ឆ្លងកាត់វិសមភាពទាំងនេះទៅដែនកំណត់នៅΔ x→ 0 និងយកទៅក្នុងគណនីថាដេរីវេ f "(x 0) មានហើយដូច្នេះដែនកំណត់នៅខាងឆ្វេងមិនអាស្រ័យលើរបៀបដែលΔ x→ 0 យើងទទួលបាន៖ នៅ Δ x → 0 – 0 f"(x 0) ≥ 0 a នៅ Δ x → 0 + 0 f"(x 0) ≤ 0. ចាប់តាំងពី f"(x 0) កំណត់លេខមួយ បន្ទាប់មកវិសមភាពទាំងពីរនេះគឺត្រូវគ្នាលុះត្រាតែ f"(x 0) = 0.

ទ្រឹស្តីបទដែលបង្ហាញឱ្យឃើញចែងថា ពិន្ទុអតិបរមា និងអប្បបរមាអាចស្ថិតនៅក្នុងចំណោមតម្លៃទាំងនោះនៃអាគុយម៉ង់ដែលដេរីវេទីវក្លាយជាសូន្យ។

យើងបានពិចារណាករណីនៅពេលដែលមុខងារមួយមានដេរីវេនៅគ្រប់ចំណុចនៃផ្នែកជាក់លាក់មួយ។ តើ​មាន​ស្ថានភាព​យ៉ាង​ណា​ក្នុង​ករណី​ដែល​និស្សន្ទវត្ថុ​មិន​មាន? សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍។

y=|x|.

មុខងារមិនមានដេរីវេនៅចំណុចនោះទេ។ x=0 (នៅចំណុចនេះ ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍មិនមានតង់សង់ដែលបានកំណត់ទេ) ប៉ុន្តែនៅចំណុចនេះ អនុគមន៍មានអប្បបរមា ចាប់តាំងពី y(0)=0 និងសម្រាប់ទាំងអស់គ្នា x≠ 0y > 0.

ដូច្នេះ ពីឧទាហរណ៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យ និងទ្រឹស្តីបទដែលបានបង្កើត វាច្បាស់ណាស់ថា អនុគមន៍មួយអាចមានកម្រិតខ្លាំងតែក្នុងករណីពីរប៉ុណ្ណោះ៖ 1) នៅចំណុចដែលដេរីវេមាន និងស្មើនឹងសូន្យ។ 2) នៅចំណុចដែលដេរីវេមិនមាន។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយប្រសិនបើនៅចំណុចណាមួយ។ x 0 យើងដឹង f "(x 0 ) =0 បន្ទាប់មកគេមិនអាចសន្និដ្ឋានពីចំណុចនេះបានទេ។ x 0 មុខងារមានកម្រិតខ្លាំង។

ឧទាហរណ៍។

ប៉ុន្តែរយៈពេល x=0 មិន​មែន​ជា​ចំណុច​ខ្លាំង​ទេ ព្រោះ​នៅ​ខាង​ឆ្វេង​នៃ​ចំណុច​នេះ តម្លៃ​មុខងារ​ស្ថិត​នៅ​ក្រោម​អ័ក្ស គោនិងនៅខាងស្តាំខាងលើ។

តម្លៃនៃអាគុយម៉ង់ពីដែននៃអនុគមន៍ដែលដេរីវេនៃអនុគមន៍បាត់ ឬមិនមានត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចសំខាន់.

