សមីការសមហេតុផលសាមញ្ញបំផុត។ ឧទាហរណ៍

§ 1 សមីការសមហេតុសមផលប្រភាគ និងទាំងមូល

នៅក្នុងមេរៀននេះ យើងនឹងវិភាគគោលគំនិតដូចជាសមីការសនិទាន កន្សោមសនិទាន កន្សោមចំនួនគត់ កន្សោមប្រភាគ។ ពិចារណាដំណោះស្រាយនៃសមីការសនិទាន។

សមីការសនិទានភាពគឺជាសមីការដែលផ្នែកខាងឆ្វេងនិងខាងស្ដាំជាសមីការសនិទាន។

កន្សោមសមហេតុផលគឺ៖

ប្រភាគ។

កន្សោមចំនួនគត់ត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយលេខ អថេរ អំណាចចំនួនគត់ ដោយប្រើប្រតិបត្តិការនៃការបូក ដក គុណ និងចែកដោយលេខក្រៅពីសូន្យ។

ឧទាហរណ៍:

នៅក្នុងកន្សោមប្រភាគ មានការបែងចែកដោយអថេរ ឬកន្សោមជាមួយអថេរ។ ឧទាហរណ៍:

កន្សោមប្រភាគមិនមានន័យសម្រាប់តម្លៃទាំងអស់នៃអថេរដែលបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងវា។ ឧទាហរណ៍ កន្សោម

នៅ x = −9 វាគ្មានន័យទេ ព្រោះនៅ x = −9 ភាគបែងទៅសូន្យ។

នេះមានន័យថាសមីការសមហេតុផលអាចជាចំនួនគត់ និងប្រភាគ។

សមីការសនិទានចំនួនគត់គឺជាសមីការសនិទានភាពដែលផ្នែកខាងឆ្វេងនិងស្តាំជាចំនួនកន្សោម។

ឧទាហរណ៍:

សមីការប្រភាគជាសមីការសនិទានភាពដែលផ្នែកឆ្វេងឬស្ដាំជាប្រភាគកន្សោម។

ឧទាហរណ៍:

§ 2 ដំណោះស្រាយនៃសមីការសនិទានទាំងមូល

ពិចារណាដំណោះស្រាយនៃសមីការសមហេតុផលទាំងមូល។

ឧទាហរណ៍:

គុណផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយភាគបែងសាមញ្ញបំផុតនៃភាគបែងនៃប្រភាគដែលរួមបញ្ចូលនៅក្នុងវា។

សម្រាប់ការនេះ:

1. រកភាគបែងរួមសម្រាប់ភាគបែង 2, 3, 6. វាស្មើនឹង 6;

2. ស្វែងរកកត្តាបន្ថែមសម្រាប់ប្រភាគនីមួយៗ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះចែកភាគបែងរួម 6 ដោយភាគបែងនីមួយៗ

មេគុណបន្ថែមសម្រាប់ប្រភាគ

3. គុណភាគយកនៃប្រភាគដោយកត្តាបន្ថែមដែលត្រូវគ្នានឹងពួកគេ។ ដូច្នេះយើងទទួលបានសមីការ

ដែលស្មើនឹងសមីការនេះ។

ចូរបើកតង្កៀបនៅខាងឆ្វេងផ្លាស់ទីផ្នែកខាងស្តាំទៅខាងឆ្វេងផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៃពាក្យក្នុងអំឡុងពេលផ្ទេរទៅផ្ទុយ។

យើងផ្តល់លក្ខខណ្ឌស្រដៀងគ្នានៃពហុធា និងទទួលបាន

យើងឃើញថាសមីការគឺលីនេអ៊ែរ។

ការដោះស្រាយវាយើងរកឃើញថា x = 0.5 ។

§ 3 ដំណោះស្រាយនៃសមីការសមហេតុសមផលប្រភាគ

ពិចារណាដំណោះស្រាយនៃសមីការសមហេតុសមផលប្រភាគ។

ឧទាហរណ៍:

1. គុណផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយភាគបែងសាមញ្ញបំផុតនៃភាគបែងនៃប្រភាគសនិទានដែលរួមបញ្ចូលនៅក្នុងវា។

រកភាគបែងរួមសម្រាប់ភាគបែង x + 7 និង x − 1 ។

វាស្មើនឹងផលិតផលរបស់ពួកគេ (x + 7) (x − 1) ។

2. ចូរយើងស្វែងរកកត្តាបន្ថែមសម្រាប់ប្រភាគសនិទាននីមួយៗ។

ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងបែងចែកភាគបែងរួម (x + 7) (x − 1) ដោយភាគបែងនីមួយៗ។ មេគុណបន្ថែមសម្រាប់ប្រភាគ

ស្មើនឹង x - 1,

មេគុណបន្ថែមសម្រាប់ប្រភាគ

ស្មើនឹង x+7 ។

3. គុណភាគយកនៃប្រភាគដោយកត្តាបន្ថែមដែលត្រូវគ្នា។

យើងទទួលបានសមីការ (2x - 1) (x - 1) \u003d (3x + 4) (x + 7) ដែលស្មើនឹងសមីការនេះ

4. ឆ្វេង និងស្តាំ គុណ binomial ដោយ binomial ហើយទទួលបានសមីការខាងក្រោម

5. យើងផ្ទេរផ្នែកខាងស្តាំទៅខាងឆ្វេងដោយផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៃពាក្យនីមួយៗនៅពេលផ្ទេរទៅផ្ទុយ:

6. យើងបង្ហាញសមាជិកស្រដៀងគ្នានៃពហុនាម៖

7. អ្នកអាចបែងចែកផ្នែកទាំងពីរដោយ -1 ។ យើងទទួលបានសមីការការ៉េ៖

8. ដោយបានដោះស្រាយវាយើងនឹងរកឃើញឫស

ចាប់តាំងពីនៅក្នុងសមីការ

ផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំគឺជាកន្សោមប្រភាគ ហើយនៅក្នុងកន្សោមប្រភាគ សម្រាប់តម្លៃមួយចំនួននៃអថេរ ភាគបែងអាចបាត់ បន្ទាប់មកចាំបាច់ត្រូវពិនិត្យមើលថាតើភាគបែងធម្មតាមិនបាត់នៅពេល x1 និង x2 ត្រូវបានរកឃើញ។

នៅ x = -27 ភាគបែងរួម (x + 7)(x − 1) មិនរលាយបាត់ទេ នៅ x = −1 ភាគបែងរួមក៏មិនសូន្យដែរ។

ដូច្នេះឫសទាំងពីរ -27 និង -1 គឺជាឫសនៃសមីការ។

នៅពេលដោះស្រាយសមីការប្រភាគប្រភាគ វាជាការប្រសើរក្នុងការចង្អុលបង្ហាញភ្លាមៗនូវតំបន់នៃតម្លៃដែលអាចអនុញ្ញាតបាន។ លុបបំបាត់តម្លៃទាំងនោះដែលភាគបែងរួមទៅសូន្យ។

សូមពិចារណាឧទាហរណ៍មួយទៀតនៃការដោះស្រាយសមីការសមហេតុសមផលប្រភាគ។

ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងដោះស្រាយសមីការ

យើងបំបែកភាគបែងនៃប្រភាគនៅខាងស្តាំនៃសមីការទៅជាកត្តា

យើងទទួលបានសមីការ

រកភាគបែងរួមសម្រាប់ភាគបែង (x − 5), x, x (x − 5) ។

វានឹងក្លាយជាកន្សោម x (x − 5) ។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងស្វែងរកជួរនៃតម្លៃដែលអាចទទួលយកបាននៃសមីការ

ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងយកភាគបែងធម្មតាទៅសូន្យ x (x - 5) \u003d 0 ។

យើងទទួលបានសមីការ ដោះស្រាយមួយណា យើងឃើញថានៅ x \u003d 0 ឬនៅ x \u003d 5 ភាគបែងរួមបាត់។

ដូច្នេះ x = 0 ឬ x = 5 មិនអាចជាឫសគល់នៃសមីការរបស់យើងទេ។

ឥឡូវនេះអ្នកអាចរកឃើញមេគុណបន្ថែម។

មេគុណបន្ថែមសម្រាប់ប្រភាគសនិទាន

មេគុណបន្ថែមសម្រាប់ប្រភាគ

នឹងមាន (x − ៥),

និងកត្តាបន្ថែមនៃប្រភាគ

យើងគុណលេខភាគដោយកត្តាបន្ថែមដែលត្រូវគ្នា។

យើងទទួលបានសមីការ x(x − 3) + 1(x − 5) = 1(x + 5) ។

ចូរបើកតង្កៀបនៅខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំ x2 − 3x + x − 5 = x + 5 ។

ចូរផ្លាស់ទីលក្ខខណ្ឌពីស្តាំទៅឆ្វេងដោយផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៃលក្ខខណ្ឌដែលត្រូវផ្លាស់ទី៖

X2 − 3x + x − 5 − x − 5 = 0

ហើយបន្ទាប់ពីនាំយកពាក្យស្រដៀងគ្នា យើងទទួលបានសមីការការ៉េ x2 - 3x - 10 \u003d 0 ។ ដោយបានដោះស្រាយវា យើងរកឃើញឫស x1 \u003d -2; x2 = 5 ។

ប៉ុន្តែយើងបានរកឃើញរួចហើយថានៅ x = 5 ភាគបែងទូទៅ x (x − 5) បាត់។ ដូច្នេះឫសគល់នៃសមីការរបស់យើង។

នឹងមាន x = −2 ។

§ 4 សង្ខេបមេរៀន

សំខាន់ក្នុងការចងចាំ៖

នៅពេលដោះស្រាយសមីការប្រភាគប្រភាគ អ្នកត្រូវធ្វើដូចខាងក្រោមៈ

1. ស្វែងរកភាគបែងរួមនៃប្រភាគដែលរួមបញ្ចូលក្នុងសមីការ។ ជាងនេះទៅទៀត ប្រសិនបើភាគបែងនៃប្រភាគអាចត្រូវបាន decomposed ទៅជាកត្តា នោះ decompose ពួកវាទៅជាកត្តា ហើយបន្ទាប់មកស្វែងរកភាគបែងរួម។

2. គុណផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយភាគបែងទូទៅ៖ ស្វែងរកកត្តាបន្ថែម គុណលេខដោយកត្តាបន្ថែម។

3. ដោះស្រាយសមីការលទ្ធផលទាំងមូល។

4. មិនរាប់បញ្ចូលពីឫសរបស់វា ដែលបង្វែរភាគបែងរួមទៅជាសូន្យ។

បញ្ជីអក្សរសិល្ប៍ដែលបានប្រើ៖

Makarychev Yu.N., N.G. Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B. / ក្រោមការកែសម្រួលរបស់ Telyakovsky S.A. ពិជគណិតៈ សៀវភៅសិក្សា។ សម្រាប់ 8 កោសិកា។ ការអប់រំទូទៅ ស្ថាប័ន។ - M. : ការអប់រំ, 2013 ។
Mordkovich A.G. ពិជគណិត។ ថ្នាក់ទី ៨៖ ជាពីរផ្នែក។ ផ្នែកទី 1: Proc ។ សម្រាប់ការអប់រំទូទៅ ស្ថាប័ន។ - M. : Mnemosyne ។
Rurukin A.N. មេរៀនអភិវឌ្ឍន៍ពិជគណិតៈ ថ្នាក់ទី៨. - M.: VAKO, 2010 ។
ពិជគណិតថ្នាក់ទី៨៖ ផែនការមេរៀនយោងតាមសៀវភៅសិក្សាដោយ Yu.N. Makarycheva, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkova, S.B. Suvorova / Auth.-comp ។ T.L. Afanasiev, L.A. តាភីលីណា។ - Volgograd: គ្រូបង្រៀន, 2005 ។

និយាយឱ្យសាមញ្ញ ទាំងនេះគឺជាសមីការដែលមានយ៉ាងហោចណាស់មួយជាមួយនឹងអថេរនៅក្នុងភាគបែង។

ឧទាហរណ៍:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

ឧទាហរណ៍ ទេ។សមីការប្រភាគប្រភាគ៖

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

តើសមីការប្រភាគប្រភាគត្រូវបានដោះស្រាយដោយរបៀបណា?

រឿងចំបងដែលត្រូវចងចាំអំពីសមីការប្រភាគប្រភាគគឺថាអ្នកត្រូវសរសេរក្នុងពួកវា។ ហើយបន្ទាប់ពីរកឃើញឫសហើយ ប្រាកដថាពិនិត្យមើលវាដើម្បីអាចចូលបាន។ បើមិនដូច្នោះទេឫស extraneous អាចលេចឡើងហើយដំណោះស្រាយទាំងមូលនឹងត្រូវបានចាត់ទុកថាមិនត្រឹមត្រូវ។

ក្បួនដោះស្រាយសមីការប្រភាគប្រភាគ៖

សរសេរចេញហើយ "ដោះស្រាយ" ODZ ។

គុណពាក្យនីមួយៗក្នុងសមីការដោយភាគបែងធម្មតា ហើយកាត់បន្ថយប្រភាគលទ្ធផល។ ភាគបែងនឹងរលាយបាត់។

សរសេរសមីការដោយមិនបើកតង្កៀប។

ដោះស្រាយសមីការលទ្ធផល។

ពិនិត្យមើលឫសដែលបានរកឃើញជាមួយ ODZ ។

សរសេរជាការឆ្លើយតបនូវឫសគល់ដែលបានឆ្លងកាត់ការសាកល្បងក្នុងជំហានទី 7 ។

កុំទន្ទេញក្បួនដោះស្រាយ 3-5 សមីការដោះស្រាយ - ហើយវានឹងត្រូវបានចងចាំដោយខ្លួនឯង។

ឧទាហរណ៍ . ដោះស្រាយសមីការសមហេតុសមផលប្រភាគ \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

ការសម្រេចចិត្ត៖

ចម្លើយ៖ \(3\).

