សម្រាប់ចំណុចសម្ភារៈ ច្បាប់ជាមូលដ្ឋាននៃថាមវន្តអាចត្រូវបានតំណាងថាជា
ការគុណភាគីទាំងពីរនៃទំនាក់ទំនងនេះនៅខាងឆ្វេងវ៉ិចទ័រដោយវ៉ិចទ័រកាំ (រូបភាព 3.9) យើងទទួលបាន
(3.32)
នៅផ្នែកខាងស្តាំនៃរូបមន្តនេះ យើងមានពេលនៃកម្លាំងទាក់ទងទៅនឹងចំណុច O។ យើងបំប្លែងផ្នែកខាងឆ្វេងដោយអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ។
ប៉ុន្តែ 
ជាផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រប៉ារ៉ាឡែល។ បន្ទាប់ពីនេះយើងទទួលបាន
(3.33)
ដេរីវេទី 1 ទាក់ទងទៅនឹងពេលវេលានៃសន្ទុះនៃចំណុចដែលទាក់ទងទៅនឹងមជ្ឈមណ្ឌលណាមួយគឺស្មើនឹងពេលនៃកម្លាំងដែលទាក់ទងទៅនឹងមជ្ឈមណ្ឌលដូចគ្នា។
 |
ឧទាហរណ៍នៃការគណនាសន្ទុះមុំនៃប្រព័ន្ធ។ គណនាពេល kinetic ដែលទាក់ទងទៅនឹងចំណុច O នៃប្រព័ន្ធមួយដែលមានរាងស៊ីឡាំងនៃម៉ាស់ M = 20 គីឡូក្រាម និងកាំ R = 0.5 m និងបន្ទុកចុះនៃម៉ាស់ m = 60 គីឡូក្រាម (រូបភាព 3.12) ។ អ័ក្សបង្វិលជុំវិញអ័ក្ស Oz ជាមួយនឹងល្បឿនមុំ ω = 10 s -1 ។
រូបភាព 3.12
; ; 
សម្រាប់ទិន្នន័យបញ្ចូលដែលបានផ្តល់ឱ្យ សន្ទុះមុំនៃប្រព័ន្ធ
ទ្រឹស្តីបទស្តីពីការផ្លាស់ប្តូរសន្ទុះមុំនៃប្រព័ន្ធមួយ។យើងអនុវត្តលទ្ធផលនៃកម្លាំងខាងក្រៅ និងខាងក្នុងទៅចំណុចនីមួយៗនៃប្រព័ន្ធ។ សម្រាប់ចំណុចនីមួយៗនៃប្រព័ន្ធ អ្នកអាចអនុវត្តទ្រឹស្តីបទលើការផ្លាស់ប្តូរសន្ទុះមុំ ឧទាហរណ៍ក្នុងទម្រង់ (3.33)
បូកសរុបចំណុចទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធ ហើយពិចារណាថាផលបូកនៃនិស្សន្ទវត្ថុគឺស្មើនឹងដេរីវេនៃផលបូក យើងទទួលបាន
ដោយកំណត់ពេលវេលា kinetic នៃប្រព័ន្ធ និងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃកម្លាំងខាងក្រៅ និងខាងក្នុង
ដូច្នេះទំនាក់ទំនងលទ្ធផលអាចត្រូវបានតំណាងថាជា
ដេរីវេលើកដំបូងនៃសន្ទុះមុំនៃប្រព័ន្ធដែលទាក់ទងទៅនឹងចំណុចណាមួយគឺស្មើនឹងពេលសំខាន់នៃកម្លាំងខាងក្រៅដែលធ្វើសកម្មភាពលើប្រព័ន្ធទាក់ទងទៅនឹងចំណុចដូចគ្នា។
3.3.5. ការងារកម្លាំង
1) ការងារបឋមនៃកម្លាំងគឺស្មើនឹងផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃកម្លាំងនិងកាំឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃវ៉ិចទ័រនៃចំណុចនៃការអនុវត្តនៃកម្លាំង (រូបភាព 3.13)
រូបភាព 3.13
កន្សោម (3.36) ក៏អាចត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់សមមូលខាងក្រោមផងដែរ។
តើការព្យាករនៃកម្លាំងទៅលើទិសនៃល្បឿននៃចំណុចនៃការអនុវត្តកម្លាំងនោះនៅត្រង់ណា។
2) ការងារនៃកម្លាំងលើការផ្លាស់ទីលំនៅចុងក្រោយ
