ឫស​ការ៉េ​នៃ​ចំនួន​គឺ​ជា​ចំនួន​ដែល​ការ​ការ៉េ​ស្មើ​នឹង a ។ ឧទាហរណ៍ លេខ -5 និង 5 គឺជាឫសការេនៃលេខ 25។ នោះគឺឫសនៃសមីការ x^2=25 គឺជាឫសការ៉េនៃលេខ 25។ ឥឡូវអ្នកត្រូវរៀនពីរបៀបធ្វើការជាមួយការ៉េ។ ប្រតិបត្តិការឫស៖ សិក្សាលក្ខណៈសម្បត្តិមូលដ្ឋានរបស់វា។

ឫសការ៉េនៃផលិតផល

√(a*b) =√a*√b

ឫសការ៉េនៃផលិតផលនៃចំនួនមិនអវិជ្ជមានពីរគឺស្មើនឹងផលគុណនៃឫសការ៉េនៃលេខទាំងនេះ។ ឧទាហរណ៍ √(9*25) = √9*√25 =3*5 =15;

វាជាការសំខាន់ណាស់ដែលត្រូវយល់ថាទ្រព្យសម្បត្តិនេះក៏អនុវត្តចំពោះករណីនៅពេលដែលកន្សោមរ៉ាឌីកាល់គឺជាផលនៃបី, បួន, ល។ កត្តាមិនអវិជ្ជមាន។

ពេលខ្លះមានទម្រង់ផ្សេងទៀតនៃទ្រព្យសម្បត្តិនេះ។ ប្រសិនបើ a និង b ជាលេខមិនអវិជ្ជមាន នោះសមភាពខាងក្រោមគឺពិត៖ √(a*b) =√a*√b។ មិនមានភាពខុសគ្នារវាងពួកវាទេ អ្នកអាចប្រើរូបមន្តមួយ ឬមួយផ្សេងទៀត (ដែលងាយស្រួលជាងសម្រាប់អ្នកក្នុងការចងចាំ)។

ឫសការ៉េនៃប្រភាគ

ប្រសិនបើ a>=0 និង b>0 នោះសមភាពខាងក្រោមគឺពិត៖

√(a/b) =√a/√b។

ឧទាហរណ៍ √(9/25) = √9/√25 =3/5;

ទ្រព្យសម្បត្តិនេះក៏មានទម្រង់ផ្សេងគ្នាផងដែរ ដែលតាមគំនិតរបស់ខ្ញុំគឺងាយស្រួលជាងសម្រាប់ការទន្ទេញ។
ឫស​ការ៉េ​នៃ​កូតា​គឺ​ស្មើ​នឹង​កូតា​នៃ​ឫស។

វាគួរឱ្យកត់សម្គាល់ថារូបមន្តទាំងនេះដំណើរការទាំងពីឆ្វេងទៅស្តាំនិងពីស្តាំទៅឆ្វេង។ នោះគឺប្រសិនបើចាំបាច់យើងអាចតំណាងឱ្យផលិតផលនៃឫសជាឫសនៃផលិតផលមួយ។ ដូចគ្នានេះដែរអនុវត្តចំពោះទ្រព្យសម្បត្តិទីពីរ។

ដូចដែលអ្នកប្រហែលជាបានកត់សម្គាល់ លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះគឺងាយស្រួលណាស់ ហើយខ្ញុំចង់មានលក្ខណៈសម្បត្តិដូចគ្នាសម្រាប់ការបូក និងដក៖

√(a+b) =√a+√b;

√(a-b) =√a-√b;

ប៉ុន្តែជាអកុសលទ្រព្យសម្បត្តិបែបនេះគឺការ៉េ មិនមានឫសទេ។ហើយនោះហើយជាមូលហេតុដែលវាដូច្នេះ មិនអាចធ្វើបានក្នុងការគណនា.

សញ្ញាប័ត្រជាមួយសូចនាករសនិទាន,

មុខងារថាមពល IV

§ 79. ការដកឬសពីផលិតផលមួយ និងកូតា

ទ្រឹស្តីបទ ១.ឫស ទំ អំណាចទី 1 នៃផលិតផលនៃលេខវិជ្ជមានគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃឫស ទំ កម្រិតនៃកត្តា, នោះគឺនៅពេលដែល ក > 0, ខ > 0 និងធម្មជាតិ ទំ

ន √ab = ន √ក ន √ខ . (1)

ភស្តុតាង។សូមចាំថាឫស ទំ - អំណាចទីនៃចំនួនវិជ្ជមាន ab មានចំនួនវិជ្ជមាន ទំ - ដឺក្រេដែលស្មើនឹង ab . ដូច្នេះ ការបញ្ជាក់សមភាព (១) គឺដូចគ្នានឹងការបញ្ជាក់សមភាពដែរ។

(ន √ក ន √ខ ) ន = ab .

ដោយលក្ខណៈសម្បត្តិកម្រិតផលិតផល

(ន √ក ន √ខ ) ន = (ន √ក ) ន (ន √ខ ) ន =.

ប៉ុន្តែតាមនិយមន័យនៃឫស ទំ សញ្ញាបត្រ ( ន √ក ) ន = ក , (ន √ខ ) ន = ខ .

នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល ( ន √ក ន √ខ ) ន = ab . ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

តម្រូវការ ក > 0, ខ > 0 គឺសំខាន់សម្រាប់តែគូប៉ុណ្ណោះ។ ទំ ដោយសារតែអវិជ្ជមាន ក និង ខ និង​សូម្បីតែ ទំ ឫស ន √ក និង ន √ខ មិន​ត្រូវ​បាន​កំណត់។ ប្រសិនបើ ទំ គឺសេស បន្ទាប់មករូបមន្ត (1) មានសុពលភាពសម្រាប់ណាមួយ។ ក និង ខ (ទាំងវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន)។

ឧទាហរណ៍៖ √16 121 = √16 √121 = 4 11 = 44 ។

3 √-125 27 = 3 √-125 3 √27 = -5 3 = - 15

រូបមន្ត (1) មានប្រយោជន៍ក្នុងការប្រើនៅពេលគណនាឫស នៅពេលដែលកន្សោមរ៉ាឌីកាល់ត្រូវបានតំណាងជាផលិតផលនៃការ៉េពិតប្រាកដ។ ឧទាហរណ៍,

√153 2 -72 2 = √ (153+ 72) (153-72) = √225 81 = 15 9 = 135.

យើងបានបង្ហាញទ្រឹស្តីបទ 1 សម្រាប់ករណីនៅពេលដែលសញ្ញារ៉ាឌីកាល់នៅខាងឆ្វេងនៃរូបមន្ត (1) គឺជាផលគុណនៃចំនួនវិជ្ជមានពីរ។ តាមពិតទ្រឹស្តីបទនេះគឺពិតសម្រាប់កត្តាវិជ្ជមានមួយចំនួន ពោលគឺសម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ k > 2:

ផលវិបាក។ការអានអត្តសញ្ញាណនេះពីស្តាំទៅឆ្វេង យើងទទួលបានច្បាប់ខាងក្រោមសម្រាប់គុណឫសជាមួយនឹងនិទស្សន្តដូចគ្នា

ដើម្បីគុណឫសជាមួយនឹងសូចនាករដូចគ្នា វាគឺគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីគុណកន្សោមរ៉ាឌីកាល់ ដោយទុកសូចនាករឫសដូចគ្នា។

ឧទាហរណ៍ √3 √8 √6 = √3 8 6 = √144 = 12 ។

ទ្រឹស្តីបទ ២. ឫស ទំអំណាចទី 1 នៃប្រភាគដែលភាគយក និងភាគបែងជាលេខវិជ្ជមានគឺស្មើនឹង កូតានៃឫសនៃអំណាចដូចគ្នានៃភាគយកដែលបែងចែកដោយឫសនៃអំណាចដូចគ្នានៃភាគបែងនោះគឺនៅពេលដែល ក > 0 និង ខ > 0

(2)

ដើម្បីបញ្ជាក់សមភាព (២) មានន័យថា បង្ហាញថា

យោងតាមច្បាប់សម្រាប់ការបង្កើនប្រភាគទៅជាអំណាចមួយនិងកំណត់ឫស ន - សញ្ញាប័ត្រដែលយើងមាន៖

ដូច្នេះទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

តម្រូវការ ក > 0 និង ខ > 0 គឺសំខាន់សម្រាប់តែគូប៉ុណ្ណោះ។ ទំ . ប្រសិនបើ ទំ គឺសេស បន្ទាប់មករូបមន្ត (2) ក៏ពិតសម្រាប់តម្លៃអវិជ្ជមានផងដែរ។ ក និង ខ .