ពីចំណុចទាំងអស់ខាងលើ វាដូចខាងក្រោមថា ចំណុចខ្លាំងនៃមុខងារគឺស្ថិតក្នុងចំណោមចំណុចសំខាន់ ហើយទោះជាយ៉ាងណា មិនមែនគ្រប់ចំណុចសំខាន់ទាំងអស់សុទ្ធតែជាចំណុចខ្លាំងនោះទេ។ ដូច្នេះ ដើម្បីស្វែងរកភាពខ្លាំងនៃមុខងារ អ្នកត្រូវស្វែងរកចំណុចសំខាន់ៗទាំងអស់នៃមុខងារ ហើយបន្ទាប់មកពិនិត្យមើលចំណុចនីមួយៗដោយឡែកពីគ្នាសម្រាប់អតិបរមា និងអប្បបរមា។ ទ្រឹស្តីបទខាងក្រោមបម្រើគោលបំណងនេះ។

ទ្រឹស្តីបទ 2. (លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់អត្ថិភាពនៃអត្ថិភាព។ x 0 និងអាចខុសគ្នានៅគ្រប់ចំណុចនៃចន្លោះពេលនេះ (លើកលែងតែ ប្រហែលជាចំណុចខ្លួនឯង x 0). ប្រសិនបើនៅពេលផ្លាស់ទីពីឆ្វេងទៅស្តាំឆ្លងកាត់ចំណុចនេះ និស្សន្ទវត្ថុផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាពីបូកទៅដក បន្ទាប់មកនៅចំណុច x = x 0 មុខងារមានអតិបរមា។ ប្រសិនបើនៅពេលឆ្លងកាត់ x 0 ពីឆ្វេងទៅស្តាំ និស្សន្ទវត្ថុផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាពីដកទៅបូក បន្ទាប់មកមុខងារមានអប្បបរមានៅចំណុចនេះ។

ដូច្នេះប្រសិនបើ

f "(x)> 0 នៅ x<x 0 និង f "(x)< 0 នៅ x> x 0 បន្ទាប់មក x 0 - ចំណុចអតិបរមា;

ភស្តុតាង. ចូរយើងសន្មតជាមុនថានៅពេលឆ្លងកាត់ x 0 ការផ្លាស់ប្តូរដេរីវេសញ្ញាពីបូកទៅដក, i.e. នៅចំពោះមុខមនុស្សគ្រប់គ្នា xជិតដល់ចំណុច x 0 f "(x) > 0 សម្រាប់ x< x 0 , f "(x)< 0 សម្រាប់ x> x 0. ចូរយើងអនុវត្តទ្រឹស្តីបទរបស់ Lagrange ទៅនឹងភាពខុសគ្នា f(x) - f(x 0 ) = f "(c)(x- x 0), កន្លែងណា គស្ថិតនៅចន្លោះ xនិង x 0 .

អនុញ្ញាតឱ្យ x< x 0. បន្ទាប់មក គ< x 0 និង f "(c) > 0. នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល f "(c)(x- x 0)< 0 ហើយដូច្នេះ

f(x) - f(x 0 )< 0, i.e. f(x)< f(x 0 ).

អនុញ្ញាតឱ្យ x > x 0. បន្ទាប់មក c>x 0 និង f "(c)< 0. មធ្យោបាយ f "(c)(x- x 0)< 0. នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល f(x) - f(x 0 ) <0,т.е.f(x)< f(x 0 ) .

ដូច្នេះសម្រាប់តម្លៃទាំងអស់។ xជិតល្មម x 0 f(x)< f(x 0 ) . ហើយនេះមានន័យថានៅចំណុច x 0 មុខងារមានអតិបរមា។

ផ្នែកទីពីរនៃទ្រឹស្តីបទអប្បបរមាត្រូវបានបង្ហាញតាមរបៀបស្រដៀងគ្នា។

ចូរយើងបង្ហាញពីអត្ថន័យនៃទ្រឹស្តីបទនេះនៅក្នុងរូប។ អនុញ្ញាតឱ្យ f "(x 1 ) =0 និងសម្រាប់ណាមួយ។ x,ជិតល្មម x 1, វិសមភាពត្រូវបានពេញចិត្ត

f "(x)< 0 នៅ x< x 1 , f "(x) > 0 នៅ x> x 1 .

