន៖

ដូច្នេះដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធ (២)៖
9.operations on sets. ដ្យាក្រាម Vienne ។

ដ្យាក្រាមអយល័រ-វ៉េន គឺជាតំណាងធរណីមាត្រនៃសំណុំ។ ការស្ថាបនាដ្យាក្រាមមាននៅក្នុងរូបភាពនៃចតុកោណកែងធំដែលតំណាងឱ្យសំណុំសកល U ហើយនៅខាងក្នុងវា - រង្វង់ (ឬតួលេខបិទមួយចំនួនផ្សេងទៀត) តំណាងឱ្យសំណុំ។ តួលេខត្រូវតែប្រសព្វគ្នានៅក្នុងករណីទូទៅបំផុតដែលត្រូវការនៅក្នុងបញ្ហា ហើយត្រូវតែដាក់ស្លាកទៅតាមនោះ។ ចំនុចដែលស្ថិតនៅខាងក្នុងផ្នែកផ្សេងៗនៃដ្យាក្រាមអាចចាត់ទុកថាជាធាតុនៃសំណុំដែលត្រូវគ្នា។ ជាមួយនឹងដ្យាក្រាមដែលបានសាងសង់ វាអាចដាក់ស្រមោលតំបន់ជាក់លាក់ ដើម្បីបង្ហាញពីសំណុំដែលបានបង្កើតថ្មី។

ប្រតិបត្តិការកំណត់ត្រូវបានចាត់ទុកថាទទួលបានសំណុំថ្មីពីឧបករណ៍ដែលមានស្រាប់។

និយមន័យ។ ការរួបរួមនៃសំណុំ A និង B គឺជាសំណុំដែលមានធាតុផ្សំទាំងអស់ដែលជាកម្មសិទ្ធិយ៉ាងហោចណាស់មួយនៃសំណុំ A, B (រូបភាពទី 1)៖

និយមន័យ។ ចំនុចប្រសព្វនៃសំណុំ A និង B គឺជាសំណុំដែលមានធាតុផ្សំទាំងអស់ ហើយមានតែធាតុទាំងនោះដែលក្នុងពេលដំណាលគ្នានៃសំណុំ A និង Set B (រូបភាព 2)៖

និយមន័យ។ ភាពខុសគ្នានៃសំណុំ A និង B គឺជាសំណុំទាំងអស់ ហើយមានតែធាតុ A ដែលមិនមាននៅក្នុង B (រូបភាពទី 3)៖

និយមន័យ។ ភាពខុសគ្នាស៊ីមេទ្រីនៃសំណុំ A និង B គឺជាសំណុំនៃធាតុនៃសំណុំទាំងនេះដែលមានតែការកំណត់ A ឬសម្រាប់តែកំណត់ B (រូបភាពទី 4)៖

11. ការបង្ហាញ (មុខងារ) ដែននៃនិយមន័យ រូបភាពនៃសំណុំអំឡុងពេលបង្ហាញ សំណុំនៃតម្លៃមុខងារ និងក្រាហ្វរបស់វា។

ចំលើយ៖ ការគូសផែនទីនៃសំណុំ E ទៅនឹងសំណុំ F ឬមុខងារកំណត់លើ E ដែលមានតម្លៃជា F គឺជាច្បាប់ ឬច្បាប់ f ដែលកំណត់ធាតុជាក់លាក់មួយទៅធាតុនីមួយៗ។

ធាតុត្រូវបានគេហៅថា ធាតុឯករាជ្យ ឬអាគុយម៉ង់នៃអនុគមន៍ f ធាតុត្រូវបានគេហៅថាតម្លៃនៃអនុគមន៍ f ឬរូបភាព; ធាតុត្រូវបានគេហៅថា preimage នៃធាតុ។

