ការណែនាំ

ប្រសិនបើសមីការត្រូវបានបង្ហាញជា៖ dy/dx = q(x)/n(y) សូមមើលប្រភេទសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលមានអថេរដែលអាចបំបែកបាន។ វាអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយការសរសេរលក្ខខណ្ឌក្នុងឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចខាងក្រោម: n(y)dy = q(x)dx ។ បន្ទាប់មកបញ្ចូលផ្នែកទាំងពីរ។ ក្នុងករណីខ្លះដំណោះស្រាយត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់នៃអាំងតេក្រាលដែលយកចេញពីមុខងារដែលគេស្គាល់។ ឧទាហរណ៍ ក្នុងករណី dy/dx = x/y យើងទទួលបាន q(x) = x, n(y) = y ។ សរសេរវាជា ydy = xdx ហើយបញ្ចូល។ អ្នកគួរតែទទួលបាន y^2 = x^2 + c។

ទៅលីនេអ៊ែរ សមីការកំណត់គុណលក្ខណៈសមីការ "ដំបូង" ។ អនុគមន៍ដែលមិនស្គាល់ជាមួយនិស្សន្ទវត្ថុរបស់វាត្រូវបានរួមបញ្ចូលក្នុងសមីការបែបនេះត្រឹមតែដឺក្រេទីមួយប៉ុណ្ណោះ។ លីនេអ៊ែរមានទម្រង់ dy/dx + f(x) = j(x) ដែល f(x) និង g(x) ជាមុខងារអាស្រ័យលើ x ។ ដំណោះស្រាយត្រូវបានសរសេរដោយប្រើអាំងតេក្រាលដែលយកចេញពីមុខងារដែលគេស្គាល់។

សូមចងចាំថាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលជាច្រើនគឺជាសមីការលំដាប់ទីពីរ (មានដេរីវេទី 2)។ ឧទាហរណ៍ នេះគឺជាសមីការនៃចលនាអាម៉ូនិកសាមញ្ញ ដែលសរសេរជាសមីការទូទៅមួយ៖ md 2x / dt 2 \u003d -kx ។ សមីការបែបនេះមានដំណោះស្រាយដោយផ្នែក។ សមីការ​នៃ​ចលនា​អាម៉ូនិក​សាមញ្ញ​គឺ​ជា​ឧទាហរណ៍​នៃ​អ្វី​ដែល​សំខាន់​ណាស់​៖ សមីការ​ឌីផេរ៉ង់ស្យែល​លីនេអ៊ែរ​ដែល​មាន​មេគុណ​ថេរ។

ប្រសិនបើមានសមីការលីនេអ៊ែរតែមួយនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា នោះអ្នកត្រូវបានផ្តល់លក្ខខណ្ឌបន្ថែម ដោយសារតែអ្នកអាចស្វែងរកដំណោះស្រាយ។ អានបញ្ហាដោយប្រុងប្រយ័ត្នដើម្បីស្វែងរកលក្ខខណ្ឌទាំងនេះ។ ប្រសិនបើ ក អថេរ x និង y គឺជាចម្ងាយ ល្បឿន ទម្ងន់ - មានអារម្មណ៍សេរីដើម្បីកំណត់ដែនកំណត់ x≥0 និង y≥0។ វាអាចទៅរួចដែល x ឬ y កំពុងលាក់ចំនួន , ផ្លែប៉ោម។ល។ - បន្ទាប់មកតម្លៃអាចគ្រាន់តែជា . ប្រសិនបើ x គឺជាអាយុរបស់កូនប្រុស វាច្បាស់ណាស់ថាគាត់មិនអាចចាស់ជាងឪពុករបស់គាត់បានទេ ដូច្នេះសូមបង្ហាញវានៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា។

ប្រភព៖

• របៀបដោះស្រាយសមីការជាមួយអថេរមួយ។

ភារកិច្ចសម្រាប់ការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងអាំងតេក្រាល គឺជាធាតុសំខាន់នៃការបង្រួបបង្រួមទ្រឹស្តីនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា ដែលជាផ្នែកនៃគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់ដែលបានសិក្សានៅក្នុងសាកលវិទ្យាល័យ។ ឌីផេរ៉ង់ស្យែល សមីការត្រូវបានដោះស្រាយដោយវិធីសាស្ត្ររួមបញ្ចូលគ្នា។

ការណែនាំ

ការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលស៊ើបអង្កេតលក្ខណៈសម្បត្តិ។ ផ្ទុយទៅវិញ ការរួមបញ្ចូលមុខងារមួយអនុញ្ញាតឱ្យយោងទៅតាមលក្ខណៈសម្បត្តិដែលបានផ្តល់ឱ្យ i.e. ដេរីវេ ឬឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍មួយ ដើម្បីស្វែងរកវាដោយខ្លួនឯង។ នេះគឺជាដំណោះស្រាយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

ណាមួយគឺជាសមាមាត្ររវាងតម្លៃដែលមិនស្គាល់ និងទិន្នន័យដែលគេស្គាល់។ ក្នុងករណីសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល តួនាទីរបស់មិនស្គាល់ត្រូវបានលេងដោយអនុគមន៍ ហើយតួនាទីនៃបរិមាណដែលគេស្គាល់ត្រូវបានលេងដោយដេរីវេរបស់វា។ លើសពីនេះ សមាមាត្រអាចមានអថេរឯករាជ្យ៖ F(x, y(x), y'(x), y''(x),…, y^n(x)) = 0 ដែល x ជាមិនស្គាល់ អថេរ y (x) គឺជាអនុគមន៍ដែលត្រូវកំណត់ លំដាប់នៃសមីការគឺជាលំដាប់អតិបរមានៃដេរីវេ (n) ។

សមីការបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតា។ ប្រសិនបើមានអថេរឯករាជ្យជាច្រើននៅក្នុងទំនាក់ទំនង និងនិស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែក (ឌីផេរ៉ង់ស្យែល) នៃអនុគមន៍ទាក់ទងនឹងអថេរទាំងនេះ នោះសមីការត្រូវបានគេហៅថាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលជាមួយនឹងនិស្សន្ទវត្ថុផ្នែក និងមានទម្រង់៖ x∂z/∂y - ∂z/∂ x = 0 ដែល z(x, y) ជាអនុគមន៍ដែលត្រូវការ។

ដូច្នេះ ដើម្បីរៀនពីរបៀបដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល អ្នកត្រូវតែអាចស្វែងរក antiderivatives i.e. ដោះស្រាយបញ្ហានៃភាពខុសគ្នាបញ្ច្រាស។ ឧទាហរណ៍៖ ដោះស្រាយសមីការលំដាប់ទីមួយ y' = -y/x ។

ដំណោះស្រាយជំនួស y' ជាមួយ dy/dx: dy/dx = -y/x ។

នាំយកសមីការទៅជាទម្រង់មួយដែលងាយស្រួលសម្រាប់ការរួមបញ្ចូល។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះគុណភាគីទាំងពីរដោយ dx ហើយចែកដោយ y: dy/y = -dx/x ។

រួមបញ្ចូល៖ ∫dy/y = - ∫dx/x + Сln |y| = - កំណត់ហេតុ |x| + គ.

ដំណោះស្រាយនេះត្រូវបានគេហៅថាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលទូទៅ។ C គឺជាថេរដែលសំណុំនៃតម្លៃកំណត់សំណុំនៃដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ។ សម្រាប់តម្លៃជាក់លាក់ណាមួយនៃ C ដំណោះស្រាយនឹងមានតែមួយគត់។ ដំណោះស្រាយបែបនេះគឺជាដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

ដំណោះស្រាយនៃសមីការភាគច្រើននៃខ្ពស់ជាង ដឺក្រេមិនមានរូបមន្តច្បាស់លាស់ ដូចជាការស្វែងរកឫសនៃការ៉េ សមីការ. ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មានវិធីសាស្រ្តកាត់បន្ថយជាច្រើនដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកបំប្លែងសមីការសញ្ញាបត្រខ្ពស់ជាងទៅជាទម្រង់ដែលមើលឃើញកាន់តែច្រើន។

ការណែនាំ

វិធីសាស្រ្តទូទៅបំផុតសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការនៃដឺក្រេខ្ពស់ជាងគឺការពង្រីក។ វិធីសាស្រ្តនេះគឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នានៃការជ្រើសរើសឫសចំនួនគត់ ការបែងចែកនៃពាក្យសេរី និងការបែងចែកជាបន្តបន្ទាប់នៃពហុនាមទូទៅទៅក្នុងទម្រង់ (x - x0)។

ឧទាហរណ៍ ដោះស្រាយសមីការ x^4 + x³ + 2 x² - x - 3 = 0. ដំណោះស្រាយ។ សមាជិកឥតគិតថ្លៃនៃពហុនាមនេះគឺ -3 ដូច្នេះ ចែកចំនួនគត់របស់វាអាចជា ±1 និង ±3។ ជំនួសពួកវាម្តងមួយៗទៅក្នុងសមីការ ហើយរកមើលថាតើអ្នកទទួលបានអត្តសញ្ញាណ៖ 1:1 + 1 + 2 - 1 - 3 = 0 ។

ឫសទីពីរ x = -1 ។ ចែកដោយកន្សោម (x + 1) ។ សរសេរសមីការលទ្ធផល (x − 1) (x + 1) (x² + x + 3) = 0. ដឺក្រេបានធ្លាក់ចុះដល់ទីពីរ ដូច្នេះសមីការអាចមានឫសពីរទៀត។ ដើម្បីរកពួកវា ដោះស្រាយសមីការការ៉េ៖ x² + x + 3 = 0D = 1 - 12 = -11

ការរើសអើងគឺជាតម្លៃអវិជ្ជមាន ដែលមានន័យថាសមីការលែងមានឫសគល់ពិតប្រាកដទៀតហើយ។ រកឫសស្មុគ្រស្មាញនៃសមីការ៖ x = (-2 + i √11)/2 និង x = (-2 – i √11)/2 ។

វិធីសាស្រ្តមួយផ្សេងទៀតសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការដឺក្រេខ្ពស់ជាងគឺការផ្លាស់ប្តូរអថេរទៅជាការ៉េ។ វិធីសាស្រ្តនេះត្រូវបានប្រើនៅពេលដែលអំណាចទាំងអស់នៃសមីការគឺស្មើគ្នា ឧទាហរណ៍៖ x^4 - 13 x² + 36 = 0

ឥឡូវរកឫសនៃសមីការដើម៖ x1 = √9 = ±3; x2 = √4 = ±2។

គន្លឹះទី 10: របៀបកំណត់សមីការ Redox

ប្រតិកម្មគីមីគឺជាដំណើរការនៃការផ្លាស់ប្តូរសារធាតុដែលកើតឡើងជាមួយនឹងការផ្លាស់ប្តូរនៅក្នុងសមាសភាពរបស់វា។ សារធាតុទាំងនោះដែលចូលទៅក្នុងប្រតិកម្មត្រូវបានគេហៅថាដំបូង ហើយសារធាតុដែលត្រូវបានបង្កើតឡើងជាលទ្ធផលនៃដំណើរការនេះត្រូវបានគេហៅថាផលិតផល។ វាកើតឡើងថានៅក្នុងដំណើរការនៃប្រតិកម្មគីមី ធាតុដែលបង្កើតជាវត្ថុធាតុចាប់ផ្តើមផ្លាស់ប្តូរស្ថានភាពអុកស៊ីតកម្មរបស់វា។ នោះគឺពួកគេអាចទទួលយកអេឡិចត្រុងរបស់អ្នកដទៃហើយផ្តល់ឱ្យពួកគេ។ ក្នុងករណីទាំងពីរ ការគិតថ្លៃរបស់ពួកគេផ្លាស់ប្តូរ។ ប្រតិកម្មបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាប្រតិកម្ម redox ។

1. សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយមានទម្រង់

ប្រសិនបើសមីការនេះអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយគោរពតាម ta វាអាចត្រូវបានសរសេរជា

ក្នុងករណីនេះយើងនិយាយថាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានដោះស្រាយដោយគោរពតាមដេរីវេ។ សម្រាប់សមីការបែបនេះ ទ្រឹស្តីបទខាងក្រោមមានសុពលភាព ដែលត្រូវបានគេហៅថា ទ្រឹស្តីបទស្តីពីអត្ថិភាព និងឯកតានៃដំណោះស្រាយចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ ទ្រឹស្តីបទ។ ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការ

អនុគមន៍ និងដេរីវេផ្នែករបស់វាទាក់ទងទៅនឹង y គឺបន្តនៅក្នុងដែន D មួយចំនួននៅលើយន្តហោះដែលមានចំណុចមួយចំនួន បន្ទាប់មកមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ចំពោះសមីការនេះ។

ការបំពេញលក្ខខណ្ឌនៅ

ទ្រឹស្តីបទនេះនឹងត្រូវបានបញ្ជាក់នៅក្នុង§ 27 Ch ។ XVI ។

អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃទ្រឹស្តីបទគឺថាមាន ហើយលើសពីនេះទៅទៀត មុខងារតែមួយគត់ដែលក្រាហ្វឆ្លងកាត់ចំណុច

វាធ្វើតាមទ្រឹស្ដីនេះគ្រាន់តែបញ្ជាក់ថាសមីការមួយមានដំណោះស្រាយផ្សេងៗគ្នារាប់មិនអស់ (ឧទាហរណ៍ ដំណោះស្រាយដែលក្រាហ្វឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ ដំណោះស្រាយមួយទៀតដែលក្រាហ្វឆ្លងកាត់ចំណុច។

លក្ខខណ្ឌដែលនៅពេលដែលអនុគមន៍ y ត្រូវតែស្មើនឹងលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានគេហៅថាលក្ខខណ្ឌដំបូង។ វាត្រូវបានសរសេរជាញឹកញាប់

និយមន័យ 1. ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយគឺជាមុខងារមួយ។

ដែល​អាស្រ័យ​លើ​ថេរ​មួយ​ដែល​បំពាន C និង​បំពេញ​លក្ខខណ្ឌ​ដូច​ខាង​ក្រោម៖

ក) វាបំពេញសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលសម្រាប់តម្លៃជាក់លាក់ណាមួយនៃថេរ C;

ខ) មិនថាលក្ខខណ្ឌដំបូងសម្រាប់អ្វីក៏ដោយ អ្នកអាចរកឃើញតម្លៃបែបនេះដែលមុខងារបំពេញលក្ខខណ្ឌដំបូងដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ វាត្រូវបានសន្មត់ថាតម្លៃជាកម្មសិទ្ធិរបស់តំបន់នៃបំរែបំរួលនៃអថេរ x និង y ដែលក្នុងនោះលក្ខខណ្ឌនៃទ្រឹស្តីបទនៃអត្ថិភាពនិងភាពប្លែកនៃដំណោះស្រាយត្រូវបានពេញចិត្ត។

2. នៅក្នុងដំណើរការនៃការស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល យើងតែងតែមករកទំនាក់ទំនងនៃទម្រង់

មិនត្រូវបានអនុញ្ញាតទាក់ទងនឹង ការដោះស្រាយទំនាក់ទំនងនេះទាក់ទងនឹង y យើងទទួលបានដំណោះស្រាយទូទៅ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ វាមិនតែងតែអាចបង្ហាញ y ពីទំនាក់ទំនង (2) នៅក្នុងអនុគមន៍បឋមបានទេ។ ក្នុង​ករណី​បែប​នេះ ដំណោះ​ស្រាយ​ទូទៅ​ត្រូវ​បាន​ទុក​ឱ្យ​ជាប់​ពាក់ព័ន្ធ។ សមភាពនៃទម្រង់ដែលបញ្ជាក់ដោយប្រយោលនូវដំណោះស្រាយទូទៅត្រូវបានគេហៅថា អាំងតេក្រាលទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

និយមន័យ 2. ដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយគឺជាមុខងារណាមួយដែលទទួលបានពីដំណោះស្រាយទូទៅប្រសិនបើតម្លៃជាក់លាក់មួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងអថេរចុងក្រោយ C. សមាមាត្រត្រូវបានគេហៅថាក្នុងករណីនេះអាំងតេក្រាលផ្នែកនៃសមីការ។

ឧទាហរណ៍ 1. សម្រាប់សមីការលំដាប់ទីមួយ

ដំណោះ​ស្រាយ​ទូទៅ​នឹង​ជា​ក្រុម​មុខងារ​មួយ​។​ នេះ​អាច​ត្រូវ​បាន​ពិនិត្យ​ដោយ​ការ​ជំនួស​សាមញ្ញ​ក្នុង​សមីការ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌដំបូងដូចខាងក្រោម: សម្រាប់ការជំនួសតម្លៃទាំងនេះទៅក្នុងរូបមន្ត យើងទទួលបាន ឬដូច្នេះ ដំណោះស្រាយជាក់លាក់ដែលត្រូវការនឹងជាមុខងារ

តាមទស្សនៈធរណីមាត្រ អាំងតេក្រាលទូទៅគឺជាក្រុមនៃខ្សែកោងនៅលើយន្តហោះកូអរដោណេ អាស្រ័យលើចំនួនថេរ C តាមអំពើចិត្តមួយ (ឬដូចដែលពួកគេនិយាយនៅលើប៉ារ៉ាម៉ែត្រ C) ។

ខ្សែកោងទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថាខ្សែកោងអាំងតេក្រាលនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ អាំងតេក្រាលមួយផ្នែកត្រូវគ្នាទៅនឹងខ្សែកោងមួយនៃគ្រួសារនេះឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យមួយចំនួននៃយន្តហោះ។

