ទ្រឹស្តីបទ ឆេវ៉ា និង មេណេឡាស

ទ្រឹស្តីបទ Ceva

ភាគច្រើននៃចំណុចត្រីកោណគួរឱ្យកត់សម្គាល់អាចទទួលបានដោយប្រើនីតិវិធីខាងក្រោម។ ចូរ​មាន​ច្បាប់​មួយ​ចំនួន​តាម​ដែល​យើង​អាច​ជ្រើស​រើស​ចំណុច​មួយ​ចំនួន A 1 នៅផ្នែកខាង BC (ឬផ្នែកបន្ថែមរបស់វា) នៃត្រីកោណ ABC (ឧទាហរណ៍ ជ្រើសរើសចំណុចកណ្តាលនៃផ្នែកនេះ)។ បន្ទាប់មកយើងនឹងសាងសង់ចំណុចស្រដៀងគ្នា B១, គ ១ នៅលើជ្រុងពីរផ្សេងទៀតនៃត្រីកោណ (ក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើងមានចំណុចកណ្តាលពីរបន្ថែមទៀតនៃភាគី) ។ ប្រសិនបើ​ច្បាប់​ជ្រើសរើស​បាន​ជោគជ័យ នោះ​ត្រង់ AA 1, BB 1, CC 1 នឹងប្រសព្វគ្នានៅចំណុច Z មួយចំនួន (ជម្រើសនៃចំណុចកណ្តាលនៃជ្រុងក្នុងន័យនេះជាការពិតណាស់ ជោគជ័យ ចាប់តាំងពីមេដ្យាននៃត្រីកោណប្រសព្វនៅចំណុចមួយ)។

ខ្ញុំ​ចង់​មាន​វិធីសាស្ត្រ​ទូទៅ​មួយ​ចំនួន​ដែល​អនុញ្ញាត​ឱ្យ​គេ​កំណត់​ពី​ទីតាំង​នៃ​ចំណុច​នៅ​ជ្រុង​នៃ​ត្រីកោណ​មួយ​ថា​តើ​បន្ទាត់​បីដង​ដែល​ត្រូវ​គ្នា​កាត់​នៅ​ចំណុច​មួយ​ឬ​អត់។

លក្ខខណ្ឌសកលដែល "បិទ" បញ្ហានេះត្រូវបានរកឃើញនៅឆ្នាំ 1678 ដោយវិស្វករជនជាតិអ៊ីតាលីGiovanni Cheva .

និយមន័យ។ ចម្រៀកដែលភ្ជាប់ចំនុចកំពូលនៃត្រីកោណដែលមានចំនុចនៅសងខាង (ឬផ្នែកបន្ថែមរបស់វា) ត្រូវបានគេហៅថា cevians ប្រសិនបើពួកគេប្រសព្វគ្នានៅចំណុចមួយ។

មានទីតាំងពីរដែលអាចធ្វើទៅបានសម្រាប់ cevians ។ នៅក្នុងកំណែមួយចំណុច

ចំនុចប្រសព្វគឺជាផ្នែកខាងក្នុង ហើយចុងបញ្ចប់នៃ cevians ស្ថិតនៅលើជ្រុងនៃត្រីកោណ។ នៅក្នុងជម្រើសទីពីរ ចំណុចប្រសព្វគឺខាងក្រៅ ចុងបញ្ចប់នៃ cevian មួយស្ថិតនៅចំហៀង ហើយចុងបញ្ចប់នៃ cevians ពីរផ្សេងទៀតស្ថិតនៅលើផ្នែកបន្ថែមនៃភាគី (សូមមើលគំនូរ) ។

ទ្រឹស្តីបទ ៣. (ទ្រឹស្តីបទផ្ទាល់របស់ Ceva) នៅក្នុងត្រីកោណបំពាន ABC ចំនុច A ត្រូវបានគេយកនៅលើជ្រុង BC, CA, AB ឬផ្នែកបន្ថែមរបស់ពួកគេរៀងៗខ្លួន។ 1 , អ៊ិន 1 , ជាមួយ 1 ត្រង់ថា AA 1 , ប៊ី 1 , អេស 1 ប្រសព្វនៅចំណុចធម្មតាមួយចំនួន

.

ភស្តុតាង៖ ខណៈពេលដែលភស្តុតាងដើមមួយចំនួននៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Ceva ត្រូវបានគេស្គាល់ យើងនឹងពិចារណាលើភស្តុតាងមួយដោយផ្អែកលើការអនុវត្តពីរដងនៃទ្រឹស្តីបទ Menelaus ។ ចូរយើងសរសេរទំនាក់ទំនងនៃទ្រឹស្តីបទ Menelaus ជាលើកដំបូងសម្រាប់ត្រីកោណមួយ។ABB 1 និងវិនាទី CC 1 (យើងបង្ហាញពីចំណុចប្រសព្វនៃ ceviansZ):

,

និងលើកទីពីរសម្រាប់ត្រីកោណមួយ។ខ 1 B.C.និងវិនាទី A.A. 1 :

.

ការគុណសមាមាត្រទាំងពីរនេះ និងធ្វើឱ្យការកាត់បន្ថយចាំបាច់ យើងទទួលបានសមាមាត្រដែលមាននៅក្នុងសេចក្តីថ្លែងការណ៍នៃទ្រឹស្តីបទ។

ទ្រឹស្តីបទ 4. (ទ្រឹស្តីបទសន្ទនារបស់ Ceva) . ប្រសិនបើសម្រាប់អ្នកដែលបានជ្រើសរើសនៅលើជ្រុងនៃត្រីកោណ ABC ឬការពង្រីកចំណុចរបស់ពួកគេ។ ក 1 , អ៊ិន 1 និង គ 1 លក្ខខណ្ឌរបស់ Cheva ពេញចិត្ត៖

,

បន្ទាប់មកត្រង់ A.A. 1 , ប៊ីប៊ី 1 និង CC 1 ប្រសព្វគ្នានៅចំណុចមួយ។ .

ភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទនេះត្រូវបានអនុវត្តដោយភាពផ្ទុយគ្នា ដូចនឹងភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទ Menelaus ដែរ។

ចូរយើងពិចារណាឧទាហរណ៍នៃការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទផ្ទាល់ និងបញ្ច្រាសរបស់ Ceva ។

ឧទាហរណ៍ ៣. បង្ហាញថាមេដ្យាននៃត្រីកោណប្រសព្វគ្នានៅចំណុចមួយ។

ដំណោះស្រាយ។ ពិចារណាទំនាក់ទំនង

សម្រាប់ចំនុចកំពូលនៃត្រីកោណមួយ និងចំនុចកណ្តាលនៃភាគីរបស់វា។ ជាក់ស្តែង នៅក្នុងប្រភាគនីមួយៗ ភាគយក និងភាគបែងមានចំណែកស្មើគ្នា ដូច្នេះប្រភាគទាំងអស់នេះគឺស្មើនឹងមួយ។ អាស្រ័យហេតុនេះ ទំនាក់ទំនងរបស់ Cheva មានការពេញចិត្ត ដូច្នេះហើយ ដោយទ្រឹស្តីបទសន្ទនា មេឌានប្រសព្វគ្នានៅចំណុចមួយ។

ទ្រឹស្តីបទ Ceva . អនុញ្ញាតឱ្យពិន្ទុ កុហកនៅលើចំហៀងនិងត្រីកោណ រៀងៗខ្លួន។ អនុញ្ញាតឱ្យផ្នែកនិង ប្រសព្វគ្នានៅចំណុចមួយ។ បន្ទាប់មក

(យើងដើរជុំវិញត្រីកោណតាមទ្រនិចនាឡិកា)។

ភស្តុតាង។ចូរយើងបញ្ជាក់ដោយ ចំណុចប្រសព្វនៃផ្នែកនិង . ចូរ​ដក​ចេញ​ពី​ចំណុចនិង កាត់កែងទៅបន្ទាត់មួយ។មុនពេលប្រសព្វវានៅចំណុចនិង តាមនោះ (សូមមើលរូប)។

ដោយសារតែត្រីកោណនិង មានផ្នែករួមបន្ទាប់មកតំបន់របស់ពួកគេគឺទាក់ទងទៅនឹងកម្ពស់ដែលគូរទៅខាងនេះ ឧ។និង៖

សមភាពចុងក្រោយគឺពិត ចាប់តាំងពីត្រីកោណកែងនិង ស្រដៀងគ្នានៅក្នុងមុំស្រួច។

ដូចគ្នានេះដែរយើងទទួលបាន

និង

ចូរគុណភាពស្មើគ្នាទាំងបីនេះ៖

Q.E.D.

អំពីមេដ្យាន៖

1. ដាក់ឯកតាម៉ាស់នៅចំនុចកំពូលនៃត្រីកោណ ABC ។
2. ចំណុចកណ្តាលនៃម៉ាស់ A និង B គឺនៅចំកណ្តាល AB ។ ចំណុចកណ្តាលនៃម៉ាស់នៃប្រព័ន្ធទាំងមូលត្រូវតែស្ថិតនៅកណ្តាលទៅខាង AB ដោយហេតុថាចំណុចកណ្តាលនៃម៉ាស់ត្រីកោណ ABC គឺជាចំណុចកណ្តាលនៃម៉ាស់នៃចំណុចកណ្តាលនៃម៉ាស់នៃចំនុច A និង B និងចំនុច C ។
(វាច្រឡំ)
3. ស្រដៀងគ្នានេះដែរ - CM ត្រូវតែដេកនៅលើមធ្យមទៅចំហៀង AC និង BC
4. ដោយសារ CM គឺជាចំណុចតែមួយ ដូច្នេះហើយ មេដ្យានទាំងបីនេះត្រូវតែប្រសព្វគ្នា។

ដោយវិធីនេះវាភ្លាមៗបន្ទាប់ពីប្រសព្វពួកវាត្រូវបានបែងចែកក្នុងសមាមាត្រនៃ 2: 1 ។ ចាប់តាំងពីម៉ាស់នៃចំណុចកណ្តាលនៃម៉ាស់ A និង B គឺ 2 ហើយម៉ាស់នៃចំណុច C គឺ 1 ដូច្នេះមជ្ឈមណ្ឌលទូទៅនៃម៉ាស់យោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទសមាមាត្រនឹងបែងចែកមធ្យមក្នុងសមាមាត្រនៃ 2/1 ។ .