ការរួមបញ្ចូលការងារបឋមនៃកម្លាំង យើងទទួលបានកន្សោមខាងក្រោមសម្រាប់ការងារនៃកម្លាំងលើការផ្លាស់ទីលំនៅចុងក្រោយពីចំណុច A ដល់ចំណុច B
3) ការងារនៃកម្លាំងថេរ
ប្រសិនបើកម្លាំងថេរបន្ទាប់មកពី (3.38) វាធ្វើតាម
ការងាររបស់កម្លាំងថេរមិនអាស្រ័យលើរូបរាងគន្លងទេ ប៉ុន្តែអាស្រ័យតែលើវ៉ិចទ័រផ្លាស់ទីលំនៅនៃចំណុចនៃការអនុវត្តកម្លាំងប៉ុណ្ណោះ។
4) ការងារនៃកម្លាំងទម្ងន់
សម្រាប់កម្លាំងទម្ងន់ (រូបភាព 3.14) និងពី (3.39) យើងទទួលបាន
រូបភាព 3.14
ប្រសិនបើចលនាកើតឡើងពីចំណុច B ទៅចំណុច A បន្ទាប់មក
ជាទូទៅ
សញ្ញា "+" ទាក់ទងទៅនឹងចលនាចុះក្រោមនៃចំណុចអនុវត្តកម្លាំង សញ្ញា "-" - ឡើងលើ។
4) ការងារនៃកម្លាំងយឺត
អនុញ្ញាតឱ្យអ័ក្សនៃនិទាឃរដូវត្រូវបានតម្រង់តាមអ័ក្ស x (រូបភាព 3.15) ហើយចុងបញ្ចប់នៃនិទាឃរដូវផ្លាស់ទីពីចំណុច 1 ដល់ចំណុច 2 បន្ទាប់មកពី (3.38) យើងទទួលបាន 
ប្រសិនបើនិទាឃរដូវមានភាពរឹង ជាមួយដូច្នេះ
ក 
(3.41)
ប្រសិនបើចុងបញ្ចប់នៃនិទាឃរដូវផ្លាស់ទីពីចំណុច 0 ដល់ចំណុច 1 បន្ទាប់មកនៅក្នុងកន្សោមនេះយើងជំនួស , បន្ទាប់មកការងាររបស់កម្លាំងយឺតនឹងមានទម្រង់
(3.42)
តើការពន្លូតនិទាឃរដូវនៅឯណា។
រូបភាព 3.15
5) ការងារនៃកម្លាំងដែលបានអនុវត្តទៅរាងកាយបង្វិលមួយ។ ការងារនៃពេលនេះ។
នៅក្នុងរូបភព។ រូបភាព 3.16 បង្ហាញរាងកាយបង្វិលដែលកម្លាំងបំពានត្រូវបានអនុវត្ត។ ក្នុងអំឡុងពេលបង្វិលចំណុចនៃការអនុវត្តនៃកម្លាំងនេះផ្លាស់ទីក្នុងរង្វង់មួយ។
ដេរីវេលើកដំបូងនៃសន្ទុះមុំនៃចំណុចដែលទាក់ទងទៅនឹងមជ្ឈមណ្ឌលណាមួយគឺស្មើនឹងពេលនៃកម្លាំងដែលទាក់ទងទៅនឹងចំណុចកណ្តាលដូចគ្នា:
ការព្យាករ (171) ទៅលើអ័ក្សកូអរដោនេ Cartesian ចតុកោណ យើងទទួលបានទ្រឹស្តីបទស្តីពីការផ្លាស់ប្តូរនៃសន្ទុះមុំនៃចំណុចដែលទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្សកូអរដោនេទាំងនេះ៖
,
,
. (171")
ទ្រឹស្តីបទស្តីពីការផ្លាស់ប្តូរសន្ទុះមុំនៃប្រព័ន្ធមួយ។
ដេរីវេលើកដំបូងនៃសន្ទុះមុំនៃប្រព័ន្ធដែលទាក់ទងទៅនឹងចំណុចណាមួយគឺស្មើនឹងផលបូកវ៉ិចទ័រនៃគ្រានៃកម្លាំងខាងក្រៅដែលធ្វើសកម្មភាពលើប្រព័ន្ធទាក់ទងទៅនឹងចំណុចដូចគ្នា។
, (172)
កន្លែងណា 
- ពេលសំខាន់នៃកម្លាំងខាងក្រៅនៃប្រព័ន្ធ។
ការព្យាករ (172) ទៅលើអ័ក្សកូអរដោនេ Cartesian ចតុកោណ យើងទទួលបានទ្រឹស្តីបទស្តីពីការផ្លាស់ប្តូរនៅក្នុងសន្ទុះមុំនៃប្រព័ន្ធទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្សកូអរដោនេទាំងនេះ i.e.
,
,
. (172")
ច្បាប់នៃការអភិរក្សនៃគ្រា kinetic
1. ប្រសិនបើពេលសំខាន់នៃកម្លាំងខាងក្រៅនៃប្រព័ន្ធទាក់ទងទៅនឹងចំណុច 
គឺស្មើនឹងសូន្យ, i.e. 
