ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់ដើម្បីពិនិត្យមើលឫសដែលបានរកឃើញរួចហើយ។ ប្រសិនបើអ្នកបានរកឃើញឫស អ្នកអាចប្រើរូបមន្ត \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) ដើម្បីគណនាតម្លៃនៃ \(p \\) និង \(q\) ។ ហើយប្រសិនបើពួកវាប្រែជាដូចនៅក្នុងសមីការដើម នោះឫសត្រូវបានរកឃើញត្រឹមត្រូវ។

ឧទាហរណ៍ អនុញ្ញាតឱ្យយើងប្រើ ដោះស្រាយសមីការ \(x^2+x-56=0\) និងទទួលបានឫស៖ \(x_1=7\), \(x_2=-8\) ។ សូមពិនិត្យមើលថាតើយើងមានកំហុសក្នុងដំណើរការដំណោះស្រាយដែរឬទេ។ ក្នុងករណីរបស់យើង \(p=1\) និង \(q=-56\) ។ តាមទ្រឹស្តីបទ Vieta យើងមាន៖

\(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \\cdot x_2=q\end(cases)\) \\(\leftrightarrow\) \(\begin(cases)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(cases)\) \(\leftrightarrow\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end(cases)\ )

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ទាំងពីរបានបញ្ចូលគ្នា ដែលមានន័យថា យើងបានដោះស្រាយសមីការបានត្រឹមត្រូវ។

ការត្រួតពិនិត្យនេះអាចធ្វើឡើងដោយផ្ទាល់មាត់។ វានឹងចំណាយពេល 5 វិនាទី ហើយនឹងជួយសង្រ្គោះអ្នកពីកំហុសឆោតល្ងង់។

ទ្រឹស្តីបទសន្ទនារបស់ Vieta

ប្រសិនបើ \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) បន្ទាប់មក \(x_1\) និង \(x_2\) គឺជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េ \ (x^2+px+q=0\) ។

ឬតាមរបៀបសាមញ្ញ៖ ប្រសិនបើអ្នកមានសមីការនៃទម្រង់ \(x^2+px+q=0\) បន្ទាប់មកដោះស្រាយប្រព័ន្ធ \\(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) អ្នកនឹងរកឃើញឫសរបស់វា។

សូមអរគុណចំពោះទ្រឹស្តីបទនេះ អ្នកអាចរកឃើញឫសនៃសមីការការ៉េបានយ៉ាងឆាប់រហ័ស ជាពិសេសប្រសិនបើឫសទាំងនេះមាន។ ជំនាញនេះមានសារៈសំខាន់ព្រោះវាចំណេញពេលវេលាច្រើន។

ឧទាហរណ៍ . ដោះស្រាយសមីការ \(x^2-5x+6=0\) ។

ដំណោះស្រាយ ៖ ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទបញ្ច្រាសរបស់ Vieta យើងឃើញថាឫសបំពេញលក្ខខណ្ឌ៖ \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\) ។
សូមមើលសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ \(x_1 \cdot x_2=6\) ។ តើ​លេខ​ពីរ​ណា​ដែល \(6\) អាច​បំប្លែង​ទៅជា​បាន? នៅលើ \(2\) និង \(3\), \(6\) និង \(1\) ឬ \(-2\) និង \(-3\) និង \(-6\) និង \(- ១\) សមីការដំបូងនៃប្រព័ន្ធនឹងប្រាប់អ្នកថាតើគូណាដែលត្រូវជ្រើសរើស៖ \(x_1+x_2=5\) ។ \(2\) និង \(3\) គឺស្រដៀងគ្នា ចាប់តាំងពី \(2+3=5\)។
ចម្លើយ ៖ \(x_1=2\), \(x_2=3\) ។

ឧទាហរណ៍ . ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta រកឫសគល់នៃសមីការការ៉េ៖
ក) \(x^2-15x+14=0\); ខ) \(x^2+3x-4=0\); គ) \(x^2+9x+20=0\); ឃ) \\(x^2-88x+780=0\) ។

ដំណោះស្រាយ :
ក) \(x^2-15x+14=0\) – តើកត្តាអ្វីខ្លះដែល \(14\) រលាយទៅជា? \(2\) និង \(7\), \(-2\) និង \(-7\), \(-1\) និង \(-14\), \(1\) និង \(14\ ) តើ​លេខ​ប៉ុន្មាន​ដែល​បន្ថែម​ដល់ \(15\)? ចម្លើយ៖ \(1\) និង \(14\) ។

ខ) \(x^2+3x-4=0\) – តើកត្តាអ្វីខ្លះដែល \(-4\) រលាយទៅជា? \(-2\) និង \(2\), \(4\) និង \(-1\), \(1\) និង \(-4\) ។ តើ​លេខ​ប៉ុន្មាន​ដែល​បន្ថែម​ដល់ \(-៣\)? ចម្លើយ៖ \(១\) និង \(-៤\) ។

គ) \(x^2+9x+20=0\) – តើកត្តាអ្វីខ្លះដែល \(20\) រលាយទៅជា? \(4\) និង \(5\), \(-4\) និង \(-5\), \(2\) និង \(10\), \(-2\) និង \(-10\) ), \(-20\) និង \(-1\), \(20\) និង \(1\) ។ តើ​លេខ​ប៉ុន្មាន​ដែល​បន្ថែម​ដល់ \(-៩\)? ចម្លើយ៖ \(-៤\) និង \(-៥\) ។

ឃ) \(x^2-88x+780=0\) – តើកត្តាអ្វីខ្លះដែល \(780\) រលាយទៅជា? \(390\) និង \(2\) ។ តើពួកគេនឹងបន្ថែមរហូតដល់ \(88\) ទេ? ទេ តើ \(780\) មានមេគុណអ្វីទៀត? \(78\) និង \(10\) ។ តើពួកគេនឹងបន្ថែមរហូតដល់ \(88\) ទេ? បាទ។ ចម្លើយ៖ \(78\) និង \(10\) ។

វាមិនចាំបាច់ក្នុងការពង្រីកពាក្យចុងក្រោយទៅក្នុងកត្តាដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់ (ដូចក្នុងឧទាហរណ៍ចុងក្រោយ)។ អ្នកអាចពិនិត្យមើលភ្លាមៗថាតើផលបូករបស់ពួកគេផ្តល់ឱ្យ \(-p\) ដែរឬទេ។

សំខាន់!ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta និងទ្រឹស្តីបទសន្ទនាដំណើរការតែជាមួយ ពោលគឺមេគុណនៅពីមុខ \(x^2\) ស្មើនឹងមួយ។ ប្រសិនបើ​ដំបូង​យើង​ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​សមីការ​មិន​កាត់​បន្ថយ នោះ​យើង​អាច​កាត់​បន្ថយ​ដោយ​គ្រាន់តែ​បែងចែក​ដោយ​មេគុណ​នៅ​ពីមុខ \(x^2\) ។

