I. ការបំប្លែង Fourier ។
និយមន័យ ១.មុខងារ
ហៅ ការផ្លាស់ប្តូរ Fourierមុខងារ។
អាំងតេក្រាលនៅទីនេះត្រូវបានយល់ក្នុងន័យនៃតម្លៃដើម
ហើយត្រូវបានគេជឿថាមាន។
ប្រសិនបើជាអនុគមន៍ដែលអាចបញ្ចូលគ្នាបានយ៉ាងពិតប្រាកដលើ ℝ នោះចាប់តាំងពី 
សម្រាប់ ការបំប្លែង Fourier (1) មានន័យសម្រាប់មុខងារបែបនេះ ហើយអាំងតេក្រាល (1) បញ្ចូលគ្នាយ៉ាងពិតប្រាកដ និងស្មើភាពគ្នាទៅនឹងបន្ទាត់ទាំងមូល ℝ។
និយមន័យ ២. ប្រសិនបើ ក 
គឺជាការបំប្លែង Fourier នៃមុខងារ
បន្ទាប់មកអាំងតេក្រាលដែលពាក់ព័ន្ធ
យល់ក្នុងន័យសំខាន់, ហៅថា អាំងតេក្រាលបួននៃមុខងារ .
ឧទាហរណ៍ ១ស្វែងរកការផ្លាស់ប្តូរ Fourier នៃមុខងារមួយ។
មុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺពិតជារួមបញ្ចូលនៅលើ, ពិត,
និយមន័យ ៣.យល់ក្នុងន័យនៃតម្លៃសំខាន់នៃអាំងតេក្រាល។
ដាក់ឈ្មោះតាម កូស៊ីនុស-និង មុខងារបំប្លែងស៊ីនុស Fourier .
សន្មត់ , 
, 
ជាផ្នែកមួយ យើងទទួលបានទំនាក់ទំនងដែលយើងធ្លាប់ស្គាល់រួចមកហើយពីស៊េរី Fourier
ដូចដែលអាចមើលឃើញពីទំនាក់ទំនង (3), (4),
រូបមន្ត (5), (6) បង្ហាញថា Fourier transforms ត្រូវបានកំណត់ទាំងស្រុងលើបន្ទាត់ទាំងមូល ប្រសិនបើគេស្គាល់តែតម្លៃមិនអវិជ្ជមាននៃអាគុយម៉ង់។
ឧទាហរណ៍ ២ស្វែងរកកូស៊ីនុស និងស៊ីនុស - ការបំប្លែង Fourier នៃអនុគមន៍
ដូចដែលបានបង្ហាញក្នុងឧទាហរណ៍ទី 1 មុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺពិតជារួមបញ្ចូលនៅលើ .
ចូរយើងស្វែងរកកូស៊ីនុសរបស់វា - Fourier បំលែងតាមរូបមន្ត (3)៖
ដូចគ្នានេះដែរវាមិនពិបាកក្នុងការស្វែងរកស៊ីនុសទេ - ការបំប្លែង Fourier នៃមុខងារ f(x) តាមរូបមន្ត (៤)៖
ដោយប្រើឧទាហរណ៍ទី 1 និងទី 2 វាងាយស្រួលក្នុងការផ្ទៀងផ្ទាត់ដោយការជំនួសដោយផ្ទាល់ថាសម្រាប់ f(x) ទំនាក់ទំនង (5) ពេញចិត្ត។
ប្រសិនបើអនុគមន៍មានតម្លៃពិតប្រាកដ នោះរូបមន្ត (5), (6) ក្នុងករណីនេះបង្កប់ន័យ
ចាប់តាំងពីក្នុងករណីនេះនិងជាមុខងារពិតនៅលើ R ដែលជាភស្តុតាងពីនិយមន័យរបស់ពួកគេ (3), (4) ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយសមភាព (7) នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌ 
ក៏ត្រូវបានទទួលដោយផ្ទាល់ពីនិយមន័យ (1) នៃការបំប្លែង Fourier ប្រសិនបើយើងយកទៅក្នុងគណនីថា សញ្ញាផ្សំអាចត្រូវបានដាក់នៅក្រោមសញ្ញាអាំងតេក្រាល។ ការសង្កេតចុងក្រោយអនុញ្ញាតឱ្យយើងសន្និដ្ឋានថាមុខងារណាមួយបំពេញនូវសមភាព
វាក៏មានប្រយោជន៍ផងដែរក្នុងការកត់សម្គាល់ថាប្រសិនបើជាមុខងារពិត និងសូម្បីតែ ពោលគឺឧ។ បន្ទាប់មក
ប្រសិនបើមុខងារពិត និងសេស ឧ. បន្ទាប់មក
ហើយប្រសិនបើជាមុខងារស្រមើលស្រមៃសុទ្ធសាធ i.e. . 
បន្ទាប់មក
ចំណាំថាប្រសិនបើជាអនុគមន៍តម្លៃពិត នោះអាំងតេក្រាល Fourier ក៏អាចសរសេរក្នុងទម្រង់
កន្លែងណា 
ឧទាហរណ៍ ៣ 
(សន្មត់ 
)
ដោយសារយើងដឹងពីតម្លៃនៃអាំងតេក្រាល Dirichlet
មុខងារដែលបានពិចារណាក្នុងឧទាហរណ៍គឺមិនអាចរួមបញ្ចូលទាំងស្រុងបានទេ ហើយការបំប្លែង Fourier របស់វាមានការឈប់ដំណើរការ។ ការពិតដែលថាការបំប្លែង Fourier នៃអនុគមន៍រួមបញ្ចូលគ្នាយ៉ាងពិតប្រាកដមិនមានការឈប់ដំណើរការត្រូវបានបង្ហាញដោយដូចខាងក្រោម
លេម៉ា ១. ប្រសិនបើមុខងារ រួមបញ្ចូលក្នុងមូលដ្ឋាន និងអាចរួមបញ្ចូលយ៉ាងពិតប្រាកដនៅលើ បន្ទាប់មក
ក) ការផ្លាស់ប្តូរ Fourier របស់វា។ កំណត់សម្រាប់តម្លៃណាមួយ។
ខ) 
រំលឹកថាប្រសិនបើគឺជាអនុគមន៍តម្លៃពិត ឬស្មុគស្មាញដែលបានកំណត់លើសំណុំបើកមួយ , បន្ទាប់មកមុខងារ ហៅ រួមបញ្ចូលក្នុងមូលដ្ឋាននៅលើ, បើមាន ចំណុចមានសង្កាត់ដែលមុខងារអាចរួមបញ្ចូលបាន។ ជាពិសេស ប្រសិនបើ លក្ខខណ្ឌនៃអាំងតេក្រាលក្នុងមូលដ្ឋាននៃមុខងារគឺជាក់ស្តែងស្មើនឹងការពិតដែលថា 
សម្រាប់ផ្នែកណាមួយ។
ឧទាហរណ៍ 4ស្វែងរកការបំប្លែង Fourier នៃមុខងារ 
:
ភាពខុសគ្នានៃអាំងតេក្រាលចុងក្រោយដោយគោរពតាមប៉ារ៉ាម៉ែត្រ ហើយបន្ទាប់មករួមបញ្ចូលដោយផ្នែក យើងរកឃើញថា
ឬ
មានន័យថា 
កន្លែងណាជាថេរ ដែលដោយប្រើអាំងតេក្រាលអយល័រ-ផូសុន យើងរកឃើញពីទំនាក់ទំនង
ដូច្នេះ យើងបានរកឃើញថា ហើយនៅពេលជាមួយគ្នានេះបានបង្ហាញថា និង 
.
និយមន័យ ៤.ពួកគេនិយាយថាមុខងារ 
កំណត់នៅក្នុងសង្កាត់ដែលវាយដំនៃចំណុច បំពេញលក្ខខណ្ឌ Dini នៅចំណុចប្រសិនបើ
ក) ដែនកំណត់ទាំងសងខាងមាននៅចំណុច
ខ) អាំងតេក្រាលទាំងពីរ
យល់ព្រមជាដាច់ខាត។
ការបញ្ចូលគ្នាដាច់ខាតនៃអាំងតេក្រាល។ 
មានន័យថាការបញ្ចូលគ្នាដាច់ខាតនៃអាំងតេក្រាលយ៉ាងហោចណាស់សម្រាប់តម្លៃមួយចំនួននៃ .
លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ការតំណាងនៃអនុគមន៍ដោយអាំងតេក្រាល Fourier ។
ទ្រឹស្តីបទ ១.ប្រសិនបើពិតជារួមបញ្ចូលនៅលើ និងមុខងារបន្តក្នុងតំបន់ ពេញចិត្តនៅចំណុច លក្ខខណ្ឌ Dini បន្ទាប់មកអាំងតេក្រាល Fourier របស់វាបញ្ចូលគ្នានៅចំណុចនេះ និងទៅតម្លៃ
ស្មើនឹងពាក់កណ្តាលនៃផលបូកនៃដែនកំណត់ខាងឆ្វេង និងស្តាំនៃតម្លៃមុខងារនៅចំណុចនេះ។
លទ្ធផល ១.ប្រសិនបើមុខងារ បន្ត មាននៅគ្រប់ចំណុច និស្សន្ទវត្ថុម្ខាងមានកំណត់ និងអាចរួមបញ្ចូលយ៉ាងពិតប្រាកដនៅលើ បន្ទាប់មកវាលេចឡើងជា ជាមួយនឹងអាំងតេក្រាល Fourier របស់វា។
កន្លែងណា 
ការបំប្លែង Fourier នៃមុខងារ .
តំណាងនៃអនុគមន៍ដោយអាំងតេក្រាល Fourier អាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញដូចជា៖
មតិយោបល់។លក្ខខណ្ឌលើមុខងារដែលបានបង្កើតនៅក្នុងទ្រឹស្តីបទ 1 និងកូរ៉ូឡារី 1 គឺគ្រប់គ្រាន់ ប៉ុន្តែមិនចាំបាច់សម្រាប់លទ្ធភាពនៃការតំណាងបែបនេះទេ។
ឧទាហរណ៍ 5តំណាងមុខងារជាអាំងតេក្រាល Fourier if
មុខងារនេះគឺសេស និងបន្តនៅលើ ℝ លើកលែងតែចំណុច , , .
