ដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូងត្រូវបានគេហៅថាសមភាពដូចខាងក្រោមៈ

\begin(សមីការ)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(សមីការ)

ដោយសារសម្រាប់ $\alpha\to(0)$ យើងមាន $\sin\alpha\to(0)$ យើងនិយាយថាដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូងបង្ហាញពីភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់ $\frac(0)(0)$ ។ និយាយជាទូទៅក្នុងរូបមន្ត (1) ជំនួសឱ្យអថេរ $\alpha$ នៅក្រោមសញ្ញាស៊ីនុស និងក្នុងភាគបែង កន្សោមណាមួយអាចមានទីតាំងនៅ ដរាបណាលក្ខខណ្ឌពីរត្រូវបានបំពេញ៖

1. កន្សោមនៅក្រោមសញ្ញាស៊ីនុស និងក្នុងភាគបែងក្នុងពេលដំណាលគ្នាមានទំនោរទៅសូន្យ ពោលគឺឧ។ មានភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់ $\frac(0)(0)$ ។
2. កន្សោមនៅក្រោមសញ្ញាស៊ីនុស និងក្នុងភាគបែងគឺដូចគ្នា។

Corollaries ពីដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូងក៏ត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់ផងដែរ:

\begin(សមីការ) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(សមីការ)

ឧទាហរណ៍ដប់មួយត្រូវបានដោះស្រាយនៅលើទំព័រនេះ។ ឧទាហរណ៍លេខ 1 ត្រូវបានឧទ្ទិសដល់ភស្តុតាងនៃរូបមន្ត (2)-(4) ។ ឧទាហរណ៍ #2, #3, #4 និង #5 មានដំណោះស្រាយជាមួយនឹងមតិយោបល់លម្អិត។ ឧទាហរណ៍ 6-10 មានដំណោះស្រាយជាមួយនឹងមតិយោបល់តិចតួច ឬគ្មាន ដូចដែលការពន្យល់លម្អិតត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងឧទាហរណ៍មុន។ នៅពេលដោះស្រាយ រូបមន្តត្រីកោណមាត្រមួយចំនួនត្រូវបានប្រើប្រាស់ ដែលអាចត្រូវបានរកឃើញ។

ខ្ញុំកត់សម្គាល់ថាវត្តមាននៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្ររួមជាមួយនឹងភាពមិនច្បាស់លាស់នៃ $\frac (0) (0)$ មិនមានន័យថាដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូងត្រូវតែអនុវត្តនោះទេ។ ពេលខ្លះការបំប្លែងត្រីកោណមាត្រសាមញ្ញគឺគ្រប់គ្រាន់ - ឧទាហរណ៍សូមមើល។

ឧទាហរណ៍ #1

បង្ហាញថា $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ ។

ក) ចាប់តាំងពី $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$ បន្ទាប់មក៖

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

ចាប់តាំងពី $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ និង $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , បន្ទាប់មក៖

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

ខ) ចូរធ្វើការជំនួស $\alpha=\sin(y)$ ។ ចាប់តាំងពី $\sin(0)=0$ បន្ទាប់មកពីលក្ខខណ្ឌ $\alpha\to(0)$ យើងមាន $y\to(0)$ ។ លើសពីនេះទៀត មានសង្កាត់នៃសូន្យ ដែល $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$ ដូច្នេះ៖

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y)))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1)=1. $$

សមភាព $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ ត្រូវបានបញ្ជាក់។

គ) ចូរធ្វើការជំនួស $\alpha=\tg(y)$ ។ ចាប់តាំងពី $\tg(0)=0$ លក្ខខណ្ឌ $\alpha\to(0)$ និង $y\to(0)$ គឺសមមូល។ លើសពីនេះទៀត មានសង្កាត់នៃសូន្យ ដែល $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$ ដូច្នេះដោយពឹងផ្អែកលើលទ្ធផលនៃចំនុច a) យើងនឹងមាន៖

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y)))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1)=1. $$

សមភាព $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ ត្រូវបានបញ្ជាក់។

ភាពស្មើគ្នា ក) ខ) គ) ជាញឹកញាប់ត្រូវបានគេប្រើរួមជាមួយនឹងដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូង។

ឧទាហរណ៍ #2

ដែនកំណត់គណនា $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)( x+7))$។

ចាប់តាំងពី $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ និង $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, i.e. ហើយភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគក្នុងពេលដំណាលគ្នាមានទំនោរទៅសូន្យ បន្ទាប់មកនៅទីនេះយើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយនឹងភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់ $\frac(0)(0)$, i.e. បានអនុវត្ត។ លើសពីនេះទៀត វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថាកន្សោមនៅក្រោមសញ្ញាស៊ីនុស និងក្នុងភាគបែងគឺដូចគ្នា (ឧ. និងពេញចិត្ត)៖

ដូច្នេះ លក្ខខណ្ឌទាំងពីរដែលបានរាយនៅដើមទំព័រត្រូវបានបំពេញ។ វាធ្វើតាមពីនេះដែលរូបមន្តអាចអនុវត្តបាន i.e. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+7 ))=1$។

ចម្លើយ៖ $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$។

ឧទាហរណ៍ #3

ស្វែងរក $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$ ។

ចាប់តាំងពី $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ និង $\lim_(x\to(0))x=0$ យើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយនឹងភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់ $\frac( 0 )(0)$ ឧ. បានអនុវត្ត។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ កន្សោមនៅក្រោមសញ្ញាស៊ីនុស និងក្នុងភាគបែងមិនត្រូវគ្នាទេ។ នៅទីនេះវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីកែសម្រួលកន្សោមនៅក្នុងភាគបែងទៅជាទម្រង់ដែលចង់បាន។ យើងត្រូវការកន្សោម $9x$ ដើម្បីស្ថិតនៅក្នុងភាគបែង - បន្ទាប់មកវានឹងក្លាយជាការពិត។ ជាទូទៅ យើងបាត់កត្តា $9$ នៅក្នុងភាគបែង ដែលមិនពិបាកបញ្ចូលនោះទេ គ្រាន់តែគុណកន្សោមក្នុងភាគបែងដោយ $9។ តាមធម្មជាតិ ដើម្បីប៉ះប៉ូវគុណនឹង ៩ ដុល្លារ អ្នកនឹងត្រូវចែកភ្លាមៗដោយ ៩ ដុល្លារ ហើយចែក៖

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x) $$

ឥឡូវនេះកន្សោមនៅក្នុងភាគបែង និងនៅក្រោមសញ្ញាស៊ីនុសគឺដូចគ្នា។ លក្ខខណ្ឌទាំងពីរសម្រាប់ដែនកំណត់ $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ ត្រូវបានពេញចិត្ត។ ដូច្នេះ $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$ ។ ហើយនេះមានន័យថា៖

$9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9។ $$

ចម្លើយ៖ $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$ ។

ឧទាហរណ៍ #4

ស្វែងរក $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$ ។

ចាប់តាំងពី $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ និង $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$ នៅទីនេះ យើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយនឹងភាពមិនច្បាស់លាស់នៃ ទម្រង់ $\frac(0)(0)$ ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយទម្រង់នៃដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូងត្រូវបានខូច។ ភាគយកដែលមាន $\sin(5x)$ ទាមទារ $5x$ ក្នុងភាគបែង។ ក្នុងស្ថានភាពនេះ វិធីងាយស្រួលបំផុតគឺត្រូវចែកភាគយកដោយ $5x$ ហើយគុណនឹង $5x$ ភ្លាមៗ។ លើសពីនេះទៀត យើងនឹងធ្វើប្រតិបត្តិការស្រដៀងគ្នាជាមួយភាគបែង គុណ និងចែក $\tg(8x)$ ដោយ $8x$:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

កាត់បន្ថយ $x$ ហើយយក $\frac(5)(8)$ ថេរចេញពីសញ្ញាកំណត់ យើងទទួលបាន៖

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x)))( 8x)) $$

ចំណាំថា $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ បំពេញបានពេញលេញនូវតម្រូវការសម្រាប់ដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូង។ ដើម្បីស្វែងរក $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ រូបមន្តខាងក្រោមគឺអាចអនុវត្តបាន៖