ដូច្នេះ ក្នុងឧទាហរណ៍ចុងក្រោយ អាំងតេក្រាលទូទៅត្រូវបានតំណាងតាមធរណីមាត្រដោយគ្រួសារនៃអ៊ីពែបូឡា ហើយអាំងតេក្រាលផ្នែកដែលកំណត់ដោយលក្ខខណ្ឌដំបូងដែលបានបង្ហាញត្រូវបានតំណាងដោយអ៊ីពែបូឡាមួយក្នុងចំណោមអ៊ីពែបូឡាទាំងនេះឆ្លងកាត់ចំណុច។ 251 បង្ហាញខ្សែកោងគ្រួសារដែលត្រូវគ្នានឹងតម្លៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រមួយចំនួន៖ ល។

ដើម្បីធ្វើឱ្យហេតុផលកាន់តែច្បាស់ យើងនឹងហៅដំណោះស្រាយនៃសមីការជាបន្តបន្ទាប់ មិនត្រឹមតែមុខងារដែលបំពេញសមីការប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏ជាខ្សែកោងអាំងតេក្រាលដែលត្រូវគ្នាផងដែរ។ ក្នុង​ការ​តភ្ជាប់​នេះ យើង​នឹង​និយាយ​ជា​ឧទាហរណ៍​អំពី​ដំណោះ​ស្រាយ​ដែល​ឆ្លង​កាត់​ចំណុច។

មតិយោបល់។ សមីការមិនមានដំណោះស្រាយឆ្លងកាត់ចំណុចមួយដែលស្ថិតនៅលើអ័ក្សនៃរូបភព។ 251) ដោយសារផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការសម្រាប់មិនត្រូវបានកំណត់ ហើយដូច្នេះវាមិនបន្ត។

ដំណោះស្រាយ ឬដូចដែលនិយាយជាញឹកញាប់ ការរួមបញ្ចូលសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមានន័យថា៖

ក) ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅរបស់វា ឬអាំងតេក្រាលទូទៅ (ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌដំបូងមិនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ) ឬ

ខ) ស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់នៃសមីការដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌដំបូងដែលបានផ្តល់ឱ្យ (ប្រសិនបើមាន) ។

3. ចូរយើងផ្តល់ការបកស្រាយធរណីមាត្រនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយ។

អនុញ្ញាតឱ្យសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដែលត្រូវបានដោះស្រាយដោយគោរពតាមដេរីវេ៖

ហើយទុកជាដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការនេះ។ ដំណោះស្រាយទូទៅនេះកំណត់ក្រុមគ្រួសារនៃខ្សែកោងអាំងតេក្រាលនៅក្នុងយន្តហោះ

សមីការ (D) សម្រាប់ចំណុចនីមួយៗ M ដែលមានកូអរដោណេ x និង y កំណត់តម្លៃនៃដេរីវេ ពោលគឺ ជម្រាលនៃតង់សង់ទៅខ្សែកោងអាំងតេក្រាលឆ្លងកាត់ចំណុចនេះ។ ដូច្នេះ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល (D) ផ្តល់នូវទិសដៅមួយ ឬដូចដែលពួកគេនិយាយ កំណត់វាលនៃទិសដៅនៅលើយន្តហោះ។

ដូច្នេះ តាមទស្សនៈធរណីមាត្រ បញ្ហានៃការរួមបញ្ចូលសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺត្រូវស្វែងរកខ្សែកោងដែលទិសតង់សង់ស្របគ្នានឹងទិសដៅនៃវាលនៅចំណុចដែលត្រូវគ្នា។

សម្រាប់សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល (1) ទីតាំងនៃចំណុចដែលទំនាក់ទំនងមានត្រូវបានគេហៅថា isocline នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

សម្រាប់តម្លៃផ្សេងគ្នានៃ k យើងទទួលបាន isoclines ផ្សេងគ្នា។ សមីការនៃ isocline ដែលត្រូវគ្នានឹងតម្លៃនៃ k នឹងច្បាស់ជា៖ តាមរយៈការសាងសង់ក្រុមគ្រួសារនៃ isoclines ប្រហែលអាចបង្កើតក្រុមគ្រួសារនៃខ្សែកោងអាំងតេក្រាលមួយ។ វាត្រូវបានគេនិយាយថាដោយដឹងពី isoclines មនុស្សម្នាក់អាចកំណត់គុណភាពនៃទីតាំងនៃខ្សែកោងអាំងតេក្រាលនៅលើយន្តហោះ។

នៅក្នុងបញ្ហាមួយចំនួននៃរូបវិទ្យា ទំនាក់ទំនងផ្ទាល់រវាងបរិមាណដែលពិពណ៌នាអំពីដំណើរការនេះ មិនអាចបង្កើតឡើងបានទេ។ ប៉ុន្តែមានលទ្ធភាពដើម្បីទទួលបានសមភាពដែលមានដេរីវេនៃមុខងារដែលកំពុងសិក្សា។ នេះជារបៀបដែលសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលកើតឡើង និងតម្រូវការដើម្បីដោះស្រាយពួកវាដើម្បីស្វែងរកមុខងារមិនស្គាល់មួយ។

អត្ថបទនេះត្រូវបានបម្រុងទុកសម្រាប់អ្នកដែលប្រឈមមុខនឹងបញ្ហានៃការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលមុខងារមិនស្គាល់គឺជាមុខងារនៃអថេរមួយ។ ទ្រឹស្ដីត្រូវបានបង្កើតឡើងតាមរបៀបដែលការយល់ដឹងសូន្យនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល អ្នកនឹងអាចទប់ទល់នឹងកិច្ចការរបស់អ្នក។

ប្រភេទនីមួយៗនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងវិធីសាស្ត្រដំណោះស្រាយជាមួយនឹងការពន្យល់លម្អិត និងដំណោះស្រាយនៃឧទាហរណ៍ និងបញ្ហាធម្មតា។ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវកំណត់ប្រភេទនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលសម្រាប់បញ្ហារបស់អ្នក ស្វែងរកឧទាហរណ៍ដែលបានវិភាគស្រដៀងគ្នា និងអនុវត្តសកម្មភាពស្រដៀងគ្នា។