ផលវិបាក។ការអានអត្តសញ្ញាណ ពីស្តាំទៅឆ្វេង យើងទទួលបានច្បាប់ខាងក្រោមសម្រាប់បែងចែកឫសជាមួយនិទស្សន្តដូចគ្នា៖

ដើម្បីបំបែកឫសជាមួយនឹងសូចនាករដូចគ្នា វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបំបែកកន្សោមរ៉ាឌីកាល់ដោយទុកឱ្យសូចនាករឫសដូចគ្នា។

ឧទាហរណ៍,

លំហាត់

554. ត្រង់ចំនុចណានៅក្នុងភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទ 1 តើយើងបានប្រើការពិតនោះ។ ក និង ខ តើពួកគេវិជ្ជមានទេ?

ហេតុអ្វីប្លែក ទំ រូបមន្ត (1) ក៏ពិតសម្រាប់លេខអវិជ្ជមានផងដែរ។ ក និង ខ ?

នៅតម្លៃអ្វី X ទិន្នន័យសមភាពគឺត្រឹមត្រូវ (លេខ 555-560)៖

555. √x 2 - 9 = √x -3 √x + 3 .

556. 4 √ (x - 2) (8 - x ) = 4 √x - 2 4 √ 8 - x

557. 3 √ (X + 1) (X - 5) = 3 √x +1 3 √x - 5 .

558. √ X (X + 1) (X + 2) = √ X √ (X + 1) √ (X + 2)

559. √ (x - ក ) 3 = (√ x - ក ) 3 .

560. 3 √ (X - 5) 2 = (3 √ X - 5 ) 2 .

561. គណនា៖

ក) √ ១៧៣ ២ - ៥២ ២; វី) √ 200 2 - 56 2 ;

ខ) √ ៣៧៣ ២ – ២៥២ ២; ឆ) √ 242,5 2 - 46,5 2 .

562. នៅក្នុងត្រីកោណកែង អ៊ីប៉ូតេនុសគឺ 205 សង់ទីម៉ែត្រ ហើយជើងមួយគឺ 84 សង់ទីម៉ែត្រ។

563. ប៉ុន្មានដង៖

555. X > 3. 556. 2 < X < 8. 557. X - លេខណាមួយ។ ៥៥៨. X > 0. 559. X > ក . 560. X - លេខណាមួយ។ 563. ក) បីដង។

ជំរាបសួរឆ្មា! លើកមុន យើងបានពិភាក្សាលម្អិតអំពីឫសគល់ (ប្រសិនបើអ្នកមិនចាំទេ ខ្ញុំសូមណែនាំឱ្យអានវា)។ មេរៀនសំខាន់ដែលដកចេញពីមេរៀននោះ៖ មានតែនិយមន័យជាសកលនៃឫសគល់ប៉ុណ្ណោះ ដែលជាអ្វីដែលអ្នកត្រូវដឹង។ អ្វី​ដែល​នៅ​សល់​គឺ​មិន​សម​ហេតុ​ផល និង​ខាត​ពេល​វេលា។

ថ្ងៃនេះយើងទៅបន្ថែមទៀត។ យើងនឹងរៀនគុណឬស យើងនឹងសិក្សាពីបញ្ហាមួយចំនួនដែលទាក់ទងនឹងការគុណ (ប្រសិនបើបញ្ហាទាំងនេះមិនត្រូវបានដោះស្រាយទេ ពួកគេអាចក្លាយទៅជាស្លាប់ក្នុងការប្រឡង) ហើយយើងនឹងអនុវត្តឱ្យបានត្រឹមត្រូវ។ ដូច្នេះស្តុកពោតលីង ទទួលបានផាសុកភាព ហើយតោះចាប់ផ្តើម :)

អ្នក​មិន​បាន​ជក់​វា​នៅ​ឡើយ​ទេ?

មេរៀន​នេះ​មាន​រយៈពេល​វែង ដូច្នេះ​ខ្ញុំ​បាន​បែងចែក​វា​ជា​ពីរ​ផ្នែក៖

1. ដំបូងយើងនឹងពិនិត្យមើលច្បាប់នៃគុណ។ Cap ហាក់ដូចជា​មាន​តម្រុយ៖ នេះ​ជា​ពេល​ដែល​មាន​ឫស​ពីរ រវាង​ពួកវា​មាន​សញ្ញា "គុណ" ហើយ​យើង​ចង់​ធ្វើ​អ្វីមួយ​ជាមួយ​វា។
2. បន្ទាប់មក សូមក្រឡេកមើលស្ថានភាពផ្ទុយគ្នា៖ មានឫសធំមួយ ប៉ុន្តែយើងចង់បង្ហាញវាជាផលិតផលនៃឫសធម្មតាពីរ។ ហេតុអ្វីបានជាវាចាំបាច់, គឺជាសំណួរដាច់ដោយឡែកមួយ។ យើងនឹងវិភាគតែក្បួនដោះស្រាយប៉ុណ្ណោះ។

សម្រាប់​អ្នក​ដែល​មិន​អាច​រង់​ចាំ​ដើម្បី​បន្ត​ទៅ​ផ្នែក​ទី​ពីរ​ភ្លាម​អ្នក​ត្រូវ​បាន​ស្វាគមន៍​។ ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយអ្វីដែលនៅសល់តាមលំដាប់លំដោយ។

ច្បាប់ជាមូលដ្ឋាននៃគុណ

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងអ្វីដែលសាមញ្ញបំផុត - ឫសការ៉េបុរាណ។ ដូចគ្នាដែលតំណាងដោយ $\sqrt(a)$ និង $\sqrt(b)$ ។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺច្បាស់សម្រាប់ពួកគេ:

ក្បួនគុណ។ ដើម្បីគុណឫសការ៉េមួយដោយមួយទៀត អ្នកគ្រាន់តែគុណកន្សោមរ៉ាឌីកាល់របស់ពួកគេ ហើយសរសេរលទ្ធផលនៅក្រោមរ៉ាឌីកាល់ទូទៅ៖

\\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot ខ)\]

មិនមានការរឹតបន្តឹងបន្ថែមលើលេខនៅខាងស្តាំ ឬខាងឆ្វេងទេ៖ ប្រសិនបើកត្តាឫសគល់មាន នោះផលិតផលក៏មានដែរ។

ឧទាហរណ៍។ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍ចំនួនបួនក្នុងពេលតែមួយ៖

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3)។ \\ \end(តម្រឹម)\]

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញអត្ថន័យសំខាន់នៃច្បាប់នេះគឺដើម្បីសម្រួលការបញ្ចេញមតិមិនសមហេតុផល។ ហើយប្រសិនបើនៅក្នុងឧទាហរណ៍ដំបូងយើងខ្លួនយើងផ្ទាល់នឹងបានទាញយកឫសនៃ 25 និង 4 ដោយគ្មានច្បាប់ថ្មីនោះអ្វីៗកាន់តែពិបាក: $\sqrt(32)$ និង $\sqrt(2)$ មិនត្រូវបានពិចារណាដោយខ្លួនឯងទេប៉ុន្តែ ផលិតផលរបស់ពួកគេប្រែទៅជាការ៉េដ៏ល្អឥតខ្ចោះ ដូច្នេះឫសរបស់វាស្មើនឹងចំនួនសមហេតុផល.