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1)=\frac(5)(8)។ $$

ចម្លើយ៖ $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$។

ឧទាហរណ៍ #5

ស្វែងរក $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$ ។

ចាប់តាំងពី $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (រំលឹកថា $\cos(0)=1$) និង $\ lim_(x\to(0))x^2=0$ បន្ទាប់មកយើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយនឹងភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់ $\frac(0)(0)$។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ដើម្បីអនុវត្តដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យដំបូង អ្នកគួរតែកម្ចាត់កូស៊ីនុសនៅក្នុងភាគយកដោយចូលទៅកាន់ស៊ីនុស (ដើម្បីអនុវត្តរូបមន្ត) ឬតង់ហ្សង់ (ដើម្បីអនុវត្តរូបមន្ត)។ អ្នក​អាច​ធ្វើ​វា​ជាមួយ​នឹង​ការ​បំប្លែង​ដូច​ខាង​ក្រោម៖

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$$$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))$$

តោះត្រឡប់ទៅដែនកំណត់៖

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) $$

ប្រភាគ $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ គឺនៅជិតទម្រង់ដែលត្រូវការសម្រាប់ដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូងរួចទៅហើយ។ ចូរធ្វើការបន្តិចជាមួយនឹងប្រភាគ $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ ដោយកែតម្រូវវាទៅដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យដំបូង (ចំណាំថាកន្សោមនៅក្នុងភាគយក និងនៅក្រោមស៊ីនុសត្រូវតែផ្គូផ្គង)៖

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$

ចូរយើងត្រលប់ទៅដែនកំណត់ដែលបានពិចារណា៖

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0 ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) = 25 ។ $$

ចម្លើយ៖ $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$ ។

ឧទាហរណ៍ #6

ស្វែងរកដែនកំណត់ $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$ ។

ចាប់តាំងពី $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ និង $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$ បន្ទាប់មក យើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយនឹងភាពមិនច្បាស់លាស់នៃ $\frac(0)(0)$ ។ តោះបើកវាដោយមានជំនួយពីដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូង។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះសូមផ្លាស់ទីពីកូស៊ីនុសទៅស៊ីនុស។ ចាប់តាំងពី $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$ បន្ទាប់មក៖

$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x)។$$

ឆ្លងកាត់ដែនកំណត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ sines យើងនឹងមាន:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x)))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))(((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

ចម្លើយ៖ $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$ ។

ឧទាហរណ៍ #7

គណនាដែនកំណត់ $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ បានផ្តល់ $\alpha\neq\beta $

ការពន្យល់លម្អិតត្រូវបានផ្តល់ឱ្យមុននេះ ប៉ុន្តែនៅទីនេះយើងគ្រាន់តែចំណាំថា មានភាពមិនច្បាស់លាស់នៃ $\frac(0)(0)$ ម្តងទៀត។ ចូរផ្លាស់ទីពីកូស៊ីនុសទៅស៊ីនុសដោយប្រើរូបមន្ត

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

ដោយប្រើរូបមន្តខាងលើយើងទទួលបាន៖

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\ ត្រូវ| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta) )(2)\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2)។ $$

ចម្លើយ៖ $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ អាល់ហ្វា^2)(2)$។

ឧទាហរណ៍ #8

ស្វែងរកដែនកំណត់ $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$។

ចាប់តាំងពី $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (រំលឹកថា $\sin(0)=\tg(0)=0$) និង $\ lim_(x\to(0))x^3=0$ បន្ទាប់មកនៅទីនេះ យើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយនឹងភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់ $\frac(0)(0)$។ ចូរបំបែកវាដូចនេះ៖

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3)=\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) = \\ frac (1) (2) ។ $$

ចម្លើយ៖ $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$។

ឧទាហរណ៍ #9

ស្វែងរកដែនកំណត់ $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$។

ចាប់តាំងពី $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ និង $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$ បន្ទាប់មកមានភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់ $\frac(0)(0)$។ មុនពេលបន្តទៅការពង្រីករបស់វា វាងាយស្រួលក្នុងការផ្លាស់ប្តូរអថេរតាមរបៀបដែលអថេរថ្មីមានទំនោរទៅសូន្យ (ចំណាំថាអថេរ $\alpha \to 0$ ក្នុងរូបមន្ត)។ មធ្យោបាយងាយស្រួលបំផុតគឺត្រូវណែនាំអថេរ $t=x-3$ ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ សម្រាប់ភាពងាយស្រួលនៃការផ្លាស់ប្តូរបន្ថែមទៀត (អត្ថប្រយោជន៍នេះអាចត្រូវបានគេមើលឃើញនៅក្នុងដំណើរការនៃដំណោះស្រាយខាងក្រោម) វាមានតម្លៃធ្វើការជំនួសដូចខាងក្រោម: $t=\frac(x-3)(2)$ ។ ខ្ញុំកត់សម្គាល់ថាការជំនួសទាំងពីរអាចអនុវត្តបានក្នុងករណីនេះ គ្រាន់តែការជំនួសទីពីរនឹងអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកធ្វើការតិចជាងដោយប្រភាគ។ ចាប់តាំងពី $x\to(3)$ បន្ទាប់មក $t\to(0)$។

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\ ត្រូវ| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

ចម្លើយ៖ $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$ ។

ឧទាហរណ៍ #10

ស្វែងរកដែនកំណត់ $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2) $ ។

ជាថ្មីម្តងទៀត យើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយនឹងភាពមិនច្បាស់លាស់នៃ $\frac(0)(0)$។ មុននឹងបន្តការពង្រីករបស់វា វាងាយស្រួលក្នុងការផ្លាស់ប្តូរអថេរតាមរបៀបដែលអថេរថ្មីមានទំនោរទៅសូន្យ (ចំណាំថាអថេរគឺ $\alpha\to(0)$ ក្នុងរូបមន្ត)។ មធ្យោបាយងាយស្រួលបំផុតគឺត្រូវណែនាំអថេរ $t=\frac(\pi)(2)-x$ ។ ចាប់តាំងពី $x\to\frac(\pi)(2)$ បន្ទាប់មក $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\left|\frac(0)(0)\right| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) = \\ frac (1) (2) ។ $$

ចម្លើយ៖ $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$។

ឧទាហរណ៍ #11

ស្វែងរកដែនកំណត់ $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2\ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$ ។

ក្នុងករណីនេះយើងមិនចាំបាច់ប្រើដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យដំបូងឡើយ។ សូមចំណាំ៖ នៅក្នុងដែនកំណត់ទីមួយ និងទីពីរ មានតែអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ និងលេខប៉ុណ្ណោះ។ ជាញឹកញាប់នៅក្នុងឧទាហរណ៍នៃប្រភេទនេះ វាគឺអាចធ្វើទៅបានដើម្បីសម្រួលការបញ្ចេញមតិដែលមានទីតាំងនៅក្រោមសញ្ញាកំណត់។ ក្នុងករណីនេះបន្ទាប់ពីការធ្វើឱ្យសាមញ្ញដែលបានរៀបរាប់និងកាត់បន្ថយកត្តាមួយចំនួនភាពមិនច្បាស់លាស់នឹងរលាយបាត់។ ខ្ញុំបានផ្តល់ឧទាហរណ៍នេះក្នុងគោលបំណងតែមួយគត់៖ ដើម្បីបង្ហាញថាវត្តមាននៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៅក្រោមសញ្ញាកំណត់ មិនចាំបាច់មានន័យថាការអនុវត្តដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូងឡើយ។

ចាប់តាំងពី $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (រំលឹកថា $\sin\frac(\pi)(2)=1$) និង $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (រំលឹកថា $\cos\frac(\pi)(2)=0$) បន្ទាប់មក យើងដោះស្រាយជាមួយភាពមិនច្បាស់លាស់ នៃទម្រង់ $\frac(0)(0)$ ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយនេះមិនមានន័យទាល់តែសោះដែលយើងត្រូវប្រើដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូង។ ដើម្បីបង្ហាញភាពមិនច្បាស់លាស់ វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការពិចារណាថា $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))))=\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x))=\frac(1)(1+1)=\frac(1)(2)។ $$