ដើម្បីដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដោយជោគជ័យ អ្នកក៏នឹងត្រូវការសមត្ថភាពក្នុងការស្វែងរកសំណុំនៃអង្គបដិប្រាណ (អាំងតេក្រាលមិនកំណត់) នៃមុខងារផ្សេងៗ។ បើចាំបាច់ យើងសូមណែនាំឱ្យអ្នកមើលផ្នែក។

ដំបូងយើងពិចារណាអំពីប្រភេទនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតានៃលំដាប់ទីមួយដែលអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយទាក់ទងទៅនឹងដេរីវេ បន្ទាប់មកយើងបន្តទៅ ODE លំដាប់ទីពីរ បន្ទាប់មកយើងរស់នៅលើសមីការលំដាប់ខ្ពស់ជាង និងបញ្ចប់ដោយប្រព័ន្ធនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

សូមចាំថាប្រសិនបើ y គឺជាមុខងារនៃអាគុយម៉ង់ x ។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយ។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលសាមញ្ញបំផុតនៃលំដាប់ទីមួយនៃទម្រង់។

ចូរយើងសរសេរឧទាហរណ៍មួយចំនួននៃ DE បែបនេះ .

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល អាចត្រូវបានដោះស្រាយទាក់ទងនឹងដេរីវេដោយបែងចែកភាគីទាំងពីរនៃសមភាពដោយ f(x) ។ ក្នុងករណីនេះ យើងមកដល់សមីការដែលនឹងស្មើនឹងតម្លៃដើមសម្រាប់ f(x) ≠ 0 ។ ឧទាហរណ៍នៃ ODEs បែបនេះគឺ .

ប្រសិនបើមានតម្លៃនៃអាគុយម៉ង់ x ដែលមុខងារ f(x) និង g(x) រលាយក្នុងពេលដំណាលគ្នានោះ ដំណោះស្រាយបន្ថែមនឹងលេចឡើង។ ដំណោះស្រាយបន្ថែមចំពោះសមីការ x ដែលបានផ្តល់គឺជាអនុគមន៍ណាមួយដែលបានកំណត់សម្រាប់តម្លៃអាគុយម៉ង់ទាំងនោះ។ ឧទាហរណ៍នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលបែបនេះគឺ .

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរ។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរ លំដាប់ទីពីរដែលមានមេគុណថេរ។

LODE ជាមួយមេគុណថេរ គឺជាប្រភេទទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ ដំណោះស្រាយរបស់ពួកគេមិនពិបាកជាពិសេសទេ។ ទីមួយ ឫសគល់នៃសមីការលក្ខណៈត្រូវបានរកឃើញ . សម្រាប់ p និង q ផ្សេងគ្នា ករណីបីគឺអាចធ្វើទៅបាន៖ ឫសគល់នៃសមីការលក្ខណៈអាចពិតប្រាកដ និងខុសគ្នា ពិត និងស្របគ្នា។ ឬបន្សំស្មុគស្មាញ។ អាស្រ័យលើតម្លៃនៃឫសនៃសមីការលក្ខណៈ ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានសរសេរជា , ឬ ឬរៀងៗខ្លួន។

ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរលំដាប់ទីពីរដែលមានមេគុណថេរ។ ឫសគល់នៃសមីការលក្ខណៈរបស់គាត់គឺ k 1 = -3 និង k 2 = 0 ។ ឫសគឺពិតប្រាកដ និងខុសគ្នា ដូច្នេះដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះ LDE ដែលមានមេគុណថេរគឺ


សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរមិនដូចគ្នា លីនេអ៊ែរ ជាមួយមេគុណថេរ។

ដំណោះស្រាយទូទៅនៃ LIDE លំដាប់ទីពីរដែលមានមេគុណថេរ y ត្រូវបានស្វែងរកជាផលបូកនៃដំណោះស្រាយទូទៅនៃ LODE ដែលត្រូវគ្នា និងដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយនៃសមីការ inhomogeneous ដើម នោះគឺ . កថាខណ្ឌមុនត្រូវបានឧទ្ទិសដល់ការស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នាជាមួយនឹងមេគុណថេរ។ ហើយដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយត្រូវបានកំណត់ដោយវិធីសាស្រ្តនៃមេគុណមិនកំណត់សម្រាប់ទម្រង់ជាក់លាក់នៃអនុគមន៍ f (x) ឈរនៅខាងស្តាំនៃសមីការដើម ឬដោយវិធីសាស្ត្រនៃបំរែបំរួលនៃថេរតាមអំពើចិត្ត។

ជាឧទាហរណ៍នៃ LIDE លំដាប់ទីពីរដែលមានមេគុណថេរ យើងធ្វើបទបង្ហាញ


ដើម្បីយល់ពីទ្រឹស្តី និងស្គាល់ដំណោះស្រាយលម្អិតនៃឧទាហរណ៍ យើងផ្តល់ជូនអ្នកនៅលើទំព័រ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល inhomogeneous លីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទីពីរជាមួយនឹងមេគុណថេរ។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នាលីនេអ៊ែរ (LODEs) និងសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមិនដូចគ្នានៃលំដាប់ទីពីរ (LNDEs)។

ករណីពិសេសនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃប្រភេទនេះគឺ LODE និង LODE ដែលមានមេគុណថេរ។

ដំណោះស្រាយទូទៅនៃ LODE នៅលើចន្លោះពេលជាក់លាក់មួយត្រូវបានតំណាងដោយការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃដំណោះស្រាយជាក់លាក់ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរពីរ y 1 និង y 2 នៃសមីការនេះ ពោលគឺ .

