គ្រូបង្រៀនគណិតវិទ្យានៃសាខា Shchelkovsky នៃស្ថាប័នអប់រំថវិការដ្ឋនៃតំបន់ម៉ូស្គូ "មហាវិទ្យាល័យ Krasnogorsk" Artemiev Vasily Ilyich ។
ការសិក្សាលើប្រធានបទ "ការដោះស្រាយបញ្ហាសម្រាប់ការសាងសង់ផ្នែក" ចាប់ផ្ដើមនៅថ្នាក់ទី១០ ឬឆ្នាំទី១ នៃស្ថាប័នអង្គការក្រៅរដ្ឋាភិបាល។ ប្រសិនបើថ្នាក់រៀនគណិតវិទ្យាត្រូវបានបំពាក់ដោយឧបករណ៍ពហុមេឌៀ នោះដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហានៃការសិក្សាត្រូវបានសម្របសម្រួលដោយជំនួយពីកម្មវិធីផ្សេងៗ។ កម្មវិធីមួយក្នុងចំណោមកម្មវិធីទាំងនេះគឺ កម្មវិធីគណិតវិទ្យាថាមវន្ត GeoGebra 4.0.12 ។ វាស័ក្តិសមសម្រាប់ការសិក្សា និងរៀននៅដំណាក់កាលណាមួយនៃការអប់រំ ជួយសម្រួលដល់ការបង្កើតសំណង់ និងគំរូគណិតវិទ្យាដោយសិស្ស ដែលអនុញ្ញាតឱ្យមានការស្រាវជ្រាវអន្តរកម្មនៅពេលផ្លាស់ទីវត្ថុ និងការផ្លាស់ប្តូរប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។
ពិចារណាលើការអនុវត្តផលិតផលសូហ្វវែរនេះលើឧទាហរណ៍ជាក់លាក់មួយ។
កិច្ចការមួយ។ សាងសង់ផ្នែកមួយនៃពីរ៉ាមីតដោយយន្តហោះ PQR ប្រសិនបើចំនុច P ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ SA ចំនុច Q ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ SB ចំនុច R ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ SC ។
ដំណោះស្រាយ។ ចូរយើងពិចារណាករណីពីរ។ ករណីទី 1. សូមអោយចំនុច P ជាកម្មសិទ្ធិរបស់គែម SA ។
1. ដោយប្រើឧបករណ៍ចំណុច សម្គាល់ចំណុចបំពាន A, B, C, D. ចុចកណ្ដុរស្ដាំលើចំណុច D ជ្រើសរើស "ប្តូរឈ្មោះ" ។ ប្តូរឈ្មោះ D ទៅ S ហើយកំណត់ទីតាំងនៃចំណុចនេះដូចបង្ហាញក្នុងរូបភាពទី 1 ។
2. ដោយប្រើឧបករណ៍ "Segment by two points" យើងនឹងសាងសង់ segments SA, SB, SC, AB, AC, BC ។
3. ចុចកណ្ដុរស្ដាំលើផ្នែក AB ហើយជ្រើសរើស "Properties" - "Style" ។ រៀបចំបន្ទាត់ចំនុច។
4. សម្គាល់ចំណុច P, Q, R នៅលើផ្នែក SA, SB, CS ។
5. ប្រើឧបករណ៍ "បន្ទាត់ពីរចំណុច" ដើម្បីបង្កើតបន្ទាត់ PQ ។
6. ពិចារណាបន្ទាត់ PQ និងចំណុច R. សំណួរសម្រាប់សិស្ស៖ តើមានយន្តហោះប៉ុន្មានដែលឆ្លងកាត់បន្ទាត់ PQ និងចំណុច R? បញ្ជាក់ចម្លើយ។ (ចំលើយ។ យន្តហោះឆ្លងកាត់ខ្សែបន្ទាត់មួយ ហើយចំនុចមិនស្ថិតនៅលើវា ហើយលើសពីនេះទៅទៀត មានតែមួយប៉ុណ្ណោះ)។
7. យើងបង្កើត PR និង QR ដោយផ្ទាល់។
8. ជ្រើសរើសឧបករណ៍ពហុកោណ ហើយចុចលើចំណុច PQRP ម្តងមួយៗ។
9. ប្រើឧបករណ៍ផ្លាស់ទីដើម្បីផ្លាស់ប្តូរទីតាំងនៃចំណុចនិងសង្កេតមើលការផ្លាស់ប្តូរនៅក្នុងផ្នែក។
រូបភាពទី 1 ។
10. ចុចកណ្ដុរស្ដាំលើពហុកោណហើយជ្រើសរើស "លក្ខណសម្បត្តិ" - "ពណ៌" ។ បំពេញពហុកោណដោយពណ៌ទន់ភ្លន់មួយចំនួន។
11. នៅលើបន្ទះវត្ថុ ចុចលើសញ្ញាសម្គាល់ ហើយលាក់បន្ទាត់។
12. ជាកិច្ចការបន្ថែម អ្នកអាចវាស់តំបន់កាត់។
ដើម្បីធ្វើដូចនេះជ្រើសឧបករណ៍ "តំបន់" ហើយចុចខាងឆ្វេងលើពហុកោណ។
ករណីទី 2. ចំនុច P ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ SA ។ ដើម្បីពិចារណាដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាសម្រាប់ករណីនេះអ្នកអាចប្រើគំនូរនៃបញ្ហាមុន។ ចូរលាក់តែពហុកោណ និងចំណុច P។
1. ប្រើឧបករណ៍ "បន្ទាត់ពីរចំនុច" ដើម្បីបង្កើតបន្ទាត់ត្រង់ SA ។
2. សម្គាល់ចំណុច P1 នៅលើបន្ទាត់ SA ដូចបង្ហាញក្នុងរូបភាពទី 2 ។
3. គូរបន្ទាត់ P1Q ។
4. ជ្រើសរើសឧបករណ៍ "ប្រសព្វនៃវត្ថុពីរ" ហើយចុចខាងឆ្វេងលើបន្ទាត់ត្រង់ AB និង P1Q ។ ចូរយើងស្វែងរកចំណុចប្រសព្វរបស់ពួកគេ K ។
5. ចូរយើងគូរបន្ទាត់ P1R ។ រកចំណុចប្រសព្វ M នៃបន្ទាត់នេះជាមួយបន្ទាត់ AC ។
សំណួរសម្រាប់សិស្ស៖ តើមានយន្តហោះប៉ុន្មានអាចគូរតាមបន្ទាត់ P1Q និង P1R? បញ្ជាក់ចម្លើយ។ (ចម្លើយ។ យន្តហោះមួយឆ្លងកាត់បន្ទាត់ប្រសព្វគ្នាពីរ ហើយលើសពីនេះទៅទៀត មានតែមួយ)។
6. តោះគូរ KM និង QR ដោយផ្ទាល់។ សំណួរសម្រាប់សិស្ស។ តើយន្តហោះណាដែលក្នុងពេលដំណាលគ្នាជាកម្មសិទ្ធិរបស់ចំណុច K, M? ចំនុចប្រសព្វនៃយន្តហោះណាជាបន្ទាត់ត្រង់ KM?
7. សាងសង់ពហុកោណ QRKMQ ។ បំពេញដោយពណ៌ទន់ភ្លន់និងលាក់បន្ទាត់ជំនួយ។
រូបភាពទី 2 ។
ដោយប្រើឧបករណ៍ "ផ្លាស់ទី" យើងផ្លាស់ទីចំណុចតាមបណ្តោយបន្ទាត់ត្រង់ AS ។ យើងពិចារណាទីតាំងផ្សេងៗនៃប្លង់ផ្នែក។
ភារកិច្ចសម្រាប់ការសាងសង់ផ្នែក៖
1. សាងសង់ផ្នែកដែលកំណត់ដោយបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល AA1 និង CC1 ។ តើមានយន្តហោះប៉ុន្មានគ្រឿងឆ្លងកាត់បន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល? 
2. សាងសង់ផ្នែកឆ្លងកាត់បន្ទាត់ប្រសព្វ។ តើមានយន្តហោះប៉ុន្មានគ្រឿងឆ្លងកាត់បន្ទាត់ប្រសព្វ? 
3. ការសាងសង់ផ្នែកដោយប្រើប្រាស់លក្ខណៈសម្បត្តិនៃយន្តហោះប៉ារ៉ាឡែល៖
ក) សាងសង់ផ្នែកមួយនៃ parallelepiped ដោយយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុច M និងបន្ទាត់ AC ។ 
ខ) សាងសង់ផ្នែកមួយនៃព្រីសដោយយន្តហោះឆ្លងកាត់គែម AB និងពាក់កណ្តាលគែម B1C1 ។
គ) សាងសង់ផ្នែកមួយនៃពីរ៉ាមីតដោយយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុច K និងស្របទៅនឹងយន្តហោះនៃមូលដ្ឋាននៃពីរ៉ាមីត។
4. ការសាងសង់ផ្នែកដោយវិធីដាន៖
ក) ផ្តល់ឱ្យពីរ៉ាមីត SABCD ។ សាងសង់ផ្នែកមួយនៃពីរ៉ាមីតដោយយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុច P, Q និង R ។
5) គូរបន្ទាត់ QF ហើយរកចំនុច H នៃចំនុចប្រសព្វជាមួយគែម SB ។
6) តោះគូរដោយផ្ទាល់ HR និង PG ។
7) ជ្រើសរើសផ្នែកលទ្ធផលដោយប្រើឧបករណ៍ "ពហុកោណ" ហើយផ្លាស់ប្តូរពណ៌បំពេញ។
ខ) សាងសង់ផ្នែកមួយនៃ parallelepiped ABCDA1B1C1D1 ដោយខ្លួនឯងដោយយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុច P, K និង M. បញ្ជីប្រភព។
1. ធនធានអេឡិចត្រូនិច http://www.geogebra.com/indexcf.php
2. ធនធានអេឡិចត្រូនិច http://geogebra.ru/www/index.php (គេហទំព័ររបស់វិទ្យាស្ថាន GeoGebra ស៊ីបេរី)
3. ធនធានអេឡិចត្រូនិច http://cdn.scipeople.com/materials/16093/projective_geometry_geogebra.PDF
4. ធនធានអេឡិចត្រូនិច។ http://nesmel.jimdo.com/geogebra-rus/
5. ធនធានអេឡិចត្រូនិក http://forum.sosna24k.ru/viewforum.php?f=35&sid=(វេទិកា GeoGebra សម្រាប់គ្រូបង្រៀន និងសិស្សសាលា)។
6. ធនធានអេឡិចត្រូនិក www.geogebratube.org (សម្ភារអន្តរកម្មសម្រាប់ធ្វើការជាមួយកម្មវិធី)
បញ្ហាលើការសាងសង់ផ្នែកនៃ polyhedra កាន់កាប់កន្លែងសំខាន់ទាំងនៅក្នុងវគ្គសិក្សាធរណីមាត្រសាលាសម្រាប់ថ្នាក់ជាន់ខ្ពស់និងនៅក្នុងការប្រឡងនៅកម្រិតផ្សេងៗ។ ដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាប្រភេទនេះរួមចំណែកដល់ការរួមផ្សំនៃ axioms នៃ stereometrics, ការរៀបចំប្រព័ន្ធនៃចំណេះដឹង និងជំនាញ, ការអភិវឌ្ឍន៍នៃការតំណាង spatial និងជំនាញស្ថាបនា។ ភាពលំបាកដែលកើតឡើងក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាលើការសាងសង់ផ្នែកត្រូវបានគេស្គាល់យ៉ាងច្បាស់។
តាំងពីកុមារភាពមក យើងប្រឈមមុខនឹងផ្នែក។ យើងកាត់នំបុ័ងសាច់ក្រកនិងផលិតផលផ្សេងទៀតកាត់ដំបងឬខ្មៅដៃដោយកាំបិត។ យន្តហោះឯកានៅក្នុងករណីទាំងអស់នេះគឺជាយន្តហោះនៃកាំបិត។ ផ្នែក (ផ្នែកនៃបំណែក) គឺខុសគ្នា។
ផ្នែកនៃពហុកោណប៉ោងគឺជាពហុកោណប៉ោង ចំនុចកំពូលដែលក្នុងករណីទូទៅគឺជាចំនុចប្រសព្វនៃយន្តហោះកាត់ជាមួយនឹងគែមនៃពហុកោណ ហើយជ្រុងគឺជាបន្ទាត់ប្រសព្វនៃយន្តហោះកាត់ជាមួយ មុខ។
ដើម្បីបង្កើតបន្ទាត់នៃចំនុចប្រសព្វនៃយន្តហោះទាំងពីរ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីស្វែងរកចំណុចធម្មតាពីរនៃយន្តហោះទាំងនេះ ហើយគូសបន្ទាត់កាត់ពួកវា។ នេះគឺផ្អែកលើសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដូចខាងក្រោមៈ
1. ប្រសិនបើចំនុចពីរនៃបន្ទាត់ត្រង់ជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះ នោះបន្ទាត់ទាំងមូលជារបស់យន្តហោះនេះ។
2. ប្រសិនបើប្លង់ពីរផ្សេងគ្នាមានចំណុចរួម នោះពួកវាប្រសព្វគ្នាតាមបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចនេះ។
ដូចដែលខ្ញុំបាននិយាយរួចមកហើយ ការសាងសង់ផ្នែកនៃ polyhedra អាចត្រូវបានអនុវត្តនៅលើមូលដ្ឋាននៃ axioms នៃ stereometric និង theorem នៅលើ parallelism នៃបន្ទាត់ និង យន្តហោះ។ ទន្ទឹមនឹងនេះដែរមានវិធីសាស្រ្តជាក់លាក់សម្រាប់ការសាងសង់ផ្នែកយន្តហោះនៃ polyhedra ។ វិធីសាស្ត្រទាំងបីខាងក្រោមមានប្រសិទ្ធភាពបំផុត៖
វិធីសាស្រ្តតាមដាន
វិធីសាស្រ្តរចនាផ្ទៃក្នុង
វិធីសាស្រ្តរួមបញ្ចូលគ្នា។
នៅក្នុងការសិក្សាអំពីធរណីមាត្រ និងជាពិសេសផ្នែកទាំងនោះរបស់វា ដែលរូបភាពនៃតួលេខធរណីមាត្រត្រូវបានពិចារណា រូបភាពនៃតួលេខធរណីមាត្រជួយក្នុងការប្រើការបង្ហាញកុំព្យូទ័រ។ ដោយមានជំនួយពីកុំព្យូទ័រ មេរៀនធរណីមាត្រជាច្រើនកាន់តែមើលឃើញ និងថាមវន្ត។ Axioms ទ្រឹស្តីបទ ភស្តុតាង ភារកិច្ចសម្រាប់ការសាងសង់ ភារកិច្ចសម្រាប់ការសាងសង់ផ្នែកអាចត្រូវបានអមដោយការសាងសង់ជាបន្តបន្ទាប់នៅលើអេក្រង់ម៉ូនីទ័រ។ គំនូរដែលបង្កើតដោយកុំព្យូទ័រអាចត្រូវបានរក្សាទុក និងបិទភ្ជាប់ទៅក្នុងឯកសារផ្សេងទៀត។
ខ្ញុំចង់បង្ហាញស្លាយមួយចំនួនលើប្រធានបទ៖ "ការសាងសង់ផ្នែកនៅក្នុងតួធរណីមាត្រ"
ដើម្បីសាងសង់ចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់មួយ និងប្លង់មួយ ស្វែងរកបន្ទាត់ក្នុងយន្តហោះដែលប្រសព្វបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ បន្ទាប់មកចំនុចដែលចង់បានគឺជាចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ដែលបានរកឃើញជាមួយនឹងចំនុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ តោះមើលវានៅលើស្លាយបន្ទាប់។
កិច្ចការទី 1 ។
ចំណុចពីរ M និង N ត្រូវបានសម្គាល់នៅលើគែមនៃ tetrahedron DABC; M GAD, N b DC ។ ជ្រើសរើសចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ MN ជាមួយយន្តហោះនៃមូលដ្ឋាន។
ដំណោះស្រាយ៖ ដើម្បីស្វែងរកចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ MN ជាមួយយន្តហោះ
មូលដ្ឋានយើងនឹងបន្ត AC និងផ្នែក MN ។ ចូរយើងសម្គាល់ចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ទាំងនេះតាមរយៈ X។ ចំនុច X ជាកម្មសិទ្ធិរបស់បន្ទាត់ MN និងមុខ AC ហើយ AC ស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះនៃមូលដ្ឋាន ដែលមានន័យថាចំនុច X ក៏ស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះនៃមូលដ្ឋានផងដែរ។ . ដូច្នេះចំនុច X គឺជាចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ MN ជាមួយយន្តហោះនៃមូលដ្ឋាន។
ចូរយើងពិចារណាបញ្ហាទីពីរ។ ចូរធ្វើអោយវាស្មុគស្មាញបន្តិច។
កិច្ចការទី 2 ។
បានផ្តល់ឱ្យ tetrahedron DABC នៃចំណុច M និង N ដែល M € DA, N C (DBC) ។ រកចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ MN ជាមួយយន្តហោះ ABC ។