ការគូសផែនទី (មុខងារ) ជាធម្មតាត្រូវបានតាងដោយអក្សរ f ឬនិមិត្តសញ្ញា ដែលបង្ហាញថា f គូសផែនទីកំណត់ E ដល់ F ។ សញ្ញាណក៏ត្រូវបានគេប្រើផងដែរ ដែលបង្ហាញថាធាតុ x ត្រូវគ្នានឹងធាតុ f (x) ។ ពេលខ្លះវាងាយស្រួលក្នុងការកំណត់មុខងារមួយដោយមធ្យោបាយនៃសមភាព ដែលមានច្បាប់នៃការឆ្លើយឆ្លង។ ឧទាហរណ៍ អ្នក​អាច​និយាយ​ថា "អនុគមន៍ f ត្រូវ​បាន​កំណត់​ដោយ​សមភាព" ។ ប្រសិនបើ "y" គឺជាឈ្មោះទូទៅនៃធាតុនៃសំណុំ F ពោលគឺ F = (y) នោះការគូសវាសត្រូវបានសរសេរជាសមភាព y = f(x) ហើយវាត្រូវបានគេនិយាយថាការធ្វើផែនទីនេះត្រូវបានផ្តល់ឱ្យយ៉ាងច្បាស់។

2. រូបភាព និងរូបភាពបញ្ច្រាសនៃសំណុំនៅក្រោមផែនទីដែលបានផ្តល់ឱ្យ

អនុញ្ញាតឱ្យផែនទី និងសំណុំមួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។

សំណុំនៃធាតុពី F ដែលនីមួយៗគឺជារូបភាពនៃធាតុយ៉ាងហោចណាស់មួយពី D នៅក្រោមការគូសវាស f ត្រូវបានគេហៅថារូបភាពនៃសំណុំ D ហើយត្រូវបានតំណាងដោយ f (D) ។

ជាក់ស្តែង, ។

ឥឡូវនេះអនុញ្ញាតឱ្យសំណុំត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។

សំណុំនៃធាតុដែលត្រូវបានគេហៅថារូបភាពបញ្ច្រាសនៃសំណុំ Y នៅក្រោមការគូសវាស f ហើយត្រូវបានតាងដោយ f -1 (Y) ។

ប្រសិនបើ . ប្រសិនបើសម្រាប់សំណុំ f -1 (y) នីមួយៗមានភាគច្រើននៃធាតុមួយ នោះ f ត្រូវបានគេហៅថាការគូសវាសមួយទៅមួយពី E ទៅ F ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ គេអាចកំណត់ការគូសផែនទីមួយទៅមួយ f នៃសំណុំមួយ។ អ៊ី ដល់ អេហ្វ។

ការបង្ហាញត្រូវបានគេហៅថា:

ការចាក់ (ឬការចាក់ ឬការគូសវាសមួយទល់នឹងមួយនៃសំណុំ E ទៅ F) ប្រសិនបើ ឬប្រសិនបើសមីការ f(x) = y មានដំណោះស្រាយច្រើនបំផុតមួយ;

Surjective (ឬការសន្មត់ ឬផែនទីនៃសំណុំ E លើ F) ប្រសិនបើ f(E) = F ហើយប្រសិនបើសមីការ f(x) = y មានដំណោះស្រាយយ៉ាងហោចណាស់មួយ;

bijective (ឬ bijection ឬការគូសវាសមួយទល់នឹងមួយនៃសំណុំ E ទៅលើ F) ប្រសិនបើវាជា injective និង surjective ឬប្រសិនបើសមីការ f(x) = y មានដំណោះស្រាយមួយ និងតែមួយគត់។

3. Superposition នៃផែនទី។ ការគូសផែនទីបញ្ច្រាស ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ និងដោយប្រយោល។

1) អនុញ្ញាតឱ្យនិង។ ចាប់តាំងពី ផែនទី g ផ្តល់ធាតុជាក់លាក់មួយទៅធាតុនីមួយៗ។

ដូច្នេះ តាម​រយៈ​ក្បួន​នីមួយៗ​ត្រូវ​បាន​កំណត់​ធាតុ​មួយ។

ដូច្នេះ ការគូសផែនទីថ្មី (ឬមុខងារថ្មី) ត្រូវបានកំណត់ ដែលយើងនឹងហៅថា សមាសភាពនៃការគូសវាស ឬ superposition នៃផែនទី ឬការធ្វើផែនទីស្មុគស្មាញ។