ការលំបាកចម្បងគឺច្បាស់លាស់ក្នុងការស្វែងរកដំណោះស្រាយផ្នែកឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលប្រភេទនេះ។ ជាធម្មតា ដំណោះស្រាយពិសេសត្រូវបានជ្រើសរើសពីប្រព័ន្ធខាងក្រោមនៃមុខងារឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ៖


ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ដំណោះស្រាយពិសេសមិនតែងតែត្រូវបានបង្ហាញក្នុងទម្រង់នេះទេ។

ឧទាហរណ៍នៃ LODU គឺ .

ដំណោះស្រាយទូទៅនៃ LIDE ត្រូវបានស្វែងរកក្នុងទម្រង់ជាកន្លែងដែលដំណោះស្រាយទូទៅនៃ LODE ដែលត្រូវគ្នា និងជាដំណោះស្រាយជាក់លាក់នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដើម។ យើងគ្រាន់តែនិយាយអំពីការស្វែងរក ប៉ុន្តែវាអាចត្រូវបានកំណត់ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃបំរែបំរួលនៃថេរតាមអំពើចិត្ត។

ឧទាហរណ៍នៃ LNDE គឺ .

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ខ្ពស់ជាង។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលទទួលយកការកាត់បន្ថយលំដាប់។

លំដាប់នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល ដែលមិនមានមុខងារដែលចង់បាន និងដេរីវេរបស់វារហូតដល់លំដាប់ k-1 អាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជា n-k ដោយជំនួស .

ក្នុងករណីនេះ ហើយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដើមកាត់បន្ថយទៅ . បន្ទាប់ពីរកឃើញដំណោះស្រាយរបស់វា p(x) វានៅតែត្រូវត្រលប់ទៅការជំនួសវិញ ហើយកំណត់មុខងារមិនស្គាល់ y ។

ឧទាហរណ៍សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល បន្ទាប់​ពី​ការ​ជំនួស​បាន​ក្លាយ​ជា​សមីការ​អាច​បំបែក​បាន ហើយ​លំដាប់​របស់​វា​ត្រូវ​បាន​កាត់​បន្ថយ​ពី​លេខ​បី​ទៅ​លេខ​ដំបូង។

សមីការលំដាប់ទីមួយនៃទម្រង់ a 1 (x) y "+ a 0 (x) y \u003d b (x) ត្រូវបានគេហៅថាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរ។ ប្រសិនបើ b (x) ≡ 0 នោះសមីការត្រូវបានគេហៅថាដូចគ្នា បើមិនដូច្នេះទេ - ខុសគ្នា. សម្រាប់សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរ ទ្រឹស្តីបទអត្ថិភាព និងភាពឯកាមានទម្រង់ជាក់ស្តែងជាង។

ការផ្តល់សេវា. ម៉ាស៊ីនគិតលេខអនឡាញអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីពិនិត្យមើលដំណោះស្រាយ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរដូចគ្នា និងមិនដូចគ្នាដូចជា y" + y = b (x) ។

=

ប្រើការជំនួសអថេរ y=u*v
ប្រើវិធីសាស្ត្របំរែបំរួលថេរដោយបំពាន
ស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយសម្រាប់ y( ) = .

ដើម្បីទទួលបានដំណោះស្រាយ កន្សោមដើមត្រូវតែកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់៖ a 1 (x)y" + a 0 (x)y = b(x) ។ ឧទាហរណ៍ សម្រាប់ y"-exp(x) = 2*y វានឹងជា y"-2 * y = exp(x) ។

ទ្រឹស្តីបទ. អនុញ្ញាតឱ្យ 1 (x), a 0 (x), b(x) បន្តនៅចន្លោះ [α,β], a 1 ≠0 សម្រាប់ ∀x∈[α,β]។ បន្ទាប់មកសម្រាប់ចំណុចណាមួយ (x 0 , y 0), x 0 ∈ [α, β] មានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ចំពោះសមីការដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ y(x 0) = y 0 ហើយត្រូវបានកំណត់នៅលើចន្លោះទាំងមូល [α ,β]។
ពិចារណាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរដូចគ្នា a 1 (x)y"+a 0 (x)y=0 ។
ការបំបែកអថេរ យើងទទួលបាន ឬរួមបញ្ចូលផ្នែកទាំងពីរ។ ទំនាក់ទំនងចុងក្រោយដោយគិតគូរពី notation exp(x) = e x ត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់

ឥឡូវនេះ ចូរយើងព្យាយាមស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការក្នុងទម្រង់ដែលបានចង្អុលបង្ហាញ ដែលមុខងារ C(x) ត្រូវបានជំនួសជំនួសឱ្យ C ថេរ ពោលគឺក្នុងទម្រង់

ការជំនួសដំណោះស្រាយនេះទៅជាដំណោះស្រាយដើម បន្ទាប់ពីការបំប្លែងចាំបាច់ យើងទទួលបាន ការរួមបញ្ចូលចុងក្រោយយើងមាន

ដែល C 1 គឺជាចំនួនថេរថ្មី។ ការជំនួសកន្សោមលទ្ធផលសម្រាប់ C(x) ទីបំផុតយើងទទួលបានដំណោះស្រាយនៃសមីការលីនេអ៊ែរដើម
.

ឧទាហរណ៍។ ដោះស្រាយសមីការ y" + 2y = 4x ។ ពិចារណាសមីការដូចគ្នាដែលត្រូវគ្នា y" + 2y = 0 ។ ដោះស្រាយវា យើងទទួលបាន y = Ce −2 x ។ ឥឡូវនេះយើងកំពុងស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការដើមក្នុងទម្រង់ y = C(x)e −2 x ។ ការជំនួស y និង y" = C"(x)e −2 x − 2C(x)e -2 x ទៅក្នុងសមីការដើម យើងមាន C"(x) = 4xe 2 x, whence C(x) = 2xe 2 x - e 2 x + C 1 និង y(x) = (2xe 2 x − e 2 x + C 1)e −2 x = 2x − 1 + C 1 e −2 x គឺជាដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការដើម។ ដំណោះស្រាយនេះ y 1 ( x) = 2x-1 - ចលនារបស់វត្ថុក្រោមសកម្មភាពនៃកម្លាំង b(x) = 4x, y 2 (x) = C 1 e -2 x - ចលនាត្រឹមត្រូវនៃវត្ថុ។