ឧទាហរណ៍ . ស្វែងរកឫសនៃសមីការប្រភាគប្រភាគ \(=0\)

ការសម្រេចចិត្ត៖

\(\frac(x)(x+2)+\frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ODZ៖ \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \\(D=49-4 \\cdot 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		យើងសរសេរចុះហើយ "ដោះស្រាយ" ODZ ។ ពង្រីក \(x^2+7x+10\) ទៅក្នុងរូបមន្ត៖ \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\) ។ ជាសំណាងល្អ \(x_1\) និង \(x_2\) យើងបានរកឃើញរួចហើយ។
\(\frac(x)(x+2)+\frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		ជាក់ស្តែង ភាគបែងទូទៅនៃប្រភាគ៖ \((x+២)(x+៥)\)។ យើងគុណសមីការទាំងមូលដោយវា។
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2)+\frac(((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		យើងកាត់បន្ថយប្រភាគ
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		ការបើកតង្កៀប
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		យើងផ្តល់លក្ខខណ្ឌដូច
\\(2x^2+9x-5=0\)		ការស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការ
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2))		ឫសមួយក្នុងចំណោមឫសមិនសមនៅក្រោម ODZ ដូច្នេះក្នុងការឆ្លើយតបយើងសរសេរតែឫសទីពីរប៉ុណ្ណោះ។

ចម្លើយ៖ \(\frac(1)(2)\)។

យើងបានណែនាំសមីការខាងលើនៅក្នុង§ 7។ ជាដំបូង យើងរំលឹកឡើងវិញនូវអ្វីដែលជាការបញ្ចេញមតិសមហេតុផល។ នេះគឺជាកន្សោមពិជគណិតដែលបង្កើតឡើងដោយលេខ និងអថេរ x ដោយប្រើប្រតិបត្តិការបូក ដក គុណ ចែក និងនិទស្សន្តជាមួយនិទស្សន្តធម្មជាតិ។

ប្រសិនបើ r(x) ជាកន្សោមសមហេតុផល នោះសមីការ r(x) = 0 ត្រូវបានគេហៅថាសមីការសនិទាន។

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយនៅក្នុងការអនុវត្តវាកាន់តែងាយស្រួលប្រើការបកស្រាយដ៏ទូលំទូលាយនៃពាក្យ "សមីការសមហេតុផល"៖ នេះគឺជាសមីការនៃទម្រង់ h(x) = q(x) ដែល h(x) និង q(x) គឺ កន្សោមសមហេតុផល។

រហូតមកដល់ពេលនេះ យើងមិនអាចដោះស្រាយសមីការសមហេតុសមផលណាមួយបានឡើយ ប៉ុន្តែមានតែមួយប៉ុណ្ណោះ ដែលជាលទ្ធផលនៃការផ្លាស់ប្តូរ និងហេតុផលផ្សេងៗ ត្រូវបានកាត់បន្ថយមកត្រឹម សមីការលីនេអ៊ែរ. ឥឡូវនេះលទ្ធភាពរបស់យើងគឺធំជាងនេះ៖ យើងនឹងអាចដោះស្រាយសមីការសនិទានកម្ម ដែលកាត់បន្ថយមិនត្រឹមតែជាលីនេអ៊ែរប៉ុណ្ណោះទេ
mu, ប៉ុន្តែក៏សម្រាប់សមីការការ៉េ។

រំលឹកពីរបៀបដែលយើងដោះស្រាយសមីការសនិទានមុននេះ ហើយព្យាយាមបង្កើតក្បួនដោះស្រាយដំណោះស្រាយ។

ឧទាហរណ៍ ១ដោះស្រាយសមីការ

ការសម្រេចចិត្ត។ យើងសរសេរសមីការឡើងវិញក្នុងទម្រង់

ក្នុងករណីនេះដូចធម្មតា យើងប្រើការពិតដែលថាសមភាព A \u003d B និង A - B \u003d 0 បង្ហាញពីទំនាក់ទំនងដូចគ្នារវាង A និង B ។ វាអនុញ្ញាតឱ្យយើងផ្ទេរពាក្យទៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការជាមួយ សញ្ញាផ្ទុយ។

ចូរយើងអនុវត្តការបំប្លែងផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ។ យើងមាន

រំលឹកឡើងវិញនូវលក្ខខណ្ឌសមភាព ប្រភាគសូន្យ៖ ប្រសិនបើ ហើយប្រសិនបើទំនាក់ទំនងពីរត្រូវបានពេញចិត្តក្នុងពេលដំណាលគ្នា៖

1) ភាគយកនៃប្រភាគគឺសូន្យ (a = 0); 2) ភាគបែងនៃប្រភាគគឺខុសពីសូន្យ)។
សមីការទៅសូន្យ ភាគយកនៃប្រភាគនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ (1) យើងទទួលបាន

វានៅសល់ដើម្បីពិនិត្យមើលការបំពេញលក្ខខណ្ឌទីពីរដែលបានរៀបរាប់ខាងលើ។ សមាមាត្រមានន័យថាសម្រាប់សមីការ (1) នោះ។ តម្លៃ x 1 = 2 និង x 2 = 0.6 បំពេញទំនាក់ទំនងដែលបានចង្អុលបង្ហាញហើយដូច្នេះបម្រើជាឫសគល់នៃសមីការ (1) ហើយនៅពេលជាមួយគ្នាឫសនៃសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

1) ចូរយើងបំប្លែងសមីការទៅជាទម្រង់

2) ចូរយើងអនុវត្តការបំប្លែងផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការនេះ៖

(ផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាក្នុងពេលដំណាលគ្នានៅក្នុងភាគយកនិង
ប្រភាគ) ។
ដូច្នេះ សមីការដែលបានផ្តល់ឲ្យយកទម្រង់

3) ស្រាយសមីការ x 2 − 6x + 8 = 0. រក

4) សម្រាប់តម្លៃដែលបានរកឃើញ សូមពិនិត្យមើលលក្ខខណ្ឌ . លេខ 4 បំពេញលក្ខខណ្ឌនេះ ប៉ុន្តែលេខ 2 មិនពេញចិត្ត។ ដូច្នេះ 4 គឺជាឫសគល់នៃសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យ ហើយ 2 គឺជាឫសខាងក្រៅ។
ចម្លើយ៖ ៤.

2. ដំណោះស្រាយនៃសមីការសនិទានភាពដោយការណែនាំអថេរថ្មីមួយ

វិធីសាស្រ្តនៃការណែនាំអថេរថ្មីគឺស៊ាំនឹងអ្នក យើងបានប្រើវាច្រើនជាងម្តង។ ចូរយើងបង្ហាញដោយឧទាហរណ៍អំពីរបៀបដែលវាត្រូវបានប្រើក្នុងការដោះស្រាយសមីការសនិទាន។

ឧទាហរណ៍ ៣ដោះស្រាយសមីការ x 4 + x 2 − 20 = 0 ។

ការសម្រេចចិត្ត។ យើងណែនាំអថេរថ្មី y \u003d x 2 ។ ចាប់តាំងពី x 4 \u003d (x 2) 2 \u003d y 2 បន្ទាប់មកសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញក្នុងទម្រង់

y 2 + y − 20 = 0 ។

នេះគឺជាសមីការ quadratic, ឫសគល់នៃការដែលយើងនឹងរកឃើញដោយប្រើស្គាល់ រូបមន្ត; យើងទទួលបាន y 1 = 4, y 2 = − 5 ។
ប៉ុន្តែ y \u003d x 2 ដែលមានន័យថាបញ្ហាត្រូវបានកាត់បន្ថយដើម្បីដោះស្រាយសមីការពីរ៖
x2=4; x 2 \u003d -5 ។

ពីសមីការទីមួយ យើងឃើញថាសមីការទីពីរមិនមានឫសគល់ទេ។
ចម្លើយ៖ ។
សមីការនៃទម្រង់ ax 4 + bx 2 + c \u003d 0 ត្រូវបានគេហៅថាសមីការ biquadratic ("bi" - two, i.e. ដូចដែលវាគឺ សមីការ "ពីរដងការ៉េ")។ សមីការដែលទើបតែបានដោះស្រាយគឺពិតជា biquadratic ។ សមីការ biquadratic ណាមួយត្រូវបានដោះស្រាយតាមរបៀបដូចគ្នាទៅនឹងសមីការពីឧទាហរណ៍ទី 3៖ អថេរថ្មី y \u003d x 2 ត្រូវបានណែនាំ សមីការការ៉េជាលទ្ធផលត្រូវបានដោះស្រាយដោយគោរពទៅអថេរ y ហើយបន្ទាប់មកត្រឡប់ទៅអថេរ x ។

ឧទាហរណ៍ 4ដោះស្រាយសមីការ

ការសម្រេចចិត្ត។ ចំណាំថាកន្សោមដូចគ្នា x 2 + 3x កើតឡើងពីរដងនៅទីនេះ។ ដូច្នេះហើយ វាសមហេតុផលក្នុងការណែនាំអថេរថ្មី y = x 2 + Zx ។ នេះនឹងអនុញ្ញាតឱ្យយើងសរសេរសមីការឡើងវិញក្នុងទម្រង់សាមញ្ញ និងរីករាយជាងនេះ (ដែលតាមពិត គឺជាគោលបំណងនៃការណែនាំថ្មីមួយ។ អថេរ- ហើយការថតគឺងាយស្រួលជាង
ហើយរចនាសម្ព័ន្ធនៃសមីការកាន់តែច្បាស់)៖

ហើយឥឡូវនេះយើងនឹងប្រើក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការសនិទាន។

1) ចូរផ្លាស់ទីលក្ខខណ្ឌទាំងអស់នៃសមីការទៅជាផ្នែកមួយ៖

= 0
2) ចូរយើងបំប្លែងផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ

ដូច្នេះ យើងបានបំប្លែងសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅជាទម្រង់

3) ពីសមីការ - 7y 2 + 29y -4 = 0 យើងរកឃើញ (យើងបានដោះស្រាយសមីការការ៉េជាច្រើនរួចហើយ ដូច្នេះវាប្រហែលជាមិនមានតម្លៃដែលតែងតែផ្តល់ការគណនាលម្អិតនៅក្នុងសៀវភៅសិក្សា)។

4) ចូរយើងពិនិត្យមើលឫសដែលបានរកឃើញដោយប្រើលក្ខខណ្ឌ 5 (y - 3) (y + 1) ។ ឫសទាំងពីរបំពេញលក្ខខណ្ឌនេះ។
ដូច្នេះ សមីការការ៉េសម្រាប់អថេរ y ត្រូវបានដោះស្រាយ៖
ចាប់តាំងពី y \u003d x 2 + Zx និង y ដូចដែលយើងបានបង្កើត យកតម្លៃពីរ៖ 4 និង, - យើងនៅតែត្រូវដោះស្រាយសមីការពីរ៖ x 2 + Zx \u003d 4; x 2 + Zx \u003d ។ ឫសនៃសមីការទីមួយគឺលេខ 1 និង - 4 ឫសនៃសមីការទីពីរគឺជាលេខ

នៅក្នុងឧទាហរណ៍ដែលបានពិចារណា វិធីសាស្រ្តនៃការណែនាំអថេរថ្មីមួយ គឺដូចដែលគណិតវិទូចង់និយាយថា គ្រប់គ្រាន់ទៅនឹងស្ថានភាព ពោលគឺវាត្រូវគ្នាយ៉ាងល្អទៅនឹងវា។ ហេតុអ្វី? បាទ/ចាស ដោយសារកន្សោមដូចគ្នាត្រូវបានជួបប្រទះយ៉ាងច្បាស់នៅក្នុងសមីការជាច្រើនដង ហើយវាសមហេតុផលក្នុងការកំណត់កន្សោមនេះជាមួយនឹងអក្សរថ្មី។ ប៉ុន្តែនេះមិនមែនតែងតែជាករណីនោះទេ ជួនកាលអថេរថ្មី "លេចឡើង" តែនៅក្នុងដំណើរការនៃការផ្លាស់ប្តូរប៉ុណ្ណោះ។ នេះគឺជាអ្វីដែលនឹងកើតឡើងនៅក្នុងឧទាហរណ៍បន្ទាប់។

ឧទាហរណ៍ ៥ដោះស្រាយសមីការ
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24 ។
ការសម្រេចចិត្ត។ យើងមាន
x (x − 3) \u003d x 2 - 3x;
(x − 1) (x − 2) \u003d x 2 -3x + 2 ។

ដូច្នេះសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជា

(x 2 − 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24

ឥឡូវនេះអថេរថ្មីមួយបាន "លេចឡើង": y = x 2 - Zx ។

ដោយមានជំនួយរបស់វា សមីការអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញក្នុងទម្រង់ y (y + 2) \u003d 24 ហើយបន្ទាប់មក y 2 + 2y - 24 \u003d 0 ។ ឫសគល់នៃសមីការនេះគឺលេខ 4 និង -6 ។

ត្រលប់ទៅអថេរ x ដើម យើងទទួលបានសមីការពីរ x 2 - Zx \u003d 4 និង x 2 - Zx \u003d - 6 ។ ពីសមីការដំបូងយើងរកឃើញ x 1 \u003d 4, x 2 \u003d - 1; សមីការទីពីរមិនមានឫសគល់ទេ។