ឧទាហរណ៍អនុញ្ញាតឱ្យសមីការ \(2x^2-4x-6=0\) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ហើយយើងចង់ប្រើទ្រឹស្តីបទមួយរបស់ Vieta ។ ប៉ុន្តែយើងមិនអាចទេ ដោយសារមេគុណនៃ \(x^2\) ស្មើនឹង \(2\)។ ចូរកម្ចាត់វាដោយបែងចែកសមីការទាំងមូលដោយ \(2\) ។

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\\(x^2-2x-3=0\)

រួចរាល់។ ឥឡូវនេះអ្នកអាចប្រើទ្រឹស្តីបទទាំងពីរ។

ចម្លើយចំពោះសំណួរដែលគេសួរញឹកញាប់

សំណួរ៖ ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta តើអាចដោះស្រាយបានទេ?
ចម្លើយ៖ ជាអកុសលទេ។ ប្រសិនបើសមីការមិនមានចំនួនគត់ ឬសមីការមិនមានឫសគល់អ្វីទាំងអស់ នោះទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta នឹងមិនអាចជួយបានទេ។ ក្នុងករណីនេះអ្នកត្រូវប្រើ រើសអើង . ជាសំណាងល្អ 80% នៃសមីការក្នុងគណិតវិទ្យាសាលាមានដំណោះស្រាយចំនួនគត់។

នៅពេលសិក្សាវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការលំដាប់ទីពីរនៅក្នុងវគ្គសិក្សាពិជគណិតរបស់សាលា លក្ខណៈសម្បត្តិនៃឫសលទ្ធផលត្រូវបានពិចារណា។ ពួកគេត្រូវបានគេស្គាល់ថាជាទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ។ ឧទាហរណ៍នៃការប្រើប្រាស់របស់វាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងអត្ថបទនេះ។

សមីការ​ការ៉េ

សមីការលំដាប់ទីពីរគឺជាសមភាពដែលបង្ហាញក្នុងរូបថតខាងក្រោម។

នៅទីនេះនិមិត្តសញ្ញា a,b,c គឺជាលេខមួយចំនួនដែលហៅថាមេគុណនៃសមីការដែលកំពុងពិចារណា។ ដើម្បីដោះស្រាយសមភាព អ្នកត្រូវស្វែងរកតម្លៃនៃ x ដែលធ្វើឱ្យវាពិត។

ចំណាំថាចាប់តាំងពីអំណាចអតិបរមាដែល x អាចត្រូវបានលើកឡើងគឺពីរបន្ទាប់មកចំនួនឫសនៅក្នុងករណីទូទៅក៏មានពីរផងដែរ។

មានវិធីជាច្រើនដើម្បីដោះស្រាយសមភាពប្រភេទនេះ។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះយើងនឹងពិចារណាមួយក្នុងចំណោមពួកគេដែលពាក់ព័ន្ធនឹងការប្រើប្រាស់អ្វីដែលគេហៅថាទ្រឹស្តីបទ Vieta ។

ការបង្កើតទ្រឹស្តីបទ Vieta

នៅចុងបញ្ចប់នៃសតវត្សទី 16 គណិតវិទូដ៏ល្បីល្បាញ François Viète (ជនជាតិបារាំង) បានកត់សម្គាល់ខណៈពេលដែលការវិភាគអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃឫសនៃសមីការការ៉េផ្សេងៗថាបន្សំជាក់លាក់នៃពួកវាបំពេញនូវទំនាក់ទំនងជាក់លាក់។ ជាពិសេស បន្សំទាំងនេះគឺជាផលិតផល និងផលបូករបស់ពួកគេ។

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta បង្កើតដូចខាងក្រោម៖ ឫសគល់នៃសមីការការ៉េ នៅពេលដែលបូកសរុប ផ្តល់សមាមាត្រនៃមេគុណលីនេអ៊ែរទៅមេគុណការ៉េដែលយកដោយសញ្ញាផ្ទុយ ហើយនៅពេលដែលពួកវាត្រូវបានគុណ ពួកវានាំទៅរកសមាមាត្រនៃពាក្យសេរីទៅមេគុណបួនជ្រុង។ .

ប្រសិនបើទម្រង់ទូទៅនៃសមីការត្រូវបានសរសេរដូចដែលបានបង្ហាញក្នុងរូបថតនៅក្នុងផ្នែកមុននៃអត្ថបទ នោះតាមគណិតវិទ្យាទ្រឹស្តីបទនេះអាចត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់នៃសមភាពពីរ៖

• r 2 + r 1 = -b / a;
• r 1 x r 2 = c/a ។

ដែល r 1, r 2 គឺជាតម្លៃនៃឫសនៃសមីការនៅក្នុងសំណួរ។

សមភាពទាំងពីរខាងលើអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាគណិតវិទ្យាផ្សេងៗគ្នា។ ការប្រើប្រាស់ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ក្នុងឧទាហរណ៍ជាមួយដំណោះស្រាយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងផ្នែកខាងក្រោមនៃអត្ថបទ។

រវាងឫស និងមេគុណនៃសមីការ quadratic បន្ថែមលើរូបមន្តឫស មានទំនាក់ទំនងមានប្រយោជន៍ផ្សេងទៀតដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា. នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងផ្តល់នូវរូបមន្ត និងភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta សម្រាប់សមីការការ៉េ។ បន្ទាប់​មក​យើង​ពិចារណា​ទ្រឹស្ដី​ទ្រឹស្ដី​ទៅ​ទ្រឹស្ដី​របស់​វីតា។ បន្ទាប់ពីនេះយើងនឹងវិភាគដំណោះស្រាយចំពោះឧទាហរណ៍ធម្មតាបំផុត។ ជាចុងក្រោយ យើងសរសេររូបមន្ត Vieta ដែលកំណត់ទំនាក់ទំនងរវាងឫសពិត សមីការពិជគណិតដឺក្រេ n និងមេគុណរបស់វា។

ការរុករកទំព័រ។

ទ្រឹស្តីបទ Vieta, ការបង្កើត, ភស្តុតាង

ពីរូបមន្តនៃឫសនៃសមីការការ៉េ ax 2 +b·x+c=0 នៃទម្រង់ ដែល D=b 2 −4·a·c ទំនាក់ទំនងដូចខាងក្រោមៈ x 1 + x 2 =− b/a, x 1 · x 2 = c/a ។ លទ្ធផលទាំងនេះត្រូវបានបញ្ជាក់ ទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា:

ទ្រឹស្តីបទ។

ប្រសិនបើ x 1 និង x 2 គឺជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េ a x 2 + b x + c = 0 បន្ទាប់មកផលបូកនៃឫសគឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃមេគុណ b និង a ដែលយកដោយសញ្ញាផ្ទុយ និងផលគុណនៃ ឫសគឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃមេគុណ c និង a ពោលគឺ .