ដោយសារតែភាពចម្លែកនិងភាពជាក់ស្តែងនៃមុខងារ យើងមាន៖
ហើយពីសមភាព (5) និង (10) វាធ្វើតាមនោះ។
នៅចំណុចនៃការបន្តនៃមុខងារយើងមាន:
ប៉ុន្តែមុខងារគឺចម្លែកដូច្នេះ
ចាប់តាំងពីអាំងតេក្រាលត្រូវបានគណនាក្នុងន័យនៃតម្លៃដើម។
មុខងារគឺសូម្បីតែ, ដូច្នេះ
ប្រសិនបើ . សម្រាប់, សមភាព
សន្មតថាពីទីនេះយើងរកឃើញ
ប្រសិនបើយើងដាក់កន្សោមចុងក្រោយសម្រាប់ , បន្ទាប់មក
សន្មតថានៅទីនេះយើងរកឃើញ
ប្រសិនបើអនុគមន៍តម្លៃពិតគឺបន្តជាប់គ្នាលើផ្នែកណាមួយនៃបន្ទាត់ពិត រួមបញ្ចូលយ៉ាងពិតប្រាកដ និងមាននិស្សន្ទវត្ថុម្ខាងកំណត់នៅចំណុចនីមួយៗ បន្ទាប់មកនៅចំណុចនៃការបន្តនៃអនុគមន៍ វាត្រូវបានតំណាងថាជាអាំងតេក្រាល Fourier
ហើយនៅចំនុចដាច់នៃមុខងារ ផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមភាព (1) គួរតែត្រូវបានជំនួសដោយ
ប្រសិនបើអនុគមន៍ជាប់គ្នាយ៉ាងពិតប្រាកដនៅលើចំណុចនីមួយៗមាននិស្សន្ទវត្ថុម្ខាងកំណត់នៅចំណុចនីមួយៗ នោះក្នុងករណីដែលអនុគមន៍នេះគឺស្មើភាពស្មើគ្នា។
ហើយក្នុងករណីនៅពេលដែលជាមុខងារសេស ភាពស្មើគ្នា
ឧទាហរណ៍ ៥'។ តំណាងឱ្យមុខងារជាអាំងតេក្រាល Fourier ប្រសិនបើ៖
ដោយសារជាអនុគមន៍គូបន្តបន្ទាប់មកដោយប្រើរូបមន្ត (13.2), (13.2') យើងមាន
យើងសម្គាល់ដោយនិមិត្តសញ្ញាដែលអាំងតេក្រាលយល់ក្នុងន័យនៃតម្លៃដើម
លទ្ធផល ២.សម្រាប់មុខងារណាមួយ។ ការបំពេញលក្ខខណ្ឌនៃកូរ៉ូឡារី 1 មានការបំប្លែងទាំងអស់។ , , , ហើយមានភាពស្មើគ្នា
ជាមួយនឹងទំនាក់ទំនងទាំងនេះនៅក្នុងចិត្ត ការផ្លាស់ប្តូរ (14) ត្រូវបានគេហៅថាជាញឹកញាប់ ការបំប្លែង Fourier បញ្ច្រាសហើយជំនួសឱ្យការសរសេរ ហើយសមភាព (15) ខ្លួនឯងត្រូវបានគេហៅថា រូបមន្តបញ្ច្រាសបំប្លែង Fourier.
ឧទាហរណ៍ ៦អនុញ្ញាតឱ្យនិង
ចំណាំថាប្រសិនបើ 
បន្ទាប់មកសម្រាប់មុខងារណាមួយ។
សូមយកមុខងារមួយឥឡូវនេះ។ បន្ទាប់មក
ប្រសិនបើយើងយកអនុគមន៍ដែលជាសេសបន្តនៃអនុគមន៍ 
បន្ទាប់មកនៅលើអ័ក្សលេខទាំងមូល
ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ 1 យើងទទួលបានវា។
អាំងតេក្រាលទាំងអស់នៅទីនេះត្រូវបានយល់ក្នុងន័យនៃតម្លៃចម្បង
ការបំបែកផ្នែកពិត និងការស្រមើលស្រមៃនៅក្នុងអាំងតេក្រាលពីរចុងក្រោយ យើងរកឃើញអាំងតេក្រាល Laplace
និយមន័យ . មុខងារ
នឹងត្រូវបានគេហៅថាបំលែង Fourier ធម្មតា។
និយមន័យ . ប្រសិនបើការបំប្លែង Fourier ធម្មតានៃមុខងារ នោះអាំងតេក្រាលដែលពាក់ព័ន្ធ
យើងនឹងហៅអាំងតេក្រាល Fourier ធម្មតានៃអនុគមន៍។
យើងនឹងពិចារណាការបំប្លែង Fourier ធម្មតា (16) ។
ដើម្បីភាពងាយស្រួល យើងណែនាំសញ្ញាណខាងក្រោម៖
(ទាំងនោះ។ 
).
នៅក្នុងការប្រៀបធៀបជាមួយនឹងការកំណត់ពីមុន នេះគ្រាន់តែជាការកែប្រែឡើងវិញប៉ុណ្ណោះ៖ ដូច្នេះ ជាពិសេសទំនាក់ទំនង (15) អនុញ្ញាតឱ្យយើងសន្និដ្ឋានថា
ឬក្នុងន័យខ្លីជាងនេះ
និយមន័យ ៥.ប្រតិបត្តិករនឹងត្រូវបានគេហៅថាការបំប្លែង Fourier ធម្មតា ហើយប្រតិបត្តិករនឹងត្រូវបានគេហៅថាបំលែង Fourier ធម្មតាបញ្ច្រាស។
នៅក្នុង Lemma 1 វាត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាការបំប្លែង Fourier នៃអនុគមន៍ដែលមិនអាចរួមបញ្ចូលបានយ៉ាងពិតប្រាកដនៅលើអនុគមន៍មួយមានទំនោរទៅសូន្យនៅភាពគ្មានកំណត់។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍ពីរបន្ទាប់បញ្ជាក់ថា ដូចជាមេគុណ Fourier ការផ្លាស់ប្តូរ Fourier មានទំនោរទៅរកសូន្យកាន់តែលឿន មុខងារដែលវាត្រូវបានយកកាន់តែរលូន (នៅក្នុងសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដំបូង) ។ ការពិតទៅវិញទៅមកជាមួយនេះនឹងគឺថា មុខងារដែលលឿនជាងមុនពីការបំប្លែង Fourier ត្រូវបានគេយកទំនោរទៅសូន្យ ការបំលែង Fourier របស់វាកាន់តែរលូន (សេចក្តីថ្លែងការណ៍ទីពីរ) ។
សេចក្តីថ្លែងការណ៍ ១(នៅលើការតភ្ជាប់រវាងភាពរលូននៃមុខងារមួយ និងអត្រានៃការថយចុះនៃការផ្លាស់ប្តូរ Fourier របស់វា)។ ប្រសិនបើ ក និងលក្ខណៈពិសេសទាំងអស់។ 
រួមបញ្ចូលគ្នាយ៉ាងពិតប្រាកដនៅលើ , បន្ទាប់មក:
ក) សម្រាប់ណាមួយ។ 
ខ) 
សេចក្តីថ្លែងការណ៍ ២(នៅលើទំនាក់ទំនងរវាងអត្រានៃការពុកផុយនៃមុខងារមួយ និងភាពរលោងនៃការផ្លាស់ប្តូរ Fourier របស់វា)។ ប្រសិនបើមុខងាររួមបញ្ចូលក្នុងតំបន់ : មុខងារបែបនេះ រួមបញ្ចូលគ្នាយ៉ាងពិតប្រាកដក , បន្ទាប់មក:
ក) ការបំប្លែង Fourier នៃមុខងារ ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ថ្នាក់ 
ខ) មានវិសមភាព
យើងបង្ហាញលក្ខណៈសម្បត្តិផ្នែករឹងចម្បងនៃការផ្លាស់ប្តូរ Fourier ។
លេម៉ា ២.អនុញ្ញាតឱ្យមានការបំប្លែង Fourier សម្រាប់អនុគមន៍ និង (រៀងគ្នា ការបំប្លែង Fourier បញ្ច្រាស) បន្ទាប់មក លេខអ្វីក៏ដោយ និង មានការបំប្លែង Fourier (រៀងគ្នា ការបំលែង Fourier បញ្ច្រាស) និងសម្រាប់មុខងារ 
, និង
(រៀងៗខ្លួន)។
ទ្រព្យសម្បត្តិនេះត្រូវបានគេហៅថាលីនេអ៊ែរនៃការផ្លាស់ប្តូរ Fourier (រៀងគ្នា ការផ្លាស់ប្តូរ Fourier បញ្ច្រាស) ។
ផលវិបាក។ 
.