ចម្លើយ៖ ៤, – ១។

ខ្លឹមសារមេរៀន សង្ខេបមេរៀនគាំទ្រការបង្ហាញមេរៀនស៊ុម វិធីសាស្រ្តបង្កើនល្បឿន បច្ចេកវិទ្យាអន្តរកម្ម អនុវត្ត កិច្ចការ និងលំហាត់សិក្ខាសាលា វគ្គបណ្តុះបណ្តាល សំណុំរឿង សំណួរ ពិភាក្សាកិច្ចការផ្ទះ សំណួរ វោហាសាស្ត្រ ពីសិស្ស រូបភាព អូឌីយ៉ូ ឈុតវីដេអូ និងពហុព័ត៌មានរូបថត ក្រាហ្វិករូបភាព តារាង គ្រោងការលេងសើច រឿងខ្លីៗ រឿងកំប្លែង រឿងប្រស្នា ការនិយាយ ល្បែងផ្គុំពាក្យឆ្លង សម្រង់ កម្មវិធីបន្ថែម អរូបីបន្ទះសៀគ្វីអត្ថបទសម្រាប់សន្លឹកបន្លំដែលចង់ដឹងចង់ឃើញ សៀវភៅសិក្សាមូលដ្ឋាន និងសទ្ទានុក្រមបន្ថែមនៃពាក្យផ្សេងទៀត។ ការកែលម្អសៀវភៅសិក្សា និងមេរៀនកែកំហុសក្នុងសៀវភៅសិក្សាការធ្វើបច្ចុប្បន្នភាពបំណែកនៅក្នុងសៀវភៅសិក្សា ធាតុនៃការបង្កើតថ្មីនៅក្នុងមេរៀន ជំនួសចំណេះដឹងដែលលែងប្រើជាមួយរបស់ថ្មី សម្រាប់តែគ្រូបង្រៀនប៉ុណ្ណោះ។ មេរៀនល្អឥតខ្ចោះផែនការប្រតិទិនសម្រាប់ឆ្នាំ អនុសាសន៍វិធីសាស្រ្តនៃកម្មវិធីពិភាក្សា មេរៀនរួមបញ្ចូលគ្នា

ចូរយើងស្គាល់សមីការសមហេតុសមផល និងប្រភាគ ផ្តល់និយមន័យរបស់វា ផ្តល់ឧទាហរណ៍ និងវិភាគប្រភេទបញ្ហាទូទៅបំផុតផងដែរ។

Yandex.RTB R-A-339285-1

សមីការសនិទានភាព៖ និយមន័យ និងឧទាហរណ៍

ការស្គាល់គ្នាជាមួយនឹងការបញ្ចេញមតិសមហេតុផលចាប់ផ្តើមនៅថ្នាក់ទី 8 នៃសាលា។ នៅពេលនេះ នៅក្នុងមេរៀនពិជគណិត សិស្សកំពុងចាប់ផ្តើមបំពេញភារកិច្ចជាមួយនឹងសមីការដែលមានកន្សោមសមហេតុផលនៅក្នុងកំណត់ចំណាំរបស់ពួកគេ។ ចូរធ្វើឱ្យការចងចាំរបស់យើងឡើងវិញអំពីអ្វីដែលវាគឺជា។

និយមន័យ ១

សមីការសមហេតុផលគឺជាសមីការដែលភាគីទាំងពីរមានកន្សោមសមហេតុផល។

នៅក្នុងសៀវភៅណែនាំផ្សេងៗ អ្នកអាចស្វែងរកពាក្យផ្សេងទៀត។

និយមន័យ ២

សមីការសមហេតុផល- នេះគឺជាសមីការកំណត់ត្រានៃផ្នែកខាងឆ្វេងដែលមានកន្សោមសមហេតុសមផលហើយខាងស្តាំមានសូន្យ។

និយមន័យដែលយើងបានផ្តល់សម្រាប់សមីការសនិទានភាពគឺសមមូល ព្រោះវាមានន័យដូចគ្នា។ ភាពត្រឹមត្រូវនៃពាក្យរបស់យើងត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយការពិតដែលថាសម្រាប់ការបញ្ចេញមតិសមហេតុផលណាមួយ។ ទំនិង សំណួរសមីការ P=Qនិង P − Q = 0នឹងជាកន្សោមប្រហាក់ប្រហែល។

ឥឡូវនេះសូមងាកទៅរកឧទាហរណ៍។

ឧទាហរណ៍ ១

សមីការសនិទានភាព៖

x = 1 , 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x − 1 = 2 + 2 7 x − a ( x + 2 ) , 1 2 + 3 4 − 12 x − 1 = 3 ។

សមីការសនិទានភាព ដូចជាសមីការនៃប្រភេទផ្សេងទៀត អាចមានចំនួនអថេរណាមួយពីលេខ 1 ដល់ច្រើន។ ដើម្បីចាប់ផ្តើម យើងនឹងពិនិត្យមើលឧទាហរណ៍សាមញ្ញ ដែលសមីការនឹងមានអថេរតែមួយ។ ហើយបន្ទាប់មកយើងចាប់ផ្តើមធ្វើឱ្យកិច្ចការស្មុគស្មាញបន្តិចម្តង ៗ ។

សមីការសនិទានត្រូវបានបែងចែកជាពីរក្រុមធំគឺចំនួនគត់និងប្រភាគ។ តោះមើលសមីការមួយណានឹងអនុវត្តចំពោះក្រុមនីមួយៗ។

និយមន័យ ៣

សមីការសនិទានភាពនឹងជាចំនួនគត់ ប្រសិនបើកំណត់ត្រានៃផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំរបស់វាមានកន្សោមសនិទានទាំងមូល។

និយមន័យ ៤

សមីការសនិទានភាពនឹងជាប្រភាគ ប្រសិនបើផ្នែកមួយ ឬទាំងពីររបស់វាមានប្រភាគ។

សមីការប្រភាគប្រភាគ ចាំបាច់មានការបែងចែកដោយអថេរ ឬអថេរមានវត្តមាននៅក្នុងភាគបែង។ មិនមានការបែងចែកបែបនេះក្នុងការសរសេរសមីការចំនួនគត់ទេ។

ឧទាហរណ៍ ២

3 x + 2 = 0និង (x + y) (3 x 2 − 1) + x = − y + 0 , 5គឺជាសមីការសមហេតុផលទាំងមូល។ នៅទីនេះផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការត្រូវបានតំណាងដោយកន្សោមចំនួនគត់។

1 x − 1 = x 3 និង x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5គឺជាសមីការប្រភាគប្រភាគ។

សមីការសនិទានភាពទាំងមូលរួមមានសមីការលីនេអ៊ែរ និងចតុកោណ។

ការដោះស្រាយសមីការទាំងមូល

ដំណោះស្រាយនៃសមីការបែបនេះជាធម្មតាកាត់បន្ថយការបំប្លែងរបស់ពួកគេទៅជាសមីការពិជគណិតសមមូល។ នេះអាចសម្រេចបានដោយអនុវត្តការបំប្លែងសមមូលនៃសមីការដោយអនុលោមតាមក្បួនដោះស្រាយខាងក្រោម៖

ដំបូងយើងទទួលបានសូន្យនៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ សម្រាប់ការនេះ វាចាំបាច់ក្នុងការផ្ទេរកន្សោមដែលនៅខាងស្តាំនៃសមីការទៅផ្នែកខាងឆ្វេងរបស់វា ហើយផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា។
បន្ទាប់មកយើងបំប្លែងកន្សោមនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការទៅជាពហុនាមទម្រង់ស្តង់ដារ។

យើងត្រូវតែទទួលបានសមីការពិជគណិត។ សមីការនេះនឹងស្មើនឹងសមីការដើម។ ករណីងាយស្រួលអនុញ្ញាតឱ្យយើងដោះស្រាយបញ្ហាដោយកាត់បន្ថយសមីការទាំងមូលទៅជាលីនេអ៊ែរឬចតុកោណ។ ក្នុងករណីទូទៅ យើងដោះស្រាយសមីការពិជគណិតនៃសញ្ញាបត្រ ន.

ឧទាហរណ៍ ៣

វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការទាំងមូល 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.

ការសម្រេចចិត្ត

ចូរយើងបំប្លែងកន្សោមដើម ដើម្បីទទួលបានសមីការពិជគណិតដែលស្មើនឹងវា។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងនឹងផ្ទេរកន្សោមដែលមាននៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការទៅខាងឆ្វេងហើយប្តូរសញ្ញាទៅផ្ទុយ។ ជាលទ្ធផលយើងទទួលបាន៖ 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.

ឥឡូវនេះយើងនឹងបំប្លែងកន្សោមនៅផ្នែកខាងឆ្វេងទៅជាពហុនាមនៃទម្រង់ស្តង់ដារ ហើយអនុវត្តសកម្មភាពចាំបាច់ជាមួយពហុនាមនេះ៖

3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = (3 x + 3) (x − 3) − 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 − 9 x + 3 x − 9 − 2 x 2 + x + 3 = x 2 − 5 x − 6

យើងបានគ្រប់គ្រងដើម្បីកាត់បន្ថយដំណោះស្រាយនៃសមីការដើមទៅនឹងដំណោះស្រាយនៃសមីការបួនជ្រុងនៃទម្រង់ x 2 − 5 x − 6 = 0. ការរើសអើងនៃសមីការនេះគឺវិជ្ជមាន៖ ឃ = (− 5) 2 − 4 1 (− 6) = 25 + 24 = 49 ។នេះមានន័យថានឹងមានឫសពិតពីរ។ ចូរយើងស្វែងរកពួកវាដោយប្រើរូបមន្តឫសនៃសមីការការ៉េ៖

x \u003d - - 5 ± 49 2 1,

x 1 \u003d 5 + 7 2 ឬ x 2 \u003d 5 - 7 2,

x 1 = 6 ឬ x 2 = − 1

ចូរយើងពិនិត្យមើលភាពត្រឹមត្រូវនៃឫសនៃសមីការដែលយើងបានរកឃើញនៅក្នុងដំណើរនៃដំណោះស្រាយ។ ចំពោះលេខនេះដែលយើងបានទទួល យើងជំនួសសមីការដើម៖ 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3និង 3 (− 1 + 1) (− 1 − 3) = (− 1) (2 (− 1) − 1) − 3. ក្នុងករណីដំបូង 63 = 63 , នៅក្នុងទីពីរ 0 = 0 . ឫស x=6និង x = − ១គឺពិតជាឫសគល់នៃសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងលក្ខខណ្ឌឧទាហរណ៍។

ចម្លើយ៖ 6 , − 1 .

សូមក្រឡេកមើលថាតើ "អំណាចនៃសមីការទាំងមូល" មានន័យដូចម្តេច។ ជាញឹកញាប់យើងនឹងជួបប្រទះពាក្យនេះនៅក្នុងករណីទាំងនោះ នៅពេលដែលយើងត្រូវការតំណាងឱ្យសមីការទាំងមូលក្នុងទម្រង់ជាពិជគណិតមួយ។ ចូរយើងកំណត់គំនិត។

និយមន័យ ៥

កម្រិតនៃសមីការចំនួនគត់គឺជាកម្រិតនៃសមីការពិជគណិតដែលស្មើនឹងសមីការទាំងមូលដើម។

ប្រសិនបើអ្នកក្រឡេកមើលសមីការពីឧទាហរណ៍ខាងលើ អ្នកអាចបង្កើតបាន៖ កម្រិតនៃសមីការទាំងមូលនេះគឺជាទីពីរ។

ប្រសិនបើវគ្គសិក្សារបស់យើងត្រូវបានកំណត់ចំពោះការដោះស្រាយសមីការនៃសញ្ញាបត្រទីពីរនោះ ការពិចារណាលើប្រធានបទអាចត្រូវបានបញ្ចប់នៅទីនេះ។ ប៉ុន្តែអ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺមិនសាមញ្ញទេ។ ការដោះស្រាយសមីការនៃសញ្ញាបត្រទី 3 គឺពោរពេញដោយការលំបាក។ ហើយសម្រាប់សមីការខាងលើដឺក្រេទីបួនគឺមិនមានរូបមន្តទូទៅសម្រាប់ឫសទាល់តែសោះ។ ក្នុងន័យនេះ ដំណោះស្រាយនៃសមីការទាំងមូលនៃដឺក្រេទី 3 ទី 4 និងដឺក្រេផ្សេងទៀតតម្រូវឱ្យយើងប្រើបច្ចេកទេសនិងវិធីសាស្រ្តមួយចំនួនទៀត។

វិធីសាស្រ្តដែលប្រើជាទូទៅបំផុតក្នុងការដោះស្រាយសមីការសនិទានកម្មទាំងមូលគឺផ្អែកលើវិធីសាស្ត្រកត្តាកត្តា។ ក្បួនដោះស្រាយនៃសកម្មភាពក្នុងករណីនេះមានដូចខាងក្រោម:

យើងផ្ទេរកន្សោមពីផ្នែកខាងស្តាំទៅខាងឆ្វេងដូច្នេះសូន្យនៅតែនៅខាងស្តាំនៃកំណត់ត្រា។
យើងតំណាងឱ្យកន្សោមនៅផ្នែកខាងឆ្វេងជាផលិតផលនៃកត្តា ហើយបន្ទាប់មកយើងបន្តទៅសំណុំនៃសមីការសាមញ្ញមួយចំនួន។

ឧទាហរណ៍ 4

រកដំណោះស្រាយនៃសមីការ (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) = 2 x (x 2 − 10 x + 13) ។

ការសម្រេចចិត្ត

យើងផ្ទេរកន្សោមពីផ្នែកខាងស្តាំនៃកំណត់ត្រាទៅខាងឆ្វេងដោយមានសញ្ញាផ្ទុយ៖ (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) − 2 x (x 2 − 10 x + 13) = 0. ការបំប្លែងផ្នែកខាងឆ្វេងទៅជាពហុនាមនៃទម្រង់ស្ដង់ដារគឺមិនអាចអនុវត្តបានទេ ដោយសារតែវានឹងផ្តល់ឱ្យយើងនូវសមីការពិជគណិតនៃសញ្ញាបត្រទីបួន៖ x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. ភាពងាយស្រួលនៃការផ្លាស់ប្តូរមិនបង្ហាញពីភាពលំបាកទាំងអស់ជាមួយនឹងការដោះស្រាយសមីការបែបនេះទេ។

វាកាន់តែងាយស្រួលទៅទៀត៖ យើងដកកត្តារួមចេញ x 2 − 10 x + 13 ។ដូច្នេះយើងមកដល់សមីការនៃទម្រង់ (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. ឥឡូវនេះយើងជំនួសសមីការលទ្ធផលជាមួយនឹងសំណុំនៃសមីការការ៉េពីរ x 2 − 10 x + 13 = 0និង x 2 − 2 x − 1 = 0ហើយស្វែងរកឫសគល់របស់ពួកគេតាមរយៈអ្នករើសអើង៖ 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 ។

ចម្លើយ៖ 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 ។

ស្រដៀងគ្នានេះដែរ យើងអាចប្រើវិធីសាស្រ្តនៃការណែនាំអថេរថ្មីមួយ។ វិធីសាស្រ្តនេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងឆ្លងទៅសមីការសមមូលដែលមានអំណាចទាបជាងសមីការទាំងមូលដើម។

ឧទាហរណ៍ ៥

តើសមីការមានឫសគល់ទេ? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = −2 (x 2 + 3 x − 4)?