ភស្តុតាង។

យើងនឹងអនុវត្តភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta តាមគ្រោងការណ៍ខាងក្រោម៖ យើងចងក្រងផលបូក និងផលនៃឫសនៃសមីការការ៉េដោយប្រើរូបមន្តឫសដែលគេស្គាល់ បន្ទាប់មកយើងបំប្លែងកន្សោមលទ្ធផល ហើយត្រូវប្រាកដថាពួកវាស្មើនឹង −b/ a និង c/a រៀងគ្នា។

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងផលបូកនៃឫសហើយបង្កើតវាឡើង។ ឥឡូវនេះយើងនាំយកប្រភាគទៅជាភាគបែងរួមមួយ យើងមាន . នៅក្នុងភាគយកនៃប្រភាគលទ្ធផល បន្ទាប់ពីនោះ :. ទីបំផុតបន្ទាប់ពីថ្ងៃទី 2 យើងទទួលបាន។ នេះបង្ហាញពីទំនាក់ទំនងដំបូងនៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta សម្រាប់ផលបូកនៃឫសនៃសមីការការ៉េ។ ចូរបន្តទៅទីពីរ។

យើងបង្កើតផលនៃឫសនៃសមីការការ៉េ៖ . យោងតាមច្បាប់នៃការគុណប្រភាគ ផលិតផលចុងក្រោយអាចត្រូវបានសរសេរជា . ឥឡូវនេះ យើងគុណនឹងតង្កៀបដោយតង្កៀបនៅក្នុងលេខភាគ ប៉ុន្តែវាលឿនជាងក្នុងការបង្រួមផលិតផលនេះដោយ រូបមន្តភាពខុសគ្នាការ៉េ, ដូច្នេះ។ បន្ទាប់មកចងចាំយើងធ្វើការផ្លាស់ប្តូរបន្ទាប់។ ហើយចាប់តាំងពីការរើសអើងនៃសមីការការ៉េត្រូវគ្នានឹងរូបមន្ត D=b 2 −4·a·c នោះជំនួសឱ្យ D ក្នុងប្រភាគចុងក្រោយ យើងអាចជំនួស b 2 −4·a·c យើងទទួលបាន។ បន្ទាប់ពីបើកវង់ក្រចក និងនាំយកពាក្យស្រដៀងគ្នាមក យើងមកដល់ប្រភាគ ហើយការកាត់បន្ថយរបស់វាដោយ 4·a ផ្តល់ឱ្យ . នេះបង្ហាញពីទំនាក់ទំនងទីពីរនៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta សម្រាប់ផលនៃឫស។

ប្រសិនបើយើងលុបចោលការពន្យល់នោះ ភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta នឹងមានទម្រង់ laconic៖
,
.

វានៅសល់តែកត់សម្គាល់ថាប្រសិនបើការរើសអើងស្មើនឹងសូន្យ សមីការការ៉េមានឫសតែមួយ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ប្រសិនបើយើងសន្មត់ថាសមីការក្នុងករណីនេះមានឫសដូចគ្នាពីរ នោះសមភាពពីទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ក៏កាន់ដែរ។ ជាការពិតណាស់នៅពេលដែល D = 0 ឫសនៃសមីការការ៉េគឺស្មើនឹង , បន្ទាប់មក និង , ហើយចាប់តាំងពី D = 0 នោះគឺ b 2 −4·a·c = 0, wherece b 2 = 4·a·c បន្ទាប់មក .

នៅក្នុងការអនុវត្ត ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ត្រូវបានគេប្រើញឹកញាប់បំផុតទាក់ទងនឹងសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយ (ជាមួយមេគុណនាំមុខស្មើនឹង 1) នៃទម្រង់ x 2 +p·x+q=0 ។ ពេលខ្លះវាត្រូវបានបង្កើតឡើងសម្រាប់សមីការការ៉េនៃប្រភេទនេះ ដែលមិនកំណត់ភាពទូទៅ ចាប់តាំងពីសមីការការ៉េណាមួយអាចត្រូវបានជំនួសដោយសមីការសមមូលដោយបែងចែកភាគីទាំងពីរដោយលេខមិនសូន្យ a ។ ចូរយើងផ្តល់រូបមន្តដែលត្រូវគ្នានៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta៖

ទ្រឹស្តីបទ។

ផលបូកនៃឫសនៃសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយ x 2 +p x+q=0 គឺស្មើនឹងមេគុណនៃ x ដែលយកដោយសញ្ញាផ្ទុយ ហើយផលគុណនៃឫសគឺស្មើនឹងពាក្យទំនេរ នោះគឺ x 1 +x 2 = −p, x 1 x 2 = q ។

ទ្រឹស្ដីទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា

រូបមន្តទីពីរនៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ដែលបានផ្ដល់ឱ្យក្នុងកថាខណ្ឌមុន បង្ហាញថាប្រសិនបើ x 1 និង x 2 គឺជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយ x 2 +p x + q = 0 បន្ទាប់មកទំនាក់ទំនង x 1 + x 2 = −p , x 1 x 2 = q ។ ម៉្យាងទៀតពីទំនាក់ទំនងដែលបានសរសេរ x 1 + x 2 = −p, x 1 x 2 = q វាដូចខាងក្រោម x 1 និង x 2 គឺជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េ x 2 + p x + q = 0 ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ការសន្ទនានៃទ្រឹស្តីបទរបស់វីតាគឺជាការពិត។ ចូរយើងបង្កើតវានៅក្នុងទម្រង់នៃទ្រឹស្តីបទ ហើយបញ្ជាក់វា។

ទ្រឹស្តីបទ។

ប្រសិនបើលេខ x 1 និង x 2 គឺដូចនោះ x 1 + x 2 = −p និង x 1 · x 2 = q នោះ x 1 និង x 2 គឺជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយ x 2 +p · x+q =0.

ភស្តុតាង។

បន្ទាប់ពីជំនួសមេគុណ p និង q ក្នុងសមីការ x 2 +p·x+q=0 ជាមួយនឹងកន្សោមរបស់ពួកគេតាមរយៈ x 1 និង x 2 វាត្រូវបានបំលែងទៅជាសមីការសមមូល។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងជំនួសលេខ x 1 ជំនួសឱ្យ x ទៅក្នុងសមីការលទ្ធផល ហើយយើងមានសមភាព x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0ដែលសម្រាប់ x 1 និង x 2 ណាមួយតំណាងឱ្យសមភាពលេខត្រឹមត្រូវ 0=0 ចាប់តាំងពី x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0. ដូច្នេះ x 1 គឺជាឫសគល់នៃសមីការ x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0ដែលមានន័យថា x 1 គឺជាឫសគល់នៃសមីការសមមូល x 2 +p·x+q=0 ។

ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការ x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0ជំនួសលេខ x 2 ជំនួសឱ្យ x យើងទទួលបានសមភាព x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0. នេះគឺជាសមភាពពិតចាប់តាំងពី x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 ·x 2 −x 2 2 +x 1 ·x 2 =0. ដូច្នេះ x 2 ក៏ជាឫសគល់នៃសមីការផងដែរ។ x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0ដូច្នេះហើយ សមីការ x 2 + px · x + q = 0 ។