លេម៉ា ៣.ការបំប្លែង Fourier ក៏ដូចជាការបំប្លែងបញ្ច្រាសគឺជាការបំប្លែងពីមួយទៅមួយលើសំណុំនៃអនុគមន៍ជាប់គ្នាយ៉ាងពិតប្រាកដនៅលើអ័ក្សទាំងមូល ដែលមាននិស្សន្ទវត្ថុម្ខាងនៅចំណុចនីមួយៗ។
នេះមានន័យថា if និងជាមុខងារពីរនៃប្រភេទដែលបានបញ្ជាក់ និង if 
(រៀងគ្នាប្រសិនបើ 
) បន្ទាប់មកនៅលើអ័ក្សទាំងមូល។
ពីការអះអាងរបស់លេម៉ា ១ យើងអាចទទួលបានលេមិនខាងក្រោម។
លេម៉ា ៤.ប្រសិនបើលំដាប់នៃអនុគមន៍រួមបញ្ចូលគ្នាយ៉ាងពិតប្រាកដ 
ហើយមុខងារដែលអាចរួមបញ្ចូលបានយ៉ាងពិតប្រាកដគឺបែបនោះ។
បន្ទាប់មកលំដាប់ស្មើគ្នានៅលើអ័ក្សទាំងមូលទៅជាអនុគមន៍។
ឥឡូវនេះ ចូរយើងសិក្សាការបំប្លែង Fourier នៃ convolutions នៃមុខងារពីរ។ ដើម្បីភាពងាយស្រួល យើងកែប្រែនិយមន័យនៃ convolution ដោយបន្ថែមកត្តាបន្ថែម
ទ្រឹស្តីបទ ២.អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ និងត្រូវបានចងជាប់ បន្ត និងរួមបញ្ចូលគ្នាយ៉ាងពិតប្រាកដនៅលើអ័ក្សពិត បន្ទាប់មក
ទាំងនោះ។ ការបំប្លែង Fourier នៃ convolution នៃមុខងារពីរគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃ Fourier transforms នៃមុខងារទាំងនេះ។
ចូរយើងចងក្រងតារាងសង្ខេបលេខ 1 នៃលក្ខណៈសម្បត្តិនៃការផ្លាស់ប្តូរ Fourier ធម្មតា ដែលមានប្រយោជន៍ក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាខាងក្រោម។
តារាង #1
| មុខងារ | ការផ្លាស់ប្តូរ Fourier ធម្មតា។ |
 |
|
 | |
 |
|
 |
|
 |  |
 |  |
 |  |
 |  |
 | |
 | |
 |
ដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិ 1-4 និង 6 យើងទទួលបាន
ឧទាហរណ៍ ៧ស្វែងរកការបំប្លែង Fourier ធម្មតានៃមុខងារមួយ។
ឧទាហរណ៍ទី 4 បានបង្ហាញ
ដូចជាប្រសិនបើ
យោងតាមទ្រព្យសម្បត្តិ 3 យើងមាន:
ស្រដៀងគ្នានេះដែរ អ្នកអាចចងក្រងតារាងលេខ 2 សម្រាប់ការបំប្លែង Fourier បញ្ច្រាសធម្មតា៖
តារាងលេខ 2
| មុខងារ | ការផ្លាស់ប្តូរ Fourier បញ្ច្រាសធម្មតា។ |
 |
|
| | |
 |
|
 |
|
| |  |
| |  |
| |  |
| | |
| | |
| | |
 |
ដូចពីមុន ដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិ 1-4 និង 6 យើងទទួលបាននោះ។
ឧទាហរណ៍ ៨ស្វែងរកការបំប្លែង Fourier បញ្ច្រាសធម្មតានៃមុខងារមួយ។
ដូចខាងក្រោមពីឧទាហរណ៍ ៦
នៅពេលដែលយើងមាន៖
តំណាងឱ្យមុខងារក្នុងទម្រង់
ប្រើទ្រព្យសម្បត្តិ 6 នៅពេល
ជម្រើសសម្រាប់ភារកិច្ចសម្រាប់ការទូទាត់និងការងារក្រាហ្វិក
1. ស្វែងរកស៊ីនុស - ការបំប្លែង Fourier នៃអនុគមន៍មួយ។
2. ស្វែងរកស៊ីនុស - ការបំប្លែង Fourier នៃអនុគមន៍មួយ។
3. ស្វែងរកកូស៊ីនុស - ការបំប្លែង Fourier នៃអនុគមន៍មួយ។
4. ស្វែងរកកូស៊ីនុស - ការបំប្លែង Fourier នៃអនុគមន៍មួយ។
5. ស្វែងរកស៊ីនុស - ការបំប្លែង Fourier នៃអនុគមន៍មួយ។
6.Find cosine - ការបំប្លែង Fourier នៃអនុគមន៍មួយ។
7. ស្វែងរកស៊ីនុស - ការបំប្លែង Fourier នៃអនុគមន៍
8. ស្វែងរកកូស៊ីនុស - ការបំប្លែង Fourier នៃអនុគមន៍មួយ។
9. ស្វែងរកកូស៊ីនុស - ការបំប្លែង Fourier នៃអនុគមន៍មួយ។
10. ស្វែងរកស៊ីនុស - ការបំប្លែង Fourier នៃអនុគមន៍មួយ។
11. ស្វែងរកស៊ីនុស - ការបំប្លែង Fourier នៃអនុគមន៍មួយ។
12. ស្វែងរកស៊ីនុស - ការបំប្លែងមុខងារ
13. ស្វែងរកស៊ីនុស - ការបំប្លែងមុខងារ
14. ស្វែងរកកូស៊ីនុស - ការបំប្លែងមុខងារ
15. ស្វែងរកកូស៊ីនុស - ការបំប្លែងមុខងារ
16. ស្វែងរកការបំប្លែង Fourier នៃអនុគមន៍ ប្រសិនបើ៖
17. ស្វែងរកការបំប្លែង Fourier នៃអនុគមន៍ ប្រសិនបើ៖
18. ស្វែងរកការបំប្លែង Fourier នៃអនុគមន៍ ប្រសិនបើ៖
19. ស្វែងរកការបំប្លែង Fourier នៃអនុគមន៍ ប្រសិនបើ៖
20. ស្វែងរកការបំប្លែង Fourier នៃអនុគមន៍ ប្រសិនបើ៖
21. ស្វែងរកការបំប្លែង Fourier នៃអនុគមន៍ ប្រសិនបើ៖
22. ស្វែងរកការបំប្លែង Fourier ច្រាសធម្មតានៃអនុគមន៍មួយ។
ដោយប្រើរូបមន្ត
24. ស្វែងរកការបំប្លែង Fourier ច្រាសធម្មតានៃមុខងារមួយ។
ដោយប្រើរូបមន្ត
26. ស្វែងរកការបំប្លែង Fourier ច្រាសធម្មតានៃអនុគមន៍មួយ។
ដោយប្រើរូបមន្ត
28. ស្វែងរកការបំប្លែង Fourier ច្រាសធម្មតានៃអនុគមន៍មួយ។
ដោយប្រើរូបមន្ត
30. ស្វែងរកការបំប្លែង Fourier ច្រាសធម្មតានៃមុខងារមួយ។
ដោយប្រើរូបមន្ត
23. ស្វែងរកការបំប្លែង Fourier ច្រាសធម្មតានៃអនុគមន៍មួយ។
ដោយប្រើរូបមន្ត
25. ស្វែងរកការបំប្លែង Fourier ច្រាសធម្មតានៃអនុគមន៍មួយ។
ដោយប្រើរូបមន្ត
27. ស្វែងរកការបំប្លែង Fourier ច្រាសធម្មតានៃអនុគមន៍មួយ។
ដោយប្រើរូបមន្ត
29. ស្វែងរកការបំប្លែង Fourier ច្រាសធម្មតានៃអនុគមន៍មួយ។
ដោយប្រើរូបមន្ត
31. ស្វែងរកការបំប្លែង Fourier ច្រាសធម្មតានៃអនុគមន៍មួយ។
ដោយប្រើរូបមន្ត
32. តំណាងឱ្យអនុគមន៍មួយជាអាំងតេក្រាល Fourier
33. តំណាងឱ្យអនុគមន៍មួយជាអាំងតេក្រាល Fourier
34. តំណាងឱ្យអនុគមន៍មួយជាអាំងតេក្រាល Fourier
35. តំណាងឱ្យអនុគមន៍មួយជាអាំងតេក្រាល Fourier
36. តំណាងឱ្យមុខងារជាអាំងតេក្រាល Fourier
37. តំណាងឱ្យអនុគមន៍មួយជាអាំងតេក្រាល Fourier
38. តំណាងឱ្យមុខងារជាអាំងតេក្រាល Fourier
39. តំណាងមុខងារមួយជាអាំងតេក្រាល Fourier
40. តំណាងឱ្យមុខងារជាអាំងតេក្រាល Fourier
41. តំណាងឱ្យមុខងារជាអាំងតេក្រាល Fourier
42. តំណាងមុខងារមួយជាអាំងតេក្រាល Fourier
43. តំណាងមុខងារជាអាំងតេក្រាល Fourier ដោយពង្រីកវាក្នុងវិធីសេសមួយទៅចន្លោះពេលប្រសិនបើ៖
44. តំណាងមុខងារជាអាំងតេក្រាល Fourier ដោយបន្តវាក្នុងវិធីសេសទៅចន្លោះពេល if ។
ឧបករណ៍ដ៏មានអានុភាពមួយសម្រាប់សិក្សាបញ្ហានៃរូបវិទ្យាគណិតវិទ្យាគឺវិធីសាស្ត្រនៃការផ្លាស់ប្តូរអាំងតេក្រាល។ អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ f(x) ត្រូវបានកំណត់នៅលើចន្លោះពេល (a, 6) កំណត់ ឬគ្មានកំណត់។ ការបំប្លែងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ f(x) គឺជាអនុគមន៍ដែល K(x, w) គឺជាមុខងារដែលបានជួសជុលសម្រាប់ការបំប្លែងដែលបានផ្តល់ឱ្យ ហៅថា ខឺណែលបំប្លែង (វាត្រូវបានសន្មត់ថា អាំងតេក្រាល (*) មាននៅក្នុងន័យត្រឹមត្រូវ ឬមិនត្រឹមត្រូវរបស់វា។ ) §មួយ។ អាំងតេក្រាល Fourier មុខងារណាមួយ f(x) ដែលនៅលើផ្នែក [-f, I] បំពេញលក្ខខណ្ឌនៃការពង្រីកទៅជាស៊េរី Fourier អាចត្រូវបានតំណាងនៅលើផ្នែកនេះដោយស៊េរីត្រីកោណមាត្រ មេគុណ a* និង 6n នៃស៊េរី (1 ) ត្រូវបានកំនត់ដោយរូបមន្តអយល័រ-ហ្វួរីៈ Fourier transform Fourier integral ទម្រង់អាំងតេក្រាលស្មុគ្រស្មាញ Fourier transform Cosine និង sine transforms Amplitude and phase spectra លក្ខណសម្បត្តិកម្មវិធី ស៊េរីនៅខាងស្តាំនៃសមីការ (1) អាចត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់ផ្សេងគ្នា។ ចំពោះគោលបំណងនេះ យើងណែនាំវាពីរូបមន្ត (2) តម្លៃនៃមេគុណ a» និង op ដកនៅក្រោមសញ្ញានៃអាំងតេក្រាល cos ^ x និង sin x (ដែលអាចធ្វើទៅបាន ដោយសារអថេររួមបញ្ចូលគឺ m) O) ហើយប្រើរូបមន្តសម្រាប់កូស៊ីនុសនៃភាពខុសគ្នា។ យើងនឹងមាន ប្រសិនបើអនុគមន៍ /(x) ត្រូវបានកំណត់ដំបូងនៅលើចន្លោះអ័ក្សលេខធំជាងចន្លោះ [-1,1] (ឧទាហរណ៍នៅលើអ័ក្សទាំងមូល) បន្ទាប់មកការពង្រីក (3) នឹងបង្កើតតម្លៃឡើងវិញ។ នៃអនុគមន៍នេះតែនៅលើចន្លោះពេល [-1, 1] ហើយបន្តនៅលើអ័ក្សពិតទាំងមូលជាអនុគមន៍តាមកាលកំណត់ដែលមានរយៈពេល 21 (រូបភាព 1)។ ដូច្នេះ ប្រសិនបើអនុគមន៍ f(x) (និយាយជាទូទៅ មិនមែនតាមកាលកំណត់) ត្រូវបានកំណត់នៅលើអ័ក្សពិតទាំងមូល ក្នុងរូបមន្ត (3) វាអាចព្យាយាមឆ្លងដល់ដែនកំណត់ដូច I + oo ។ ក្នុងករណីនេះ វាជារឿងធម្មតាដែលតម្រូវឱ្យមានលក្ខខណ្ឌដូចខាងក្រោម៖ 1. f(x) បំពេញលក្ខខណ្ឌនៃការពង្រីកទៅជាស៊េរី Fourier នៅលើផ្នែកកំណត់ណាមួយនៃអ័ក្ស xx\ 2. មុខងារ f(x) គឺពិតជា រួមបញ្ចូលនៅលើអ័ក្សពិតទាំងមូល។ (3) ទំនោរទៅសូន្យដូច I -* + oo ។ ជាការពិត ចូរយើងព្យាយាមបង្កើតអ្វីដែលផលបូកនៅខាងស្តាំដៃនៃ (3) នឹងទៅក្នុងដែនកំណត់ដូច I + oo ។ ចូរយើងសន្មត់ថា ផលបូកនៅខាងស្តាំដៃនៃ (3) នឹងយកទម្រង់ ដោយសារតែការបញ្ចូលគ្នាដាច់ខាតនៃអាំងតេក្រាល ផលបូកនេះសម្រាប់ធំ ខ្ញុំខុសគ្នាតិចតួចពីកន្សោមដែលស្រដៀងនឹងផលបូកអាំងតេក្រាលសម្រាប់មុខងារនៃ អថេរ £ ចងក្រងសម្រាប់ចន្លោះពេល (0, + oo) នៃការផ្លាស់ប្តូរ។ ដូច្នេះវាជាធម្មជាតិដែលរំពឹងថាសម្រាប់ , ផលបូក (5) ទៅអាំងតេក្រាល С ម្យ៉ាងវិញទៀត សម្រាប់ថេរ) វាធ្វើតាមរូបមន្ត (3 ) ដែលយើងទទួលបានសមភាពផងដែរ លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់សុពលភាពនៃរូបមន្ត (7) ត្រូវបានបង្ហាញដោយទ្រឹស្តីបទខាងក្រោម។ ទ្រឹស្តីបទ 1. ប្រសិនបើអនុគមន៍ f(x) គឺអាចរួមបញ្ចូលយ៉ាងពិតប្រាកដនៅលើអ័ក្សពិតទាំងមូល ហើយរួមជាមួយនឹងដេរីវេរបស់វា មានចំនួនកំណត់នៃចំនុចដាច់នៃប្រភេទទីមួយនៅលើផ្នែកណាមួយ [a, 6] បន្ទាប់មកនៃប្រភេទទី នៃអនុគមន៍ /(x) តម្លៃនៃអាំងតេក្រាលនៅខាងស្តាំនៃ (7) គឺស្មើនឹងរូបមន្ត (7) ត្រូវបានគេហៅថារូបមន្តអាំងតេក្រាល Fourier ហើយអាំងតេក្រាលនៅខាងស្តាំរបស់វាត្រូវបានគេហៅថា អាំងតេក្រាល Fourier ។ ប្រសិនបើយើងប្រើរូបមន្តសម្រាប់ថ្ងៃនៃកូស៊ីនុសនៃភាពខុសគ្នា នោះរូបមន្ត (7) អាចត្រូវបានសរសេរជាមុខងារ a(t), b(t) គឺជា analogues នៃមេគុណ Fourier ដែលត្រូវគ្នា និង bn នៃ 2n-periodic អនុគមន៍ ប៉ុន្តែក្រោយមកត្រូវបានកំណត់សម្រាប់តម្លៃដាច់ពីគ្នានៃ n ខណៈពេល a(0 > HO ត្រូវបានកំណត់សម្រាប់តម្លៃបន្តនៃ G(-oo, +oo)) ទម្រង់ស្មុគស្មាញនៃអាំងតេក្រាល Fourier ច្បាស់ជាមុខងារសេស។ of But then ម៉្យាងវិញទៀត អាំងតេក្រាល គឺជាមុខងារគូនៃអថេរ ដូច្នេះហើយ រូបមន្តអាំងតេក្រាល Fourier អាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម៖ ចូរយើងគុណសមភាពដោយឯកតាស្រមើលស្រមៃ i ហើយបន្ថែមទៅសមភាព (10) ។ នេះគឺជាទម្រង់ស្មុគ្រស្មាញនៃអាំងតេក្រាល Fourier។ នៅទីនេះ ការរួមបញ្ចូលខាងក្រៅលើ t ត្រូវបានយល់ក្នុងន័យនៃតម្លៃចម្បង Cauchy: § 2. Fourier បំប្លែង Cosine និង sine Fourier បំប្លែងឱ្យ Func f(x) មានភាពរលូនល្អនៅលើផ្នែកកំណត់ណាមួយនៃអ័ក្ស x និងអាចរួមបញ្ចូលយ៉ាងពិតប្រាកដនៅលើអ័ក្សទាំងមូល។ និយមន័យ។ អនុគមន៍ដែលដោយគុណធម៌នៃរូបមន្ត អយល័រ យើងនឹងមានត្រូវបានគេហៅថា ការបំប្លែង Fourier នៃអនុគមន៍ f(r) (អនុគមន៍វិសាលគម)។ នេះគឺជាការបំប្លែងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ / (r) នៅលើចន្លោះពេល (-oo, + oo) ជាមួយខឺណែលមួយ។ ដោយប្រើរូបមន្តអាំងតេក្រាល Fourier យើងទទួលបាននេះហៅថា បំលែង Fourier ច្រាស ដែលផ្តល់ការផ្លាស់ប្តូរពី F (t) ទៅ / (x) ។ ជួនកាលការបំប្លែង Fourier ដោយផ្ទាល់ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដូចខាងក្រោម: បន្ទាប់មកការបំប្លែង Fourier បញ្ច្រាសត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត ការបំប្លែង Fourier នៃអនុគមន៍ f(x) ក៏ត្រូវបានកំណត់ដូចខាងក្រោមៈ FOURIER TRANSFORM អាំងតេក្រាល Fourier ទម្រង់ស្មុគ្រស្មាញនៃអាំងតេក្រាល Fourier transform Cosine និង sine នៃការផ្លាស់ប្តូរអំព្លីទីត និងវិសាលគមដំណាក់កាល លក្ខណសម្បត្តិកម្មវិធី បន្ទាប់មក នៅក្នុងវេន ក្នុងករណីនេះ ទីតាំងនៃកត្តា ^ គឺពិតជាបំពាន៖ វាអាចបញ្ចូលទាំងរូបមន្ត (1") ឬរូបមន្ត (2")។ ឧទាហរណ៍ 1. ស្វែងរកការបំប្លែង Fourier នៃអនុគមន៍ -4 យើងមានសមភាពនេះអនុញ្ញាតឱ្យមានភាពខុសគ្នាដោយគោរពទៅ £ នៅក្រោមសញ្ញាអាំងតេក្រាល (អាំងតេក្រាលដែលទទួលបានបន្ទាប់ពីភាពខុសគ្នាបានបញ្ចូលគ្នាជាឯកសណ្ឋាននៅពេលដែល (ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ផ្នែកកំណត់ណាមួយ): ការរួមបញ្ចូលដោយផ្នែក យើងនឹងមាន យើងទទួលបានពីកន្លែងណា (C គឺជាថេរនៃការរួមបញ្ចូល) ។ កំណត់ £ = 0 ក្នុង (4) យើងរកឃើញ С = F (0) ។ ដោយគុណធម៌នៃ (3) យើងមានវាត្រូវបានគេស្គាល់ថាជាពិសេសសម្រាប់) យើងទទួលបាននោះ។ ចូរយើងពិចារណាអនុគមន៍ 4. សម្រាប់វិសាលគម oyu នៃអនុគមន៍ F(t) យើងទទួលបាន ហេតុនេះ (រូបទី 2)។ លក្ខខណ្ឌនៃអាំងតេក្រាលដាច់ខាតនៃអនុគមន៍ f(x) នៅលើអ័ក្សពិតទាំងមូលគឺតឹងរ៉ឹងណាស់។ ឧទាហរណ៍ វាមិនរាប់បញ្ចូលមុខងារបឋមដូចជា f(x) = e1 ដែល Fourier បំប្លែង (ក្នុងទម្រង់បុរាណដែលបានពិចារណានៅទីនេះ) មិនមានទេ។ មានតែមុខងារទាំងនោះប៉ុណ្ណោះដែលមានការបំប្លែង Fourier ដែលមានទំនោរទៅសូន្យលឿនគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ |x| -+ +oo (ដូចក្នុងឧទាហរណ៍ 1 និង 2)។ ២.១. កូស៊ីនុស និងស៊ីនុស Fourier បំប្លែង ដោយប្រើរូបមន្តកូស៊ីនុស ភាពខុសប្លែកគ្នា យើងសរសេររូបមន្តអាំងតេក្រាល Fourier ឡើងវិញក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម៖ អនុញ្ញាតឱ្យ f(x) ជាមុខងារគូ។ បន្ទាប់មក ដូច្នេះពីសមភាព (5) យើងមាន ក្នុងករណីសេស f(x) យើងទទួលបានដូចគ្នា ប្រសិនបើ f(x) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យតែលើ (0, -foo) បន្ទាប់មករូបមន្ត (6) ពង្រីក f(x) ទៅអ័ក្សអុកទាំងមូលតាមរបៀបស្មើគ្នា និងរូបមន្ត (7) - សេស។ (7) និយមន័យ។ អនុគមន៍នេះត្រូវបានគេហៅថាការបំប្លែងកូស៊ីនុស Fourier នៃអនុគមន៍ f(x)។ វាធ្វើតាមពី (6) ដែលសម្រាប់អនុគមន៍គូ f(x) នេះមានន័យថា f(x) គឺជាការបំប្លែងកូស៊ីនុសសម្រាប់ Fc(t)។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត អនុគមន៍ / និង Fc គឺជាការផ្លាស់ប្តូរកូស៊ីនុសទៅវិញទៅមក។ និយមន័យ។ អនុគមន៍នេះត្រូវបានគេហៅថា ការបំប្លែងស៊ីនុស Fourier នៃអនុគមន៍ f(x)។ ពី (7) យើងទទួលបានវាសម្រាប់មុខងារសេស f(x) ឧ។ f និង Fs គឺជាការបំប្លែងស៊ីនុសទៅវិញទៅមក។ ឧទាហរណ៍ទី 3 (ជីពចរមុំខាងស្តាំ) ។ អនុញ្ញាតឱ្យ f(t) ជាអនុគមន៍គូដែលបានកំណត់ដូចខាងក្រោម៖ (រូបទី 3)។ ចូរប្រើលទ្ធផលដែលទទួលបានដើម្បីគណនាអាំងតេក្រាល