ដំណោះស្រាយ៖ ចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ MN ជាមួយយន្តហោះ ABC ត្រូវតែស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះដែលមានបន្ទាត់ MN និងក្នុងយន្តហោះនៃមូលដ្ឋាន។ យើងបន្តផ្នែក DN ទៅចំនុចប្រសព្វជាមួយគែម DC ។ យើងសម្គាល់ចំណុចប្រសព្វឆ្លងកាត់ E. យើងបន្តបន្ទាត់ AE និង MN ដល់ចំណុចប្រសព្វរបស់ពួកគេ។ ចំណាំ X. ចំនុច X ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ MN ដូច្នេះវាស្ថិតនៅលើយន្តហោះដែលមានបន្ទាត់ MN ហើយ X ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ AE ហើយ AE ស្ថិតនៅលើយន្តហោះ ABC ។ ដូច្នេះ X ក៏ស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះ ABC ដែរ។ ដូច្នេះ X គឺជាចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ MN និងយន្តហោះ ABC ។
ចូរធ្វើឱ្យកិច្ចការស្មុគស្មាញ។ ពិចារណាផ្នែកនៃតួលេខធរណីមាត្រដោយយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុចបីដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
កិច្ចការទី 3
ចំណុច M, N និង P ត្រូវបានសម្គាល់នៅលើគែម AC, AD និង DB នៃ tetrahedron DABC ។ សាងសង់ផ្នែកមួយនៃ tetrahedron ដោយយន្តហោះ MNP ។
ដំណោះស្រាយ៖ សង់បន្ទាត់ត្រង់ដែលយន្តហោះ MNP ។ ប្រសព្វមុខយន្តហោះ ABC ។ ចំណុច M គឺជាចំណុចទូទៅនៃយន្តហោះទាំងនេះ។ ដើម្បីកសាងចំណុចរួមមួយទៀត យើងបន្តផ្នែក AB និង NP ។ យើងសម្គាល់ចំណុចប្រសព្វតាមរយៈ X ដែលនឹងក្លាយជាចំណុចរួមទីពីរនៃយន្តហោះ MNP និង ABC ។ ដូច្នេះ យន្តហោះទាំងនេះប្រសព្វគ្នាតាមបន្ទាត់ត្រង់ MX ។ MX កាត់គែម BC នៅចំណុចមួយចំនួន E. ដោយសារ E ស្ថិតនៅលើ MX ហើយ MX គឺជាបន្ទាត់ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះ MNP វាធ្វើតាមថា PE ជារបស់ MNP ។ MNPE បួនជ្រុងគឺជាផ្នែកដែលត្រូវការ។
កិច្ចការទី 4
យើងសាងសង់ផ្នែកមួយនៃព្រីសត្រង់ ABCA1B1C1 ដោយយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំនុច P , សំណួរ,R ដែល R ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ ( អេ 1គ 1គ), Rជាកម្មសិទ្ធិ អេ 1C1,
Q ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ AB
ដំណោះស្រាយ៖ចំនុចទាំងបី P, Q, R ស្ថិតនៅលើមុខផ្សេងគ្នា ដូច្នេះយើងមិនទាន់អាចបង្កើតបន្ទាត់នៃចំនុចប្រសព្វនៃយន្តហោះ secant ជាមួយនឹងមុខនៃ prism នៅឡើយទេ។ ចូរយើងស្វែងរកចំណុចប្រសព្វនៃ PR ជាមួយ ABC ។ ចូរយើងស្វែងរកការព្យាករនៃចំនុច P និង R ទៅលើប្លង់គោល PP1 ដែលកាត់កែងទៅ BC និង RR1 កាត់កែងទៅ AC ។ បន្ទាត់ P1R1 ប្រសព្វបន្ទាត់ PR នៅចំណុច X. X គឺជាចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ PR ជាមួយយន្តហោះ ABC ។ វាស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះដែលចង់បាន K និងនៅក្នុងយន្តហោះនៃមូលដ្ឋាន ដូចជាចំនុច Q. XQ គឺជាបន្ទាត់ត្រង់ប្រសព្វ K ជាមួយយន្តហោះនៃមូលដ្ឋាន។ XQ ប្រសព្វ AC នៅចំណុច K. ដូច្នេះ KQ គឺជាផ្នែកនៃចំនុចប្រសព្វនៃយន្តហោះ X ជាមួយនឹងមុខ ABC ។ K និង R ស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះ X និងក្នុងយន្តហោះនៃមុខ AA1C1C ។ គូរបន្ទាត់ KR ហើយសម្គាល់ចំណុចប្រសព្វជាមួយ A1Q E. KE គឺជាបន្ទាត់ប្រសព្វនៃយន្តហោះ X ជាមួយនឹងមុខនេះ។ ស្វែងរកបន្ទាត់ប្រសព្វនៃយន្តហោះ X ជាមួយនឹងយន្តហោះនៃមុខ BB1A1A ។ KE ប្រសព្វជាមួយ A1A ត្រង់ចំនុច Y. បន្ទាត់ QY គឺជាបន្ទាត់ប្រសព្វនៃយន្តហោះ secant ជាមួយយន្តហោះ AA1B1B។ FPEKQ - ផ្នែកដែលចង់បាន។
មានវិធីសាស្រ្តសំខាន់ 2 សម្រាប់ការសាងសង់ផ្នែកនៃ polyhedra:
វិធីសាស្រ្ត Axiomatic សម្រាប់ការសាងសង់ផ្នែក
1. វិធីសាស្រ្តនៃដាន
ឧទាហរណ៍ ១
នៅលើគែម AA" និង B "C" នៃព្រីស ABCA "B"C" យើងកំណត់ចំនុច P និង Q រៀងគ្នា។ យើងសាងសង់ផ្នែកមួយនៃព្រីសដោយយន្តហោះ (PQR) ដែលជាចំនុច R ដែលយើងកំណត់ នៅក្នុងមុខមួយក្នុងចំណោមមុខខាងក្រោម៖
ក) BCCB "C";
ខ) A "B" C";
គ) ABC
ដំណោះស្រាយ។
ក) 1) ដោយសារចំនុច Q និង R ស្ថិតនៅលើយន្តហោះ (BCC") នោះបន្ទាត់ QR ស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះនេះ។ គូរវាជាដាននៃយន្តហោះ (PQR) នៅលើយន្តហោះ (BCC")។ (រូប ១)
2) ស្វែងរកចំណុច B"" និង C" ដែលបន្ទាត់ QR កាត់បន្ទាត់ BB" និង CC រៀងគ្នា។ ចំណុច B" និង C" គឺជាដាននៃយន្តហោះ (PQR) រៀងគ្នានៅលើបន្ទាត់ BB" និង CC "។
3) ដោយសារចំនុច B "" និង P ស្ថិតនៅលើយន្តហោះ (ABB") បន្ទាប់មកបន្ទាត់ B "" P ស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះនេះ ចូរយើងគូរវា ចម្រៀក B** P ជាដាននៃយន្តហោះ (PQR) នៅលើមុខ ABB "A" ។
4) ដោយសារចំនុច P និង C ស្ថិតនៅលើយន្តហោះ (ACC") បន្ទាប់មកបន្ទាត់ PC"" ស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះនេះ។ គូរវា នេះជាដាននៃយន្តហោះ (PQR) នៅលើយន្តហោះ (ACC")។
5) ស្វែងរកចំណុច V ដែលបន្ទាត់ត្រង់ PC"" កាត់គែម A "C" ។ នេះគឺជាដាននៃយន្តហោះ (PQR) នៅលើគែម A "C" ។
6) wheelbarrow ជាចំនុច Q និង V ស្ថិតនៅលើយន្តហោះ (A "B" C") បន្ទាប់មកបន្ទាត់ QV ស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះនេះ។ តោះគូរបន្ទាត់ QV ។ ចម្រៀក QV គឺជាដាននៃយន្តហោះ (PQR) នៅលើមុខ ABC ដូច្នេះ យើងទទួលបានពហុកោណ QB ""PV - ផ្នែកដែលត្រូវការ។
ខ) 1) ដោយសារចំនុច Q និង R ស្ថិតនៅលើយន្តហោះ (A "B" C") បន្ទាប់មកបន្ទាត់ QR ស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះនេះ តោះគូរវា នេះជាដាននៃយន្តហោះ (PQR) នៅលើយន្តហោះ (A" B “C”).(រូប.២)
2) ស្វែងរកចំណុច D" និង E" ដែលបន្ទាត់ QR កាត់បន្ទាត់ A "B" និង B "C" រៀងគ្នា។ ដោយសារចំនុច D" ស្ថិតនៅលើគែម A "B" ផ្នែក QD គឺជាដាននៃយន្តហោះ (PQR) នៅលើមុខ A"B"C"។
3) ចាប់តាំងពីចំនុច D "និង P ស្ថិតនៅលើយន្តហោះ (ABB") បន្ទាប់មកបន្ទាត់ D "P ស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះនេះ។ គូរវា។ នេះជាដាននៃយន្តហោះ (PQR) នៅលើយន្តហោះ (ABB"), ហើយផ្នែក D "P គឺជាយន្តហោះតាមដាន (PQR) នៅលើមុខ ABB"A" ។
4) ដោយសារចំនុច P និង E" ស្ថិតនៅលើយន្តហោះ (ACC") នោះបន្ទាត់ PE ស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះនេះ។ តោះគូរវា នេះជាដាននៃយន្តហោះ (PQR) នៅលើយន្តហោះ (ACC")។
5) ស្វែងរកចំណុច C""=PE""CC"។ ចាប់តាំងពីចំនុច C"" ស្ថិតនៅលើគែម CC" បន្ទាប់មកផ្នែក PC"" គឺជាដាននៃយន្តហោះ (PQR) នៅលើផ្ទៃមុខ ACC"A" .
6) ដោយសារចំនុច Q និង C "" ស្ថិតនៅលើយន្តហោះ (BCC") បន្ទាប់មក បន្ទាត់ QC "" ស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះនេះ។ គូរវា។ នេះជាដាននៃយន្តហោះ (PQR) នៅលើយន្តហោះ (BCC") និងផ្នែក QC "" - ដានយន្តហោះ (PQR) នៅលើមុខ BCC"B" ។ ដូច្នេះ យើងទទួលបានពហុកោណ QD "PC"" - នេះគឺជាផ្នែកដែលចង់បាន។
ក្នុង) 1) ក្នុងចំណោមចំនុចទាំងបីដែលបានផ្តល់ឱ្យ P, Q និង R មិនមានពីរនៅក្នុងយន្តហោះណាមួយនៃមុខរបស់ prism ដូច្នេះយើងរកឃើញដានសំខាន់នៃយន្តហោះ (PQR) (ពោលគឺបន្ទាត់នៃចំនុចប្រសព្វនៃ យន្តហោះ (PQR) ជាមួយយន្តហោះ (ABC) ត្រូវបានជ្រើសរើសជាមេ)។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះដំបូងយើងរកឃើញការព្យាករណ៍នៃចំណុច P, Q និង R ទៅលើយន្តហោះ (ABC) ក្នុងទិសដៅស្របទៅនឹងគែមចំហៀងនៃព្រីស។ ដោយសារចំនុច P ស្ថិតនៅលើគែម AA" បន្ទាប់មកចំនុច P" ស្របគ្នានឹងចំនុច A. ចាប់តាំងពីចំនុច Q ស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះ (BCC") បន្ទាប់មកនៅក្នុងយន្តហោះនេះឆ្លងកាត់ចំនុច Q យើងគូសបន្ទាត់ស្របទៅនឹង បន្ទាត់ BB" ហើយរកចំណុច Q " ដែលបន្ទាត់គូសកាត់បន្ទាត់ BC ។ ដោយសារចំនុច R តាមលក្ខខណ្ឌ ស្ថិតនៅក្នុងប្លង់ដែលបានជ្រើសរើសជាចំនុចសំខាន់ ចំនុច R" ស្របគ្នានឹងចំនុច R ( រូប ៣)
2) បន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល PP" និង QQ" កំណត់យន្តហោះ។ យើងគូរបន្ទាត់ PQ និង P "Q" នៅក្នុងយន្តហោះនេះហើយស្វែងរកចំណុច S = PQ ប្រសព្វ P "Q" ។ ដោយសារចំនុច S" ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ PQ នោះវាស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះ (PQR) ហើយចាប់តាំងពីចំនុច S" ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ P"Q" នោះវាស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះ (ABC)។ ដូច្នេះចំណុច S "គឺជាចំណុចរួមនៃយន្តហោះ (PQR) និង (ABC) ។ នេះមានន័យថាយន្តហោះ (PQR) និង (ABC) ប្រសព្វគ្នាតាមបណ្តោយបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុច S" ។
3) ដោយសារចំនុច R ស្របគ្នានឹងចំនុច R នោះចំនុច R គឺជាចំនុចធម្មតាមួយទៀតនៃយន្តហោះ (PQR) និង (ABC) ដូច្នេះហើយ បន្ទាត់ S "R គឺជាដានសំខាន់នៃយន្តហោះ (PQR) ។ តោះគូរបន្ទាត់នេះ។ ដូចដែលអ្នកអាចមើលឃើញពីរូបភាព បន្ទាត់ត្រង់ S "R កាត់គែម AB និង BC នៃមូលដ្ឋាននៃព្រីសរៀងគ្នានៅចំណុច S" "និង S" "" ។
4) ដោយសារចំនុច S""" និង Q ស្ថិតនៅលើយន្តហោះ (BCC") បន្ទាប់មកបន្ទាត់ S""" Q ស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះនេះ។ គូរវាជាដាននៃយន្តហោះ (PQR) នៅលើយន្តហោះ ( BCC") ។ ហើយផ្នែក S"""Q គឺជាដាននៃយន្តហោះ (PQR) នៅលើមុខ BCC"B"។
5) ស្រដៀងគ្នានេះដែរយើងរកឃើញផ្នែក S "" P - ដាននៃយន្តហោះ (PQR) នៅលើមុខ ABB "A" ។
7) យើងរកឃើញចំណុច F = PC"" ប្រសព្វ A "C" ហើយបន្ទាប់មកយើងទទួលបានផ្នែក PF - ដាននៃយន្តហោះ (PQR) នៅលើមុខ ACC "A" ។
៨) ចំនុច Q និង F ស្ថិតនៅលើយន្តហោះ A"B"C" ដូច្នេះបន្ទាត់ QF ស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះ (A"B"C")។ ចូរគូរបន្ទាត់ត្រង់ QF យើងទទួលបានផ្នែក QF - ដាននៃយន្តហោះ (PQR) នៅលើមុខ A "B" C. ដូច្នេះយើងទទួលបានពហុកោណ QS "" "S" "PF - ផ្នែកដែលចង់បាន។
3 ចំណាំ. ចូរយើងបង្ហាញវិធីមួយទៀតនៃការស្វែងរកចំនុច C"" ដែលយើងរកមិនឃើញចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ S"""Q ជាមួយបន្ទាត់ C"C""។ យើងនឹងជជែកតវ៉ាដូចខាងក្រោម។ ប្រសិនបើដាននៃយន្តហោះ (PQR) នៅលើបន្ទាត់ CC" គឺជាចំណុចមួយចំនួន V នោះការព្យាករណ៍របស់វាទៅលើយន្តហោះ (ABC) ស្របគ្នានឹងចំនុច C. បន្ទាប់មកចំនុច S""""= V"P" ប្រសព្វ VP ស្ថិតនៅ នៅលើដានសំខាន់ S"R នៃយន្តហោះ (PQR) ។ យើងបង្កើតចំណុចនេះ S"""" ជាចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ V"P" (នេះគឺជាបន្ទាត់ CA) និង S"R. ហើយបន្ទាប់មកយើងគូរបន្ទាត់ S""""P. វាប្រសព្វបន្ទាត់ CC "នៅចំណុច V.