បន្ទាប់មកទៅខាងឆ្វេងនៃចំណុច x 1 មុខងារកើនឡើង និងថយចុះនៅខាងស្តាំ ដូច្នេះនៅពេល x = x 1 អនុគមន៍​ចាប់​ពី​ការ​កើន​ឡើង​ទៅ​ការ​ថយ​ចុះ ពោល​គឺ​វា​មាន​អតិបរមា។

ស្រដៀងគ្នាដែរ យើងអាចពិចារណាចំណុច x 2 និង x 3 .

ទាំងអស់ខាងលើអាចត្រូវបានបង្ហាញជាគ្រោងការណ៍នៅក្នុងរូបភាព:

ច្បាប់សម្រាប់សិក្សាមុខងារ y=f(x) សម្រាប់ extremum

ស្វែងរកដែននៃមុខងារមួយ។ f(x)

ស្វែងរកដេរីវេដំបូងនៃមុខងារ f "(x).

កំណត់ចំណុចសំខាន់សម្រាប់រឿងនេះ៖

ស្វែងរកឫសពិតនៃសមីការ f "(x)=0;

ស្វែងរកតម្លៃទាំងអស់។ xដែលដេរីវេ f "(x)មិន​មាន។

កំណត់សញ្ញានៃដេរីវេនៅខាងឆ្វេងនិងខាងស្តាំនៃចំណុចសំខាន់។ ដោយសារសញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុនៅតែថេររវាងចំណុចសំខាន់ពីរ វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការកំណត់សញ្ញានៃដេរីវេនៅចំនុចមួយទៅខាងឆ្វេង និងមួយចំនុចទៅខាងស្តាំនៃចំនុចសំខាន់។

គណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំនុចខ្លាំង។

ស្វែងរកតម្លៃធំបំផុតនៃអនុគមន៍ y=(7x^2-56x+56)e^x នៅលើផ្នែក [-3; ២]។

ដំណោះស្រាយ

ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ដើមដោយប្រើរូបមន្តដេរីវេរបស់ផលិតផល y"=(7x^2-56x+56)"e^x\,+ (7x^2-56x+56)\left(e^x\right)"= (14x-56)e^x+(7x^2-56x+56)e^x= (7x^2-42x)e^x= 7x(x-6)e^x។ចូរយើងគណនាលេខសូន្យនៃដេរីវេ៖ y"=0;

7x(x-6)e^x=0,

x_1=0, x_2=6 ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងរៀបចំសញ្ញានៃដេរីវេ និងកំណត់ចន្លោះពេលនៃ monotonicity នៃអនុគមន៍ដើមនៅលើផ្នែកដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

តាមរូបវាច្បាស់ណាស់ថានៅលើផ្នែក [-3; 0] មុខងារដើមកើនឡើង ហើយនៅលើផ្នែកវាថយចុះ។ ដូច្នេះតម្លៃធំបំផុតនៅលើផ្នែក [-3; 2] ត្រូវបានសម្រេចនៅ x=0 និងស្មើនឹង y(0)= 7\cdot 0^2-56\cdot 0+56=56 ។

ចម្លើយ

លក្ខខណ្ឌ

ស្វែងរកតម្លៃធំបំផុតនៃអនុគមន៍ y=12x-12tg x-18 នៅលើផ្នែក \ ឆ្វេង។

ដំណោះស្រាយ

y"= (12x)"-12(tg x)"-(18)"= 12-\frac(12)(\cos ^2x)= \frac(12\cos ^2x-12)(\cos ^2x)\leqslant0.នេះមានន័យថា មុខងារដើមគឺមិនកើនឡើងនៅលើចន្លោះពេលដែលកំពុងពិចារណា ហើយយកតម្លៃធំបំផុតនៅចុងខាងឆ្វេងនៃចន្លោះពេល នោះគឺ x=0។ តម្លៃធំបំផុតគឺ y(0)= 12\cdot 0-12 tg (0)-18= -18.

ចម្លើយ

ប្រភព៖ "គណិតវិទ្យា។ ការរៀបចំសម្រាប់ការប្រឡងបង្រួបបង្រួមរដ្ឋ 2017 ។ កម្រិតប្រវត្តិរូប។" អេដ។ F. F. Lysenko, S. Yu.

