VIII ថ្នាក់៖ ប្រធានបទ 3. តំបន់នៃតួលេខ។ ទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គ័រ។

1. គំនិតនៃតំបន់។ តួលេខស្មើគ្នា។

ប្រសិនបើប្រវែងគឺជាលក្ខណៈលេខនៃបន្ទាត់ នោះតំបន់គឺជាលក្ខណៈលេខនៃតួលេខបិទជិត។ ទោះបីជាការពិតដែលយើងស្គាល់យ៉ាងច្បាស់ជាមួយនឹងគំនិតនៃតំបន់ពីជីវិតប្រចាំថ្ងៃក៏ដោយ វាមិនងាយស្រួលទេក្នុងការផ្តល់និយមន័យដ៏តឹងរឹងនៃគោលគំនិតនេះ។ វាប្រែថាតំបន់នៃតួលេខបិទជិតអាចត្រូវបានគេហៅថាបរិមាណមិនអវិជ្ជមានណាមួយដែលមានដូចខាងក្រោម។ លក្ខណៈសម្បត្តិសម្រាប់វាស់តំបន់នៃតួលេខ៖

តួលេខស្មើគ្នាមានតំបន់ស្មើគ្នា។ ប្រសិនបើតួលេខបិទជិតនេះត្រូវបានបែងចែកទៅជាតួរលេខបិទជាច្រើននោះ ផ្ទៃនៃតួរលេខគឺស្មើនឹងផលបូកនៃផ្ទៃនៃតួលេខធាតុផ្សំរបស់វា (រូបភាពក្នុងរូបភាពទី 1 ត្រូវបានបែងចែកទៅជា នតួលេខ; នៅក្នុងករណីនេះ, តំបន់នៃតួលេខ, ដែលជាកន្លែងដែល ស៊ី- ការ៉េ ខ្ញុំរូបទី) ។

ជាគោលការណ៍ គេអាចបង្កើតនូវសំណុំនៃបរិមាណដែលមានលក្ខណៈសម្បត្តិបង្កើត ហើយដូច្នេះកំណត់លក្ខណៈនៃផ្ទៃនៃរូប។ ប៉ុន្តែអ្វីដែលស្គាល់ និងងាយស្រួលបំផុតគឺតម្លៃដែលកំណត់លក្ខណៈតំបន់នៃការ៉េជាការ៉េនៃចំហៀងរបស់វា។ ចូរហៅ "ការរៀបចំ" នេះថាជាទ្រព្យសម្បត្តិទីបីនៃការវាស់វែងផ្នែកនៃតួលេខ៖

ផ្ទៃដីនៃការ៉េស្មើនឹងការ៉េនៃចំហៀងរបស់វា (រូបភាពទី 2) ។

ជាមួយនឹងនិយមន័យនេះ ផ្ទៃនៃតួលេខត្រូវបានវាស់ជាឯកតាការ៉េ ( សង់​ទី​ម៉ែ​ត 2, គីឡូម៉ែត្រ 2, ហា=100ម 2).

តួលេខ មានតំបន់ស្មើគ្នាត្រូវបានគេហៅថា ទំហំស្មើគ្នា .

មតិយោបល់៖ តួលេខស្មើគ្នាមានផ្ទៃស្មើគ្នា ពោលគឺតួលេខស្មើគ្នាមានទំហំស្មើគ្នា។ ប៉ុន្តែ​តួលេខ​ដែល​មាន​ទំហំ​ស្មើគ្នា​គឺ​នៅ​ឆ្ងាយ​ពី​ភាព​ស្មើគ្នា​ជានិច្ច (ឧទាហរណ៍ រូបភាព​ទី 3 បង្ហាញ​ការ​ការ៉េ​និង​ត្រីកោណ​អ៊ីសូសែល​ដែល​បង្កើត​ឡើង​ដោយ​ត្រីកោណ​កែង​ស្មើគ្នា (ដោយ​វិធី​ដូច​ជា តួលេខ បានហៅ សមាសភាពស្មើគ្នា ); វាច្បាស់ណាស់ថាការ៉េ និងត្រីកោណមានទំហំស្មើគ្នា ប៉ុន្តែមិនស្មើគ្នាទេ ព្រោះវាមិនត្រូវបានដាក់ពីលើ)។

បន្ទាប់មក យើងទាញយករូបមន្តសម្រាប់គណនាផ្ទៃនៃពហុកោណប្រភេទសំខាន់ៗទាំងអស់ (រួមទាំងរូបមន្តល្បីសម្រាប់ការស្វែងរកផ្ទៃដីនៃចតុកោណកែង) ដោយផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិដែលបានបង្កើតសម្រាប់វាស់តំបន់នៃតួលេខ។

2. តំបន់នៃចតុកោណកែងមួយ។ តំបន់នៃប្រលេឡូក្រាមមួយ។

រូបមន្តសម្រាប់គណនាផ្ទៃនៃចតុកោណកែង៖ ផ្ទៃ​នៃ​ចតុកោណកែង​មួយ​គឺ​ស្មើ​នឹង​ផលគុណ​នៃ​ជ្រុង​ទាំង​ពីរ​របស់​វា (រូបភាពទី 4) ។

បានផ្តល់ឱ្យ៖

ABCD- ចតុកោណកែង;

AD=ក, AB=ខ.

បញ្ជាក់: SABCD=ក× ខ.

ភស្តុតាង៖

1. ពង្រីកចំហៀង ABសម្រាប់ផ្នែកមួយ។ ប៊ី.ភី=ក, និងចំហៀង AD- សម្រាប់ផ្នែកមួយ។ DV=ខ. តោះ​បង្កើត​ប្រលេឡូក្រាម APRV(រូបភាពទី 4) ។ ចាប់តាំងពី R ក=90°, APRV- ចតុកោណ។ ឯណា អេ.ភី=ក+ខ=AV, Þ APRVគឺជាការ៉េដែលមានជ្រុងមួយ ( ក+ខ).

2. បញ្ជាក់ BCÇ R.V.=ធ, ស៊ីឌីÇ PR=សំណួរ. បន្ទាប់មក BCQP- ការ៉េដែលមានចំហៀង ក, CDVT- ការ៉េដែលមានចំហៀង ខ, CQRT- ចតុកោណជាមួយភាគី កនិង ខ.

រូបមន្ត​សម្រាប់​គណនា​ផ្ទៃ​នៃ​ប្រលេឡូក្រាម៖ តំបន់នៃប្រលេឡូក្រាមគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃកម្ពស់និងមូលដ្ឋានរបស់វា (រូបភាពទី 5) ។

មតិយោបល់៖ មូលដ្ឋាននៃប្រលេឡូក្រាមត្រូវបានគេហៅថាចំហៀងដែលកម្ពស់ត្រូវបានគូរ; វាច្បាស់ណាស់ថាផ្នែកណាមួយនៃប្រលេឡូក្រាមអាចបម្រើជាមូលដ្ឋាន។

បានផ្តល់ឱ្យ៖

ABCD- ទំ / ក្រាម;

BH^AD, ហÎ AD.

បញ្ជាក់៖ SABCD=AD× BH.

ភស្តុតាង៖

1. នាំទៅមូលដ្ឋាន ADកម្ពស់ CF(រូបភាពទី 5) ។

2. BCïê អេហ្វអេហ្វ, BHïê CF, Þ BCFH- p / g តាមនិយមន័យ។ រ ហ=90°, Þ BCFH- ចតុកោណ។

3. BCFH- p/g, Þ ដោយទ្រព្យសម្បត្តិ p/g BH=CF, Þ ឃ បា=D CDFតាមអ៊ីប៉ូតេនុស និងជើង ( AB=ស៊ីឌីយោងទៅតាម St. p / g, BH=CF).

4. SABCD=SABCF+សឃ CDF=SABCF+សឃ បា=SBCFH=BH× BC=BH× AD. #

3. តំបន់នៃត្រីកោណមួយ។

រូបមន្តសម្រាប់គណនាផ្ទៃត្រីកោណ៖ តំបន់នៃត្រីកោណគឺស្មើនឹងពាក់កណ្តាលផលិតផលនៃកម្ពស់និងមូលដ្ឋានរបស់វា (រូបភាពទី 6) ។

មតិយោបល់៖ មូលដ្ឋាននៃត្រីកោណនៅក្នុង ករណីនេះដាក់ឈ្មោះផ្នែកដែលកម្ពស់ត្រូវបានគូរ។ ជ្រុងណាមួយនៃជ្រុងទាំងបីនៃត្រីកោណអាចបម្រើជាមូលដ្ឋានរបស់វា។

បានផ្តល់ឱ្យ៖

BD^AC, ឃÎ AC.

បញ្ជាក់៖ .