បន្ទាប់មក យោងតាម (79) សន្ទុះមុំនៃប្រព័ន្ធ 
ទាក់ទងទៅនឹងចំណុចដូចគ្នាគឺថេរក្នុងរ៉ិចទ័រ និងទិសដៅ i.e.
. (173)
ករណីពិសេសនៃទ្រឹស្តីបទស្តីពីការផ្លាស់ប្តូរសន្ទុះមុំនៃប្រព័ន្ធមួយត្រូវបានគេហៅថា ច្បាប់នៃការអភិរក្សនៃសន្ទុះមុំ. នៅក្នុងការព្យាករលើអ័ក្សកូអរដោនេ Cartesian ចតុកោណ យោងតាមច្បាប់នេះ។
,
,
,
កន្លែងណា 
,
,
- តម្លៃថេរ។
2. ប្រសិនបើផលបូកនៃគ្រានៃកម្លាំងខាងក្រៅទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្ស 
គឺស្មើនឹងសូន្យ, i.e. 
បន្ទាប់មកពី (172 ") វាធ្វើតាមនោះ។
. (174)
អាស្រ័យហេតុនេះ ពេល kinetic នៃប្រព័ន្ធទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្សកូអរដោនេណាមួយគឺថេរប្រសិនបើផលបូកនៃគ្រានៃកម្លាំងខាងក្រៅដែលទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្សនេះគឺសូន្យជាពិសេស ត្រូវបានគេសង្កេតឃើញនៅពេលដែលកម្លាំងខាងក្រៅស្របទៅនឹងអ័ក្ស ឬប្រសព្វវា។ ក្នុងករណីជាក់លាក់នៃរាងកាយ ឬប្រព័ន្ធនៃសាកសពដែលអាចបង្វិលជុំវិញអ័ក្សថេរ ហើយប្រសិនបើក្នុងពេលតែមួយ
,
, ឬ 
,
(175)
កន្លែងណា 
និង 
- ពេលវេលានៃនិចលភាពនៃប្រព័ន្ធសាកសព និងល្បឿនមុំរបស់វាទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្សនៃការបង្វិលនៅពេលវេលាដែលបំពានក្នុងពេលវេលា។ 
;
និង 
- ពេលវេលានៃនិចលភាពនៃរូបកាយ និងល្បឿនមុំរបស់វា នៅពេលជ្រើសរើសជាដំណាក់កាលដំបូង។
សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលសម្រាប់ការបង្វិលតួរឹងជុំវិញអ័ក្សថេរ
ពីទ្រឹស្តីបទស្តីពីការផ្លាស់ប្តូរសន្ទុះមុំ (172") ធ្វើតាមសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលសម្រាប់ការបង្វិលតួរឹងជុំវិញអ័ក្សថេរ 
:
, (176)
កន្លែងណា 
- មុំបង្វិលរាងកាយ។
សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលសម្រាប់ចលនាបង្វិលនៃរាងកាយរឹងនៅក្នុងករណីទូទៅធ្វើឱ្យវាអាចដោះស្រាយបញ្ហាចម្បងពីរ: ពីការបង្វិលរាងកាយដែលបានផ្តល់ឱ្យកំណត់កម្លាំងបង្វិលជុំនៃកម្លាំងខាងក្រៅនិងពីពេលបង្វិលដែលបានផ្តល់ឱ្យនិងលក្ខខណ្ឌដំបូងស្វែងរក ការបង្វិលនៃរាងកាយ។ នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាទីពីរដើម្បីរកមុំបង្វិលវាចាំបាច់ត្រូវបញ្ចូលសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃចលនារង្វិល។ វិធីសាស្រ្តនៃការរួមបញ្ចូលរបស់វាគឺស្រដៀងគ្នាទាំងស្រុងទៅនឹងវិធីសាស្រ្តដែលបានពិចារណានៃការរួមបញ្ចូលសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃចលនា rectilinear នៃចំណុចមួយ។
ទ្រឹស្តីបទស្តីពីការផ្លាស់ប្តូរនៃសន្ទុះមុំនៃប្រព័ន្ធក្នុងចលនាទាក់ទងដោយគោរពទៅកណ្តាលនៃម៉ាស់
អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធមេកានិចផ្លាស់ទីទាក់ទងទៅនឹងប្រព័ន្ធកូអរដោណេមេ 
. តោះយកប្រព័ន្ធកូអរដោណេផ្លាស់ទី 
ជាមួយនឹងប្រភពដើមនៅកណ្តាលម៉ាស់នៃប្រព័ន្ធ 
ផ្លាស់ប្តូរការបកប្រែទាក់ទងនឹងប្រព័ន្ធកូអរដោណេមេ។ អ្នកអាចបញ្ជាក់សុពលភាពនៃរូបមន្ត៖
កន្លែងណា 
- ល្បឿនដាច់ខាតនៃកណ្តាលម៉ាស 
.