លក្ខខណ្ឌ

ស្វែងរកចំណុចអប្បបរមានៃអនុគមន៍ y=(x+8)^2e^(x+52)។

ដំណោះស្រាយ

យើងនឹងរកឃើញចំណុចអប្បបរមានៃអនុគមន៍ដោយប្រើដេរីវេ។ ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃផលិតផល ដេរីវេនៃ x^\alpha និង e^x៖

y"(x)= \left((x+8)^2\right)"e^(x+52)+(x+8)^2\left(e^(x+52)\right)"= 2(x+8)e^(x+52)+(x+8)^2e^(x+52)= (x+8)e^(x+52)(2+x+8)= (x+8)(x+10)e^(x+52)។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងរៀបចំសញ្ញានៃដេរីវេនិងកំណត់ចន្លោះពេលនៃ monotonicity នៃអនុគមន៍ដើម។ e^(x+52)>0 សម្រាប់ x ណាមួយ។ y"=0 នៅ x=-8, x=-10 ។

តួលេខបង្ហាញថាអនុគមន៍ y=(x+8)^2e^(x+52) មានចំណុចអប្បបរមាតែមួយ x=-8 ។

ចម្លើយ

ប្រភព៖ "គណិតវិទ្យា។ ការរៀបចំសម្រាប់ការប្រឡងបង្រួបបង្រួមរដ្ឋ 2017 ។ កម្រិតប្រវត្តិរូប។" អេដ។ F. F. Lysenko, S. Yu.

លក្ខខណ្ឌ

ស្វែងរកចំណុចអតិបរមានៃមុខងារ y=8x-\frac23x^\tfrac32-106 ។

ដំណោះស្រាយ

ODZ: x \geqslant 0. ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ដើម៖

y"=8-\frac23\cdot\frac32x^\tfrac12=8-\sqrt x ។

ចូរយើងគណនាលេខសូន្យនៃនិស្សន្ទវត្ថុ៖

8-\sqrt x=0;

\\ sqrt x = 8;

x=64 ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងរៀបចំសញ្ញានៃដេរីវេនិងកំណត់ចន្លោះពេលនៃ monotonicity នៃអនុគមន៍ដើម។

តួលេខបង្ហាញថាចំនុច x=64 គឺជាចំណុចអតិបរមាតែមួយគត់នៃអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ចម្លើយ

ប្រភព៖ "គណិតវិទ្យា។ ការរៀបចំសម្រាប់ការប្រឡងបង្រួបបង្រួមរដ្ឋ 2017 ។ កម្រិតប្រវត្តិរូប។" អេដ។ F. F. Lysenko, S. Yu.

លក្ខខណ្ឌ

ស្វែងរកតម្លៃតូចបំផុតនៃអនុគមន៍ y=5x^2-12x+2\ln x+37 នៅលើផ្នែក \left[\frac35; \frac75\right]។

ដំណោះស្រាយ

ODZ: x> 0 ។

ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារដើម៖

y"(x)= 10x-12+\frac(2)(x)= \frac(10x^2-12x+2)(x)។

ចូរកំណត់លេខសូន្យនៃដេរីវេ៖ y"(x)=0;

\frac(10x^2-12x+2)(x)=0,

5x^2-6x+1=0,

x_(1,2)= \frac(3\pm\sqrt(3^2-5\cdot1))(5)= \frac(3\pm2)(5),

x_1=\frac15\notin\left[\frac35; \frac75\right],

x_2=1\in\left[\frac35; \frac75\right]។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងរៀបចំសញ្ញានៃដេរីវេនិងកំណត់ចន្លោះពេលនៃ monotonicity នៃអនុគមន៍ដើមនៅលើចន្លោះពេលដែលកំពុងពិចារណា។

តាមរូបភាពវាច្បាស់ណាស់ថានៅលើផ្នែក \left[\frac35; 1\ស្ដាំ]មុខងារដើមថយចុះ ហើយនៅលើផ្នែក \ ឆ្វេងកើនឡើង។ ដូច្នេះតម្លៃតូចបំផុតនៅលើផ្នែក \left[\frac35; \frac75\ស្ដាំ]ត្រូវបានសម្រេចនៅ x = 1 និងស្មើនឹង y(1)= 5\cdot 1^2-12\cdot 1+2 \ln 1+37= 30.