2) ចូរ​ធ្វើ​ជា​ការ​គូស​ផែនទី​ទ្វេ និង F = (y) ។ ដោយហេតុថា f គឺជាវត្ថុបំណង នីមួយៗត្រូវគ្នាទៅនឹងរូបភាពឯកតា x ដែលយើងសម្គាល់ដោយ f −1 (y) ហើយដូចនោះ f(x) = y ។ ដូច្នេះ ការគូសផែនទីត្រូវបានកំណត់ ដែលត្រូវបានគេហៅថា បញ្ច្រាសនៃផែនទី f ឬអនុគមន៍បញ្ច្រាសនៃអនុគមន៍ f ។

ជាក់ស្តែង ការគូសផែនទី f គឺបញ្ច្រាសទៅនឹងផែនទី f -1 ។ ដូច្នេះ ការគូសវាស f និង f -1 ត្រូវបានគេហៅថា បញ្ច្រាសទៅវិញទៅមក។ សម្រាប់ពួកគេទំនាក់ទំនង

ជាឧទាហរណ៍ ហើយយ៉ាងហោចណាស់ការគូសវាសមួយក្នុងចំនោមផែនទីទាំងនេះ គឺជាគោលបំណង។ បន្ទាប់​មក​មាន​ការ​គូស​ផែនទី​បញ្ច្រាស ហើយ​ហេតុ​ដូច្នេះ​ហើយ .

ការធ្វើផែនទីដែលបានកំណត់តាមរបៀបនេះត្រូវបានគេនិយាយថាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យតាមប៉ារ៉ាម៉ែត្រដោយមានជំនួយពីការគូសផែនទី។ ដែលអថេរពីត្រូវបានគេហៅថា ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។

4) អនុញ្ញាតឱ្យកំណត់ផែនទីនៅលើសំណុំ ដែលសំណុំមានធាតុសូន្យ។ ឧបមាថាមានសំណុំបែបនេះដែលសម្រាប់សមីការថេរនីមួយៗមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។ បន្ទាប់មកនៅលើសំណុំ E វាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីកំណត់ការគូសវាសដែលផ្តល់ទៅឱ្យតម្លៃនីមួយៗដែលសម្រាប់ x ដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ។

ទាក់ទងនឹងការធ្វើផែនទីដែលបានកំណត់

ពួកគេនិយាយថាវាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយប្រយោលដោយមធ្យោបាយនៃសមីការ។

5) ការគូសផែនទីត្រូវបានគេហៅថាផ្នែកបន្ថែមនៃផែនទី ហើយ g គឺជាការបង្រួមនៃផែនទី f ប្រសិនបើ និង .

ការដាក់កម្រិតនៃការគូសវាសទៅនឹងសំណុំមួយ ជួនកាលត្រូវបានតំណាងដោយនិមិត្តសញ្ញា។

6) ក្រាហ្វបង្ហាញគឺជាសំណុំ

វាច្បាស់ណាស់។

12. មុខងារ monotonic ។ អនុគមន៍បញ្ច្រាសទ្រឹស្ដីអត្ថិភាព។ មុខងារ y=arcsinx y=arcos x x លក្ខណៈសម្បត្តិ និងក្រាហ្វិក។

ចម្លើយ៖ អនុគមន៍ monotonic គឺជាមុខងារដែលការកើនឡើងមិនផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា ពោលគឺវាតែងតែមិនអវិជ្ជមាន ឬតែងតែមិនវិជ្ជមាន។ ប្រសិនបើលើសពីនេះ ការបង្កើនមិនស្មើនឹងសូន្យ នោះមុខងារត្រូវបានគេហៅថា monotonic យ៉ាងតឹងរ៉ឹង។

អនុញ្ញាតឱ្យមានអនុគមន៍ f(x) ដែលបានកំណត់នៅលើផ្នែក ដែល​តម្លៃ​ជា​របស់​ចន្លោះ​ពេល​ខ្លះ . ប្រសិនបើ ក

បន្ទាប់មកពួកគេនិយាយថានៅលើផ្នែក អនុគមន៍​បញ្ច្រាស​ទៅ​អនុគមន៍ f(x) ត្រូវ​បាន​កំណត់​និង​បង្ហាញ​ដូច​ខាង​ក្រោម៖ x=f (-1) (y) ។