នេះ​បញ្ចប់​ភស្តុតាង​នៃ​ទ្រឹស្តីបទ​សន្ទនា​ទៅ​ទ្រឹស្តីបទ​របស់​វីតា។

ឧទាហរណ៍នៃការប្រើប្រាស់ទ្រឹស្តីបទ Vieta

វាដល់ពេលដែលត្រូវនិយាយអំពីការអនុវត្តជាក់ស្តែងនៃទ្រឹស្តីបទ Vieta និងទ្រឹស្តីបទសន្ទនារបស់វា។ នៅក្នុងផ្នែកនេះ យើងនឹងវិភាគដំណោះស្រាយចំពោះឧទាហរណ៍ធម្មតាបំផុតមួយចំនួន។

ចូរចាប់ផ្តើមដោយអនុវត្តទ្រឹស្តីបទសន្ទនាទៅទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា។ វាងាយស្រួលប្រើដើម្បីពិនិត្យមើលថាតើលេខពីរដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺជាឫសនៃសមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ក្នុងករណីនេះផលបូកនិងភាពខុសគ្នារបស់ពួកគេត្រូវបានគណនាបន្ទាប់ពីនោះសុពលភាពនៃទំនាក់ទំនងត្រូវបានពិនិត្យ។ ប្រសិនបើទំនាក់ទំនងទាំងពីរនេះមានការពេញចិត្ត នោះដោយសារទ្រឹស្តីបទដែលផ្ទុយទៅនឹងទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta វាត្រូវបានសន្និដ្ឋានថាលេខទាំងនេះគឺជាឫសគល់នៃសមីការ។ ប្រសិនបើទំនាក់ទំនងយ៉ាងហោចណាស់មួយមិនពេញចិត្ត នោះលេខទាំងនេះមិនមែនជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េទេ។ វិធីសាស្រ្តនេះអាចត្រូវបានប្រើនៅពេលដោះស្រាយសមីការ quadratic ដើម្បីពិនិត្យមើលឫសដែលបានរកឃើញ។

ឧទាហរណ៍។

តើគូមួយណានៃលេខ 1) x 1 = −5, x 2 = 3, ឬ 2) ឬ 3) គឺជាគូនៃឫសនៃសមីការការ៉េ 4 x 2 −16 x+9=0?

ដំណោះស្រាយ។

មេគុណនៃសមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យ 4 x 2 −16 x+9=0 គឺ a=4, b=−16, c=9 ។ យោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ផលបូកនៃឫសនៃសមីការការ៉េគួរតែស្មើនឹង −b/a នោះគឺ 16/4=4 ហើយផលគុណនៃឫសគួរតែស្មើនឹង c/a ពោលគឺ 9 /៤.

ឥឡូវនេះ ចូរយើងគណនាផលបូក និងផលនៃលេខក្នុងគូនីមួយៗដែលបានផ្តល់ឱ្យទាំងបី ហើយប្រៀបធៀបវាជាមួយនឹងតម្លៃដែលយើងទើបតែទទួលបាន។

ក្នុងករណីដំបូងយើងមាន x 1 + x 2 = −5 + 3 = −2 ។ តម្លៃលទ្ធផលគឺខុសពីលេខ 4 ដូច្នេះហើយមិនអាចពិនិត្យបន្ថែមទៀតបានទេ ប៉ុន្តែការប្រើទ្រឹស្តីបទបញ្ច្រាសទៅទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta នោះគេអាចសន្និដ្ឋានភ្លាមៗថាលេខគូទីមួយមិនមែនជាគូនៃឫសនៃសមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យនោះទេ។

ចូរបន្តទៅករណីទីពីរ។ នៅទីនេះ នោះគឺលក្ខខណ្ឌទីមួយត្រូវបានបំពេញ។ យើងពិនិត្យមើលលក្ខខណ្ឌទីពីរ៖ តម្លៃលទ្ធផលគឺខុសគ្នាពី 9/4 ។ អាស្រ័យហេតុនេះ លេខគូទីពីរមិនមែនជាគូនៃឫសនៃសមីការ quadratic ទេ។

នៅសល់ករណីចុងក្រោយមួយ។ នៅទីនេះ និង។ លក្ខខណ្ឌទាំងពីរត្រូវបានបំពេញ ដូច្នេះលេខទាំងនេះ x 1 និង x 2 គឺជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ចម្លើយ៖

ការសន្ទនានៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta អាចត្រូវបានប្រើក្នុងការអនុវត្ត ដើម្បីស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការការ៉េ។ ជាធម្មតា ឫសចំនួនគត់នៃសមីការ quadratic ដែលបានផ្តល់ឱ្យជាមួយនឹងមេគុណចំនួនគត់ត្រូវបានជ្រើសរើស ចាប់តាំងពីក្នុងករណីផ្សេងទៀត វាពិបាកធ្វើណាស់។ ក្នុងករណីនេះ គេប្រើការពិតដែលថា ប្រសិនបើផលបូកនៃចំនួនពីរគឺស្មើនឹងមេគុណទីពីរនៃសមីការការ៉េ យកដោយសញ្ញាដក ហើយផលគុណនៃលេខទាំងនេះស្មើនឹងពាក្យឥតគិតថ្លៃ នោះលេខទាំងនេះគឺជា ឫសគល់នៃសមីការការ៉េនេះ។ ចូរយើងយល់ពីរឿងនេះជាមួយនឹងឧទាហរណ៍មួយ។

ចូរយើងយកសមីការការ៉េ x 2 −5 x + 6 = 0 ។ ដើម្បីឱ្យលេខ x 1 និង x 2 ជាឫសគល់នៃសមីការនេះ សមភាពពីរត្រូវតែពេញចិត្ត៖ x 1 + x 2 = 5 និង x 1 · x 2 = 6 ។ អ្វីដែលនៅសល់គឺជ្រើសរើសលេខបែបនេះ។ ក្នុងករណីនេះ នេះគឺសាមញ្ញណាស់ក្នុងការធ្វើ៖ លេខបែបនេះគឺ 2 និង 3 ចាប់តាំងពី 2+3=5 និង 2·3=6។ ដូច្នេះ 2 និង 3 គឺជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េនេះ។

ទ្រឹស្តីបទបញ្ច្រាសទៅទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta គឺងាយស្រួលប្រើជាពិសេសដើម្បីស្វែងរកឫសទីពីរនៃសមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅពេលដែលឫសណាមួយត្រូវបានគេស្គាល់ឬច្បាស់រួចហើយ។ ក្នុងករណីនេះឫសទីពីរអាចត្រូវបានរកឃើញពីទំនាក់ទំនងណាមួយ។