ចម្លើយ

ប្រភព៖ "គណិតវិទ្យា។ ការរៀបចំសម្រាប់ការប្រឡងបង្រួបបង្រួមរដ្ឋ 2017 ។ កម្រិតប្រវត្តិរូប។" អេដ។ F. F. Lysenko, S. Yu.

លក្ខខណ្ឌ

ស្វែងរកតម្លៃធំបំផុតនៃអនុគមន៍ y=(x+4)^2(x+1)+19 នៅលើផ្នែក [-5; -៣]។

ដំណោះស្រាយ

ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ដើមដោយប្រើរូបមន្តដេរីវេរបស់ផលិតផល។

យើងក៏អាចនិយាយបានថា នៅចំណុចទាំងនេះ ទិសដៅនៃចលនានៃមុខងារផ្លាស់ប្តូរ៖ ប្រសិនបើមុខងារឈប់ធ្លាក់ចុះ ហើយចាប់ផ្តើមលូតលាស់ នោះគឺជាចំណុចអប្បបរមា ផ្ទុយទៅវិញ វាគឺជាចំណុចអតិបរមា។

Minima និងអតិបរមាត្រូវបានគេហៅថាជាសមូហភាព ភាពខ្លាំងនៃមុខងារ.

ម្យ៉ាងវិញទៀត ចំណុចទាំងប្រាំដែលត្រូវបានបន្លិចនៅក្នុងក្រាហ្វខាងលើគឺខ្លាំងបំផុត។

សូមអរគុណចំពោះការនេះការស្វែងរកចំណុចទាំងនេះមិនមែនជាបញ្ហាទេទោះបីជាអ្នកមិនមានក្រាហ្វនៃមុខងារក៏ដោយ។

យកចិត្តទុកដាក់!នៅពេលពួកគេសរសេរ ខ្លាំងឬអតិបរមា/អប្បបរមា មានន័យថាតម្លៃនៃអនុគមន៍ i.e. \(y\) នៅពេលពួកគេសរសេរ ចំណុចខ្លាំងឬពិន្ទុអតិបរមា/អប្បបរមា មានន័យថា Xs ដែលអតិបរមា/អប្បបរមាត្រូវបានឈានដល់។ ឧទាហរណ៍ ក្នុងរូបភាពខាងលើ \(-5\) គឺជាចំណុចអប្បបរមា (ឬចំណុចខ្លាំង) ហើយ \(1\) គឺជាអប្បបរមា (ឬខ្លាំងបំផុត)។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរកចំណុចខ្លាំងនៃអនុគមន៍មួយពីក្រាហ្វដេរីវេ (ភារកិច្ចប្រឡងរដ្ឋឯកភាព 7)?

ចូរយើងស្វែងរកចំនួនចំណុចខ្លាំងនៃអនុគមន៍ដោយប្រើក្រាហ្វដេរីវេ ដោយប្រើឧទាហរណ៍៖

យើង​ត្រូវ​បាន​គេ​ផ្តល់​ឱ្យ​នូវ​ក្រាហ្វ ដែល​មាន​ន័យ​ថា​យើង​កំពុង​ស្វែង​រក​ចំណុច​ណា​ខ្លះ​នៅ​លើ​ក្រាហ្វ ដែល​និស្សន្ទវត្ថុ​ស្មើ​នឹង​សូន្យ។ ជាក់ស្តែង ទាំងនេះគឺជាចំណុច \(-១៣\), \(-១១\), \(-៩\), \(-៧\) និង \(៣\)។ ចំនួនចំនុចខ្លាំងនៃអនុគមន៍គឺ \(5\)។