ការសម្រេចចិត្ត

ប្រសិនបើឥឡូវនេះយើងព្យាយាមកាត់បន្ថយសមីការសនិទានទាំងមូលទៅជាពិជគណិតមួយ យើងនឹងទទួលបានសមីការដឺក្រេ 4 ដែលមិនមានឫសសនិទាន។ ដូច្នេះ វានឹងកាន់តែងាយស្រួលសម្រាប់យើងក្នុងការទៅវិធីផ្សេងទៀត៖ ណែនាំអថេរ y ថ្មីដែលនឹងជំនួសកន្សោមនៅក្នុងសមីការ។ x 2 + 3 x.

ឥឡូវនេះយើងនឹងធ្វើការជាមួយសមីការទាំងមូល (y + 1) 2 + 10 = −2 (y − 4). យើងផ្ទេរផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការទៅផ្នែកខាងឆ្វេងដែលមានសញ្ញាផ្ទុយ ហើយអនុវត្តការបំប្លែងចាំបាច់។ យើងទទួលបាន: y 2 + 4 y + 3 = 0. ចូរយើងស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការការ៉េ៖ y = − ១និង y = − ៣.

ឥឡូវនេះសូមធ្វើការជំនួសបញ្ច្រាស។ យើងទទួលបានសមីការពីរ x 2 + 3 x = −1និង x 2 + 3 x = − 3 ។ចូរយើងសរសេរឡើងវិញជា x 2 + 3 x + 1 = 0 និង x 2 + 3 x + 3 = 0. យើងប្រើរូបមន្តនៃឫសនៃសមីការការ៉េ ដើម្បីស្វែងរកឫសនៃសមីការទីមួយដែលទទួលបាន៖ - 3 ± 5 2 ។ ការរើសអើងនៃសមីការទីពីរគឺអវិជ្ជមាន។ នេះមានន័យថាសមីការទីពីរមិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដទេ។

ចម្លើយ៖- ៣ ± ៥ ២

សមីការចំនួនគត់នៃដឺក្រេខ្ពស់កើតមានក្នុងបញ្ហាជាញឹកញាប់។ មិនចាំបាច់ខ្លាចពួកគេទេ។ អ្នកត្រូវត្រៀមខ្លួនដើម្បីអនុវត្តវិធីសាស្រ្តមិនស្តង់ដារក្នុងការដោះស្រាយពួកវា រួមទាំងការបំប្លែងសិប្បនិម្មិតមួយចំនួនផងដែរ។

ដំណោះស្រាយនៃសមីការប្រភាគប្រភាគ

យើងចាប់ផ្តើមការពិចារណារបស់យើងអំពីប្រធានបទរងនេះជាមួយនឹងក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការប្រភាគប្រភាគនៃទម្រង់ p (x) q (x) = 0 ដែលជាកន្លែងដែល p(x)និង q(x)គឺជាកន្សោមសនិទានភាពចំនួនគត់។ ដំណោះស្រាយនៃសមីការប្រភាគប្រភាគផ្សេងទៀតតែងតែអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាដំណោះស្រាយនៃសមីការនៃទម្រង់ដែលបានចង្អុលបង្ហាញ។

វិធីសាស្រ្តដែលប្រើជាទូទៅបំផុតសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការ p (x) q (x) = 0 គឺផ្អែកលើសេចក្តីថ្លែងការណ៍ខាងក្រោម៖ ប្រភាគលេខ អ្នក vកន្លែងណា vគឺជាលេខដែលខុសពីសូន្យ ស្មើសូន្យតែក្នុងករណីដែលភាគនៃប្រភាគស្មើនឹងសូន្យ។ តាមតក្កវិជ្ជានៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ខាងលើ យើងអាចអះអាងបានថា ដំណោះស្រាយនៃសមីការ p(x) q(x)=0 អាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការបំពេញលក្ខខណ្ឌពីរ៖ p(x)=0និង q(x) ≠ 0. នៅលើនេះ ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការប្រភាគប្រភាគនៃទម្រង់ p (x) q (x) = 0 ត្រូវបានបង្កើតឡើង៖

យើងរកឃើញដំណោះស្រាយនៃសមីការសមហេតុផលទាំងមូល p(x)=0;
យើងពិនិត្យមើលថាតើលក្ខខណ្ឌគឺពេញចិត្តចំពោះឫសដែលបានរកឃើញក្នុងអំឡុងពេលដំណោះស្រាយ q(x) ≠ 0.

ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌនេះត្រូវបានជួប នោះឫសដែលបានរកឃើញ។ បើមិនដូច្នោះទេ នោះឫសមិនមែនជាដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហានោះទេ។

ឧទាហរណ៍ ៦

រកឫសនៃសមីការ 3 · x − 2 5 · x 2 − 2 = 0 ។

ការសម្រេចចិត្ត

យើងកំពុងដោះស្រាយសមីការប្រភាគប្រភាគនៃទម្រង់ p (x) q (x) = 0 ដែលក្នុងនោះ p (x) = 3 · x − 2 , q (x) = 5 · x 2 − 2 = 0 ។ ចូរចាប់ផ្តើមដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរ 3 x − 2 = 0. ឫសគល់នៃសមីការនេះនឹងជា x = 2 ៣.

សូមពិនិត្យមើលឫសគល់ដែលបានរកឃើញថាតើវាបំពេញលក្ខខណ្ឌដែរឬទេ 5 x 2 − 2 ≠ 0. ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ ជំនួសតម្លៃលេខទៅក្នុងកន្សោម។ យើងទទួលបាន៖ 5 2 3 2 - 2 \u003d 5 4 9 - 2 \u003d 20 9 - 2 \u003d 2 9 ≠ 0 ។

លក្ខខណ្ឌត្រូវបានបំពេញ។ វាមានន័យថា x = 2 ៣គឺជាឫសគល់នៃសមីការដើម។

ចម្លើយ៖ 2 3 .

មានជម្រើសមួយផ្សេងទៀតសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការប្រភាគប្រភាគ p (x) q (x) = 0 ។ សូមចាំថាសមីការនេះគឺស្មើនឹងសមីការទាំងមូល p(x)=0នៅលើជួរនៃតម្លៃដែលអាចទទួលយកបាននៃអថេរ x នៃសមីការដើម។ វាអនុញ្ញាតឱ្យយើងប្រើក្បួនដោះស្រាយខាងក្រោមក្នុងការដោះស្រាយសមីការ p(x) q(x) = 0:

ដោះស្រាយសមីការ p(x)=0;
ស្វែងរកជួរតម្លៃដែលអាចទទួលយកបានសម្រាប់អថេរ x ;
យើងយកឫសដែលស្ថិតនៅក្នុងតំបន់នៃតម្លៃដែលអាចទទួលយកបាននៃអថេរ x ជាឫសដែលចង់បាននៃសមីការប្រភាគប្រភាគដើម។

ឧទាហរណ៍ ៧

ដោះស្រាយសមីការ x 2 − 2 x − 11 x 2 + 3 x = 0 ។

ការសម្រេចចិត្ត

ជាដំបូង ចូរយើងដោះស្រាយសមីការការ៉េ x 2 − 2 x − 11 = 0. ដើម្បីគណនាឫសរបស់វា យើងប្រើរូបមន្តឫសសម្រាប់មេគុណទីពីរ។ យើងទទួលបាន ឃ 1 = (− 1) 2 − 1 (− 11) = 12, និង x = 1 ± 2 3 ។

ឥឡូវនេះយើងអាចរកឃើញ ODV នៃ x សម្រាប់សមីការដើម។ ទាំងនេះគឺជាលេខទាំងអស់សម្រាប់ x 2 + 3 x ≠ 0. វាដូចគ្នានឹង x (x + 3) ≠ 0, ពេលណា x ≠ 0 , x ≠ − 3 ។

ឥឡូវនេះសូមពិនិត្យមើលថាតើឫស x = 1 ± 2 3 ដែលទទួលបាននៅដំណាក់កាលដំបូងនៃដំណោះស្រាយគឺស្ថិតនៅក្នុងជួរនៃតម្លៃដែលអាចទទួលយកបាននៃអថេរ x ។ យើងឃើញអ្វីដែលចូលមក។ នេះមានន័យថាសមីការប្រភាគប្រភាគដើមមានឫសពីរ x = 1 ± 2 3 ។

ចម្លើយ៖ x = 1 ± 2 ៣

វិធីសាស្រ្តដំណោះស្រាយទីពីរដែលបានពិពណ៌នាគឺសាមញ្ញជាងវិធីទីមួយក្នុងករណីដែលតំបន់នៃតម្លៃដែលអាចទទួលយកបាននៃអថេរ x ត្រូវបានរកឃើញយ៉ាងងាយស្រួល ហើយឫសនៃសមីការ។ p(x)=0មិនសមហេតុផល។ ឧទាហរណ៍ ៧ ± ៤ ២៦ ៩។ ឫសអាចមានលក្ខណៈសមហេតុផល ប៉ុន្តែមានភាគភាគធំ ឬភាគបែង។ ឧទាហរណ៍, 127 1101 និង − 31 59 . នេះជួយសន្សំសំចៃពេលវេលាសម្រាប់ការត្រួតពិនិត្យស្ថានភាព។ q(x) ≠ 0៖ វាងាយស្រួលជាងក្នុងការដកឫសដែលមិនសមស្រប យោងទៅតាម ODZ ។

នៅពេលដែលឫសនៃសមីការ p(x)=0ជាចំនួនគត់ វាជាការប្រសើរក្នុងការប្រើដំបូងនៃក្បួនដោះស្រាយដែលបានពិពណ៌នាសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការនៃទម្រង់ p (x) q (x) = 0 ។ ការស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការទាំងមូលកាន់តែលឿន p(x)=0ហើយបន្ទាប់មកពិនិត្យមើលថាតើលក្ខខណ្ឌត្រូវបានបំពេញសម្រាប់ពួកគេ។ q(x) ≠ 0និងមិនស្វែងរក ODZ ហើយបន្ទាប់មកដោះស្រាយសមីការ p(x)=0នៅលើ ODZ នេះ។ នេះគឺដោយសារតែការពិតដែលថានៅក្នុងករណីបែបនេះជាធម្មតាវាងាយស្រួលក្នុងការធ្វើការត្រួតពិនិត្យជាងការស្វែងរក ODZ ។

ឧទាហរណ៍ ៨

រកឫសសមីការ (2 x − 1) (x − 6) (x 2 − 5 x + 14) (x + 1) x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112 = 0 ។

ការសម្រេចចិត្ត

យើងចាប់ផ្តើមដោយពិចារណាសមីការទាំងមូល (2 x − 1) (x − 6) (x 2 − 5 x + 14) (x + 1) = 0និងការស្វែងរកឫសរបស់វា។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃការដោះស្រាយសមីការតាមរយៈការធ្វើកត្តា។ វាប្រែថាសមីការដើមគឺស្មើនឹងសំណុំនៃសមីការចំនួនបួន 2 x − 1 = 0, x − 6 = 0, x 2 − 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0 ដែលបីជាលីនេអ៊ែរ និង មួយគឺការ៉េ។ យើងរកឃើញឫស៖ ពីសមីការទីមួយ x = 1 ២ពីទីពីរ x=6ពីទីបី - x \u003d 7, x \u003d - 2, ពីទីបួន - x = − ១.

ចូរយើងពិនិត្យមើលឫសដែលទទួលបាន។ កំណត់ OHS ក្នុង ករណីនេះវាពិបាកសម្រាប់យើង ព្រោះសម្រាប់រឿងនេះ យើងនឹងត្រូវដោះស្រាយសមីការពិជគណិតនៃសញ្ញាបត្រទីប្រាំ។ វានឹងកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការត្រួតពិនិត្យលក្ខខណ្ឌយោងទៅតាមភាគបែងនៃប្រភាគ ដែលស្ថិតនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ មិនគួរបាត់ឡើយ។

នៅក្នុងវេន ជំនួសឫសជំនួសអថេរ x ក្នុងកន្សោម x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112ហើយគណនាតម្លៃរបស់វា៖

1 2 5 − 15 1 2 4 + 57 1 2 3 − 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 − 15 16 + 57 8 − 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ;

6 5 − 15 6 4 + 57 6 3 − 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 − 15 7 4 + 57 7 3 − 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 (− 2) 4 + 57 (− 2) 3 − 13 (− 2) 2 + 26 (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 (− 1) 4 + 57 (− 1) 3 − 13 (− 1) 2 + 26 (− 1) + 112 = 0 ។

ការផ្ទៀងផ្ទាត់ដែលបានអនុវត្តអនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្កើតថាឫសនៃសមីការប្រភាគដើមគឺ 1 2 , 6 និង − 2 .

ចម្លើយ៖ 1 2 , 6 , - 2

ឧទាហរណ៍ ៩

រកឫសនៃសមីការប្រភាគ 5 x 2 − 7 x − 1 x − 2 x 2 + 5 x − 14 = 0 ។

ការសម្រេចចិត្ត

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងសមីការ (5 x 2 − 7 x − 1) (x − 2) = 0. ចូរយើងស្វែងរកឫសរបស់វា។ វាកាន់តែងាយស្រួលសម្រាប់យើងក្នុងការតំណាងឱ្យសមីការនេះជាការរួមបញ្ចូលគ្នានៃសមីការការ៉េ និងលីនេអ៊ែរ 5 x 2 − 7 x − 1 = 0និង x − 2 = 0.

យើងប្រើរូបមន្តនៃឫសនៃសមីការ quadratic ដើម្បីស្វែងរកឫស។ យើងទទួលបានឫសពីរ x = 7 ± 69 10 ពីសមីការទីមួយ និងពីសមីការទីពីរ x=2.