មានដំណោះស្រាយស្រដៀងគ្នានៅក្នុងសៀវភៅដំណោះស្រាយរបស់ Demidovich (លេខ 475) ។ ចំពោះដែនកំណត់ទីពីរ ដូចនៅក្នុងឧទាហរណ៍មុននៃផ្នែកនេះ យើងមានភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់ $\frac(0)(0)$។ ហេតុអ្វីបានជាវាកើតឡើង? វាកើតឡើងដោយសារតែ $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ និង $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$ ។ យើងប្រើតម្លៃទាំងនេះដើម្បីបំប្លែងកន្សោមក្នុងភាគយក និងភាគបែង។ គោលបំណងនៃសកម្មភាពរបស់យើង៖ សរសេរផលបូកក្នុងភាគយក និងភាគបែងជាផលិតផល។ ដោយវិធីនេះ ជារឿយៗវាងាយស្រួលក្នុងការផ្លាស់ប្តូរអថេរក្នុងទម្រង់ស្រដៀងគ្នា ដូច្នេះអថេរថ្មីមានទំនោរទៅសូន្យ (សូមមើលឧទាហរណ៍ឧទាហរណ៍លេខ 9 ឬលេខ 10 នៅលើទំព័រនេះ)។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ វាគ្មានចំណុចណាមួយក្នុងការជំនួសអថេរនោះទេ ទោះបីជាវាងាយស្រួលក្នុងការអនុវត្តការជំនួសអថេរ $t=x-\frac(2\pi)(3)$ ប្រសិនបើចង់បាន។

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ ទៅ\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x))+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin) \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac) (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3) ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3) ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4 )(\sqrt(3))។ $$

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញ យើងមិនចាំបាច់អនុវត្តដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យដំបូងឡើយ។ ជាការពិតណាស់នេះអាចត្រូវបានធ្វើប្រសិនបើអ្នកចង់បាន (សូមមើលចំណាំខាងក្រោម) ប៉ុន្តែវាមិនចាំបាច់ទេ។

តើ​អ្វី​នឹង​ជា​ដំណោះ​ស្រាយ​ដោយ​ប្រើ​កម្រិត​គួរ​ឱ្យ​កត់​សម្គាល់​ដំបូង? បង្ហាញ/លាក់

ដោយប្រើដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូងយើងទទួលបាន:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ ស្តាំ))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3)))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3)))( 2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3)) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( ៣))។ $$

ចម្លើយ៖ $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$។

ដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូងត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់ដើម្បីគណនាដែនកំណត់ដែលមានស៊ីនុស អាកស៊ីន តង់ហ្សង់ អាកតង់ហ្សង់ និងភាពមិនប្រាកដប្រជាជាលទ្ធផលចែកនឹងសូន្យ។

រូបមន្ត

រូបមន្តសម្រាប់ដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូងគឺ: $$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin\alpha)(\alpha) = 1$$

យើងកត់សំគាល់ថា $\alpha\to 0$ ផ្តល់ទិន្នផល $\sin\alpha\to 0$ ដូច្នេះយើងមានសូន្យនៅក្នុងភាគយក និងភាគបែង។ ដូច្នេះ រូបមន្តនៃដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូងគឺត្រូវការដើម្បីបង្ហាញពីភាពមិនច្បាស់លាស់នៃ $ \frac(0)(0) $ ។

សម្រាប់រូបមន្តដែលត្រូវអនុវត្ត លក្ខខណ្ឌពីរត្រូវតែបំពេញ៖

1. កន្សោមដែលមាននៅក្នុងស៊ីនុស និងភាគបែងនៃប្រភាគគឺដូចគ្នា។
2. កន្សោមនៅក្នុងស៊ីនុស និងភាគបែងនៃប្រភាគមានទំនោរទៅសូន្យ

យកចិត្តទុកដាក់! $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(2x^2+1))(2x^2+1) \neq 1$ ទោះបីជាកន្សោមនៅក្រោមស៊ីនុស និងក្នុងភាគបែងគឺដូចគ្នាយ៉ាងណាក៏ដោយ ក៏ $2x ^2+1 = 1$ ពេល $x\ ទៅ 0$ ។ លក្ខខណ្ឌទីពីរមិនត្រូវបានបំពេញទេ ដូច្នេះរូបមន្តមិនអាចអនុវត្តបាន!

ផលវិបាក

កម្រណាស់ នៅក្នុងកិច្ចការដែលអ្នកអាចមើលឃើញដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យដំបូងបំផុត ដែលអ្នកអាចសរសេរចម្លើយភ្លាមៗ។ នៅក្នុងការអនុវត្តអ្វីគ្រប់យ៉ាងមើលទៅមានភាពស្មុគស្មាញបន្តិចប៉ុន្តែសម្រាប់ករណីបែបនេះវានឹងមានប្រយោជន៍ក្នុងការដឹងពីផលវិបាកនៃដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូង។ សូមអរគុណដល់ពួកគេអ្នកអាចគណនាដែនកំណត់ដែលចង់បានយ៉ាងឆាប់រហ័ស។

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\alpha)(\sin\alpha) = 1$$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin(a\alpha))(\sin(b\alpha))) = \frac(a)(b) $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(tg\alpha)(\alpha) = 1$$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\arcsin\alpha)(\alpha) = 1$$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(arctg\alpha)(\alpha) = 1$$

ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយ

ចូរយើងពិចារណាដែនកំណត់ដែលគួរអោយកត់សំគាល់ដំបូង ជាឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយសម្រាប់ការគណនាដែនកំណត់ដែលមានអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ និងភាពមិនច្បាស់លាស់ $ \bigg[\frac(0)(0)\bigg] $

ឧទាហរណ៍ ១

គណនា $\lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) $

ដំណោះស្រាយ

ពិចារណាដែនកំណត់ហើយចំណាំថាវាមានស៊ីនុស។ បន្ទាប់មក យើងជំនួស $x = 0$ ទៅក្នុងភាគយក និងភាគបែង ហើយទទួលបានភាពមិនច្បាស់លាស់នៃសូន្យ ចែកនឹងសូន្យ៖ $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \frac(0)( 0) $$ មានសញ្ញាពីរដែលអ្នកត្រូវអនុវត្តដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យ ប៉ុន្តែមានចំនុចតូចមួយ៖ យើងនឹងមិនអាចអនុវត្តរូបមន្តភ្លាមៗបានទេ ដោយសារកន្សោមនៅក្រោមសញ្ញាស៊ីនុសខុសពីកន្សោមនៅក្នុងភាគបែង។ ហើយយើងត្រូវការឱ្យពួកគេស្មើគ្នា។ ដូច្នេះ ដោយមានជំនួយពីការបំប្លែងបឋមនៃភាគយក យើងនឹងប្រែក្លាយវាទៅជា $2x$។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងនឹងយក deuce ចេញពីភាគបែងនៃប្រភាគដោយកត្តាដាច់ដោយឡែកមួយ។ វាមើលទៅដូចនេះ៖ $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2\cdot 2x) = $$$$ = \frac(1)(2) \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = \frac(1)(2)\cdot 1 = \frac(1)(2) $$ , ដែលនៅចុងបញ្ចប់ $\lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = 1$ ត្រូវបានទទួលដោយរូបមន្ត។ ប្រសិនបើអ្នកមិនអាចដោះស្រាយបញ្ហារបស់អ្នកបានទេ សូមផ្ញើវាមកពួកយើង។ យើងនឹងផ្តល់ដំណោះស្រាយលម្អិត។ អ្នកនឹងអាចស្គាល់ខ្លួនឯងជាមួយនឹងវឌ្ឍនភាពនៃការគណនា និងប្រមូលព័ត៌មាន។ នេះនឹងជួយឱ្យអ្នកទទួលបានក្រេឌីតពីគ្រូក្នុងលក្ខណៈទាន់ពេលវេលា!