ឧទាហរណ៍ ចូរយើងយកសមីការការ៉េ 512 x 2 −509 x −3=0 ។ នៅទីនេះវាងាយស្រួលក្នុងការឃើញថាការរួបរួមគឺជាឫសគល់នៃសមីការ ព្រោះផលបូកនៃមេគុណនៃសមីការការ៉េនេះគឺស្មើនឹងសូន្យ។ ដូច្នេះ x 1 = 1 ។ ជាឧទាហរណ៍ ឫសទីពីរ x 2 អាចរកបានពីទំនាក់ទំនង x 1 · x 2 = c/a ។ យើងមាន 1 x 2 = −3/512 ដែល x 2 = −3/512 ។ នេះជារបៀបដែលយើងកំណត់ឫសទាំងពីរនៃសមីការការ៉េ៖ ១ និង −៣/៥១២។

វាច្បាស់ណាស់ថាការជ្រើសរើសឫសត្រូវបានណែនាំតែនៅក្នុងករណីសាមញ្ញបំផុត។ ក្នុងករណីផ្សេងទៀត ដើម្បីស្វែងរកឫស អ្នកអាចប្រើរូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការបួនជ្រុងតាមរយៈអ្នករើសអើង។

ការអនុវត្តជាក់ស្តែងមួយផ្សេងទៀតនៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta គឺបង្កើតសមីការការ៉េដែលផ្តល់ឫស x 1 និង x 2 ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះវាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការគណនាផលបូកនៃឫសដែលផ្តល់មេគុណនៃ x ជាមួយនឹងសញ្ញាផ្ទុយនៃសមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យនិងផលិតផលនៃឫសដែលផ្តល់រយៈពេលឥតគិតថ្លៃ។

ឧទាហរណ៍។

សរសេរសមីការបួនជ្រុងដែលឫសគឺ −11 និង 23 ។

ដំណោះស្រាយ។

ចូរសម្គាល់ x 1 = −11 និង x 2 = 23 ។ យើងគណនាផលបូក និងផលនៃលេខទាំងនេះ៖ x 1 + x 2 = 12 និង x 1 · x 2 = −253 ។ ដូច្នេះ លេខ​ដែល​បាន​បង្ហាញ​គឺ​ជា​ឫសគល់​នៃ​សមីការ​ការ៉េ​ដែល​បាន​កាត់​បន្ថយ​ជាមួយ​មេគុណ​ទីពីរ​នៃ −12 និង​រយៈពេល​ទំនេរ​នៃ −253 ។ នោះគឺ x 2 −12·x−253=0 គឺជាសមីការដែលត្រូវការ។

ចម្លើយ៖

x 2 −12·x−253=0 ។

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាទាក់ទងនឹងសញ្ញានៃឫសគល់នៃសមីការការ៉េ។ តើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ទាក់ទងទៅនឹងសញ្ញានៃឫសគល់នៃសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយ x 2 +p·x+q=0 យ៉ាងដូចម្តេច? នេះជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ពាក់ព័ន្ធពីរ៖

• ប្រសិនបើពាក្យឥតគិតថ្លៃ q គឺជាចំនួនវិជ្ជមាន ហើយប្រសិនបើសមីការ quadratic មានឫសពិត នោះពួកវាទាំងពីរគឺវិជ្ជមាន ឬទាំងពីរអវិជ្ជមាន។
• ប្រសិនបើពាក្យឥតគិតថ្លៃ q គឺជាលេខអវិជ្ជមាន ហើយប្រសិនបើសមីការ quadratic មានឫសពិត នោះសញ្ញារបស់ពួកគេគឺខុសគ្នា ម្យ៉ាងវិញទៀត ឫសមួយគឺវិជ្ជមាន ហើយមួយទៀតគឺអវិជ្ជមាន។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ទាំងនេះធ្វើតាមរូបមន្ត x 1 · x 2 =q ក៏ដូចជាច្បាប់សម្រាប់គុណលេខវិជ្ជមាន លេខអវិជ្ជមាន និងលេខដែលមានសញ្ញាផ្សេងគ្នា។ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍នៃកម្មវិធីរបស់ពួកគេ។

ឧទាហរណ៍។

R វាជាវិជ្ជមាន។ ដោយប្រើរូបមន្តរើសអើង យើងរកឃើញ D=(r+2)2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8 តម្លៃនៃកន្សោម r 2 +8 គឺវិជ្ជមានសម្រាប់ r ពិតប្រាកដណាមួយ ដូច្នេះ D> 0 សម្រាប់ r ពិតប្រាកដណាមួយ។ អាស្រ័យហេតុនេះ សមីការការ៉េដើមមានឫសពីរសម្រាប់តម្លៃពិតនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ r ។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងស្វែងយល់ថាតើពេលណាឫសមានសញ្ញាផ្សេងគ្នា។ ប្រសិនបើសញ្ញានៃឫសគឺខុសគ្នា នោះផលិតផលរបស់វាគឺអវិជ្ជមាន ហើយយោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ផលិតផលនៃឫសនៃសមីការបួនជ្រុងដែលកាត់បន្ថយគឺស្មើនឹងពាក្យឥតគិតថ្លៃ។ ដូច្នេះហើយ យើងចាប់អារម្មណ៍លើតម្លៃទាំងនោះនៃ r ដែលពាក្យឥតគិតថ្លៃ r−1 គឺអវិជ្ជមាន។ ដូច្នេះដើម្បីស្វែងរកតម្លៃនៃ r ដែលយើងចាប់អារម្មណ៍យើងត្រូវការ ដោះស្រាយវិសមភាពលីនេអ៊ែរ r−1<0 , откуда находим r<1 .

ចម្លើយ៖

នៅ r<1 .

រូបមន្ត Vieta

ខាងលើយើងបាននិយាយអំពីទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta សម្រាប់សមីការការ៉េ និងវិភាគទំនាក់ទំនងដែលវាអះអាង។ ប៉ុន្តែមានរូបមន្តតភ្ជាប់ឫសពិត និងមេគុណនៃសមីការចតុកោណ មិនត្រឹមតែសមីការគូបប៉ុណ្ណោះទេ សមីការដឺក្រេទីបួន និងជាទូទៅ។ សមីការពិជគណិតដឺក្រេ n. ពួកគេត្រូវបានគេហៅថា រូបមន្តរបស់ Vieta.

ចូរយើងសរសេររូបមន្ត Vieta សម្រាប់សមីការពិជគណិតនៃដឺក្រេ n នៃទម្រង់ ហើយយើងនឹងសន្មត់ថាវាមានឫសពិត x 1, x 2, ..., x n (ក្នុងចំនោមពួកវាអាចមានការស្របគ្នា)៖

រូបមន្តរបស់ Vieta អាចទទួលបាន ទ្រឹស្តីបទស្តីពីការរលាយនៃពហុធាទៅជាកត្តាលីនេអ៊ែរក៏ដូចជានិយមន័យនៃពហុនាមស្មើគ្នា តាមរយៈសមភាពនៃមេគុណដែលត្រូវគ្នាទាំងអស់។ ដូច្នេះពហុនាម និងការពង្រីករបស់វាទៅជាកត្តាលីនេអ៊ែរនៃទម្រង់គឺស្មើគ្នា។ ការបើកតង្កៀបនៅក្នុងផលិតផលចុងក្រោយ និងផ្តល់មេគុណដែលត្រូវគ្នា យើងទទួលបានរូបមន្តរបស់ Vieta ។

ជាពិសេស សម្រាប់ n=2 យើងមានរូបមន្ត Vieta ដែលធ្លាប់ស្គាល់រួចហើយសម្រាប់សមីការការ៉េ។

សម្រាប់សមីការគូប រូបមន្តរបស់ Vieta មានទម្រង់

វានៅសល់តែកត់សម្គាល់ថានៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃរូបមន្តរបស់ Vieta មានអ្វីដែលហៅថាបឋម។ ពហុនាមស៊ីមេទ្រី.