មាត្រដ្ឋាន 
គឺជាពេលវេលា kinetic នៃប្រព័ន្ធដែលទាក់ទងទៅនឹងកណ្តាលនៃម៉ាស់ សម្រាប់ចលនាដែលទាក់ទងទាក់ទងទៅនឹងប្រព័ន្ធកូអរដោណេដែលផ្លាស់ប្តូរការបកប្រែជាមួយនឹងចំណុចកណ្តាលនៃម៉ាស់ ពោលគឺប្រព័ន្ធ 
.
រូបមន្ត (១៧៦) បង្ហាញថា សន្ទុះមុំនៃចលនាដាច់ខាតរបស់ប្រព័ន្ធទាក់ទងនឹងចំណុចថេរ 
គឺស្មើនឹងផលបូកវ៉ិចទ័រនៃសន្ទុះមុំនៃចំណុចកណ្តាលនៃម៉ាស់ដែលទាក់ទងទៅនឹងចំណុចដូចគ្នា ប្រសិនបើម៉ាស់ទាំងមូលនៃប្រព័ន្ធត្រូវបានប្រមូលផ្តុំនៅកណ្តាលម៉ាស់ ហើយសន្ទុះមុំនៃប្រព័ន្ធទាក់ទងទៅនឹងកណ្តាលនៃម៉ាស់សម្រាប់ ចលនាដែលទាក់ទងនៃប្រព័ន្ធដែលទាក់ទងទៅនឹងប្រព័ន្ធកូអរដោណេផ្លាស់ទីដែលផ្លាស់ប្តូរការបកប្រែជាមួយកណ្តាលនៃម៉ាស់។
ទ្រឹស្តីបទស្តីពីការផ្លាស់ប្តូរនៃសន្ទុះមុំនៃប្រព័ន្ធដែលទាក់ទងទៅនឹងកណ្តាលនៃម៉ាស់សម្រាប់ចលនាដែលទាក់ទង ប្រព័ន្ធទាក់ទងនឹងប្រព័ន្ធកូអរដោណេដែលផ្លាស់ប្តូរការបកប្រែជាមួយកណ្តាលនៃម៉ាស់; វាត្រូវបានបង្កើតឡើងក្នុងវិធីដូចគ្នានឹងប្រសិនបើចំណុចកណ្តាលនៃម៉ាសជាចំណុចថេរ:
ឬ 
, (178)
កន្លែងណា 
គឺជាពេលដ៏សំខាន់នៃកម្លាំងខាងក្រៅទាំងអស់ដែលទាក់ទងទៅនឹងកណ្តាលនៃម៉ាស់។
ទ្រឹស្តីបទទូទៅស្តីពីថាមវន្តនៃប្រព័ន្ធសាកសព។ ទ្រឹស្តីបទអំពីចលនានៃកណ្តាលនៃម៉ាស់ អំពីការផ្លាស់ប្តូរនៃសន្ទុះ អំពីការផ្លាស់ប្តូរនៅក្នុងសន្ទុះមុំសំខាន់ អំពីការផ្លាស់ប្តូរថាមពល kinetic ។ គោលការណ៍របស់ D'Alembert និងចលនាដែលអាចកើតមាន។ សមីការទូទៅនៃឌីណាមិក។ សមីការ Lagrange ។
មាតិកាការងារដែលធ្វើដោយកម្លាំងគឺស្មើនឹងផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រកម្លាំង និងការផ្លាស់ទីលំនៅគ្មានកំណត់នៃចំណុចនៃកម្មវិធីរបស់វា៖
,
នោះគឺជាផលិតផលនៃតម្លៃដាច់ខាតនៃវ៉ិចទ័រ F និង ds ដោយកូស៊ីនុសនៃមុំរវាងពួកវា។
ការងារធ្វើដោយកម្លាំងគឺស្មើនឹងផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រកម្លាំងបង្វិលជុំ និងមុំបង្វិលគ្មានកំណត់៖
.