ចម្លើយ

$$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) =\frac(1)(2)$$

ឧទាហរណ៍ ២

ស្វែងរក $\lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) $

ដំណោះស្រាយ

ដូចដែលតែងតែជាដំបូងអ្នកត្រូវដឹងពីប្រភេទនៃភាពមិនច្បាស់លាស់។ ប្រសិនបើវាជាសូន្យ ចែកនឹងសូន្យ នោះយើងយកចិត្តទុកដាក់ចំពោះវត្តមានរបស់ស៊ីនុស៖ $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = \frac(0) (0) = $$ ភាពមិនច្បាស់លាស់នេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងប្រើរូបមន្តនៃដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូង ប៉ុន្តែកន្សោមពីភាគបែងមិនស្មើនឹងអាគុយម៉ង់នៃស៊ីនុសទេ? ដូច្នេះវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការអនុវត្តរូបមន្ត "នៅលើថ្ងាស" ។ អ្នកត្រូវគុណ និងបែងចែកប្រភាគដោយអាគុយម៉ង់ស៊ីនុស៖ $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x)\sin(x^3+2x))((2x-x^ 4)(x^3+2x)) = $$ ឥឡូវនេះ យើងពណ៌នាអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដែនកំណត់៖ $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x))(2x-x^4 )\cdot \lim_(x \to 0) \frac(\sin(x^3+2x))((x^3+2x)) = $$ ដែនកំណត់ទីពីរគ្រាន់តែសមនឹងរូបមន្ត ហើយស្មើនឹងមួយ៖ $ $ = \lim_(x\to 0) \frac(x^3+2x)(2x-x^4)\cdot 1 = \lim_(x\to 0) \frac(x^3+2x)(2x- x^4) = $$ ជំនួសម្តងទៀត $ x = 0 $ ទៅជាប្រភាគ ហើយទទួលបានភាពមិនច្បាស់លាស់ $ \frac(0)(0) $ ។ ដើម្បីលុបបំបាត់វា វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការយក $x$ ចេញពីតង្កៀប ហើយកាត់បន្ថយដោយវា៖ $$ = \lim_(x\to 0) \frac(x(x^2+2))(x(2-x^ 3)) = \ lim_(x\to 0) \frac(x^2+2)(2-x^3)=$$$$=\frac(0^2+2)(2-0^3) = \frac(2)(2) = 1$$

ចម្លើយ

$$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = 1$$

ឧទាហរណ៍ 4

គណនា $\lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) $

ដំណោះស្រាយ

ចូរចាប់ផ្តើមការគណនាដោយជំនួស $ x = 0 $ ។ ជាលទ្ធផល យើងទទួលបានភាពមិនច្បាស់លាស់ $\frac(0)(0)$។ ដែនកំណត់មានស៊ីនុស និងតង់ហ្សង់ ដែលបង្ហាញអំពីការអភិវឌ្ឍន៍ដែលអាចកើតមាននៃស្ថានភាពដោយប្រើរូបមន្តនៃដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូង។ ចូរបំប្លែងភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគទៅជារូបមន្ត និងលទ្ធផល៖ $$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) = \frac(0)(0) = \lim_(x\to0) \frac(\frac(\sin2x)(2x)\cdot 2x )(\frac(tg3x)(3x)\cdot 3x) = $$ ឥឡូវនេះយើងឃើញនៅក្នុងភាគយក និងភាគបែងមានកន្សោមដែលសមរម្យសម្រាប់រូបមន្ត និងលទ្ធផល។ អាគុយម៉ង់ស៊ីនុស និងអាគុយម៉ង់តង់សង់គឺដូចគ្នាសម្រាប់ភាគបែងរៀងៗខ្លួន $$ = \lim_(x\to0) \frac(1\cdot 2x)(1\cdot 3x) = \frac(2)(3)$$

ចម្លើយ

$$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg2x) = \frac(2)(3) $$

នៅក្នុងអត្ថបទ: "ដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូងឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយ" វាត្រូវបានប្រាប់អំពីករណីដែលវាត្រូវបានគេណែនាំឱ្យប្រើរូបមន្តនេះនិងផលវិបាករបស់វា។

ពាក្យ "ដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់" ត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយនៅក្នុងសៀវភៅសិក្សា និងជំនួយការបង្រៀន ដើម្បីសម្គាល់អត្តសញ្ញាណសំខាន់ៗដែលជួយយ៉ាងសំខាន់។ សម្រួលការងារដើម្បីស្វែងរកដែនកំណត់។

ប៉ុន្តែទៅ អាចនាំមកដែនកំណត់របស់វាចំពោះភាពគួរឱ្យកត់សម្គាល់ អ្នកត្រូវពិនិត្យមើលវាឱ្យបានល្អ ព្រោះពួកវាមិនកើតឡើងដោយផ្ទាល់ ប៉ុន្តែជាញឹកញាប់នៅក្នុងទម្រង់នៃផលវិបាក បំពាក់ដោយលក្ខខណ្ឌ និងកត្តាបន្ថែម។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ជាដំបូងទ្រឹស្តី បន្ទាប់មកឧទាហរណ៍ ហើយអ្នកនឹងជោគជ័យ!

ដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យដំបូង

ចូលចិត្ត? ចំណាំ

ដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូងត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម (ភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់ $0/0$):

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin x)(x)=1. $$

ផលវិបាកពីដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូង

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(x)(\sin x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (ax))(\sin (bx))=\frac(a)(b)។ $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\tan x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arcsin x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arctan x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos x)(x^2/2)=1. $$

ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយ៖ ១ ដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យ

ឧទាហរណ៍ ១ ដែនកំណត់គណនា $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x).$$

ដំណោះស្រាយ។ជំហានដំបូងគឺតែងតែដូចគ្នា - យើងជំនួសតម្លៃដែនកំណត់ $x=0$ ទៅក្នុងមុខងារ ហើយទទួលបាន៖

$$\left[\frac(\sin 0)(0)\right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$

យើងទទួលបានភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់ $\left[\frac(0)(0)\right]$ ដែលគួរតែត្រូវបានដោះស្រាយ។ ប្រសិនបើអ្នកក្រឡេកមើលឱ្យជិត ដែនកំណត់ដើមគឺស្រដៀងនឹងការកត់សម្គាល់ដំបូង ប៉ុន្តែមិនស្របគ្នាជាមួយវាទេ។ ភារកិច្ចរបស់យើងគឺធ្វើឱ្យមានភាពស្រដៀងគ្នា។ ចូរយើងបំប្លែងវាដូចនេះ - មើលកន្សោមនៅក្រោមស៊ីនុស ធ្វើដូចគ្នាក្នុងភាគបែង (និយាយទាក់ទងគ្នា យើងគុណ និងចែកដោយ $3x$) បន្ទាប់មកយើងកាត់បន្ថយ និងសម្រួល៖

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(3x)\frac(3x)(8x )=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x)\frac(3)(8)=\frac(3)(8)។ $$

ខាងលើ ដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យដំបូងត្រូវបានទទួល៖ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x) = \lim\limits_(y\to 0)\frac(\sin ( y))(y)=1, \text(បានធ្វើការជំនួសតាមលក្ខខណ្ឌ) y=3x។ $$ ចម្លើយ៖ $3/8$.

ឧទាហរណ៍ ២ ដែនកំណត់គណនា $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x))$$

ដំណោះស្រាយ។យើងជំនួសតម្លៃដែនកំណត់ $x=0$ ទៅក្នុងមុខងារ ហើយទទួលបាន៖

$$\left[\frac(1-\cos 0)(\tan 0\cdot \sin 0)\right] =\left[\frac(1-1)(0\cdot 0)\right]=\left [\frac(0)(0)\right].$$

យើងទទួលបានភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់ $\left[\frac(0)(0)\right]$ ។ ចូរបំប្លែងដែនកំណត់ ដោយប្រើដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យដំបូងក្នុងការធ្វើឱ្យសាមញ្ញ (បីដង!)៖

$$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac( 2\sin^2 (3x/2))(\sin 2x\cdot \sin 4x)\cdot \cos 2x = $$ $$ = 2\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin^2 (3x/2)) )((3x/2)^2) \\cdot \\frac(2x)(\sin 2x) \cdot \frac(4x)(\sin 4x)\cdot \frac((3x/2)^2)( 2x \ cdot 4x) \cdot \cos 2x = $$ $$ =2\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac((9/4)x^2)( 8x^2 ) \cdot \cos 2x= 2 \cdot \frac(9)(32) \lim\limits_(x\to 0) \cos 2x=\frac(9)(16) ។ $$

ចម្លើយ៖ $9/16$.