ឧទាហរណ៍ ២
នៅលើគែម MB នៃពីរ៉ាមីត MABCD យើងកំណត់ចំណុច P នៅលើមុខរបស់វា MCD យើងកំណត់ចំនុច Q. យើងសាងសង់ផ្នែកមួយនៃពីរ៉ាមីតដោយយន្តហោះ (PQR) ដែលជាចំណុច R ដែលយើងកំណត់៖
ក) នៅលើគែម MC;
ខ) នៅលើគែមនៃ MAD;
គ) នៅក្នុងយន្តហោះ (MAS) នៅខាងក្រៅពីរ៉ាមីត។
ដំណោះស្រាយ។
ក) ដាននៃយន្តហោះ (PQR) នៅលើមុខ MBC គឺជាផ្នែក PR ហើយដានរបស់វានៅលើមុខ MCD គឺជាផ្នែក RD ដែលចំនុច D" គឺជាចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ RQ ជាមួយ គែម MD វាច្បាស់ណាស់ថាយន្តហោះ (PQR) មានដាននៅលើផ្ទៃមុខ MAD និង MAB (ចាប់តាំងពីយន្តហោះ (PQR) មានចំណុចរួមជាមួយនឹងមុខទាំងនេះ)។ ស្វែងរកដានយន្តហោះ (PQR) នៅលើបន្ទាត់ MA ។ តោះធ្វើវាដូចនេះ៖
1) ចូរយើងបង្កើតចំនុច P "Q" និង R" - ការព្យាករណ៍នៃចំនុច P, Q និង R ពីចំនុចកណ្តាល M ទៅលើយន្តហោះ (ABC) ដូច្នេះយកជាប្លង់មេ។ (រូបភាពទី 4)
3) ប្រសិនបើយន្តហោះ (PQR) កាត់បន្ទាត់ MA ត្រង់ចំនុច V នោះចំនុច V" ស្របគ្នានឹងចំនុច A ហើយចំនុច S"""= VQ ប្រសព្វ V"Q" ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ S"S"" .ម៉្យាងទៀត ត្រង់ចំនុច S"""បីបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នា: VQ, V"Q"" និង S"S""។ បន្ទាត់ពីរចុងក្រោយនៃទាំងបីនេះមាននៅលើគំនូររួចហើយ។ ដូច្នេះយើងសាងសង់ចំណុច S """ ជាចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ V "Q" និង SS"" ។
4) គូរបន្ទាត់ QS""" (វាស្របគ្នានឹងបន្ទាត់ VQ ចាប់តាំងពីបន្ទាត់ VQ ត្រូវតែឆ្លងកាត់ចំនុច S""" ពោលគឺចំនុច V, Q និង S""" ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ដូចគ្នា)។
5) ស្វែងរកចំណុច V ដែលបន្ទាត់ QS" "" ប្រសព្វបន្ទាត់ MA ចំណុច V គឺជាដាននៃយន្តហោះ (PQR) នៅលើគែម MA ។ លើសពីនេះ វាច្បាស់ណាស់ថាផ្នែក PV និង VD" គឺជាដាន នៃយន្តហោះ (PQR) រៀងគ្នានៅលើមុខ MAB និង M.A.D. ដូច្នេះពហុកោណ PRD "V គឺជាផ្នែកដែលត្រូវការ។
ខ) 1) យើងយកយន្តហោះ (ABC) ជាយន្តហោះសំខាន់ ហើយបង្កើតចំនុច P, Q” និង R” - ការព្យាករណ៍នៃចំនុច P, Q និង R រៀងៗខ្លួនទៅលើយន្តហោះ (ABC) ។ ការព្យាករខាងក្នុងគឺជាចំណុច M. (រូបភាព 5 ។ )
2) យើងបង្កើតបន្ទាត់ត្រង់ S "S" - ដានសំខាន់នៃយន្តហោះ (PQR) ។
3) ប្រសិនបើយន្តហោះ (PQR) កាត់បន្ទាត់ MA ត្រង់ចំនុច V នោះចំនុច V "- ការព្យាករនៃចំនុច V ទៅលើយន្តហោះ (ABC) ពីចំនុចកណ្តាល M- ស្របគ្នានឹងចំនុច A ហើយបន្ទាត់ S "S"",V"R" និងបន្ទាត់ VR ចំនុច V ដែលយើងមិនទាន់បានសាងសង់ ប្រសព្វគ្នាត្រង់ចំនុច S""។ រកចំនុចនេះ S"""=V"R" ប្រសព្វ S"S "" ។"", និងស្វែងរកចំណុច V=RS""" ប្រសព្វ MA ។ ការសាងសង់បន្ថែមទៀតគឺច្បាស់។ ផ្នែកដែលត្រូវការគឺពហុកោណ PVD"T ។
ក្នុង)
(Fig.6.) សូមឱ្យចំនុច R មានទីតាំងនៅក្នុងយន្តហោះ (MAS) ដូចបង្ហាញក្នុងរូបភាពទី 6 ។
1) យើងយកយន្តហោះ (ABC) ជាយន្តហោះសំខាន់ ហើយបង្កើតចំណុច P, Q” និង R” - ការព្យាករណ៍នៃចំនុច P, Q និង R រៀងៗខ្លួនទៅលើយន្តហោះ (ABC) ។ ការព្យាករណ៍គឺជាចំណុច M. )
2) យើងបង្កើតបន្ទាត់ត្រង់ S "S"", - ដានសំខាន់នៃយន្តហោះ (PQR) ។
3) ស្វែងរកចំណុច V - ដាននៃយន្តហោះ (PQR) នៅលើបន្ទាត់ MA ។ ចំណុច V" - ការព្យាករណ៍នៃចំណុច V លើយន្តហោះ (ABC) ពីកណ្តាល M - ស្របគ្នាក្នុងករណីនេះជាមួយចំណុច A ។
4) ស្វែងរកចំនុច S"""= P"V" ប្រសព្វ S"S"" ហើយបន្ទាប់មកចំនុច V =PS""" ប្រសព្វ MA ។
5) យើងទទួលបានដាន PV នៃយន្តហោះ (PQR) នៅលើយន្តហោះ (MAB) ។
6) ស្វែងរកចំណុច T - ដាននៃយន្តហោះ (PQR) នៅលើបន្ទាត់ MO ។ វាច្បាស់ណាស់ថាចំនុច T" ក្នុងករណីនេះស្របគ្នានឹងចំនុច D. ដើម្បីបង្កើតចំនុច T យើងសាងសង់ចំនុច S""""=Q"T" ប្រសព្វ S"S"" ហើយបន្ទាប់មកចំនុច T = QS""" "ប្រសព្វ MT" ។
7) សំណុំនៃដាន PV, VT, TC" និង C "P, i.e. ពហុកោណ PVTC" - ផ្នែកដែលត្រូវការ។
វិធីសាស្រ្តនៃផ្នែករួមបញ្ចូលគ្នា
ខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្រ្តរួមបញ្ចូលគ្នាសម្រាប់ការសាងសង់ផ្នែកនៃ polyhedra គឺជាការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទលើភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់ និងប្លង់ក្នុងលំហ ដោយរួមបញ្ចូលគ្នាជាមួយវិធីសាស្ត្រ axiomatic ។
ឧទាហរណ៍លេខ 1 ។
នៅលើគែម AB និង AD នៃពីរ៉ាមីត MABCD យើងកំណត់ចំនុច P និង Q រៀងគ្នា ចំនុចកណ្តាលនៃគែមទាំងនេះ ហើយនៅលើគែម MC យើងកំណត់ចំនុច R. ចូរយើងសាងសង់ផ្នែកមួយនៃពីរ៉ាមីតដោយយន្តហោះឆ្លងកាត់ តាមរយៈចំណុច P, Q, និង R ។
ដំណោះស្រាយ
(រូបភាព ១៤)៖
មួយ) វាច្បាស់ណាស់ថាដានសំខាន់នៃយន្តហោះ PQR គឺបន្ទាត់ PQ ។
២). ស្វែងរកចំណុច K ដែលយន្តហោះ MAC កាត់បន្ទាត់ PQ ។ ពិន្ទុ K និង R ជារបស់យន្តហោះ PQR និងយន្តហោះ MAC ។ ដូច្នេះដោយការគូសបន្ទាត់ត្រង់ KR យើងទទួលបានបន្ទាត់ប្រសព្វនៃយន្តហោះទាំងនេះ។
៣). ចូររកចំនុច N=AC BD គូសបន្ទាត់ MN ហើយរកចំនុច F=KR MN។
បួន) ។ ចំនុច F គឺជាចំណុចទូទៅនៃយន្តហោះ PQR និង MDB ពោលគឺ យន្តហោះទាំងនេះប្រសព្វគ្នាតាមបណ្តោយបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំនុច F. ក្នុងពេលជាមួយគ្នា ដោយសារ PQ គឺជាបន្ទាត់កណ្តាលនៃត្រីកោណ ABD នោះ PQ គឺស្របទៅនឹង BD នោះគឺបន្ទាត់ PQ ក៏ស្របទៅនឹងយន្តហោះ MDB ដែរ។ បន្ទាប់មកយន្តហោះ PQR ឆ្លងកាត់បន្ទាត់ PQ កាត់យន្តហោះ MDB តាមបណ្តោយបន្ទាត់ស្របទៅនឹងបន្ទាត់ PQ នោះគឺស្របនឹងបន្ទាត់ BD ។ ដូច្នេះនៅក្នុងយន្តហោះ MDB តាមរយៈចំណុច F យើងគូរបន្ទាត់ស្របទៅនឹងបន្ទាត់ BD ។
៥). សំណង់បន្ថែមទៀតគឺច្បាស់ពីរូប។ ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានពហុកោណ PQD"RB" - ផ្នែកដែលត្រូវការ។
1. ការសាងសង់ផ្នែកដែលឆ្លងកាត់បន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យស្របទៅនឹងបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យផ្សេងទៀត។
ជាឧទាហរណ៍ វាត្រូវបានតម្រូវឱ្យសាងសង់ផ្នែកនៃពហុហេដរ៉ុនដោយយន្តហោះ @ ឆ្លងកាត់បន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ p ស្របទៅនឹងបន្ទាត់ទីពីរ q ។ ក្នុងករណីទូទៅ ដំណោះស្រាយនៃបញ្ហានេះទាមទារការសាងសង់បឋមមួយចំនួន ដែលអាចត្រូវបានអនុវត្តតាមផែនការដូចខាងក្រោមៈ
មួយ) តាមរយៈបន្ទាត់ទីពីរ q និងចំណុចមួយចំនួន W នៃបន្ទាត់ទីមួយ p យើងគូរប្លង់បេតា (រូបភាពទី 2) ។
២). គូរបន្ទាត់ q" ស្របទៅនឹង q ក្នុងយន្តហោះ betta តាមរយៈចំនុច W ។
៣). បន្ទាត់ប្រសព្វ p និង q ". យន្តហោះ @ ត្រូវបានកំណត់។ នេះបញ្ចប់ការសាងសង់បឋម ហើយយើងអាចបន្តទៅការសាងសង់ផ្នែកផ្ទាល់នៃ polyhedron ដោយយន្តហោះ @។ ក្នុងករណីខ្លះ លក្ខណៈពិសេសនៃបញ្ហាជាក់លាក់មួយអនុញ្ញាតឱ្យយើង អនុវត្តផែនការដំណោះស្រាយខ្លីបន្ថែមទៀត។ សូមពិចារណាឧទាហរណ៍។
ឧទាហរណ៍លេខ 2 ។