ឧទាហរណ៍ #2 ។ ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយ y"+3 y tan(3x)=2 cos(3x)/sin 2 2x ។
នេះគឺជាសមីការមិនដូចគ្នា ចូរធ្វើការផ្លាស់ប្តូរអថេរ៖ y=u v, y" = u"v + uv" ។
3u v tg(3x)+u v"+u" v = 2cos(3x)/sin 2 2x or u(3v tg(3x)+v") + u" v= 2cos(3x)/sin 2 2x
ដំណោះស្រាយមានពីរជំហាន៖
1. u(3vtg(3x)+v") = 0
2. u "v \u003d 2cos (3x) / sin 2 2x
1. ស្មើ u=0 រកដំណោះស្រាយសម្រាប់ 3v tg(3x)+v" = 0
តំណាងក្នុងទម្រង់៖ v" = -3v tg(3x)

ការរួមបញ្ចូលយើងទទួលបាន៖

ln(v) = ln(cos(3x))
v = cos(3x)
2. ដឹង v, រកអ្នកពីលក្ខខណ្ឌ: u "v \u003d 2cos (3x) / sin 2 2x
u" cos(3x) = 2cos(3x)/sin 2 2x
u" = 2/sin 2 2x
ការរួមបញ្ចូលយើងទទួលបាន៖
ពីលក្ខខណ្ឌ y = u v យើងទទួលបាន៖
y = u v = (C-cos(2x)/sin(2x)) cos(3x) ឬ y = C cos(3x)-cos(2x) ctg(3x)

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយត្រូវបានដោះស្រាយដោយគោរពទៅនឹងដេរីវេ

របៀបដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយ

អនុញ្ញាតឱ្យយើងមានសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយដែលត្រូវបានដោះស្រាយដោយទាក់ទងទៅនឹងដេរីវេ៖
.
ចែកសមីការនេះដោយ , នៅ , យើងទទួលបានសមីការនៃទម្រង់៖
,
កន្លែងណា។

បន្ទាប់មក យើងមើលដើម្បីមើលថាតើសមីការទាំងនេះជារបស់ប្រភេទមួយក្នុងចំណោមប្រភេទដែលបានរាយខាងក្រោម។ បើមិនដូច្នោះទេ យើងសរសេរសមីការឡើងវិញជាទម្រង់ឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងសរសេរនិងគុណសមីការដោយ . យើងទទួលបានសមីការក្នុងទម្រង់ឌីផេរ៉ង់ស្យែល៖
.

ប្រសិនបើសមីការនេះមិនមែនជាសមីការនៅក្នុងឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុបទេ នោះយើងចាត់ទុកថានៅក្នុងសមីការនេះគឺជាអថេរឯករាជ្យ ហើយជាមុខងារនៃ . ចូរបែងចែកសមីការដោយ៖
.
បន្ទាប់មក យើងមើលទៅដើម្បីមើលថាតើសមីការនេះជាកម្មសិទ្ធិរបស់ប្រភេទណាមួយដែលបានរាយខាងក្រោម ដោយពិចារណាថា ហើយត្រូវបានប្តូរ។

ប្រសិនបើប្រភេទមួយមិនត្រូវបានរកឃើញសម្រាប់សមីការនេះទេ នោះយើងរកមើលថាតើវាអាចទៅរួចដែរឬទេក្នុងការធ្វើឱ្យសមីការនេះមានភាពសាមញ្ញដោយការជំនួសដ៏សាមញ្ញមួយ។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើសមីការគឺ៖
,
បន្ទាប់មកយើងកត់សំគាល់ថា។ បន្ទាប់មកយើងធ្វើការជំនួស។ បន្ទាប់ពីនោះ សមីការនឹងមានទម្រង់សាមញ្ញជាង៖
.

ប្រសិនបើវាមិនអាចជួយបានទេនោះ យើងព្យាយាមស្វែងរកកត្តារួមបញ្ចូល។

សមីការអថេរដែលអាចបំបែកបាន។

;
.
បែងចែកដោយនិងបញ្ចូលគ្នា។ នៅពេលដែលយើងទទួលបាន៖
.

សមីការដែលកាត់បន្ថយទៅជាសមីការដែលមានអថេរដែលអាចបំបែកបាន។

សមីការដូចគ្នា។

យើងដោះស្រាយដោយការជំនួស៖
,
តើមុខងាររបស់ . បន្ទាប់មក
;
.
ញែកអថេរនិងរួមបញ្ចូល។

សមីការកាត់បន្ថយទៅជាភាពដូចគ្នា។

យើងណែនាំអថេរ និង៖
;
.
ថេរ និងត្រូវបានជ្រើសរើស ដូច្នេះលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃបាត់៖
;
.
ជាលទ្ធផល យើងទទួលបានសមីការដូចគ្នានៅក្នុងអថេរ និង .

សមីការដូចគ្នាទូទៅ

យើងធ្វើការជំនួស។ យើងទទួលបានសមីការដូចគ្នានៅក្នុងអថេរ និង .

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរ

មានវិធីសាស្រ្តបីសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរ។

2) វិធីសាស្រ្ត Bernoulli ។
យើងកំពុងស្វែងរកដំណោះស្រាយក្នុងទម្រង់នៃផលិតផលនៃមុខងារពីរ និងពីអថេរមួយ៖
.
;
.
យើងអាចជ្រើសរើសមុខងារមួយក្នុងចំណោមមុខងារទាំងនេះតាមអំពើចិត្ត។ ដូច្នេះ យើងជ្រើសរើសដំណោះស្រាយដែលមិនមែនជាសូន្យនៃសមីការ៖
.