ឧទាហរណ៍ ៣ ស្វែងរកដែនកំណត់ $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5))$$

ដំណោះស្រាយ។ប៉ុន្តែចុះយ៉ាងណាបើមានកន្សោមស្មុគស្មាញនៅក្រោមអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ? វាមិនសំខាន់ទេ ហើយនៅទីនេះយើងធ្វើតាមរបៀបដូចគ្នា។ ដំបូង ពិនិត្យប្រភេទភាពមិនច្បាស់លាស់ ជំនួស $x=0$ ទៅក្នុងមុខងារ ហើយទទួលបាន៖

$$\left[\frac(\sin (0+0))(0-0)\right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$

យើងទទួលបានភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់ $\left[\frac(0)(0)\right]$ ។ គុណ និងចែកដោយ $2x^3+3x$:

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x ^3+3x))((2x^3+3x)) \cdot \frac(2x^3+3x)(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot \frac( 2x^3+3x)(5x-x^5)= \left[\frac(0)(0)\right] = $$

ជាថ្មីម្តងទៀតទទួលបានភាពមិនច្បាស់លាស់ប៉ុន្តែក្នុងករណីនេះវាគ្រាន់តែជាប្រភាគប៉ុណ្ណោះ។ ចូរកាត់បន្ថយចំនួនភាគយក និងភាគបែងដោយ $x$៖

$$ = \lim\limits_(x\to 0) \frac(2x^2+3)(5-x^4)=\left[\frac(0+3)(5-0)\right] =\ frac(3)(5)។ $$

ចម្លើយ៖ $3/5$.

ដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យទីពីរ

ដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ទីពីរត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម (ភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់ $1^\infty$):

$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(1)(x)\right)^(x)=e, \quad \text(or) \quad \lim\limits_( x\ ទៅ 0) \left(1+x\right)^(1/x)=e. $$

ផលវិបាកនៃដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ទីពីរ

$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(a)(x)\right)^(bx)=e^(ab)។ $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\ln (1+x))(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(e^x -1)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(a^x-1)(x \ln a)=1, a>0, a \ne 1. $$ $$ \lim\limits_( x\to 0)\frac((1+x)^(a)-1)(ax)=1។ $$

ឧទាហរណ៍ដំណោះស្រាយ៖ ដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យចំនួន ២

ឧទាហរណ៍ 4 ស្វែងរកដែនកំណត់ $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3).$$

ដំណោះស្រាយ។តោះពិនិត្យមើលប្រភេទនៃភាពមិនច្បាស់លាស់ ជំនួស $x=\infty$ ទៅក្នុងមុខងារ ហើយទទួលបាន៖

$$\left[\left(1-\frac(2)(\infty)\right)^(\infty)\right]=\left.$$

យើងទទួលបានភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់ $\left$ ។ ដែនកំណត់អាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាគួរឱ្យកត់សម្គាល់ទីពីរ។ តោះបំប្លែង៖

$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3) = \lim\limits_(x\to \infty)\left( 1+\frac(1)((-3x/2))\right)^(\frac(-3x/2)(-3x/2)(x+3))=$$$$=\lim\limits_ (x\to \infty)\left(\left(1+\frac(1)((-3x/2))\right)^((-3x/2))\right)^\frac(x+3 )(-៣x/២)=$$

កន្សោមតង្កៀបគឺពិតជាដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យទីពីរ $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, only $t=- 3x/2$ ដូច្នេះ

$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^\frac(x+3)(-3x/2)=\lim\limits_(x\to \infty)e^\ frac(1+3/x)(-3/2)=e^(-2/3)។ $$

ចម្លើយ៖$e^(-2/3)$ ។

ឧទាហរណ៍ 5 ស្វែងរកដែនកំណត់ $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x).$ $

ដំណោះស្រាយ។ជំនួស $x=\infty$ ទៅក្នុងមុខងារ ហើយទទួលបានភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់ $\left[\frac(\infty)(\infty)\right]$។ ហើយយើងត្រូវការ $\left$ ។ ដូច្នេះ ចូរចាប់ផ្តើមដោយការបំប្លែងកន្សោមវង់ក្រចក៖

$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x) = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\frac(x^3+(x-7)-(x-7)+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x ) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(((x^3+x-7)+(-x+7+2x^2+1))(x^3+x-7) )\right)^(x) = $$ $$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7) \right)^(x) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)\right) ^(\frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8))\right)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7))) =$$

កន្សោមតង្កៀបគឺពិតជាដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យទីពីរ $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, only $t=\ frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8) \to \infty$ ដូច្នេះ

$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7))= \lim\limits_ (x\to \infty)e^(\frac(2x^2-x+8)(x^2+1-7/x))= \lim\limits_(x\to \infty)e^(\frac (2-1/x+8/x^2)(1+1/x^2-7/x^3))=e^(2)។ $$

ពីអត្ថបទខាងលើអ្នកអាចស្វែងយល់ថាតើដែនកំណត់គឺជាអ្វីនិងអ្វីដែលវាត្រូវបានញ៉ាំ - នេះគឺមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់។ ហេតុអ្វី? អ្នកប្រហែលជាមិនយល់ថាអ្វីជាកត្តាកំណត់ ហើយដោះស្រាយវាដោយជោគជ័យ អ្នកប្រហែលជាមិនយល់ទាល់តែសោះថា ដេរីវេគឺជាអ្វី ហើយស្វែងរកវានៅលើ "ប្រាំ" ។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើអ្នកមិនយល់ថាដែនកំណត់គឺជាអ្វីទេនោះវានឹងពិបាកក្នុងការដោះស្រាយកិច្ចការជាក់ស្តែង។ ដូចគ្នានេះផងដែរ វានឹងមិននាំឱ្យអ្នកស្គាល់ខ្លួនឯងជាមួយនឹងគំរូនៃការរចនានៃការសម្រេចចិត្ត និងអនុសាសន៍របស់ខ្ញុំសម្រាប់ការរចនានោះទេ។ ព័ត៌មានទាំងអស់ត្រូវបានបង្ហាញតាមរបៀបសាមញ្ញ និងអាចចូលដំណើរការបាន។

ហើយសម្រាប់គោលបំណងនៃមេរៀននេះ យើងត្រូវការសម្ភារៈវិធីសាស្រ្តដូចខាងក្រោមៈ ដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់និង រូបមន្តត្រីកោណមាត្រ. ពួកគេអាចរកបាននៅលើទំព័រ។ វាជាការល្អបំផុតក្នុងការបោះពុម្ពសៀវភៅដៃ - វាកាន់តែងាយស្រួលជាងនេះទៅទៀត ពួកវាច្រើនតែត្រូវចូលប្រើក្រៅបណ្តាញ។

តើអ្វីដែលគួរឱ្យកត់សម្គាល់អំពីដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យ? ភាពគួរឱ្យកត់សម្គាល់នៃដែនកំណត់ទាំងនេះគឺស្ថិតនៅលើការពិតដែលថាពួកគេត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយគំនិតដ៏អស្ចារ្យបំផុតរបស់គណិតវិទូដ៏ល្បីល្បាញ ហើយកូនចៅដែលមានអំណរគុណមិនចាំបាច់ទទួលរងពីដែនកំណត់ដ៏គួរឱ្យភ័យខ្លាចជាមួយនឹងគំនរនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ លោការីត និងដឺក្រេទេ។ នោះគឺនៅពេលស្វែងរកដែនកំណត់ យើងនឹងប្រើលទ្ធផលដែលត្រៀមរួចជាស្រេចដែលត្រូវបានបញ្ជាក់តាមទ្រឹស្តី។

មានដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់មួយចំនួន ប៉ុន្តែនៅក្នុងការអនុវត្ត សិស្សក្រៅម៉ោងក្នុង 95% នៃករណីមានដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ពីរ៖ ដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យដំបូង, ដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យទីពីរ. វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាទាំងនេះគឺជាឈ្មោះដែលបានបង្កើតឡើងជាប្រវត្តិសាស្ត្រហើយនៅពេលដែលឧទាហរណ៍ពួកគេនិយាយអំពី "ដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យដំបូង" ពួកគេមានន័យថានេះជារឿងជាក់លាក់មួយហើយមិនមែនជាដែនកំណត់ចៃដន្យមួយចំនួនដែលយកចេញពីពិដាននោះទេ។

ដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យដំបូង

ពិចារណាដែនកំណត់ខាងក្រោម៖ (ជំនួសឱ្យអក្សរដើម "គាត់" ខ្ញុំនឹងប្រើអក្សរក្រិក "អាល់ហ្វា" នេះកាន់តែងាយស្រួលទាក់ទងនឹងការបង្ហាញសម្ភារៈ) ។

យោងតាមច្បាប់របស់យើងសម្រាប់ការស្វែងរកដែនកំណត់ (សូមមើលអត្ថបទ ដែនកំណត់។ ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយ) យើងព្យាយាមជំនួសសូន្យទៅក្នុងអនុគមន៍៖ ក្នុងភាគយកយើងទទួលបានសូន្យ (ស៊ីនុសនៃសូន្យគឺសូន្យ) ក្នុងភាគបែង ជាក់ស្តែងក៏សូន្យដែរ។ ដូច្នេះហើយ យើងប្រឈមមុខនឹងភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់បែបបទ ដែលជាសំណាងល្អ មិនចាំបាច់បង្ហាញនោះទេ។ នៅក្នុងវគ្គសិក្សានៃការវិភាគគណិតវិទ្យា វាត្រូវបានបង្ហាញថា:

ការពិតគណិតវិទ្យានេះត្រូវបានគេហៅថា ដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យដំបូង. ខ្ញុំនឹងមិនផ្តល់ភស្តុតាងវិភាគអំពីដែនកំណត់នោះទេ ប៉ុន្តែយើងនឹងពិចារណាអត្ថន័យធរណីមាត្ររបស់វានៅក្នុងមេរៀនស្តីពី មុខងារគ្មានកំណត់.

ជាញឹកញាប់នៅក្នុងកិច្ចការជាក់ស្តែង មុខងារអាចត្រូវបានរៀបចំខុសគ្នា វាមិនផ្លាស់ប្តូរអ្វីទាំងអស់៖

- ដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យដំបូងដូចគ្នា។

ប៉ុន្តែអ្នកមិនអាចរៀបចំភាគយក និងភាគបែងដោយខ្លួនឯងបានទេ! ប្រសិនបើដែនកំណត់ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងទម្រង់ នោះវាត្រូវតែដោះស្រាយក្នុងទម្រង់ដូចគ្នា ដោយមិនចាំបាច់រៀបចំអ្វីឡើងវិញទេ។

នៅក្នុងការអនុវត្ត មិនត្រឹមតែអថេរអាចដើរតួជាប៉ារ៉ាម៉ែត្រប៉ុណ្ណោះទេ ថែមទាំងជាអនុគមន៍បឋម ដែលជាមុខងារស្មុគស្មាញ។ វាសំខាន់តែមួយគត់ដែលវាមានទំនោរទៅសូន្យ.

ឧទាហរណ៍:
, , ,

នៅទីនេះ , , , ហើយអ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើល - ដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យដំបូងគឺអាចអនុវត្តបាន។

ហើយនេះគឺជាធាតុបន្ទាប់ - ខុសឆ្គង៖

ហេតុអ្វី? ដោយសារតែពហុនាមមិនមានទំនោរទៅសូន្យ វាមានទំនោរទៅប្រាំ។

ដោយវិធីនេះសំណួរគឺសម្រាប់ការបំពេញឡើងវិញប៉ុន្តែអ្វីដែលជាដែនកំណត់ ? ចម្លើយអាចរកបាននៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

នៅក្នុងការអនុវត្ត មិនមែនអ្វីៗទាំងអស់សុទ្ធតែរលូននោះទេ ស្ទើរតែមិនដែលសិស្សម្នាក់នឹងត្រូវបានផ្តល់ជូនដើម្បីដោះស្រាយដែនកំណត់ឥតគិតថ្លៃ និងទទួលបានឥណទានងាយស្រួលនោះទេ។ ហឺម... ខ្ញុំកំពុងសរសេរបន្ទាត់ទាំងនេះ ហើយគំនិតដ៏សំខាន់មួយបានកើតឡើងនៅក្នុងគំនិត - បន្ទាប់ពីទាំងអស់ វាហាក់ដូចជាប្រសើរជាងក្នុងការចងចាំនិយមន័យ និងរូបមន្តគណិតវិទ្យា "ឥតគិតថ្លៃ" ដោយបេះដូង នេះអាចជាជំនួយដ៏មានតម្លៃក្នុងការសាកល្បង នៅពេលដែល បញ្ហានឹងត្រូវបានសម្រេចរវាង "ពីរ" និង "បី" ហើយគ្រូសម្រេចចិត្តសួរសិស្សនូវសំណួរសាមញ្ញមួយចំនួន ឬផ្តល់ជូនដើម្បីដោះស្រាយឧទាហរណ៍សាមញ្ញបំផុត ("ប្រហែលជាគាត់ (ក) នៅតែដឹងអ្វី?!")។

ចូរបន្តទៅឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែង៖

ឧទាហរណ៍ ១

ស្វែងរកដែនកំណត់

ប្រសិនបើយើងសម្គាល់ឃើញស៊ីនុសនៅក្នុងដែនកំណត់នោះ នេះគួរតែនាំឱ្យយើងគិតភ្លាមៗអំពីលទ្ធភាពនៃការអនុវត្តដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូង។

ដំបូង យើងព្យាយាមជំនួស 0 ក្នុងកន្សោមក្រោមសញ្ញាកំណត់ (យើងធ្វើនេះដោយបញ្ញាស្មារតី ឬលើសេចក្តីព្រាង)៖

ដូច្នេះ យើងមានភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់ របស់វា។ ត្រូវប្រាកដថាចង្អុលបង្ហាញក្នុងការសម្រេចចិត្ត។ កន្សោម​ក្រោម​សញ្ញា​កំណត់​មើល​ទៅ​ដូច​ជា​ដែន​កំណត់​ដ៏​អស្ចារ្យ​ដំបូង ប៉ុន្តែ​នេះ​មិន​មែន​ពិត​ទេ វា​ស្ថិត​នៅ​ក្រោម​ស៊ីនុស ប៉ុន្តែ​នៅ​ក្នុង​ភាគបែង។

ក្នុងករណីបែបនេះយើងត្រូវរៀបចំដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យជាលើកដំបូងដោយខ្លួនឯងដោយប្រើឧបករណ៍សិប្បនិម្មិត។ បន្ទាត់នៃហេតុផលអាចមានដូចខាងក្រោម: "នៅក្រោមស៊ីនុសដែលយើងមានដែលមានន័យថាយើងក៏ត្រូវទទួលបាននៅក្នុងភាគបែងដែរ" ។
ហើយនេះត្រូវបានធ្វើយ៉ាងសាមញ្ញបំផុត:

នោះគឺភាគបែងត្រូវបានគុណដោយសិប្បនិម្មិតក្នុងករណីនេះដោយ 7 ហើយបែងចែកដោយប្រាំពីរដូចគ្នា។ ឥឡូវ​នេះ កំណត់​ត្រា​បាន​ក្លាយ​ជា​ទម្រង់​ដែល​ធ្លាប់​ស្គាល់។
នៅពេលដែលកិច្ចការត្រូវបានគូរដោយដៃ គួរតែសម្គាល់ដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យដំបូងដោយប្រើខ្មៅដៃសាមញ្ញ៖

តើមានអ្វីកើតឡើង? តាមពិតកន្សោមដែលគូសរង្វង់បានប្រែទៅជាឯកតាហើយបាត់នៅក្នុងផលិតផល៖

ឥឡូវនេះវានៅសល់តែដើម្បីកម្ចាត់ប្រភាគបីជាន់ប៉ុណ្ណោះ៖

តើអ្នកណាដែលភ្លេចភាពសាមញ្ញនៃប្រភាគពហុជាន់ សូមធ្វើឱ្យសម្ភារៈនៅក្នុងសៀវភៅយោងឡើងវិញ Hot School រូបមន្តគណិតវិទ្យា .