សូមអរគុណច្រើន វាត្រូវបានបង្ហាញតាមរបៀបដែលអាចចូលដំណើរការបាន ខ្ញុំគិតថាវានឹងមិនខកខានក្នុងការបង្ហាញភស្តុតាងដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃធរណីមាត្រម៉ាស់ ឧទាហរណ៍៖
បន្ទាត់ AA1 និង CC1 ប្រសព្វគ្នានៅចំណុច O; AC1: C1B = p និង BA1: A1C = q ។ យើងត្រូវបញ្ជាក់ថាបន្ទាត់ BB1 ឆ្លងកាត់ចំណុច O ប្រសិនបើ ហើយប្រសិនបើ CB1: B1A = 1: pq ។
អនុញ្ញាតឱ្យយើងដាក់ម៉ាស់ 1, p និង pq នៅចំណុច A, B និង C រៀងគ្នា។ បន្ទាប់មកចំនុច C1 គឺជាចំណុចកណ្តាលនៃម៉ាស់ចំនុច A និង B ហើយចំនុច A1 គឺជាចំនុចកណ្តាលនៃម៉ាសនៃចំនុច B និង C ។ ដូច្នេះហើយចំនុចកណ្តាលនៃម៉ាស់ចំនុច A, B និង C ដែលមានម៉ាស់ទាំងនេះគឺជាចំនុចប្រសព្វ O នៃ បន្ទាត់ CC1 និង AA1 ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ចំណុច O ស្ថិតនៅលើផ្នែកតភ្ជាប់ចំណុច B ជាមួយនឹងចំណុចកណ្តាលនៃម៉ាស់ A និង C ។ ប្រសិនបើ B1 គឺជាចំណុចកណ្តាលនៃម៉ាស់ A និង C ដែលមានម៉ាស់ 1 និង pq បន្ទាប់មក AB1: B1C = pq: 1. វានៅតែត្រូវកត់សម្គាល់ថានៅលើផ្នែក AC មានចំណុចតែមួយដែលបែងចែកវានៅក្នុងសមាមាត្រដែលបានផ្តល់ឱ្យ AB1: B1C ។

2. ទ្រឹស្ដីរបស់ Ceva

ចម្រៀក​ដែល​តភ្ជាប់​កំពូល​នៃ​ត្រីកោណ​មួយ​ដែល​មាន​ចំណុច​នៅ​ផ្នែក​ទល់​មុខ​ត្រូវ​បាន​ហៅceviana . ដូច្នេះប្រសិនបើនៅក្នុងត្រីកោណABC X , យ និង Z - ចំណុចដេកនៅលើចំហៀងB.C. , C.A. , AB តាមនោះផ្នែកAX , BY , CZ គឺ Chevians ។ ពាក្យនេះបានមកពីគណិតវិទូជនជាតិអ៊ីតាលី Giovanni Ceva ដែលនៅឆ្នាំ 1678 បានបោះពុម្ពទ្រឹស្តីបទដែលមានប្រយោជន៍បំផុតដូចខាងក្រោម:

ទ្រឹស្តីបទ 1.21. ប្រសិនបើ cevians ចំនួនបី AX, BY, CZ (មួយពីកំពូលនីមួយៗ) នៃត្រីកោណ ABC មានការប្រកួតប្រជែង នោះ

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|=1 .

អង្ករ។ ៣.

នៅពេលដែលយើងនិយាយថាបីបន្ទាត់ (ឬផ្នែក)ប្រកួតប្រជែង បន្ទាប់មក យើងមានន័យថា ពួកគេទាំងអស់ឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ ដែលយើងកំណត់ដោយទំ . ដើម្បីបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទរបស់ Ceva សូមចាំថាតំបន់នៃត្រីកោណដែលមានកម្ពស់ស្មើគ្នាគឺសមាមាត្រទៅនឹងមូលដ្ឋាននៃត្រីកោណ។ យោងទៅរូបភាពទី 3 យើងមាន៖

|BX||XC|= SABXSAXC= SPBXSPXC= SABX-SPBXSAXC-SPXC= SABPSCAP.

ដូចគ្នានេះដែរ

|CY||YA|= SBCPSABP, |AZ||ZB|= SCAPSBCP.

ឥឡូវនេះប្រសិនបើយើងគុណពួកគេយើងទទួលបាន

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|= SABPSCAP· SBCPSABP· SCAPSBCP=1 .

ការសន្ទនានៃទ្រឹស្តីបទនេះក៏ពិតដែរ៖

ទ្រឹស្តីបទ 1.22. ប្រសិនបើ cevians ចំនួនបី AX, BY, CZ បំពេញទំនាក់ទំនង

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|=1 ,

បន្ទាប់មកពួកគេមានការប្រកួតប្រជែង .

ដើម្បីបង្ហាញនេះ ឧបមាថា cevians ពីរដំបូងប្រសព្វគ្នានៅចំណុចទំ ដូចពីមុន និង cevian ទីបីឆ្លងកាត់ចំណុចទំ , នឹងCZ′ . បន្ទាប់មក តាមទ្រឹស្តីបទ ១.២១។

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ′||Z′B|=1 .

ប៉ុន្តែតាមការសន្មត

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|=1 .

អាស្រ័យហេតុនេះ

|AZ||ZB|= |AZ′||Z′B| ,

ចំណុចZ′ ស្របគ្នានឹងចំណុចZ ហើយយើងបានបង្ហាញថាផ្នែកAX , BY និងCZ ការប្រកួតប្រជែង (ទំព័រ 54 និង ទំព័រ 48, 317) ។

ទ្រឹស្តីបទ Menelausឬទ្រឹស្តីបទបួនជ្រុងពេញលេញត្រូវបានគេស្គាល់តាំងពីសម័យក្រិកបុរាណ។ វាបានទទួលឈ្មោះរបស់ខ្លួនជាកិត្តិយសដល់អ្នកនិពន្ធរបស់វា ដែលជាគណិតវិទូ និងតារាវិទូក្រិកបុរាណ។ Menelaus នៃ Alexandria(ប្រហែល ១០០ គ.ស.)។ ទ្រឹស្ដីនេះពិតជាស្រស់ស្អាត និងសាមញ្ញ ប៉ុន្តែជាអកុសល វាមិនត្រូវបានគេយកចិត្តទុកដាក់ក្នុងវគ្គសិក្សារបស់សាលាទំនើបនោះទេ។ ទន្ទឹមនឹងនេះដែរ ក្នុងករណីជាច្រើន វាអាចជួយដោះស្រាយបញ្ហាធរណីមាត្រដ៏ស្មុគស្មាញបានយ៉ាងងាយស្រួល និងឆើតឆាយ។

ទ្រឹស្តីបទទី១ (ទ្រឹស្តីបទ Menelaus). អនុញ្ញាតឱ្យ ∆ABC ប្រសព្វគ្នាដោយខ្សែបន្ទាត់មិនស្របទៅម្ខាង AB ហើយប្រសព្វសងខាង AC និង BC រៀងគ្នានៅចំណុច F និង E និងបន្ទាត់ AB នៅចំណុច D (រូបទី 1),

បន្ទាប់មក A F FC * CE EB * BD DA = 1

ចំណាំ។ដើម្បីងាយស្រួលចងចាំរូបមន្តនេះ អ្នកអាចប្រើច្បាប់ខាងក្រោម៖ ផ្លាស់ទីតាមវណ្ឌវង្កនៃត្រីកោណពីចំនុចកំពូលទៅចំនុចប្រសព្វជាមួយបន្ទាត់ និងពីចំនុចប្រសព្វទៅចំនុចកំពូលបន្ទាប់។

ភស្តុតាង។ពីចំនុចកំពូល A, B, C នៃត្រីកោណ យើងគូររៀងគ្នា បន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលបី រហូតទាល់តែវាប្រសព្វជាមួយបន្ទាត់ secant ។ យើងទទួលបានបីគូនៃត្រីកោណស្រដៀងគ្នា (សញ្ញានៃភាពស្រដៀងគ្នានៅមុំពីរ) ។ សមភាពខាងក្រោមនេះ កើតចេញពីភាពស្រដៀងគ្នានៃត្រីកោណ៖

ឥឡូវ​យើង​គុណ​សមភាព​លទ្ធផល​ទាំងនេះ៖

ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

ដើម្បីដឹងពីភាពស្រស់ស្អាតនៃទ្រឹស្តីបទនេះ ចូរយើងព្យាយាមដោះស្រាយបញ្ហាធរណីមាត្រដែលបានស្នើឡើងខាងក្រោមតាមវិធីពីរផ្សេងគ្នា៖ ដោយប្រើសំណង់ជំនួយនិងជាមួយជំនួយ ទ្រឹស្តីបទ Menelaus.

កិច្ចការ 1 ។

នៅក្នុង ∆ABC, bisector AD បែងចែកចំហៀង BC ក្នុងសមាមាត្រ 2:1។ តើ CE មធ្យមបែងចែក bisector នេះក្នុងសមាមាត្រអ្វី?

ដំណោះស្រាយ។

ការប្រើប្រាស់សំណង់ជំនួយ:

សូមអោយ S ជាចំនុចប្រសព្វនៃ bisector AD និង median CE ។ ចូរយើងបង្កើត ∆ASB ទៅជា parallelogram ASBK ។ (រូបទី 2)

ជាក់ស្តែង SE = EK ចាប់តាំងពីចំនុចប្រសព្វនៃប្រលេឡូក្រាម បំបែកអង្កត់ទ្រូង។ ឥឡូវនេះ ចូរយើងពិចារណាត្រីកោណ ∆CBK និង ∆CDS ។ វាងាយមើលឃើញថាពួកវាមានលក្ខណៈស្រដៀងគ្នា (សញ្ញានៃភាពស្រដៀងគ្នាក្នុងមុំពីរ៖ និងជាមុំម្ខាងខាងក្នុងដែលមានបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល AD និង KB និង CB សម្ងាត់មួយ)។ ពីភាពស្រដៀងគ្នានៃត្រីកោណខាងក្រោម៖

ដោយប្រើលក្ខខណ្ឌយើងទទួលបាន៖

CB CD = CD + DB CD = CD + 2CD CB = 3CD CD = 3

ឥឡូវ​សម្គាល់​ថា KB = AS ដូច​ខាង​ទល់​មុខ​នៃ​ប្រលេឡូក្រាម។ បន្ទាប់មក

AS SD = KB SD = CB CD = 3

ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Menelaus.

ចូរយើងពិចារណា ∆ABD ហើយអនុវត្តទ្រឹស្តីបទ Menelaus ទៅវា (បន្ទាត់ដែលឆ្លងកាត់ចំនុច C, S, E គឺជាបន្ទាត់ secant):

BE EA * AS SD * DC CB = 1

យោងតាមលក្ខខណ្ឌនៃទ្រឹស្តីបទ យើងមាន BE/EA = 1 ដោយហេតុថា CE គឺជាមេដ្យាន ហើយ DC/CB = 1/3 ដូចដែលយើងបានគណនាពីមុនរួចមកហើយ។

1 * AS SD * 1 3 = 1

ពីទីនេះយើងទទួលបាន AS/SD = 3 នៅក្រឡេកមើលដំបូង ដំណោះស្រាយទាំងពីរមានលក្ខណៈតូចចង្អៀត និងប្រហាក់ប្រហែល។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ គំនិតនៃការសាងសង់បន្ថែមសម្រាប់សិស្សសាលាច្រើនតែប្រែទៅជាស្មុគស្មាញ ហើយមិនច្បាស់ទាល់តែសោះ ចំណែកឯការដឹងពីទ្រឹស្តីបទ Menelaus គាត់គ្រាន់តែត្រូវអនុវត្តវាឱ្យបានត្រឹមត្រូវប៉ុណ្ណោះ។

ចូរយើងពិចារណាបញ្ហាមួយទៀតដែលទ្រឹស្តីបទ Menelaus ដំណើរការយ៉ាងឆើតឆាយ។

កិច្ចការទី 2 ។

នៅសងខាង AB និង BC ∆ABC ចំនុច M និង N ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យរៀងៗខ្លួន ដែលសមភាពខាងក្រោមមាន៖

AM MB = CN NA = 1 ២

តើចំនុចប្រសព្វ S នៃចម្រៀក BN និង CM បែងចែកផ្នែកនីមួយៗនៃផ្នែកទាំងនេះ (រូបភាពទី 3) ក្នុងសមាមាត្រអ្វី?