3) វិធីសាស្រ្តនៃការប្រែប្រួលនៃថេរ (Lagrange) ។
នៅទីនេះដំបូងយើងដោះស្រាយសមីការដូចគ្នា៖

ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការដូចគ្នាមានទម្រង់៖
,
កន្លែងណាជាថេរ។ បន្ទាប់​មក យើង​ជំនួស​ថេរ​ដោយ​អនុគមន៍​អាស្រ័យ​លើ​អថេរ៖
.
ជំនួសនៅក្នុងសមីការដើម។ ជាលទ្ធផល យើងទទួលបានសមីការមួយដែលយើងកំណត់។

សមីការ Bernoulli

ដោយការជំនួសសមីការ Bernoulli ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាសមីការលីនេអ៊ែរ។

សមីការនេះក៏អាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយវិធីសាស្ត្រ Bernoulli ផងដែរ។ នោះគឺយើងកំពុងស្វែងរកដំណោះស្រាយក្នុងទម្រង់នៃផលិតផលនៃមុខងារពីរអាស្រ័យលើអថេរ៖
.
យើងជំនួសសមីការដើម៖
;
.
ដូចដែលយើងជ្រើសរើសដំណោះស្រាយមិនសូន្យនៃសមីការ៖
.
ដោយបានកំណត់ យើងទទួលបានសមីការជាមួយអថេរដែលអាចបំបែកបានសម្រាប់ .

សមីការរីកាទី

វាមិនត្រូវបានដោះស្រាយតាមរបៀបទូទៅទេ។ ការជំនួស

សមីការ Riccati ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់៖
,
កន្លែងណាជាថេរ; ; .
បន្ទាប់, ការជំនួស:

វា​ដូចជា:
,
កន្លែងណា។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃសមីការ Riccati និងករណីពិសេសមួយចំនួននៃដំណោះស្រាយរបស់វាត្រូវបានបង្ហាញនៅលើទំព័រ
សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលរីកាទី >>>

សមីការ Jacobi

ដោះស្រាយដោយការជំនួស៖
.

សមីការក្នុងឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុប

តាមលក្ខខណ្ឌ
.
នៅពេលដែលលក្ខខណ្ឌនេះត្រូវបានបំពេញ កន្សោមនៅខាងឆ្វេងនៃសមភាពគឺជាឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃមុខងារមួយចំនួន៖
.
បន្ទាប់មក
.
ពីទីនេះយើងទទួលបានអាំងតេក្រាលនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល៖
.

ដើម្បីស្វែងរកមុខងារ មធ្យោបាយងាយស្រួលបំផុតគឺវិធីសាស្រ្តនៃការជ្រើសរើសជាបន្តបន្ទាប់នៃឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ ចំពោះបញ្ហានេះរូបមន្តត្រូវបានប្រើ៖
;
;
;
.

កត្តារួមបញ្ចូលគ្នា

ប្រសិនបើសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយមិនត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាប្រភេទណាមួយដែលបានរាយបញ្ជីទេនោះ អ្នកអាចព្យាយាមស្វែងរកកត្តារួមបញ្ចូល។ កត្តារួមបញ្ចូលគឺជាអនុគមន៍បែបនេះ នៅពេលដែលគុណនឹងវា សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលក្លាយជាសមីការក្នុងឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុប។ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទី 1 មានកត្តារួមបញ្ចូលដ៏គ្មានកំណត់។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មិនមានវិធីសាស្រ្តទូទៅសម្រាប់ការស្វែងរកកត្តារួមបញ្ចូលនោះទេ។

សមីការមិនត្រូវបានដោះស្រាយសម្រាប់ដេរីវេ y"

សមីការទទួលស្គាល់ដំណោះស្រាយទាក់ទងនឹងដេរីវេ y"

ដំបូងអ្នកត្រូវព្យាយាមដោះស្រាយសមីការដោយគោរពតាមដេរីវេ។ ប្រសិនបើអាចធ្វើបាន សមីការអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាប្រភេទមួយក្នុងចំណោមប្រភេទដែលបានរាយខាងលើ។

សមីការអនុញ្ញាតឱ្យមានការបែងចែក

ប្រសិនបើអ្នកអាចធ្វើកត្តាសមីការ៖
,
បន្ទាប់មកបញ្ហាត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាដំណោះស្រាយបន្តបន្ទាប់នៃសមីការសាមញ្ញជាងនេះ៖
;
;

;
. យើងជឿ។ បន្ទាប់មក
ឬ។
បន្ទាប់យើងបញ្ចូលសមីការ៖
;
.
ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានកន្សោមនៃអថេរទីពីរតាមរយៈប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។

សមីការទូទៅបន្ថែមទៀត៖
ឬ
ក៏ត្រូវបានដោះស្រាយក្នុងទម្រង់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។ ដើម្បី​ធ្វើ​ដូច្នេះ អ្នក​ត្រូវ​ជ្រើសរើស​មុខងារ​មួយ ដើម្បី​ឱ្យ​ពី​សមីការ​ដើម​អ្នក​អាច​បង្ហាញ ឬ​តាម​រយៈ​ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។
ដើម្បីបង្ហាញអថេរទីពីរនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ យើងរួមបញ្ចូលសមីការ៖
;
.

សមីការត្រូវបានដោះស្រាយដោយគោរពតាម y

សមីការ Clairaut

សមីការនេះមានដំណោះស្រាយទូទៅ

សមីការ Lagrange

យើងកំពុងស្វែងរកដំណោះស្រាយក្នុងទម្រង់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។ យើងសន្មត់ថា ប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៅឯណា។

សមីការដែលនាំទៅដល់សមីការ Bernoulli

សមីការទាំងនេះត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាសមីការ Bernoulli ប្រសិនបើយើងស្វែងរកដំណោះស្រាយរបស់ពួកគេក្នុងទម្រង់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រដោយការណែនាំប៉ារ៉ាម៉ែត្រមួយ និងធ្វើការជំនួស។

ឯកសារយោង៖
V.V. Stepanov, វគ្គសិក្សានៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល, LKI, 2015 ។
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, ការប្រមូលផ្ដុំនៃបញ្ហាក្នុងគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់, Lan, 2003 ។