គន្ថនិទ្ទេស។

• ពិជគណិត៖សៀវភៅសិក្សា សម្រាប់ថ្នាក់ទី ៨ ។ ការអប់រំទូទៅ ស្ថាប័ន / [យូ។ N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; កែសម្រួល​ដោយ S.A. Telyakovsky ។ - ទី 16 ed ។ - M. : ការអប់រំ, 2008. - 271 ទំ។ ៖ ឈឺ។ - ISBN 978-5-09-019243-9 ។
• Mordkovich A.G.ពិជគណិត។ ថ្នាក់ទី 8 ។ ក្នុងរយៈពេល 2 ម៉ោង ផ្នែកទី 1. សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់និស្សិតនៃគ្រឹះស្ថានអប់រំទូទៅ / A.G. Mordkovich ។ - ទី 11 ed ។ , លុប។ - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2 ។
• ពិជគណិតនិងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។ ថ្នាក់ទី ១០៖ សៀវភៅសិក្សា។ សម្រាប់ការអប់រំទូទៅ ស្ថាប័ន៖ មូលដ្ឋាន និងប្រវត្តិរូប។ កម្រិត / [យូ។ M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; កែសម្រួល​ដោយ A.B. Zhizhchenko ។ - ទី 3 ed ។ - M. : ការអប់រំ, 2010.- 368 ទំ។ ៖ ឈឺ។ - ISBN 978-5-09-022771-1 ។

នៅថ្នាក់ទីប្រាំបី សិស្សត្រូវបានណែនាំអំពីសមីការបួនជ្រុង និងរបៀបដោះស្រាយវា។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ ដូចដែលបទពិសោធន៍បានបង្ហាញ សិស្សភាគច្រើនប្រើវិធីតែមួយគត់នៅពេលដោះស្រាយសមីការការ៉េពេញលេញ - រូបមន្តសម្រាប់ឫសគល់នៃសមីការការ៉េ។ សម្រាប់សិស្សដែលមានជំនាញនព្វន្ធផ្លូវចិត្តល្អ វិធីសាស្រ្តនេះគឺមិនសមហេតុផលច្បាស់លាស់។ ជារឿយៗសិស្សត្រូវដោះស្រាយសមីការ quadratic សូម្បីតែនៅវិទ្យាល័យ ហើយវាគ្រាន់តែជាការអាណិតមួយក្នុងការចំណាយពេលវេលាក្នុងការគណនាអ្នករើសអើង។ តាមគំនិតរបស់ខ្ញុំ នៅពេលសិក្សាសមីការការ៉េ ពេលវេលា និងការយកចិត្តទុកដាក់បន្ថែមទៀតគួរតែត្រូវបានបង់ទៅការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta (យោងទៅតាមកម្មវិធី AG Mordkovich Algebra-8 មានតែពីរម៉ោងប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានគ្រោងទុកសម្រាប់សិក្សាប្រធានបទ "ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ។ ការរលួយនៃចតុកោណ trinomial ទៅជាកត្តាលីនេអ៊ែរ”) ។

នៅក្នុងសៀវភៅសិក្សាពិជគណិតភាគច្រើន ទ្រឹស្តីបទនេះត្រូវបានបង្កើតឡើងសម្រាប់សមីការបួនជ្រុងដែលកាត់បន្ថយ ហើយចែងថា ប្រសិនបើសមីការមានឫសគល់ ហើយសមភាព , ពេញចិត្តសម្រាប់ពួកគេ។បន្ទាប់មក សេចក្តីថ្លែងការសន្ទនាទៅនឹងទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ត្រូវបានបង្កើតឡើង ហើយឧទាហរណ៍មួយចំនួនត្រូវបានផ្តល់ជូនដើម្បីអនុវត្តប្រធានបទនេះ។

ចូរយកឧទាហរណ៍ជាក់លាក់ និងតាមដានតក្កវិជ្ជានៃដំណោះស្រាយដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ។

ឧទាហរណ៍ 1. ដោះស្រាយសមីការ។

ឧបមាថាសមីការនេះមានឫសគល់ ពោលគឺ និង . បន្ទាប់មក យោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta សមភាពត្រូវតែមានក្នុងពេលដំណាលគ្នា៖

សូមចំណាំថាផលិតផលនៃឫសគឺជាលេខវិជ្ជមាន។ នេះមានន័យថាឫសគល់នៃសមីការមានសញ្ញាដូចគ្នា។ ហើយដោយសារផលបូកនៃឫសក៏ជាចំនួនវិជ្ជមានផងដែរ នោះយើងសន្និដ្ឋានថាឫសទាំងពីរនៃសមីការគឺវិជ្ជមាន។ ចូរយើងត្រលប់ទៅផលិតផលឫសវិញ។ ចូរសន្មតថាឫសនៃសមីការគឺជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន។ បន្ទាប់មកសមភាពដំបូងដែលត្រឹមត្រូវអាចទទួលបានតែតាមពីរវិធីប៉ុណ្ណោះ (តាមលំដាប់នៃកត្តា)៖ ឬ . ចូរយើងពិនិត្យមើលសម្រាប់គូលេខដែលបានស្នើឡើង លទ្ធភាពនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ទីពីរនៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta៖ . ដូច្នេះ លេខ 2 និង 3 បំពេញសមភាពទាំងពីរ ដូច្នេះហើយជាឫសគល់នៃសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ចម្លើយ៖ ២; ៣.