ការជំនួសតម្លៃនៃឫសចូលទៅក្នុងសមីការដើមដើម្បីពិនិត្យមើលលក្ខខណ្ឌនឹងពិបាកណាស់សម្រាប់យើង។ វានឹងកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការកំណត់ LPV នៃអថេរ x ។ ក្នុងករណីនេះ DPV នៃអថេរ x គឺជាលេខទាំងអស់ លើកលែងតែលក្ខខណ្ឌដែលពេញចិត្ត x 2 + 5 x − 14 = 0. យើងទទួលបាន៖ x ∈ - ∞ , - 7 ∪ - 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ ។

ឥឡូវនេះសូមពិនិត្យមើលថាតើឫសដែលយើងបានរកឃើញជារបស់ជួរនៃតម្លៃដែលអាចទទួលយកបានសម្រាប់អថេរ x ។

ឫស x = 7 ± 69 10 - ជាកម្មសិទ្ធិ ដូច្នេះពួកវាជាឫសគល់នៃសមីការដើម និង x=2- មិនមែនជារបស់ទេ ដូច្នេះវាគឺជាឫសក្រៅ។

ចម្លើយ៖ x = 7 ± 69 10 .

ចូរយើងពិនិត្យមើលករណីដោយឡែកពីគ្នា នៅពេលដែលភាគយកនៃសមីការសមហេតុសមផលប្រភាគនៃទម្រង់ p (x) q (x) = 0 មានលេខ។ ក្នុងករណីបែបនេះ ប្រសិនបើភាគយកមានលេខក្រៅពីសូន្យ នោះសមីការនឹងមិនមានឫសទេ។ ប្រសិនបើលេខនេះស្មើនឹងសូន្យ នោះឫសនៃសមីការនឹងជាលេខណាមួយពី ODZ ។

ឧទាហរណ៍ 10

ដោះស្រាយសមីការប្រភាគប្រភាគ - 3 , 2 x 3 + 27 = 0 ។

ការសម្រេចចិត្ត

សមីការនេះនឹងមិនមានឫសទេ ព្រោះលេខភាគនៃប្រភាគពីផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការមានលេខមិនសូន្យ។ នេះមានន័យថាសម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃ x តម្លៃនៃប្រភាគដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហានឹងមិនស្មើនឹងសូន្យទេ។

ចម្លើយ៖គ្មានឫស។

ឧទាហរណ៍ 11

ដោះស្រាយសមីការ 0 x 4 + 5 x 3 = 0 ។

ការសម្រេចចិត្ត

ដោយសារភាគយកនៃប្រភាគគឺសូន្យ ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនឹងជាតម្លៃណាមួយនៃ x ពីអថេរ ODZ x ។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងកំណត់ ODZ ។ វានឹងរួមបញ្ចូលតម្លៃ x ទាំងអស់សម្រាប់ការដែល x 4 + 5 x 3 ≠ 0. ដំណោះស្រាយសមីការ x 4 + 5 x 3 = 0គឺ 0 និង − 5 ដោយហេតុថាសមីការនេះគឺស្មើនឹងសមីការ x 3 (x + 5) = 0ហើយវាស្មើនឹងសំណុំនៃសមីការពីរ x 3 = 0 និង x + 5 = 0កន្លែងដែលឫសទាំងនេះអាចមើលឃើញ។ យើងឈានដល់ការសន្និដ្ឋានថាជួរដែលចង់បាននៃតម្លៃដែលអាចទទួលយកបានគឺ x ណាមួយ លើកលែងតែ x=0និង x = −5.

វាប្រែថាសមីការសមហេតុសមផលប្រភាគ 0 x 4 + 5 x 3 = 0 មានដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់ ដែលជាលេខណាមួយ លើកលែងតែលេខសូន្យ និង - 5 ។

ចម្លើយ៖ - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

ឥឡូវនេះសូមនិយាយអំពីសមីការប្រភាគប្រភាគនៃទម្រង់បំពាន និងវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយពួកវា។ ពួកគេអាចត្រូវបានសរសេរជា r(x) = s(x)កន្លែងណា r(x)និង s(x)គឺជាកន្សោមសមហេតុផល ហើយយ៉ាងហោចណាស់មួយក្នុងចំណោមពួកវាគឺប្រភាគ។ ដំណោះស្រាយនៃសមីការបែបនេះត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាដំណោះស្រាយនៃសមីការនៃទម្រង់ p (x) q (x) = 0 ។

យើងដឹងរួចហើយថាយើងអាចទទួលបានសមីការសមមូលដោយផ្ទេរកន្សោមពីផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការទៅផ្នែកខាងឆ្វេងដែលមានសញ្ញាផ្ទុយ។ នេះមានន័យថាសមីការ r(x) = s(x)គឺស្មើនឹងសមីការ r (x) − s (x) = 0. យើងក៏បានពិភាក្សារួចហើយអំពីរបៀបបំប្លែងកន្សោមសនិទានទៅជាប្រភាគសនិទាន។ អរគុណចំពោះបញ្ហានេះ យើងអាចបំប្លែងសមីការបានយ៉ាងងាយស្រួល r (x) − s (x) = 0ចូលទៅក្នុងប្រភាគសមហេតុផលដូចគ្នាបេះបិទនៃទម្រង់ p (x) q (x) ។

ដូច្នេះ យើងផ្លាស់ទីពីសមីការប្រភាគប្រភាគដើម r(x) = s(x)ទៅសមីការនៃទម្រង់ p (x) q (x) = 0 ដែលយើងបានរៀនពីរបៀបដោះស្រាយរួចហើយ។

វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថានៅពេលដែលធ្វើឱ្យការផ្លាស់ប្តូរពី r (x) − s (x) = 0ទៅ p (x) q (x) = 0 ហើយបន្ទាប់មកទៅ p(x)=0យើងប្រហែលជាមិនគិតពីការពង្រីកជួរនៃតម្លៃត្រឹមត្រូវនៃអថេរ x ទេ។

វាពិតជាប្រាកដណាស់ដែលសមីការដើម r(x) = s(x)និងសមីការ p(x)=0ជាលទ្ធផលនៃការផ្លាស់ប្តូរ ពួកគេនឹងឈប់ស្មើ។ បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយនៃសមីការ p(x)=0អាចផ្តល់ឱ្យយើងនូវឫសគល់ដែលនឹងក្លាយជាបរទេស r(x) = s(x). ក្នុងន័យនេះ ក្នុងករណីនីមួយៗវាចាំបាច់ដើម្បីអនុវត្តការត្រួតពិនិត្យដោយវិធីសាស្រ្តណាមួយដែលបានពិពណ៌នាខាងលើ។

ដើម្បីធ្វើឱ្យវាកាន់តែងាយស្រួលសម្រាប់អ្នកក្នុងការសិក្សាប្រធានបទ យើងបានបង្រួបបង្រួមព័ត៌មានទាំងអស់ទៅជាក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការសមហេតុសមផលប្រភាគនៃទម្រង់ r(x) = s(x):

យើងផ្ទេរកន្សោមពីផ្នែកខាងស្តាំដែលមានសញ្ញាផ្ទុយហើយទទួលបានសូន្យនៅខាងស្តាំ។
យើងបំប្លែងកន្សោមដើមទៅជាប្រភាគសនិទាន p (x) q (x) ដោយអនុវត្តសកម្មភាពជាបន្តបន្ទាប់ជាមួយប្រភាគ និងពហុនាម។
ដោះស្រាយសមីការ p(x)=0;
យើងបង្ហាញឫសខាងក្រៅដោយពិនិត្យមើលកម្មសិទ្ធិរបស់ពួកគេទៅនឹង ODZ ឬដោយការជំនួសទៅក្នុងសមីការដើម។

តាមទស្សនៈ ខ្សែសង្វាក់នៃសកម្មភាពនឹងមើលទៅដូចនេះ៖

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → បោះបង់ចោល r o n d e r o o n s

ឧទាហរណ៍ 12

ដោះស្រាយសមីការសមីការប្រភាគ x x + 1 = 1 x + 1 ។

ការសម្រេចចិត្ត

ចូរបន្តទៅសមីការ x x + 1 − 1 x + 1 = 0 ។ ចូរបំប្លែងកន្សោមប្រភាគនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការទៅជាទម្រង់ p (x) q (x) ។

ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ យើងត្រូវកាត់បន្ថយប្រភាគសនិទានទៅជាភាគបែងរួម ហើយសម្រួលការបញ្ចេញមតិ៖

x x + 1 − 1 x − 1 = x x − 1 (x + 1) − 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 − x − 1 − x 2 − x x (x + 1) = - 2 x − 1 x (x + 1)

ដើម្បីស្វែងរកឫសនៃសមីការ - 2 x − 1 x (x + 1) = 0 យើងត្រូវដោះស្រាយសមីការ − 2 x − 1 = 0. យើងទទួលបានឫសមួយ។ x = − 1 ២.

វានៅសល់សម្រាប់យើងដើម្បីអនុវត្តការត្រួតពិនិត្យដោយវិធីសាស្រ្តណាមួយ។ ចូរយើងពិចារណាពួកគេទាំងពីរ។

ជំនួសតម្លៃលទ្ធផលទៅក្នុងសមីការដើម។ យើងទទួលបាន - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 ។ យើងបានមកដល់សមភាពលេខត្រឹមត្រូវ។ − 1 = − 1 . វាមានន័យថា x = −1 ២គឺជាឫសគល់នៃសមីការដើម។

ឥឡូវនេះយើងនឹងពិនិត្យមើលតាមរយៈ ODZ ។ ចូរកំណត់ផ្ទៃនៃតម្លៃដែលអាចទទួលយកបានសម្រាប់អថេរ x ។ នេះនឹងជាសំណុំនៃលេខទាំងមូល លើកលែងតែ − 1 និង 0 (នៅពេល x = − 1 និង x = 0 ភាគបែងនៃប្រភាគបាត់) ។ ឫសដែលយើងទទួលបាន x = −1 ២ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ ODZ ។ នេះមានន័យថាវាគឺជាឫសគល់នៃសមីការដើម។

ចម្លើយ៖ − 1 2 .

ឧទាហរណ៍ 13

រកឫសនៃសមីការ x 1 x + 3 − 1 x = − 2 3 x ។

ការសម្រេចចិត្ត

យើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយនឹងសមីការសមហេតុផលប្រភាគ។ ដូច្នេះហើយ យើងនឹងធ្វើតាមក្បួនដោះស្រាយ។

ចូរផ្លាស់ទីកន្សោមពីជ្រុងខាងស្តាំទៅខាងឆ្វេងដោយសញ្ញាផ្ទុយ៖ x 1 x + 3 − 1 x + 2 3 x = 0

ចូរអនុវត្តការបំប្លែងចាំបាច់៖ x 1 x + 3 − 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x ។

យើងមកសមីការ x=0. ឫសគល់នៃសមីការនេះគឺសូន្យ។

សូមពិនិត្យមើលថាតើ root នេះគឺបរទេសសម្រាប់សមីការដើម។ ជំនួសតម្លៃក្នុងសមីការដើម៖ 0 1 0 + 3 − 1 0 = − 2 3 0 ។ ដូចដែលអ្នកអាចឃើញសមីការលទ្ធផលមិនសមហេតុផលទេ។ នេះមានន័យថា 0 គឺជាឫសខាងក្រៅ ហើយសមីការប្រភាគប្រភាគដើមមិនមានឫសគល់ទេ។

ចម្លើយ៖គ្មានឫស។

ប្រសិនបើយើងមិនបានរួមបញ្ចូលការបំប្លែងសមមូលផ្សេងទៀតនៅក្នុង algorithm នេះមិនមានន័យថាពួកវាមិនអាចប្រើប្រាស់បានទាល់តែសោះ។ ក្បួនដោះស្រាយមានលក្ខណៈជាសកល ប៉ុន្តែវាត្រូវបានរចនាឡើងដើម្បីជួយ មិនកំណត់។

ឧទាហរណ៍ 14

ដោះស្រាយសមីការ 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 − x 2 = 7 7 24

ការសម្រេចចិត្ត

មធ្យោបាយងាយស្រួលបំផុតគឺត្រូវដោះស្រាយសមីការប្រភាគប្រភាគដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយយោងទៅតាមក្បួនដោះស្រាយ។ ប៉ុន្តែមានវិធីមួយផ្សេងទៀត។ ចូរយើងពិចារណា។

ដកផ្នែកខាងស្តាំ និងខាងឆ្វេង ៧ យើងទទួលបាន៖ ១ ៣ + ១ ២ + ១ ៥ - x ២ \u003d ៧ ២៤.