ភស្តុតាង៖

1. បញ្ចប់ D ABCមុន p/y ABKCដោយឆ្លងកាត់កំពូល ខត្រង់ ប.ខïê ACនិងតាមរយៈកំពូល គ- ត្រង់ CKïê AB(រូបភាពទី 6) ។

2. ឃ ABC=D ខេ.ស៊ី.ប៊ីនៅលើបីភាគី ( BC- ទូទៅ, AB=ខេ.ស៊ីនិង AC=KBយោងតាម ​​St. p/g), Þ https://pandia.ru/text/78/214/images/image014_34.gif" width="107" height="36">)។

កូរ៉ូឡារី ២៖ ប្រសិនបើយើងពិចារណា p / y D ABCជាមួយនឹងកម្ពស់ អេទាញទៅអ៊ីប៉ូតេនុស BCបន្ទាប់មក។ ដូច្នេះ ក្នុង p / y D-ke កម្ពស់ដែលទាញទៅអ៊ីប៉ូតេនុសគឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃផលិតផលនៃជើងរបស់វាទៅនឹងអ៊ីប៉ូតេនុស . សមាមាត្រនេះត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់ក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហា។

4. ផល​វិបាក​ពី​រូបមន្ត​សម្រាប់​ការ​រក​ផ្ទៃ​នៃ​ត្រីកោណ​មួយ​: សមាមាត្រ​នៃ​តំបន់​នៃ​ត្រីកោណ​ដែល​មាន​កម្ពស់​ស្មើ​ឬ​មូលដ្ឋាន​; ត្រីកោណស្មើគ្នានៅក្នុងតួលេខ; ទ្រព្យសម្បត្តិនៃតំបន់នៃត្រីកោណដែលបង្កើតឡើងដោយអង្កត់ទ្រូងនៃរាងបួនជ្រុងប៉ោង។

តាម​រូបមន្ត​សម្រាប់​គណនា​ផ្ទៃ​នៃ​ត្រីកោណ​មួយ កូរ៉ូឡា​ពីរ​អនុវត្ត​តាម​វិធី​បឋម៖

1. សមាមាត្រនៃតំបន់នៃត្រីកោណដែលមានកម្ពស់ស្មើគ្នា គឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃមូលដ្ឋានរបស់ពួកគេ (ក្នុងរូបភាពទី 8 ).

2. សមាមាត្រនៃផ្ទៃនៃត្រីកោណដែលមានមូលដ្ឋានស្មើគ្នា គឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃកម្ពស់របស់ពួកគេ (ក្នុងរូបភាពទី 9 ).

មតិយោបល់៖ នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហា ត្រីកោណដែលមានកម្ពស់ធម្មតាគឺជារឿងធម្មតាណាស់។ ក្នុងករណីនេះ ជាក្បួន មូលដ្ឋានរបស់ពួកគេស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ដូចគ្នា ហើយចំនុចកំពូលទល់មុខមូលដ្ឋានគឺជារឿងធម្មតា (ឧទាហរណ៍ក្នុងរូបភាពទី 10 ។ ស 1:ស 2:ស 3=ក:ខ:គ) អ្នកគួរតែរៀនមើលកម្ពស់សរុបនៃត្រីកោណបែបនេះ។

ផងដែរ ការពិតដែលមានប្រយោជន៍ ធ្វើតាមរូបមន្តសម្រាប់គណនាផ្ទៃដីនៃត្រីកោណ ដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរក ត្រីកោណ​ផ្ទៃ​ស្មើ​ក្នុង​រូប៖

1. មធ្យមនៃត្រីកោណដែលបំពានបែងចែកវាទៅជាត្រីកោណពីរនៃផ្ទៃស្មើគ្នា (ក្នុងរូបភាពទី ១១ នៅ D ABMនិង ឃ ACMកម្ពស់ អេ- ទូទៅ និងមូលដ្ឋាន BMនិង សង់​ទី​ម៉ែ​តស្មើគ្នាតាមនិយមន័យនៃមធ្យម; វាធ្វើតាម D ABMនិង ឃ ACMស្មើគ្នា) ។

2. អង្កត់ទ្រូង​នៃ​ប្រលេឡូក្រាម​ចែក​វា​ជា​បួន​ត្រីកោណ​នៃ​ផ្ទៃ​ស្មើគ្នា។ (ក្នុងរូបភាពទី ១២ អូគឺជាមធ្យមនៃត្រីកោណ ABDដោយទ្រព្យសម្បត្តិនៃអង្កត់ទ្រូង p/g, z ដោយសារតែត្រីកោណ St. ពីមុន ABOនិង ADOគឺស្មើគ្នា; ដោយសារតែ បូគឺជាមធ្យមនៃត្រីកោណ ABC, ត្រីកោណ ABOនិង BCOគឺស្មើគ្នា; ដោយសារតែ សហគឺជាមធ្យមនៃត្រីកោណ ប៊ី.ស៊ី.ឌី, ត្រីកោណ BCOនិង DCOគឺស្មើគ្នា; ដូច្នេះ, សឃ ADO=សឃ ABO=សឃ BCO=សឃ DCO).

3. អង្កត់ទ្រូងនៃ trapezoid មួយបែងចែកវាជាបួនត្រីកោណ; ពីរនៃពួកគេនៅជាប់នឹងភាគីគឺស្មើគ្នា (រូបភាពទី 13) ។

បានផ្តល់ឱ្យ៖

ABCD- trapezoid;

BCïê AD; ACÇ BD=អូ.

បញ្ជាក់: សឃ ABO=សឃ DCO.

ភស្តុតាង៖

1. តោះគូរកម្ពស់ bfនិង ឈ(រូបភាពទី 13) ។ បន្ទាប់មក D ABDនិង ឃ ACDមូលដ្ឋាន AD- ទូទៅ និងកម្ពស់ bfនិង ឈគឺស្មើគ្នា; Þ សឃ ABD=សឃ ACD.

2. សឃ ABO=សឃ ABD ‑ សឃ AOD=សឃ ACD ‑ សឃ AOD=សឃ DCO. #

ប្រសិនបើអ្នកគូរអង្កត់ទ្រូងនៃរាងបួនជ្រុងប៉ោង (រូបភាពទី 14) ត្រីកោណចំនួនបួនត្រូវបានបង្កើតឡើង តំបន់ដែលត្រូវបានតភ្ជាប់ដោយសមាមាត្រដែលងាយចងចាំបំផុត។ ប្រភពដើមនៃទំនាក់ទំនងនេះពឹងផ្អែកតែលើរូបមន្តសម្រាប់ការគណនាតំបន់នៃត្រីកោណមួយ; ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ វាកម្រមាននៅក្នុងអក្សរសិល្ប៍ណាស់។ ដោយមានប្រយោជន៍ក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហា ទំនាក់ទំនងដែលនឹងត្រូវបានបង្កើត និងបង្ហាញខាងក្រោមសមនឹងទទួលបានការយកចិត្តទុកដាក់យ៉ាងជិតស្និទ្ធ៖

ទ្រព្យសម្បត្តិនៃតំបន់នៃត្រីកោណដែលបង្កើតឡើងដោយអង្កត់ទ្រូងនៃរាងបួនជ្រុងប៉ោងមួយ៖ ប្រសិនបើអង្កត់ទ្រូងនៃរាងបួនជ្រុងប៉ោង ABCDប្រសព្វគ្នានៅចំណុចមួយ។ អូបន្ទាប់មក (រូបភាពទី 14) ។

ABCD- រាងបួនជ្រុងប៉ោង;

https://pandia.ru/text/78/214/images/image025_28.gif" width="149" height="20">។

ភស្តុតាង៖

1. bf- កម្ពស់សរុប D AOBនិង ឃ BOC; Þ សឃ AOB:សឃ BOC=អូ:សហ.

2. D.H.- កម្ពស់សរុប D AODនិង ឃ COD; Þ សឃ AOD:សឃ COD=អូ:សហ.

5. សមាមាត្រនៃផ្ទៃនៃត្រីកោណដែលមានមុំស្មើគ្នា។

ទ្រឹស្តីបទអំពីសមាមាត្រនៃផ្ទៃនៃត្រីកោណដែលមានមុំស្មើគ្នា៖ តំបន់នៃត្រីកោណដែលមានមុំស្មើគ្នាត្រូវបានទាក់ទងជាផលិតផលនៃជ្រុងដែលរុំព័ទ្ធមុំទាំងនេះ (រូបភាព 15) ។

បានផ្តល់ឱ្យ:

ឃ ABC, ឃ ក 1ខ 1គ 1;

Ð BAC=Ð ខ 1ក 1គ 1.

បញ្ជាក់៖

.

ភស្តុតាង៖

1. ដាក់ឡែកនៅលើធ្នឹម ABផ្នែកបន្ទាត់ AB 2=ក 1ខ 1 និងនៅលើធ្នឹម AC- ផ្នែកបន្ទាត់ AC 2=ក 1គ 1 (រូបភាពទី 15) ។ បន្ទាប់មក D AB 2គ 2=D ក 1ខ 1គ 1 នៅសងខាងនិងមុំរវាងពួកវា ( AB 2=ក 1ខ 1 និង AC 2=ក 1គ 1 ដោយសំណង់ និង Р ខ 2AC 2=Р ខ 1ក 1គ 1 តាមលក្ខខណ្ឌ) ។ មានន័យថា, ។

2. ភ្ជាប់ចំនុច គនិង ខ 2.