យកចិត្តទុកដាក់លើភាពខុសគ្នារវាងនិយមន័យនេះ និងនិយមន័យនៃផ្នែកដែលកំពុងបំពេញ។ ពាសពេញ។ នៅក្នុងនិយមន័យនៃ f (-1) (…) មាន quantifier, i.e. តម្លៃនៃ x ដែលធានានូវសមភាព y=f(x) ត្រូវតែមានតែមួយគត់ ខណៈពេលដែលនៅក្នុងនិយមន័យនៃផ្នែកត្រូវបានបំពេញ បរិមាណគឺរឹង ដែលមានន័យថាអាចមានតម្លៃជាច្រើននៃ x ដែលបំពេញសមភាព y=f(x)។

ជាធម្មតា និយាយអំពីអនុគមន៍បញ្ច្រាស ជំនួស x ជាមួយ y និង y ដោយ x (x "y) ហើយសរសេរ y \u003d f (-1) (x) ។ ជាក់ស្តែង អនុគមន៍ដើម f(x) និងអនុគមន៍បញ្ច្រាស f (-1) (x) បំពេញទំនាក់ទំនង

f (−1) (f(x))=f(-1) (x))=x ។

ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ដើម និងច្រាសត្រូវបានទទួលពីគ្នាទៅវិញទៅមកដោយការឆ្លុះដោយគោរពទៅនឹង bisector នៃ quadrant ដំបូង។

ទ្រឹស្តីបទ។ សូម​ឲ្យ​អនុគមន៍ f(x) ត្រូវ​បាន​កំណត់ បន្ត​និង​យ៉ាង​តឹងរ៉ឹង​ដោយ​ការ​បង្កើន (បន្ថយ) នៅ​លើ​ចន្លោះ​ពេល។ បន្ទាប់មកអនុគមន៍ច្រាស f (-1) (x) ត្រូវបានកំណត់នៅលើចន្លោះពេល ដែលជាការកើនឡើងជាបន្តបន្ទាប់ និងយ៉ាងតឹងរ៉ឹងដោយឯកតោភាគី (ថយចុះ)។

ភស្តុតាង។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញទ្រឹស្តីបទសម្រាប់ករណីនៅពេលដែល f(x) ត្រូវបានកើនឡើងយ៉ាងតឹងរ៉ឹងដោយឯកតា។

1. អត្ថិភាពនៃមុខងារបញ្ច្រាសមួយ។

ដោយ​សារ​សម្មតិកម្ម​នៃ​ទ្រឹស្តីបទ f(x) គឺ​បន្ត បន្ទាប់​មក​តាម​ទ្រឹស្តីបទ​មុន ចម្រៀក​ត្រូវ​បាន​បំពេញ​ទាំង​ស្រុង។ វាមានន័យថា។

ចូរយើងបង្ហាញថា x គឺមានតែមួយគត់។ ជាការពិតណាស់ប្រសិនបើយើងយក x'> x នោះវានឹងជា f(x')>f(x)=y ហើយដូច្នេះ f(x')>y ។ ប្រសិនបើអ្នកយក x''

2. Monotonicity នៃអនុគមន៍បញ្ច្រាស។

ចូរធ្វើការជំនួសធម្មតា x "y ហើយសរសេរ y = f (-1) (x) ។ នេះមានន័យថា x = f (y) ។

អនុញ្ញាតឱ្យ x 1 > x 2 ។ បន្ទាប់មក៖

y 1 \u003d f (-1) (x 1); x 1 = f(y 1)

y 2 \u003d f (-1) (x 2); x 2 \u003d f (y 2)

តើទំនាក់ទំនងរវាង y 1 និង y 2 ជាអ្វី? តោះពិនិត្យមើលជម្រើស។

ក) y ១ x 2 ។

ខ) y 1 \u003d y 2? ប៉ុន្តែបន្ទាប់មក f(y 1)=f(y 2) និង x 1 = x 2 ហើយយើងមាន x 1 > x 2 ។

គ) ជម្រើសតែមួយគត់ដែលនៅសេសសល់គឺ y 1 > y 2, i.e. ប៉ុន្តែបន្ទាប់មក f (-1) (x 1)> f (-1) (x 2) ហើយនេះមានន័យថា f (-1) (... ) កំពុងកើនឡើងយ៉ាងតឹងរ៉ឹង។