ជាពិសេសខ្ញុំចង់គូសបញ្ជាក់បន្ទាត់ចុងក្រោយ។ នៅទីនោះ កន្សោមរ៉ាឌីកាល់ទាំងពីរគឺជាប្រភាគ។ អរគុណចំពោះផលិតផល កត្តាជាច្រើនត្រូវបានលុបចោល ហើយកន្សោមទាំងមូលប្រែទៅជាចំនួនគ្រប់គ្រាន់។

ជាការពិតណាស់ អ្វីៗនឹងមិនតែងតែស្រស់ស្អាតនោះទេ។ ជួនកាលវានឹងមានភាពរញ៉េរញ៉ៃពេញលេញនៅក្រោមឫស - វាមិនច្បាស់ថាត្រូវធ្វើអ្វីជាមួយវានិងរបៀបបំប្លែងវាបន្ទាប់ពីការគុណ។ បន្តិចក្រោយមក នៅពេលអ្នកចាប់ផ្តើមសិក្សាសមីការមិនសមហេតុផល និងវិសមភាព នឹងមានអថេរ និងមុខងារគ្រប់ប្រភេទ។ ហើយជាញឹកញាប់ណាស់ អ្នកសរសេរបញ្ហាពឹងផ្អែកលើការពិតដែលថាអ្នកនឹងរកឃើញលក្ខខណ្ឌ ឬកត្តាលុបចោលមួយចំនួន បន្ទាប់ពីនោះបញ្ហានឹងត្រូវបានសម្រួលជាច្រើនដង។

លើសពីនេះទៀតវាមិនចាំបាច់ទាល់តែសោះក្នុងការគុណឫសពីរយ៉ាងពិតប្រាកដ។ អ្នកអាចគុណបី បួន ឬដប់ក្នុងពេលតែមួយ! នេះនឹងមិនផ្លាស់ប្តូរច្បាប់ទេ។ សូមក្រឡេកមើល៖

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1)) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10)។ \\ \end(តម្រឹម)\]

ហើយម្តងទៀតកំណត់ចំណាំតូចមួយនៅលើឧទាហរណ៍ទីពីរ។ ដូចដែលអ្នកអាចឃើញនៅក្នុងកត្តាទីបីនៅក្រោមឫសមានប្រភាគទសភាគ - នៅក្នុងដំណើរការនៃការគណនាយើងជំនួសវាដោយធម្មតាបន្ទាប់ពីនោះអ្វីគ្រប់យ៉ាងត្រូវបានកាត់បន្ថយយ៉ាងងាយស្រួល។ ដូច្នេះ៖ ខ្ញុំសូមផ្តល់អនុសាសន៍យ៉ាងខ្លាំងឱ្យកម្ចាត់ប្រភាគទសភាគនៅក្នុងកន្សោមដែលមិនសមហេតុផលណាមួយ (ឧ. មាននិមិត្តសញ្ញារ៉ាឌីកាល់យ៉ាងហោចណាស់មួយ)។ នេះនឹងជួយសន្សំសំចៃពេលវេលា និងសរសៃប្រសាទជាច្រើននៅពេលអនាគត។

ប៉ុន្តែ​នេះ​ជា​ការ​បំប្លែង​ទំនុក​ច្រៀង។ ឥឡូវនេះសូមពិចារណាករណីទូទៅបន្ថែមទៀត - នៅពេលដែលនិទស្សន្តឫសគល់មានលេខបំពាន $n$ ហើយមិនមែនត្រឹមតែ "បុរាណ" ពីរនោះទេ។

ករណីនៃសូចនាករបំពាន

ដូច្នេះ យើងបានតម្រៀបឫសការ៉េ។ អ្វីដែលត្រូវធ្វើជាមួយគូប? ឬសូម្បីតែមានឫសគល់នៃសញ្ញាបត្របំពាន $n$? បាទ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺដូចគ្នា។ ច្បាប់នៅតែដដែល៖

ដើម្បីគុណឫសពីរនៃដឺក្រេ $n$ វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការគុណកន្សោមរ៉ាឌីកាល់របស់ពួកគេ ហើយបន្ទាប់មកសរសេរលទ្ធផលនៅក្រោមរ៉ាឌីកាល់មួយ។

ជាទូទៅគ្មានអ្វីស្មុគស្មាញទេ។ លើកលែងតែចំនួននៃការគណនាអាចធំជាង។ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួន៖

ឧទាហរណ៍។ គណនាផលិតផល៖

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= ៥; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0.16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\ frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))((((25)^(3))) ))=\sqrt((((\left(\frac(4)(25)\right))^(3)))=\frac(4)(25)។ \\ \end(តម្រឹម)\]

ហើយម្តងទៀតយកចិត្តទុកដាក់ចំពោះកន្សោមទីពីរ។ យើងគុណឫសគូប កម្ចាត់ប្រភាគទសភាគ ហើយបញ្ចប់ដោយភាគបែងជាផលគុណនៃលេខ 625 និង 25 នៃក្បាលរបស់ខ្ញុំ។

ដូច្នេះ យើងគ្រាន់តែញែកគូបពិតប្រាកដនៅក្នុងភាគយក និងភាគបែង ហើយបន្ទាប់មកបានប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់មួយ (ឬប្រសិនបើអ្នកចង់ និយមន័យ) នៃឫស $n$th៖

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \\ sqrt(((a)^(2n)))=\left| មួយ\ត្រូវ| \\ \end(តម្រឹម)\]

"ម៉ាស៊ីន" បែបនេះអាចជួយអ្នកសន្សំពេលវេលាច្រើនក្នុងការប្រឡង ឬការធ្វើតេស្ត ដូច្នេះត្រូវចាំថា:

កុំប្រញាប់ដើម្បីគុណលេខដោយប្រើកន្សោមរ៉ាឌីកាល់។ ជាដំបូង សូមពិនិត្យមើល៖ ចុះបើកម្រិតជាក់លាក់នៃកន្សោមណាមួយត្រូវបាន "អ៊ិនគ្រីប" នៅទីនោះ?

ទោះបីជាមានភាពច្បាស់លាស់នៃការកត់សម្គាល់នេះក៏ដោយ ខ្ញុំត្រូវតែទទួលស្គាល់ថា សិស្សដែលមិនបានត្រៀមខ្លួនភាគច្រើនមិនឃើញដឺក្រេពិតប្រាកដនៅចន្លោះចំនុចទទេនោះទេ។ ផ្ទុយទៅវិញ ពួកគេគុណនឹងអ្វីៗទាំងអស់ ហើយបន្ទាប់មកឆ្ងល់ថា ហេតុអ្វីបានជាពួកគេទទួលបានលេខដ៏ឃោរឃៅបែបនេះ?

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ទាំងអស់នេះគឺជាការនិយាយរបស់ទារកបើប្រៀបធៀបទៅនឹងអ្វីដែលយើងនឹងសិក្សាឥឡូវនេះ។

ការគុណឫសជាមួយនិទស្សន្តផ្សេងគ្នា

មិនអីទេ ឥឡូវនេះយើងអាចគុណឫសជាមួយនឹងសូចនាករដូចគ្នា។ ចុះបើសូចនាករខុសគ្នា? ឧបមាថារបៀបគុណ $\sqrt(2)$ ធម្មតាដោយក្លែងបន្លំមួយចំនួនដូចជា $\sqrt(23)$? តើវាអាចទៅរួចទេក្នុងការធ្វើបែបនេះ?

បាទពិតណាស់អ្នកអាចធ្វើបាន។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងត្រូវបានធ្វើដោយរូបមន្តនេះ:

ច្បាប់សម្រាប់ការគុណឫស។ ដើម្បីគុណ $\sqrt[n](a)$ ដោយ $\sqrt[p](b)$ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីអនុវត្តការបំប្លែងដូចខាងក្រោម៖

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយរូបមន្តនេះដំណើរការតែប្រសិនបើ កន្សោមរ៉ាឌីកាល់គឺមិនអវិជ្ជមាន. នេះ​ជា​ចំណុច​សំខាន់​ណាស់​ដែល​យើង​នឹង​ត្រឡប់​ទៅ​បន្តិច​ក្រោយ​ទៀត។

សម្រាប់ពេលនេះ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួន៖

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt((((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \\ cdot 8) = \\ sqrt (648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt (5625) ។ \\ \end(តម្រឹម)\]

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញគ្មានអ្វីស្មុគស្មាញទេ។ ឥឡូវនេះ ចូរយើងស្វែងយល់ថាតើតម្រូវការមិនអវិជ្ជមានមកពីណា ហើយតើនឹងមានអ្វីកើតឡើងប្រសិនបើយើងបំពានវា។

ការគុណឫសគឺងាយស្រួល

ហេតុអ្វីបានជាការបញ្ចេញមតិរ៉ាឌីកាល់ត្រូវតែមិនអវិជ្ជមាន?