3. ឈ- កម្ពស់សរុប D AB 2គនិង ឃ ABC, Þ https://pandia.ru/text/78/214/images/image033_22.gif" width="81" height="43 src="> ។

6. ទ្រព្យសម្បត្តិនៃ bisector នៃត្រីកោណមួយ។

ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទលើសមាមាត្រនៃផ្ទៃនៃត្រីកោណដែលមានមុំស្មើគ្នា និងលើសមាមាត្រនៃផ្ទៃនៃត្រីកោណដែលមានកម្ពស់ស្មើគ្នា យើងគ្រាន់តែបង្ហាញពីការពិតដ៏មានប្រយោជន៍ក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាដែលមិនទាក់ទងដោយផ្ទាល់ទៅនឹងផ្នែកនៃតួលេខ៖

ទ្រព្យសម្បត្តិនៃផ្នែកនៃត្រីកោណ៖ bisector នៃត្រីកោណមួយបែងចែកផ្នែកដែលវាត្រូវបានគូរទៅជាចម្រៀកសមាមាត្រទៅនឹងជ្រុងដែលនៅជាប់នឹងពួកគេ។

បានផ្តល់ឱ្យ៖

https://pandia.ru/text/78/214/images/image036_22.gif" width="61" height="37">។

ភស្តុតាង៖

1..gif" width="72 height=40" height="40">។

3. ពីចំណុច 1 និង 2 យើងទទួលបាន: , Þ https://pandia.ru/text/78/214/images/image041_19.gif" width="61" height="37">។

មតិយោបល់៖ដោយសារសមាជិកខ្លាំង ឬសមាជិកកណ្តាលអាចផ្លាស់ប្តូរគ្នាក្នុងសមាមាត្រត្រឹមត្រូវ វាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការចងចាំទ្រព្យសម្បត្តិរបស់ bisector នៃត្រីកោណក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម (រូបភាពទី 16): ។

7. តំបន់នៃ trapezoid មួយ។

រូបមន្តសម្រាប់គណនាផ្ទៃនៃ trapezoid មួយ: តំបន់នៃ trapezoid គឺស្មើនឹងផលិតផលនៃកម្ពស់របស់វានិងពាក់កណ្តាលផលបូកនៃមូលដ្ឋាន។

បានផ្តល់ឱ្យ៖

ABCD- trapezoid;

BCïê AD;

BH- កម្ពស់។

https://pandia.ru/text/78/214/images/image044_21.gif" width="127" height="36">។

ភស្តុតាង៖

1. គូរអង្កត់ទ្រូង BDនិងកម្ពស់ D.F.(រូបភាពទី 17) ។ BHDF- ចតុកោណ, Þ BH = D.F..

លទ្ធផល៖ សមាមាត្រនៃផ្ទៃនៃ trapezoids ដែលមានកម្ពស់ស្មើគ្នាគឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃបន្ទាត់កណ្តាលរបស់ពួកគេ (ឬសមាមាត្រនៃផលបូកនៃមូលដ្ឋាន) ។

8. តំបន់នៃចតុកោណដែលមានអង្កត់ទ្រូងកាត់កែងគ្នាទៅវិញទៅមក។

រូបមន្តសម្រាប់គណនាផ្ទៃនៃចតុកោណកែងដែលមានអង្កត់ទ្រូងកាត់កែងទៅគ្នាទៅវិញទៅមក៖ ផ្ទៃនៃចតុកោណកែងដែលមានអង្កត់ទ្រូងកាត់កែងគ្នាទៅវិញទៅមកគឺស្មើនឹងពាក់កណ្តាលផលិតផលនៃអង្កត់ទ្រូងរបស់វា។

ABCD- បួនជ្រុង;

AC^BD.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image049_20.gif" width="104" height="36">។

ភស្តុតាង៖

1. បញ្ជាក់ ACÇ BD=អូ. ដរាបណា AC^BD, អូ- កម្ពស់ ឃ ABD, ក សហ- កម្ពស់ ឃ CBD(រូបភាព 18a និង 18b សម្រាប់ករណីនៃរាងបួនជ្រុងប៉ោង និងមិនមែនប៉ោង រៀងគ្នា)។

2.
(សញ្ញា "+" ឬ "-" ត្រូវ​នឹង​ករណី​រាង​បួន​ជ្រុង​ប៉ោង និង​មិន​ប៉ោង រៀង​គ្នា)។ #

ទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរៀនដើរតួនាទីយ៉ាងសំខាន់ក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាជាច្រើនប្រភេទ។ វាអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរកផ្នែកដែលមិនស្គាល់នៃត្រីកោណកែងដែលផ្តល់ឱ្យភាគីទាំងពីរដែលគេស្គាល់។ មានភ័ស្តុតាងជាច្រើននៃទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គ័រ។ នេះគឺជាវិធីសាមញ្ញបំផុតក្នុងចំណោមពួកគេ ដោយផ្អែកលើរូបមន្តសម្រាប់គណនាផ្ទៃដីនៃការ៉េ និងត្រីកោណមួយ៖

ទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ៖ នៅក្នុងត្រីកោណកែង ការ៉េនៃអ៊ីប៉ូតេនុសគឺស្មើនឹងផលបូកនៃការ៉េនៃជើង។

បានផ្តល់ឱ្យ៖

ឃ ABC- ទំ / y;

Ð ក=90°។

បញ្ជាក់៖

BC 2=AB 2+AC 2.

ភស្តុតាង៖

1. បញ្ជាក់ AC=ក, AB=ខ. ចូរយើងដាក់វានៅលើធ្នឹម ABផ្នែកបន្ទាត់ ប៊ី.ភី=កនិងនៅលើធ្នឹម AC- ផ្នែកបន្ទាត់ CV=ខ(រូបភាពទី 19) ។ ចូរយើងឆ្លងកាត់ចំណុច ទំផ្ទាល់ PRïê AVនិងតាមរយៈចំណុច វ- ផ្ទាល់ VRïê អេ.ភី. បន្ទាប់មក APRV- p / g តាមនិយមន័យ។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នាចាប់តាំងពី Р ក=90°, APRV- ចតុកោណ។ ហើយចាប់តាំងពី AV=ក+ខ=អេ.ភី, APRV- ការ៉េដែលមានចំហៀង ក+ខ, និង SAPRV=(ក+ខ) ២. ចូរបំបែកផ្នែកខាង PRចំណុច សំណួរទៅជាផ្នែក PQ=ខនិង QR=ក, និងចំហៀង R.V.- ចំណុច ធទៅជាផ្នែក RT=ខនិង ទូរទស្សន៍=ក.

2.D ABC=D PQB=D RTQ=D វីស៊ីធីនៅលើជើងពីរ Þ Ð ACB=Ð PBQ=Ð RQT=Ð វីធីស៊ី, BC=QB=TQ=CTនិង https://pandia.ru/text/78/214/images/image055_17.gif" width="115" height="36">។

3. ដោយសារតែ BC=QB=TQ=CT, CBQT- rhombus ។ ទន្ទឹមនឹងនេះ លោក R QBC\u003d 180 ° - (Р ABC+Ð PBQ)=180°-(Р ABC+Ð ACB)=Ð BAC=90°; Þ CBQTគឺជាការ៉េ និង SCBQT=BC 2.

៤.. ដូច្នេះ BC 2=AB 2+AC 2. #

ទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរបញ្ច្រាសគឺជាសញ្ញានៃត្រីកោណមុំខាងស្តាំ ពោលគឺវាអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកពិនិត្យមើលថាតើត្រីកោណមានមុំខាងស្តាំដោយបីជ្រុងដែលគេស្គាល់នៃត្រីកោណ។

ទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរបញ្ច្រាស៖ ប្រសិនបើការេនៃជ្រុងម្ខាងនៃត្រីកោណមួយស្មើនឹងផលបូកនៃការ៉េនៃភាគីទាំងពីរផ្សេងទៀតរបស់វា នោះត្រីកោណនេះគឺមុំខាងស្តាំ ហើយផ្នែកវែងបំផុតរបស់វាគឺអ៊ីប៉ូតេនុស។

បានផ្តល់ឱ្យ៖

BC 2=AB 2+AC 2.

បញ្ជាក់៖ឃ ABC- ទំ / y;

Ð ក=90°។

ភស្តុតាង៖

1. ចូរយើងបង្កើតមុំខាងស្តាំ ក 1 ហើយដាក់ផ្នែកមួយឡែកនៅសងខាងរបស់វា។ ក 1ខ 1=ABនិង ក 1គ 1=AC(រូបភាពទី 20) ។ នៅក្នុង p / y D ដែលទទួលបាន ក 1ខ 1គ 1 ដោយទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ ខ 1គ 12=ក 1ខ 12+ក 1គ 12=AB 2+AC២; ប៉ុន្តែតាមលក្ខខណ្ឌ AB 2+AC 2=BC២; Þ ខ 1គ 12=BC 2, យ ខ 1គ 1=BC.

2.D ABC=D ក 1ខ 1គ 1 នៅលើបីជ្រុង ( ក 1ខ 1=ABនិង ក 1គ 1=ACដោយការសាងសង់, ខ 1គ 1=BCពីធាតុទី 1) Þ Ð ក=Ð ក 1=90°, Þ D ABC- ទំ / ក។ #

ត្រីកោណកែងដែលប្រវែងចំហៀងជាចំនួនគត់ត្រូវបានគេហៅថា ត្រីកោណ Pythagorean ហើយចំនួនបីដងនៃចំនួនធម្មជាតិដែលត្រូវគ្នាគឺ Pythagorean បីដង . បីដង Pythagorean មានប្រយោជន៍ក្នុងការចងចាំ (ចំនួនធំជាងនេះស្មើនឹងផលបូកនៃការ៉េនៃចំនួនពីរផ្សេងទៀត)។ នេះគឺជាបីដងពីតាហ្ក័រ៖

3, 4, 5;

5, 12, 13;

8, 15, 17;

7, 24, 25;

20, 21, 29;

12, 35, 37;

9, 40, 41.

ត្រីកោណកែងដែលមានជ្រុង 3, 4, 5 ត្រូវបានប្រើនៅក្នុងប្រទេសអេហ្ស៊ីបដើម្បីបង្កើតមុំខាងស្តាំ ដូច្នេះ ត្រីកោណ បានហៅ ជនជាតិអេហ្ស៊ីប .