3. ការបន្តនៃមុខងារបញ្ច្រាស។

ដោយសារតែ តម្លៃនៃអនុគមន៍បញ្ច្រាសទាំងស្រុងបំពេញផ្នែក បន្ទាប់មកយោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទមុន f (-1) (…) គឺបន្ត។<

<="" a="" style="color: rgb(255, 68, 0);">

y = arcsin x	y = arccos x
អនុគមន៍បញ្ច្រាសនៃអនុគមន៍ y = sin x, − / 2 x / 2	អនុគមន៍បញ្ច្រាសនៃអនុគមន៍ y = cos x, 0 x

<="" a="" style="color: rgb(0, 0, 0); font-family: Arial; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: rgb(0, 171, 160);">

<="" a="" style="color: rgb(255, 68, 0); font-family: Arial; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: rgb(0, 171, 160);">

y = អាកតាន x	y = arcctg x
អនុគមន៍បញ្ច្រាសនៃអនុគមន៍ y = tg x, − / 2< x < / 2	មុខងារបញ្ច្រាសនៃអនុគមន៍ y = ctg x, 0< x <

13. សមាសភាពមុខងារ។ មុខងារបឋម។ អនុគមន៍ y = arctg x , y = arcctg x លក្ខណៈសម្បត្តិ និងក្រាហ្វរបស់ពួកគេ។

ចំលើយ៖ នៅក្នុងគណិតវិទ្យា សមាសភាពនៃអនុគមន៍ (ការបូកនៃអនុគមន៍) គឺជាការអនុវត្តមុខងារមួយទៅលទ្ធផលនៃមុខងារមួយទៀត។

សមាសភាពនៃអនុគមន៍ G និង F ជាធម្មតាត្រូវបានតំណាងឱ្យ G∘F ដែលមានន័យថាការអនុវត្តមុខងារ G ទៅជាលទ្ធផលនៃអនុគមន៍ F ។

អនុញ្ញាតឱ្យ F: X → Y និង G: F (X)⊂Y → Z ជាមុខងារពីរ។ បន្ទាប់មកសមាសភាពរបស់ពួកគេគឺជាមុខងារ G∘F:X →Z ដែលកំណត់ដោយសមភាព៖

(G∘F)(x)=G(F(x)),x∈X។

អនុគមន៍បឋម - អនុគមន៍ដែលអាចទទួលបានដោយប្រើចំនួនកំណត់នៃប្រតិបត្តិការនព្វន្ធ និងសមាសធាតុពីអនុគមន៍បឋមខាងក្រោម៖

• ពិជគណិត៖
• អំណាច;
• ហេតុផល។
• វិចារណញាណ៖
• អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងលោការីត;
• ត្រីកោណមាត្រ និង ត្រីកោណមាត្របញ្ច្រាស។

អនុគមន៍​បឋម​នីមួយៗ​អាច​ត្រូវ​បាន​កំណត់​ដោយ​រូបមន្ត នោះ​គឺ​សំណុំ​នៃ​ចំនួន​កំណត់​នៃ​និមិត្តសញ្ញា​ដែល​ត្រូវ​នឹង​ប្រតិបត្តិការ​ដែល​បាន​ប្រើ។ មុខងារបឋមទាំងអស់គឺបន្តនៅលើដែននៃនិយមន័យរបស់វា។

ពេលខ្លះអនុគមន៍បឋមសិក្សាក៏រួមបញ្ចូលអនុគមន៍អ៊ីពែរបូល និង អនុគមន៍អ៊ីពែរបូលច្រាសផងដែរ ទោះបីជាពួកវាអាចត្រូវបានបញ្ជាក់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃអនុគមន៍បឋមមូលដ្ឋានដែលបានរាយខាងលើក៏ដោយ។

<="" a="" style="color: rgb(255, 68, 0); font-family: Arial; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: rgb(0, 171, 160);">

y > 0 សម្រាប់ x R EXTREMA៖ ទេ ទេ ភាពដាច់ស្រយាលឯកត្តជន៖ កើនឡើងនៅ x R ថយចុះនៅ x R