យកចិត្តទុកដាក់!ប្រសិនបើកាលវិភាគត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ដេរីវេមុខងារ ប៉ុន្តែអ្នកត្រូវស្វែងរក ចំណុចខ្លាំងនៃមុខងារយើងមិនរាប់ចំនួនអតិបរមា និងអប្បបរមានៃដេរីវេទេ! យើងរាប់ចំណុចដែលដេរីវេនៃមុខងារបាត់ (ឧ. កាត់អ័ក្ស \(x\))។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរកពិន្ទុអតិបរមា ឬអប្បបរមានៃអនុគមន៍ពីក្រាហ្វដេរីវេ (កិច្ចការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម 7)?

ដើម្បីឆ្លើយសំណួរនេះ អ្នកត្រូវចាំច្បាប់សំខាន់ពីរបន្ថែមទៀត៖

- ដេរីវេគឺវិជ្ជមានដែលមុខងារកំពុងកើនឡើង។
- ដេរីវេគឺអវិជ្ជមានដែលមុខងារថយចុះ។

ដោយប្រើច្បាប់ទាំងនេះ ចូរយើងស្វែងរកចំណុចអប្បបរមា និងអតិបរមានៃអនុគមន៍នៅលើក្រាហ្វដេរីវេ។

វាច្បាស់ណាស់ថាអប្បបរមា និងអតិបរមាត្រូវតែត្រូវបានស្វែងរកក្នុងចំណោមចំណុចនៃ extrema, i.e. ក្នុងចំណោម \(-១៣\), \(-១១\), \(-៩\), \(-៧\) និង \(៣\) ។

ដើម្បីធ្វើឱ្យវាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហា សូមដាក់សញ្ញាបូក និងដកក្នុងរូបជាមុនសិន ដោយបង្ហាញពីសញ្ញានៃដេរីវេ។ បន្ទាប់មកព្រួញ - បង្ហាញពីការបង្កើននិងបន្ថយមុខងារ។

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយ \(-13\): រហូតដល់ \(-13\) ដេរីវេគឺវិជ្ជមាន, i.e. មុខងារលូតលាស់ បន្ទាប់មកដេរីវេគឺអវិជ្ជមាន i.e. មុខងារគាំង។ ប្រសិនបើអ្នកស្រមៃមើលវាច្បាស់ថា \(-13\) គឺជាចំណុចអតិបរមា។

\(-11\): ដេរីវេគឺវិជ្ជមានដំបូងហើយបន្ទាប់មកអវិជ្ជមានដែលមានន័យថាមុខងារកើនឡើងហើយបន្ទាប់មកថយចុះ។ ជាថ្មីម្តងទៀត សូមព្យាយាមគូរវាដោយស្មារតី ហើយវានឹងក្លាយជាជាក់ស្តែងសម្រាប់អ្នកថា \(-11\) គឺជាអប្បបរមា។

\(- 9\): មុខងារកើនឡើង ហើយបន្ទាប់មកថយចុះ - អតិបរមា។

\(-7\): អប្បបរមា។

\(3\): អតិបរមា។

ទាំងអស់ខាងលើអាចត្រូវបានសង្ខេបដោយការសន្និដ្ឋានដូចខាងក្រោម:

- អនុគមន៍មានអតិបរមាដែលដេរីវេគឺសូន្យ ហើយប្តូរសញ្ញាពីបូកទៅដក។
- អនុគមន៍មានអប្បរមាដែលដេរីវេគឺសូន្យ ហើយប្តូរសញ្ញាពីដកទៅបូក។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីរកពិន្ទុអតិបរមានិងអប្បបរមាប្រសិនបើរូបមន្តនៃអនុគមន៍ត្រូវបានគេស្គាល់ (12 ភារកិច្ចនៃការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម)?