នៅលើគែម BC និង MA នៃពីរ៉ាមីត MABC យើងកំណត់ចំណុច P និង Q រៀងគ្នា។ យើងសាងសង់ផ្នែកមួយនៃពីរ៉ាមីតដោយយន្តហោះ @ ឆ្លងកាត់បន្ទាត់ PQ ស្របទៅនឹងបន្ទាត់ AR ចំណុច R ដែលយើងកំណត់ ដូចតទៅ៖ ក) ។ នៅលើគែម MB; ខ) វាស្របគ្នានឹងចំណុច B; ក្នុង) ជិត MAB ។
ដំណោះស្រាយ៖
ក)
.(រូបភាព យន្តហោះឆ្លងកាត់ខ្សែទីពីរ នោះគឺបន្ទាត់ AR និងចំនុច Q ដែលថតនៅខ្សែទីមួយ មាននៅលើរូបរួចហើយ។ នេះគឺជាយន្តហោះ MAB ។
២). នៅក្នុងយន្តហោះ MAB តាមរយៈចំនុច Q យើងគូរបន្ទាត់ QF ស្របទៅនឹង AR ។
៣). បន្ទាត់ប្រសព្វ PQ និង QF កំណត់យន្តហោះ @ (យន្តហោះនេះ PQF) - យន្តហោះនៃផ្នែកដែលចង់បាន។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងសាងសង់ផ្នែកនេះដោយវិធីសាស្ត្រតាមដាន។
បួន) ។ ចំណុច B ស្របគ្នានឹងចំនុច F" - ការព្យាករណ៍នៃចំនុច F ទៅលើយន្តហោះ ABC (ពីកណ្តាល M) ហើយចំនុច A ស្របគ្នានឹងចំនុច Q" - ការព្យាករណ៍នៃចំនុច Q ទៅលើយន្តហោះនេះ។ បន្ទាប់មកចំនុច S "=FQ F"Q" ស្ថិតនៅលើដានសំខាន់នៃយន្តហោះ secant @។ ដោយសារចំនុច P ស្ថិតនៅលើដានសំខាន់នៃយន្តហោះ secant បន្ទាត់ S"P គឺជាដានសំខាន់នៃយន្តហោះ @, ហើយផ្នែក S""P គឺជាដាននៃយន្តហោះ @ នៅគែម ABC ។ លើសពីនេះទៀតវាច្បាស់ណាស់ថាចំនុច P គួរតែភ្ជាប់ទៅនឹងចំនុច F. ជាលទ្ធផលយើងទទួលបាន PFQS បួនជ្រុង"" - ផ្នែកដែលត្រូវការ។
ខ)
(រូបភាព យន្តហោះឆ្លងកាត់បន្ទាត់ AB និងចំណុច P នៃបន្ទាត់ PQ ត្រូវបានសាងសង់រួចហើយនៅលើរូបភាព។ នេះគឺជាយន្តហោះ ABC សូមបន្តការសាងសង់តាមផែនការខាងលើ។
២). នៅក្នុងយន្តហោះ ABC តាមរយៈចំនុច P យើងគូសបន្ទាត់ PD ស្របទៅនឹងបន្ទាត់ AB ។
៣). បន្ទាត់ប្រសព្វ PQ និង PD កំណត់ប្លង់អាល់ហ្វា (នេះគឺជាយន្តហោះ PQD) - យន្តហោះនៃផ្នែកដែលចង់បាន។ ចូរយើងបង្កើតផ្នែកនេះ។
បួន) ។ វាច្បាស់ណាស់ថាដាននៃយន្តហោះអាល់ហ្វានៅលើមុខ MAC គឺជាផ្នែក DQ ។
៥). យើងអនុវត្តការសាងសង់បន្ថែមទៀតដោយគិតគូរដូចខាងក្រោម។ ដោយសារបន្ទាត់ PD គឺស្របទៅនឹងបន្ទាត់ AB បន្ទាត់ PD គឺស្របទៅនឹងប្លង់ MAB ។ បន្ទាប់មក យន្តហោះអាល់ហ្វា ឆ្លងកាត់បន្ទាត់ PD ប្រសព្វយន្តហោះ MAB តាមបណ្តោយបន្ទាត់ស្របទៅនឹងបន្ទាត់ PD នោះគឺបន្ទាត់ AB ។ ដូច្នេះនៅក្នុងយន្តហោះ MAB តាមរយៈចំនុច Q យើងគូសបន្ទាត់ត្រង់ QE ស្របទៅនឹង AB ។ Segment QE គឺជាដាននៃយន្តហោះអាល់ហ្វានៅលើមុខ MAB ។
៦). ចូរភ្ជាប់ចំណុច P ជាមួយចំនុច E. ផ្នែក PE គឺជាដាននៃយន្តហោះអាល់ហ្វានៅលើមុខ MBC ។ ដូច្នេះ PEQD បួនជ្រុងគឺជាផ្នែកដែលត្រូវការ។ស្របនឹងចំណុច A ហើយចំណុច L" ស្របនឹង R" = MR BC ។ បន្ទាប់មកចំនុច S "=LQ L"Q" ស្ថិតនៅលើដានសំខាន់នៃ alpha plane secant ។ ដានសំខាន់នេះគឺជាបន្ទាត់ត្រង់ S"P ហើយដាននៃយន្តហោះអាល់ហ្វានៅលើមុខ ABC គឺជាផ្នែក S" "ភី។ លើសពីនេះ បន្ទាត់ត្រង់ PL គឺជាដាននៃយន្តហោះអាល់ហ្វានៅលើយន្តហោះ MBC ហើយផ្នែក PN គឺជាដាននៃយន្តហោះអាល់ហ្វានៅលើមុខ MBC ។ ដូច្នេះ quadrilateral PS""QN គឺជាផ្នែកដែលចង់បាន។
ឧទាហរណ៍ ៣
នៅលើអង្កត់ទ្រូង AC និង C "E" នៃមូលដ្ឋាននៃព្រីស ABCDEA "B" C" D "E" យើងកំណត់ចំណុច P និង Q រៀងគ្នា។ ចូរយើងបង្កើតផ្នែកមួយនៃព្រីសដោយយន្តហោះអាល់ហ្វាឆ្លងកាត់បន្ទាត់ PQ ស្របនឹងបន្ទាត់មួយក្នុងចំណោមបន្ទាត់ដូចខាងក្រោម៖ a) AB; b) .ac"; ក្នុង) ដំណោះស្រាយ BC៖
ក)
(រូបភាពយន្តហោះឆ្លងកាត់បន្ទាត់ AB - ខ្សែទីពីរដែលបានផ្តល់ឱ្យ និងចំណុច P ដែលថតនៅខ្សែទីមួយត្រូវបានសាងសង់រួចហើយ។ នេះគឺជាយន្តហោះ ABC ។
២). នៅក្នុងយន្តហោះ ABC តាមរយៈចំនុច P យើងគូសបន្ទាត់ស្របទៅនឹងបន្ទាត់ AB ហើយស្វែងរកចំនុច K និង L ដែលបន្ទាត់នេះប្រសព្វបន្ទាត់ BC និង AE រៀងគ្នា។ B "C" ក៏ស្របគ្នាដែរ។ ដោយពិចារណាថា KL គឺស្របទៅនឹង AB ហើយ A "B" គឺស្របទៅនឹង AB យើងគូរក្នុងប្លង់ A "B" C" តាមរយៈចំនុច Q បន្ទាត់មួយស្របនឹងបន្ទាត់ A "B" ហើយរកចំនុច F និង T ដែលបន្ទាត់នេះប្រសព្វ រៀងគ្នាបន្ទាត់ត្រង់ C"D" និង A"E" បន្ទាប់មកយើងទទួលបានផ្នែក TL - ដាននៃយន្តហោះអាល់ហ្វានៅលើមុខ AEE"A", ចំនុច S"=KL CD បន្ទាត់ត្រង់ S"F - ដាននៃយន្តហោះអាល់ហ្វានៅលើយន្តហោះ CDD", ផ្នែក FC"" - ដាននៃយន្តហោះអាល់ហ្វានៅលើមុខ CDD"C" និងចុងក្រោយផ្នែក C""K" - ដាននៃយន្តហោះអាល់ហ្វានៅលើមុខ BCC "B" ។ ជាលទ្ធផល យើងទទួលបានពហុកោណ KLTFC"" - ផ្នែកដែលត្រូវការ។ 
ខ)
(រូបភាព ចូរយើងគូរប្លង់តាមបន្ទាត់ AC "- បន្ទាត់ទីពីរដែលបានផ្តល់ឱ្យ ហើយចំនុច P ដែលថតនៅលើបន្ទាត់ទីមួយ។ នេះគឺជាយន្តហោះ ACC" ។
២). នៅក្នុងយន្តហោះ ACC" តាមរយៈចំនុច P យើងគូរបន្ទាត់ស្របទៅនឹងបន្ទាត់ AC" ហើយស្វែងរកចំនុច C"" ដែលបន្ទាត់នេះប្រសព្វបន្ទាត់ CC"។
៣). បន្ទាត់ប្រសព្វ PQ និង PC"" កំណត់យន្តហោះអាល់ហ្វា (យន្តហោះ C""PQ) - យន្តហោះនៃផ្នែកដែលចង់បាន។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងសាងសង់ផ្នែកនេះឧទាហរណ៍ដោយវិធីដាន។ ចំណុចមួយដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ដាននៃយន្តហោះអាល់ហ្វានៅលើយន្តហោះ ABC ដែលយើងយកជាចំណុចសំខាន់គឺនៅលើគំនូររួចហើយ។ នេះគឺជាចំណុច P. ចូរយើងស្វែងរកចំណុចមួយទៀតនៃដាននេះ។
បួន) ។ ការព្យាករនៃចំណុច C "" នៅលើយន្តហោះ ABC គឺជាចំណុច C ហើយការព្យាករណ៍នៃចំណុច Q គឺជាចំណុច Q " - ចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ CE ជាមួយបន្ទាត់ឆ្លងកាត់នៅក្នុងយន្តហោះ CEE "តាមរយៈចំណុច Q ស្របនឹងបន្ទាត់ EE ។ ចំណុច S " = C " " Q CQ " គឺជាចំណុចទីពីរនៃដានសំខាន់នៃយន្តហោះអាល់ហ្វា ដូច្នេះ ដានសំខាន់នៃយន្តហោះអាល់ហ្វាគឺបន្ទាត់ S "P ។ វាកាត់ជ្រុង BC និង AE នៃមូលដ្ឋាននៃព្រីស រៀងគ្នានៅចំណុច S"" និង S"""... បន្ទាប់មកផ្នែក S""S""" គឺជាដាននៃយន្តហោះ secant alpha នៅលើ ប្រឈមមុខនឹង ABCDE ។ ហើយផ្នែក S ""C"" គឺជាដាននៃយន្តហោះអាល់ហ្វានៅលើមុខ BCC"B" ។ វាងាយមើលឃើញថាបន្ទាត់ C""Q និង EE" ស្ថិតនៅក្នុងប្លង់តែមួយ។ ស្វែងរកចំនុច E"" =C" "Q EE"។ បន្ទាប់មក វាច្បាស់ណាស់ក្នុងការទទួលបានដានបន្ថែមទៀតនៃយន្តហោះអាល់ហ្វា៖ S"""S"",S"""T, TF និង FC""។ ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានពហុកោណ S""S"""TFC"" - ផ្នែកដែលត្រូវការ។
ក្នុង)
(គូរតាមរយៈបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យទីពីរ - បន្ទាត់ BC "- ហើយឧទាហរណ៍តាមរយៈចំណុច P ដែលស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យដំបូង ចូរយើងផ្លាស់ទីយន្តហោះ។ ចូរធ្វើដូចនេះដោយវិធីដាន។ វាងាយស្រួលក្នុងការកំណត់ថា ដានសំខាន់នៃយន្តហោះនេះ BC" P គឺជាបន្ទាត់ BP។ បន្ទាប់មកយើងរកឃើញចំណុច S"=BP CD និងតាមដាន S"C" នៃយន្តហោះ BC"P និងយន្តហោះ CDD"។
2) នៅក្នុងយន្តហោះ BC "P ឆ្លងកាត់ចំណុច P យើងគូរបន្ទាត់ស្របទៅនឹងបន្ទាត់ BC" ។ ចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ដែលគូរជាមួយបន្ទាត់ S "C" ត្រូវបានបង្ហាញដោយ V.