រួចរាល់។ ចម្លើយចុងក្រោយ៖

ប្រសិនបើ​អ្នក​មិន​ចង់​ប្រើ​ស្នាម​ខ្មៅ​ដៃ​ទេ ដំណោះស្រាយ​អាច​ត្រូវ​បាន​ធ្វើ​ទ្រង់ទ្រាយ​ដូចនេះ​៖

“

យើងប្រើដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូង

“

ឧទាហរណ៍ ២

ស្វែងរកដែនកំណត់

ជាថ្មីម្តងទៀត យើងឃើញប្រភាគ និងស៊ីនុសនៅក្នុងដែនកំណត់។ យើងព្យាយាមជំនួសសូន្យក្នុងភាគយក និងភាគបែង៖

ប្រាកដណាស់ យើងមានភាពមិនច្បាស់លាស់ ដូច្នេះហើយ យើងត្រូវព្យាយាមរៀបចំដែនកំណត់ដ៏គួរឱ្យកត់សម្គាល់ជាលើកដំបូង។ នៅលើមេរៀន ដែនកំណត់។ ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយយើងបានពិចារណាពីច្បាប់ដែលថា នៅពេលដែលយើងមានភាពមិនច្បាស់លាស់ នោះយើងត្រូវបែងចែកភាគយក និងភាគបែងទៅជាកត្តា។ នៅទីនេះ - រឿងដូចគ្នា យើងនឹងបង្ហាញដឺក្រេជាផលិតផល (មេគុណ)៖

ស្រដៀងគ្នាទៅនឹងឧទាហរណ៍មុន យើងគូសបញ្ជាក់ដោយខ្មៅដៃនូវដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យ (នៅទីនេះមានពីរក្នុងចំណោមពួកគេ) ហើយបង្ហាញថាពួកគេមានទំនោរទៅមួយ:

តាមពិតចម្លើយគឺរួចរាល់៖

ក្នុងឧទាហរណ៍ខាងក្រោមខ្ញុំនឹងមិនធ្វើសិល្បៈក្នុង Paint ទេ ខ្ញុំគិតពីរបៀបគូរដំណោះស្រាយក្នុងសៀវភៅកត់ត្រាឱ្យបានត្រឹមត្រូវ - អ្នកយល់រួចហើយ។

ឧទាហរណ៍ ៣

ស្វែងរកដែនកំណត់

យើងជំនួសសូន្យក្នុងកន្សោមក្រោមសញ្ញាកំណត់៖

ភាពមិនច្បាស់លាស់មួយត្រូវបានទទួល ដែលចាំបាច់ត្រូវបង្ហាញ។ ប្រសិនបើមានតង់សង់នៅក្នុងដែនកំណត់ នោះវាស្ទើរតែតែងតែបំប្លែងទៅជាស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស តាមរូបមន្តត្រីកោណមាត្រល្បី (ដោយវិធីនេះ គេធ្វើដូចគ្នាជាមួយនឹងកូតង់សង់ សូមមើលសម្ភារៈវិធីសាស្រ្ត រូបមន្តត្រីកោណមាត្រក្តៅនៅលើទំព័រ រូបមន្តគណិតវិទ្យា តារាង និងឯកសារយោង).

ក្នុងករណី​នេះ:

កូស៊ីនុសនៃសូន្យស្មើនឹងមួយ ហើយវាងាយស្រួលក្នុងការកម្ចាត់វា (កុំភ្លេចសម្គាល់ថាវាមានទំនោរទៅមួយ)៖

ដូច្នេះ ប្រសិនបើនៅក្នុងដែនកំណត់ កូស៊ីនុសគឺជា MULTIPLIER នោះ បើនិយាយប្រហែល វាត្រូវតែប្រែទៅជាឯកតា ដែលបាត់នៅក្នុងផលិតផល។

នៅទីនេះអ្វីគ្រប់យ៉ាងប្រែទៅជាសាមញ្ញជាងដោយគ្មានគុណនិងការបែងចែក។ ដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូងក៏ប្រែទៅជាឯកភាពនិងបាត់នៅក្នុងផលិតផល:

ជាលទ្ធផលភាពគ្មានទីបញ្ចប់ត្រូវបានទទួលវាកើតឡើង។

ឧទាហរណ៍ 4

ស្វែងរកដែនកំណត់

យើងព្យាយាមជំនួសសូន្យក្នុងភាគយក និងភាគបែង៖

ភាពមិនប្រាកដប្រជាដែលទទួលបាន (កូស៊ីនុសនៃសូន្យ ដូចដែលយើងចងចាំគឺស្មើនឹងមួយ)

យើងប្រើរូបមន្តត្រីកោណមាត្រ។ កត់ចំណាំ! សម្រាប់ហេតុផលមួយចំនួន ការកំណត់ដោយប្រើរូបមន្តនេះគឺជារឿងធម្មតាណាស់។

យើងដកមេគុណថេរលើសពីរូបតំណាងកំណត់៖

តោះរៀបចំដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូង:

នៅទីនេះយើងមានដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យតែមួយគត់ដែលប្រែទៅជាមួយហើយបាត់នៅក្នុងផលិតផល:

ចូរយើងកម្ចាត់បីជាន់៖

ដែនកំណត់ពិតជាត្រូវបានដោះស្រាយ យើងបង្ហាញថាស៊ីនុសដែលនៅសល់មានទំនោរទៅសូន្យ៖

ឧទាហរណ៍ 5

ស្វែងរកដែនកំណត់

ឧទាហរណ៍​នេះ​កាន់តែ​ស្មុគស្មាញ សូម​ព្យាយាម​ដោះស្រាយ​ដោយ​ខ្លួនឯង​៖

ដែនកំណត់មួយចំនួនអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ទី 1 ដោយការផ្លាស់ប្តូរអថេរ អ្នកអាចអានអំពីបញ្ហានេះបន្តិចក្រោយមកនៅក្នុងអត្ថបទ កំណត់វិធីដោះស្រាយ.

ដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យទីពីរ

នៅក្នុងទ្រឹស្តីនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា វាត្រូវបានបញ្ជាក់ថា៖

ការពិតនេះត្រូវបានគេហៅថា ដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ទីពីរ.

ឯកសារយោង៖ គឺជាចំនួនមិនសមហេតុផល។

មិនត្រឹមតែអថេរអាចដើរតួជាប៉ារ៉ាម៉ែត្រប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មានមុខងារស្មុគស្មាញផងដែរ។ វាសំខាន់តែមួយគត់ដែលវាខិតខំដើម្បីភាពគ្មានទីបញ្ចប់.

ឧទាហរណ៍ ៦

ស្វែងរកដែនកំណត់

នៅពេលដែលកន្សោមនៅក្រោមសញ្ញាកំណត់គឺស្ថិតនៅក្នុងអំណាច - នេះគឺជាសញ្ញាដំបូងដែលអ្នកត្រូវព្យាយាមអនុវត្តដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យទីពីរ។

ប៉ុន្តែជាដំបូង យើងព្យាយាមជំនួសចំនួនដ៏ច្រើនដែលគ្មានកំណត់ទៅក្នុងកន្សោម តាមគោលការណ៍អ្វីដែលនេះត្រូវបានធ្វើ វាត្រូវបានវិភាគនៅក្នុងមេរៀន។ ដែនកំណត់។ ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយ.

វាងាយស្រួលមើលថានៅពេលណា មូលដ្ឋាននៃដឺក្រេនិងនិទស្សន្ត - នោះគឺមានភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់៖

ភាពមិនប្រាកដប្រជានេះគ្រាន់តែត្រូវបានបង្ហាញដោយជំនួយនៃដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ទីពីរ។ ប៉ុន្តែដូចដែលកើតឡើងជាញឹកញាប់ ដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យទីពីរមិនស្ថិតនៅលើចានរាងសំប៉ែតទេ ហើយវាត្រូវតែត្រូវបានរៀបចំដោយសិប្បនិម្មិត។ អ្នកអាចហេតុផលដូចខាងក្រោមៈ ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ ប៉ារ៉ាម៉ែត្រមានន័យថាយើងក៏ត្រូវរៀបចំនៅក្នុងសូចនាករផងដែរ។ ធ្វើ​បែប​នេះ យើង​លើក​មូលដ្ឋាន​ទៅ​ជា​អំណាច ហើយ​ដើម្បី​កុំ​ឲ្យ​ការ​បញ្ចេញ​មតិ​ប្រែប្រួល យើង​លើក​ឡើង​ជា​អំណាច៖