ដំណោះស្រាយ។

ចូរយើងពិចារណា ∆ABN ។ ចូរយើងអនុវត្តទ្រឹស្តីបទ Menelaus សម្រាប់ត្រីកោណនេះ (បន្ទាត់ដែលឆ្លងកាត់ចំនុច M, S, C គឺជាបន្ទាត់ secant)

AM MB * BC SN * CN CA = 1

ពីលក្ខខណ្ឌបញ្ហាយើងមាន៖ AM MB = 1 ២

NC CA = NC CN + NA = NC CN + 2NC = NC 3 NC = 1 3

ចូរជំនួសលទ្ធផលទាំងនេះ ហើយទទួលបាន៖

1 2 * BS SN * 1 3 = 1

ដូច្នេះ BS/SN = 6. ដូច្នេះហើយ ចំនុច S នៃចំនុចប្រសព្វនៃចម្រៀក BN និង CM បែងចែកផ្នែក BN ក្នុងសមាមាត្រ 6: 1។

ចូរយើងពិចារណា ∆ACM ។ ចូរយើងអនុវត្តទ្រឹស្តីបទ Menelaus សម្រាប់ត្រីកោណនេះ (បន្ទាត់ដែលឆ្លងកាត់ចំនុច N, S, B គឺជាបន្ទាត់ secant):

AN NC * CS SM * MB BA = 1

ពីលក្ខខណ្ឌបញ្ហាយើងមាន: AN NC = 2

MB BA = MB BM + MA = 2MA 2MA + MA = 2MB 3MA = 2 3

ចូរជំនួសលទ្ធផលទាំងនេះ ហើយទទួលបាន៖

2 * CS SM * 2 3 = 1

ដូច្នេះ CS/SM = 3/4

ដូច្នេះហើយចំនុច S នៃចំនុចប្រសព្វនៃចម្រៀក BN និង CM បែងចែកផ្នែក CM ក្នុងសមាមាត្រ 3:4 ។

ទ្រឹស្តីបទសន្ទនាទៅទ្រឹស្តីបទ Menelaus ក៏ពិតដែរ។ ជារឿយៗវាប្រែជាមានប្រយោជន៍ជាង។ វាដំណើរការបានយ៉ាងល្អជាពិសេសនៅក្នុងបញ្ហាភស្តុតាង។ ជារឿយៗ ដោយមានជំនួយរបស់វា សូម្បីតែបញ្ហា Olympiad ត្រូវបានដោះស្រាយយ៉ាងស្រស់ស្អាត ងាយស្រួល និងឆាប់រហ័ស។

ទ្រឹស្តីបទ ២(ទ្រឹស្តីបទសន្ទនារបស់ Menelaus) ។ សូមឱ្យត្រីកោណ ABC ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យហើយចំនុច D, E, F ជាកម្មសិទ្ធិរបស់បន្ទាត់ BC, AC, AB រៀងគ្នា (ចំណាំថាពួកគេអាចកុហកទាំងសងខាងនៃត្រីកោណ ABC និងនៅលើផ្នែកបន្ថែមរបស់ពួកគេ) (រូបទី 4).

បន្ទាប់មកប្រសិនបើ AF FC * CE EB * BD DA = 1

បន្ទាប់មកចំនុច D, E, F ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ដូចគ្នា។

ភស្តុតាង។ចូរយើងបង្ហាញទ្រឹស្តីបទដោយភាពផ្ទុយគ្នា។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងសន្មត់ថាទំនាក់ទំនងពីលក្ខខណ្ឌនៃទ្រឹស្តីបទគឺពេញចិត្ត ប៉ុន្តែចំណុច F មិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ DE ទេ (រូបភាពទី 5) ។

ចូរសម្គាល់ចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ DE និង AB ដោយអក្សរ O. ឥឡូវនេះយើងអនុវត្តទ្រឹស្តីបទ Menelaus ហើយទទួលបាន៖ AE EC * CD DB * BO OA = 1

ប៉ុន្តែផ្ទុយទៅវិញ សមភាព BF FA = BO OA

មិនអាចត្រូវបានប្រតិបត្តិ។

ដូច្នេះ​ទំនាក់ទំនង​ពី​លក្ខខណ្ឌ​នៃ​ទ្រឹស្តីបទ​មិន​អាច​ត្រូវ​បាន​គេ​ពេញចិត្ត​ទេ។ យើងទទួលបានភាពផ្ទុយគ្នា។

ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

គេហទំព័រ នៅពេលចម្លងសម្ភារៈទាំងស្រុង ឬមួយផ្នែក តំណភ្ជាប់ទៅកាន់ប្រភពគឺត្រូវបានទាមទារ។

ថ្នាក់៖ 9

គោលបំណងនៃមេរៀន៖

1. ទូទៅ ពង្រីក និងរៀបចំប្រព័ន្ធចំណេះដឹង និងជំនាញរបស់សិស្ស។ បង្រៀនពីរបៀបប្រើប្រាស់ចំណេះដឹងនៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាស្មុគស្មាញ។
2. លើកកម្ពស់ការអភិវឌ្ឍជំនាញសម្រាប់ការអនុវត្តឯករាជ្យនៃចំណេះដឹងនៅពេលដោះស្រាយបញ្ហា។
3. អភិវឌ្ឍការគិតឡូជីខល និងការនិយាយគណិតវិទ្យារបស់សិស្ស សមត្ថភាពក្នុងការវិភាគ ប្រៀបធៀប និងទូទៅ។
4. ជំរុញឱ្យសិស្សមានទំនុកចិត្តលើខ្លួនឯង និងការខិតខំធ្វើការ; សមត្ថភាពក្នុងការធ្វើការជាក្រុម។

គោលបំណងនៃមេរៀន៖

• ការអប់រំ៖ធ្វើឡើងវិញនូវទ្រឹស្តីបទ Menelaus និង Cheva; អនុវត្តពួកវានៅពេលដោះស្រាយបញ្ហា។
• ការអភិវឌ្ឍន៍៖រៀនដាក់សម្មតិកម្ម និងការពារគំនិតរបស់អ្នកដោយប៉ិនប្រសប់ជាមួយនឹងភស្តុតាង។ សាកល្បងសមត្ថភាពរបស់អ្នកក្នុងការធ្វើទូទៅ និងធ្វើប្រព័ន្ធចំណេះដឹងរបស់អ្នក។
• ការអប់រំ៖បង្កើនចំណាប់អារម្មណ៍លើប្រធានបទ និងរៀបចំសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហាស្មុគស្មាញបន្ថែមទៀត។

ប្រភេទមេរៀន៖មេរៀនទូទៅ និងប្រព័ន្ធនៃចំណេះដឹង។

ឧបករណ៍៖កាតសម្រាប់ការងាររួមនៅក្នុងមេរៀនលើប្រធានបទនេះ កាតបុគ្គលសម្រាប់ការងារឯករាជ្យ កុំព្យូទ័រ ម៉ាស៊ីនបញ្ចាំងពហុមេឌៀ អេក្រង់។

ក្នុងអំឡុងពេលថ្នាក់

ដំណាក់កាល I. ពេលវេលារៀបចំ (1 នាទី)

គ្រូប្រកាសអំពីប្រធានបទ និងគោលបំណងនៃមេរៀន។

ដំណាក់កាលទី II ។ ធ្វើបច្ចុប្បន្នភាពចំណេះដឹង និងជំនាញមូលដ្ឋាន (១០ នាទី)

គ្រូ៖ក្នុងកំឡុងមេរៀន យើងនឹងចងចាំទ្រឹស្តីបទរបស់ Menelaus និង Cheva ដើម្បីឈានទៅមុខដោយជោគជ័យក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហា។ សូមក្រឡេកមើលអេក្រង់ដែលវាត្រូវបានបង្ហាញ។ តើ​តួ​លេខ​នេះ​ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​សម្រាប់​ទ្រឹស្តីបទ​មួយ​ណា? (ទ្រឹស្តីបទ Menelaus) ។ ព្យាយាមបង្កើតទ្រឹស្តីបទឱ្យបានច្បាស់លាស់។

រូបភាពទី 1

ទុកចំណុច A 1 នៅចំហៀង BC នៃត្រីកោណ ABC ចំណុច C 1 នៅចំហៀង AB ចំណុច B 1 លើការបន្តនៃចំហៀង AC លើសពីចំណុច C. ចំណុច A 1 , B 1 និង C 1 ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ដូចគ្នាប្រសិនបើ និងតែប៉ុណ្ណោះ ប្រសិនបើសមភាពទទួលបាន

គ្រូ៖តោះទស្សនារូបភាពខាងក្រោមទាំងអស់គ្នា។ បញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទសម្រាប់គំនូរនេះ។

រូបភាពទី 2

បន្ទាត់ AD ប្រសព្វគ្នាពីរភាគី និងផ្នែកបន្ថែមនៃជ្រុងទីបីនៃត្រីកោណ IUD ។

នេះបើយោងតាមទ្រឹស្តីបទ Menelaus

បន្ទាត់ត្រង់ MB ប្រសព្វពីរភាគី និងផ្នែកបន្ថែមនៃជ្រុងទីបីនៃត្រីកោណ ADC ។

នេះបើយោងតាមទ្រឹស្តីបទ Menelaus

គ្រូ៖តើ​ទ្រឹស្ដី​អ្វី​ដែល​រូបភាព​ត្រូវ​គ្នា? (ទ្រឹស្តីបទរបស់ Ceva) ។ បញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទ។

រូបភាពទី 3

ទុកចំណុច A 1 ក្នុងត្រីកោណ ABC នៅចំហៀង BC ចំណុច B 1 នៅចំហៀង AC ចំណុច C 1 នៅចំហៀង AB ។ ចម្រៀក AA 1, BB 1 និង CC 1 ប្រសព្វគ្នានៅចំណុចមួយ ប្រសិនបើសមភាពមាន

ដំណាក់កាល III ។ ដោះស្រាយបញ្ហា។ (២២ នាទី)

ថ្នាក់ចែកចេញជា 3 ក្រុម ដោយម្នាក់ៗទទួលបានកាតមួយដែលមានភារកិច្ចពីរផ្សេងគ្នា។ ពេលវេលា​ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​ក្នុង​ការ​សម្រេច​ចិត្ត​បន្ទាប់​មក​ដូច​ខាង​ក្រោម​បង្ហាញ​នៅ​លើ​អេក្រង់​:<Рисунки 4-9>. ដោយផ្អែកលើគំនូរដែលបានបញ្ចប់សម្រាប់ភារកិច្ច អ្នកតំណាងក្រុមឆ្លាស់វេនគ្នាពន្យល់ពីដំណោះស្រាយរបស់ពួកគេ។ ការពន្យល់នីមួយៗត្រូវបានបន្តដោយការពិភាក្សា ឆ្លើយសំណួរ និងពិនិត្យមើលភាពត្រឹមត្រូវនៃដំណោះស្រាយនៅលើអេក្រង់។ សមាជិកក្រុមទាំងអស់ចូលរួមក្នុងការពិភាក្សា។ ក្រុមកាន់តែសកម្ម វាត្រូវបានវាយតម្លៃខ្ពស់នៅពេលបូកសរុបលទ្ធផល។