ដោយគុណធម៌នៃរូបមន្ត (9) យើងមាន Fig.3 0 0 នៅចំនុច t = 0 អនុគមន៍ f(t) គឺបន្ត និងស្មើមួយ។ ដូច្នេះពី (12") យើងទទួលបាន 2.2 អំព្លីទីត និងវិសាលគមដំណាក់កាលនៃអាំងតេក្រាល Fourier អនុញ្ញាតឱ្យ f(x) ជាអនុគមន៍តាមកាលកំណត់ដែលមានរយៈពេល 2m ហើយពង្រីកទៅជាស៊េរី Fourier ។ សមភាពនេះអាចត្រូវបានសរសេរនៅពេលយើងមកដល់ គោលគំនិតនៃទំហំ និងវិសាលគមដំណាក់កាលនៃអនុគមន៍តាមកាលកំណត់ សម្រាប់អនុគមន៍មិនតាមកាលកំណត់ f(x) ដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅលើ (-oo, +oo) នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌជាក់លាក់ វាប្រែថាអាចតំណាងវាដោយអាំងតេក្រាល Fourier ដែល ពង្រីកមុខងារនេះលើគ្រប់ប្រេកង់ទាំងអស់ (ការពង្រីកនៅក្នុងវិសាលគមប្រេកង់បន្ត និយមន័យ អនុគមន៍វិសាលគម ឬដង់ស៊ីតេវិសាលគមនៃអាំងតេក្រាល Fourier គឺជាកន្សោមមួយ (ការបំប្លែង Fourier ដោយផ្ទាល់នៃអនុគមន៍ f ត្រូវបានគេហៅថា វិសាលគមទំហំ និងមុខងារ Ф " ) = -argSfc) - វិសាលគមដំណាក់កាលនៃអនុគមន៍ / (") ។ វិសាលគមទំហំ A(t) បម្រើជារង្វាស់នៃការរួមចំណែកនៃប្រេកង់ t ទៅមុខងារ /(x)។ ឧទាហរណ៍ 4. ស្វែងរកទំហំ និងវិសាលគមដំណាក់កាលនៃអនុគមន៍ 4 ស្វែងរកអនុគមន៍វិសាលគម ពីទីនេះ ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ទាំងនេះត្រូវបានបង្ហាញក្នុងរូបភព។ 4. § 3 ។ Fourier transform properties 1. លីនេអ៊ែរ។ ប្រសិនបើ និង G(0 គឺជាការបំប្លែង Fourier នៃអនុគមន៍ f(x) និង g(x) រៀងៗខ្លួន នោះសម្រាប់ថេរណាមួយ និង p ការបំប្លែង Fourier នៃអនុគមន៍ a f(x) + p g(x) នឹងជាអនុគមន៍ a ដោយប្រើលក្ខណសម្បត្តិលីនេអ៊ែរនៃអាំងតេក្រាល យើងមាន ដូច្នេះ បំលែង Fourier គឺជាប្រតិបត្តិករលីនេអ៊ែរ។ កំណត់វាដោយយើងនឹងសរសេរ។ ប្រសិនបើ F(t) គឺជាបំលែង Fourier នៃអនុគមន៍ f(x) ពិតជាអាចរួមបញ្ចូលបាននៅលើពិតទាំងមូល។ អ័ក្ស បន្ទាប់មក F(t) ត្រូវបានចងសម្រាប់ទាំងអស់គ្នា។ អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ f(x) រួមបញ្ចូលយ៉ាងពិតប្រាកដនៅលើអ័ក្សទាំងមូល - ការបំប្លែង Fourier នៃអនុគមន៍ f (x)។ បន្ទាប់មក 3" flts J. សូម f (x) ជា អនុគមន៍មួយ ការអត់ឱនដែលជាការបំប្លែង Fourier L គឺជាចំនួននៃលក្ខណៈសម្បត្តិ។ អនុគមន៍ fh (x) \u003d f (z-h) ត្រូវបានគេហៅថាការផ្លាស់ប្តូរនៃ fundium f(x) ដោយប្រើនិយមន័យនៃការផ្លាស់ប្តូរ Fourier បង្ហាញថា Problem. សូមអោយអនុគមន៍ f(z) មាន Fourier transform F(0> h ជាចំនួនពិត។ បង្ហាញថា 3. Fourier transform and differentiation ooeresis.Let a absolutely integrable function f(x) has a derivative f" (x) ដែលអាចរួមបញ្ចូលយ៉ាងពិតប្រាកដនៅលើអ័ក្សទាំងមូល អូ ដូច្នេះ /(n) ទំនោរទៅសូន្យដូច |x| -» + អូ។ ដោយសន្មត់ថា f "(x) ជាអនុគមន៍រលោង យើងសរសេរការរួមបញ្ចូលដោយផ្នែក យើងមានពាក្យនៅខាងក្រៅ integral vanishes (ចាប់តាំងពី, ហើយយើងទទួលបានដូច្នេះភាពខុសគ្នានៃអនុគមន៍ / (x) ត្រូវគ្នាទៅនឹងគុណនៃ Fourier របស់វា។ រូបភាព ^ П /] ដោយកត្តា ប្រសិនបើអនុគមន៍ f (x) មាននិស្សន្ទវត្ថុដែលមិនអាចបំប្លែងបានយ៉ាងរលូនរហូតដល់បញ្ជា m រួមបញ្ចូល ហើយពួកវាទាំងអស់ដូចជាមុខងារ f(x) ខ្លួនវាមានទំនោរទៅសូន្យ ហើយបន្ទាប់មករួមបញ្ចូលដោយផ្នែក។ ចំនួនដងដែលត្រូវការ យើងទទួលបាន Fourier transform គឺមានប្រយោជន៍យ៉ាងជាក់លាក់ ព្រោះវាជំនួសប្រតិបត្តិការនៃភាពខុសគ្នាជាមួយនឹងប្រតិបត្តិការនៃគុណនឹងតម្លៃមួយ ហើយដោយហេតុនេះជួយសម្រួលបញ្ហានៃការរួមបញ្ចូលប្រភេទមួយចំនួននៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ ចាប់តាំងពីការបំប្លែង Fourier នៃពិត អនុគមន៍អាំងតេក្រាល f^k\x) គឺជាអនុគមន៍កំណត់ព្រំដែននៃ (លក្ខណសម្បត្តិ 2) ពីទំនាក់ទំនង (2) យើងទទួលបានការប៉ាន់ប្រមាណដូចខាងក្រោមសម្រាប់ : Fourier transform Fourier integral Complex form Fourier transform Cosine and sine transforms Amplitude and phase spectra លក្ខណៈសម្បត្តិកម្មវិធីពី ការវាយតម្លៃនេះជាមួយ ខាងក្រោមនេះ៖ មុខងារ f(x) កាន់តែច្រើនមាននិស្សន្ទវត្ថុរួមបញ្ចូលគ្នាយ៉ាងពិតប្រាកដ ការបំលែង Fourier របស់វាកាន់តែលឿនទៅសូន្យ។ មតិយោបល់។ លក្ខខណ្ឌគឺមានលក្ខណៈធម្មជាតិ ចាប់តាំងពីទ្រឹស្ដីធម្មតានៃអាំងតេក្រាល Fourier ទាក់ទងនឹងដំណើរការដែលក្នុងន័យមួយ ឬមួយផ្សេងទៀត មានការចាប់ផ្តើម និងបញ្ចប់ ប៉ុន្តែកុំបន្តដោយគ្មានកំណត់ជាមួយនឹងអាំងតង់ស៊ីតេប្រហាក់ប្រហែល។ 4. ទំនាក់ទំនងរវាងអត្រាបំបែកនៃអនុគមន៍ f(x) សម្រាប់ |z| -» -f oo និងភាពរលូននៃការផ្លាស់ប្តូរ Fourm របស់វា។ ចូរយើងសន្មត់ថាមិនត្រឹមតែ /(x) ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែផលិតផលរបស់វាផងដែរ xf(x) គឺជាមុខងារដែលអាចរួមបញ្ចូលបានយ៉ាងពិតប្រាកដនៅលើអ័ក្ស x ទាំងមូល។ បន្ទាប់មក Fourier transform) នឹងក្លាយជាមុខងារផ្សេងគ្នា។ ជាការពិតណាស់ ភាពខុសគ្នាជាផ្លូវការដោយគោរពតាមប៉ារ៉ាម៉ែត្រ £ នៃអាំងតេក្រាល នាំទៅរកអាំងតេក្រាលមួយ ដែលពិតជាត្រូវបញ្ចូលគ្នា និងស្មើភាពគ្នាដោយគោរពតាមប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។ ប្រសិនបើរួមជាមួយនឹងអនុគមន៍ f(x) មុខងារគឺពិតជាអាចរួមបញ្ចូលបាននៅលើអ័ក្សអុកទាំងមូល នោះដំណើរការនៃភាពខុសគ្នាអាចត្រូវបានបន្ត។ យើងទទួលបានថាអនុគមន៍មាននិស្សន្ទវត្ថុដើម្បីបញ្ជា m រួមបញ្ចូល ហើយដូច្នេះ អនុគមន៍ f(x) កាន់តែលឿន អនុគមន៍កាន់តែរលោង។ ទ្រឹស្តីបទ 2 (អំពីសមយុទ្ធ)។ អនុញ្ញាតឱ្យមានការបំប្លែង Fourier នៃអនុគមន៍ /,(x) និង f2(x) រៀងៗខ្លួន។ បន្ទាប់មកអាំងតេក្រាលទ្វេនៅខាងស្តាំដៃត្រូវបញ្ចូលគ្នាយ៉ាងពិតប្រាកដ។ តោះដាក់ x ។ បន្ទាប់មកយើងនឹងមាន ឬផ្លាស់ប្តូរលំដាប់នៃការធ្វើសមាហរណកម្ម មុខងារត្រូវបានគេហៅថា convolution នៃអនុគមន៍ ហើយត្រូវបានតំណាងដោយនិមិត្តសញ្ញារូបមន្ត (1) ឥឡូវនេះអាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម: ពីនេះវាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថាការផ្លាស់ប្តូរ Fourier នៃ convolution នៃអនុគមន៍ f\(x) និង f2(x) គឺស្មើនឹងគុណនឹង y/2x ផលិតផលនៃការបំប្លែង Fourier នៃមុខងារដែលអាចបត់បាន ចំណាំ។ វាងាយស្រួលក្នុងការបង្កើតលក្ខណៈដូចខាងក្រោមនៃ convolution: 1) linearity: 2) commutativity: §4 ។ កម្មវិធីនៃការបំប្លែង Fourier 1. អនុញ្ញាតឱ្យ Р(^) ជាប្រតិបត្តិករឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ m ជាមួយនឹងមេគុណថេរ។ y(x) មានបំលែង Fourier y (O. ហើយអនុគមន៍ f(x) មានបំលែង /(t) ការអនុវត្តការបំប្លែង Fourier ទៅជាសមីការ (1) យើងទទួលបានជំនួសឱ្យសមីការពិជគណិតឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៅលើអ័ក្សដោយគោរពទៅកន្លែងណា