ជាការពិតណាស់ អ្នកអាចដូចជាគ្រូបង្រៀននៅសាលា ហើយដកស្រង់សៀវភៅសិក្សាជាមួយនឹងរូបរាងដ៏ឆ្លាតវៃ៖

តម្រូវការនៃភាពមិនអវិជ្ជមានត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងនិយមន័យផ្សេងគ្នានៃឫសនៃដឺក្រេគូ និងសេស (យោងទៅតាមនិយមន័យដែននៃនិយមន័យរបស់ពួកគេក៏ខុសគ្នាដែរ)។

តើវាកាន់តែច្បាស់ហើយឬនៅ? ដោយផ្ទាល់នៅពេលដែលខ្ញុំបានអានរឿងមិនសមហេតុសមផលនេះនៅថ្នាក់ទី 8 ខ្ញុំបានយល់អ្វីមួយដូចតទៅ: "តម្រូវការនៃការមិនអវិជ្ជមានត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹង *#&^@(*#@^#)~%" - និយាយឱ្យខ្លី ខ្ញុំមិនបានធ្វើ មិនយល់រឿងអាក្រក់នៅពេលនោះ។

ដូច្នេះ​ឥឡូវ​នេះ ខ្ញុំ​នឹង​ពន្យល់​គ្រប់​យ៉ាង​តាម​វិធី​ធម្មតា។

ជាដំបូង ចូរយើងស្វែងយល់ថាតើរូបមន្តគុណខាងលើមកពីណា។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកអំពីទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់មួយនៃឫស៖

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

ម្យ៉ាងវិញទៀត យើងអាចលើកកន្សោមរ៉ាឌីកាល់ទៅថាមពលធម្មជាតិណាមួយបានយ៉ាងងាយស្រួល $k$ - ក្នុងករណីនេះ និទស្សន្តនៃឫសនឹងត្រូវគុណនឹងអំណាចដូចគ្នា។ ដូច្នេះ យើង​អាច​កាត់​បន្ថយ​ឬស​ណាមួយ​ទៅ​ជា​និទស្សន្ត​ទូទៅ​បាន​យ៉ាង​ងាយ​ស្រួល ហើយ​បន្ទាប់​មក​គុណ​នឹង​វា​។ នេះជាកន្លែងដែលរូបមន្តគុណចេញមកពី៖

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

ប៉ុន្តែមានបញ្ហាមួយដែលកំណត់យ៉ាងខ្លាំងនូវការប្រើប្រាស់រូបមន្តទាំងអស់នេះ។ ពិចារណាលេខនេះ៖

តាម​រូបមន្ត​ដែល​ទើប​នឹង​ផ្តល់​ឲ្យ​យើង​អាច​បន្ថែម​កម្រិត​ណា​មួយ​បាន។ តោះសាកល្បងបន្ថែម $k=2$៖

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5\right))^(2)))=\sqrt((((5)^(2)))\]

យើង​ដក​ដក​ចេញ​យ៉ាង​ជាក់លាក់​ព្រោះ​ការ៉េ​ដុត​ដក (ដូច​ដឺក្រេ​គូ​ផ្សេង​ទៀត)។ ឥឡូវនេះ ចូរយើងអនុវត្តការបំប្លែងបញ្ច្រាស៖ "កាត់បន្ថយ" ទាំងពីរនៅក្នុងនិទស្សន្ត និងថាមពល។ យ៉ាងណាមិញ សមភាពណាមួយអាចអានបានទាំងពីឆ្វេងទៅស្តាំ និងពីស្តាំទៅឆ្វេង៖

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt((((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt((((a)^(k)))=\sqrt[n ](ក); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2))) = \\ sqrt (5) ។ \\ \end(តម្រឹម)\]

ប៉ុន្តែបន្ទាប់មកវាប្រែជាក្រៀមក្រំមួយចំនួន៖

\\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

វាមិនអាចកើតឡើងបានទេព្រោះ $\sqrt(-5) \lt 0$, និង $\sqrt(5) \gt 0$ ។ នេះមានន័យថា សូម្បីតែអំណាច និងលេខអវិជ្ជមាន រូបមន្តរបស់យើងលែងដំណើរការទៀតហើយ។ បន្ទាប់ពីនោះយើងមានជម្រើសពីរ៖

1. ដើម្បីបុកជញ្ជាំង ហើយបញ្ជាក់ថា គណិតវិទ្យាគឺជាវិទ្យាសាស្ត្រដ៏ឆោតល្ងង់ ដែល "មានច្បាប់មួយចំនួន ប៉ុន្តែទាំងនេះមិនច្បាស់លាស់";
2. ណែនាំការរឹតបន្តឹងបន្ថែមដែលរូបមន្តនឹងដំណើរការ 100% ។

នៅក្នុងជម្រើសទី 1 យើងនឹងត្រូវចាប់ជានិច្ចនូវករណី "មិនដំណើរការ" - វាពិបាក ចំណាយពេលច្រើន និងជាទូទៅ។ ដូច្នេះគណិតវិទូចូលចិត្តជម្រើសទីពីរ :) ។

ប៉ុន្តែកុំបារម្ភ! នៅក្នុងការអនុវត្ត ការកំណត់នេះមិនប៉ះពាល់ដល់ការគណនាតាមមធ្យោបាយណាមួយឡើយ ពីព្រោះបញ្ហាទាំងអស់ដែលបានពិពណ៌នាគឺមានតែឫសគល់នៃកម្រិតសេសប៉ុណ្ណោះ ហើយការដកអាចត្រូវបានយកចេញពីពួកគេ។

ដូច្នេះ ចូរយើងបង្កើតច្បាប់មួយបន្ថែមទៀត ដែលជាទូទៅអនុវត្តចំពោះរាល់សកម្មភាពដែលមានឫសគល់៖

មុននឹងគុណឫស ត្រូវប្រាកដថាកន្សោមរ៉ាឌីកាល់មិនអវិជ្ជមាន។

ឧទាហរណ៍។ នៅក្នុងលេខ $\sqrt(-5)$ អ្នកអាចដកដកចេញពីក្រោមសញ្ញាឫស - បន្ទាប់មកអ្វីៗនឹងធម្មតា៖

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

តើអ្នកមានអារម្មណ៍ខុសគ្នាទេ? ប្រសិនបើអ្នកទុកដកមួយនៅក្រោមឫស នោះនៅពេលដែលកន្សោមរ៉ាឌីកាល់មានរាងការ៉េ វានឹងរលាយបាត់ ហើយស្នាមប្រេះនឹងចាប់ផ្តើម។ ហើយប្រសិនបើអ្នកដកដកដំបូងចេញ នោះអ្នកអាចការ៉េ / ដកចេញរហូតទាល់តែអ្នកមានពណ៌ខៀវនៅលើមុខ - លេខនឹងនៅតែអវិជ្ជមាន :) ។

ដូច្នេះ វិធីត្រឹមត្រូវ និងគួរឱ្យទុកចិត្តបំផុតក្នុងការគុណឫសមានដូចខាងក្រោម៖

1. យកអវិជ្ជមានទាំងអស់ចេញពីរ៉ាឌីកាល់។ Minuses មាននៅក្នុងឫសនៃពហុគុណសេសប៉ុណ្ណោះ - ពួកគេអាចត្រូវបានដាក់នៅពីមុខឫសហើយប្រសិនបើចាំបាច់កាត់បន្ថយ (ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើមាន minuses ទាំងពីរនេះ) ។
2. អនុវត្តគុណតាមវិធានដែលបានពិភាក្សាខាងលើក្នុងមេរៀនថ្ងៃនេះ។ ប្រសិនបើសូចនាករនៃឫសគឺដូចគ្នា យើងគ្រាន់តែគុណនឹងកន្សោមរ៉ាឌីកាល់។ ហើយប្រសិនបើពួកវាខុសគ្នា យើងប្រើរូបមន្តអាក្រក់ \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n)))\]។
3. 3. រីករាយជាមួយលទ្ធផលនិងពិន្ទុល្អ។ :)

អញ្ចឹង? តើយើងត្រូវអនុវត្តទេ?