10. រូបមន្តរបស់ Heron ។

រូបមន្តរបស់ Heron អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរកតំបន់នៃត្រីកោណដែលបំពានដោយភាគីទាំងបីដែលគេស្គាល់ និងមិនអាចខ្វះបានសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហាជាច្រើន។

រូបមន្ត Heron៖ តំបន់នៃត្រីកោណដែលមានជ្រុង ក, ខនិង គត្រូវ​បាន​គណនា​តាម​រូបមន្ត​ដូច​ខាង​ក្រោម៖ , កន្លែង​ដែល​ពាក់កណ្តាល​បរិវេណ​នៃ​ត្រីកោណ។

បានផ្តល់ឱ្យ:

BC=ក; AC=ខ; AB=គ.) បន្ទាប់មក .

4. ជំនួសកន្សោមលទ្ធផលសម្រាប់កម្ពស់ទៅក្នុងរូបមន្តសម្រាប់គណនាផ្ទៃដីនៃត្រីកោណមួយ៖ . #

1. កាត់ត្រង់ផ្នែក​នៃ​បន្ទាត់​ត្រង់​ត្រូវ​បាន​កំណត់​ដោយ​ចំណុច​ពីរ។ ចម្រៀក​គឺ​ជា​ផ្នែក​មួយ​នៃ​បន្ទាត់​ត្រង់​ដែល​ត្រូវ​បាន​កំណត់​ដោយ​ពីរ​ចំណុច (ចុង​នៃ​ចម្រៀក​) ។ ផ្នែកមួយមានទាំងការចាប់ផ្តើម និងចុងបញ្ចប់។ ផ្នែកត្រូវបានសម្គាល់ ឬ ផ្នែក AB ។

ពិន្ទុ កនិង ខបានហៅ ចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក. ចំណុចផ្សេងទៀតទាំងអស់ត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចខាងក្នុងចម្រៀក។

ចម្ងាយរវាងចុងបញ្ចប់នៃផ្នែកមួយត្រូវបានគេហៅថា ប្រវែងនិងសម្គាល់ |AB|.

ចំនុចទាំងអស់នៃផ្នែកមួយស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ដូចគ្នាឆ្លងកាត់ចុងរបស់វា។

2. បន្ទាប់ពីទិន្នន័យពីរចំនុចដែលស្ថិតនៅក្នុងប្លង់តែមួយ អ្នកអាចគូសបន្ទាត់ត្រង់មួយ។ វាគឺអាចធ្វើទៅបានដើម្បីគូរបន្ទាត់ត្រង់តាមរយៈចំណុចពីរណាមួយ ហើយលើសពីនេះទៅទៀតមានតែមួយប៉ុណ្ណោះ។

3. បើ​បន្ទាត់​ពីរ​ប្រសព្វ​គ្នា នោះ​មាន​ចំណុច​មួយ ហើយ​បើ​បន្ទាត់​ស្រប​គ្នា នោះ​គ្មាន! បន្ទាត់ពីរប្រសព្វគ្នា ពោលគឺពួកគេមានចំណុចរួមតែមួយ។ ការកំណត់ចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់៖ ចំណុចដែលបន្ទាត់ពីរប្រសព្វគ្នាហៅថា ចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ទាំងនេះ។

4. តើអ្វីជាធ្នឹម និងអ្វីជាយន្តហោះពាក់កណ្តាល? កាំរស្មីគឺជាផ្នែកមួយនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលមានការចាប់ផ្តើមប៉ុន្តែគ្មានទីបញ្ចប់និងមានទិសដៅ

ប្រសិនបើអ្នកគូសបន្ទាត់មួយ ហើយសម្គាល់ចំណុច O នៅលើវា នោះវានឹងបែងចែកបន្ទាត់ជាពីរផ្នែក ដែលផ្នែកនីមួយៗត្រូវបានគេហៅថា កាំរស្មីដែលចេញពីចំណុច O (កាំរស្មីទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថាបន្ថែម) ។ ចំណុច O ត្រូវបានគេហៅថាការចាប់ផ្តើមនៃធ្នឹម។ ធ្នឹម ផ្នែកមួយនៃបន្ទាត់ត្រូវបានហៅ ដែលរួមមានចំណុចទាំងអស់ដែលស្ថិតនៅម្ខាងនៃចំណុចថេរនៃបន្ទាត់មួយ។ហើយចំណុចនេះខ្លួនឯងបានហៅ ការចាប់ផ្តើមនៃធ្នឹម . កាំរស្មីផ្សេងគ្នានៃបន្ទាត់ដូចគ្នាដែលមានប្រភពដើមទូទៅត្រូវបានគេហៅថា បន្ថែម . Axiom. បន្ទាត់ត្រង់បែងចែកយន្តហោះជាពីរយន្តហោះពាក់កណ្តាល។ ទាំងនោះ។ បន្ទាត់ណាមួយបែងចែកយន្តហោះជាពីរផ្នែក ដែលផ្នែកនីមួយៗត្រូវបានគេហៅថាពាក់កណ្តាលយន្តហោះ ហើយបន្ទាត់ខ្លួនឯងត្រូវបានគេហៅថាព្រំដែននៃយន្តហោះពាក់កណ្តាលទាំងនេះ។

5. មុំត្រឡប់មកវិញវាប្រែចេញផ្នែក​នៃ​យន្តហោះ​ជាប់​នឹង​កាំរស្មី​ពីរ។ កាំរស្មីខ្លួនឯងត្រូវបានគេហៅថាជ្រុងនៃមុំ ហើយចំនុចធម្មតាដែលកាំរស្មីចេញមកត្រូវបានគេហៅថា vertex នៃមុំ។ មុំគឺជាតួលេខធរណីមាត្របង្កើតឡើងដោយកាំរស្មីពីរចេញពីចំណុចដូចគ្នា។ចំនុចកំពូលនៃមុំគឺជាចំនុចដែលកាំរស្មីបញ្ចេញ។ ផ្នែកម្ខាងនៃមុំគឺជាកាំរស្មីមួយក្នុងចំណោមកាំរស្មីទាំងនេះ 6. កាំរស្មីពីរដែលបំពេញគ្នាទៅវិញទៅមកបង្កើតបានជាមុំដែលបានអភិវឌ្ឍ។ ជ្រុងនៃមុំនេះរួមគ្នាបង្កើតជាបន្ទាត់ត្រង់ដែលស្ថិតនៅលើកំពូលនៃមុំដែលលាតចេញ។ (កាំរស្មីផ្សេងគ្នានៃបន្ទាត់ដូចគ្នាដែលមានប្រភពដើមទូទៅត្រូវបានគេហៅថា បន្ថែម ) . មុំពង្រីក -គឺជាមុំដែលភាគីទាំងពីរស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ដូចគ្នា។ ឧទាហរណ៍ AOV ។

7. តើ​ពាក្យ «​កាំរស្មី​បែងចែក​មុំ​ជា​ពីរ​មុំ​» មានន័យ​ដូចម្តេច​?នៅពេលដែលកាំរស្មីបែងចែកមុំជាពីរមុំ រង្វាស់ដឺក្រេនៃមុំទាំងមូលគឺស្មើនឹងផលបូកនៃរង្វាស់ដឺក្រេនៃមុំទាំងនោះ។ Ray OS បែងចែកមុំ AOB ជាពាក់កណ្តាល។

8. តើតួលេខអ្វីខ្លះហៅថាស្មើ?

រាង​ដែល​ត្រូវ​គ្នា​ពេល​ដាក់​លើ​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា EQUAL ។ តួលេខធរណីមាត្រពីរត្រូវបានគេហៅថាស្មើគ្នា ប្រសិនបើពួកវាអាចបញ្ចូលគ្នាបាននៅពេលដាក់ពីលើ

9. ពន្យល់ពីរបៀបប្រៀបធៀបពីរផ្នែកនិងរបៀបប្រៀបធៀប 2 មុំ។អ្នកដាក់លើផ្នែកមួយនៅម្ខាងទៀត ដើម្បីឱ្យចុងបញ្ចប់នៃទីមួយត្រូវបានតម្រឹមជាមួយចុងបញ្ចប់នៃទីពីរ ប្រសិនបើចុងពីរផ្សេងទៀតមិនត្រូវបានតម្រឹមទេនោះ ចម្រៀកមិនស្មើគ្នា ប្រសិនបើពួកគេតម្រឹម នោះពួកគេស្មើគ្នា។ ដើម្បីប្រៀបធៀប 2 ផ្នែក អ្នកត្រូវប្រៀបធៀបប្រវែងរបស់វា ដើម្បីប្រៀបធៀបមុំ 2 អ្នកត្រូវប្រៀបធៀបរង្វាស់ដឺក្រេរបស់វា មុំពីរត្រូវបានគេនិយាយថាស្មើគ្នា ប្រសិនបើពួកគេអាចដាក់លើស។ ដើម្បីកំណត់ថាតើមុំមិនពង្រីកពីរគឺស្មើគ្នាឬអត់នោះ ចាំបាច់ត្រូវផ្សំជ្រុងម្ខាងនៃមុំមួយជាមួយជ្រុងទីពីរដើម្បីឱ្យជ្រុងម្ខាងទៀតស្ថិតនៅលើជ្រុងម្ខាងនៃជ្រុងរួមបញ្ចូលគ្នា។.ដាក់ជ្រុងមួយនៅជ្រុងម្ខាងទៀតតាមរបៀបដែលចំនុចកំពូលរបស់ពួកគេស្របគ្នានៅម្ខាង ហើយពីរទៀតស្ថិតនៅលើជ្រុងដូចគ្នានៃភាគីដែលបានតម្រឹម។ ប្រសិនបើជ្រុងទីពីរនៃមុំមួយត្រូវបានតម្រឹមជាមួយជ្រុងទីពីរនៃមុំមួយផ្សេងទៀតនោះមុំទាំងនេះគឺស្មើគ្នា។ ( តម្រឹមជ្រុងដើម្បីឱ្យជ្រុងម្ខាងត្រូវតម្រឹមជាមួយជ្រុងម្ខាងទៀត ហើយពីរទៀតនៅជ្រុងម្ខាងនៃជ្រុងដែលតម្រឹម។ ប្រសិនបើជ្រុងម្ខាងទៀតត្រូវតម្រឹម នោះមុំត្រូវបានតម្រឹមទាំងស្រុង ដែលមានន័យថា ពួកគេស្មើគ្នា។ )