ដូច្នេះជាផ្លូវការដែលជាកន្លែងដែលនិមិត្តសញ្ញាតំណាងឱ្យការបំប្លែង Fourier ច្រាស ការកំណត់សំខាន់នៃការអនុវត្តនៃវិធីសាស្ត្រនេះត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយដូចខាងក្រោម។ ការពិត៖ ដំណោះស្រាយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតាដែលមានមេគុណថេរមានមុខងារនៃទម្រង់< х < 4-оо, и преобразование Фурье для них не определено, так что, строго говоря, применятьданный метод нельзя. Это ограничение можно обойти, если ввести в рассмотрение так называемые обобщенные функции. Однако в ряде случаев преобразование Фурье все же применимо в своей классической форме. Пример. Найти решение а = а(х, t) уравнения (а = const), при начальных условиях Это - задача о свободных колебаниях бесконечной однородной струны, когда задано начальное отклонение <р(х) точек сгруны, а начальные скорости отсутствуют. 4 Поскольку пространственная переменная х изменяется в пределах от -оо до +оо, подвергнем уравнение и начальные условия преобразованию Фурье по переменной х. Будем предполагать, что 1) функции и(х, t) и
ដែលត្រូវបានធុញទ្រាន់រួចទៅហើយ។ ហើយខ្ញុំមានអារម្មណ៍ថាពេលនេះបានមកដល់នៅពេលដែលវាដល់ពេលដើម្បីទាញយកអាហារកំប៉ុងថ្មីពីទុនបម្រុងយុទ្ធសាស្ត្រនៃទ្រឹស្តី។ តើវាអាចទៅរួចទេក្នុងការពង្រីកមុខងារទៅជាស៊េរីតាមវិធីផ្សេង? ឧទាហរណ៍ ដើម្បីបង្ហាញផ្នែកបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងន័យស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស? វាហាក់បីដូចជាមិនគួរឱ្យជឿ ប៉ុន្តែមុខងារដែលហាក់ដូចជាឆ្ងាយបែបនេះ ផ្តល់ប្រាក់កម្ចីដល់ពួកគេ។
"ការជួបជុំ" ។ បន្ថែមពីលើសញ្ញាបត្រដែលធ្លាប់ស្គាល់នៅក្នុងទ្រឹស្តី និងការអនុវត្ត មានវិធីសាស្រ្តផ្សេងទៀតក្នុងការពង្រីកមុខងារទៅជាស៊េរី។
នៅក្នុងមេរៀននេះ យើងនឹងស្គាល់ពីស៊េរីត្រីកោណមាត្រ Fourier ប៉ះលើបញ្ហានៃការបញ្ចូលគ្នា និងផលបូករបស់វា ហើយជាការពិត យើងនឹងវិភាគឧទាហរណ៍ជាច្រើនសម្រាប់ការពង្រីកមុខងារទៅជាស៊េរី Fourier ។ ខ្ញុំចង់ហៅអត្ថបទថា "Fourier Series for Dummies" ដោយស្មោះ ប៉ុន្តែវានឹងមានល្បិចកល ព្រោះការដោះស្រាយបញ្ហានឹងត្រូវការចំណេះដឹងផ្នែកផ្សេងទៀតនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា និងបទពិសោធន៍ជាក់ស្តែងមួយចំនួន។ ដូច្នេះបុព្វកថានឹងស្រដៀងនឹងការបណ្តុះបណ្តាលអវកាសយានិក =)
ជាដំបូង ការសិក្សាអំពីសម្ភារៈទំព័រគួរតែត្រូវបានខិតជិតក្នុងទម្រង់ដ៏ល្អឥតខ្ចោះ។ ងងុយគេង សម្រាក និងស្ងប់ស្ងាត់។ ដោយគ្មានអារម្មណ៍ខ្លាំងអំពីក្រញាំដែលខូចរបស់ hamster និងគំនិតឈ្លក់វង្វេងអំពីការលំបាកនៃជីវិតរបស់ត្រីអាងចិញ្ចឹមត្រី។ ស៊េរី Fourier គឺមិនពិបាកពីទស្សនៈនៃការយល់ដឹងនោះទេ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ កិច្ចការជាក់ស្តែងគ្រាន់តែទាមទារឱ្យមានការកើនឡើងនៃការយកចិត្តទុកដាក់ - តាមឧត្ដមគតិ គួរតែបោះបង់ចោលទាំងស្រុងនូវការរំញោចខាងក្រៅ។ ស្ថានការណ៍កាន់តែធ្ងន់ធ្ងរឡើងដោយការពិតដែលថាមិនមានវិធីងាយស្រួលក្នុងការពិនិត្យមើលដំណោះស្រាយនិងចម្លើយនោះទេ។ ដូច្នេះប្រសិនបើសុខភាពរបស់អ្នកទាបជាងមធ្យម នោះជាការប្រសើរក្នុងការធ្វើអ្វីដែលសាមញ្ញជាងនេះ។ សេចក្តីពិត។
ទីពីរ មុននឹងហោះឡើងទៅក្នុងលំហ ត្រូវសិក្សាពីបន្ទះឧបករណ៍របស់យានអវកាស។ ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងតម្លៃនៃមុខងារដែលគួរចុចលើម៉ាស៊ីន៖
សម្រាប់តម្លៃធម្មជាតិណាមួយ៖
មួយ) ។ ហើយជាការពិត sinusoid "បញ្ចេញ" អ័ក្ស x តាមរយៈ "pi" នីមួយៗ:
. ក្នុងករណីតម្លៃអវិជ្ជមាននៃអាគុយម៉ង់ លទ្ធផលពិតណាស់នឹងដូចគ្នា៖ .
២). ប៉ុន្តែមិនមែនគ្រប់គ្នាបានដឹងរឿងនេះទេ។ កូស៊ីនុស "pi en" គឺស្មើនឹង "ពន្លឺភ្លឺ"៖
អាគុយម៉ង់អវិជ្ជមានមិនផ្លាស់ប្តូរករណីនេះទេ៖ 
.
ប្រហែលជាគ្រប់គ្រាន់ហើយ។
ហើយទីបី សាកសពអវកាសយានិកជាទីគោរព អ្នកត្រូវតែអាច... រួមបញ្ចូល.
ជាពិសេសប្រាកដ នាំយកមុខងារនៅក្រោមសញ្ញាឌីផេរ៉ង់ស្យែល, រួមបញ្ចូលដោយផ្នែកនិងស្ថិតក្នុងលក្ខខណ្ឌដ៏ល្អជាមួយ រូបមន្ត Newton-Leibniz. តោះចាប់ផ្តើមលំហាត់សំខាន់ៗមុនពេលហោះហើរ។ ខ្ញុំមិនណែនាំឱ្យរំលងវាទេ ដូច្នេះពេលក្រោយអ្នកមិនរាងមូលក្នុងសូន្យទំនាញឡើយ៖
ឧទាហរណ៍ ១
គណនាអាំងតេក្រាលជាក់លាក់
កន្លែងដែលយកតម្លៃធម្មជាតិ។
ដំណោះស្រាយ៖ ការរួមបញ្ចូលត្រូវបានអនុវត្តលើអថេរ "x" ហើយនៅដំណាក់កាលនេះ អថេរដាច់ដោយឡែក "en" ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាថេរ។ នៅក្នុងអាំងតេក្រាលទាំងអស់។ នាំយកមុខងារនៅក្រោមសញ្ញានៃឌីផេរ៉ង់ស្យែល:
កំណែខ្លីនៃដំណោះស្រាយដែលជាការល្អក្នុងការថតនៅមើលទៅដូចនេះ:
ស៊ាំនឹង៖
ចំណុចទាំងបួនដែលនៅសល់គឺដោយខ្លួនឯង។ ព្យាយាមចាត់ចែងកិច្ចការដោយមនសិការ និងរៀបចំអាំងតេក្រាលក្នុងវិធីខ្លីៗ។ ដំណោះស្រាយគំរូនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។
បន្ទាប់ពីការធ្វើលំហាត់ប្រាណ QUALITY យើងពាក់អាវអវកាស
ហើយត្រៀមខ្លួនចាប់ផ្តើម!
ការពង្រីកមុខងារនៅក្នុងស៊េរី Fourier នៅលើចន្លោះពេល
ចូរយើងពិចារណាមុខងារមួយ។ កំណត់យ៉ាងហោចណាស់នៅចន្លោះពេល (ហើយប្រហែលជានៅចន្លោះពេលធំជាងនេះ)។ ប្រសិនបើអនុគមន៍នេះអាចរួមបញ្ចូលនៅលើផ្នែក នោះវាអាចត្រូវបានពង្រីកទៅជាត្រីកោណមាត្រ ស៊េរី Fourier:
កន្លែងដែលគេហៅថា មេគុណ Fourier.
ក្នុងករណីនេះលេខត្រូវបានហៅ រយៈពេល decompositionហើយលេខគឺ ការរំលាយពាក់កណ្តាលជីវិត.
ជាក់ស្តែង នៅក្នុងករណីទូទៅ ស៊េរី Fourier មានស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស៖ 
ជាការពិត ចូរយើងសរសេរវាឱ្យលម្អិត៖
ពាក្យសូន្យនៃស៊េរីជាធម្មតាត្រូវបានសរសេរជា .
មេគុណ Fourier ត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្តខាងក្រោម៖ 
ខ្ញុំយល់យ៉ាងច្បាស់ថាពាក្យថ្មីនៅតែមិនច្បាស់លាស់សម្រាប់អ្នកចាប់ផ្តើមដំបូងដើម្បីសិក្សាប្រធានបទ៖ រយៈពេល decomposition, ពាក់កណ្តាលវដ្ត, មេគុណ Fourierនិងអ្នកផ្សេងទៀត កុំភ័យស្លន់ស្លោ វាមិនអាចប្រៀបធៀបទៅនឹងការរំភើបមុនពេលដើរលំហអាកាសបានទេ។ ចូរយើងគិតអ្វីៗទាំងអស់នៅក្នុងឧទាហរណ៍ដែលនៅជិតបំផុត មុនពេលប្រតិបត្តិ ដែលវាសមហេតុផលក្នុងការសួរសំណួរជាក់ស្តែង៖
តើអ្នកត្រូវការធ្វើអ្វីក្នុងកិច្ចការខាងក្រោម?
ពង្រីកមុខងារទៅជាស៊េរី Fourier ។ លើសពីនេះទៀត ជារឿយៗវាត្រូវបានតម្រូវឱ្យគូរក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ ក្រាហ្វនៃផលបូកនៃស៊េរី ផលបូកមួយផ្នែក ហើយក្នុងករណីដែលស្រមើស្រម៉ៃរបស់សាស្រ្តាចារ្យ ធ្វើអ្វីមួយផ្សេងទៀត។
តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីពង្រីកមុខងារទៅជាស៊េរី Fourier?