គោលការណ៍របស់ d'Alembert
ខ្លឹមសារនៃគោលការណ៍របស់ d'Alembert គឺកាត់បន្ថយបញ្ហានៃថាមវន្តទៅនឹងបញ្ហានៃឋិតិវន្ត។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះវាត្រូវបានគេសន្មត់ (ឬវាត្រូវបានគេដឹងជាមុន) ថាសាកសពនៃប្រព័ន្ធមានការបង្កើនល្បឿនជាក់លាក់ (មុំ) ។ បន្ទាប់មក កម្លាំងនិចលភាព និង (ឬ) គ្រានៃកម្លាំងនិចលភាពត្រូវបានណែនាំ ដែលមានទំហំស្មើគ្នា និងផ្ទុយគ្នាក្នុងទិសដៅទៅកម្លាំង និងពេលនៃកម្លាំង ដែលយោងទៅតាមច្បាប់នៃមេកានិចនឹងបង្កើតការបង្កើនល្បឿនដែលបានផ្តល់ឱ្យ ឬការបង្កើនល្បឿនមុំ។
សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយ។ រាងកាយឆ្លងកាត់ចលនាបកប្រែ ហើយត្រូវបានធ្វើសកម្មភាពដោយកម្លាំងខាងក្រៅ។ យើងសន្មត់បន្ថែមទៀតថាកម្លាំងទាំងនេះបង្កើតការបង្កើនល្បឿននៃមជ្ឈដ្ឋាននៃប្រព័ន្ធ។ យោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទនៃចលនានៃកណ្តាលម៉ាស ចំណុចកណ្តាលនៃម៉ាសនៃរាងកាយនឹងមានការបង្កើនល្បឿនដូចគ្នាប្រសិនបើកម្លាំងមួយធ្វើសកម្មភាពលើរាងកាយ។ បន្ទាប់យើងណែនាំកម្លាំងនៃនិចលភាព៖
.
បន្ទាប់ពីនេះបញ្ហាថាមវន្ត៖
.
;
.
សម្រាប់ចលនាបង្វិលបន្តតាមរបៀបដូចគ្នា។ អនុញ្ញាតឱ្យរាងកាយបង្វិលជុំវិញអ័ក្ស z ហើយត្រូវបានធ្វើសកម្មភាពដោយពេលខាងក្រៅនៃកម្លាំង M e zk ។
.
យើងសន្មត់ថាគ្រាទាំងនេះបង្កើតការបង្កើនល្បឿនមុំ ε z ។
;
.
បន្ទាប់យើងណែនាំពីពេលនៃកម្លាំងនិចលភាព M И = - J z ε z ។
បន្ទាប់ពីនេះបញ្ហាថាមវន្ត៖
ប្រែទៅជាបញ្ហាឋិតិវន្ត៖.
គោលការណ៍នៃចលនាដែលអាចកើតមាន
គោលការណ៍នៃការផ្លាស់ទីលំនៅដែលអាចធ្វើទៅបានត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាឋិតិវន្ត។ ក្នុងបញ្ហាខ្លះ វាផ្តល់ដំណោះស្រាយខ្លីជាងការបង្កើតសមីការលំនឹង។ នេះជាការពិតជាពិសេសសម្រាប់ប្រព័ន្ធដែលមានការតភ្ជាប់ (ឧទាហរណ៍ ប្រព័ន្ធនៃតួដែលតភ្ជាប់ដោយខ្សែស្រឡាយ និងប្លុក) ដែលមានតួជាច្រើនគោលការណ៍នៃចលនាដែលអាចកើតមាន
សម្រាប់លំនឹងនៃប្រព័ន្ធមេកានិកដែលមានទំនាក់ទំនងល្អ វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលផលបូកនៃការងារបឋមនៃកម្លាំងសកម្មទាំងអស់ដែលធ្វើសកម្មភាពលើវាសម្រាប់ចលនាដែលអាចកើតមាននៃប្រព័ន្ធគឺស្មើនឹងសូន្យ។ការផ្លាស់ទីលំនៅរបស់ប្រព័ន្ធដែលអាចធ្វើបាន
- នេះគឺជាចលនាតូចមួយដែលការតភ្ជាប់ដែលបានដាក់នៅលើប្រព័ន្ធមិនត្រូវបានខូច។
គោលការណ៍ D'Alembert-Lagrange គឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នានៃគោលការណ៍ D'Alembert ជាមួយនឹងគោលការណ៍នៃចលនាដែលអាចធ្វើបាន។ នោះគឺនៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាថាមវន្ត យើងណែនាំកម្លាំងនិចលភាព និងកាត់បន្ថយបញ្ហាទៅជាបញ្ហាឋិតិវន្ត ដែលយើងដោះស្រាយដោយប្រើគោលការណ៍នៃការផ្លាស់ទីលំនៅដែលអាចកើតមាន។
គោលការណ៍ D'Alembert-Lagrange.
នៅពេលដែលប្រព័ន្ធមេកានិកដែលមានទំនាក់ទំនងល្អផ្លាស់ទី រាល់ពេលដែលផលបូកនៃការងារបឋមនៃកម្លាំងសកម្មដែលបានអនុវត្តទាំងអស់ និងកម្លាំងនិចលភាពទាំងអស់លើចលនាដែលអាចកើតមាននៃប្រព័ន្ធគឺសូន្យ៖
.
សមីការនេះត្រូវបានគេហៅថា សមីការទូទៅនៃឌីណាមិក.