10. តើចំណុចអ្វីហៅថាចំណុចកណ្តាលនៃផ្នែក?ចំណុចកណ្តាលនៃចម្រៀក គឺជាចំណុចដែលបែងចែកផ្នែកដែលបានផ្តល់ឱ្យជាពីរផ្នែកស្មើគ្នា។ ចំណុច​ដែល​ចែក​ផ្នែក​មួយ​ជា​ពាក់​កណ្តាល​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា ចំណុច​កណ្តាល​នៃ​ផ្នែក។

11. bisector(មកពីឡាតាំង bi- "ទ្វេរដង" និងផ្នែក "កាត់") មុំមួយត្រូវបានគេហៅថាកាំរស្មីដែលចេញពីកំពូលនៃមុំហើយឆ្លងកាត់តំបន់ខាងក្នុងរបស់វាដែលបង្កើតជាមុំស្មើគ្នាពីរជាមួយជ្រុងរបស់វា។ ឬកាំរស្មីដែលផុសចេញពីចំនុចកំពូលនៃមុំមួយ ហើយបែងចែកវាជាពីរមុំស្មើគ្នាត្រូវបានគេហៅថា មុំ bisector ។

12. តើការវាស់វែងនៃចម្រៀកមានលក្ខណៈដូចម្តេច។ដើម្បីវាស់វែងផ្នែកមួយស្របគ្នាជាមួយនឹងមធ្យោបាយមួយដើម្បីរកឱ្យឃើញចំនួនដងដែលវាមានឯកតា ឬប្រភាគមួយចំនួននៃឯកតា។ ការវាស់វែងចម្ងាយត្រូវបានអនុវត្តដោយការប្រៀបធៀបវាជាមួយនឹងផ្នែកជាក់លាក់មួយដែលបានយកជាឯកតា។ អ្នកអាចវាស់ប្រវែងនៃផ្នែកដោយប្រើបន្ទាត់ ឬកាសែតវាស់។ វាចាំបាច់ក្នុងការដាក់ផ្នែកមួយទៅផ្នែកមួយទៀតដែលយើងបានយកជាឯកតារង្វាស់ ដូច្នេះចុងបញ្ចប់របស់ពួកគេត្រូវបានតម្រឹម។

? 13. តើប្រវែងនៃផ្នែក AB និង CD ទាក់ទងគ្នាយ៉ាងដូចម្តេច ប្រសិនបើ៖ ក) ចម្រៀក AB និង CD គឺស្មើគ្នា។ ខ) តើផ្នែក AB តិចជាងផ្នែកស៊ីឌីទេ?

ក) ប្រវែងនៃផ្នែក AB និង CD គឺស្មើគ្នា។ ខ) ប្រវែងនៃចម្រៀក AB គឺតិចជាងប្រវែងនៃចម្រៀក ស៊ីឌី។

14. ចំនុច C បែងចែកចម្រៀក AB ជាពីរចម្រៀក។ តើប្រវែងនៃផ្នែក AB, AC និង CB ទាក់ទងគ្នាយ៉ាងដូចម្តេច?ប្រវែងនៃចម្រៀក AB គឺស្មើនឹងផលបូកនៃប្រវែងនៃចម្រៀក AC និងស៊ី.ប៊ី. ដើម្បីស្វែងរកប្រវែងនៃផ្នែក AB សូមបន្ថែមប្រវែងនៃចម្រៀក AC និង CB ។

15. តើសញ្ញាបត្រជាអ្វី? តើរង្វាស់ដឺក្រេនៃមុំបង្ហាញអ្វី?? មុំត្រូវបានវាស់ជាឯកតាផ្សេងៗគ្នា។ វាអាចជាដឺក្រេ រ៉ាដ្យង់។ ភាគច្រើនជាញឹកញាប់មុំត្រូវបានវាស់ជាដឺក្រេ។ (សញ្ញាប័ត្រនេះមិនគួរច្រឡំជាមួយរង្វាស់សីតុណ្ហភាព ដែលពាក្យ "ដឺក្រេ" ត្រូវបានគេប្រើផងដែរ)។ ការវាស់វែងមុំគឺផ្អែកលើការប្រៀបធៀបពួកវាជាមួយនឹងមុំដែលយកជាឯកតារង្វាស់។ ជាធម្មតា ដឺក្រេមួយត្រូវបានគេយកជាឯកតារង្វាស់សម្រាប់មុំ - មុំស្មើនឹង 1/180 នៃមុំដែលបានអភិវឌ្ឍ។ ដឺក្រេគឺជាឯកតានៃមុំយន្តហោះក្នុងធរណីមាត្រ។ (ជាឯកតារង្វាស់នៃមុំធរណីមាត្រ ដឺក្រេមួយត្រូវបានយក - ផ្នែកនៃមុំដែលបានអភិវឌ្ឍ។ ) .

រង្វាស់ដឺក្រេនៃមុំមួយ។ បង្ហាញចំនួនដងក្នុងមួយដឺក្រេ និងផ្នែករបស់វា - មួយនាទី និងវិនាទី - សមទៅនឹងមុំដែលបានផ្តល់ឱ្យ នោះគឺជារង្វាស់ដឺក្រេ - តម្លៃដែលឆ្លុះបញ្ចាំងពីចំនួនដឺក្រេ នាទី និងវិនាទីរវាងជ្រុងនៃមុំ។

16. តើផ្នែកណានៃដឺក្រេហៅថានាទី ហើយតើផ្នែកអ្វីហៅថាវិនាទី? 1/60 នៃដឺក្រេត្រូវបានគេហៅថាមួយនាទីហើយ 1/60 នៃនាទីត្រូវបានគេហៅថាវិនាទី។ នាទីត្រូវបានតាងដោយសញ្ញា "", និងវិនាទី - ដោយសញ្ញា "″" ។

? 17. តើរង្វាស់ដឺក្រេនៃមុំពីរទាក់ទងគ្នាយ៉ាងដូចម្តេចប្រសិនបើ: ក) មុំទាំងនេះស្មើគ្នា; ខ) មុំមួយតិចជាងមុំមួយទៀត?ក) រង្វាស់ដឺក្រេនៃមុំគឺដូចគ្នា។ ខ) រង្វាស់ដឺក្រេនៃមុំមួយគឺតិចជាងរង្វាស់ដឺក្រេនៃមុំទីពីរ។

18. Ray OC បែងចែកមុំ AOB ជាពីរមុំ។ តើរង្វាស់ដឺក្រេនៃមុំ AOB, AOC និង COB ទាក់ទងគ្នាយ៉ាងដូចម្តេច?នៅពេលដែលកាំរស្មីបែងចែកមុំជាពីរមុំ រង្វាស់ដឺក្រេនៃមុំទាំងមូលគឺស្មើនឹងផលបូកនៃរង្វាស់ដឺក្រេនៃមុំទាំងនោះ។​ រង្វាស់ដឺក្រេនៃមុំមួយ AOB គឺស្មើនឹងផលបូកនៃរង្វាស់ដឺក្រេនៃផ្នែករបស់វា។ AOC និង COB ។

ថយក្រោយ

យកចិត្តទុកដាក់! ការមើលស្លាយជាមុនគឺសម្រាប់គោលបំណងផ្តល់ព័ត៌មានតែប៉ុណ្ណោះ ហើយប្រហែលជាមិនតំណាងឱ្យវិសាលភាពពេញលេញនៃបទបង្ហាញនោះទេ។ ប្រសិនបើអ្នកចាប់អារម្មណ៍លើការងារនេះ សូមទាញយកកំណែពេញលេញ។

គោលបំណងនៃមេរៀន៖ធ្វើម្តងទៀតនូវប្រធានបទ "តំបន់នៃប្រលេឡូក្រាម" ។ ទាញយករូបមន្តសម្រាប់ផ្ទៃនៃត្រីកោណមួយ ណែនាំគោលគំនិតនៃតួលេខដែលមានទំហំស្មើគ្នា។ ការដោះស្រាយបញ្ហាលើប្រធានបទ "ទំហំតួលេខស្មើគ្នា" ។

ក្នុងអំឡុងពេលថ្នាក់

I. ពាក្យដដែលៗ។

1) ដោយផ្ទាល់មាត់យោងទៅតាមគំនូរដែលបានបញ្ចប់ ទាញយករូបមន្តសម្រាប់ផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាម។

2) តើទំនាក់ទំនងរវាងជ្រុងនៃប៉ារ៉ាឡែល និងកម្ពស់ដែលធ្លាក់ចុះមកលើពួកវាគឺជាអ្វី?