៣). បន្ទាត់ប្រសព្វ PQ និង PV កំណត់យន្តហោះអាល់ហ្វា (យន្តហោះ PQV) - យន្តហោះនៃផ្នែកដែលចង់បាន។ ចូរយើងបង្កើតផ្នែកនេះ។
បួន) ។ យើងរកឃើញចំណុច Q "និង V" - ការព្យាករណ៍នៃចំណុច Q និង V រៀងគ្នានៅលើយន្តហោះ ABC ដែលយើងយកជាយន្តហោះសំខាន់។ បន្ទាប់មកយើងរកឃើញចំនុច S""=QV Q"V"។ នេះជាចំណុចមួយនៃដានសំខាន់នៃយន្តហោះអាល់ហ្វា។ ហើយមានចំណុចមួយទៀតនៃដាននេះរួចទៅហើយ។ នេះគឺជាចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ P. ដូច្នេះ បន្ទាត់ S "" P គឺជាដានសំខាន់នៃយន្តហោះអាល់ហ្វា ហើយផ្នែកលទ្ធផល S "" "S" """ គឺជាដាននៃយន្តហោះអាល់ហ្វានៅលើមុខ ABCDE ។ វគ្គបន្តនៃការសាងសង់គឺច្បាស់ណាស់៖ S "" "" "=S""P CD, S""""V ចំណុច C""=S"""""V CC" និង F=S""" ""V C"D" បន្ទាប់មក FQ និងចង្អុល T = FQ A"E" និងចុងក្រោយ TS"""" ។ ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានពហុកោណ S"""C""FTS"""" - ផ្នែកដែលត្រូវការ។
ចំណាំ៖ ចូរយើងរៀបរាប់ដោយសង្ខេបអំពីវគ្គនៃការដោះស្រាយឧទាហរណ៍ 3, c ដែលចំនុច Q ត្រូវបានគេយកនៅលើបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យដំបូង មិនមែនចំនុច P (រូបភាព 22) ទេ។
មួយ) យើងបង្កើតយន្តហោះ BC"Q (នេះគឺជាយន្តហោះ BC"E")។
២). យន្តហោះ BC"Q ប្រសព្វយន្តហោះ ABC តាមបណ្តោយបន្ទាត់ត្រង់ BN ស្របទៅនឹង C"E" (សម្រាប់ការសាងសង់អ្នកអាចប្រើការពិតដែលថា BN គឺស្របទៅនឹង CE) ។
៣). នៅក្នុងយន្តហោះ BC "Q ឆ្លងកាត់ចំនុច Q យើងគូរបន្ទាត់ QM ស្របទៅនឹង BC" (M = QM BN) ។
បួន) ។ យើងបង្កើតផ្នែកមួយនៃព្រីសដោយយន្តហោះដែលកំណត់ដោយបន្ទាត់ប្រសព្វ PQ និង QM ។ នេះអាចត្រូវបានធ្វើតាមលំដាប់ដូចខាងក្រោមៈ MP, S"=MP AE និង S""=MP BC, S""""= MP CE, C""=S""""Q CC", S""" C" ", F=S"""C""C"D", FQ, T=FQ A"E", TS ។ ពហុកោណ S""C""FTS"- ផ្នែកដែលចង់បាន។
2. ការសាងសង់ផ្នែកឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យស្របទៅនឹងបន្ទាត់ skew ដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរ។
អនុញ្ញាតឱ្យវាត្រូវបានតម្រូវឱ្យសាងសង់ផ្នែកនៃពហុកោណដោយយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុច K ដែលបានផ្តល់ឱ្យស្របទៅនឹងបន្ទាត់ skew ដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរ l និង m ។ នៅផ្ទៃខាងក្រោយ៖ #FFCCCC; border:outset #CC33FF 1.5pt">
1. ចូរជ្រើសរើសចំណុចមួយចំនួន W. (ចំណុចនេះអាចស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ skew មួយដែលបានផ្តល់ឱ្យ វាអាចស្របគ្នានឹងចំនុច K ។ )
2. គូរបន្ទាត់ l" និង m" តាមចំនុច W ។ (តាមធម្មជាតិ ប្រសិនបើចំនុច W ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ណាមួយ ឧទាហរណ៍នៅលើបន្ទាត់ l នោះបន្ទាត់ l" ស្របគ្នានឹងបន្ទាត់ l ។ )
3. បន្ទាត់ប្រសព្វ l "និង m" កំណត់យន្តហោះ betta - យន្តហោះនៃផ្នែកជំនួយនៃ polyhedron នេះ។ យើងសាងសង់ផ្នែកមួយនៃពហុដែកដោយយន្តហោះ betta ។
4. សាងសង់ផ្នែកនៃពហុហេដរុនដោយយន្តហោះអាល់ហ្វាឆ្លងកាត់ចំណុច K និងស្របទៅនឹងយន្តហោះបេតា។
ពិចារណាឧទាហរណ៍នៃការអនុវត្តផែនការដែលបានគ្រោងទុក។
ឧទាហរណ៍ ៤
នៅលើគែម AD និង C "D" នៃព្រីស ABCDA "B" C" D" យើងកំណត់ចំនុច P និង Q រៀងគ្នា ហើយនៅគែម DD" យើងកំណត់ចំនុច K. ចូរយើងបង្កើតផ្នែកមួយនៃព្រីស ដោយយន្តហោះអាល់ហ្វាឆ្លងកាត់ចំណុច K ស្របទៅនឹងបន្ទាត់ PQ និងមួយក្នុងចំណោមបន្ទាត់ត្រង់ដូចខាងក្រោម: a) AB; b) A "B; គ) BR ដែលចំណុច R ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅលើគែម A "D" ។
ដំណោះស្រាយ។ ក)
(រូបទី 2 សូមអោយចំនុច W ស្របគ្នានឹងចំនុច P ។
2) នៅក្នុងយន្តហោះ ABC ឆ្លងកាត់ចំនុច P គូរបន្ទាត់ស្របទៅនឹងបន្ទាត់ AB ។ រកចំណុច E ដែលបន្ទាត់ដែលគូរកាត់បន្ទាត់ BC ។
3) បន្ទាត់ប្រសព្វ PQ និង PE កំណត់យន្តហោះ betta - យន្តហោះនៃផ្នែកជំនួយ។ ចូរយើងសាងសង់ផ្នែកមួយនៃ prism ដោយយន្តហោះ betta ។ PE ផ្ទាល់និងចំណុច C"" និង D"" គឺជាដាននៃយន្តហោះ betta រៀងគ្នានៅលើបន្ទាត់ត្រង់ CC" និង DD"។ បន្ទាប់មកយើងបង្កើតបន្ទាត់ត្រង់ D "" P ហើយទទួលបានចំនុច F នៅលើគែម A "D" ។ ដូច្នេះផ្នែកនៃព្រីសដោយយន្តហោះ betta គឺ - ខ្ញុំពហុកោណ PEC "" QF ។
4) ឥឡូវនេះយើងបង្កើតផ្នែកមួយនៃ prism ដោយយន្តហោះអាល់ហ្វាឆ្លងកាត់ចំណុច K ស្របទៅនឹងយន្តហោះបេតា។ ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានត្រីកោណ KLN - ផ្នែកដែលត្រូវការ។
ខ)
(រូបភព។ សូមឲ្យចំនុច W ស្របគ្នានឹងចំនុច Q។ ដើម្បីគូរបន្ទាត់ស្របទៅនឹងបន្ទាត់ A "B" តាមរយៈចំនុច Q ដំបូងត្រូវគូរប្លង់ហ្គាម៉ាតាមបន្ទាត់ A "B និងចំនុច Q។ តោះធ្វើវា។ វិធី។ ស្វែងរកចំនុច Q" - ការព្យាករនៃចំនុច Q ទៅលើយន្តហោះ ABC ហើយគូសបន្ទាត់ AQ។ វាច្បាស់ណាស់ថា AQ" គឺស្របទៅនឹង A"Q ។ ឥឡូវឆ្លងកាត់ចំនុច B ក្នុងយន្តហោះ ABC យើងគូសបន្ទាត់ l" ស្របទៅនឹង AQ"។ បន្ទាត់ប្រសព្វគ្នា A"B និង l" កំណត់ប្លង់ហ្គាម៉ា។ ក្នុងប្លង់ហ្គាម៉ាតាមរយៈចំនុច Q គូសបន្ទាត់មួយ l"" ស្របទៅនឹង A"B ។
3) បន្ទាត់ត្រង់ប្រសព្វ PQ និង l "", យន្តហោះ betta ត្រូវបានកំណត់ - យន្តហោះនៃផ្នែកជំនួយនៃ prism នេះ។ ចូរយើងបង្កើតផ្នែកនេះ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងរកឃើញចំណុច S"=l" ប្រសព្វ l"" ហើយបន្ទាប់មកបន្ទាត់ PS" - ដានសំខាន់នៃយន្តហោះ betta ។ បន្ថែមទៀតយើងរកឃើញចំណុច s""=PS" ប្រសព្វ CD និងគូសបន្ទាត់ S" "Q - ដាននៃយន្តហោះ betta នៅលើយន្តហោះ CDD "។ យើងទទួលបានចំនុច D"" - ដាននៃយន្តហោះ betta នៅលើបន្ទាត់ DD"។ ចំនុច D"" និងចំនុច P ស្ថិតនៅលើយន្តហោះ ADD" ដូច្នេះហើយ បន្ទាត់ PD"" គឺជាដាននៃយន្តហោះ betta នៅលើយន្តហោះ ADD" ហើយផ្នែក PF គឺជាដាននៃយន្តហោះ betta នៅលើមុខ បន្ថែម"។ ដូច្នេះផ្នែកនៃ prism ដោយយន្តហោះ betta គឺ quadrilateral PS "" QF ។ (សូមចំណាំ៖ QF គឺស្របទៅនឹង PS ""។ ហើយនេះជាការពិតណាស់ គឺដូច្នេះ។ បន្ទាប់ពីទាំងអស់ មូលដ្ឋាននៃព្រីសគឺស្ថិតនៅក្នុងប្លង់ប៉ារ៉ាឡែល។ កាលៈទេសៈនេះអាចត្រូវបានប្រើនៅពេលសាងសង់ផ្នែកមួយនៃព្រីសដោយយន្តហោះបេតា។ .)
4) ឥឡូវនេះយើងបង្កើតផ្នែកមួយនៃ prism ដោយយន្តហោះអាល់ហ្វាឆ្លងកាត់ចំណុច K ស្របទៅនឹងយន្តហោះបេតា។ ការសាងសង់នេះងាយស្រួលធ្វើ។ ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានត្រីកោណ KLN - ផ្នែកដែលត្រូវការ។
ក្នុង)
(រូបភព។ ចូរជ្រើសរើសចំនុច Q ជាចំនុច W ។
2) គូរប្លង់ហ្គាម៉ាតាមបន្ទាត់ BR និងចំនុច Q ។ យន្តហោះហ្គាម៉ាកាត់យន្តហោះ ABC តាមបន្ទាត់ត្រង់ l "ស្របនឹង QR ។ ដើម្បីបង្កើតបន្ទាត់ត្រង់ l" យើងបង្កើតចំណុច R "និង Q" - ការព្យាករណ៍នៃចំណុច R និង Q រៀងគ្នានៅលើយន្តហោះ ABC - ហើយគូរបន្ទាត់ត្រង់ Q "R" ហើយបន្ទាប់មកនៅក្នុងយន្តហោះ ABC ឆ្លងកាត់ចំនុច យើងគូរបន្ទាត់ l" ស្របទៅនឹង Q "R" ។ នៅក្នុងប្លង់ហ្គាម៉ាឆ្លងកាត់ចំនុច Q យើងគូរបន្ទាត់ l "" ស្របទៅនឹង BR. យើងទទួលបានចំនុច S"=l" ប្រសព្វ l""។
3) បន្ទាត់ប្រសព្វ PQ និង l "" កំណត់យន្តហោះ betta - យន្តហោះនៃផ្នែកជំនួយនៃ prism ។ ចូរយើងបង្កើតផ្នែកនេះ។ វាច្បាស់ណាស់ថាបន្ទាត់ PS" គឺជាដានសំខាន់នៃយន្តហោះបេតា។ បន្ថែមទៀតយើងរកឃើញចំណុច S""= PS" ប្រសព្វ CD, S"""= PS" ប្រសព្វ BC និង C"" = QS"" ប្រសព្វ CC "។ យើងទទួលបានផ្នែក PS"" "S" "C"" និង C""Q- ដាននៃយន្តហោះ betta រៀងគ្នានៅលើមុខ ABCD, BCC"B និង CDD"C"។ បន្ទាប់មក យើងគូរបន្ទាត់ក្នុងយន្តហោះ A "B" C "ស្របទៅនឹងដាន PS" ហើយទទួលបានចំនុច F ឬយើងរកចំនុច D "" \u003d S" "Q ប្រសព្វ DD" ហើយគូសបន្ទាត់ D "" P. បន្ទាត់នេះកាត់បន្ទាត់ A "D" ត្រង់ចំនុច F. ដូច្នេះហើយ យើងទទួលបានដានពីរទៀតនៃយន្តហោះ betta៖ QF n FP។ ដូច្នេះពហុកោណ PS"""C""QF គឺជាផ្នែក នៃព្រីមដោយយន្តហោះ betta ។
4) ឥឡូវនេះ ចូរយើងបង្កើតផ្នែកមួយនៃ prism ដោយយន្តហោះអាល់ហ្វាឆ្លងកាត់ចំណុច K ស្របទៅនឹងយន្តហោះបេតា។ ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានត្រីកោណ KLN - ផ្នែកដែលត្រូវការ។
ឧទាហរណ៍ ៥.
នៅលើគែម MB និង MA នៃពីរ៉ាមីត MABCD យើងកំណត់ចំណុច P និង K រៀងគ្នា ហើយនៅលើផ្នែក AC យើងកំណត់ចំនុច Q. យើងសាងសង់ផ្នែកមួយនៃពីរ៉ាមីតដោយយន្តហោះអាល់ហ្វាឆ្លងកាត់ចំណុច K ស្របគ្នា។ ទៅបន្ទាត់ PQ និងមួយបន្ទាត់ខាងក្រោម៖ ក) ស៊ីឌី; ខ) MS; គ) RV ចំណុច R និង V ដែលយើងកំណត់រៀងគ្នានៅលើគែម AB និង MC នៃពីរ៉ាមីត។
ដំណោះស្រាយ។
ក)
(រូបទី 2 នៅក្នុងយន្តហោះ ABC តាមរយៈចំនុច Q យើងគូសបន្ទាត់ស្របទៅនឹងបន្ទាត់ CD ហើយរកចំនុច S" S" " និង S "" ដែលបន្ទាត់នេះប្រសព្វបន្ទាត់ BC, AD និង AB រៀងៗខ្លួន។
2) បន្ទាត់ប្រសព្វគ្នា PQ និង S "S"" កំណត់ប្លង់បេតា - យន្តហោះនៃផ្នែកជំនួយនៃពីរ៉ាមីត។ ចូរយើងសាងសង់ផ្នែកនេះ។ ដានសំខាន់នៃយន្តហោះ betta គឺបន្ទាត់ S "S"" ។ ផ្នែក PS" គឺជាដាននៃយន្តហោះ betta នៅលើមុខ MBC បន្ទាត់ត្រង់ PS""" គឺជាដានរបស់វានៅលើយន្តហោះ MAB ផ្នែក PA" គឺនៅលើមុខ MAB ផ្នែក A"S"" ស្ថិតនៅលើ មុខ MAD ។
ខ)
(រូបភាព 27) ចូរយើងបង្កើតផ្នែកដែលបានផ្តល់ឱ្យតាមលំដាប់ដូចខាងក្រោមៈ
1) នៅក្នុងយន្តហោះ MAC តាមរយៈ
ចំនុច Q យើងគូរបន្ទាត់ QA ស្របទៅនឹង MC
2) យើងសាងសង់ផ្នែកជំនួយនៃពីរ៉ាមីតដោយយន្តហោះដែលត្រូវបានកំណត់ដោយ. ដល់ទីបញ្ចប់នេះ យើងរកឃើញចំណុច S"=PA" ប្រសព្វ AB គូសបន្ទាត់ S"Q ដែលជាដានសំខាន់នៃយន្តហោះ PQA" ទទួលបានពិន្ទុ S""=S"Q ប្រសព្វ AD និង S"" "=S"Q ប្រសព្វ BC និងតភ្ជាប់ចំណុច A" ជាមួយចំណុច S"" និងចំណុច P ជាមួយចំណុច S""។ បួនជ្រុង PA"S""S""" គឺជាផ្នែកជំនួយនៃពីរ៉ាមីត។ ផ្នែកគឺស្របទៅនឹងបន្ទាត់ PQ និង MC ប៉ុន្តែមិនឆ្លងកាត់ចំណុច K ទេ។
3) ឥឡូវនេះយើងសាងសង់ផ្នែកមួយនៃពីរ៉ាមីតដោយយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុច K ស្របទៅនឹងយន្តហោះ PQA "។ ជាលទ្ធផលយើងទទួលបាន quadrilateral B" KFE - ផ្នែកដែលចង់បាន។
ក)
(រូបភព 28) ចូរយើងសាងសង់ផ្នែកដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃពីរ៉ាមីត ដោយដំបូងត្រូវសាងសង់ផ្នែកជំនួយ ដោយយន្តហោះរបស់វាឆ្លងកាត់ខ្សែបន្ទាត់ PQ ស្របទៅនឹងខ្សែ RV ។ តោះធ្វើវាតាមលំដាប់ដូចខាងក្រោម៖
1) សង់ចំនុច S "=PV ប្រសព្វ BC ហើយគូសបន្ទាត់ S" R ។
2) បន្ទាត់ប្រសព្វ S "V និង S" R កំណត់យន្តហោះ។ នៅក្នុងយន្តហោះនេះ គូសបន្ទាត់ PS"" កាត់ចំនុច P ស្របទៅនឹង RV ។