ឧទាហរណ៍ទី 1៖ សម្រួលការបញ្ចេញមតិ៖

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) ) )) ស្តាំ)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \\ sqrt(64)=-4; \end(តម្រឹម)\]

នេះគឺជាជម្រើសដ៏សាមញ្ញបំផុត: ឫសគឺដូចគ្នានិងសេស បញ្ហាតែមួយគត់គឺថាកត្តាទីពីរគឺអវិជ្ជមាន។ យើងដកដកនេះចេញពីរូបភាព បន្ទាប់ពីនោះអ្វីៗទាំងអស់ត្រូវបានគណនាយ៉ាងងាយស្រួល។

ឧទាហរណ៍ទី 2៖ សម្រួលការបញ្ចេញមតិ៖

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \\right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)))\right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt((((2)^(23))) \\ \end( តម្រឹម)\]

នៅទីនេះ មនុស្សជាច្រើននឹងយល់ច្រលំដោយការពិតដែលថាលទ្ធផលបានប្រែទៅជាចំនួនមិនសមហេតុផល។ បាទ វាកើតឡើង៖ យើងមិនអាចកម្ចាត់ឫសគល់ទាំងស្រុងបានទេ ប៉ុន្តែយ៉ាងហោចណាស់ យើងបានសម្រួលការបញ្ចេញមតិយ៉ាងសំខាន់។

ឧទាហរណ៍ទី 3៖ សម្រួលការបញ្ចេញមតិ៖

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left(((( a)^(4)) \right))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt((((a)^(3))) \end(align)\]

ខ្ញុំចង់ទាក់ទាញការយកចិត្តទុកដាក់របស់អ្នកចំពោះកិច្ចការនេះ។ មានពីរចំណុចនៅទីនេះ៖

1. ឫសមិនមែនជាចំនួនជាក់លាក់ ឬថាមពលទេ ប៉ុន្តែអថេរ $a$ ។ នៅ glance ដំបូង, នេះគឺមិនធម្មតាបន្តិច, ប៉ុន្តែនៅក្នុងការពិត, នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាគណិតវិទ្យា, ជាញឹកញាប់បំផុតអ្នកត្រូវដោះស្រាយជាមួយអថេរ។
2. នៅទីបញ្ចប់ យើងបានគ្រប់គ្រងដើម្បី "កាត់បន្ថយ" សូចនាកររ៉ាឌីកាល់ និងកម្រិតនៃការបញ្ចេញមតិរ៉ាឌីកាល់។ រឿងនេះកើតឡើងជាញឹកញាប់។ ហើយនេះមានន័យថា វាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីធ្វើឱ្យការគណនាសាមញ្ញយ៉ាងសំខាន់ ប្រសិនបើអ្នកមិនប្រើរូបមន្តមូលដ្ឋាន។

ឧទាហរណ៍ អ្នកអាចធ្វើដូចនេះបាន៖

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a))^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8)))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((((a)^(3)))) \\ \\ បញ្ចប់ (តម្រឹម) \\]

ជាការពិត ការផ្លាស់ប្តូរទាំងអស់ត្រូវបានអនុវត្តតែជាមួយរ៉ាឌីកាល់ទីពីរប៉ុណ្ណោះ។ ហើយប្រសិនបើអ្នកមិនពិពណ៌នាលម្អិតអំពីជំហានមធ្យមទាំងអស់នោះនៅទីបញ្ចប់បរិមាណនៃការគណនានឹងត្រូវបានកាត់បន្ថយយ៉ាងខ្លាំង។

តាមពិត យើងបានជួបប្រទះកិច្ចការស្រដៀងគ្នាខាងលើរួចហើយ នៅពេលយើងដោះស្រាយឧទាហរណ៍ $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$ ។ ឥឡូវនេះវាអាចត្រូវបានសរសេរយ៉ាងសាមញ្ញជាងនេះ:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot (((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3\right))^(2)))= \\ &=\sqrt(((\left(75\right))^(2))) =\sqrt(75) ។ \end(តម្រឹម)\]

ជាការប្រសើរណាស់, យើងបានតម្រៀបចេញគុណនៃឫស។ ឥឡូវនេះសូមពិចារណាប្រតិបត្តិការបញ្ច្រាស: អ្វីដែលត្រូវធ្វើនៅពេលមានផលិតផលនៅក្រោមឫស?

នៅក្នុងផ្នែកនេះ យើងនឹងពិចារណា នព្វន្ធ ឫសការ៉េ។

ក្នុងករណីនៃកន្សោមរ៉ាឌីកាល់តាមព្យញ្ជនៈ យើងនឹងសន្មត់ថាអក្សរដែលមាននៅក្រោមសញ្ញាឫសតំណាងឱ្យលេខដែលមិនអវិជ្ជមាន។

1. ឫសគល់នៃការងារ។

ចូរយើងពិចារណាឧទាហរណ៍នេះ។

ម្យ៉ាងវិញទៀត ចំណាំថាលេខ 2601 គឺជាផលនៃកត្តាពីរ ដែលឫសអាចស្រង់ចេញបានយ៉ាងងាយស្រួល៖

ចូរយកឫសការ៉េនៃកត្តានីមួយៗ ហើយគុណឫសទាំងនេះ៖

យើងទទួលបានលទ្ធផលដូចគ្នានៅពេលយើងស្រង់ឫសចេញពីផលិតផលនៅក្រោមឫស ហើយនៅពេលដែលយើងស្រង់ឫសចេញពីកត្តានីមួយៗដោយឡែកពីគ្នា និងគុណលទ្ធផល។

ក្នុង​ករណី​ជា​ច្រើន វិធីសាស្ត្រ​ទីពីរ​គឺ​ងាយ​ស្រួល​ក្នុង​ការ​ស្វែង​រក​លទ្ធផល ដោយ​សារ​តែ​អ្នក​ត្រូវ​យក​ឬស​នៃ​លេខ​តូច​ជាង។

ទ្រឹស្តីបទ 1. ដើម្បីស្រង់ឫសការ៉េនៃផលិតផល អ្នកអាចស្រង់វាចេញពីកត្តានីមួយៗដោយឡែកពីគ្នា ហើយគុណលទ្ធផល។

ចូរបង្ហាញទ្រឹស្តីបទសម្រាប់កត្តាបី ពោលគឺយើងនឹងបញ្ជាក់អំពីសមភាព៖

យើងនឹងអនុវត្តភស្តុតាងដោយការផ្ទៀងផ្ទាត់ដោយផ្ទាល់ ដោយផ្អែកលើនិយមន័យនៃឬសនព្វន្ធ។ ចូរនិយាយថាយើងត្រូវបញ្ជាក់សមភាព៖

(A និង B គឺជាលេខមិនអវិជ្ជមាន)។ តាមនិយមន័យនៃឫសការ៉េ មានន័យថា

ដូច្នេះ វាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការកាត់ជ្រុងខាងស្តាំនៃសមភាពដែលកំពុងត្រូវបានបញ្ជាក់ ហើយត្រូវប្រាកដថា កន្សោមរ៉ាឌីកាល់នៃផ្នែកខាងឆ្វេងត្រូវបានទទួល។

ចូរយើងអនុវត្តហេតុផលនេះទៅនឹងភស្តុតាងនៃសមភាព (1) ។ ចូរយើងធ្វើការ៉េទៅខាងស្តាំ; ប៉ុន្តែនៅផ្នែកខាងស្តាំគឺជាផលិតផល ហើយដើម្បីការ៉េផលិតផលវាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការការ៉េកត្តានីមួយៗ និងគុណលទ្ធផល (សូមមើល § 40);

លទ្ធផលគឺជាកន្សោមរ៉ាឌីកាល់នៅផ្នែកខាងឆ្វេង។ នេះមានន័យថាសមភាព (១) គឺពិត។

យើងបានបង្ហាញទ្រឹស្តីបទសម្រាប់កត្តាបី។ ប៉ុន្តែ​ការ​វែកញែក​នឹង​នៅ​ដដែល​ប្រសិន​បើ​មាន​កត្តា​៤។ល។ ទ្រឹស្តីបទគឺពិតសម្រាប់កត្តាមួយចំនួន។

លទ្ធផលគឺងាយស្រួលរកដោយផ្ទាល់មាត់។

2. ឫសនៃប្រភាគ។

ចូរយើងគណនា

ការប្រឡង។

នៅ​ម្ខាងទៀត,

ចូរយើងបង្ហាញទ្រឹស្តីបទ។

ទ្រឹស្តីបទ 2. ដើម្បីស្រង់ឫសនៃប្រភាគ អ្នកអាចស្រង់ឫសដាច់ដោយឡែកពីភាគយក និងភាគបែង ហើយចែកលទ្ធផលទីមួយដោយទីពីរ។

វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីបញ្ជាក់សុពលភាពនៃសមភាព៖

ដើម្បីបញ្ជាក់រឿងនេះ យើងនឹងប្រើវិធីសាស្រ្តដែលទ្រឹស្តីបទមុនត្រូវបានបញ្ជាក់។

ចូរយើងកាត់ជ្រុងខាងស្តាំ។ នឹង​មាន:

យើងទទួលបានកន្សោមរ៉ាឌីកាល់នៅផ្នែកខាងឆ្វេង។ នេះមានន័យថា សមភាព (២) គឺពិត។

ដូច្នេះ យើង​បាន​បង្ហាញ​អត្តសញ្ញាណ​ដូច​ខាង​ក្រោម៖

និងបានបង្កើតច្បាប់ដែលត្រូវគ្នាសម្រាប់ការស្រង់ចេញឫសការ៉េនៃផលិតផល និងកូតា។ ពេលខ្លះនៅពេលធ្វើការផ្លាស់ប្តូរ អ្នកត្រូវតែអនុវត្តអត្តសញ្ញាណទាំងនេះ ដោយអានពួកវាពីស្តាំទៅឆ្វេង។

ការរៀបចំផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំឡើងវិញ យើងសរសេរឡើងវិញនូវអត្តសញ្ញាណដែលបានបញ្ជាក់ដូចខាងក្រោម៖

ដើម្បីគុណឫស អ្នកអាចគុណកន្សោមរ៉ាឌីកាល់ និងស្រង់ឫសចេញពីផលិតផល។

ដើម្បីបំបែកឫស អ្នកអាចបំបែកកន្សោមរ៉ាឌីកាល់ និងស្រង់ឫសចេញពីកូតា។

3. ឫសគល់នៃសញ្ញាបត្រ។

ចូរយើងគណនា

វាដល់ពេលដែលត្រូវតម្រៀបវាចេញហើយ។ វិធីសាស្រ្តទាញយកឫស. ពួកវាត្រូវបានផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃឫស ជាពិសេសលើសមភាព ដែលជាការពិតសម្រាប់លេខដែលមិនអវិជ្ជមាន ខ។

ខាងក្រោម​នេះ​យើង​នឹង​មើល​វិធីសាស្ត្រ​សំខាន់ៗ​ក្នុងការ​ស្រង់​ឫស​ម្តង​មួយៗ​។

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយករណីសាមញ្ញបំផុត - ស្រង់ឫសពីលេខធម្មជាតិដោយប្រើតារាងការ៉េ តារាងគូប ។ល។

ប្រសិនបើតារាងនៃការ៉េ, គូប។ល។ ប្រសិនបើអ្នកមិនមានវានៅនឹងដៃទេ វាជាការសមហេតុផលក្នុងការប្រើវិធីដកឫស ដែលពាក់ព័ន្ធនឹងការបំបែកលេខរ៉ាឌីកាល់ទៅជាកត្តាចម្បង។

វាមានតម្លៃពិសេសក្នុងការនិយាយអំពីអ្វីដែលអាចធ្វើទៅបានសម្រាប់ឫសដែលមាននិទស្សន្តសេស។

ជាចុងក្រោយ ចូរយើងពិចារណាវិធីសាស្រ្តមួយដែលអនុញ្ញាតឱ្យយើងស្វែងរកលេខរៀងនៃតម្លៃឫស។

តោះ​ចាប់ផ្តើម។

ការប្រើប្រាស់តារាងការ៉េ តារាងគូប ។ល។

ក្នុងករណីសាមញ្ញបំផុតតារាងនៃការ៉េគូបជាដើមអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកទាញយកឫស។ តើតារាងទាំងនេះជាអ្វី?

តារាងការេនៃចំនួនគត់ពី 0 ដល់ 99 រួមបញ្ចូល (បង្ហាញខាងក្រោម) មានតំបន់ពីរ។ តំបន់ទីមួយនៃតារាងមានទីតាំងនៅលើផ្ទៃខាងក្រោយពណ៌ប្រផេះ ដោយជ្រើសរើសជួរជាក់លាក់មួយ និងជួរឈរជាក់លាក់ វាអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកសរសេរលេខពី 0 ដល់ 99 ។ ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងជ្រើសរើសជួរ 8 ដប់ និងជួរឈរមួយ 3 ឯកតា ដោយនេះយើងបានជួសជុលលេខ 83 ។ តំបន់ទីពីរកាន់កាប់តារាងដែលនៅសល់។ ក្រឡានីមួយៗមានទីតាំងនៅចំនុចប្រសព្វនៃជួរដេកជាក់លាក់មួយ និងជួរឈរជាក់លាក់មួយ ហើយមានការ៉េនៃលេខដែលត្រូវគ្នាពី 0 ដល់ 99។ នៅចំណុចប្រសព្វនៃជួរទី 8 ដប់ និងជួរទី 3 របស់យើងមានក្រឡាមួយដែលមានលេខ 6,889 ដែលជាការ៉េនៃលេខ 83 ។

តារាងគូប តារាងនៃអំណាចទីបួននៃលេខពី 0 ដល់ 99 ហើយដូច្នេះនៅលើគឺស្រដៀងទៅនឹងតារាងនៃការ៉េដែរ មានតែពួកវាប៉ុណ្ណោះដែលមានគូប អំណាចទីបួន។ល។ នៅក្នុងតំបន់ទីពីរ។ លេខដែលត្រូវគ្នា។

តារាងនៃការ៉េ, គូប, អំណាចទីបួន។ល។ អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកទាញយកឫសការ៉េ ឫសគូប ឫសទីបួន ជាដើម។ យោងទៅតាមលេខនៅក្នុងតារាងទាំងនេះ។ ចូរយើងពន្យល់ពីគោលការណ៍នៃការប្រើប្រាស់របស់ពួកគេនៅពេលស្រង់ឫស។

ឧបមាថាយើងត្រូវស្រង់ឫស n នៃលេខ a ខណៈពេលដែលលេខ a មាននៅក្នុងតារាងនៃអំណាច n ។ ដោយប្រើតារាងនេះយើងរកឃើញលេខ b នោះ a=b n ។ បន្ទាប់មក ដូច្នេះ លេខ b នឹង​ជា​ឫស​ដែល​ចង់​បាន​នៃ​សញ្ញាប័ត្រ n ។

ជាឧទាហរណ៍ សូមបង្ហាញពីរបៀបប្រើតារាងគូប ដើម្បីទាញយកឫសគូបនៃ 19,683 ។ យើងរកឃើញលេខ 19.683 នៅក្នុងតារាងគូបពីវាយើងឃើញថាលេខនេះគឺជាគូបនៃលេខ 27 ដូច្នេះ។ .

វាច្បាស់ណាស់ថាតារាងនៃអំណាចទី 3 មានភាពងាយស្រួលសម្រាប់ការទាញយកឫស។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ពួកវាច្រើនតែមិននៅនឹងដៃទេ ហើយការចងក្រងវាទាមទារពេលវេលាខ្លះ។ ជាងនេះទៅទៀត ជាញឹកញាប់ចាំបាច់ត្រូវស្រង់ឫសពីលេខដែលមិនមាននៅក្នុងតារាងដែលត្រូវគ្នា។ នៅក្នុងករណីទាំងនេះ អ្នកត្រូវតែងាកទៅរកវិធីសាស្រ្តផ្សេងទៀតនៃការទាញយកឫស។

ការចាត់ថ្នាក់លេខរ៉ាឌីកាល់ទៅជាកត្តាចម្បង

មធ្យោបាយងាយស្រួលដោយស្មើភាពក្នុងការទាញយកឫសនៃចំនួនធម្មជាតិ (ប្រសិនបើជាការពិតណាស់ឫសត្រូវបានស្រង់ចេញ) គឺដើម្បីបំបែកលេខរ៉ាឌីកាល់ទៅជាកត្តាសំខាន់។ របស់គាត់។ ចំណុចគឺនេះ។៖ បន្ទាប់​មក​វា​ងាយ​ស្រួល​ក្នុង​ការ​តំណាង​ឱ្យ​វា​ជា​ថាមពល​ជាមួយ​និទស្សន្ត​ដែល​ចង់​បាន ដែល​អនុញ្ញាត​ឱ្យ​អ្នក​ទទួល​បាន​តម្លៃ​នៃ​ឫស។ ចូរយើងបញ្ជាក់ចំណុចនេះ។