កាត 1 ។

1. នៅក្នុងត្រីកោណ ABC ចំនុច N ត្រូវបានយកនៅចំហៀង BC ដូច្នេះ NC = 3BN; នៅលើការបន្តនៃចំហៀង AC ចំណុច M ត្រូវបានយកជាចំណុច A ដូច្នេះ MA = AC ។ បន្ទាត់ MN កាត់ចំហៀង AB នៅចំណុច F. ស្វែងរកសមាមាត្រ

2. បង្ហាញថាមេដ្យាននៃត្រីកោណមួយប្រសព្វគ្នានៅចំណុចមួយ។

ដំណោះស្រាយ 1

រូបភាពទី 4

យោងតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា MA = AC, NC = 3BN ។ អនុញ្ញាតឱ្យ MA = AC = b, BN = k, NC = 3k ។ បន្ទាត់ MN កាត់ជ្រុងពីរនៃត្រីកោណ ABC និងការបន្តនៃទីបី។

នេះបើយោងតាមទ្រឹស្តីបទ Menelaus

ចម្លើយ៖

ភស្តុតាង ២

រូបភាពទី 5

សូមឱ្យ AM 1, BM 2, CM 3 ជាមេដ្យាននៃត្រីកោណ ABC ។ ដើម្បីបញ្ជាក់ថាផ្នែកទាំងនេះប្រសព្វគ្នានៅចំណុចមួយ វាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការបង្ហាញថា

បន្ទាប់មក តាមទ្រឹស្តីបទ (សន្ទនា) របស់ Ceva ផ្នែក AM 1, BM 2 និង CM 3 ប្រសព្វគ្នានៅចំណុចមួយ។

យើង​មាន:

ដូច្នេះ វា​ត្រូវ​បាន​បញ្ជាក់​ថា មេដ្យាន​នៃ​ត្រីកោណ​ប្រសព្វ​នៅ​ចំណុច​មួយ។

កាត 2 ។

1. ចំនុច N ត្រូវបានគេយកនៅផ្នែកខាង PQ នៃត្រីកោណ PQR ហើយចំនុច L ត្រូវបានគេយកនៅខាង PR ហើយ NQ = LR ។ ចំណុចប្រសព្វនៃផ្នែក QL និង NR បែងចែក QL ក្នុងសមាមាត្រ m:n ដោយរាប់ពីចំណុច Q. ស្វែងរក

2. បង្ហាញថាផ្នែកនៃត្រីកោណប្រសព្វគ្នានៅចំណុចមួយ។

ដំណោះស្រាយ 1

រូបភាពទី 6

តាមលក្ខខណ្ឌ NQ = LR, អនុញ្ញាតឱ្យ NA = LR =a, QF = km, LF = kn ។ បន្ទាត់ NR កាត់ជ្រុងពីរនៃត្រីកោណ PQL និងការបន្តនៃទីបី។

នេះបើយោងតាមទ្រឹស្តីបទ Menelaus

ចម្លើយ៖

ភស្តុតាង ២

រូបភាពទី 7

ចូរបង្ហាញវា។

បន្ទាប់មក ដោយទ្រឹស្តីបទ (សន្ទនា) របស់ Ceva, AL 1, BL 2, CL 3 ប្រសព្វគ្នានៅចំណុចមួយ។ ដោយទ្រព្យសម្បត្តិនៃត្រីកោណ bisectors

ការគុណពាក្យសមភាពដែលទទួលបានតាមពាក្យ យើងទទួលបាន

សម្រាប់​ផ្នែក​នៃ​ត្រីកោណ​សមភាព​របស់ Cheva គឺ​ពេញចិត្ត ដូច្នេះ​ហើយ​ពួកគេ​ប្រសព្វ​នៅ​ចំណុច​មួយ។

កាត ៣.

1. នៅក្នុងត្រីកោណ ABC, AD គឺជាមធ្យម, ចំណុច O គឺជាពាក់កណ្តាលនៃមធ្យម។ បន្ទាត់ត្រង់ BO កាត់ចំហៀង AC ត្រង់ចំណុច K. តើចំណុច K បែងចែក AC ក្នុងសមាមាត្រអ្វី ដោយរាប់ពីចំណុច A?

2. បង្ហាញថាប្រសិនបើរង្វង់មួយត្រូវបានចារឹកក្នុងត្រីកោណនោះ ចម្រៀកដែលភ្ជាប់ចំនុចកំពូលនៃត្រីកោណជាមួយនឹងចំនុចនៃទំនាក់ទំនងនៃភាគីផ្ទុយគ្នាប្រសព្វគ្នានៅចំណុចមួយ។

ដំណោះស្រាយ 1

រូបភាពទី 8

ឱ្យ BD = DC = a, AO = OD = m ។ បន្ទាត់ត្រង់ BK កាត់ភាគីទាំងពីរ និងផ្នែកបន្ថែមនៃជ្រុងទីបីនៃត្រីកោណ ADC ។

នេះបើយោងតាមទ្រឹស្តីបទ Menelaus

ចម្លើយ៖

ភស្តុតាង ២

រូបភាពទី 9

អនុញ្ញាតឱ្យ A 1, B 1 និង C 1 ជាចំណុចតង់សង់នៃរង្វង់ចារឹកនៃត្រីកោណ ABC ។ ដើម្បីបញ្ជាក់ថាផ្នែក AA 1, BB 1 និង CC 1 ប្រសព្វគ្នានៅចំណុចមួយ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបង្ហាញថាសមភាពរបស់ Cheva ទទួលបាន៖

ដោយប្រើលក្ខណសម្បត្តិនៃតង់សង់ដែលទាញទៅរង្វង់ពីចំណុចមួយ យើងណែនាំសញ្ញាណដូចខាងក្រោមៈ C 1 B = BA 1 = x, AC 1 = CB 1 = y, BA 1 = AC 1 = z ។

សមភាពរបស់ Cheva គឺពេញចិត្តដែលមានន័យថា bisectors នៃត្រីកោណប្រសព្វគ្នានៅចំណុចមួយ។

ដំណាក់កាលទី IV ។ ការដោះស្រាយបញ្ហា (ការងារឯករាជ្យ) (៨ នាទី)

គ្រូ៖ ការងាររបស់ក្រុមត្រូវបានបញ្ចប់ ហើយឥឡូវនេះយើងនឹងចាប់ផ្តើមការងារឯករាជ្យលើកាតបុគ្គលសម្រាប់ជម្រើស 2 ។

ឯកសារមេរៀនសម្រាប់ការងារឯករាជ្យរបស់សិស្ស

ជម្រើសទី 1 ។នៅក្នុងត្រីកោណ ABC តំបន់ដែលមានលេខ 6 នៅផ្នែកខាង AB មានចំនុច K ដែលបែងចែកផ្នែកនេះក្នុងសមាមាត្រ AK:BK = 2:3 ហើយនៅផ្នែកខាង AC មានចំនុច L បែងចែក AC នៅក្នុងសមាមាត្រ AL: LC = 5: 3 ។ ចំនុច Q នៃចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ត្រង់ СК និង BL ត្រូវបានដកចេញពីបន្ទាត់ត្រង់ AB នៅចម្ងាយ។ រកប្រវែងចំហៀង AB ។ (ចម្លើយ៖ ៤)

ជម្រើសទី 2 ។នៅផ្នែកខាង AC ក្នុងត្រីកោណ ABC ចំនុច K ត្រូវបានគេយក។ AK = 1, KS = 3. នៅផ្នែកខាង AB ចំនុច L ត្រូវបានយក។ AL:LB = 2:3, Q គឺជាចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ត្រង់ BK និង CL ។ ស្វែងរកប្រវែងនៃរយៈកម្ពស់នៃត្រីកោណ ABC ដែលទម្លាក់ពីចំនុចកំពូល B. (ចម្លើយ៖ 1.5។)

ការងារ​ត្រូវ​ដាក់​ជូន​គ្រូ​ពិនិត្យ។

ដំណាក់កាល V ។ សេចក្ដី​សង្ខេប​មេរៀន (២ នាទី)

កំហុសដែលបានធ្វើត្រូវបានវិភាគ ចម្លើយដើម និងមតិយោបល់ត្រូវបានកត់សម្គាល់។ លទ្ធផលនៃការងាររបស់ក្រុមនីមួយៗត្រូវបានបូកសរុប និងចាត់ថ្នាក់។

ដំណាក់កាលទី VI ។ កិច្ចការផ្ទះ (១ នាទី)

កិច្ចការផ្ទះត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយបញ្ហាលេខ 11, 12 ទំព័រ 289-290, លេខ 10 ទំ. 301 ។

ពាក្យ​ចុង​ក្រោយ​របស់​គ្រូ (១ នាទី)។

ថ្ងៃនេះអ្នកបានឮសម្ដីគណិតវិទ្យារបស់គ្នាទៅវិញទៅមកពីខាងក្រៅ ហើយវាយតម្លៃសមត្ថភាពរបស់អ្នក។ នៅពេលអនាគត យើងនឹងប្រើប្រាស់ការពិភាក្សាបែបនេះសម្រាប់ការយល់ដឹងកាន់តែច្រើនអំពីប្រធានបទនេះ។ អំណះអំណាងនៅក្នុងមេរៀនគឺជាមិត្តជាមួយការពិត និងទ្រឹស្តីជាមួយការអនុវត្ត។ សូម​អរគុណ​អ្នក​ទាំង​អស់​គ្នា។

អក្សរសិល្ប៍៖

1. Tkachuk V.V. គណិតវិទ្យាសម្រាប់បេក្ខជន។ - អិមៈ MTsNMO ឆ្នាំ ២០០៥។

វគ្គសិក្សាធរណីមាត្រមានទ្រឹស្ដីដែលមិនត្រូវបានសិក្សាលម្អិតគ្រប់គ្រាន់នៅសាលា ប៉ុន្តែវាអាចមានប្រយោជន៍សម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហាស្មុគស្មាញបំផុតនៃការប្រឡង Unified State និង Unified State Exam ។ ទាំងនេះរួមបញ្ចូលឧទាហរណ៍ទ្រឹស្តីបទ Menelaus ។ ជាប្រពៃណី វាត្រូវបានសិក្សានៅក្នុងថ្នាក់ជាមួយនឹងការសិក្សាស៊ីជម្រៅនៃគណិតវិទ្យានៅថ្នាក់ទី 8 ហើយនៅក្នុងកម្មវិធីធម្មតា (យោងតាមសៀវភៅសិក្សារបស់ Atanasyan) ទ្រឹស្តីបទ Menelaus ត្រូវបានបញ្ចូលក្នុងសៀវភៅសិក្សាសម្រាប់ថ្នាក់ទី 10-11 ។
ទន្ទឹមនឹងនេះ លទ្ធផលនៃការសិក្សាធនធានអ៊ីនធឺណិតដែលលើកឡើងពីទ្រឹស្តីបទ Menelaus បង្ហាញថា ជាធម្មតាវាត្រូវបានបង្កើតមិនពេញលេញ និងមិនត្រឹមត្រូវ ហើយគ្រប់ករណីនៃការប្រើប្រាស់របស់វា ក៏ដូចជាភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទសន្ទនា មិនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យទេ។ គោលបំណងនៃអត្ថបទនេះគឺដើម្បីយល់ពីអ្វីដែលទ្រឹស្តីបទ Menelaus ជាអ្វី របៀប និងមូលហេតុដែលវាត្រូវបានប្រើប្រាស់ ហើយក៏ដើម្បីចែករំលែកវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ការបង្រៀនទ្រឹស្តីបទនេះនៅក្នុងមេរៀនគ្រូម្នាក់ៗជាមួយសិស្សផងដែរ។
ចូរយើងពិចារណាអំពីបញ្ហាធម្មតាមួយ (កិច្ចការលេខ 26, OGE) ដែលលេចឡើងនៅលើការប្រឡងក្នុងជម្រើសជាច្រើន ដែលខុសគ្នាតែនៅក្នុងលេខនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌប៉ុណ្ណោះ។

ដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហាដោយខ្លួនវាគឺសាមញ្ញ - អ្នកអាចរកឃើញវានៅខាងក្រោម។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងចាប់អារម្មណ៍ជាចម្បងលើចំណុចខុសគ្នាបន្តិចបន្តួច ដែលជារឿយៗត្រូវបានលុបចោល និងទទួលយកជាការជាក់ស្តែង។ ប៉ុន្តែ​ជាក់ស្តែង​គឺ​ជា​អ្វី​ដែល​អាច​បញ្ជាក់​បាន។ ហើយនេះអាចត្រូវបានបញ្ជាក់តាមវិធីផ្សេងៗគ្នា - ជាធម្មតាពួកគេត្រូវបានបញ្ជាក់ទាំងស្រុងដោយប្រើភាពស្រដៀងគ្នា - ប៉ុន្តែវាក៏អាចត្រូវបានធ្វើដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Menelaus ផងដែរ។
វាធ្វើតាមលក្ខខណ្ឌថាចាប់តាំងពីមុំនៅមូលដ្ឋានខាងក្រោមនៃ trapezoid បន្ថែមរហូតដល់ 90 °បន្ទាប់មកប្រសិនបើអ្នកពង្រីកជ្រុងអ្នកនឹងទទួលបានត្រីកោណស្តាំ។ បន្ទាប់ ពីចំណុចប្រសព្វលទ្ធផលនៃផ្នែកបន្ថែមនៃផ្នែកចំហៀង គូរផ្នែកដែលឆ្លងកាត់ពាក់កណ្តាលនៃមូលដ្ឋាន។ ហេតុអ្វីបានជាផ្នែកនេះឆ្លងកាត់ចំណុចទាំងបីនេះ? ជាធម្មតាដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហាដែលរកឃើញនៅលើអ៊ីនធឺណិតមិននិយាយពាក្យមួយអំពីរឿងនេះទេ។ មិនមានសូម្បីតែឯកសារយោងទៅទ្រឹស្តីបទ trapezoid បួនចំណុច អនុញ្ញាតឱ្យមានភស្តុតាងនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះ។ ទន្ទឹមនឹងនេះ វាអាចត្រូវបានបង្ហាញឱ្យឃើញដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Menelaus ដែលជាលក្ខខណ្ឌសម្រាប់បីពិន្ទុជាកម្មសិទ្ធិរបស់បន្ទាត់មួយ។

ការបង្កើតទ្រឹស្តីបទ Menelaus
ដល់ពេលបង្កើតទ្រឹស្តីបទហើយ។ គួរកត់សំគាល់ថា នៅក្នុងសៀវភៅសិក្សា និងសៀវភៅណែនាំផ្សេងៗ មានទម្រង់ផ្សេងៗគ្នារបស់វា ទោះបីជាខ្លឹមសារនៅតែមិនផ្លាស់ប្តូរក៏ដោយ។ នៅក្នុងសៀវភៅសិក្សាដោយ Atanasyan et al សម្រាប់ថ្នាក់ទី 10-11 រូបមន្តខាងក្រោមនៃទ្រឹស្តីបទ Menelaus ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ចូរហៅវាថា "វ៉ិចទ័រ"៖

នៅក្នុងសៀវភៅសិក្សា "ធរណីមាត្រថ្នាក់ទី ១០-១១" ដោយ Aleksandrov et al ។ ក៏ដូចជានៅក្នុងសៀវភៅសិក្សាដោយអ្នកនិពន្ធដូចគ្នា "ធរណីមាត្រ។ ថ្នាក់ទី 8” ផ្តល់នូវទម្រង់ខុសគ្នាបន្តិចបន្តួចនៃទ្រឹស្តីបទ Menelaus ហើយវាដូចគ្នាសម្រាប់ទាំងថ្នាក់ទី 10-11 និងថ្នាក់ទី 8៖
កំណត់ចំណាំចំនួនបីត្រូវធ្វើនៅទីនេះ។
ចំណាំ 1. គ្មានបញ្ហាលើការប្រឡងដែលត្រូវដោះស្រាយដោយប្រើវ៉ិចទ័រទេ ដែល "ដកមួយ" ត្រូវបានប្រើ។ ដូច្នេះសម្រាប់ការប្រើប្រាស់ជាក់ស្តែង ទម្រង់ដែលងាយស្រួលបំផុតគឺមួយដែលជាផ្នែកសំខាន់នៃទ្រឹស្តីបទសម្រាប់ផ្នែក (នេះគឺជាទម្រង់ទីពីរដែលគូសជាអក្សរដិត)។ យើងនឹងដាក់កម្រិតខ្លួនយើងចំពោះរឿងនេះសម្រាប់ការសិក្សាបន្ថែមទៀតអំពីទ្រឹស្តីបទ Menelaus ចាប់តាំងពីគោលដៅរបស់យើងគឺដើម្បីរៀនពីរបៀបអនុវត្តវាដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហា។
ចំណាំ 2. ទោះបីជាសៀវភៅសិក្សាទាំងអស់ចែងយ៉ាងច្បាស់អំពីករណីនៅពេលដែលចំណុចទាំងបី A 1, B 1 និង C 1 អាចស្ថិតនៅលើផ្នែកបន្ថែមនៃជ្រុងនៃត្រីកោណ (ឬនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ដែលមានជ្រុងនៃត្រីកោណ) គេហទំព័របង្រៀនជាច្រើននៅលើអ៊ិនធឺណិត មានតែករណីដែលត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅពេលដែលចំនុចពីរស្ថិតនៅសងខាង ហើយចំនុចទីបីស្ថិតនៅលើការបន្តនៃផ្នែកទីបី។ នេះស្ទើរតែមិនអាចរាប់ជាសុចរិតដោយការពិតដែលថានៅក្នុងការប្រឡងមានតែបញ្ហានៃប្រភេទទីមួយប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានជួបប្រទះហើយបញ្ហាមិនអាចជួបប្រទះនៅពេលដែលចំណុចទាំងអស់នេះស្ថិតនៅលើផ្នែកបន្ថែមនៃភាគីទាំងបី។
ចំណាំ 3. ទ្រឹស្តីបទសន្ទនា, i.e. លក្ខខណ្ឌសម្រាប់បីចំនុចដែលស្ថិតនៅលើបន្ទាត់តែមួយ ជាធម្មតាមិនត្រូវបានពិចារណាទាល់តែសោះ ហើយគ្រូខ្លះថែមទាំងណែនាំ (???) ឱ្យសិក្សាតែទ្រឹស្តីបទផ្ទាល់ ហើយមិនពិចារណាទ្រឹស្តីបទបញ្ច្រាស។ ទន្ទឹមនឹងនេះ ភ័ស្តុតាងនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍នៃការសន្ទនាគឺពិតជាមានការណែនាំ និងអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកបញ្ជាក់សេចក្តីថ្លែងការណ៍ស្រដៀងគ្នាទៅនឹងអ្វីដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហាទី 1 ។ បទពិសោធន៍នៃការបង្ហាញទ្រឹស្តីបទសន្ទនានឹងពិតជាផ្តល់អត្ថប្រយោជន៍ជាក់ស្តែងដល់សិស្សនៅពេលដោះស្រាយបញ្ហា។

គំនូរនិងលំនាំ

ដើម្បីបង្រៀនសិស្សឱ្យឃើញទ្រឹស្តីបទរបស់ Menelaus ក្នុងបញ្ហា ហើយប្រើវានៅពេលធ្វើការសម្រេចចិត្ត វាជាការសំខាន់ណាស់ដែលត្រូវយកចិត្តទុកដាក់លើរូបភាព និងលំនាំក្នុងការសរសេរទ្រឹស្តីបទសម្រាប់ករណីជាក់លាក់ណាមួយ។ ហើយចាប់តាំងពីទ្រឹស្តីបទខ្លួនវាស្ថិតនៅក្នុងទម្រង់ "បរិសុទ្ធ" ពោលគឺឧ។ ដោយមិនមានផ្នែកផ្សេងទៀតជុំវិញនោះ ជ្រុងនៃតួរលេខផ្សេងៗជាធម្មតាមិនត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងបញ្ហាទេ បន្ទាប់មកវាជាការសមស្របជាងក្នុងការបង្ហាញទ្រឹស្តីបទលើបញ្ហាជាក់លាក់។ ហើយ​ប្រសិន​បើ​អ្នក​បង្ហាញ​គំនូរ​ជា​ការ​ពន្យល់​ នោះ​ធ្វើ​ឱ្យ​វា​មាន​លក្ខណៈ​ចម្រុះ។ ក្នុងករណីនេះ សូមបន្លិចជាពណ៌មួយ (ឧទាហរណ៍ ក្រហម) បន្ទាត់ត្រង់ដែលត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយបីចំណុច ហើយពណ៌ខៀវ - ផ្នែកនៃត្រីកោណដែលពាក់ព័ន្ធនឹងការសរសេរទ្រឹស្តីបទ Menelaus ។ ក្នុងករណីនេះធាតុទាំងនោះដែលមិនចូលរួមនៅតែមានពណ៌ខ្មៅ:

នៅ glance ដំបូង, វាអាចហាក់ដូចជាថាការបង្កើតទ្រឹស្តីបទគឺពិតជាស្មុគស្មាញនិងមិនតែងតែអាចយល់បាន; បន្ទាប់ពីទាំងអស់វាពាក់ព័ន្ធនឹងប្រភាគបី។ ជាការពិតណាស់ ប្រសិនបើសិស្សមិនមានបទពិសោធន៍គ្រប់គ្រាន់ទេ នោះគាត់អាចធ្វើខុសក្នុងការសរសេរយ៉ាងងាយស្រួល ហើយជាលទ្ធផល ដោះស្រាយបញ្ហាមិនត្រឹមត្រូវ។ ហើយនេះគឺជាកន្លែងដែលបញ្ហាជាច្រើនចាប់ផ្តើម។ ចំនុចនោះគឺថាសៀវភៅសិក្សាជាធម្មតាមិនផ្តោតលើរបៀប "ធ្វើការជុំវិញ" នៅពេលសរសេរទ្រឹស្តីបទ។ គ្មានអ្វីត្រូវបាននិយាយអំពីច្បាប់នៃការកត់ត្រាទ្រឹស្តីបទខ្លួនឯងនោះទេ។ នោះហើយជាមូលហេតុដែលគ្រូមួយចំនួនថែមទាំងគូរព្រួញផ្សេងគ្នាដើម្បីចង្អុលបង្ហាញលំដាប់ដែលរូបមន្តគួរត្រូវបានសរសេរ។ ហើយ​ពួកគេ​សុំ​ឲ្យ​សិស្ស​ធ្វើ​តាម​ការណែនាំ​បែប​នេះ​យ៉ាង​តឹងរ៉ឹង។ នេះជាការត្រឹមត្រូវមួយផ្នែក ប៉ុន្តែវាមានសារៈសំខាន់ជាងក្នុងការស្វែងយល់ពីខ្លឹមសារនៃទ្រឹស្តីបទ ជាជាងការសរសេរវាដោយមេកានិចសុទ្ធសាធ ដោយប្រើ "ច្បាប់ផ្លូវវាង" និងព្រួញ។
តាមការពិតវាមានសារៈសំខាន់តែមួយគត់ក្នុងការយល់ដឹងអំពីតក្កវិជ្ជានៃ "ផ្លូវវាង" ហើយវាមានភាពច្បាស់លាស់ដែលវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការធ្វើខុសក្នុងការសរសេររូបមន្ត។ ក្នុងករណីទាំងពីរ a) និង b) យើងសរសេររូបមន្តសម្រាប់ត្រីកោណ AMC ។
ដំបូងយើងកំណត់សម្រាប់ខ្លួនយើងបីចំណុច - ចំនុចកំពូលនៃត្រីកោណ។ សម្រាប់យើងទាំងនេះគឺជាចំណុច A, M, C. បន្ទាប់មកយើងកំណត់ចំណុចដែលស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នា (បន្ទាត់ក្រហម) ទាំងនេះគឺជា B, P, K. យើងចាប់ផ្តើម "ចលនា" ពីចំនុចកំពូលនៃត្រីកោណឧទាហរណ៍។ ពីចំណុច C. ពីចំណុចនេះ យើង "ទៅ" ដល់ចំណុចដែលបង្កើតឡើងដោយចំនុចប្រសព្វ ឧទាហរណ៍ ចំហៀង AC និងបន្ទាត់ប្រសព្វ - សម្រាប់យើង នេះគឺជាចំនុច K. យើងសរសេរក្នុងភាគយកនៃប្រភាគទីមួយ - SK . បន្ទាប់មកពីចំណុច K យើង "ទៅ" ទៅចំណុចដែលនៅសល់នៅលើបន្ទាត់ AC - ដល់ចំណុច A. យើងសរសេរ KA នៅក្នុងភាគបែងនៃប្រភាគទីមួយ។ ដោយសារចំនុច A ក៏ជាកម្មសិទ្ធិរបស់បន្ទាត់ AM យើងធ្វើដូចគ្នាជាមួយផ្នែកនៅលើបន្ទាត់ AM ។ ហើយនៅទីនេះម្តងទៀត យើងចាប់ផ្តើមពីចំនុចកំពូល បន្ទាប់មកយើង "ទៅ" ទៅកាន់ចំណុចមួយនៅលើបន្ទាត់ប្រសព្វ បន្ទាប់មកយើងផ្លាស់ទីទៅចំនុចកំពូល M. "បានរកឃើញខ្លួនយើង" នៅលើបន្ទាត់ BC យើងធ្វើដូចគ្នាជាមួយនឹងផ្នែកនៅលើ បន្ទាត់នេះ។ ពី M យើង "ទៅ" ពិតណាស់ទៅ B បន្ទាប់ពីនោះយើងត្រលប់ទៅ C. "ផ្លូវវាង" នេះអាចត្រូវបានធ្វើតាមទ្រនិចនាឡិកាឬច្រាសទ្រនិចនាឡិកា។ វាមានសារៈសំខាន់តែមួយគត់ដើម្បីយល់ពីច្បាប់នៃការឆ្លងកាត់ - ពីចំនុចកំពូលមួយទៅចំនុចមួយនៅលើបន្ទាត់មួយ និងពីចំនុចមួយនៅលើបន្ទាត់មួយទៅចំនុចកំពូលមួយទៀត។ នេះជារបៀបដែលក្បួនសម្រាប់ការសរសេរផលិតផលនៃប្រភាគត្រូវបានពន្យល់ជាធម្មតា។ លទ្ធផលគឺ៖
សូមចំណាំថា "ផ្លូវវាង" ទាំងមូលត្រូវបានឆ្លុះបញ្ចាំងនៅក្នុងការថត ហើយដើម្បីភាពងាយស្រួល ត្រូវបានបង្ហាញដោយព្រួញ។
ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ កំណត់ត្រាលទ្ធផលអាចទទួលបានដោយមិនចាំបាច់អនុវត្ត "ឆ្លងកាត់" ណាមួយឡើយ។ បន្ទាប់ពីចំនុចត្រូវបានសរសេរ - ចំនុចកំពូលនៃត្រីកោណ (A, M, C) និងចំនុច - ដេកលើបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នា (B, P, K) ក៏សរសេរអក្សរបីដងដែលបង្ហាញពីចំនុចដែលស្ថិតនៅលើនីមួយៗនៃទាំងបី។ បន្ទាត់។ ក្នុងករណីរបស់យើងទាំងនេះគឺ I) B, M, C; II) A, P, M និង III) A, C, K ។ បន្ទាប់ពីនេះផ្នែកខាងឆ្វេងត្រឹមត្រូវនៃរូបមន្តអាចត្រូវបានសរសេរដោយមិនចាំបាច់មើលគំនូរនិងតាមលំដាប់ណាមួយឡើយ។ វាគ្រប់គ្រាន់ហើយសម្រាប់យើងក្នុងការសរសេរប្រភាគពិតពីអក្សរបីនីមួយៗដែលគោរពច្បាប់ - តាមធម្មតា អក្សរ "កណ្តាល" គឺជាចំនុចនៃបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នា (ក្រហម)។ តាមធម្មតា អក្សរ "ខាងក្រៅ" គឺជាចំណុចនៃចំនុចកំពូលរបស់ត្រីកោណ (ពណ៌ខៀវ)។ នៅពេលសរសេររូបមន្តតាមរបៀបនេះ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវប្រាកដថាអក្សរ "ពណ៌ខៀវ" ណាមួយ (ចំនុចកំពូលនៃត្រីកោណ) លេចឡើងម្តងទាំងនៅក្នុងភាគយក និងភាគបែង។ ឧទាហរណ៍។
វិធីសាស្រ្តនេះមានប្រយោជន៍ជាពិសេសសម្រាប់ករណីប្រភេទ ខ) ក៏ដូចជាសម្រាប់ការធ្វើតេស្តដោយខ្លួនឯងផងដែរ។

ទ្រឹស្តីបទ Menelaus ។ ភស្តុតាង
មានវិធីផ្សេងគ្នាជាច្រើនដើម្បីបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទ Menelaus ។ ពេលខ្លះពួកគេបង្ហាញវាដោយប្រើភាពស្រដៀងគ្នានៃត្រីកោណ ដែលផ្នែកដែលស្របទៅនឹង AC ត្រូវបានដកចេញពីចំណុច M (ដូចនៅក្នុងគំនូរនេះ)។ អ្នកផ្សេងទៀតគូរបន្ទាត់បន្ថែមដែលមិនស្របនឹងបន្ទាត់ប្រសព្វ ហើយបន្ទាប់មកដោយប្រើបន្ទាត់ត្រង់ស្របទៅនឹងបន្ទាត់ប្រសព្វ ពួកគេហាក់ដូចជា "គម្រោង" ផ្នែកចាំបាច់ទាំងអស់នៅលើបន្ទាត់នេះ ហើយដោយប្រើការទូទៅនៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Thales (ឧ។ ទ្រឹស្តីបទលើផ្នែកសមាមាត្រ) ទាញយករូបមន្ត។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ប្រហែលជាវិធីសាស្រ្តសាមញ្ញបំផុតនៃភស្តុតាងគឺត្រូវបានទទួលដោយការគូសបន្ទាត់ត្រង់ពីចំណុច M ស្របទៅនឹងចំនុចប្រសព្វ។ ចូរយើងបង្ហាញទ្រឹស្តីបទ Menelaus តាមវិធីនេះ។
ផ្តល់ឱ្យ៖ ត្រីកោណ ABC ។ បន្ទាត់ PK កាត់ជ្រុងនៃត្រីកោណ និងការបន្តនៃ MC ចំហៀងនៅចំណុច B ។
បង្ហាញថាសមភាពមាន៖
ភស្តុតាង។ ចូរគូរកាំរស្មី MM 1 ស្របទៅនឹង BK ។ ចូរយើងសរសេរទំនាក់ទំនងដែលផ្នែកដែលត្រូវបានបញ្ចូលក្នុងរូបមន្តនៃទ្រឹស្តីបទ Menelaus ចូលរួម។ ក្នុង​ករណី​មួយ សូម​ពិចារណា​បន្ទាត់​ប្រសព្វ​នៅ​ចំណុច A ហើយ​ករណី​ផ្សេង​ទៀត​ប្រសព្វ​នៅ​ចំណុច C ។ ចូរគុណផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមីការទាំងនេះ៖

ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។
ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់ស្រដៀងគ្នាសម្រាប់ករណី ខ) ។

ពីចំណុច C យើងគូរផ្នែក CC 1 ស្របទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់ BK ។ ចូរយើងសរសេរទំនាក់ទំនងដែលផ្នែកដែលត្រូវបានបញ្ចូលក្នុងរូបមន្តនៃទ្រឹស្តីបទ Menelaus ចូលរួម។ ក្នុងករណីមួយ ពិចារណាបន្ទាត់ដែលប្រសព្វគ្នានៅចំណុច A ហើយក្នុងករណីផ្សេងទៀត ប្រសព្វគ្នានៅចំណុច M. ដោយសារទ្រឹស្តីបទរបស់ Thales មិននិយាយអ្វីអំពីទីតាំងនៃចម្រៀកនៅលើបន្ទាត់ប្រសព្វពីរ ចម្រៀកអាចមានទីតាំងនៅម្ខាងនៃចំណុច M ដូច្នេះ

ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងបង្ហាញទ្រឹស្តីបទសន្ទនា។
បានផ្តល់ឱ្យ៖
បង្ហាញថាចំណុច B, P, K ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់តែមួយ។
ភស្តុតាង។ អនុញ្ញាតឱ្យបន្ទាត់ត្រង់ BP កាត់ AC នៅចំណុចមួយចំនួន K 2 ដែលមិនស្របគ្នាជាមួយចំណុច K ។ ដោយសារ BP គឺជាបន្ទាត់ត្រង់ដែលមានចំនុច K 2 ដូច្នេះទ្រឹស្តីបទ Menelaus ដែលទើបនឹងបង្ហាញគឺត្រឹមត្រូវសម្រាប់វា។ ដូច្នេះ ចូរយើងសរសេរវាចុះសម្រាប់នាង
ទោះ​ជា​យ៉ាង​ណា​យើង​គ្រាន់​តែ​បាន​បញ្ជាក់​ថា​
វាធ្វើតាមចំនុច K និង K 2 ស្របគ្នា ព្រោះវាបែងចែកចំហៀង AC ក្នុងសមាមាត្រដូចគ្នា។
សម្រាប់ករណី ខ) ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបង្ហាញតាមរបៀបស្រដៀងគ្នា។