3) បន្ទាត់ប្រសព្វ PQ និង PS"" កំណត់ប្លង់នៃផ្នែកជំនួយនៃពីរ៉ាមីត។ ចូរយើងបង្កើតផ្នែកនេះ។ យើងរកឃើញជាបន្តបន្ទាប់នូវបន្ទាត់ត្រង់ S "" Q - ដានសំខាន់នៃយន្តហោះនៃផ្នែកជំនួយបន្ទាប់មកចំនុច T "=S" "Q ប្រសព្វ BC, T" "= S" "Q ប្រសព្វ AB និង T" "" \u003d S" "Q ប្រសព្វស៊ីឌី តោះគូរបន្ទាត់ T"P ហើយរកចំនុច E \u003d T"P ប្រសព្វ "MC។ យើងភ្ជាប់ចំនុច P ជាមួយចំនុច T"" ហើយចំនុច E ជាមួយ T" ""។ quadrangle PT ""T" ""E គឺជាផ្នែកជំនួយនៃពីរ៉ាមីត។ យន្តហោះនៃផ្នែកនេះគឺស្របទៅនឹងបន្ទាត់ PQ និង RV ប៉ុន្តែមិនឆ្លងកាត់ចំនុច K. ឥឡូវនេះយើងនឹងសាងសង់ផ្នែកមួយនៃពីរ៉ាមីត ជាមួយនឹងយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំនុច K ស្របទៅនឹងយន្តហោះនៃផ្នែកជំនួយ ជាលទ្ធផលយើងទទួលបាន quadrilateral KV "C" D - ផ្នែកដែលចង់បាន។
ការស្វែងរកតំបន់កាត់នៅក្នុងពហុហេដ្រា។
លេខកិច្ចការ 1 ។
កិច្ចការទី ២
លេខកិច្ចការ 3 ។
លេខកិច្ចការ 4 ។
លេខកិច្ចការ 5 ។
លេខកិច្ចការ 6 ។
កិច្ចការទី ៧
លេខកិច្ចការ 8 ។
ការប្រើប្រាស់លក្ខណៈសម្បត្តិនៃត្រីកោណស្រដៀងគ្នា។
ដូច្នេះ ខាងក្រោមនេះគឺជាបញ្ហាសាមញ្ញមួយចំនួនដែលត្រីកោណស្រដៀងគ្នាមានតួនាទីសំខាន់ ជាពិសេសដោយសារវាក៏ត្រូវសាងសង់ផងដែរ (ហើយឃើញ!!!) ដោយប្រើបច្ចេកទេសស្តេរ៉េអូមេទ្រីស្ដង់ដារ៖ ប្រសព្វយន្តហោះមួយជាមួយយន្តហោះមួយទៀត ហើយសាងសង់បន្ទាត់ប្រសព្វរបស់ពួកគេ។ តាមបណ្តោយចំណុចពីរដែលធម្មតាទៅនឹងយន្តហោះ។
លេខកិច្ចការ 1 ។
កិច្ចការទី ២
កិច្ចការទី ៣
កិច្ចការទី ៤
កិច្ចការទី ៥
មានវិធីសំខាន់ៗចំនួនបួនដើម្បីស្វែងរកចំងាយរវាងបន្ទាត់ skew:
1) ការស្វែងរកប្រវែងនៃបន្ទាត់កាត់កែងធម្មតានៃបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នា នោះគឺជាផ្នែកដែលមានចុងនៅលើបន្ទាត់ទាំងនេះ និងកាត់កែងទៅទាំងពីរ។
2) ស្វែងរកចំងាយពីបន្ទាត់ប្រសព្វមួយទៅយន្តហោះស្របគ្នានឹងវាឆ្លងកាត់បន្ទាត់ផ្សេងទៀត។
3) ការស្វែងរកចំងាយរវាងយន្តហោះប៉ារ៉ាឡែលពីរដែលឆ្លងកាត់បន្ទាត់ skew ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
4) ការស្វែងរកចម្ងាយពីចំណុចមួយ - ដែលជាការព្យាករនៃបន្ទាត់ប្រសព្វមួយនៅលើយន្តហោះកាត់កែងទៅវា - ទៅនឹងការព្យាករនៃបន្ទាត់ផ្សេងទៀតនៅលើយន្តហោះដូចគ្នា។
កិច្ចការ #18
កិច្ចការទី ១៩
បង្ហាញជម្រើស 4 សម្រាប់ដោះស្រាយបញ្ហានេះ ហើយជ្រើសរើសសមហេតុផលបំផុតក្នុងចំណោមពួកគេ។ កំណត់ជម្រើសរបស់អ្នក។
កិច្ចការ # 20
កិច្ចការទី ២១
កិច្ចការទី ២២
ស្វែងរកចំងាយ និងមុំរវាងបន្ទាត់ skew នៅក្នុង polyhedron មួយ។
លេខកិច្ចការ 1 ។
លេខកិច្ចការ 2 ។
លេខកិច្ចការ 3 ។
ឆ្លងកាត់គែមចំហៀង និងមធ្យមនៃមូលដ្ឋានប្រសព្វជាមួយវា ហើយយន្តហោះមួយឆ្លងកាត់មធ្យមដូចគ្នា និងពាក់កណ្តាលនៃគែមចំហៀងផ្សេងទៀត។
ផ្នែក។
លេខកិច្ចការ 1 ។
លេខកិច្ចការ 2 ។
លេខកិច្ចការ 3 ។
គែមទល់មុខពីរនៃ tetrahedron មួយគឺកាត់កែង ហើយប្រវែងរបស់វាស្មើនឹង a និង b ចម្ងាយរវាងពួកវាគឺស្មើនឹង c ។ គូបមួយត្រូវបានចារឹកនៅក្នុង tetrahedron គែមបួនដែលកាត់កែងទៅនឹងគែមទាំងពីរនេះនៃ tetrahedron ហើយជ្រុងទាំងពីរនៃគូបស្ថិតនៅលើមុខនីមួយៗនៃ tetrahedron ។ ស្វែងរកគែមនៃគូប។
លេខកិច្ចការ 4 ។
លេខកិច្ចការ 5 ។
លេខកិច្ចការ 6 ។
លេខកិច្ចការ 7 ។
លេខកិច្ចការ 8 ។
លេខកិច្ចការ 9 ។
សមាមាត្រនៃបរិមាណនៃផ្នែកនៃ polyhedron មួយ។
លេខកិច្ចការ 1 ។
លេខកិច្ចការ 2 ។
លេខកិច្ចការ 3 ។
លេខកិច្ចការ 4 ។
ការព្យាករណ៍និងផ្នែកនៃ polyhedra ធម្មតា។
លេខកិច្ចការ 1 ។
បង្ហាញថាការព្យាករណ៍នៃ dodecahedron និង icosahedron នៅលើយន្តហោះស្របគ្នានឹងមុខរបស់ពួកគេគឺជាពហុកោណធម្មតា។
លេខកិច្ចការ 2 ។
បង្ហាញថាការព្យាករនៃ dodecahedron ទៅលើយន្តហោះដែលកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់មួយឆ្លងកាត់កណ្តាលរបស់វា ហើយចំនុចកណ្តាលនៃគែមគឺជា hexagon (មិនមែន decagon) ។
លេខកិច្ចការ 3 ។
ក) បង្ហាញថាការព្យាករណ៍របស់ icosahedron ទៅលើយន្តហោះ។ កាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ដែលកាត់តាមចំណុចកណ្តាលរបស់វា ហើយកំពូលគឺជា decagon ធម្មតា។ ខ) បង្ហាញថាការព្យាករនៃ dodecahedron ទៅលើយន្តហោះដែលកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់កណ្តាលរបស់វា និង vertex គឺជា dodecahedron មិនទៀងទាត់។
លេខកិច្ចការ 4 ។
តើមានផ្នែកនៃគូបដែលជា t hexagon ធម្មតាទេ?
លេខកិច្ចការ 5 ។
តើមានផ្នែកនៃ octahedron ដែលជា hexagon ធម្មតាទេ?
លេខកិច្ចការ 6 ។
តើមានផ្នែកនៃ dodecahedron ដែលជា hexagon ធម្មតាទេ?
លេខកិច្ចការ 7 ។
មុខ ABC និង ABD នៃ icosahedron មានគែមរួម AB ។ យន្តហោះស្របទៅនឹងយន្តហោះ ABC ត្រូវបានគូសតាមចំនុច D ។ តើវាពិតទេដែលផ្នែកនៃ icosahedron ដោយយន្តហោះនេះគឺជាឆកោនធម្មតា?
ចម្លើយចំពោះកិច្ចការតាមប្រធានបទ៖
4. មុំរវាងយន្តហោះ។
5. ផ្នែក
6. សមាមាត្រនៃបរិមាណនៃផ្នែកនៃ polyhedron នេះ។
7. ការព្យាករណ៍និងផ្នែកនៃ polyhedra ធម្មតា។
1. ការស្វែងរកតំបន់កាត់នៅក្នុង polyhedra ។
ដំណោះស្រាយនៃបញ្ហា
№1 №2 №3 №4 №5 №6 №7 №8
លេខកិច្ចការ 1 ។
https://pandia.ru/text/78/375/images/image040_59.gif" width="597" height="292 src=">
លេខកិច្ចការ 2 ។
https://pandia.ru/text/78/375/images/image042_56.gif" width="577" height="277 src=">
លេខកិច្ចការ 3 ។
https://pandia.ru/text/78/375/images/image044_53.gif" width="630" height="275 src=">
លេខកិច្ចការ 4 ។
https://pandia.ru/text/78/375/images/image046_49.gif" width="641" height="332 src=">
លេខកិច្ចការ 5 ។
https://pandia.ru/text/78/375/images/image048_46.gif" width="642" height="245 src=">
លេខកិច្ចការ 6 ។
https://pandia.ru/text/78/375/images/image050_46.gif" width="680" height="340 src=">
លេខកិច្ចការ 7 ។
https://pandia.ru/text/78/375/images/image052_47.gif" width="659" height="340 src=">left" style="margin-left: 6.75pt; margin-right: 6.75 pt">
2. ការប្រើប្រាស់លក្ខណៈសម្បត្តិនៃត្រីកោណស្រដៀងគ្នា។
ដំណោះស្រាយនៃបញ្ហា
№1 №2 №3 №4 №5
លេខកិច្ចការ 1 ។
https://pandia.ru/text/78/375/images/image055_46.gif" width="605" height="254">
ករណីទី២ 
លេខកិច្ចការ 2 ។
https://pandia.ru/text/78/375/images/image058_41.gif" width="683" height="260 src=">
លេខកិច្ចការ 3 ។
https://pandia.ru/text/78/375/images/image061_42.gif" width="536" height="203">
https://pandia.ru/text/78/375/images/image063_41.gif" width="341" height="107 src=">MsoNormalTable">
ចំនុច C ជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះ CB"A"D (ចាប់តាំងពី CD" កាត់កែងទៅ C"D ជាអង្កត់ទ្រូងនៃការ៉េ ហើយចាប់តាំងពី B"C" កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ CC"D"D ដែលមានន័យថា B "C" គឺកាត់កែងទៅ CE) យើងទទួលបាន CE គឺកាត់កែងទៅ B"C" ហើយ CE កាត់កែងទៅ C"D)។ បន្ទាប់មកយើងគូរ EF កាត់កែងទៅ B"D ហើយបន្ទាប់មកយើងទទួលបាន B"D កាត់កែងទៅ CF (ដោយ ទ្រឹស្តីបទកាត់កែងទាំងបី៖ CF មានទំនោរទាក់ទងទៅនឹងយន្តហោះ AB "C"D, CE - កាត់កែង និង EF - ការព្យាករនៃ oblique CF; បន្ទាប់មកវាក៏កាត់កែងទៅនឹង CF oblique ខ្លួនវាផងដែរ។) ចាប់តាំងពី EF និង CF ជាកម្មសិទ្ធិ។ រៀងគ្នាទៅនឹងយន្តហោះទាំងពីរ មុំ phi (មុំ CFE) គឺជាតម្រូវការមួយ។
យុត្តិកម្មនេះត្រូវបានបន្តដោយផ្នែកគណនាសាមញ្ញ។
"B" EF និង D ""C" EF) ជាលទ្ធផលដែលកាត់កែង A "" M និង D "" M ដែលគូរក្នុងតួលេខទាំងពីរទៅបន្ទាត់ប្រសព្វរបស់ពួកគេនឹងធ្លាក់ចូលទៅក្នុងចំណុចមួយ M លើសពីនេះទៅទៀតនៅខាងក្នុង និង មិននៅខាងក្រៅព្រីសទេ ចាប់តាំងពីមុំ B"A""D និង C"D""A មានភាពស្រពិចស្រពិល (B"D និងច្រើនទៀត BD=AC=A""C"" និង C"A ច្រើនជាង AC=BD=B" "D")) លើសពីនេះ ដោយបានរកឃើញអង្កត់ទ្រូង និងជ្រុងនៃរាងពងក្រពើ មនុស្សម្នាក់អាចរកឃើញផ្នែក A "" M និង D "" M ដោយប្រើឧទាហរណ៍ រូបមន្តពីរសម្រាប់តំបន់នៃ rhombus 
ចំណាំ៖ជាការពិតណាស់នៅក្នុងបញ្ហានេះនិងបញ្ហាស្រដៀងគ្នានេះមិនត្រូវការវិមាត្រនៃពហុកោណ (ឧទាហរណ៍ "a") ដូច្នេះនៅពេលជ្រើសរើសតម្លៃលេខនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ "k" សម្រាប់វ៉ារ្យ៉ង់ផ្សេងៗនៃបញ្ហាមាតិកានៃ លក្ខខណ្ឌរបស់វានៅក្នុងកន្លែងសមរម្យគួរតែត្រូវបានបង្កើតឧទាហរណ៍ដូចខាងក្រោម: "... នៅក្នុង prism ដែលមានកម្ពស់ច្រើនដងធំជាងផ្នែកម្ខាងនៃមូលដ្ឋាន ... " ។ល។
3. ការស្វែងរកចំងាយ និងមុំរវាងបន្ទាត់ skew នៅក្នុង polyhedron មួយ។
ដំណោះស្រាយនៃបញ្ហា
№1 №2 №3 №4 №5
លេខកិច្ចការ 1 ។
MsoNormalTable">
№1
ការដោះស្រាយបញ្ហាតាមវិធីដំបូង
ណែនាំ៖
- យុត្តិកម្មពិបាកដែលកាត់កែងដែលត្រូវការ (h skr ។ ) ដែលមានចុងនៅលើបន្ទាត់ប្រសព្វដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរមានទីតាំងនៅខាងក្នុងគូប (ហើយមិននៅខាងក្រៅវា);
- ការកំណត់ប្រហាក់ប្រហែលនៃទីតាំងនៃកាត់កែងនេះ;
- ទាយថាដើម្បីស្វែងរកប្រវែងនៃផ្នែក h skr ។ វាចាំបាច់ ដោយប្រើទ្រឹស្ដីកាត់កែងបី ដើម្បីបញ្ចាំងវាទៅលើមុខដែលនៅជាប់គ្នានៃគូប ដែលបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នា (អង្កត់ទ្រូង) ជាកម្មសិទ្ធិ ហើយមានតែវិធីដោះស្រាយសាមញ្ញប៉ុណ្ណោះ៖
| 2.
ការដោះស្រាយបញ្ហាតាមវិធីទីពីរពាក់ព័ន្ធនឹង
សកម្មភាពខាងក្រោម៖ |
ការសាងសង់យន្តហោះឯកតាមួយទៀតឆ្លងកាត់អង្កត់ទ្រូង B "D" និងប្រសព្វទីពីរនៃបន្ទាត់ skew A "C" យន្តហោះនេះគឺងាយស្រួលក្នុងការជ្រើសរើសផ្នែកអង្កត់ទ្រូង BB "D" D ទៅនឹងសញ្ញានៃការកាត់កែងនៃយន្តហោះពីរ។ នៃយន្តហោះ BB "D" D គឺកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ ACD " ចាប់តាំងពីយន្តហោះ BB"D"D ឆ្លងកាត់បន្ទាត់ត្រង់ (B"D) កាត់កែងទៅយន្តហោះមួយទៀត (ACD")។ បន្ទាប់មក បន្ទាត់នៃចំនុចប្រសព្វនៃយន្តហោះទាំងពីរត្រូវបានសាងសង់តាមចំនុចធម្មតា 2 របស់ពួកគេ (D "O) ហើយត្រូវបានជួសជុលដោយចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់នេះជាមួយនឹងអង្កត់ទ្រូង B" D (ចំនុច N);
- ហើយចុងក្រោយយោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទដែលថាប្រសិនបើយន្តហោះកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលមួយ នោះវាក៏កាត់កែងទៅម្ខាងទៀតពីចំនុច O "ជារបស់ A"C" ដែលយើងគូរក្នុងប្លង់ផ្នែក BB"D "D ទៅប្រសព្វជាមួយ D"O ផ្នែក O "M គឺស្របទៅ B"D; ក្នុងករណីនេះ O "M នឹងកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ ACD" ហើយដូច្នេះ O "M \u003d h crt.;
- បន្ទាប់មកនៅក្នុងផ្នែកគណនានៃដំណោះស្រាយដោយបានពិចារណាផ្នែក BB "D'D ហើយនៅក្នុងវា - ត្រីកោណមុំខាងស្តាំ OO'D" យើងរកឃើញ៖ ដូចដែលអ្នកបានឃើញហើយ វិធីសាស្ត្រទាំងពីរដំបូងគឺមិនសូវមានការប្រើប្រាស់ទេ។ សម្រាប់កិច្ចការដែលតំណាងឱ្យយ៉ាងហោចណាស់ភាពស្មុគស្មាញមួយចំនួន
| 3.