ចូរយកឫសទី n នៃចំនួនធម្មជាតិ a ហើយតម្លៃរបស់វាស្មើ b ។ ក្នុងករណីនេះសមភាព a = b n គឺពិត។ លេខ b ដូចជាលេខធម្មជាតិណាមួយ អាចត្រូវបានតំណាងថាជាផលិតផលនៃកត្តាចម្បងរបស់វា p 1 , p 2 , …, p m ក្នុងទម្រង់ p 1 ·p 2 ·...·p m និងលេខរ៉ាឌីកាល់ a ក្នុងករណីនេះ ត្រូវបានតំណាងជា (p 1 ·p 2 · ... ·p m) n ។ ចាប់តាំងពីការបំបែកលេខទៅជាកត្តាចម្បងគឺមានតែមួយគត់ ការបំបែកនៃចំនួនរ៉ាឌីកាល់ a ទៅជាកត្តាបឋមនឹងមានទម្រង់ (p 1 ·p 2 ·…·p m) n ដែលធ្វើឱ្យវាអាចគណនាតម្លៃនៃឫស។ ជា

ចំណាំថាប្រសិនបើការបំបែកទៅជាកត្តាចម្បងនៃចំនួនរ៉ាឌីកាល់ a មិនអាចតំណាងក្នុងទម្រង់ (ទំ 1 ·p 2 ·...·p m) n នោះឫសទី n នៃលេខ a មិនត្រូវបានស្រង់ចេញទាំងស្រុងនោះទេ។

ចូរយើងគិតរឿងនេះនៅពេលដោះស្រាយឧទាហរណ៍។

ឧទាហរណ៍។

យកឫសការ៉េនៃ 144 ។

ដំណោះស្រាយ។

ប្រសិនបើអ្នកក្រឡេកមើលតារាងការេដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងកថាខណ្ឌមុន អ្នកអាចមើលឃើញយ៉ាងច្បាស់ថា 144 = 12 2 ដែលវាច្បាស់ថាឫសការេនៃ 144 គឺស្មើនឹង 12 ។

ប៉ុន្តែនៅក្នុងពន្លឺនៃចំណុចនេះយើងចាប់អារម្មណ៍អំពីរបៀបដែលឫសត្រូវបានស្រង់ចេញដោយ decomposing លេខរ៉ាឌីកាល់ 144 ទៅជាកត្តាសំខាន់។ សូមក្រឡេកមើលដំណោះស្រាយនេះ។

ចូរយើងរំលាយ ១៤៤ ដល់កត្តាសំខាន់ៗ៖

នោះគឺ 144=2·2·2·2·3·3។ ដោយផ្អែកលើលទ្ធផល decomposition ការផ្លាស់ប្តូរដូចខាងក្រោមអាចត្រូវបានអនុវត្ត: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2=(2·2·3) 2=12 2. អាស្រ័យហេតុនេះ .

ដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសញ្ញាបត្រ និងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ឫស ដំណោះស្រាយអាចត្រូវបានបង្កើតខុសគ្នាបន្តិចបន្តួច៖ .

ចម្លើយ៖

ដើម្បីបង្រួបបង្រួមសម្ភារៈ សូមពិចារណាដំណោះស្រាយចំពោះឧទាហរណ៍ពីរទៀត។

ឧទាហរណ៍។

គណនាតម្លៃនៃឫស។

ដំណោះស្រាយ។

កត្តាចម្បងនៃលេខរ៉ាឌីកាល់ 243 មានទម្រង់ 243 = 3 5 ។ ដូច្នេះ .

ចម្លើយ៖

ឧទាហរណ៍។

តើតម្លៃឫសជាចំនួនគត់ឬ?

ដំណោះស្រាយ។

ដើម្បីឆ្លើយសំណួរនេះ ចូរយើងយកលេខរ៉ាឌីកាល់ទៅជាកត្តាចម្បង ហើយមើលថាតើវាអាចតំណាងឱ្យគូបនៃចំនួនគត់ដែរឬទេ។

យើងមាន 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2 . ការពង្រីកលទ្ធផលមិនអាចត្រូវបានតំណាងជាគូបនៃចំនួនគត់ទេ ដោយសារថាមពលនៃកត្តាបឋម 7 មិនមែនជាពហុគុណនៃបី។ ដូច្នេះឫសគូបនៃ 285,768 មិនអាចស្រង់ចេញទាំងស្រុងបានទេ។

ចម្លើយ៖

ទេ

ស្រង់ឫសពីលេខប្រភាគ

វាដល់ពេលហើយដើម្បីរកវិធីស្រង់ឫសនៃចំនួនប្រភាគ។ អនុញ្ញាតឱ្យលេខរ៉ាឌីកាល់ប្រភាគត្រូវបានសរសេរជា p/q ។ យោងតាមទ្រព្យសម្បត្តិនៃឫសនៃកូតា ភាពស្មើគ្នាខាងក្រោមគឺពិត។ ពីសមភាពនេះវាធ្វើតាម ច្បាប់សម្រាប់ការទាញយកឫសនៃប្រភាគ៖ ឫស​នៃ​ប្រភាគ​គឺ​ស្មើ​នឹង​កូតា​នៃ​ឫស​នៃ​ភាគ​យក​ចែក​ដោយ​ឫស​នៃ​ភាគបែង។

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍នៃការស្រង់ឫសចេញពីប្រភាគ។

ឧទាហរណ៍។

តើអ្វីជាឫសការេនៃប្រភាគទូទៅ 25/169?

ដំណោះស្រាយ។

ដោយប្រើតារាងការេ យើងឃើញថាឫសការេនៃភាគយកនៃប្រភាគដើមគឺស្មើនឹង 5 ហើយឫសការេនៃភាគបែងស្មើនឹង 13 ។ បន្ទាប់មក . វាបញ្ចប់ការទាញយកឫសនៃប្រភាគទូទៅ 25/169 ។

ចម្លើយ៖

ឫសនៃប្រភាគទសភាគ ឬចំនួនចម្រុះត្រូវបានស្រង់ចេញបន្ទាប់ពីជំនួសលេខរ៉ាឌីកាល់ដោយប្រភាគធម្មតា។

ឧទាហរណ៍។

យកឫសគូបនៃប្រភាគទសភាគ 474.552 ។

ដំណោះស្រាយ។

ចូរស្រមៃមើលប្រភាគទសភាគដើមជាប្រភាគធម្មតា៖ 474.552=474552/1000។ បន្ទាប់មក . វានៅសល់ដើម្បីស្រង់ឫសគូបដែលមាននៅក្នុងភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគលទ្ធផល។ ដោយសារតែ 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 = 78 3 និង 1 000 = 10 3 បន្ទាប់មក និង . អ្វីដែលនៅសល់គឺត្រូវបញ្ចប់ការគណនា .

ចម្លើយ៖

.

យកឫសនៃលេខអវិជ្ជមាន

វាពិតជាមានប្រយោជន៍ក្នុងការរស់នៅលើការស្រង់ឫសពីលេខអវិជ្ជមាន។ នៅពេលសិក្សាឫស យើងបាននិយាយថានៅពេលដែលនិទស្សន្តឫសគឺជាលេខសេស នោះវាអាចមានលេខអវិជ្ជមាននៅក្រោមសញ្ញាឫស។ យើងបានផ្តល់ធាតុទាំងនេះនូវអត្ថន័យដូចខាងក្រោម៖ សម្រាប់លេខអវិជ្ជមាន −a និងនិទស្សន្តសេសនៃឫស 2 n−1, . សមភាពនេះផ្តល់ឱ្យ ច្បាប់សម្រាប់ការទាញយកឫសសេសពីលេខអវិជ្ជមាន៖ ដើម្បីស្រង់ឫសនៃលេខអវិជ្ជមាន អ្នកត្រូវយកឫសនៃលេខវិជ្ជមានផ្ទុយ ហើយដាក់សញ្ញាដកនៅពីមុខលទ្ធផល។

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍ដំណោះស្រាយ។

ឧទាហរណ៍។

ស្វែងរកតម្លៃនៃឫស។

ដំណោះស្រាយ។

ចូរបំប្លែងកន្សោមដើមដើម្បីឱ្យមានលេខវិជ្ជមាននៅក្រោមសញ្ញាឫស៖ . ឥឡូវជំនួសលេខចម្រុះដោយប្រភាគធម្មតា៖ . យើងអនុវត្តច្បាប់សម្រាប់ការស្រង់ឫសនៃប្រភាគធម្មតា៖ . វានៅសល់ដើម្បីគណនាឫសក្នុងភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគលទ្ធផល៖ .

នេះគឺជាសេចក្តីសង្ខេបខ្លីៗនៃដំណោះស្រាយ៖ .

ចម្លើយ៖

.