សមីការ Lagrange
កូអរដោណេ q ទូទៅ 1 , q 2 , ... , q ន គឺជាសំណុំនៃបរិមាណ n ដែលកំណត់ទីតាំងនៃប្រព័ន្ធ។
ចំនួននៃកូអរដោនេទូទៅ n ស្របគ្នានឹងចំនួនដឺក្រេនៃសេរីភាពនៃប្រព័ន្ធ។
ល្បឿនទូទៅគឺជាដេរីវេនៃកូអរដោណេទូទៅទាក់ទងនឹងពេលវេលា t ។
កងកម្លាំងទូទៅ Q 1 , Q 2 , ... , Q n
.
ចូរយើងពិចារណាអំពីចលនាដែលអាចកើតមាននៃប្រព័ន្ធ ដែលកូអរដោនេ q k នឹងទទួលបានចលនា δq k ។
កូអរដោនេដែលនៅសល់នៅតែមិនផ្លាស់ប្តូរ។ អនុញ្ញាតឱ្យ δA k ជាការងារដែលធ្វើដោយកម្លាំងខាងក្រៅកំឡុងពេលចលនាបែបនេះ។ បន្ទាប់មក
.
δA k = Q k δq k , ឬ
ប្រសិនបើជាមួយនឹងចលនាដែលអាចកើតមាននៃប្រព័ន្ធ កូអរដោនេទាំងអស់ផ្លាស់ប្តូរ នោះការងារដែលធ្វើដោយកម្លាំងខាងក្រៅកំឡុងពេលចលនាបែបនេះមានទម្រង់៖ δA = Q.
1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n
.
បន្ទាប់មក កម្លាំងទូទៅ គឺជាដេរីវេមួយផ្នែកនៃការងារលើការផ្លាស់ទីលំនៅ៖សម្រាប់កម្លាំងសក្តានុពល
.
ជាមួយនឹងសក្តានុពលΠ,សមីការ Lagrange
គឺជាសមីការនៃចលនានៃប្រព័ន្ធមេកានិចនៅក្នុងកូអរដោណេទូទៅ៖
.
នៅទីនេះ T គឺជាថាមពល kinetic ។ វាគឺជាមុខងារនៃកូអរដោនេទូទៅ ល្បឿន និងពេលវេលា។ ដូច្នេះ ដេរីវេផ្នែករបស់វាក៏ជាមុខងារនៃកូអរដោណេទូទៅ ល្បឿន និងពេលវេលាផងដែរ។ បន្ទាប់មកអ្នកត្រូវយកទៅពិចារណាថា កូអរដោនេ និងល្បឿនគឺជាមុខងារនៃពេលវេលា។ ដូច្នេះ ដើម្បីស្វែងរកដេរីវេសរុបទាក់ទងនឹងពេលវេលា អ្នកត្រូវអនុវត្តច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញ៖
ឯកសារយោង៖
S. M. Targ, វគ្គសិក្សាខ្លីក្នុងទ្រឹស្តីមេកានិច, “វិទ្យាល័យ”, ឆ្នាំ ២០១០។
ទ្រឹស្តីបទស្តីពីការផ្លាស់ប្តូរសន្ទុះនៃប្រព័ន្ធ
គោលគំនិតនៃកម្លាំងរុញច្រានអនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្កើតទ្រឹស្តីបទស្តីពីការផ្លាស់ប្តូរសន្ទុះនៃប្រព័ន្ធសម្រាប់ប្រព័ន្ធបំពាន៖
ទ្រឹស្តីបទស្តីពីការផ្លាស់ប្តូរសន្ទុះមុំ (សន្ទុះមុំ) នៃចំណុចសម្ភារៈ
ពិចារណាចំណុចសម្ភារៈ ម ម៉ាស ម ផ្លាស់ទីក្រោមឥទ្ធិពលនៃកម្លាំង ច (រូបភាព 3.1) ។ ចូរសរសេរ និងបង្កើតវ៉ិចទ័រនៃសន្ទុះមុំ (សន្ទុះ kinetic) ម 0 ចំណុចសម្ភារៈទាក់ទងទៅនឹងមជ្ឈមណ្ឌល អូ :
រូបភាព 3.1
ចូរយើងបែងចែកកន្សោមសម្រាប់សន្ទុះមុំ (kinetic moment k 0) តាមពេលវេលា៖
ដោយសារតែ លោកបណ្ឌិត /dt = វ បន្ទាប់មកផលិតផលវ៉ិចទ័រ វ ⊗ m⋅V (វ៉ិចទ័រ Collinear វ និង m⋅V ) គឺស្មើនឹងសូន្យ។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នា d(m⋅V) /dt = F យោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទអំពីសន្ទុះនៃចំណុចសម្ភារៈ។ ដូច្នេះយើងទទួលបានវា។
ឃ 0 /dt = r ⊗ច , (3.3)