(យោងទៅតាមគំនូរដែលបានបញ្ចប់)

ទំនាក់ទំនងគឺសមាមាត្របញ្ច្រាស។

3) ស្វែងរកកម្ពស់ទីពីរ (យោងទៅតាមគំនូរដែលបានបញ្ចប់)

4) ស្វែងរកផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមយោងទៅតាមគំនូរដែលបានបញ្ចប់។

ការសម្រេចចិត្ត៖

5) ប្រៀបធៀបតំបន់នៃប្រលេឡូក្រាម S1, S2, S3. (ពួកវាមានផ្ទៃស្មើគ្នា ទាំងអស់មានមូលដ្ឋាន a និងកម្ពស់ h)។

និយមន័យ៖ តួលេខដែលមានផ្ទៃស្មើគ្នាត្រូវបានគេហៅថាស្មើគ្នា។

II. ដោះស្រាយបញ្ហា។

1) បញ្ជាក់​ថា​បន្ទាត់​ណា​មួយ​ឆ្លងកាត់​ចំណុច​ប្រសព្វ​នៃ​អង្កត់ទ្រូង​បែងចែក​វា​ជា​ 2 ផ្នែក​ស្មើគ្នា។

ការសម្រេចចិត្ត៖

2) នៅក្នុងប៉ារ៉ាឡែល ABCD CF និងកម្ពស់ CE ។ បង្ហាញថា AD ∙ CF = AB ∙ CE ។

3) បានផ្តល់ឱ្យ trapezoid ដែលមានមូលដ្ឋាន a និង 4a ។ តើ​វា​អាច​ធ្វើ​ទៅ​បាន​ទេ​ក្នុង​ការ​គូស​បន្ទាត់​ត្រង់​តាម​បន្ទាត់​បញ្ឈរ​មួយ​របស់​វា ដោយ​បែង​ចែក​ចតុកោណ​ជា 5 ត្រីកោណ​នៃ​ផ្ទៃ​ស្មើគ្នា?

ការសម្រេចចិត្ត៖អាច។ ត្រីកោណទាំងអស់គឺស្មើគ្នា។

4) បង្ហាញថាប្រសិនបើយើងយកចំណុច A នៅផ្នែកម្ខាងនៃប៉ារ៉ាឡែលហើយភ្ជាប់វាទៅនឹងចំនុចកំពូលនោះផ្ទៃនៃត្រីកោណលទ្ធផល ABC គឺស្មើនឹងពាក់កណ្តាលនៃផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាម។

ការសម្រេចចិត្ត៖

5) នំនេះមានរាងដូចប៉ារ៉ាឡែល។ Kid និង Carlson បែងចែកវាដូចនេះ៖ Kid ចង្អុលទៅចំនុចមួយនៅលើផ្ទៃនំ ហើយ Carlson កាត់នំជា 2 បំណែកតាមបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំនុចនេះ ហើយយកបំណែកមួយសម្រាប់ខ្លួនគាត់។ មនុស្សគ្រប់គ្នាចង់បានដុំធំជាងនេះ។ តើកុមារគួរបញ្ចប់នៅទីណា?

ការសម្រេចចិត្ត៖នៅចំណុចប្រសព្វនៃអង្កត់ទ្រូង។

6) នៅលើអង្កត់ទ្រូងនៃចតុកោណកែងចំនុចមួយត្រូវបានជ្រើសរើសហើយបន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបានគូសកាត់វាស្របទៅនឹងជ្រុងនៃចតុកោណ។ នៅលើជ្រុងផ្ទុយគ្នាបង្កើតជា 2 ចតុកោណ។ ប្រៀបធៀបតំបន់របស់ពួកគេ។

ការសម្រេចចិត្ត៖

III. សិក្សាលើប្រធានបទ "តំបន់ត្រីកោណ"

ចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងកិច្ចការមួយ៖

msgstr "រក​ផ្ទៃ​នៃ​ត្រីកោណ​ដែល​គោល​គឺ a ហើយ​កម្ពស់​គឺ h ។"

បុរសដោយប្រើគំនិតនៃតួលេខដែលមានទំហំស្មើគ្នាបង្ហាញទ្រឹស្តីបទ។

ចូរយើងបង្កើតត្រីកោណមួយទៅប្រលេឡូក្រាម។

តំបន់​នៃ​ត្រីកោណ​មួយ​គឺ​ពាក់​ក​ណ្តា​ល​នៃ​ផ្ទៃ​នៃ​ប្រលេឡូក្រាម​មួយ​។

លំហាត់ប្រាណ៖ គូរត្រីកោណស្មើគ្នា។

គំរូមួយត្រូវបានប្រើប្រាស់ (ត្រីកោណពណ៌ចំនួន 3 ត្រូវបានកាត់ចេញពីក្រដាស ហើយស្អិតជាប់នឹងមូលដ្ឋាន)។

លំហាត់លេខ 474 ។ msgstr "ប្រៀបធៀប​ផ្ទៃ​នៃ​ត្រីកោណ​ទាំងពីរ​ដែល​ត្រីកោណ​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​ត្រូវ​បាន​បែងចែក​ដោយ​មធ្យម​របស់វា។"

ត្រីកោណមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា a និងកម្ពស់ដូចគ្នា h ។ ត្រីកោណមានផ្ទៃដូចគ្នា។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ តួលេខដែលមានផ្ទៃស្មើគ្នាត្រូវបានគេហៅថាស្មើគ្នា។

សំណួរសម្រាប់ថ្នាក់៖

1. តើតួលេខស្មើគ្នាមានទំហំដូចគ្នាទេ?
2. បង្កើតសេចក្តីថ្លែងការណ៍ផ្ទុយ។ តើវាពិតទេ?
3. តើវាពិតទេ៖
   ក) តើត្រីកោណសមមូលស្មើផ្ទៃដីទេ?
   ខ) ត្រីកោណសម័្ពន្ធដែលមានជ្រុងស្មើគ្នាគឺស្មើគ្នា?
   គ) ការ៉េដែលមានជ្រុងស្មើគ្នាគឺស្មើគ្នា?
   ឃ) បង្ហាញថាប្រលេឡូក្រាមដែលបង្កើតឡើងដោយចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទះពីរដែលមានទទឹងដូចគ្នានៅមុំផ្សេងគ្នានៃទំនោរទៅគ្នាទៅវិញទៅមកគឺស្មើគ្នា។ ស្វែងរកប្រលេឡូក្រាមនៃផ្ទៃតូចបំផុតដែលបង្កើតឡើងដោយចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទះពីរដែលមានទទឹងដូចគ្នា។ (បង្ហាញលើគំរូ៖ ឆ្នូតទទឹងស្មើគ្នា)

IV. បោះជំហានទៅមុខ!

ត្រូវបានសរសេរនៅលើក្តារ កិច្ចការស្រេចចិត្ត៖

1. "កាត់ត្រីកោណដោយបន្ទាត់ត្រង់ពីរដើម្បីឱ្យអ្នកអាចបត់បំណែកទៅជាចតុកោណ។

ការសម្រេចចិត្ត៖

2. msgstr "កាត់​ចតុកោណកែង​ជា​ពីរ​ផ្នែក ដែល​អ្នក​អាច​បង្កើត​ត្រីកោណ​កែង។"

ការសម្រេចចិត្ត៖

3) អង្កត់ទ្រូងត្រូវបានគូសជាចតុកោណ។ នៅក្នុងត្រីកោណលទ្ធផលមួយ មធ្យមមួយត្រូវបានគូរ។ ស្វែងរកសមាមាត្ររវាងផ្នែកនៃតួលេខ .

ការសម្រេចចិត្ត៖

ចម្លើយ៖

3. ពីកិច្ចការអូឡាំពិក៖

"នៅក្នុង ABCD ចតុកោណ ចំណុច E គឺជាចំណុចកណ្តាលនៃ AB តភ្ជាប់ទៅចំនុចកំពូល D ហើយ F គឺជាចំនុចកណ្តាលនៃ CD ទៅ vertex B ។ បង្ហាញថាតំបន់នៃ EBFD ចតុកោណគឺ 2 ដងតិចជាងតំបន់នៃបួនជ្រុង ABCD ។

ដំណោះស្រាយ៖ គូរអង្កត់ទ្រូង BD ។

លំហាត់លេខ 475 ។

"គូរត្រីកោណ ABC ។ តាមរយៈ vertex B សូមគូសបន្ទាត់ត្រង់ 2 ដូច្នេះពួកគេបែងចែកត្រីកោណនេះជា 3 ត្រីកោណដែលមានផ្ទៃដីស្មើគ្នា។

ប្រើទ្រឹស្តីបទ Thales (ចែក AC ជា 3 ផ្នែកស្មើគ្នា)។

V. កិច្ចការប្រចាំថ្ងៃ។

សម្រាប់នាង ខ្ញុំបានយកផ្នែកខាងស្ដាំបំផុតនៃក្រុមប្រឹក្សាភិបាល ដែលខ្ញុំសរសេរកិច្ចការថ្ងៃនេះ។ កុមារអាចឬមិនអាចសម្រេចចិត្ត។ យើងនឹងមិនដោះស្រាយបញ្ហានេះនៅក្នុងថ្នាក់ថ្ងៃនេះទេ។ វាគ្រាន់តែថាអ្នកដែលចាប់អារម្មណ៍លើពួកគេអាចសរសេរវាបិទ, ដោះស្រាយវានៅផ្ទះឬអំឡុងពេលសម្រាក។ ជាធម្មតា នៅពេលសម្រាករួចហើយ បុរសជាច្រើនចាប់ផ្តើមដោះស្រាយបញ្ហា ប្រសិនបើពួកគេសម្រេចចិត្ត ពួកគេបង្ហាញដំណោះស្រាយ ហើយខ្ញុំជួសជុលវានៅក្នុងតារាងពិសេស។ នៅក្នុងមេរៀនបន្ទាប់ យើងពិតជានឹងត្រលប់ទៅបញ្ហានេះវិញ ដោយលះបង់ផ្នែកតូចមួយនៃមេរៀនដើម្បីដោះស្រាយវា (ហើយបញ្ហាថ្មីមួយអាចត្រូវបានសរសេរនៅលើក្តារខៀន)។