ការដោះស្រាយបញ្ហាតាមវិធីទីបីពាក់ព័ន្ធនឹង
: |
ហើយជាចុងក្រោយ នៅក្នុងផ្នែកគណនានៃដំណោះស្រាយ អ្នកអាចប្រើល្បិចពីវិធីសាស្ត្រដំណោះស្រាយមុន ឬងាកទៅរកភាពស្រដៀងគ្នានៃត្រីកោណ៖
| 4.
ការដោះស្រាយបញ្ហាតាមវិធីទី ៤ រួមមានៈ |
លេខកិច្ចការ 3 ។
នៅក្នុងបញ្ហានេះ សម្រាប់ការជ្រើសរើសវិធីសាស្ត្រដំណោះស្រាយ កត្តាកំណត់គឺការកាត់កែងនៃបន្ទាត់ AC ទៅនឹងប្លង់អង្កត់ទ្រូង ВB'D'D (ដោយសារតែ AC កាត់កែងទៅ ВD ហើយ AC កាត់កែងទៅ BB') ដែលបន្ទាត់មួយទៀត B 'F ជាកម្មសិទ្ធិ, ឧ. យន្តហោះឯកា BB' D'D គឺងាយស្រួលសម្រាប់ជ្រើសរើសវាជាយន្តហោះព្យាករណ៍។ ហើយបន្ទាប់មកផ្នែកគណនាសាមញ្ញដូចខាងក្រោម:
មួយ) ពីភាពស្រដៀងគ្នានៃត្រីកោណ DFT និងត្រីកោណ D'FB' យើងរកឃើញ DT = kd;
២). ពីភាពស្រដៀងគ្នានៃត្រីកោណ NOT និងត្រីកោណ BB'T យើងរកឃើញ ON: 
លេខកិច្ចការ 4 ។
បញ្ហានេះត្រូវបានបង្ហាញនៅទីនេះ ដើម្បីបង្ហាញពីការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តទីពីរ (ការសាងសង់កាត់កែងពីបន្ទាត់ទីមួយទៅយន្តហោះប៉ារ៉ាឡែលដែលមានខ្សែទីពីរ) ទៅនឹងស្ថានភាពសាមញ្ញបំផុតនៃការកំណត់ទីតាំងបន្ទាត់ skew នៅក្នុងពហុកែងស្មុគស្មាញដូចជា prism ឆកោនធម្មតា។
https://pandia.ru/text/78/375/images/image077_33.gif" width="186" height="87 src=">
លេខកិច្ចការ 5 ។
https://pandia.ru/text/78/375/images/image079_29.gif" width="347" height="326 src=">
5. ផ្នែក។
ដំណោះស្រាយនៃបញ្ហា
№1 №2 №3 №4 №5 №6
លេខកិច្ចការ 1 ។
ក្នុងករណីណាក៏ដោយ ចំនុច A, B និង C ស្ថិតនៅក្នុងប្លង់តែមួយ ហើយដូច្នេះយើងអាចពិចារណាផ្នែកដោយយន្តហោះដែលមានចំនុចទាំងនេះ។ ចាប់តាំងពីប្លង់ផ្នែកឆ្លងកាត់ចំណុចនៃទំនាក់ទំនងនៃស្វ៊ែរ (ស្វ៊ែរនៃយន្តហោះ) ហើយផ្នែកនេះប្រែទៅជាតង់សង់ទៅរង្វង់ (រង្វង់និងបន្ទាត់) ។ ទុក O' និង 0' ជាចំណុចកណ្តាលនៃរង្វង់ទីមួយ និងទីពីរ។ តាំងពី O'A || 0''B និងចំនុច O', C និង 0'' ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់មួយ មុំ AO'C = មុំ BO''C ។ ដូច្នេះមុំ ACO' = មុំ BCO' ពោលគឺ ចំណុច A, B និង C ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ដូចគ្នា។
លេខកិច្ចការ 2 ។
ផ្នែកអ័ក្សនៃកោណដែលកាត់ខ្លីនេះគឺជារាងចតុកោណ ABCD ដែលមានមូលដ្ឋាន AD = 2R និង BC = 2r ។ ឲ្យ P ជាចំណុចតង់សង់នៃរង្វង់ចារឹកដែលមានជ្រុង AB, O ជាកណ្តាលនៃរង្វង់ចារឹក។ នៅក្នុងត្រីកោណ ABO ផលបូកនៃមុំនៅចំនុច A និង B គឺ 90 ° ដូច្នេះវាជាមុំខាងស្តាំ។ ដូច្នេះ AP: RO - RO: BP, i.e., PO'2 = AP * BP ។ វាក៏ច្បាស់ដែរថា AP = R និង BP = r ។ ដូច្នេះកាំ RO នៃស្វ៊ែរដែលចារឹកក្នុងកោណគឺស្មើនឹងឫសការ៉េនៃផលិតផល R និង r ដូច្នេះហើយ S = 4п(R2 + Rr + r2) ។ ដោយបង្ហាញពីបរិមាណនៃកោណដែលកាត់នេះតាមរូបមន្ត យើងទទួលបានថាផ្ទៃនៃផ្ទៃសរុបរបស់វាស្មើនឹង 2n(R2 + Rr + r2) = S/2 (វាគួរតែត្រូវបានគេយកទៅពិចារណាថាកម្ពស់នៃកោណដែលកាត់ចេញ។ ស្មើនឹង 2 ដងនៃកាំនៃស្វ៊ែរជុំវិញដែលវាត្រូវបានពិពណ៌នា)។
លេខកិច្ចការ 3 ។
កាត់កែងធម្មតាទៅគែមទាំងនេះត្រូវបានបែងចែកដោយប្លង់នៃមុខគូបស្របទៅនឹងពួកវាទៅជាផ្នែកនៃប្រវែង y, x និង z (x គឺជាប្រវែងនៃគែមរបស់គូប; ផ្នែកនៃប្រវែង y គឺនៅជាប់នឹង គែម ក) ។ ប្លង់នៃមុខរបស់គូប ស្របទៅនឹងគែមទាំងនេះ ប្រសព្វ tetrahedron ជាចតុកោណកែងពីរ។ ជ្រុងតូចជាងនៃចតុកោណកែងទាំងនេះស្មើនឹងគែមនៃគូប x ។ ដោយសារជ្រុងនៃចតុកោណកែងទាំងនេះងាយស្រួលគណនា យើងទទួលបាន x = bu/c និង x = az/c ។ ដូច្នេះ c=x+y+r=x+cx/b+ex/a, i.e. x=abc/(ab+bc+ca)។
លេខកិច្ចការ 4 ។
ផ្នែកនីមួយៗនៃពហុកោណលទ្ធផលជាកម្មសិទ្ធិរបស់មុខមួយនៃមុខគូប ដូច្នេះចំនួននៃជ្រុងរបស់វាមិនលើសពី 6 ។ លើសពីនេះ ជ្រុងដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់មុខមុខគូបគឺស្របគ្នា ចាប់តាំងពីបន្ទាត់នៃចំនុចប្រសព្វនៃ យន្តហោះដែលមានយន្តហោះស្របគ្នាពីរគឺស្របគ្នា។ ដូច្នេះផ្នែកនៃគូបមួយមិនអាចជា pentagon ធម្មតាបានទេព្រោះវាមិនមានជ្រុងស្របគ្នា។ វាងាយស្រួលក្នុងការពិនិត្យមើលថា ត្រីកោណធម្មតា ការ៉េ និងឆកោនធម្មតាអាចជាផ្នែកនៃគូបមួយ។
លេខកិច្ចការ 5 ។
ពិចារណារង្វង់ដែលជាផ្នែកមួយនៃរាងកាយដែលបានផ្តល់ឱ្យហើយគូសបន្ទាត់ l កាត់កណ្តាលរបស់វាកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះរបស់វា។ បន្ទាត់នេះកាត់តួដែលបានផ្តល់ឱ្យតាមផ្នែកមួយចំនួន AB ។ ផ្នែកទាំងអស់ដែលឆ្លងកាត់បន្ទាត់ l គឺជារង្វង់ដែលមានអង្កត់ផ្ចិត AB ។
លេខកិច្ចការ 6 ។
ពិចារណាផ្នែកដែលបំពានឆ្លងកាត់ចំនុចកំពូល A. ផ្នែកនេះគឺជាត្រីកោណ ABC ហើយផ្នែករបស់វា AB និង AC គឺជាអ្នកបង្កើតកោណ ពោលគឺ មានប្រវែងថេរ។ ដូច្នេះផ្ទៃកាត់គឺសមាមាត្រទៅនឹងស៊ីនុសនៃមុំ BAC ។ មុំ BAC ផ្លាស់ប្តូរពី 0 °ទៅφ,
MsoNormalTable">
លេខកិច្ចការ 2 ។
ពិចារណាគូបមួយ ដែលកំពូលស្ថិតនៅត្រង់ចំនុចកំពូលនៃ dodecahedron ។ នៅក្នុងបញ្ហារបស់យើង យើងកំពុងនិយាយអំពីការព្យាករលើយន្តហោះដែលស្របទៅនឹងមុខគូបនេះ។ ឥឡូវនេះវាងាយស្រួលក្នុងការផ្ទៀងផ្ទាត់ថាការព្យាករនៃ dodecahedron គឺពិតជា hexagon (រូបភាព 70) ។
លេខកិច្ចការ 3 ។
ក) ការព្យាករណ៍នៃ icosahedron ដែលត្រូវបានចាត់ទុកថាឆ្លងកាត់ដោយខ្លួនវាផ្ទាល់នៅពេលបង្វិលដោយ 36 ° (ក្នុងករណីនេះការព្យាករណ៍នៃមុខខាងលើឆ្លងកាត់ចូលទៅក្នុងការព្យាករណ៍នៃមុខខាងក្រោម) ។ ដូច្នេះវាគឺជាធ្យូងថ្ម 10 ធម្មតា (រូបភាព 71, ក) ។
ខ) ការព្យាករដែលត្រូវបានពិចារណានៃ dodecahedron គឺជា 12-gon ប្រែទៅជាខ្លួនវានៅពេលដែលបង្វិលដោយ 60 ° (រូបភាព 71. ខ) ។ ពាក់កណ្តាលនៃជ្រុងរបស់វាគឺជាការព្យាករនៃគែមស្របទៅនឹងយន្តហោះព្យាករ ហើយពាក់កណ្តាលទៀតនៃជ្រុងគឺជាការព្យាករនៃគែមមិនស្របទៅនឹងយន្តហោះព្យាករ។ ដូច្នេះ 12-gon នេះគឺមិនទៀងទាត់។
MsoNormalTable">
លេខកិច្ចការ 4 ។
មាន។ ពាក់កណ្តាលដែលបានបង្ហាញនៅក្នុងរូបភព។ គែម 72 នៃគូបមួយគឺជាចំនុចកំពូលនៃ hexagon ធម្មតា។ នេះកើតឡើងពីការពិតដែលថាជ្រុងនៃឆកោននេះគឺស្របទៅនឹងជ្រុងនៃត្រីកោណធម្មតា PQR ហើយប្រវែងរបស់ពួកគេគឺពាក់កណ្តាលប្រវែងនៃជ្រុងនៃត្រីកោណនេះ។
លេខកិច្ចការ 6 ។ មាន។ យើងយកមុខ pentagonal បីជាមួយនឹងចំនុចកំពូលធម្មតា A ហើយពិចារណាផ្នែកមួយដោយយន្តហោះប្រសព្វមុខទាំងនេះ ហើយស្របទៅនឹងយន្តហោះដែលចំនុចកំពូលធម្មតាបីគូនៃមុខដែលកំពុងពិចារណាកុហក (រូបភាព 74) ។ ផ្នែកនេះគឺជាឆកោនដែលមានភាគីផ្ទុយស្របគ្នាជាគូ។ នៅពេលដែលបង្វិលដោយ 120 °អំពីអ័ក្សឆ្លងកាត់ចំនុចកំពូល A និងកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះកាត់នោះ dodecahedron និងយន្តហោះកាត់ចូលទៅក្នុងខ្លួនគេ។ ដូច្នេះផ្នែកគឺជាកែងប៉ោងដែលមានមុំ 120° ដែលប្រវែងដែលឆ្លាស់គ្នាយកតម្លៃពីរ។ ដើម្បីឱ្យប្រាំមួយជ្រុងនេះទៀងទាត់ វាគ្រប់គ្រាន់ហើយដែលតម្លៃទាំងពីរនេះស្មើគ្នា។ នៅពេលដែលយន្តហោះកាត់ផ្លាស់ទីពីទីតាំងខ្លាំងមួយទៅទីតាំងមួយទៀត ផ្លាស់ទីឆ្ងាយពីចំនុច A ទីមួយនៃតម្លៃទាំងនេះកើនឡើងពី 0 ទៅ d ហើយទីពីរថយចុះពី d ទៅ a ដែល a ជាប្រវែងនៃ គែមនៃ dodecahedron ។ (d គឺជាប្រវែងនៃអង្កត់ទ្រូងនៃមុខ (d គឺធំជាង a)) ដូច្នេះហើយ នៅចំណុចខ្លះតម្លៃទាំងនេះស្មើគ្នា ពោលគឺផ្នែកគឺជាឆកោនធម្មតា។ |
|
លេខកិច្ចការ 7 ។
ទេ មិនពិតទេ។ ពិចារណាការព្យាករនៃ icosahedron នៅលើយន្តហោះ ABC ។ វាជាឆកោនធម្មតា (សូមមើលរូប ៦៩)។ ដូច្នេះផ្នែកដែលកំពុងពិចារណានឹងក្លាយជាឆកោនធម្មតាលុះត្រាតែចំនុចទាំង 6 ភ្ជាប់គ្នាដោយគែមទៅចំណុច A, B និង C (ហើយខុសពី A, B និង C) ដាក់ក្នុងប្លង់តែមួយ។ ប៉ុន្តែ ដូចដែលអ្នកអាចមើលឃើញយ៉ាងងាយស្រួល នេះមិនមែនជាការពិតទេ (បើមិនដូច្នេះទេ វានឹងបង្ហាញថា កំពូលទាំងអស់នៃ icosahedron មានទីតាំងនៅលើយន្តហោះស្របគ្នាចំនួនបី)។
ភារកិច្ច
|
2. ការប្រើប្រាស់លក្ខណៈសម្បត្តិនៃត្រីកោណស្រដៀងគ្នា។
ដំណោះស្រាយនៃបញ្ហា
№1 №2 №3 №4 №5
លេខកិច្ចការ 1 ។
https://pandia.ru/text/78/375/images/image055_46.gif" width="605" height="254">
ករណីទី២
លេខកិច្ចការ 2 ។
https://pandia.ru/text/78/375/images/image058_41.gif" width="683" height="260 src=">
លេខកិច្ចការ 3 ។
https://pandia.ru/text/78/375/images/image060_43.gif" width="570" height="264 src=">
លេខកិច្ចការ 4 ។
https://pandia.ru/text/78/375/images/image063_41.gif" width="341" height="107 src=">right">
ក្នុងអំឡុងពេលមេរៀន អ្នកគ្រប់គ្នានឹងអាចទទួលបានគំនិតអំពីប្រធានបទ "បញ្ហាសម្រាប់ការសាងសង់ផ្នែកនៅក្នុង parallelepiped ។ ដំបូងយើងនឹងនិយាយឡើងវិញនូវលក្ខណៈសម្បត្តិគាំទ្រសំខាន់ៗចំនួនបួននៃប្រអប់។ បន្ទាប់មកដោយប្រើពួកវា យើងនឹងដោះស្រាយបញ្ហាធម្មតាមួយចំនួនសម្រាប់ការសាងសង់ផ្នែកនៅក្នុង parallelepiped និងសម្រាប់កំណត់តំបន់ឆ្លងកាត់នៃ parallelepiped មួយ។
ប្រធានបទ៖ ភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់ និងប្លង់
មេរៀន៖ ភារកិច្ចសម្រាប់សាងសង់ផ្នែកនៅក្នុង parallelepiped
ក្នុងអំឡុងពេលមេរៀន អ្នកគ្រប់គ្នានឹងអាចទទួលបានគំនិតអំពីប្រធានបទ។ "បញ្ហាសម្រាប់ការសាងសង់ផ្នែកនៅក្នុង parallelepiped".