កន្លែងណា r ⊗ច = ម 0 (ច) - វ៉ិចទ័រ - ពេលវេលានៃកម្លាំង ច ទាក់ទងទៅនឹងមជ្ឈមណ្ឌលថេរ អូ . វ៉ិចទ័រ k 0 ⊥ យន្តហោះ ( r,ម ⊗វ ) និងវ៉ិចទ័រ ម 0 (ច) ⊥ យន្តហោះ ( r ,ច ) ទីបំផុតយើងមាន
ឃ 0 /dt = ម 0 (ច) . (3.4)
សមីការ (៣.៤) បង្ហាញពីទ្រឹស្តីបទអំពីការផ្លាស់ប្តូរសន្ទុះមុំ (សន្ទុះ kinetic) នៃចំណុចសម្ភារៈ ទាក់ទងទៅនឹងមជ្ឈមណ្ឌល: ដេរីវេនៃពេលវេលានៃសន្ទុះ (សន្ទុះ kinetic) នៃចំណុចសម្ភារៈដែលទាក់ទងទៅនឹងមជ្ឈមណ្ឌលថេរណាមួយគឺស្មើនឹងពេលនៃកម្លាំងដែលធ្វើសកម្មភាពលើចំណុចដែលទាក់ទងទៅនឹងមជ្ឈមណ្ឌលដូចគ្នា។
ការព្យាករណ៍សមភាព (3.4) ទៅលើអ័ក្សនៃកូអរដោនេ Cartesian យើងទទួលបាន
dk x /dt = M x(ច); dk y /dt = M y(ច); dk z /dt = M z(ច) . (3.5)
សមភាព (៣.៥) បង្ហាញទ្រឹស្តីបទអំពីការផ្លាស់ប្តូរនៃសន្ទុះមុំ (សន្ទុះ kinetic) នៃចំណុចសម្ភារៈដែលទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្ស៖ ដេរីវេនៃពេលវេលានៃសន្ទុះ (ខណៈពេល kinetic) នៃចំណុចសម្ភារៈដែលទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្សថេរណាមួយគឺស្មើនឹងពេលនៃកម្លាំងដែលធ្វើសកម្មភាពលើចំណុចនេះទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្សដូចគ្នា។
ចូរយើងពិចារណាអំពីផលវិបាកដូចខាងក្រោមពីទ្រឹស្តីបទ (៣.៤) និង (៣.៥)។
កូរ៉ូឡារី ១.ចូរយើងពិចារណាករណីនៅពេលដែលកម្លាំង ច ក្នុងអំឡុងពេលចលនាទាំងមូលនៃចំណុចឆ្លងកាត់កណ្តាលស្ថានី អូ (ករណីនៃកម្លាំងកណ្តាល), i.e. ពេលណា ម 0 (ច) = 0. បន្ទាប់មកពីទ្រឹស្តីបទ (3.4) វាធ្វើតាមនោះ។ k 0 = const ,
ទាំងនោះ។ ក្នុងករណីនៃកម្លាំងកណ្តាល សន្ទុះមុំ ( kinetic moment ) នៃចំណុចសម្ភារៈដែលទាក់ទងទៅនឹងកណ្តាលនៃកម្លាំងនេះនៅតែថេរក្នុងរ៉ិចទ័រ និងទិសដៅ (រូបភាព 3.2) ។
រូបភាព 3.2
ពីលក្ខខណ្ឌ k 0 = const វាធ្វើតាមថាគន្លងនៃចំណុចផ្លាស់ទីគឺជាខ្សែកោងរាបស្មើ យន្តហោះដែលឆ្លងកាត់កណ្តាលនៃកម្លាំងនេះ។
កូរ៉ូឡារី ២.អនុញ្ញាតឱ្យ M z(ច) = 0, i.e. កម្លាំងឆ្លងកាត់អ័ក្ស z ឬស្របទៅនឹងវា។ ក្នុងករណីនេះ ដូចដែលអាចមើលឃើញពីសមីការទីបី (៣.៥)។ k z = const ,
ទាំងនោះ។ ប្រសិនបើពេលនៃកម្លាំងដែលធ្វើសកម្មភាពលើចំណុចដែលទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្សថេរណាមួយគឺតែងតែជាសូន្យ នោះសន្ទុះមុំ (ខណៈពេល kinetic) នៃចំណុចដែលទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្សនេះនៅតែថេរ។
ពិចារណាចំណុចសម្ភារៈ មម៉ាស មផ្លាស់ទីក្រោមឥទ្ធិពលនៃកម្លាំង ច(រូបភាព 3.1) ។ ចូរសរសេរ និងបង្កើតវ៉ិចទ័រនៃសន្ទុះមុំ (សន្ទុះ kinetic) M0ចំណុចសម្ភារៈទាក់ទងនឹងមជ្ឈមណ្ឌល អូ:
រូបភាព 3.1
ចូរយើងបែងចែកកន្សោមសម្រាប់សន្ទុះមុំ (kinetic moment k ០) តាមពេលវេលា៖