“ប្រលេឡូក្រាម​ត្រូវ​កាត់​ជា​ប្រលេឡូក្រាម។ ចែកសល់ជា 2 រូបដែលមានទំហំស្មើគ្នា។

ការសម្រេចចិត្ត៖ secant AB ឆ្លងកាត់ចំនុចប្រសព្វនៃអង្កត់ទ្រូងនៃប៉ារ៉ាឡែល O និង O1 ។

បញ្ហាបន្ថែម (ពីបញ្ហាអូឡាំពិក)៖

1) "នៅក្នុង trapezoid ABCD (AD || BC) ចំនុចកំពូល A និង B ត្រូវបានភ្ជាប់ទៅចំនុច M ដែលជាចំនុចកណ្តាលនៃ CD ចំហៀង។ ផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABM គឺ m ។ ស្វែងរកតំបន់នៃ trapezoid ABCD ។

ការសម្រេចចិត្ត៖

ត្រីកោណ ABM និង AMK គឺជាតួលេខស្មើគ្នា ពីព្រោះ AM គឺជាមធ្យម។
S ∆ABK = 2m, ∆BCM = ∆MDK, S ABCD = S ∆ABK = 2m ។

ចម្លើយ៖ SABCD = 2m ។

2) "នៅក្នុង trapezoid ABCD (AD || BC) អង្កត់ទ្រូងប្រសព្វគ្នានៅចំណុច O. បង្ហាញថាត្រីកោណ AOB និង COD គឺជាតំបន់ស្មើគ្នា។

ការសម្រេចចិត្ត៖

S ∆BCD = S ∆ABC , ដោយសារតែ ពួកគេមានមូលដ្ឋានធម្មតា BC និងកម្ពស់ដូចគ្នា។.

3) ចំហៀង AB នៃត្រីកោណបំពាន ABC ត្រូវបានពង្រីកហួសពីចំនុចកំពូល B ដូច្នេះ BP = AB ចំហៀង AC ត្រូវបានពង្រីកហួសពីចំនុច A ដូច្នេះ AM = CA ចំហៀង BC ត្រូវបានពង្រីកហួសពីចំនុចកំពូល C ដូច្នេះ KS = BC ។ តើផ្ទៃដីនៃត្រីកោណ RMK ធំជាងផ្ទៃដីត្រីកោណ ABC ប៉ុន្មានដង?

ការសម្រេចចិត្ត៖

នៅក្នុងត្រីកោណមួយ។ MVS៖ MA = AC ដូច្នេះ​ផ្ទៃ​នៃ​ត្រីកោណ BAM គឺ​ស្មើ​នឹង​ផ្ទៃ​នៃ​ត្រីកោណ ABC ។ នៅក្នុងត្រីកោណមួយ។ ស្ថានីយការងារ: BP = AB ដូច្នេះផ្ទៃនៃត្រីកោណ BAM គឺស្មើនឹងផ្ទៃដីនៃត្រីកោណ ABP ។ នៅក្នុងត្រីកោណមួយ។ ARS៖ AB = BP ដូច្នេះ​ផ្ទៃ​នៃ​ត្រីកោណ BAC គឺ​ស្មើ​នឹង​ផ្ទៃ​នៃ​ត្រីកោណ BPC ។ នៅក្នុងត្រីកោណមួយ។ VRK: BC \u003d SC ដូច្នេះ​ផ្ទៃ​នៃ​ត្រីកោណ VRS គឺ​ស្មើ​នឹង​ផ្ទៃ​នៃ​ត្រីកោណ RKS ។ នៅក្នុងត្រីកោណមួយ។ AVK: BC = SC ដូច្នេះ​ផ្ទៃ​នៃ​ត្រីកោណ BAC គឺ​ស្មើ​នឹង​ផ្ទៃ​នៃ​ត្រីកោណ ASC ។ នៅក្នុងត្រីកោណ MSC: MA = AC ដូច្នេះផ្ទៃនៃត្រីកោណ KAM គឺស្មើនឹងផ្ទៃដីនៃត្រីកោណ ASC ។ យើងទទួលបាន 7 ត្រីកោណស្មើគ្នា។ មានន័យថា

ចំលើយ៖ តំបន់នៃត្រីកោណ MRK គឺ 7 ដងនៃផ្ទៃត្រីកោណ ABC ។

4) ប៉ារ៉ាឡែលភ្ជាប់។

ប៉ារ៉ាឡែល 2 មានទីតាំងនៅដូចបានបង្ហាញក្នុងរូប៖ ពួកវាមានចំនុចកំពូលធម្មតា ហើយចំនុចកំពូលមួយទៀតសម្រាប់ប៉ារ៉ាឡែលនីមួយៗស្ថិតនៅលើជ្រុងនៃប្រលេឡូក្រាមផ្សេងទៀត។ បង្ហាញថាតំបន់នៃប្រលេឡូក្រាមគឺស្មើគ្នា។

ការសម្រេចចិត្ត៖

និង , មានន័យថា

បញ្ជីអក្សរសិល្ប៍ដែលបានប្រើ:

1. សៀវភៅសិក្សា "ធរណីមាត្រ 7-9" (អ្នកនិពន្ធ L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev ( Moscow, "Enlightenment", 2003) ។
2. បញ្ហាអូឡាំពិកនៃឆ្នាំផ្សេងៗគ្នាជាពិសេសពីសៀវភៅសិក្សា "បញ្ហាល្អបំផុតនៃគណិតវិទ្យាអូឡាំពិក" (ចងក្រងដោយ A.A. Korznyakov, Perm, "Knizhny Mir", 1996) ។
3. ជម្រើសនៃកិច្ចការដែលប្រមូលបានក្នុងរយៈពេលជាច្រើនឆ្នាំនៃការងារ។

នៅពេលគណនាផ្ទៃនៃពហុកោណ ល្បិចសាមញ្ញដែលហៅថា វិធីសាស្ត្រចែកភាគត្រូវបានប្រើ។ ពិចារណាពហុកោណ ហើយបង្ហាញក្នុងរូប។ 1 ដែលបង្ហាញពីរបៀបបំបែកពហុកោណទាំងនេះទៅជាចំនួនដូចគ្នានៃផ្នែកស្មើគ្នា (ផ្នែកស្មើគ្នាត្រូវបានសម្គាល់ដោយលេខដូចគ្នា)។ អំពីពហុកោណហើយនិយាយថាពួកគេត្រូវបានផ្សំស្មើគ្នា។ ជាទូទៅ ពហុកោណត្រូវបានគេហៅថាមានសមាសភាពស្មើៗគ្នា ប្រសិនបើដោយបានកាត់ពហុកោណទៅជាចំនួនកំណត់នៃផ្នែកតាមវិធីជាក់លាក់មួយ វាអាចទៅរួចដោយការរៀបចំផ្នែកទាំងនេះខុសគ្នា ដើម្បីបង្កើតពហុកោណចេញពីពួកវា។ វាងាយមើលឃើញថាទ្រឹស្តីបទខាងក្រោមគឺពិត៖ ពហុកោណដែលមានទំហំស្មើគ្នាមានផ្ទៃដូចគ្នា ឬដូចដែលពួកគេនិយាយគឺមានទំហំស្មើគ្នា។ ឧទាហរណ៍៖ ប្រលេឡូក្រាម​សមមូល​នឹង​ចតុកោណកែង​មួយ (រូប​ទី ២) ហើយ​ដោយ​ដឹង​រូបមន្ត​សម្រាប់​ផ្ទៃ​នៃ​ចតុកោណ​កែង យើង​រក​ឃើញ​ថា​ផ្ទៃ​នៃ​ប្រលេឡូក្រាម​ស្មើ​នឹង​ផលគុណ​នៃ​ប្រវែង​នៃ ផ្នែកម្ខាងរបស់វា និងកម្ពស់ដែលត្រូវគ្នា។

ឧទាហរណ៍នេះបង្ហាញពីវិធីសាស្រ្តនៃការបែងចែកដែលមាននៅក្នុងការពិតដែលថាដើម្បីគណនាផ្ទៃនៃពហុកោណមួយព្យាយាមបែងចែកវាទៅជាចំនួនកំណត់នៃផ្នែកតាមរបៀបដែលពីផ្នែកទាំងនេះអាចបង្កើតបាន។ ពហុកោណ​សាមញ្ញ​ជាង​នេះ ជា​តំបន់​ដែល​យើង​ដឹង​រួច​ហើយ​។ ឧទាហរណ៍ ត្រីកោណមួយមានលំនឹងជាមួយប្រលេឡូក្រាមដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា និងពាក់កណ្តាលកម្ពស់ (រូបភាពទី 3); ពីនេះរូបមន្តសម្រាប់តំបន់នៃត្រីកោណមួយត្រូវបានទាញយកយ៉ាងងាយស្រួល។ វិធីសាស្រ្តនៃការគណនាតំបន់នៃពហុកោណនេះត្រូវបានគេស្គាល់ចំពោះ Euclid ដែលរស់នៅជាង 2000 ឆ្នាំមុន។