ពីនេះយើងអាចសន្និដ្ឋានថាកន្សោមនៅក្នុងភាគបែងនៃផ្នែកខាងឆ្វេងគួរតែស្មើនឹងចំនួនច្រាសនៃចំនួនពីផ្នែកខាងស្តាំពោលគឺ 3 + 1 2 + 1 5 − x 2 = 24 7 ។

ដកពីផ្នែកទាំងពីរ 3:1 2 + 1 5 − x 2 = 3 7 ។ ដោយភាពស្រដៀងគ្នា 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 3 ពីកន្លែងណា 1 5 - x 2 \u003d 1 3 និងបន្ថែម 5 - x 2 \u003d 3, x 2 \u003d 2, x \u003d ± 2

សូមពិនិត្យមើលដើម្បីកំណត់ថាតើឫសដែលបានរកឃើញគឺជាឫសនៃសមីការដើម។

ចម្លើយ៖ x = ± 2

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញមានកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមបន្លិចវា ហើយចុច Ctrl+Enter

យើងបន្តនិយាយអំពី ដំណោះស្រាយនៃសមីការ. នៅក្នុងអត្ថបទនេះយើងនឹងផ្តោតលើ សមីការសមហេតុផលនិងគោលការណ៍សម្រាប់ដោះស្រាយសមីការសមហេតុផលជាមួយនឹងអថេរមួយ។ ជាដំបូង ចូរយើងស្វែងយល់ថាតើសមីការប្រភេទណាខ្លះដែលហៅថាសនិទានកម្ម ផ្តល់និយមន័យនៃសមីការសនិទានចំនួនគត់ និងប្រភាគ ហើយផ្តល់ឧទាហរណ៍។ លើសពីនេះ យើងនឹងទទួលបានក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការសនិទាន ហើយជាការពិត ពិចារណាដំណោះស្រាយនៃឧទាហរណ៍ធម្មតាជាមួយនឹងការពន្យល់ចាំបាច់ទាំងអស់។

ការរុករកទំព័រ។

ដោយផ្អែកលើនិយមន័យដែលមានសំឡេង យើងផ្តល់ឧទាហរណ៍ជាច្រើននៃសមីការសនិទាន។ ឧទាហរណ៍ x=1 , 2 x−12 x 2 y z 3 = 0 , , គឺជាសមីការសមហេតុផលទាំងអស់។

ពីឧទាហរណ៍ដែលបានបង្ហាញ វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថាសមីការសមហេតុផល ក៏ដូចជាសមីការនៃប្រភេទផ្សេងទៀត អាចមានទាំងអថេរមួយ ឬជាមួយពីរ បី។ល។ អថេរ។ នៅក្នុងកថាខណ្ឌខាងក្រោម យើងនឹងនិយាយអំពីការដោះស្រាយសមីការសនិទានភាពក្នុងអថេរមួយ។ ការដោះស្រាយសមីការជាមួយអថេរពីរហើយចំនួនដ៏ធំរបស់ពួកគេសមនឹងទទួលបានការយកចិត្តទុកដាក់ជាពិសេស។

បន្ថែមពីលើការបែងចែកសមីការសនិទានដោយចំនួនអថេរដែលមិនស្គាល់ ពួកគេក៏ត្រូវបានបែងចែកទៅជាចំនួនគត់ និងប្រភាគផងដែរ។ ចូរយើងផ្តល់និយមន័យដែលត្រូវគ្នា។

និយមន័យ។

សមីការសមហេតុផលត្រូវបានគេហៅថា ទាំងមូលប្រសិនបើផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំរបស់វា គឺជាកន្សោមសមហេតុផលចំនួនគត់។

និយមន័យ។

ប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់ផ្នែកមួយនៃសមីការសមហេតុផលគឺជាកន្សោមប្រភាគ នោះសមីការបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា ប្រភាគសមហេតុផល(ឬប្រភាគប្រភាគ) ។

វាច្បាស់ណាស់ថាសមីការចំនួនគត់មិនមានការបែងចែកដោយអថេរទេ ផ្ទុយទៅវិញ សមីការសមហេតុសមផលប្រភាគចាំបាច់ត្រូវមានការបែងចែកដោយអថេរ (ឬអថេរក្នុងភាគបែង)។ ដូច្នេះ 3 x + 2 = 0 និង (x+y) (3 x 2 −1)+x=−y+0.5គឺជាសមីការសមហេតុសមផលទាំងមូល ដែលផ្នែកទាំងពីររបស់ពួកគេគឺជាចំនួនគត់កន្សោម។ A និង x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 គឺជាឧទាហរណ៍នៃសមីការប្រភាគប្រភាគ។

បញ្ចប់កថាខណ្ឌនេះ អនុញ្ញាតឱ្យយើងយកចិត្តទុកដាក់លើការពិតដែលថាសមីការលីនេអ៊ែរ និងសមីការការ៉េដែលគេស្គាល់ដោយពេលនេះ គឺជាសមីការសមហេតុផលទាំងមូល។

ការដោះស្រាយសមីការទាំងមូល

វិធីសាស្រ្តសំខាន់មួយក្នុងការដោះស្រាយសមីការទាំងមូលគឺការកាត់បន្ថយរបស់ពួកគេទៅសមមូល សមីការពិជគណិត. វាតែងតែអាចធ្វើបានដោយអនុវត្តការបំប្លែងសមមូលខាងក្រោមនៃសមីការ៖

ដំបូង កន្សោមពីផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការចំនួនគត់ដើមត្រូវបានផ្ទេរទៅផ្នែកខាងឆ្វេងដែលមានសញ្ញាផ្ទុយដើម្បីទទួលបានសូន្យនៅផ្នែកខាងស្តាំ។
បន្ទាប់ពីនោះ នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ ទម្រង់ស្តង់ដារលទ្ធផល។

លទ្ធផលគឺសមីការពិជគណិតដែលស្មើនឹងសមីការទាំងមូលដើម។ ដូច្នេះក្នុងករណីសាមញ្ញបំផុតដំណោះស្រាយនៃសមីការទាំងមូលត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាដំណោះស្រាយនៃសមីការលីនេអ៊ែរឬចតុកោណហើយក្នុងករណីទូទៅ - ទៅដំណោះស្រាយនៃសមីការពិជគណិតនៃដឺក្រេ n ។ សម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់ ចូរយើងវិភាគដំណោះស្រាយនៃឧទាហរណ៍។

ឧទាហរណ៍។

ស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការទាំងមូល 3 (x+1) (x−3)=x (2 x−1)−3.

ការសម្រេចចិត្ត។

ចូរយើងកាត់បន្ថយដំណោះស្រាយនៃសមីការទាំងមូលនេះទៅជាដំណោះស្រាយនៃសមីការពិជគណិតសមមូល។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះដំបូងយើងផ្ទេរកន្សោមពីផ្នែកខាងស្តាំទៅខាងឆ្វេងជាលទ្ធផលយើងមកដល់សមីការ 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3=0. ហើយទីពីរ យើងបំប្លែងកន្សោមដែលបង្កើតនៅផ្នែកខាងឆ្វេងទៅជាពហុនាមនៃទម្រង់ស្តង់ដារដោយធ្វើចាំបាច់៖ 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3= (3 x + 3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. ដូច្នេះ ដំណោះស្រាយនៃសមីការចំនួនគត់ដើមត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាដំណោះស្រាយនៃសមីការការ៉េ x 2 −5·x−6=0 ។

គណនាការរើសអើងរបស់វា។ ឃ=(−5) 2 −4 1 (−6)=25+24=49វាគឺវិជ្ជមាន ដែលមានន័យថាសមីការមានឫសពិតពីរ ដែលយើងរកឃើញដោយរូបមន្តនៃឫសនៃសមីការការ៉េ៖

ដើម្បីឱ្យប្រាកដទាំងស្រុង ចូរយើងធ្វើ ពិនិត្យរកឫសគល់នៃសមីការ. ដំបូងយើងពិនិត្យឫស 6 ជំនួសវាជំនួសឱ្យអថេរ x ក្នុងសមីការចំនួនគត់ដើម៖ ៣ (៦+១) (៦−៣)=៦ (២ ៦−១)−៣ដែលដូចគ្នា 63=63 . នេះគឺជាសមីការលេខត្រឹមត្រូវ ដូច្នេះ x=6 ពិតជាឫសគល់នៃសមីការ។ ឥឡូវនេះយើងពិនិត្យមើលឫស −1 យើងមាន ៣ (−១+១) (−១−៣)=(−១) (២ (−១)−១)−៣មកពីណា 0=0 ។ សម្រាប់ x=−1 សមីការដើមក៏ប្រែទៅជាសមភាពលេខពិត ដូច្នេះ x=−1 ក៏ជាឫសគល់នៃសមីការ។

ចម្លើយ៖

6 , −1 .

នៅទីនេះវាគួរតែត្រូវបានគេកត់សម្គាល់ផងដែរថាពាក្យ "អំណាចនៃសមីការទាំងមូល" ត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងការតំណាងនៃសមីការទាំងមូលនៅក្នុងទម្រង់នៃសមីការពិជគណិត។ យើងផ្តល់និយមន័យដែលត្រូវគ្នា៖

និយមន័យ។

កម្រិតនៃសមីការទាំងមូលហៅកម្រិតនៃសមីការពិជគណិតដែលស្មើនឹងវា។

យោងតាមនិយមន័យនេះ សមីការទាំងមូលពីឧទាហរណ៍មុនមានសញ្ញាបត្រទីពីរ។

នៅលើមួយនេះអាចបញ្ចប់ជាមួយនឹងដំណោះស្រាយនៃសមីការសនិទានទាំងមូល ប្រសិនបើមិនមែនសម្រាប់មួយ ប៉ុន្តែ .... ដូចដែលត្រូវបានគេស្គាល់ ដំណោះស្រាយនៃសមីការពិជគណិតនៃសញ្ញាបត្រខ្ពស់ជាងទីពីរត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងការលំបាកសំខាន់ៗ ហើយសម្រាប់សមីការនៃសញ្ញាប័ត្រខ្ពស់ជាងទី 4 មិនមានរូបមន្តទូទៅសម្រាប់ឫសទាល់តែសោះ។ ដូច្នេះ ដើម្បីដោះស្រាយសមីការទាំងមូលនៃដឺក្រេទី 3 ទី 4 និងខ្ពស់ជាងនេះ ជារឿយៗត្រូវងាកទៅរកវិធីសាស្ត្រដំណោះស្រាយផ្សេងទៀត។

ក្នុងករណីបែបនេះជួនកាលវិធីសាស្រ្តក្នុងការដោះស្រាយសមីការសមហេតុសមផលទាំងមូលដោយផ្អែកលើ វិធីសាស្រ្តកត្តា. ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ ក្បួនដោះស្រាយខាងក្រោមត្រូវបានអនុវត្តតាម៖

ដំបូងពួកគេស្វែងរកលេខសូន្យនៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ សម្រាប់ការនេះពួកគេផ្ទេរកន្សោមពីផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការទាំងមូលទៅខាងឆ្វេង។
បន្ទាប់មក កន្សោមលទ្ធផលនៅផ្នែកខាងឆ្វេងត្រូវបានបង្ហាញជាផលិតផលនៃកត្តាជាច្រើន ដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកទៅកាន់សំណុំនៃសមីការសាមញ្ញមួយចំនួន។

ក្បួនដោះស្រាយខាងលើសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការទាំងមូលតាមរយៈកត្តាកត្តាទាមទារការពន្យល់លម្អិតដោយប្រើឧទាហរណ៍មួយ។

ឧទាហរណ៍។

ដោះស្រាយសមីការទាំងមូល (x 2 −1) (x 2 −10 x + 13) = 2 x (x 2 −10 x + 13) ។

ការសម្រេចចិត្ត។

ជាដំបូង ជាធម្មតា យើងផ្ទេរកន្សោមពីផ្នែកខាងស្តាំទៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ ដោយមិនភ្លេចផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា យើងទទួលបាន (x 2 −1) (x 2 −10 x + 13) − 2 x (x 2 −10 x + 13) = 0 ។ វាច្បាស់ណាស់នៅទីនេះ ដែលវាមិនត្រូវបានណែនាំឱ្យបំប្លែងផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការលទ្ធផលទៅជាពហុនាមនៃទម្រង់ស្តង់ដារទេ ព្រោះវានឹងផ្តល់សមីការពិជគណិតនៃសញ្ញាបត្រទីបួននៃទម្រង់។ x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0ដែលដំណោះស្រាយគឺពិបាក។

ម្យ៉ាងវិញទៀត វាច្បាស់ណាស់ថា x 2 −10·x+13 អាចត្រូវបានរកឃើញនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការលទ្ធផល ដោយហេតុនេះតំណាងឱ្យវាជាផលិតផល។ យើងមាន (x 2 −10 x + 13) (x 2 −2 x−1) = 0. សមីការលទ្ធផលគឺស្មើនឹងសមីការទាំងមូលដើម ហើយវាអាចត្រូវបានជំនួសដោយសំណុំនៃសមីការការ៉េពីរ x 2 −10·x+13=0 និង x 2 −2·x−1=0 ។ ការស្វែងរកឫសរបស់ពួកគេដោយប្រើរូបមន្តឫសដែលគេស្គាល់តាមរយៈអ្នករើសអើងគឺមិនពិបាកទេ ឫសគឺស្មើគ្នា។ ពួកគេគឺជាឫសដែលចង់បាននៃសមីការដើម។

ចម្លើយ៖

វាក៏មានប្រយោជន៍ផងដែរសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការសនិទានទាំងមូល។ វិធីសាស្រ្តណែនាំអថេរថ្មី។. ក្នុងករណីខ្លះ វាអនុញ្ញាតឱ្យគេឆ្លងទៅសមីការដែលដឺក្រេមានកម្រិតទាបជាងកម្រិតនៃសមីការចំនួនគត់ដើម។

ឧទាហរណ៍។

ស្វែងរកឫសគល់ពិតប្រាកដនៃសមីការសមហេតុផល (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

ការសម្រេចចិត្ត។

ការកាត់បន្ថយសមីការសមហេតុសមផលទាំងមូលនេះទៅជាសមីការពិជគណិតគឺដើម្បីដាក់វាឱ្យស្រាល មិនមែនជាគំនិតល្អទេ ព្រោះក្នុងករណីនេះ យើងនឹងឈានទៅដល់តម្រូវការដើម្បីដោះស្រាយសមីការដឺក្រេទីបួនដែលមិនមានឫសសនិទាន។ ដូច្នេះហើយ អ្នកនឹងត្រូវស្វែងរកដំណោះស្រាយមួយទៀត។

វាងាយស្រួលមើលនៅទីនេះដែលអ្នកអាចណែនាំអថេរ y ថ្មី ហើយជំនួសកន្សោម x 2 +3 x ជាមួយវា។ ការជំនួសបែបនេះនាំយើងទៅសមីការទាំងមូល (y + 1) 2 +10 = −2 (y−4) ដែលបន្ទាប់ពីផ្ទេរកន្សោម −2 (y −4) ទៅផ្នែកខាងឆ្វេង និងការផ្លាស់ប្តូរជាបន្តបន្ទាប់នៃកន្សោមដែលបានបង្កើតឡើងនៅទីនោះ។ កាត់បន្ថយទៅជាសមីការ y 2 +4 y + 3 = 0 ។ ឫសនៃសមីការនេះ y=−1 និង y=−3 ងាយស្រួលរក ឧទាហរណ៍ ពួកវាអាចត្រូវបានរកឃើញដោយផ្អែកលើទ្រឹស្តីបទបញ្ច្រាសនៃទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងបន្តទៅផ្នែកទីពីរនៃវិធីសាស្រ្តនៃការណែនាំអថេរថ្មីមួយ ពោលគឺ ធ្វើការជំនួសបញ្ច្រាស។ បន្ទាប់ពីអនុវត្តការជំនួសបញ្ច្រាស យើងទទួលបានសមីការពីរ x 2 +3 x = −1 និង x 2 +3 x = −3 ដែលអាចសរសេរឡើងវិញជា x 2 +3 x + 1 = 0 និង x 2 +3 x + 3 ។ =0 ។ យោងតាមរូបមន្តឫសនៃសមីការ quadratic យើងរកឃើញឫសនៃសមីការទីមួយ។ ហើយសមីការការ៉េទីពីរមិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដទេ ព្រោះការរើសអើងរបស់វាគឺអវិជ្ជមាន (D=3 2 −4 3=9−12=−3)។