ដោយសារតែ dr/dt=Vបន្ទាប់មកផលិតផលវ៉ិចទ័រ V × m∙V(វ៉ិចទ័រ Collinear វនិង m∙V) គឺស្មើនឹងសូន្យ។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នា d(m∙V)/dt=Fយោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទអំពីសន្ទុះនៃចំណុចសម្ភារៈ។ ដូច្នេះយើងទទួលបានវា។
dk 0 / dt = r × F, (3.3)
កន្លែងណា r × F = M 0 (F)- វ៉ិចទ័រ - ពេលវេលានៃកម្លាំង ចទាក់ទងទៅនឹងមជ្ឈមណ្ឌលថេរ អូ. វ៉ិចទ័រ k ០⊥ យន្តហោះ ( r, m × V) និងវ៉ិចទ័រ M0(F)⊥ យន្តហោះ ( r, អេហ្វ) ទីបំផុតយើងមាន
dk 0 /dt = M 0 (F). (3.4)
សមីការ (៣.៤) បង្ហាញពីទ្រឹស្តីបទអំពីការផ្លាស់ប្តូរនៃសន្ទុះមុំ (សន្ទុះមុំ) នៃចំណុចសម្ភារៈដែលទាក់ទងទៅនឹងចំណុចកណ្តាល៖ ដេរីវេនៃពេលវេលានៃសន្ទុះ (សន្ទុះ kinetic) នៃចំណុចសម្ភារៈដែលទាក់ទងទៅនឹងមជ្ឈមណ្ឌលថេរណាមួយគឺស្មើនឹងពេលនៃកម្លាំងដែលធ្វើសកម្មភាពលើចំណុចដែលទាក់ទងទៅនឹងមជ្ឈមណ្ឌលដូចគ្នា។
ការព្យាករណ៍សមភាព (3.4) ទៅលើអ័ក្សនៃកូអរដោនេ Cartesian យើងទទួលបាន
dk x / dt = M x (F);
dk y / dt = M y (F);
dk z /dt = M z (F). (3.5)
សមភាព (៣.៥) បង្ហាញទ្រឹស្តីបទអំពីការផ្លាស់ប្តូរនៃសន្ទុះមុំ (សន្ទុះ kinetic) នៃចំណុចសម្ភារៈដែលទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្ស៖ ដេរីវេនៃពេលវេលានៃសន្ទុះ (ខណៈពេល kinetic) នៃចំណុចសម្ភារៈដែលទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្សថេរណាមួយគឺស្មើនឹងពេលនៃកម្លាំងដែលធ្វើសកម្មភាពលើចំណុចនេះទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្សដូចគ្នា។
ចូរយើងពិចារណាអំពីផលវិបាកដូចខាងក្រោមពីទ្រឹស្តីបទ (៣.៤) និង (៣.៥)។
កូរ៉ូឡារី ១
ចូរយើងពិចារណាករណីនៅពេលដែលកម្លាំង ចក្នុងអំឡុងពេលចលនាទាំងមូលនៃចំណុចឆ្លងកាត់កណ្តាលស្ថានី អូ(ករណីនៃកម្លាំងកណ្តាល), i.e. ពេលណា M 0 (F) = 0. បន្ទាប់មកពីទ្រឹស្តីបទ (៣.៤) វាធ្វើតាមនោះ។ k 0 = const, ទាំងនោះ។ នៅក្នុងករណីនៃកម្លាំងកណ្តាល សន្ទុះមុំ (សន្ទុះ kinetic) នៃចំណុចសម្ភារៈដែលទាក់ទងទៅនឹងចំណុចកណ្តាលនៃកម្លាំងនេះនៅតែថេរក្នុងទំហំ និងទិសដៅ។(រូបភាព 3.2) ។
រូបភាព 3.2
ពីលក្ខខណ្ឌ k 0 = constវាធ្វើតាមថាគន្លងនៃចំណុចផ្លាស់ទីគឺជាខ្សែកោងរាបស្មើ យន្តហោះដែលឆ្លងកាត់កណ្តាលនៃកម្លាំងនេះ។
កូរ៉ូឡារី ២
អនុញ្ញាតឱ្យ M z (F) = 0, i.e. កម្លាំងឆ្លងកាត់អ័ក្ស zឬស្របទៅនឹងវា។
ក្នុងករណីនេះ ដូចដែលអាចមើលឃើញពីសមីការទីបី (៣.៥)។ k z = const, ទាំងនោះ។ ប្រសិនបើពេលនៃកម្លាំងដែលធ្វើសកម្មភាពលើចំណុចដែលទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្សថេរណាមួយគឺតែងតែជាសូន្យ នោះសន្ទុះមុំ (ខណៈពេល kinetic) នៃចំណុចដែលទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្សនេះនៅតែថេរ។.