ការដោះស្រាយបញ្ហាដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Menelaus

ជាដំបូង ចូរយើងត្រលប់ទៅបញ្ហាទី 1 ហើយដោះស្រាយវា។ តោះអានម្តងទៀត។ តោះធ្វើគំនូរ៖

បានផ្តល់ជា trapezoid ABCD ។ ST - បន្ទាត់កណ្តាលនៃ trapezoid, i.e. មួយនៃចម្ងាយដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ មុំ A និង D បន្ថែមរហូតដល់ 90 °។ យើងពង្រីកជ្រុង AB និង CD ហើយនៅចំនុចប្រសព្វរបស់វាយើងទទួលបានចំនុច K. ភ្ជាប់ចំនុច K ជាមួយចំនុច N - ពាក់កណ្តាល BC ។ ឥឡូវនេះយើងបង្ហាញថាចំណុច P ដែលជាចំណុចកណ្តាលនៃមូលដ្ឋាន AD ក៏ជាកម្មសិទ្ធិរបស់បន្ទាត់ KN ផងដែរ។ ចូរយើងពិចារណាត្រីកោណ ABD និង ACD តាមលំដាប់លំដោយ។ ជ្រុងពីរនៃត្រីកោណនីមួយៗត្រូវបានប្រសព្វគ្នាដោយបន្ទាត់ KP ។ ឧបមាថា បន្ទាត់ត្រង់ KN កាត់ AD មូលដ្ឋាននៅចំណុចមួយចំនួន X. តាមទ្រឹស្តីបទ Menelaus៖
ដោយសារត្រីកោណ AKD ជាមុំខាងស្តាំ ចំនុច P ដែលជាចំណុចកណ្តាលនៃអ៊ីប៉ូតេនុស AD គឺសមមូលពី A, D និង K។ ដូចគ្នានេះដែរ ចំនុច N គឺស្មើគ្នាពីចំណុច B, C និង K។ តើមូលដ្ឋានមួយស្មើ 36 និងមួយទៀតស្មើ 2 ។
ដំណោះស្រាយ។ ពិចារណាត្រីកោណ BCD ។ វាត្រូវបានឆ្លងកាត់ដោយកាំរស្មី AX ដែល X គឺជាចំណុចប្រសព្វនៃកាំរស្មីនេះជាមួយនឹងផ្នែកបន្ថែមនៃចំហៀង BC ។ យោងតាមទ្រឹស្តីបទ Menelaus៖
ការជំនួស (1) ទៅជា (2) យើងទទួលបាន:

ដំណោះស្រាយ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងសម្គាល់ដោយអក្សរ S 1 , S 2 , S 3 និង S 4 តំបន់នៃត្រីកោណ AOB, AOM, BOK និង quadrilateral MOKC រៀងគ្នា។

ដោយសារ BM គឺជាមធ្យម នោះ S ABM = S BMC ។
នេះមានន័យថា S 1 + S 2 = S 3 + S 4 ។
ដោយសារយើងត្រូវស្វែងរកសមាមាត្រនៃតំបន់ S 1 និង S 4 យើងបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ S 4៖
ចូរយើងជំនួសតម្លៃទាំងនេះទៅជារូបមន្ត (1)៖ ពីត្រីកោណ BMC ជាមួយ secant AK យោងតាមទ្រឹស្តីបទ Menelaus យើងមាន៖ ពីត្រីកោណ AKC ជាមួយ secant BM តាមទ្រឹស្តីបទ Menelaus យើងមាន៖ ទំនាក់ទំនងចាំបាច់ទាំងអស់ត្រូវបានបង្ហាញតាមរយៈ k ហើយឥឡូវនេះអ្នកអាចជំនួសវាទៅជាការបញ្ចេញមតិ (2)៖
ដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហានេះដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Menelaus ត្រូវបានពិភាក្សានៅលើទំព័រ។

កំណត់ចំណាំរបស់គ្រូគណិតវិទ្យា។ការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទ Menelaus ក្នុងបញ្ហានេះគឺជាករណីដែលវិធីសាស្ត្រនេះអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកសន្សំសំចៃពេលវេលាយ៉ាងសំខាន់លើការប្រឡង។ ភារកិច្ចនេះត្រូវបានផ្តល់ជូននៅក្នុងកំណែសាកល្បងនៃការប្រឡងចូល Lyceum នៅវិទ្យាល័យសេដ្ឋកិច្ចសម្រាប់ថ្នាក់ទី 9 (2019) ។

© គ្រូបង្រៀនគណិតវិទ្យានៅទីក្រុងមូស្គូ លោក Alexander Anatolyevich, 8-968-423-9589 ។

សម្រេចចិត្តដោយខ្លួនឯង។

1) ភារកិច្ចគឺសាមញ្ញជាង។ នៅលើ BD មធ្យមនៃត្រីកោណ ABC ចំណុច M ត្រូវបានសម្គាល់ ដូច្នេះ BM: MD = m: n ។ បន្ទាត់ AM កាត់ចំហៀង BC នៅចំណុច K ។
ស្វែងរកសមាមាត្រ BK: KC ។
2) ភារកិច្ចគឺពិបាកជាង។ bisector នៃមុំ A នៃប្រលេឡូក្រាម ABCD កាត់ចំហៀង BC នៅចំណុច P និងអង្កត់ទ្រូង BD នៅចំណុច T. គេដឹងថា AB: AD = k (0 3) កិច្ចការលេខ 26 OGE ។ នៅ​ក្នុង​ត្រីកោណ ABC, bisector BE និង median AD កាត់​កែង​គ្នា ហើយ​មាន​ប្រវែង​ស្មើ​នឹង 36. រក​ជ្រុង​នៃ​ត្រីកោណ ABC ។
ការណែនាំអំពីគ្រូគណិតវិទ្យា។នៅលើអ៊ីនធឺណិត គេអាចស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហាបែបនេះដោយប្រើការសាងសង់បន្ថែម ហើយបន្ទាប់មកមានភាពស្រដៀងគ្នា ឬស្វែងរកតំបន់ ហើយបន្ទាប់ពីនោះជ្រុងនៃត្រីកោណ។ ទាំងនោះ។ វិធីសាស្រ្តទាំងពីរនេះទាមទារការសាងសង់បន្ថែម។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ការដោះស្រាយបញ្ហាបែបនេះដោយប្រើទ្រព្យសម្បត្តិ bisector និងទ្រឹស្តីបទ Menelaus មិនតម្រូវឱ្យមានការសាងសង់បន្ថែមទេ។ វាគឺសាមញ្ញជាង និងសមហេតុផលជាង។

ថ្នាក់៖ 9

គោលបំណងនៃមេរៀន៖

1. ទូទៅ ពង្រីក និងរៀបចំប្រព័ន្ធចំណេះដឹង និងជំនាញរបស់សិស្ស។ បង្រៀនពីរបៀបប្រើប្រាស់ចំណេះដឹងនៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាស្មុគស្មាញ។
2. លើកកម្ពស់ការអភិវឌ្ឍជំនាញសម្រាប់ការអនុវត្តឯករាជ្យនៃចំណេះដឹងនៅពេលដោះស្រាយបញ្ហា។
3. អភិវឌ្ឍការគិតឡូជីខល និងការនិយាយគណិតវិទ្យារបស់សិស្ស សមត្ថភាពក្នុងការវិភាគ ប្រៀបធៀប និងទូទៅ។
4. ជំរុញឱ្យសិស្សមានទំនុកចិត្តលើខ្លួនឯង និងការខិតខំធ្វើការ; សមត្ថភាពក្នុងការធ្វើការជាក្រុម។

គោលបំណងនៃមេរៀន៖

• ការអប់រំ៖ធ្វើឡើងវិញនូវទ្រឹស្តីបទ Menelaus និង Cheva; អនុវត្តពួកវានៅពេលដោះស្រាយបញ្ហា។
• ការអភិវឌ្ឍន៍៖រៀនដាក់សម្មតិកម្ម និងការពារគំនិតរបស់អ្នកដោយប៉ិនប្រសប់ជាមួយនឹងភស្តុតាង។ សាកល្បងសមត្ថភាពរបស់អ្នកក្នុងការធ្វើទូទៅ និងធ្វើប្រព័ន្ធចំណេះដឹងរបស់អ្នក។
• ការអប់រំ៖បង្កើនចំណាប់អារម្មណ៍លើប្រធានបទ និងរៀបចំសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហាស្មុគស្មាញបន្ថែមទៀត។

ប្រភេទមេរៀន៖មេរៀនទូទៅ និងប្រព័ន្ធនៃចំណេះដឹង។

ឧបករណ៍៖កាតសម្រាប់ការងាររួមនៅក្នុងមេរៀនលើប្រធានបទនេះ កាតបុគ្គលសម្រាប់ការងារឯករាជ្យ កុំព្យូទ័រ ម៉ាស៊ីនបញ្ចាំងពហុមេឌៀ អេក្រង់។

ក្នុងអំឡុងពេលថ្នាក់

ដំណាក់កាល I. ពេលវេលារៀបចំ (1 នាទី)

គ្រូប្រកាសអំពីប្រធានបទ និងគោលបំណងនៃមេរៀន។

ដំណាក់កាលទី II ។ ធ្វើបច្ចុប្បន្នភាពចំណេះដឹង និងជំនាញមូលដ្ឋាន (១០ នាទី)

គ្រូ៖ក្នុងកំឡុងមេរៀន យើងនឹងចងចាំទ្រឹស្តីបទរបស់ Menelaus និង Cheva ដើម្បីឈានទៅមុខដោយជោគជ័យក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហា។ សូមក្រឡេកមើលអេក្រង់ដែលវាត្រូវបានបង្ហាញ។ តើ​តួ​លេខ​នេះ​ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​សម្រាប់​ទ្រឹស្តីបទ​មួយ​ណា? (ទ្រឹស្តីបទ Menelaus) ។ ព្យាយាមបង្កើតទ្រឹស្តីបទឱ្យបានច្បាស់លាស់។

រូបភាពទី 1

ទុកចំណុច A 1 នៅចំហៀង BC នៃត្រីកោណ ABC ចំណុច C 1 នៅចំហៀង AB ចំណុច B 1 លើការបន្តនៃចំហៀង AC លើសពីចំណុច C. ចំណុច A 1 , B 1 និង C 1 ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ដូចគ្នាប្រសិនបើ និងតែប៉ុណ្ណោះ ប្រសិនបើសមភាពទទួលបាន

គ្រូ៖តោះទស្សនារូបភាពខាងក្រោមទាំងអស់គ្នា។ បញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទសម្រាប់គំនូរនេះ។

រូបភាពទី 2

បន្ទាត់ AD ប្រសព្វគ្នាពីរភាគី និងផ្នែកបន្ថែមនៃជ្រុងទីបីនៃត្រីកោណ IUD ។

នេះបើយោងតាមទ្រឹស្តីបទ Menelaus

បន្ទាត់ត្រង់ MB ប្រសព្វពីរភាគី និងផ្នែកបន្ថែមនៃជ្រុងទីបីនៃត្រីកោណ ADC ។

នេះបើយោងតាមទ្រឹស្តីបទ Menelaus

គ្រូ៖តើ​ទ្រឹស្ដី​អ្វី​ដែល​រូបភាព​ត្រូវ​គ្នា? (ទ្រឹស្តីបទរបស់ Ceva) ។ បញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទ។