ចូរយើងគូសបញ្ជាក់ពីដំណាក់កាលសំខាន់ៗនៃការវែកញែកនៅពេលដោះស្រាយសមីការការ៉េខាងលើដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta៖

សរសេរសេចក្តីថ្លែងការណ៍នៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta

(*)

• កំណត់សញ្ញានៃឫសនៃសមីការ (ប្រសិនបើផលិតផល និងផលបូកនៃឫសគឺវិជ្ជមាន នោះឫសទាំងពីរគឺជាលេខវិជ្ជមាន។ ប្រសិនបើផលិតផលនៃឫសគឺជាចំនួនវិជ្ជមាន ហើយផលបូកនៃឫសគឺអវិជ្ជមាន បន្ទាប់មក ឫសទាំងពីរគឺជាលេខអវិជ្ជមាន ប្រសិនបើផលនៃឫសគឺជាលេខអវិជ្ជមាន នោះឫសមានសញ្ញាផ្សេងគ្នា លើសពីនេះប្រសិនបើផលបូកនៃឫសគឺវិជ្ជមាន នោះឫសដែលមានម៉ូឌុលធំជាងគឺជាលេខវិជ្ជមាន។ ផលបូកនៃឫសគឺតិចជាងសូន្យបន្ទាប់មកឫសដែលមានម៉ូឌុលធំជាងគឺជាលេខអវិជ្ជមាន);
• ជ្រើសរើសគូនៃចំនួនគត់ដែលផលិតផលផ្តល់សមភាពដំបូងត្រឹមត្រូវក្នុងសញ្ញាណ (*);
• ពីចំនួនគូដែលបានរកឃើញ សូមជ្រើសរើសគូដែលនៅពេលជំនួសដោយសមភាពទីពីរក្នុងសញ្ញាណ (*) នឹងផ្តល់សមភាពត្រឹមត្រូវ។
• ចង្អុលបង្ហាញនៅក្នុងចម្លើយរបស់អ្នកនូវឫសគល់នៃសមីការ។

សូមផ្តល់ឧទាហរណ៍មួយចំនួនទៀត។

ឧទាហរណ៍ទី ២៖ ដោះស្រាយសមីការ .

ដំណោះស្រាយ។

អនុញ្ញាតឱ្យនិងជាឫសគល់នៃសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ បន្ទាប់មក តាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta យើងកត់សំគាល់ថាផលិតផលគឺវិជ្ជមាន ហើយផលបូកគឺជាលេខអវិជ្ជមាន។ នេះមានន័យថាឫសទាំងពីរគឺជាលេខអវិជ្ជមាន។ យើងជ្រើសរើសគូនៃកត្តាដែលផ្តល់ឱ្យផលិតផល 10 (-1 និង -10; -2 និង -5) ។ លេខគូទីពីរបន្ថែមដល់ -7 ។ នេះមានន័យថាលេខ -2 និង -5 គឺជាឫសគល់នៃសមីការនេះ។

ចម្លើយ៖ -2; -5.

ឧទាហរណ៍ទី ៣៖ ដោះស្រាយសមីការ .

ដំណោះស្រាយ។

អនុញ្ញាតឱ្យនិងជាឫសគល់នៃសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ បន្ទាប់មក តាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta យើងកត់សំគាល់ថាផលិតផលគឺអវិជ្ជមាន។ នេះមានន័យថាឫសមានសញ្ញាខុសៗគ្នា។ ផលបូកនៃឫសក៏ជាលេខអវិជ្ជមានផងដែរ។ នេះមានន័យថាឫសដែលមានម៉ូឌុលធំបំផុតគឺអវិជ្ជមាន។ យើងជ្រើសរើសគូនៃកត្តាដែលផ្តល់ឱ្យផលិតផល -10 (1 និង -10; 2 និង -5) ។ លេខគូទីពីរបន្ថែមដល់ -3 ។ នេះមានន័យថាលេខ 2 និង -5 គឺជាឫសគល់នៃសមីការនេះ។

ចម្លើយ៖ 2; -5.

ចំណាំថាទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ជាគោលការណ៍អាចបង្កើតបានសម្រាប់សមីការការ៉េពេញលេញ៖ ប្រសិនបើសមីការ quadratic មានឫសគល់ ហើយបន្ទាប់មកសមភាព ពេញចិត្តនឹងពួកគេ។ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទនេះគឺមានបញ្ហាណាស់ ព្រោះនៅក្នុងសមីការបួនជ្រុងពេញលេញ យ៉ាងហោចណាស់ឫសមួយ (ប្រសិនបើមាន) គឺជាចំនួនប្រភាគ។ ហើយការធ្វើការជាមួយការជ្រើសរើសប្រភាគគឺវែង និងពិបាក។ ប៉ុន្តែនៅតែមានផ្លូវចេញ។

ពិចារណាសមីការការ៉េពេញលេញ . គុណផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយមេគុណទីមួយ កហើយសរសេរសមីការក្នុងទម្រង់ . អនុញ្ញាតឱ្យយើងណែនាំអថេរថ្មី និងទទួលបានសមីការបួនជ្រុងដែលកាត់បន្ថយ ឫសគល់ដែល និង (ប្រសិនបើមាន) អាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ។ បន្ទាប់មកឫសនៃសមីការដើមនឹងមាន។ សូមចំណាំថាវាសាមញ្ញណាស់ក្នុងការបង្កើតសមីការកាត់បន្ថយជំនួយ៖ មេគុណទីពីរត្រូវបានរក្សាទុក ហើយមេគុណទីបីគឺស្មើនឹងផលិតផល ac. ជាមួយនឹងជំនាញជាក់លាក់មួយ សិស្សបង្កើតសមីការជំនួយភ្លាមៗ ស្វែងរកឫសរបស់វាដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta និងចង្អុលបង្ហាញឫសគល់នៃសមីការពេញលេញដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ចូរយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍។

ឧទាហរណ៍ទី ៤៖ ដោះស្រាយសមីការ .

តោះបង្កើតសមីការជំនួយ ហើយដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta យើងនឹងរកឃើញឫសរបស់វា។ នេះមានន័យថាឫសគល់នៃសមីការដើម .

ចម្លើយ៖ .

ឧទាហរណ៍ទី ៥៖ ដោះស្រាយសមីការ .

សមីការជំនួយមានទម្រង់។ យោងតាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ឫសរបស់វាគឺ . ការស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការដើម .

ចម្លើយ៖ .

ហើយករណីមួយទៀតនៅពេលដែលការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរកពាក្យសំដីនៃសមីការការ៉េពេញលេញ។ វាមិនពិបាកក្នុងការបញ្ជាក់នោះទេ។ លេខ 1 គឺជាឫសគល់នៃសមីការ , ប្រសិនបើនិងប្រសិនបើ. ឫសទីពីរនៃសមីការត្រូវបានរកឃើញដោយទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ហើយស្មើនឹង . សេចក្តីថ្លែងការណ៍មួយទៀត៖ ដូច្នេះលេខ -1 គឺជាឫសគល់នៃសមីការ ចាំបាច់និងគ្រប់គ្រាន់. បន្ទាប់មកឫសទីពីរនៃសមីការយោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta គឺស្មើនឹង . សេចក្តីថ្លែងការណ៍ស្រដៀងគ្នាអាចត្រូវបានបង្កើតសម្រាប់សមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយ។

ឧទាហរណ៍ទី ៦៖ ដោះស្រាយសមីការ។

ចំណាំថាផលបូកនៃមេគុណនៃសមីការគឺសូន្យ។ ដូច្នេះឫសនៃសមីការ .

ចម្លើយ៖ .

ឧទាហរណ៍ 7. ដោះស្រាយសមីការ។

មេគុណនៃសមីការនេះពេញចិត្តនឹងទ្រព្យសម្បត្តិ (ជាការពិត 1-(-999)+(-1000)=0)។ ដូច្នេះឫសនៃសមីការ .