ចម្លើយ៖

ជាទូទៅ នៅពេលដែលយើងកំពុងដោះស្រាយសមីការទាំងមូលនៃសញ្ញាបត្រខ្ពស់ យើងត្រូវតែត្រៀមខ្លួនជានិច្ចដើម្បីស្វែងរកវិធីសាស្ត្រដែលមិនមានស្តង់ដារ ឬបច្ចេកទេសសិប្បនិម្មិតសម្រាប់ដោះស្រាយវា។

ដំណោះស្រាយនៃសមីការប្រភាគប្រភាគ

ជាដំបូង វានឹងមានប្រយោជន៍ក្នុងការយល់ពីរបៀបដោះស្រាយសមីការប្រភាគប្រភាគនៃទម្រង់ ដែល p(x) និង q(x) គឺជាកន្សោមចំនួនគត់សមហេតុផល។ ហើយបន្ទាប់មកយើងនឹងបង្ហាញពីរបៀបកាត់បន្ថយដំណោះស្រាយនៃសមីការប្រភាគប្រភាគដែលនៅសល់ទៅនឹងដំណោះស្រាយនៃសមីការនៃទម្រង់ដែលបានចង្អុលបង្ហាញ។

វិធីសាស្រ្តមួយក្នុងការដោះស្រាយសមីការគឺផ្អែកលើសេចក្តីថ្លែងការណ៍ខាងក្រោម៖ ប្រភាគជាលេខ u/v ដែល v ជាលេខមិនសូន្យ (បើមិនដូច្នេះទេ យើងនឹងជួប ដែលមិនត្រូវបានកំណត់) គឺសូន្យប្រសិនបើ ហើយប្រសិនបើភាគយករបស់វា គឺសូន្យ បន្ទាប់មកគឺប្រសិនបើ និងបានតែប្រសិនបើ u=0 ។ ដោយគុណធម៌នៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះ ដំណោះស្រាយនៃសមីការត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការបំពេញលក្ខខណ្ឌពីរ p(x)=0 និង q(x)≠0 ។

ការសន្និដ្ឋាននេះគឺស្របទៅនឹងចំណុចខាងក្រោម ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការប្រភាគប្រភាគ. ដើម្បីដោះស្រាយសមីការសមហេតុសមផលប្រភាគនៃទម្រង់

ដោះស្រាយសមីការសមហេតុផលទាំងមូល p(x)=0 ;
ហើយពិនិត្យមើលថាតើលក្ខខណ្ឌ q(x)≠0 ពេញចិត្តសម្រាប់ root នីមួយៗដែលបានរកឃើញឬអត់

ប្រសិនបើពិត នោះឫសនេះគឺជាឫសគល់នៃសមីការដើម។
ប្រសិនបើមិនមែនទេ នោះឫសនេះគឺ extraneous ពោលគឺវាមិនមែនជាឫសគល់នៃសមីការដើមនោះទេ។

ចូរយើងវិភាគឧទាហរណ៍នៃការប្រើក្បួនដោះស្រាយការបញ្ចេញសំឡេង នៅពេលដោះស្រាយសមីការសមហេតុសមផលប្រភាគ។

ឧទាហរណ៍។

ស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការ។

ការសម្រេចចិត្ត។

នេះគឺជាសមីការប្រភាគប្រភាគនៃទម្រង់ ដែល p(x)=3 x−2, q(x)=5 x 2 −2=0 ។

យោងទៅតាមក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការប្រភាគប្រភាគនៃប្រភេទនេះ ដំបូងយើងត្រូវដោះស្រាយសមីការ 3·x−2=0 ។ នេះគឺជាសមីការលីនេអ៊ែរដែលឫសគឺ x = 2/3 ។

វានៅសល់ដើម្បីពិនិត្យមើលឫសនេះ ពោលគឺដើម្បីពិនិត្យមើលថាតើវាបំពេញលក្ខខណ្ឌ 5·x 2 −2≠0 ។ យើងជំនួសលេខ 2/3 ជំនួសឱ្យ x ទៅក្នុងកន្សោម 5 x 2 −2 យើងទទួលបាន . លក្ខខណ្ឌត្រូវបានបំពេញ ដូច្នេះ x=2/3 គឺជាឫសគល់នៃសមីការដើម។

ចម្លើយ៖

2/3 .

ដំណោះស្រាយនៃសមីការសមហេតុសមផលប្រភាគអាចត្រូវបានទៅជិតពីទីតាំងខុសគ្នាបន្តិច។ សមីការនេះគឺស្មើនឹងសមីការទាំងមូល p(x)=0 នៅលើអថេរ x នៃសមីការដើម។ នោះគឺអ្នកអាចធ្វើតាមនេះ។ ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការប្រភាគប្រភាគ :

ដោះស្រាយសមីការ p(x)=0;
ស្វែងរកអថេរ ODZ x ;
យកឫសដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់តំបន់នៃតម្លៃដែលអាចទទួលយកបាន - ពួកគេគឺជាឫសដែលចង់បាននៃសមីការប្រភាគប្រភាគដើម។

ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងដោះស្រាយសមីការប្រភាគប្រភាគដោយប្រើក្បួនដោះស្រាយនេះ។

ឧទាហរណ៍។

ដោះស្រាយសមីការ។

ការសម្រេចចិត្ត។

ដំបូងយើងដោះស្រាយសមីការការ៉េ x 2 −2·x−11=0 ។ ឫសរបស់វាអាចត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្តឫសសម្រាប់មេគុណទីពីរដែលយើងមាន ឃ 1 =(−1) 2 −1 (−11)=12, និង .

ទីពីរ យើងរកឃើញ ODZ នៃអថេរ x សម្រាប់សមីការដើម។ វាមានលេខទាំងអស់ដែល x 2 +3 x≠0 ដែលដូចគ្នា x (x+3)≠0 ពេលណា x≠0 , x≠−3 ។

វានៅសល់ដើម្បីពិនិត្យមើលថាតើឫសដែលបានរកឃើញនៅជំហានដំបូងត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុង ODZ ដែរឬទេ។ ច្បាស់ណាស់បាទ។ ដូច្នេះសមីការប្រភាគប្រភាគដើមមានឫសពីរ។

ចម្លើយ៖

ចំណាំថាវិធីសាស្រ្តនេះគឺមានផលចំណេញច្រើនជាងវិធីទីមួយ ប្រសិនបើ ODZ ត្រូវបានរកឃើញយ៉ាងងាយស្រួល ហើយវាមានប្រយោជន៍ជាពិសេសប្រសិនបើឫសនៃសមីការ p(x)=0 គឺមិនសមហេតុផល ឧទាហរណ៍ ឬសមហេតុផល ប៉ុន្តែជាមួយនឹងទំហំធំជាង។ លេខភាគ និង/ឬភាគបែង ឧទាហរណ៍ 127/1101 និង -31/59 ។ នេះគឺដោយសារតែការពិតដែលថានៅក្នុងករណីបែបនេះ ការត្រួតពិនិត្យលក្ខខណ្ឌ q(x)≠0 នឹងតម្រូវឱ្យមានការខិតខំប្រឹងប្រែងគណនាយ៉ាងសំខាន់ ហើយវាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការដកចេញឫសខាងក្រៅពី ODZ ។

ក្នុងករណីផ្សេងទៀត នៅពេលដោះស្រាយសមីការ ជាពិសេសនៅពេលដែលឫសនៃសមីការ p(x)=0 ជាចំនួនគត់ វាកាន់តែមានប្រយោជន៍ក្នុងការប្រើក្បួនដោះស្រាយទីមួយខាងលើ។ នោះគឺ គួរតែស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការទាំងមូល p(x)=0 ភ្លាមៗ ហើយបន្ទាប់មកពិនិត្យមើលថាតើលក្ខខណ្ឌ q(x)≠0 ពេញចិត្តសម្រាប់ពួកគេឬអត់ និងមិនស្វែងរក ODZ ហើយបន្ទាប់មកដោះស្រាយសមីការ។ p(x)=0 នៅលើ ODZ នេះ។ នេះគឺដោយសារតែការពិតដែលថានៅក្នុងករណីបែបនេះជាធម្មតាវាងាយស្រួលក្នុងការធ្វើការត្រួតពិនិត្យជាងការស្វែងរក ODZ ។

ពិចារណាដំណោះស្រាយនៃឧទាហរណ៍ពីរដើម្បីបង្ហាញពីការ nuances ដែលបានចែង។

ឧទាហរណ៍។

ស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការ។

ការសម្រេចចិត្ត។

ដំបូងយើងរកឃើញឫសនៃសមីការទាំងមូល (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0ចងក្រងដោយប្រើលេខភាគនៃប្រភាគ។ ផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការនេះគឺជាផលិតផលមួយ ហើយផ្នែកខាងស្តាំគឺសូន្យ ដូច្នេះយោងទៅតាមវិធីសាស្រ្តនៃការដោះស្រាយសមីការតាមរយៈការធ្វើកត្តា សមីការនេះគឺស្មើនឹងសំណុំនៃសមីការចំនួនបួន 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 ។ សមីការទាំងបីនេះគឺលីនេអ៊ែរ ហើយមួយគឺចតុកោណ យើងអាចដោះស្រាយវាបាន។ ពីសមីការទីមួយយើងរកឃើញ x = 1/2 ពីទីពីរ - x = 6 ពីទីបី - x = 7, x = −2 ពីទី 4 - x = −1 ។

ជាមួយនឹងឫសដែលបានរកឃើញ វាពិតជាងាយស្រួលណាស់ក្នុងការត្រួតពិនិត្យពួកវាដើម្បីមើលថាតើភាគបែងនៃប្រភាគនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការដើមមិនបាត់ទេ ហើយវាមិនងាយស្រួលទេក្នុងការកំណត់ ODZ ព្រោះវានឹងត្រូវដោះស្រាយ។ សមីការពិជគណិតនៃសញ្ញាបត្រទីប្រាំ។ ដូច្នេះយើងនឹងបដិសេធមិនស្វែងរក ODZ ដើម្បីពិនិត្យមើលឫស។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងជំនួសពួកវាជាវេនជំនួសឱ្យអថេរ x ក្នុងកន្សោម x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112ទទួលបានបន្ទាប់ពីការជំនួស ហើយប្រៀបធៀបពួកវាជាមួយសូន្យ៖ (1/2) 5 −15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 −13 (1/2) 2 +26 (1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15 6 4 +57 6 3 −13 6 2 +26 6+112= 448≠0 ;
7 5 −15 7 4 +57 7 3 −13 7 2 +26 7+112=0;
(−2) 5 −15 (−2) 4 +57 (−2) 3 −13 (−2) 2 + 26 (−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15 (−1) 4 +57 (−1) 3 −13 (−1) 2 + 26·(−1)+112=0។

ដូច្នេះ 1/2, 6 និង −2 គឺជាឫសដែលចង់បាននៃសមីការប្រភាគប្រភាគដើម ហើយ 7 និង −1 គឺជាឫសខាងក្រៅ។

ចម្លើយ៖

1/2 , 6 , −2 .

ឧទាហរណ៍។

ស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការសមហេតុសមផលប្រភាគ។

ការសម្រេចចិត្ត។

ដំបូងយើងរកឃើញឫសនៃសមីការ (5x2 −7x−1)(x−2)=0. សមីការនេះគឺស្មើនឹងសំណុំនៃសមីការពីរ៖ ការេ 5·x 2 −7·x−1=0 និងលីនេអ៊ែរ x−2=0 ។ យោងតាមរូបមន្តនៃឫសនៃសមីការ quadratic យើងរកឃើញឫសពីរ ហើយពីសមីការទីពីរយើងមាន x=2 ។

ការពិនិត្យមើលថាតើភាគបែងមិនបាត់នៅតម្លៃដែលបានរកឃើញនៃ x គឺជាការមិនសប្បាយចិត្ត។ ហើយដើម្បីកំណត់ជួរនៃតម្លៃដែលអាចទទួលយកបាននៃអថេរ x ក្នុងសមីការដើមគឺសាមញ្ញណាស់។ ដូច្នេះយើងនឹងធ្វើសកម្មភាពតាមរយៈ ODZ ។

ក្នុងករណីរបស់យើង ODZ នៃអថេរ x នៃសមីការប្រភាគប្រភាគដើមត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយលេខទាំងអស់ លើកលែងតែលក្ខខណ្ឌ x 2 +5·x−14=0 ពេញចិត្ត។ ឫសគល់នៃសមីការការ៉េនេះគឺ x=−7 និង x=2 ដែលយើងសន្និដ្ឋានអំពី ODZ៖ វាត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយ x ទាំងអស់នោះ។

វានៅសល់ដើម្បីពិនិត្យមើលថាតើឫសដែលបានរកឃើញ និង x=2 ជារបស់តំបន់នៃតម្លៃដែលអាចទទួលយកបាន។ ឫស - ជាកម្មសិទ្ធិ ដូច្នេះពួកវាជាឫសគល់នៃសមីការដើម ហើយ x = 2 មិនមែនជាកម្មសិទ្ធិទេ ដូច្នេះវាគឺជាឫសខាងក្រៅ។