ការ​កំណត់​បន្តិច​បន្តួច​នៃ​តម្លៃ root

ក្នុងករណីទូទៅ នៅក្រោមឫសមានលេខដែលដោយប្រើបច្ចេកទេសដែលបានពិភាក្សាខាងលើ មិនអាចតំណាងថាជាអំណាចទី 0 នៃលេខណាមួយឡើយ។ ប៉ុន្តែក្នុងករណីនេះចាំបាច់ត្រូវដឹងពីអត្ថន័យនៃឫសដែលបានផ្តល់ឱ្យយ៉ាងហោចណាស់រហូតដល់សញ្ញាជាក់លាក់មួយ។ ក្នុងករណីនេះដើម្បីស្រង់ឫសអ្នកអាចប្រើក្បួនដោះស្រាយដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកទទួលបានជាបន្តបន្ទាប់នូវតម្លៃខ្ទង់គ្រប់គ្រាន់នៃលេខដែលចង់បាន។

ជំហានដំបូងនៃក្បួនដោះស្រាយនេះគឺដើម្បីរកមើលថាតើប៊ីតដ៏សំខាន់បំផុតនៃតម្លៃឫសគឺជាអ្វី។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះបាន លេខ 0, 10, 100, ... ត្រូវបានលើកឡើងជាបន្តបន្ទាប់ទៅថាមពល n រហូតដល់ពេលដែលលេខលើសពីចំនួនរ៉ាឌីកាល់ត្រូវបានទទួល។ បន្ទាប់មកលេខដែលយើងបានលើកឡើងទៅថាមពល n នៅដំណាក់កាលមុននឹងបង្ហាញពីខ្ទង់ដ៏សំខាន់បំផុតដែលត្រូវគ្នា។

ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាជំហាននៃក្បួនដោះស្រាយនេះ នៅពេលទាញយកឫសការ៉េនៃប្រាំ។ យកលេខ 0, 10, 100, ... ហើយដាក់ការ៉េរហូតដល់យើងទទួលបានលេខធំជាង 5 ។ យើងមាន 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5 ដែលមានន័យថាខ្ទង់ដ៏សំខាន់បំផុតនឹងជាខ្ទង់។ តម្លៃនៃប៊ីតនេះ ក៏ដូចជាតម្លៃទាបនឹងត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងជំហានបន្ទាប់នៃក្បួនដោះស្រាយការទាញយកឫស។

រាល់ជំហានបន្តបន្ទាប់នៃក្បួនដោះស្រាយគឺសំដៅលើការបញ្ជាក់ពីតម្លៃរបស់ root ដោយស្វែងរកតម្លៃនៃប៊ីតបន្ទាប់នៃតម្លៃដែលចង់បានរបស់ root ដោយចាប់ផ្តើមពីតម្លៃខ្ពស់បំផុត និងផ្លាស់ទីទៅតម្លៃទាបបំផុត។ ឧទាហរណ៍ តម្លៃនៃឫសនៅជំហានដំបូងប្រែទៅជា 2 នៅទីពីរ - 2.2 នៅទីបី - 2.23 ហើយដូច្នេះនៅលើ 2.236067977 ... ។ ចូរយើងពិពណ៌នាអំពីរបៀបដែលតម្លៃនៃខ្ទង់ត្រូវបានរកឃើញ។

តួលេខត្រូវបានរកឃើញដោយការស្វែងរកតាមតម្លៃដែលអាចធ្វើបានរបស់ពួកគេ 0, 1, 2, ..., 9 ។ ក្នុងករណីនេះ អំណាចទី 9 នៃលេខដែលត្រូវគ្នាត្រូវបានគណនាស្របគ្នា ហើយពួកគេត្រូវបានប្រៀបធៀបជាមួយនឹងលេខរ៉ាឌីកាល់។ ប្រសិនបើនៅដំណាក់កាលខ្លះតម្លៃនៃដឺក្រេលើសពីចំនួនរ៉ាឌីកាល់នោះ តម្លៃនៃខ្ទង់ដែលត្រូវគ្នានឹងតម្លៃមុនត្រូវបានគេចាត់ទុកថាបានរកឃើញ ហើយការផ្លាស់ប្តូរទៅជំហានបន្ទាប់នៃក្បួនដោះស្រាយការទាញយកឫសត្រូវបានធ្វើឡើង ប្រសិនបើវាមិនកើតឡើង។ បន្ទាប់មកតម្លៃនៃខ្ទង់នេះគឺ 9 ។

ចូរយើងពន្យល់ចំណុចទាំងនេះដោយប្រើឧទាហរណ៍ដូចគ្នានៃការដកស្រង់ឫសការ៉េនៃប្រាំ។

ដំបូងយើងស្វែងរកតម្លៃនៃខ្ទង់ឯកតា។ យើងនឹងឆ្លងកាត់តម្លៃ 0, 1, 2, ..., 9 ដោយគណនា 0 2, 1 2, ..., 9 2 រៀងគ្នា រហូតដល់យើងទទួលបានតម្លៃធំជាងលេខរ៉ាឌីកាល់ 5 ។ វាងាយស្រួលក្នុងការបង្ហាញការគណនាទាំងអស់នេះក្នុងទម្រង់ជាតារាង៖

ដូច្នេះតម្លៃនៃលេខខ្ទង់គឺ 2 (ចាប់តាំងពី 2 2<5 , а 2 3 >៥). ចូរបន្តស្វែងរកតម្លៃនៃខ្ទង់ដប់។ ក្នុង​ករណី​នេះ យើង​នឹង​ធ្វើ​ការ​ការ៉េ​នៃ​លេខ 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 ដោយ​ប្រៀបធៀប​តម្លៃ​លទ្ធផល​ជាមួយ​លេខ​រ៉ាឌីកាល់ 5៖

ចាប់តាំងពី 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5 បន្ទាប់មកតម្លៃនៃខ្ទង់ដប់គឺ 2 ។ អ្នកអាចបន្តស្វែងរកតម្លៃនៃកន្លែងរាប់រយ៖

នេះជារបៀបដែលតម្លៃបន្ទាប់នៃឫសនៃប្រាំត្រូវបានរកឃើញ វាស្មើនឹង 2.23។ ដូច្នេះហើយ អ្នកអាចបន្តស្វែងរកតម្លៃ៖ 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

ដើម្បីបង្រួបបង្រួមសម្ភារៈ យើងនឹងវិភាគការទាញយកឫសជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវនៃខ្ទង់រយដោយប្រើក្បួនដោះស្រាយដែលបានពិចារណា។

ដំបូងយើងកំណត់លេខសំខាន់បំផុត។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងកាត់លេខ 0, 10, 100 ។ល។ រហូតដល់យើងទទួលបានលេខធំជាង 2,151,186។ យើងមាន 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 ដូច្នេះខ្ទង់ដែលសំខាន់បំផុតគឺខ្ទង់ដប់។

ចូរកំណត់តម្លៃរបស់វា។

ចាប់តាំងពី 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186 បន្ទាប់មកតម្លៃនៃខ្ទង់ដប់គឺ 1 ។ ចូរបន្តទៅឯកតា។

ដូច្នេះតម្លៃនៃខ្ទង់គឺ 2 ។ ចូរបន្តទៅភាគដប់។

ដោយសារសូម្បីតែ 12.9 3 គឺតិចជាងចំនួនរ៉ាឌីកាល់ 2 151.186 បន្ទាប់មកតម្លៃនៃខ្ទង់ដប់គឺ 9 ។ វានៅសល់ដើម្បីអនុវត្តជំហានចុងក្រោយនៃ algorithm វានឹងផ្តល់ឱ្យយើងនូវតម្លៃនៃ root ជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវដែលត្រូវការ។

នៅដំណាក់កាលនេះតម្លៃរបស់ root ត្រូវបានរកឃើញត្រឹមត្រូវដល់រាប់រយ៖ .

នៅក្នុងសេចក្តីសន្និដ្ឋាននៃអត្ថបទនេះខ្ញុំចង់និយាយថាមានវិធីជាច្រើនទៀតដើម្បីស្រង់ឫស។ ប៉ុន្តែសម្រាប់កិច្ចការភាគច្រើន កិច្ចការដែលយើងបានសិក្សាខាងលើគឺគ្រប់គ្រាន់ហើយ។

គន្ថនិទ្ទេស។

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. ពិជគណិតៈ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់ថ្នាក់ទី៨។ ស្ថាប័នអប់រំ។
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. និងផ្សេងៗទៀត។
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. គណិតវិទ្យា (សៀវភៅណែនាំសម្រាប់អ្នកចូលសាលាបច្ចេកទេស)។