ពិចារណាពី parallelepiped ACDА 1 B 1 C 1 D 1 (រូបភាព 1) ។ ចូរយើងចងចាំលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។
អង្ករ។ 1. លក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ parallelepiped
1) មុខទល់មុខ (ប៉ារ៉ាឡែលស្មើគ្នា) ស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះស្របគ្នា។
ឧទាហរណ៍ ប៉ារ៉ាឡែល ABCD និង A 1 B 1 C 1 D 1 គឺស្មើគ្នា (នោះគឺពួកវាអាចដាក់ពីលើបាន) ហើយស្ថិតនៅលើយន្តហោះស្របគ្នា។
2) ប្រវែងនៃគែមប៉ារ៉ាឡែលគឺស្មើគ្នា។
ឧទាហរណ៍ AD = BC = A 1 D 1 = B 1 C 1 (រូបភាព 2) ។
អង្ករ។ 2. ប្រវែងនៃគែមទល់មុខនៃ parallelepiped គឺស្មើគ្នា
3) អង្កត់ទ្រូងនៃ parallelepiped ប្រសព្វគ្នានៅចំណុចមួយ និង bisect ចំណុចនេះ។
ឧទាហរណ៍ អង្កត់ទ្រូងនៃ parallelepiped BD 1 និង B 1 D ប្រសព្វគ្នានៅចំណុចមួយ ហើយកាត់ចំនុចនេះ (រូបភាពទី 3)។
4) នៅក្នុងផ្នែកនៃ parallelepiped អាចមានត្រីកោណមួយ quadrangle pentagon មួយ hexagon ។
បញ្ហានៅលើផ្នែកនៃ parallelepiped
ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាដោះស្រាយបញ្ហាខាងក្រោម។ ដែលបានផ្តល់ឱ្យ parallelepiped ACDА 1 B 1 C 1 D 1 និងចំណុច M, N, K នៅលើគែម AA 1 , A 1 D 1 , A 1 B 1 រៀងគ្នា (រូបភាពទី 4) ។ សាងសង់ផ្នែកនៃ parallelepiped ដោយយន្តហោះ MNK ។ ចំនុច M និង N ក្នុងពេលដំណាលគ្នានៅក្នុងយន្តហោះ AA 1 D 1 និងនៅក្នុងយន្តហោះកាត់។ ដូច្នេះ MN គឺជាបន្ទាត់នៃចំនុចប្រសព្វនៃយន្តហោះដែលបានចង្អុលបង្ហាញទាំងពីរ។ ដូចគ្នានេះដែរយើងទទួលបាន MK និង KN ។ នោះគឺផ្នែកនឹងជាត្រីកោណ MKN ។
1. ធរណីមាត្រ។ ថ្នាក់ទី 10-11: សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់សិស្សនៃស្ថាប័នអប់រំ (កម្រិតមូលដ្ឋាននិងទម្រង់) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov ។ - ការបោះពុម្ពលើកទី 5 កែ និងបន្ថែម - M.: Mnemozina, 2008. - 288 p.: ill.
កិច្ចការ 13, 14, 15 ទំ 50
2. បានផ្តល់ឱ្យ parallelepiped ACDА 1 B 1 C 1 D 1 ។ M និង N គឺជាចំណុចកណ្តាលនៃគែម DC និង A 1 B 1 ។
ក) សង់ចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ AM និង AN ដោយប្លង់នៃមុខ BB 1 C 1 C ។
ខ) សាងសង់បន្ទាត់ប្រសព្វនៃយន្តហោះ AMN និង BB 1 C 1
3. សាងសង់ផ្នែកនៃ parallelepiped ACDА 1 B 1 C 1 D 1 ដោយយន្តហោះឆ្លងកាត់ BC 1 និងចំណុចកណ្តាល M នៃគែម DD 1 ។
នៅក្នុងវិធីសាស្រ្តនេះ ជំហានដំបូង (បន្ទាប់ពីការស្វែងរកការព្យាករបន្ទាប់បន្សំនៃចំណុចទាំងនេះ) គឺដើម្បីកសាងដាននៃយន្តហោះកាត់នៅលើយន្តហោះនៃមូលដ្ឋានខាងលើ ឬខាងក្រោមនៃព្រីស ឬពីរ៉ាមីតកាត់ខ្លី ឬនៅលើមូលដ្ឋាននៃសាជីជ្រុង។
លា 2. ផ្តល់រូបភាពនៃព្រីសរាងត្រីកោណ ABCA 1 ខ 1 គ 1 និងបីពិន្ទុម, ន, ទំ, ដែលស្ថិតនៅលើគែម CC 1 និងមុខ ABB 1 ក 1 , BCC 1 ខ 1 . សាងសង់ផ្នែកមួយនៃព្រីសដោយយន្តហោះ, ឆ្លងកាត់ ម, ន, ទំ.
ដំណោះស្រាយ។ យើងមានចំណុចមួយនៅលើមូលដ្ឋានខាងលើនៃព្រីស ដូច្នេះយើងនឹងបង្កើតដាននៅលើមូលដ្ឋានខាងលើ។ យើងបង្កើតការព្យាករបន្ទាប់បន្សំនៃចំណុច ននិង ទំ ទៅមូលដ្ឋានខាងលើ បន្ទាប់មក៖ 1 .នទំន 3 ទំ 3 =X; 2 .មX=ទំ- បទ; 3 .ទំខ 1 គ 1 =ឃ.
ជំហានបន្ថែមត្រូវបានបង្ហាញខាងលើរួចហើយនៅក្នុងគំនូរ។
លា 3. ខែធ្នូ យើងនឹងបង្កើតដានយន្តហោះកាត់នៅលើមូលដ្ឋានទាបនៃព្រីស។
អគារ៖ ១. មនអ៊ីឃ=X, មទំEP 3 =យ;
2. ទំ=XY- ដាន; 3. ទំខគ=ជី, ទំឃគ=ហ.
យើងត្រូវរកចំណុចមួយនៅលើគែម ប៊ី.ប៊ី 1 ឬនៅលើគែម អេ 1 .
អេ 
មុខ ABB 1 ក 1 យើងមានចំណុចមួយ។ ទំ. ដូច្នេះគែមខាងក្រោមនៃមុខនេះ i.e. ABយើងបន្តរហូតដល់ចំនុចប្រសព្វជាមួយដាន។
4. កខទំ=Z.
5. ទំZអេ 1 =ច; ទំZប៊ី.ប៊ី 1 =ខេ.សកម្មភាពបន្ថែមទៀតត្រូវបានបង្ហាញខាងលើរួចហើយ។
ប្រសិនបើវាប្រែថាបន្ទាត់ AB មិនប្រសព្វជាមួយដាន, បន្ទាប់មកចង់បាន អេហ្វខេ ក៏នឹងមានភាពស្របគ្នា។ លា 4. ខែធ្នូ 1. ទំនទំ o ន o = X;
2. មនCN o = យ;3. ទំ=XY- ដាន;
3. គខទំ=Z;4. Zមសខ=អ៊ី;
5. អ៊ីនសក=ជី 6. GEMF- ផ្នែកទាមទារ។
17. ការសាងសង់ផ្នែកនៃស៊ីឡាំងមួយ។
ប្រសិនបើយន្តហោះកាត់ត្រូវបានផ្តល់ដោយបីពិន្ទុ នោះយើងតែងតែអាចរកឃើញដានរបស់វានៅលើយន្តហោះនៃមូលដ្ឋានស៊ីឡាំង ឬកោណ និងចំណុច ( ទំ, អូ) នៅលើអ័ក្សរបស់វា។ ដូច្នេះយើងពិចារណាថាយន្តហោះកាត់ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយធាតុទាំងនេះ។
ពី 
ការចាប់ផ្តើមនៃការប្រណាំងគឺជាករណីនៅពេលដែលយន្តហោះប្រសព្វគ្នាតែផ្ទៃក្រោយនៃស៊ីឡាំង។ បន្ទាប់មកផ្នែកនៃស៊ីឡាំងនឹងជារាងពងក្រពើ (;¯ ហើយរូបភាពរបស់វាក៏ជារាងពងក្រពើផងដែរ យើងដឹងពីរបៀបបង្កើតរាងពងក្រពើ ប្រសិនបើអង្កត់ផ្ចិតរួមពីររបស់វាត្រូវបានគេស្គាល់។ ឥឡូវនេះយើងនឹងបង្ហាញពីរបៀបស្វែងរករូបភាពនៃអង្កត់ផ្ចិតសំខាន់ៗ។ នៃពងក្រពើ (; ¯.
សូមឱ្យ និង 1 ជារាងពងក្រពើតំណាងឱ្យមូលដ្ឋានខាងក្រោម និងខាងលើនៃស៊ីឡាំង។ អូ និង អូ 1 - មជ្ឈមណ្ឌលរបស់ពួកគេ។ តោះគូរអង្កត់ផ្ចិត ក 3 ខ 3 មូលដ្ឋានទាប ស្របទៅនឹងដាន និងអង្កត់ផ្ចិតរួមរបស់វា។ គ 3 ឃ៣. សម្រាប់ការសាងសង់ គ 3 ឃ 3 យើងប្រើអង្កត់ធ្នូ ខេ 3 អិល 3 ចុងម្ខាងដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់វណ្ឌវង្ក generatrix ។ ចងចាំរឿងនោះ។ ក 3 ខ 3 និង គ 3 ឃ 3 បង្ហាញពីអង្កត់ផ្ចិតកាត់កែង។ សូមបន្ត គ 3 ឃ 3 ទៅចំនុចប្រសព្វជាមួយដាន។ ចូរយើងទទួលបានចំណុច X. ត្រង់ PX ហៅវាថាអ័ក្សនៃផ្នែក។
ចូរលើកចំណុច គ 3 និង ឃ 3 ទៅអ័ក្សនៃផ្នែក។ ទទួលបាន គនិង ឃ. ផ្នែកបន្ទាត់ ស៊ីឌីគឺជារូបភាពនៃផ្នែកដែលមានអង្កត់ផ្ចិតធំ។ ចូរលើកផ្នែក ក 3 ខ 3 ដល់កម្ពស់ OP. យើងទទួលបានផ្នែកមួយ។ ABដែលជារូបភាពនៃផ្នែកអង្កត់ផ្ចិតតូចមួយ។ អវិជ្ជមាន AB និង ស៊ីឌី - មិត្តរួមឌី។ ពងក្រពើ ។
ហ 
ស្វែងរកចំណុចបន្ថែមទៀតដែលពងក្រពើឆ្លងកាត់ពីផ្នែកដែលមើលឃើញនៃស៊ីឡាំងទៅមើលមិនឃើញ ដែលមានន័យថាបន្ទាត់រឹងប្រែទៅជាបន្ទាត់ចំនុច។ ទាំងនេះគឺជាចំនុចប្រសព្វនៃយន្តហោះ secant ជាមួយម៉ាស៊ីនបង្កើតវណ្ឌវង្ក។ អនុញ្ញាតឱ្យ យ 3 =ខេ 3 អិល 3 គ 3 ឃ៣. សូមលើក យ 3 ទៅអ័ក្សនៃផ្នែក។ ចូរយើងទទួលបានចំណុចមួយ។ យ. ចូរលើកអង្កត់ធ្នូ ខេ 3 អិល 3 ដល់កម្ពស់ យ៣. យើងទទួលបានផ្នែកមួយ។ KL. យើងបានរកឃើញចំណុចដែលត្រូវការ ខេហើយនៅតាមផ្លូវ មានចំណុចបន្ថែមមួយទៀត អិល. ចំណុច មដោយពណ៌នាពីចំនុចប្រសព្វនៃប្លង់សេនិក និងជាមួយវណ្ឌវង្កទីពីរគឺស៊ីមេទ្រីដល់ចំណុច ខេទាក់ទងទៅនឹងចំណុច ទំ.លើសពីនេះទៀត យើងនឹងសាងសង់ចំណុចមួយ។ ន, ស៊ីមេទ្រី អិល
ចំណុចទំនាក់ទំនង ទំ
សូមបង្ហាញពីរបៀបដែលអ្នកអាចស្វែងរកចំនួនចំណុចណាមួយនៅលើផ្នែកមួយដោយមិនប្រើអង្កត់ផ្ចិតទាំងនេះ។
ជ្រើសរើសណាមួយ។ ចំណុច វ 3 នៅលើពងក្រពើ ។ យើងអនុវត្តអង្កត់ផ្ចិត វ 3 ធ 3 ហើយបន្តវារហូតដល់ចំនុចប្រសព្វជាមួយដាន។ យើងទទួលបានចំនុចមួយ។ យូ. យើងលើកចំណុច វ 3 និង ធ 3 ទៅត្រង់ U.P.. យើងទទួលបានពីរពិន្ទុ វនិង ធនៅលើផ្នែក។ ការជ្រើសរើសជំនួស វ 3 ចំណុចមួយទៀត យើងទទួលបាន 2 ពិន្ទុទៀតក្នុងមួយផ្នែក។ ប្រសិនបើអ្នកជ្រើសរើសចំណុចមួយ។ ខេ 3 និយាយកុហកនៅលើវណ្ឌវង្ក generatrix យើងនឹងរកឃើញចំណុច ខេ និង មដែលក្នុងនោះបន្ទាត់រឹងនៅលើផ្នែកគួរតែប្រែទៅជាដាច់។