សំខាន់អ្នកត្រូវស្វែងរក មេគុណ Fourierនោះគឺ តែង និងគណនាបី អាំងតេក្រាលជាក់លាក់.
សូមចម្លងទម្រង់ទូទៅនៃស៊េរី Fourier និងរូបមន្តដំណើរការទាំងបីនៅក្នុងសៀវភៅកត់ត្រារបស់អ្នក។ ខ្ញុំពិតជារីករាយណាស់ដែលអ្នកទស្សនាគេហទំព័រមួយចំនួនមានក្តីស្រមៃកាលពីកុមារភាពចង់ក្លាយជាអវកាសយានិកដែលក្លាយជាការពិតនៅចំពោះមុខភ្នែករបស់ខ្ញុំ =)
ឧទាហរណ៍ ២
ពង្រីកមុខងារទៅជាស៊េរី Fourier នៅចន្លោះពេល។ បង្កើតក្រាហ្វ ក្រាហ្វនៃផលបូកនៃស៊េរី និងផលបូកមួយផ្នែក។
ដំណោះស្រាយ៖ ផ្នែកដំបូងនៃភារកិច្ចគឺពង្រីកមុខងារទៅជាស៊េរី Fourier ។
ការចាប់ផ្តើមគឺជាស្តង់ដារ ត្រូវប្រាកដថាសរសេរថា:
ក្នុងបញ្ហានេះ រយៈពេលពង្រីក ពាក់កណ្តាលរយៈពេល។
យើងពង្រីកមុខងារនៅក្នុងស៊េរី Fourier នៅចន្លោះពេល៖ 
ដោយប្រើរូបមន្តសមស្របយើងរកឃើញ មេគុណ Fourier. ឥឡូវនេះយើងត្រូវចងក្រងនិងគណនាចំនួនបី អាំងតេក្រាលជាក់លាក់. ដើម្បីភាពងាយស្រួល ខ្ញុំនឹងរាប់ពិន្ទុ៖
1) អាំងតេក្រាលទីមួយគឺសាមញ្ញបំផុត ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ វាទាមទារភ្នែក និងភ្នែករួចហើយ៖ 
2) យើងប្រើរូបមន្តទីពីរ:
អាំងតេក្រាលនេះត្រូវបានគេស្គាល់យ៉ាងច្បាស់ គាត់យកវាមកជាដុំៗ: 
នៅពេលរកឃើញថាប្រើ វិធីសាស្រ្តនៃការនាំយកអនុគមន៍នៅក្រោមសញ្ញាឌីផេរ៉ង់ស្យែល.
នៅក្នុងភារកិច្ចដែលកំពុងពិចារណាវាកាន់តែងាយស្រួលប្រើភ្លាមៗ រូបមន្តសម្រាប់ការរួមបញ្ចូលដោយផ្នែកនៅក្នុងអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ 
:
កំណត់ចំណាំបច្ចេកទេសពីរបី។ ដំបូងបន្ទាប់ពីអនុវត្តរូបមន្ត កន្សោមទាំងមូលត្រូវតែរុំព័ទ្ធក្នុងតង្កៀបធំចាប់តាំងពីមានថេរនៅពីមុខអាំងតេក្រាលដើម។ កុំអោយចាញ់! វង់ក្រចកអាចត្រូវបានបើកនៅជំហានណាមួយបន្ថែមទៀត ខ្ញុំបានធ្វើវានៅវេនចុងក្រោយបំផុត។ នៅក្នុង "បំណែក" ដំបូង 
យើងបង្ហាញពីភាពត្រឹមត្រូវខ្លាំងក្នុងការជំនួស ដូចដែលអ្នកអាចមើលឃើញ ថេរគឺចេញពីអាជីវកម្ម ហើយដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូលត្រូវបានជំនួសទៅក្នុងផលិតផល។ សកម្មភាពនេះត្រូវបានសម្គាល់ដោយតង្កៀបការ៉េ។ ជាការប្រសើរណាស់, អាំងតេក្រាលនៃ "ដុំ" ទីពីរនៃរូបមន្តត្រូវបានគេស្គាល់យ៉ាងច្បាស់ចំពោះអ្នកពីភារកិច្ចបណ្តុះបណ្តាល ;-)
ហើយសំខាន់បំផុត - ការផ្តោតអារម្មណ៍ចុងក្រោយ!
3) យើងកំពុងស្វែងរកមេគុណ Fourier ទីបី៖
ទំនាក់ទំនងនៃអាំងតេក្រាលមុនគឺត្រូវបានទទួល រួមបញ្ចូលដោយផ្នែក:
ករណីនេះមានភាពស្មុគស្មាញបន្តិច ខ្ញុំនឹងធ្វើអត្ថាធិប្បាយពីជំហានបន្ថែមទៀតមួយជំហានម្តងៗ៖ 
(1) កន្សោមទាំងមូលត្រូវបានរុំព័ទ្ធក្នុងតង្កៀបធំ។. ខ្ញុំមិនចង់ហាក់ដូចជាធុញទេ គេចាញ់ថេរញឹកញាប់ពេក។
(២) ក្នុងករណីនេះ ខ្ញុំបានពង្រីកតង្កៀបធំៗទាំងនោះភ្លាមៗ។ ការយកចិត្តទុកដាក់ពិសេសយើងឧទ្ទិសដល់ "ដុំ" ដំបូង: ការជក់បារីថេរនៅខាងចំហៀងនិងមិនចូលរួមក្នុងការជំនួសដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូល (និង) ទៅក្នុងផលិតផល។ នៅក្នុងទិដ្ឋភាពនៃការពង្រាយកំណត់ត្រា វាជាការគួរម្តងទៀតដើម្បីរំលេចសកម្មភាពនេះក្នុងតង្កៀបការ៉េ។ ជាមួយនឹង "បំណែក" ទីពីរ 
អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញជាង: នៅទីនេះប្រភាគបានបង្ហាញខ្លួនបន្ទាប់ពីបើកតង្កៀបធំហើយថេរ - ជាលទ្ធផលនៃការរួមបញ្ចូលអាំងតេក្រាលដែលធ្លាប់ស្គាល់ ;-)
(3) នៅក្នុងតង្កៀបការ៉េ យើងអនុវត្តការបំប្លែង ហើយនៅក្នុងអាំងតេក្រាលត្រឹមត្រូវ យើងជំនួសដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូល។
(4) យើងយក "flasher" ចេញពីតង្កៀបការ៉េ: បន្ទាប់ពីនោះយើងបើកតង្កៀបខាងក្នុង: .
(5) យើងលុបចោល 1 និង -1 នៅក្នុងតង្កៀប ហើយធ្វើឱ្យសាមញ្ញចុងក្រោយ។
ទីបំផុតបានរកឃើញមេគុណ Fourier ទាំងបី៖ 
ជំនួសពួកវាទៅក្នុងរូបមន្ត 
:
កុំភ្លេចបំបែកជាពាក់កណ្តាល។ នៅជំហានចុងក្រោយ ថេរ ("ដកពីរ") ដែលមិនអាស្រ័យលើ "en" ត្រូវបានយកចេញពីផលបូក។
ដូច្នេះហើយ យើងបានទទួលការពង្រីកមុខងារនៅក្នុងស៊េរី Fourier នៅចន្លោះពេល៖ 
ចូរយើងសិក្សាសំណួរនៃការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរី Fourier ។ ខ្ញុំនឹងពន្យល់ទ្រឹស្តីជាពិសេស ទ្រឹស្តីបទ Dirichletព្យញ្ជនៈ "នៅលើម្រាមដៃ" ដូច្នេះប្រសិនបើអ្នកត្រូវការទម្រង់ដ៏តឹងរឹង សូមយោងទៅសៀវភៅសិក្សាស្តីពីការគណនា (ឧទាហរណ៍ភាគទី 2 នៃបូហាន; ឬភាគទី 3 នៃ Fichtenholtz ប៉ុន្តែវាពិបាកជាងនៅក្នុងវា).
នៅក្នុងផ្នែកទីពីរនៃកិច្ចការ វាត្រូវបានតម្រូវឱ្យគូរក្រាហ្វ ក្រាហ្វផលបូកជាស៊េរី និងក្រាហ្វផលបូកមួយផ្នែក។
ក្រាហ្វនៃមុខងារគឺធម្មតា។ បន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះដែលត្រូវបានគូរដោយបន្ទាត់ចំនុចខ្មៅ៖ 
យើងដោះស្រាយជាមួយនឹងផលបូកនៃស៊េរី។ ដូចដែលអ្នកបានដឹងហើយថាស៊េរីមុខងារប្រែទៅជាមុខងារ។ ក្នុងករណីរបស់យើង ស៊េរី Fourier ត្រូវបានសាងសង់ 
សម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃ "x"បំប្លែងទៅជាមុខងារដែលបង្ហាញជាពណ៌ក្រហម។ មុខងារនេះគឺជាកម្មវត្ថុ ការបំបែកនៃប្រភេទទី 1នៅក្នុងចំនុច ប៉ុន្តែក៏បានកំណត់នៅក្នុងពួកវា (ចំណុចក្រហមនៅក្នុងគំនូរ)
តាមវិធីនេះ៖ 
. វាងាយមើលឃើញថាវាខុសគ្នាគួរឱ្យកត់សម្គាល់ពីមុខងារដើម ដែលជាមូលហេតុនៅក្នុងសញ្ញាណ 
tilde ត្រូវបានប្រើជំនួសឱ្យសញ្ញាស្មើ។
ចូរយើងសិក្សាក្បួនដោះស្រាយមួយដែលវាងាយស្រួលក្នុងការបង្កើតផលបូកនៃស៊េរីមួយ។
នៅចន្លោះពេលកណ្តាល ស៊េរី Fourier បង្រួបបង្រួមទៅនឹងមុខងារខ្លួនវា (ផ្នែកក្រហមកណ្តាលស្របគ្នានឹងបន្ទាត់ចំនុចខ្មៅនៃអនុគមន៍លីនេអ៊ែរ)។
ឥឡូវនេះសូមនិយាយបន្តិចអំពីលក្ខណៈនៃការពង្រីកត្រីកោណមាត្រដែលបានពិចារណា។ ស៊េរី Fourier 
រួមបញ្ចូលតែមុខងារតាមកាលកំណត់ (ថេរ ស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស) ដូច្នេះផលបូកនៃស៊េរី 
ក៏ជាមុខងារតាមកាលកំណត់ផងដែរ។.