រូបភាពទី 3

ទុកចំណុច A 1 ក្នុងត្រីកោណ ABC នៅចំហៀង BC ចំណុច B 1 នៅចំហៀង AC ចំណុច C 1 នៅចំហៀង AB ។ ចម្រៀក AA 1, BB 1 និង CC 1 ប្រសព្វគ្នានៅចំណុចមួយ ប្រសិនបើសមភាពមាន

ដំណាក់កាល III ។ ដោះស្រាយបញ្ហា។ (២២ នាទី)

ថ្នាក់ចែកចេញជា 3 ក្រុម ដោយម្នាក់ៗទទួលបានកាតមួយដែលមានភារកិច្ចពីរផ្សេងគ្នា។ ពេលវេលា​ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​ក្នុង​ការ​សម្រេច​ចិត្ត​បន្ទាប់​មក​ដូច​ខាង​ក្រោម​បង្ហាញ​នៅ​លើ​អេក្រង់​:<Рисунки 4-9>. ដោយផ្អែកលើគំនូរដែលបានបញ្ចប់សម្រាប់ភារកិច្ច អ្នកតំណាងក្រុមឆ្លាស់វេនគ្នាពន្យល់ពីដំណោះស្រាយរបស់ពួកគេ។ ការពន្យល់នីមួយៗត្រូវបានបន្តដោយការពិភាក្សា ឆ្លើយសំណួរ និងពិនិត្យមើលភាពត្រឹមត្រូវនៃដំណោះស្រាយនៅលើអេក្រង់។ សមាជិកក្រុមទាំងអស់ចូលរួមក្នុងការពិភាក្សា។ ក្រុមកាន់តែសកម្ម វាត្រូវបានវាយតម្លៃខ្ពស់នៅពេលបូកសរុបលទ្ធផល។

កាត 1 ។

1. នៅក្នុងត្រីកោណ ABC ចំនុច N ត្រូវបានយកនៅចំហៀង BC ដូច្នេះ NC = 3BN; នៅលើការបន្តនៃចំហៀង AC ចំណុច M ត្រូវបានយកជាចំណុច A ដូច្នេះ MA = AC ។ បន្ទាត់ MN កាត់ចំហៀង AB នៅចំណុច F. ស្វែងរកសមាមាត្រ

2. បង្ហាញថាមេដ្យាននៃត្រីកោណមួយប្រសព្វគ្នានៅចំណុចមួយ។

ដំណោះស្រាយ 1

រូបភាពទី 4

យោងតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា MA = AC, NC = 3BN ។ អនុញ្ញាតឱ្យ MA = AC = b, BN = k, NC = 3k ។ បន្ទាត់ MN កាត់ជ្រុងពីរនៃត្រីកោណ ABC និងការបន្តនៃទីបី។

នេះបើយោងតាមទ្រឹស្តីបទ Menelaus

ចម្លើយ៖

ភស្តុតាង ២

រូបភាពទី 5

សូមឱ្យ AM 1, BM 2, CM 3 ជាមេដ្យាននៃត្រីកោណ ABC ។ ដើម្បីបញ្ជាក់ថាផ្នែកទាំងនេះប្រសព្វគ្នានៅចំណុចមួយ វាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការបង្ហាញថា

បន្ទាប់មក តាមទ្រឹស្តីបទ (សន្ទនា) របស់ Ceva ផ្នែក AM 1, BM 2 និង CM 3 ប្រសព្វគ្នានៅចំណុចមួយ។

យើង​មាន:

ដូច្នេះ វា​ត្រូវ​បាន​បញ្ជាក់​ថា មេដ្យាន​នៃ​ត្រីកោណ​ប្រសព្វ​នៅ​ចំណុច​មួយ។

កាត 2 ។

1. ចំនុច N ត្រូវបានគេយកនៅផ្នែកខាង PQ នៃត្រីកោណ PQR ហើយចំនុច L ត្រូវបានគេយកនៅខាង PR ហើយ NQ = LR ។ ចំណុចប្រសព្វនៃផ្នែក QL និង NR បែងចែក QL ក្នុងសមាមាត្រ m:n ដោយរាប់ពីចំណុច Q. ស្វែងរក

2. បង្ហាញថាផ្នែកនៃត្រីកោណប្រសព្វគ្នានៅចំណុចមួយ។

ដំណោះស្រាយ 1

រូបភាពទី 6

តាមលក្ខខណ្ឌ NQ = LR, អនុញ្ញាតឱ្យ NA = LR =a, QF = km, LF = kn ។ បន្ទាត់ NR កាត់ជ្រុងពីរនៃត្រីកោណ PQL និងការបន្តនៃទីបី។

នេះបើយោងតាមទ្រឹស្តីបទ Menelaus

ចម្លើយ៖

ភស្តុតាង ២

រូបភាពទី 7

ចូរបង្ហាញវា។

បន្ទាប់មក ដោយទ្រឹស្តីបទ (សន្ទនា) របស់ Ceva, AL 1, BL 2, CL 3 ប្រសព្វគ្នានៅចំណុចមួយ។ ដោយទ្រព្យសម្បត្តិនៃត្រីកោណ bisectors

ការគុណពាក្យសមភាពដែលទទួលបានតាមពាក្យ យើងទទួលបាន

សម្រាប់​ផ្នែក​នៃ​ត្រីកោណ​សមភាព​របស់ Cheva គឺ​ពេញចិត្ត ដូច្នេះ​ហើយ​ពួកគេ​ប្រសព្វ​នៅ​ចំណុច​មួយ។

កាត ៣.

1. នៅក្នុងត្រីកោណ ABC, AD គឺជាមធ្យម, ចំណុច O គឺជាពាក់កណ្តាលនៃមធ្យម។ បន្ទាត់ត្រង់ BO កាត់ចំហៀង AC ត្រង់ចំណុច K. តើចំណុច K បែងចែក AC ក្នុងសមាមាត្រអ្វី ដោយរាប់ពីចំណុច A?

2. បង្ហាញថាប្រសិនបើរង្វង់មួយត្រូវបានចារឹកក្នុងត្រីកោណនោះ ចម្រៀកដែលភ្ជាប់ចំនុចកំពូលនៃត្រីកោណជាមួយនឹងចំនុចនៃទំនាក់ទំនងនៃភាគីផ្ទុយគ្នាប្រសព្វគ្នានៅចំណុចមួយ។

ដំណោះស្រាយ 1

រូបភាពទី 8

ឱ្យ BD = DC = a, AO = OD = m ។ បន្ទាត់ត្រង់ BK កាត់ភាគីទាំងពីរ និងផ្នែកបន្ថែមនៃជ្រុងទីបីនៃត្រីកោណ ADC ។

នេះបើយោងតាមទ្រឹស្តីបទ Menelaus

ចម្លើយ៖

ភស្តុតាង ២

រូបភាពទី 9

អនុញ្ញាតឱ្យ A 1, B 1 និង C 1 ជាចំណុចតង់សង់នៃរង្វង់ចារឹកនៃត្រីកោណ ABC ។ ដើម្បីបញ្ជាក់ថាផ្នែក AA 1, BB 1 និង CC 1 ប្រសព្វគ្នានៅចំណុចមួយ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបង្ហាញថាសមភាពរបស់ Cheva ទទួលបាន៖

ដោយប្រើលក្ខណសម្បត្តិនៃតង់សង់ដែលទាញទៅរង្វង់ពីចំណុចមួយ យើងណែនាំសញ្ញាណដូចខាងក្រោមៈ C 1 B = BA 1 = x, AC 1 = CB 1 = y, BA 1 = AC 1 = z ។

សមភាពរបស់ Cheva គឺពេញចិត្តដែលមានន័យថា bisectors នៃត្រីកោណប្រសព្វគ្នានៅចំណុចមួយ។

ដំណាក់កាលទី IV ។ ការដោះស្រាយបញ្ហា (ការងារឯករាជ្យ) (៨ នាទី)

គ្រូ៖ ការងាររបស់ក្រុមត្រូវបានបញ្ចប់ ហើយឥឡូវនេះយើងនឹងចាប់ផ្តើមការងារឯករាជ្យលើកាតបុគ្គលសម្រាប់ជម្រើស 2 ។

ឯកសារមេរៀនសម្រាប់ការងារឯករាជ្យរបស់សិស្ស

ជម្រើសទី 1 ។នៅក្នុងត្រីកោណ ABC តំបន់ដែលមានលេខ 6 នៅផ្នែកខាង AB មានចំនុច K ដែលបែងចែកផ្នែកនេះក្នុងសមាមាត្រ AK:BK = 2:3 ហើយនៅផ្នែកខាង AC មានចំនុច L បែងចែក AC នៅក្នុងសមាមាត្រ AL: LC = 5: 3 ។ ចំនុច Q នៃចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ត្រង់ СК និង BL ត្រូវបានដកចេញពីបន្ទាត់ត្រង់ AB នៅចម្ងាយ។ រកប្រវែងចំហៀង AB ។ (ចម្លើយ៖ ៤)

ជម្រើសទី 2 ។នៅផ្នែកខាង AC ក្នុងត្រីកោណ ABC ចំនុច K ត្រូវបានគេយក។ AK = 1, KS = 3. នៅផ្នែកខាង AB ចំនុច L ត្រូវបានយក។ AL:LB = 2:3, Q គឺជាចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ត្រង់ BK និង CL ។ ស្វែងរកប្រវែងនៃរយៈកម្ពស់នៃត្រីកោណ ABC ដែលទម្លាក់ពីចំនុចកំពូល B. (ចម្លើយ៖ 1.5។)

ការងារ​ត្រូវ​ដាក់​ជូន​គ្រូ​ពិនិត្យ។

ដំណាក់កាល V ។ សេចក្ដី​សង្ខេប​មេរៀន (២ នាទី)

កំហុសដែលបានធ្វើត្រូវបានវិភាគ ចម្លើយដើម និងមតិយោបល់ត្រូវបានកត់សម្គាល់។ លទ្ធផលនៃការងាររបស់ក្រុមនីមួយៗត្រូវបានបូកសរុប និងចាត់ថ្នាក់។

ដំណាក់កាលទី VI ។ កិច្ចការផ្ទះ (១ នាទី)

កិច្ចការផ្ទះត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយបញ្ហាលេខ 11, 12 ទំព័រ 289-290, លេខ 10 ទំ. 301 ។

ពាក្យ​ចុង​ក្រោយ​របស់​គ្រូ (១ នាទី)។

ថ្ងៃនេះអ្នកបានឮសម្ដីគណិតវិទ្យារបស់គ្នាទៅវិញទៅមកពីខាងក្រៅ ហើយវាយតម្លៃសមត្ថភាពរបស់អ្នក។ នៅពេលអនាគត យើងនឹងប្រើប្រាស់ការពិភាក្សាបែបនេះសម្រាប់ការយល់ដឹងកាន់តែច្រើនអំពីប្រធានបទនេះ។ អំណះអំណាងនៅក្នុងមេរៀនគឺជាមិត្តជាមួយការពិត និងទ្រឹស្តីជាមួយការអនុវត្ត។ សូម​អរគុណ​អ្នក​ទាំង​អស់​គ្នា។

អក្សរសិល្ប៍៖

1. Tkachuk V.V. គណិតវិទ្យាសម្រាប់បេក្ខជន។ - អិមៈ MTsNMO ឆ្នាំ ២០០៥។