ចម្លើយ៖ ..

ឧទាហរណ៍នៃការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta

កិច្ចការ 1. ដោះស្រាយសមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ។

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

កិច្ចការទី 2. ដោះស្រាយសមីការការ៉េពេញលេញដោយឆ្លងកាត់សមីការ quadratic កាត់បន្ថយជំនួយ។

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

កិច្ចការទី 3. ដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងដោយប្រើលក្ខណសម្បត្តិ។

ជាដំបូង ចូរយើងបង្កើតទ្រឹស្តីបទដោយខ្លួនឯង៖ អនុញ្ញាតឱ្យយើងកាត់បន្ថយសមីការការ៉េនៃទម្រង់ x^2+b*x+c=0។ ចូរនិយាយថាសមីការនេះមានឫស x1 និង x2។ បន្ទាប់មក យោងតាមទ្រឹស្តីបទ សេចក្តីថ្លែងការណ៍ខាងក្រោមមានសុពលភាព៖

1) ផលបូកនៃឫស x1 និង x2 នឹងស្មើនឹងតម្លៃអវិជ្ជមាននៃមេគុណ ខ។

2) ផលិតផលនៃឫសដូចគ្នាទាំងនេះនឹងផ្តល់ឱ្យយើងនូវមេគុណ c ។

ប៉ុន្តែតើសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺជាអ្វី?

សមីការ​ការ៉េ​ដែល​បាន​កាត់​បន្ថយ​គឺ​ជា​សមីការ​ការ៉េ​ដែល​មេគុណ​នៃ​កម្រិត​ខ្ពស់​បំផុត​គឺ​ស្មើ​នឹង​មួយ​, i.e. នេះគឺជាសមីការនៃទម្រង់ x^2 + b*x + c = 0។ (ហើយសមីការ a*x^2 + b*x + c = 0 គឺមិនត្រូវបានកាត់បន្ថយ)។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ដើម្បីនាំយកសមីការទៅជាទម្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ យើងត្រូវបែងចែកសមីការនេះដោយមេគុណនៃអំណាចខ្ពស់បំផុត (a)។ ភារកិច្ចគឺដើម្បីនាំយកសមីការនេះទៅជាទម្រង់ដូចខាងក្រោម:

3*x^2 12*x+18=0;

−4*x^2 + 32*x + 16 = 0;

1.5*x^2 + 7.5*x + 3 = 0; 2*x^2 + 7*x − 11 = 0 ។

ចែកសមីការនីមួយៗដោយមេគុណនៃកំរិតខ្ពស់បំផុត យើងទទួលបាន៖

X^2 4*x + 6 = 0; X^2 8*x − 4 = 0; X^2 + 5*x + 2 = 0;

X^2 + 3.5*x − 5.5 = 0 ។

ដូចដែលអ្នកអាចមើលឃើញពីឧទាហរណ៍ សូម្បីតែសមីការដែលមានប្រភាគអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta

X^2 5*x + 6 = 0 ⇒ x1 + x2 = − (−5) = 5; x1*x2 = 6;

យើងទទួលបានឫស៖ x1 = 2; x2 = 3;

X^2 + 6*x + 8 = 0 ⇒ x1 + x2 = −6; x1*x2 = 8;

ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានឫស: x1 = -2 ; x2 = −4;

X^2 + 5*x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = −5; x1*x2=4;

យើងទទួលបានឫស៖ x1 = −1; x2 = −4 ។

អត្ថន័យនៃទ្រឹស្តីបទ Vieta

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta អនុញ្ញាតឱ្យយើងដោះស្រាយសមីការកាត់បន្ថយរាងបួនជ្រុងក្នុងរយៈពេលស្ទើរតែវិនាទី។ នៅ glance ដំបូង នេះហាក់ដូចជាកិច្ចការដ៏លំបាកមួយ ប៉ុន្តែបន្ទាប់ពីសមីការ 5 10 អ្នកអាចរៀនមើលឫសភ្លាមៗ។

ពីឧទាហរណ៍ដែលបានផ្ដល់ឱ្យ និងដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ វាច្បាស់ណាស់អំពីរបៀបដែលអ្នកអាចធ្វើឱ្យសាមញ្ញយ៉ាងសំខាន់នូវដំណោះស្រាយនៃសមីការការ៉េ ពីព្រោះដោយប្រើទ្រឹស្តីបទនេះ អ្នកអាចដោះស្រាយសមីការការ៉េបានដោយការអនុវត្តដោយមិនចាំបាច់មានការគណនាស្មុគស្មាញ និងការគណនាការរើសអើង ហើយដូចដែលអ្នកដឹងស្រាប់ ការគណនាកាន់តែតិច វាកាន់តែពិបាកធ្វើខុស ដែលជារឿងសំខាន់។

នៅក្នុងឧទាហរណ៍ទាំងអស់ យើងបានប្រើច្បាប់នេះដោយផ្អែកលើការសន្មត់សំខាន់ពីរ៖

សមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យ, i.e. មេគុណនៃសញ្ញាបត្រខ្ពស់បំផុតគឺស្មើនឹងមួយ (លក្ខខណ្ឌនេះអាចជៀសវាងបានយ៉ាងងាយស្រួល។ អ្នកអាចប្រើទម្រង់សមីការដែលមិនបានកាត់បន្ថយ បន្ទាប់មកសេចក្តីថ្លែងការណ៍ខាងក្រោមនឹងមានសុពលភាព៖ x1+x2=-b/a; x1*x2=c /a ប៉ុន្តែជាធម្មតាវាពិបាកដោះស្រាយជាង :))

នៅពេលដែលសមីការមានឫសពីរផ្សេងគ្នា។ យើងសន្មត់ថាវិសមភាពគឺពិត ហើយអ្នករើសអើងគឺខ្លាំងជាងសូន្យ។

ដូច្នេះ យើងអាចបង្កើតក្បួនដោះស្រាយទូទៅដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta ។

ក្បួនដោះស្រាយទូទៅដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta

យើងកាត់បន្ថយសមីការការ៉េទៅជាទម្រង់កាត់បន្ថយ ប្រសិនបើសមីការត្រូវបានផ្តល់ឱ្យយើងក្នុងទម្រង់មិនកាត់បន្ថយ។ នៅពេលដែលមេគុណនៅក្នុងសមីការការ៉េដែលយើងបានបង្ហាញពីមុនដូចដែលបានផ្តល់ឱ្យ ប្រែទៅជាប្រភាគ (មិនមែនទសភាគ) បន្ទាប់មកក្នុងករណីនេះសមីការរបស់យើងគួរតែត្រូវបានដោះស្រាយតាមរយៈការរើសអើង។

មានករណីផងដែរនៅពេលដែលត្រលប់ទៅសមីការដំបូងអនុញ្ញាតឱ្យយើងធ្វើការជាមួយលេខ "ងាយស្រួល" ។