ចម្លើយ៖

វាក៏នឹងមានប្រយោជន៍ផងដែរក្នុងការរស់នៅដាច់ដោយឡែកពីគ្នាលើករណីដែលសមីការប្រភាគប្រភាគនៃទម្រង់មានលេខនៅក្នុងភាគយក នោះគឺជាពេលដែល p (x) ត្រូវបានតំណាងដោយលេខមួយចំនួន។ ឯណា

ប្រសិនបើលេខនេះខុសពីសូន្យ នោះសមីការមិនមានឫសទេ ព្រោះប្រភាគគឺសូន្យ ប្រសិនបើ ហើយប្រសិនបើភាគយករបស់វាគឺសូន្យ។
ប្រសិនបើលេខនេះគឺសូន្យ នោះឫសនៃសមីការគឺជាលេខណាមួយពី ODZ ។

ឧទាហរណ៍។

ការសម្រេចចិត្ត។

ដោយសារមានលេខមិនមែនសូន្យនៅក្នុងភាគយកនៃប្រភាគនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ នោះគ្មាន x អាចតម្លៃនៃប្រភាគនេះស្មើនឹងសូន្យបានទេ។ ដូច្នេះសមីការនេះមិនមានឫសគល់ទេ។

ចម្លើយ៖

គ្មានឫស។

ឧទាហរណ៍។

ដោះស្រាយសមីការ។

ការសម្រេចចិត្ត។

លេខភាគនៃប្រភាគនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការប្រភាគប្រភាគនេះគឺសូន្យ ដូច្នេះតម្លៃនៃប្រភាគនេះគឺសូន្យសម្រាប់ x ណាមួយដែលវាសមហេតុផល។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះគឺជាតម្លៃណាមួយនៃ x ពី DPV នៃអថេរនេះ។

វានៅសល់ដើម្បីកំណត់ជួរនៃតម្លៃដែលអាចទទួលយកបាន។ វារួមបញ្ចូលទាំងតម្លៃ x ដែល x 4 +5 x 3 ≠0 ។ ដំណោះស្រាយនៃសមីការ x 4 +5 x 3 \u003d 0 គឺ 0 និង −5 ដោយហេតុថាសមីការនេះគឺស្មើនឹងសមីការ x 3 (x + 5) \u003d 0 ហើយវាស្មើនឹងការរួមបញ្ចូលគ្នា នៃសមីការពីរ x 3 \u003d 0 និង x +5=0 ពីកន្លែងដែលឫសទាំងនេះអាចមើលឃើញ។ ដូច្នេះ ជួរដែលចង់បាននៃតម្លៃដែលអាចទទួលយកបានគឺ x ណាមួយ លើកលែងតែ x=0 និង x=−5 ។

ដូច្នេះ សមីការប្រភាគមានដំណោះស្រាយជាច្រើនឥតកំណត់ ដែលជាលេខណាមួយលើកលែងតែសូន្យ និងដកប្រាំ។

ចម្លើយ៖

ទីបំផុត ដល់ពេលនិយាយអំពីការដោះស្រាយសមីការប្រភាគតាមអំពើចិត្ត។ ពួកវាអាចត្រូវបានសរសេរជា r(x)=s(x) ដែល r(x) និង s(x) គឺជាកន្សោមសមហេតុផល ហើយយ៉ាងហោចណាស់មួយក្នុងចំណោមពួកវាគឺប្រភាគ។ សម្លឹងទៅមុខ យើងនិយាយថាដំណោះស្រាយរបស់ពួកគេត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការដោះស្រាយសមីការនៃទម្រង់ដែលធ្លាប់ស្គាល់យើងរួចហើយ។

វាត្រូវបានគេដឹងថាការផ្ទេរពាក្យពីផ្នែកមួយនៃសមីការទៅមួយទៀតដែលមានសញ្ញាផ្ទុយនាំទៅរកសមីការសមមូល ដូច្នេះសមីការ r(x)=s(x) គឺស្មើនឹងសមីការ r(x)−s (x)=0 ។

យើងក៏ដឹងដែរថា ណាមួយអាចដូចគ្នាទៅនឹងកន្សោមនេះ។ ដូច្នេះ យើងតែងតែអាចបំប្លែងកន្សោមសនិទាននៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ r(x)−s(x)=0 ទៅជាប្រភាគសមហេតុផលស្មើគ្នានៃទម្រង់។

ដូច្នេះយើងទៅពីសមីការប្រភាគប្រភាគដើម r(x)=s(x) ទៅជាសមីការ ហើយដំណោះស្រាយរបស់វា ដូចដែលយើងបានរកឃើញខាងលើ កាត់បន្ថយទៅការដោះស្រាយសមីការ p(x)=0 ។

ប៉ុន្តែនៅទីនេះវាចាំបាច់ដើម្បីយកទៅក្នុងគណនីការពិតដែលថានៅពេលជំនួស r(x)−s(x)=0 ជាមួយ ហើយបន្ទាប់មកជាមួយ p(x)=0 ជួរនៃតម្លៃដែលអាចអនុញ្ញាតបាននៃអថេរ x អាចពង្រីកបាន។ .

ដូច្នេះសមីការដើម r(x)=s(x) និងសមីការ p(x)=0 ដែលយើងមកដល់ ប្រហែលជាមិនសមមូលទេ ហើយដោយការដោះស្រាយសមីការ p(x)=0 យើងអាចទទួលបានឫស នោះនឹងជាឫសខាងក្រៅនៃសមីការដើម r(x)=s(x) ។ វាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីកំណត់អត្តសញ្ញាណ និងមិនរាប់បញ្ចូលឫសខាងក្រៅនៅក្នុងចំលើយ ទាំងដោយការពិនិត្យមើល ឬដោយការត្រួតពិនិត្យរបស់ពួកគេជាកម្មសិទ្ធិរបស់ ODZ នៃសមីការដើម។

យើងសង្ខេបព័ត៌មាននេះនៅក្នុង ក្បួនដោះស្រាយសមីការប្រភាគប្រភាគ r(x)=s(x). ដើម្បីដោះស្រាយសមីការប្រភាគប្រភាគ r(x)=s(x) មួយត្រូវតែ

ទទួលបានសូន្យនៅខាងស្តាំដោយផ្លាស់ទីកន្សោមពីផ្នែកខាងស្តាំដែលមានសញ្ញាផ្ទុយ។
អនុវត្តសកម្មភាពជាមួយប្រភាគ និងពហុនាមនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ ដោយហេតុនេះបម្លែងវាទៅជាប្រភាគសមហេតុផលនៃទម្រង់។
ដោះស្រាយសមីការ p(x)=0 ។
កំណត់អត្តសញ្ញាណ និងមិនរាប់បញ្ចូលឫសខាងក្រៅ ដែលធ្វើឡើងដោយការជំនួសពួកវាទៅក្នុងសមីការដើម ឬដោយពិនិត្យមើលកម្មសិទ្ធិរបស់ពួកគេទៅនឹង ODZ នៃសមីការដើម។

ដើម្បីឱ្យកាន់តែច្បាស់ យើងនឹងបង្ហាញខ្សែសង្វាក់ទាំងមូលនៃការដោះស្រាយសមីការប្រភាគប្រភាគ៖
.

ចូរយើងឆ្លងកាត់ដំណោះស្រាយនៃឧទាហរណ៍ជាច្រើនជាមួយនឹងការពន្យល់លម្អិតអំពីដំណោះស្រាយ ដើម្បីបញ្ជាក់អំពីប្លុកនៃព័ត៌មានដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ឧទាហរណ៍។

ដោះស្រាយសមីការសមហេតុសមផលប្រភាគ។

ការសម្រេចចិត្ត។

យើងនឹងធ្វើសកម្មភាពស្របតាមក្បួនដោះស្រាយដំណោះស្រាយដែលទើបទទួលបាន។ ហើយដំបូងយើងផ្ទេរលក្ខខណ្ឌពីផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការទៅផ្នែកខាងឆ្វេងជាលទ្ធផលយើងឆ្លងទៅសមីការ។

នៅក្នុងជំហានទីពីរ យើងត្រូវបំប្លែងកន្សោមប្រភាគនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការលទ្ធផលទៅជាទម្រង់ប្រភាគ។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ យើងអនុវត្តការកាត់បន្ថយប្រភាគសនិទានទៅជាភាគបែងរួម ហើយសម្រួលការបញ្ចេញមតិលទ្ធផល៖ . ដូច្នេះយើងមកសមីការ។

នៅជំហានបន្ទាប់ យើងត្រូវដោះស្រាយសមីការ −2·x−1=0 ។ រក x = −1/2 ។

វានៅសល់ដើម្បីពិនិត្យមើលថាតើលេខដែលបានរកឃើញ −1/2 គឺជាឫសខាងក្រៅនៃសមីការដើម។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ អ្នកអាចពិនិត្យ ឬស្វែងរកអថេរ ODZ x នៃសមីការដើម។ ចូរយើងបង្ហាញវិធីសាស្រ្តទាំងពីរ។

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយការពិនិត្យ។ យើងជំនួសលេខ −1/2 ជំនួសឱ្យអថេរ x ទៅក្នុងសមីការដើម យើងទទួលបាន ដែលដូចគ្នា −1=−1 ។ ការជំនួសផ្តល់នូវសមភាពលេខត្រឹមត្រូវ ដូច្នេះ x=−1/2 គឺជាឫសគល់នៃសមីការដើម។

ឥឡូវនេះយើងនឹងបង្ហាញពីរបៀបដែលជំហានចុងក្រោយនៃក្បួនដោះស្រាយត្រូវបានអនុវត្តតាមរយៈ ODZ ។ ជួរនៃតម្លៃដែលអាចទទួលយកបាននៃសមីការដើមគឺជាសំណុំនៃលេខទាំងអស់ លើកលែងតែ −1 និង 0 (សម្រាប់ x=−1 និង x=0 ភាគបែងនៃប្រភាគបាត់)។ ឫស x=−1/2 ដែលរកឃើញនៅជំហានមុន ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ ODZ ដូច្នេះ x=−1/2 គឺជាឫសគល់នៃសមីការដើម។

ចម្លើយ៖

−1/2 .

ចូរយើងពិចារណាឧទាហរណ៍មួយទៀត។

ឧទាហរណ៍។

ស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការ។

ការសម្រេចចិត្ត។

យើងត្រូវដោះស្រាយសមីការប្រភាគប្រភាគ ចូរយើងឆ្លងកាត់ជំហានទាំងអស់នៃក្បួនដោះស្រាយ។

ដំបូងយើងផ្ទេរពាក្យពីខាងស្តាំទៅខាងឆ្វេងយើងទទួលបាន។

ទីពីរ យើងបំប្លែងកន្សោមដែលបង្កើតនៅខាងឆ្វេង៖ . ជាលទ្ធផលយើងមកដល់សមីការ x=0 ។

ឫសរបស់វាគឺច្បាស់ - វាសូន្យ។

នៅជំហានទីបួន វានៅតែត្រូវរកមើលថាតើឫសដែលបានរកឃើញមិនមែនជាផ្នែកខាងក្រៅសម្រាប់សមីការប្រភាគប្រភាគដើម។ នៅពេលដែលវាត្រូវបានជំនួសទៅក្នុងសមីការដើម កន្សោមត្រូវបានទទួល។ ជាក់ស្តែង វាមិនសមហេតុផលទេ ព្រោះវាមានការបែងចែកដោយសូន្យ។ តើនៅពេលណាដែលយើងសន្និដ្ឋានថា 0 គឺជាឫសខាងក្រៅ។ ដូច្នេះសមីការដើមមិនមានឫសគល់ទេ។

7 ដែលនាំទៅដល់សមីការ។ ពីនេះយើងអាចសន្និដ្ឋានថាកន្សោមនៅក្នុងភាគបែងនៃផ្នែកខាងឆ្វេងត្រូវតែស្មើនឹងពីផ្នែកខាងស្តាំ ពោលគឺ . ឥឡូវនេះយើងដកពីផ្នែកទាំងពីរនៃបីដង៖ . ដោយភាពស្រដៀងគ្នា មកពីណា និងបន្តទៀត។

ការត្រួតពិនិត្យបង្ហាញថាឫសដែលបានរកឃើញទាំងពីរគឺជាឫសនៃសមីការប្រភាគប្រភាគដើម។

ចម្លើយ៖

គន្ថនិទ្ទេស។

ពិជគណិត៖សៀវភៅសិក្សា សម្រាប់ 8 កោសិកា។ ការអប់រំទូទៅ ស្ថាប័ន / [យូ។ N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed ។ S.A. Telyakovsky ។ - ទី 16 ed ។ - M. : ការអប់រំ, 2008. - 271 ទំ។ ៖ ឈឺ។ - ISBN 978-5-09-019243-9 ។
Mordkovich A.G.ពិជគណិត។ ថ្នាក់ទី ៨ ។ ម៉ោង 2 រសៀល វគ្គ 1. សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់និស្សិតនៃស្ថាប័នអប់រំ / A.G. Mordkovich ។ - ទី 11 ed ។ , លុប។ - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2 ។
ពិជគណិត៖ថ្នាក់ទី ៩៖ សៀវភៅសិក្សា។ សម្រាប់ការអប់រំទូទៅ ស្ថាប័ន / [យូ។ N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed ។ S.A. Telyakovsky ។ - ទី 16 ed ។ - M. : ការអប់រំ, 2009. - 271 ទំ។ ៖ ឈឺ។ - ISBN 978-5-09-021134-5 ។

វិបផតថលសម្រាប់សិស្ស។ ការបណ្តុះបណ្តាលខ្លួនឯង

តើសមីការប្រភាគប្រភាគត្រូវបានដោះស្រាយដោយរបៀបណា?

សមីការសនិទានភាព៖ និយមន័យ និងឧទាហរណ៍

ការដោះស្រាយសមីការទាំងមូល

ដំណោះស្រាយនៃសមីការប្រភាគប្រភាគ

ការដោះស្រាយសមីការទាំងមូល

ដំណោះស្រាយនៃសមីការប្រភាគប្រភាគ

អត្ថបទ​ដែល​ទាក់ទង

អត្ថបទដែលទាក់ទង