ដើម្បីឆ្លើយសំណួរនេះ អ្នកត្រូវធ្វើដូចគ្នានឹងកថាខណ្ឌមុនដែរ៖ រកកន្លែងដែលដេរីវេគឺវិជ្ជមាន កន្លែងដែលវាអវិជ្ជមាន និងកន្លែងដែលវាជាសូន្យ។ ដើម្បីឱ្យកាន់តែច្បាស់ ខ្ញុំនឹងសរសេរក្បួនដោះស្រាយជាមួយឧទាហរណ៍៖

1. ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ \(f"(x)\) ។
2. រកឫសនៃសមីការ \(f"(x)=0\) ។
3. គូរអ័ក្ស \(x\) ហើយគូសលើវានូវចំនុចដែលទទួលបានក្នុងជំហានទី 2 គូរដោយធ្នូនូវចន្លោះពេលដែលអ័ក្សត្រូវបានបែងចែក។ ដាក់ស្លាកនៅពីលើអ័ក្ស \(f"(x)\) និងខាងក្រោមអ័ក្ស \(f(x)\)។
4. កំណត់សញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុក្នុងចន្លោះពេលនីមួយៗ (ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រចន្លោះពេល)។
5. ដាក់សញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុក្នុងចន្លោះនីមួយៗ (ខាងលើអ័ក្ស) ហើយប្រើសញ្ញាព្រួញដើម្បីបង្ហាញពីការកើនឡើង (↗) ឬបន្ថយ (↘) នៃអនុគមន៍ (ខាងក្រោមអ័ក្ស)។
6. កំណត់ពីរបៀបដែលសញ្ញានៃដេរីវេបានផ្លាស់ប្តូរនៅពេលឆ្លងកាត់ចំណុចដែលទទួលបានក្នុងជំហានទី 2៖
   - ប្រសិនបើ \(f'(x)\) បានប្តូរសញ្ញាពី “\(+\)” ទៅ “\(-\)” នោះ \(x_1\) គឺជាចំណុចអតិបរមា។
   - ប្រសិនបើ \(f'(x)\) បានប្តូរសញ្ញាពី “\(-\)” ទៅ “\(+\)” នោះ \(x_3\) គឺជាចំណុចអប្បបរមា។
   - ប្រសិនបើ \(f'(x)\) មិនបានផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាទេនោះ \(x_2\) អាចជាចំណុចបញ្ឆេះ។

ទាំងអស់! ពិន្ទុអតិបរមា និងអប្បបរមាត្រូវបានរកឃើញ។

នៅពេលពណ៌នាចំណុចនៅលើអ័ក្សដែលដេរីវេទីវ័រស្មើនឹងសូន្យ មាត្រដ្ឋានអាចត្រូវបានមិនអើពើ។ ឥរិយាបថនៃមុខងារអាចត្រូវបានបង្ហាញដូចបង្ហាញក្នុងរូបភាពខាងក្រោម។ វិធីនេះ វានឹងកាន់តែច្បាស់ថា តើអតិបរិមានៅណា និងកន្លែងណាអប្បបរមា។

ឧទាហរណ៍(ប្រើ). ស្វែងរកចំណុចអតិបរមានៃអនុគមន៍ \(y=3x^5-20x^3-54\) ។
ដំណោះស្រាយ៖
1. ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍៖ \(y"=15x^4-60x^2\) ។
2. ចូរយើងយកវាទៅសូន្យ ហើយដោះស្រាយសមីការ៖

\(15x^4-60x^2=0\) \(|:15\)
\\(x^4-4x^2=0\)
\(x^2 (x^2-4)=0\)
\(x=0\) \(x^2-4=0\)
\\(x=±2\)

3. – 6. ចូរយើងគូរចំនុចនៅលើបន្ទាត់លេខ ហើយកំណត់ពីរបៀបដែលសញ្ញានៃការផ្លាស់ប្តូរដេរីវេ និងរបៀបដែលមុខងារផ្លាស់ទី៖

ឥឡូវនេះវាច្បាស់ណាស់ថាចំណុចអតិបរមាគឺ \(-2\) ។

ចម្លើយ. \(-2\).