នៅពេលដែលកិច្ចការត្រូវបានគូរដោយដៃ យើងគូសដោយខ្មៅដៃ៖

ស្ទើរតែអ្វីៗគ្រប់យ៉ាងរួចរាល់ សញ្ញាបត្រដ៏គួរឱ្យភ័យខ្លាចបានប្រែទៅជាអក្សរស្អាត៖

ក្នុងពេលជាមួយគ្នា រូបតំណាងដែនកំណត់ខ្លួនវាត្រូវបានផ្លាស់ទីទៅសូចនាករ:

ឧទាហរណ៍ ៧

ស្វែងរកដែនកំណត់

យកចិត្តទុកដាក់! ប្រភេទនៃដែនកំណត់នេះគឺជារឿងធម្មតាណាស់ សូមសិក្សាឧទាហរណ៍នេះដោយយកចិត្តទុកដាក់។

យើងព្យាយាមជំនួសចំនួនដ៏ច្រើនគ្មានកំណត់នៅក្នុងកន្សោមក្រោមសញ្ញាកំណត់៖

លទ្ធផលគឺភាពមិនប្រាកដប្រជា។ ប៉ុន្តែដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ទីពីរអនុវត្តចំពោះភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់។ អ្វី​ដែល​ត្រូវធ្វើ? អ្នកត្រូវបំប្លែងមូលដ្ឋានដឺក្រេ។ យើងជជែកគ្នាដូចនេះ៖ នៅក្នុងភាគបែងដែលយើងមាន មានន័យថា យើងក៏ត្រូវរៀបចំក្នុងភាគយកផងដែរ។

រូបមន្តសម្រាប់ដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ទីពីរគឺ lim x → ∞ 1 + 1 x x = e ។ ទម្រង់នៃការសរសេរមួយទៀតមើលទៅដូចនេះ៖ lim x → 0 (1 + x) 1 x = e ។

នៅពេលយើងនិយាយអំពីដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ទីពីរ យើងត្រូវដោះស្រាយជាមួយនឹងភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់ 1 ∞ , i.e. ឯកតាទៅកម្រិតគ្មានកំណត់។

Yandex.RTB R-A-339285-1

ពិចារណាបញ្ហាដែលយើងត្រូវការសមត្ថភាពក្នុងការគណនាដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ទីពីរ។

ឧទាហរណ៍ ១

រកដែនកំណត់ lim x → ∞ 1 − 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 ។

ដំណោះស្រាយ

ជំនួសរូបមន្តដែលចង់បានហើយអនុវត្តការគណនា។

lim x → ∞ 1 − 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 − 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 − 0 ∞ = 1 ∞

នៅក្នុងចម្លើយរបស់យើង យើងទទួលបានឯកតាមួយចំពោះថាមពលនៃភាពគ្មានទីបញ្ចប់។ ដើម្បីកំណត់វិធីសាស្ត្រដំណោះស្រាយ យើងប្រើតារាងនៃភាពមិនច្បាស់លាស់។ យើងជ្រើសរើសដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ទីពីរហើយធ្វើការផ្លាស់ប្តូរអថេរ។

t \u003d - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 \u003d - t 2

ប្រសិនបើ x → ∞ បន្ទាប់មក t → - ∞ ។

តោះមើលអ្វីដែលយើងទទួលបានបន្ទាប់ពីការជំនួស៖

lim x → ∞ 1 − 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t − 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t − 1 2 = e − 1 2

ចម្លើយ៖ lim x → ∞ 1 − 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e − 1 2 .

ឧទាហរណ៍ ២

គណនាដែនកំណត់ lim x → ∞ x − 1 x + 1 x ។

ដំណោះស្រាយ

ជំនួសភាពគ្មានទីបញ្ចប់ និងទទួលបានដូចខាងក្រោម។

lim x → ∞ x − 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 − 1 x 1 + 1 x x = 1 − 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞

នៅក្នុងចម្លើយ យើងទទួលបានរឿងដដែលៗដូចនៅក្នុងបញ្ហាមុន ដូច្នេះហើយ យើងអាចប្រើដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យទីពីរម្តងទៀត។ បន្ទាប់យើងត្រូវជ្រើសរើសផ្នែកចំនួនគត់នៅមូលដ្ឋាននៃអនុគមន៍ថាមពល៖

x − 1 x + 1 = x + 1 − 2 x + 1 = x + 1 x + 1 − 2 x + 1 = 1 − 2 x + 1

បន្ទាប់ពីនោះ ដែនកំណត់មានទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ

lim x → ∞ x − 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 − 2 x + 1 x

យើងជំនួសអថេរ។ ចូរនិយាយថា t = − x + 1 2 ⇒ 2 t = − x − 1 ⇒ x = − 2 t − 1 ; ប្រសិនបើ x → ∞ នោះ t → ∞ ។

បន្ទាប់ពីនោះ យើងសរសេរនូវអ្វីដែលយើងទទួលបាននៅក្នុងដែនកំណត់ដើម៖

lim x → ∞ x − 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 − 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t − 2 t − 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t − 2 t 1 + 1 t − 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t − 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t − 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t − 2 1 + 1 ∞ = e − 2 (1 + 0) - 1 = អ៊ី − 2

ដើម្បីអនុវត្តការបំប្លែងនេះ យើងបានប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃដែនកំណត់ និងអំណាច។

ចម្លើយ៖ lim x → ∞ x − 1 x + 1 x = e − 2 ។

ឧទាហរណ៍ ៣

គណនាលីមីត x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 − 1 3 x 4 2 x 3 − 5 ។

ដំណោះស្រាយ

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 − 1 3 x 4 2 x 3 − 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x − 1 x 3 3 2 x − 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 − 0 3 0 − 0 = 1∞

បន្ទាប់ពីនោះ យើងត្រូវធ្វើការបំប្លែងមុខងារ ដើម្បីអនុវត្តដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យទីពីរ។ យើងទទួលបានដូចខាងក្រោមៈ

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 − 1 3 x 4 2 x 3 − 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 − 2 x 2 − 1 − 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 − 1 3 x 4 2 x 3 − 5 = = lim x → ∞ 1 + − 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 − 1 3 x 4 2 x 3 − 5

lim x → ∞ 1 + − 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 − 1 3 x 4 2 x 3 − 5 = lim x → ∞ 1 + − 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 − 1 x 3 + 2 x 2 − 1 − 2 x 2 + 2 − 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 − 1 3 x 4 2 x 3 − 5 = = lim x → ∞ 1 + − 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 − 1 x 3 + 2 x 2 − 1 − 2 x 2 + 2 − 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 − 1 3 x 4 2 x 3 − 5

ចាប់តាំងពីពេលនេះយើងមាននិទស្សន្តដូចគ្នានៅក្នុងភាគបែង និងភាគបែងនៃប្រភាគ (ស្មើនឹងប្រាំមួយ) ដែនកំណត់នៃប្រភាគនៅភាពគ្មានទីបញ្ចប់នឹងស្មើនឹងសមាមាត្រនៃមេគុណទាំងនេះនៅថាមពលខ្ពស់។

lim x → ∞ 1 + − 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 − 1 x 3 + 2 x 2 − 1 − 2 x 2 + 2 − 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 − 1 3 x 4 2 x 3 − 5 = = lim x → ∞ 1 + − 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 − 1 x 3 + 2 x 2 − 1 − 2 x 2 + 2 − 6 2 = lim x → ∞ 1 + − 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 − 1 x 3 + 2 x 2 − 1 − 2 x 2 + 2 − 3

ការជំនួស t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 យើងទទួលបានដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ទីពីរ។ មានន័យថាអ្វី៖

lim x → ∞ 1 + − 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 − 1 x 3 + 2 x 2 − 1 − 2 x 2 + 2 − 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t − 3 = e − ៣

ចម្លើយ៖ lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 − 1 3 x 4 2 x 3 − 5 = e − 3 ។

ការសន្និដ្ឋាន

ភាពមិនច្បាស់លាស់ 1 ∞ , i.e. ឯកតាទៅកម្រិតគ្មានកំណត់ គឺជាភាពមិនច្បាស់លាស់នៃច្បាប់ថាមពល ដូច្នេះវាអាចត្រូវបានបង្ហាញដោយប្រើច្បាប់សម្រាប់ការស្វែងរកដែនកំណត់នៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមបន្លិចវា ហើយចុច Ctrl+Enter