វាគួរឱ្យកត់សម្គាល់ថាទ្រឹស្តីបទសន្ទនាក៏ពិតសម្រាប់ទ្រឹស្តីបទខាងលើដែរ៖ ប្រសិនបើពហុកោណពីរមានទំហំស្មើគ្នា នោះពួកវាមានសមាសភាពស្មើគ្នា។ ទ្រឹស្តីបទនេះបានបង្ហាញឱ្យឃើញនៅពាក់កណ្តាលទីមួយនៃសតវត្សទី XIX ។ ដោយគណិតវិទូហុងគ្រី F. Bolyai និងមន្ត្រីអាឡឺម៉ង់ និងគណិតវិទូ P. Gervin អាចត្រូវបានពន្យល់ដូចខាងក្រោម៖ ប្រសិនបើមាននំប៉័ងខ្ញីក្នុងទម្រង់ជាពហុកោណ និងប្រអប់ពហុកោណដែលមានរាងខុសគ្នាទាំងស្រុង ប៉ុន្តែមានផ្ទៃដូចគ្នា បន្ទាប់មក អ្នកអាចកាត់នំប៉័ងខ្ញីទៅជាបំណែកតូចៗ តាមវិធីដែលពួកគេបានជោគជ័យដាក់ក្នុងប្រអប់នេះ។

ទាក់ទងនឹងទ្រឹស្តីបទ Bolyai-Gervin សំណួរកើតឡើងអំពីការដាក់កម្រិតបន្ថែមលើចំនួន ឬការរៀបចំផ្នែកដែលបង្កើតជាពហុកោណតំបន់ស្មើគ្នា។ ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងស្រមៃមើលយន្តហោះមួយសន្លឹកជាក្រដាសពណ៌ ដែលមានម្ខាងពណ៌ក្រហម និងមួយទៀតពណ៌ស។ ប្រសិនបើពហុកោណក្រហមទំហំស្មើគ្នាពីរត្រូវបានកាត់ចេញពីក្រដាសនោះ សំណួរកើតឡើងថាតើមួយក្នុងចំណោមពួកវាអាចត្រូវបានកាត់ជាបំណែកដែលវានឹងអាចបន្ថែមពហុកោណក្រហមស្មើនឹងទីពីរបានដែរឬទេ។ ផ្នែកត្រូវបានអនុញ្ញាតឱ្យផ្លាស់ប្តូរដោយមិនបង្វែរពួកវាទៅផ្នែកពណ៌សខុស។ ចម្លើយចំពោះសំណួរនេះក៏មាននៅក្នុងការបញ្ជាក់ផងដែរ។

បំរែបំរួលនៃបញ្ហានេះត្រូវបានស្នើឡើងនៅឯព្រឹត្តិការណ៍អូឡាំពិកគណិតវិទ្យានៅទីក្រុងមូស្គូក្នុងទម្រង់កំប្លែងខាងក្រោម។ អ្នក​ធ្វើ​នំ​អេឡិច​ត្រូនិក​បាន​ដុត​នំ​មួយ (ហើយ​នំ​មួយ​មិន​ដូច​នំ​ខ្ញី​ទេ មាន​ក្រែម​នៅ​ខាង​លើ) ក្នុង​រាង​ជា​ត្រីកោណមាត្រ។ ពួកគេក៏បានធ្វើប្រអប់មួយសម្រាប់នំផងដែរ ប៉ុន្តែដោយសារតែការត្រួតពិនិត្យ ពួកគេបានបិទវាមិនត្រឹមត្រូវ ដូច្នេះនំ និងប្រអប់ប្រែជាស៊ីមេទ្រីគ្នាទៅវិញទៅមក (រូបភាពទី 4)។ វាចាំបាច់ (តាមដែលអាចធ្វើបាន) ដើម្បីកាត់នំទៅជាបំណែកដែលអាចដាក់ក្នុងប្រអប់នេះ។ ជាការពិតណាស់ ផ្នែកខ្លះនៃនំមិនអាចដាក់ក្រែមចុះក្រោមបានទេ។

លទ្ធផលគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ដែលទាក់ទងនឹងការដាក់តម្រូវការបន្ថែមលើការរៀបចំផ្នែកត្រូវបានទទួលនៅឆ្នាំ 1952 ដោយគណិតវិទូជនជាតិស្វីស G. Hadwiger និង P. Glur៖ មណ្ឌលបោះឆ្នោតនៃពហុកោណនៃផ្ទៃដីស្មើគ្នាអាចត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយប្រើភាគថាសដែលផ្នែកដែលត្រូវគ្នាមាន ភាគីប៉ារ៉ាឡែល។ នៅ glance ដំបូង វាហាក់ដូចជាមិនអាចយល់បាន៖ វាពិបាកក្នុងការជឿថាត្រីកោណស្មើគ្នាពីរដែលបង្វិលទាក់ទងគ្នាទៅវិញទៅមកដោយមុំបំពាន (រូបភាពទី 5) តែងតែអាចត្រូវបានបែងចែកទៅជាផ្នែកស្មើគ្នាជាមួយនឹងភាគីស្របគ្នាដែលត្រូវគ្នា។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មានភាគថាសនៃត្រីកោណទាំងនេះ ដែលផ្នែកដែលត្រីកោណមួយត្រូវបានបែងចែកត្រូវបានទទួលពីផ្នែកដែលត្រូវគ្នានៃត្រីកោណទីពីរដោយការបកប្រែស្របគ្នា ឬស៊ីមេទ្រីកណ្តាល។ ដូចគ្នាដែរចំពោះពហុកោណទាំងពីរនៃផ្ទៃស្មើគ្នា។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ការផ្ទេរផ្នែកប៉ារ៉ាឡែលតែមួយមុខមិនអាចចែកចាយជាមួយបានទេ។ ជាឧទាហរណ៍ មិនថាយើងកាត់ប្រលេឡូក្រាមទៅជាផ្នែកដោយរបៀបណានោះទេ វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការបង្កើតត្រីកោណចេញពីផ្នែកទាំងនេះដោយការបកប្រែស្របគ្នា។

ការចាប់អារម្មណ៍លើសំណួរទាំងនេះត្រូវបានជំរុញដោយរបាយការណ៍ដ៏ល្បីល្បាញ "បញ្ហាគណិតវិទ្យា" ដែលត្រូវបានអានដោយគណិតវិទូឆ្នើម D. Hilbert នៅសមាជអន្តរជាតិលើកទី 2 នៃគណិតវិទូដែលបានធ្វើឡើងនៅវេននៃសតវត្សទី 19 និង 20 ។ ក្នុងចំណោមបញ្ហាម្ភៃបីដែលបង្កឡើងដោយ Hilbert ភាគច្រើនទាក់ទងនឹងមុខវិជ្ជាគណិតវិទ្យាដែលកំពុងអភិវឌ្ឍយ៉ាងឆាប់រហ័ស។ ហើយបញ្ហាតែមួយគត់ - ទីបី - ត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយបញ្ហានៃធរណីមាត្រសាលា។ Hilbert ទាក់ទាញការយកចិត្តទុកដាក់ចំពោះការពិតដែលថានៅពេលគណនាបរិមាណនៃសាជីជ្រុងរាងត្រីកោណចាប់តាំងពីសម័យ Euclid ការឆ្លងកាត់ដ៏ស្មុគស្មាញដល់ដែនកំណត់ (សូមមើលដែនកំណត់) (ហើយឥឡូវនេះ - ការរួមបញ្ចូល) ត្រូវបានប្រើខណៈពេលដែលនៅពេលគណនាផ្ទៃដី។ ត្រីកោណមួយ យើងធ្វើដោយគ្មានការអនុម័តស្រដៀងគ្នាទៅនឹងដែនកំណត់។ ខ្លឹមសារនៃបញ្ហារបស់ Hilbert គឺដើម្បីបង្ហាញអំពីភាពត្រឹមត្រូវនៃការប្រើប្រាស់ "លើសចំណុះ" នេះ (នៅក្នុងការប្រៀបធៀបជាមួយ planimetry) ដល់ដែនកំណត់ពោលគឺឧ។ ដើម្បីបញ្ជាក់ថា បើគ្មានវាទេ ទ្រឹស្តីនៃបរិមាណនៃ polyhedra មិនអាចសាងសង់បានទេ។ នៅឆ្នាំ 1900 លោក M. Dehn បានដោះស្រាយបញ្ហាទីបីរបស់ Hilbert ដោយបង្ហាញថា tetrahedron ធម្មតា និងគូបដែលមានទំហំស្មើគ្នាមិនមានទំហំស្មើគ្នាទេ។ Hilbert បានទាយទុកជាមុនថា សំណួរនេះអាចនាំទៅដល់ការបង្កើតទ្រឹស្តីគណិតវិទ្យាដ៏គួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ និងសម្បូរបែបនៃភាពស៊ីសង្វាក់គ្នានៃពហុកោណ និងពហុកោណ។ ការទស្សន៍ទាយរបស់ Hilbert បានក្លាយជាការពិតដ៏អស្ចារ្យ។ អគារដ៏ស្រស់ស្អាតនៃទ្រឹស្តីទំនើបនៃសមាសភាពស្មើគ្នាគឺជាវិមានដ៏សក្តិសមសម្រាប់អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រ។