តើនេះមានន័យយ៉ាងណានៅក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង? ហើយនេះមានន័យថាផលបូកនៃស៊េរី 
–ចាំបាច់តាមកាលកំណត់ហើយផ្នែកពណ៌ក្រហមនៃចន្លោះពេលត្រូវតែធ្វើម្តងទៀតដោយគ្មានកំណត់នៅខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំ។
ខ្ញុំគិតថាឥឡូវនេះអត្ថន័យនៃឃ្លាថា«កំឡុងពេលនៃការខូចខាត»បានក្លាយជាទីបំផុតបានក្លាយជាច្បាស់។ និយាយឱ្យសាមញ្ញ រាល់ពេលដែលស្ថានការណ៍កើតឡើងម្តងហើយម្តងទៀត។
នៅក្នុងការអនុវត្ត ជាធម្មតាវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីពណ៌នារយៈពេល decomposition ចំនួនបី ដូចដែលបានធ្វើនៅក្នុងគំនូរ។ ជាការប្រសើរណាស់, និង "ដើម" បន្ថែមទៀតនៃរយៈពេលជិតខាង - ដើម្បីធ្វើឱ្យវាច្បាស់ថាតារាងបន្ត។
ចំណាប់អារម្មណ៍ពិសេសគឺ ចំណុចដាច់នៃប្រភេទទី 1. នៅចំណុចបែបនេះ ស៊េរី Fourier ប្រែទៅជាតម្លៃដាច់ពីគេ ដែលមានទីតាំងនៅចំកណ្តាលនៃភាពមិនដំណើរការ "លោត" (ចំណុចក្រហមនៅក្នុងគំនូរ) ។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរកការចាត់តាំងនៃចំណុចទាំងនេះ? ជាដំបូង ចូរយើងស្វែងរកការចាត់តាំងនៃ "ជាន់ខាងលើ"៖ សម្រាប់រឿងនេះ យើងគណនាតម្លៃនៃមុខងារនៅចំណុចខាងស្តាំបំផុតនៃកំឡុងពេលពង្រីកកណ្តាល៖ . ដើម្បីគណនាលំដាប់នៃ "ជាន់ក្រោម" វិធីងាយស្រួលបំផុតគឺយកតម្លៃខាងឆ្វេងបំផុតនៃរយៈពេលដូចគ្នា៖ 
. លំដាប់នៃតម្លៃមធ្យម គឺជាមធ្យមនព្វន្ធនៃផលបូកនៃ "កំពូល និងបាត"៖ . ល្អគឺជាការពិតដែលថានៅពេលសាងសង់គំនូរអ្នកនឹងឃើញភ្លាមៗថាតើពាក់កណ្តាលត្រូវបានគណនាត្រឹមត្រូវឬមិនត្រឹមត្រូវ។
អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្កើតផលបូកមួយផ្នែកនៃស៊េរីហើយក្នុងពេលតែមួយនិយាយឡើងវិញនូវអត្ថន័យនៃពាក្យ "ការបញ្ចូលគ្នា" ។ ការជម្រុញត្រូវបានគេស្គាល់ពីមេរៀនអំពី ផលបូកនៃស៊េរីលេខ. ចូរពិពណ៌នាអំពីទ្រព្យសម្បត្តិរបស់យើងយ៉ាងលម្អិត៖
ដើម្បីបង្កើតផលបូកមួយផ្នែក អ្នកត្រូវសរសេរលេខសូន្យ + លក្ខខណ្ឌពីរបន្ថែមទៀតនៃស៊េរី។ នោះគឺ
នៅក្នុងគំនូរ ក្រាហ្វនៃមុខងារត្រូវបានបង្ហាញជាពណ៌បៃតង ហើយដូចដែលអ្នកបានឃើញ វារុំជុំវិញចំនួនសរុបយ៉ាងតឹងរ៉ឹង។ ប្រសិនបើយើងពិចារណាលើផលបូកមួយផ្នែកនៃប្រាំលក្ខខណ្ឌនៃស៊េរី នោះក្រាហ្វនៃមុខងារនេះនឹងប្រហាក់ប្រហែលនឹងបន្ទាត់ក្រហមកាន់តែត្រឹមត្រូវ ប្រសិនបើមានមួយរយពាក្យនោះ "សត្វពស់ពណ៌បៃតង" នឹងពិតជាបញ្ចូលគ្នាទាំងស្រុងជាមួយនឹងផ្នែកក្រហម។ ល។ ដូច្នេះ ស៊េរី Fourier ចូលគ្នាជាផលបូករបស់វា។
វាគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ក្នុងការកត់សម្គាល់ថាផលបូកផ្នែកណាមួយគឺ មុខងារបន្តប៉ុន្តែចំនួនសរុបនៃស៊េរីនៅតែមិនបន្ត។
នៅក្នុងការអនុវត្ត វាមិនមែនជារឿងចម្លែកទេក្នុងការបង្កើតក្រាហ្វផលបូកមួយផ្នែក។ តើត្រូវធ្វើដូចម្តេច? ក្នុងករណីរបស់យើង វាចាំបាច់ក្នុងការពិចារណាលើមុខងារនៅលើផ្នែក គណនាតម្លៃរបស់វានៅចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក និងនៅចំណុចមធ្យម (ពិន្ទុកាន់តែច្រើនដែលអ្នកពិចារណា ក្រាហ្វនឹងកាន់តែត្រឹមត្រូវ)។ បន្ទាប់មក អ្នកគួរសម្គាល់ចំណុចទាំងនេះនៅលើគំនូរ ហើយគូរក្រាហ្វដោយប្រុងប្រយ័ត្ននៅលើកំឡុងពេល ហើយបន្ទាប់មក "ចម្លង" វាទៅក្នុងចន្លោះពេលជាប់គ្នា។ ម៉េចទៀត? យ៉ាងណាមិញ ការប៉ាន់ប្រមាណក៏ជាមុខងារតាមកាលកំណត់ផងដែរ ... ... សម្រាប់ហេតុផលមួយចំនួន ក្រាហ្វរបស់វារំឭកខ្ញុំអំពីចង្វាក់បេះដូងដូចគ្នានៅលើការបង្ហាញឧបករណ៍វេជ្ជសាស្ត្រ។
ជាការពិតណាស់វាមិនងាយស្រួលទេក្នុងការអនុវត្តការសាងសង់ដោយហេតុថាអ្នកត្រូវប្រុងប្រយ័ត្នបំផុតដោយរក្សាភាពត្រឹមត្រូវមិនតិចជាងកន្លះមិល្លីម៉ែត្រ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ខ្ញុំនឹងផ្គាប់ចិត្តអ្នកអានដែលមានជម្លោះជាមួយការគូរ - នៅក្នុងកិច្ចការ "ពិតប្រាកដ" វានៅឆ្ងាយពីភាពចាំបាច់ជានិច្ចក្នុងការអនុវត្តគំនូរ នៅកន្លែងណាមួយក្នុង 50% នៃករណី វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីពង្រីកមុខងារទៅជាស៊េរី Fourier ហើយនោះជា វា។
បន្ទាប់ពីបញ្ចប់គំនូរយើងបំពេញភារកិច្ច:
ចម្លើយ: 
នៅក្នុងការងារជាច្រើនមុខងារទទួលរង ការដាច់នៃប្រភេទទី 1នៅលើរយៈពេលនៃការរលួយ:
ឧទាហរណ៍ ៣
ពង្រីកនៅក្នុងស៊េរី Fourier មុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅលើចន្លោះពេល។ គូរក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ និងផលបូកសរុបនៃស៊េរី។
មុខងារដែលបានស្នើឡើងគឺត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយផ្នែក (ហើយចងចាំអ្នកតែនៅលើផ្នែក)និងស៊ូទ្រាំ ការដាច់នៃប្រភេទទី 1នៅចំណុច។ តើអាចគណនាមេគុណ Fourier បានទេ? គ្មានបញ្ហា។ ទាំងផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃអនុគមន៍គឺអាចបញ្ចូលគ្នាបាននៅចន្លោះពេលរបស់ពួកគេ ដូច្នេះអាំងតេក្រាលក្នុងរូបមន្តទាំងបីគួរតែត្រូវបានតំណាងថាជាផលបូកនៃអាំងតេក្រាលពីរ។ ជាឧទាហរណ៍ សូមមើលពីរបៀបដែលវាត្រូវបានធ្វើសម្រាប់មេគុណសូន្យ៖
អាំងតេក្រាលទីពីរបានប្រែទៅជាស្មើសូន្យ ដែលកាត់បន្ថយការងារ ប៉ុន្តែនេះមិនមែនតែងតែជាករណីនោះទេ។
មេគុណ Fourier ពីរផ្សេងទៀតត្រូវបានសរសេរស្រដៀងគ្នា។
តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីបង្ហាញផលបូកនៃស៊េរីមួយ? នៅចន្លោះពេលខាងឆ្វេង យើងគូរផ្នែកបន្ទាត់ត្រង់ ហើយនៅចន្លោះពេល - ចម្រៀកបន្ទាត់ត្រង់ (បន្លិចផ្នែកអ័ក្សជាដិត-ដិត)។ នោះគឺនៅលើចន្លោះពេលពង្រីក ផលបូកនៃស៊េរីស្របគ្នានឹងមុខងារនៅគ្រប់ទីកន្លែង លើកលែងតែចំណុច "អាក្រក់" ចំនួនបី។ នៅចំណុចបំបែកនៃមុខងារ ស៊េរី Fourier បម្លែងទៅជាតម្លៃដាច់ពីគេ ដែលមានទីតាំងនៅចំកណ្តាល "លោត" នៃការបំបែក។ វាមិនពិបាកក្នុងការមើលវាផ្ទាល់មាត់ទេ៖ left-side limit:, right-side limit: 
ហើយជាក់ស្តែង ការចាត់តាំងនៃចំណុចកណ្តាលគឺ 0.5 ។
ដោយសារភាពទៀងទាត់នៃផលបូក រូបភាពត្រូវតែ "គុណ" ទៅក្នុងរយៈពេលជិតខាង ជាពិសេសពណ៌នារឿងដូចគ្នានៅលើចន្លោះពេល និង . ក្នុងករណីនេះនៅចំណុច ស៊េរី Fourier បម្លែងទៅជាតម្លៃមធ្យម។
តាមពិតទៅ មិនមានអ្វីថ្មីនៅទីនេះទេ។
ព្យាយាមដោះស្រាយបញ្ហានេះដោយខ្លួនឯង។ គំរូប្រហាក់ប្រហែលនៃការរចនា និងគំនូរដ៏ល្អនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។
ការពង្រីកមុខងារនៅក្នុងស៊េរី Fourier លើរយៈពេលបំពាន
សម្រាប់រយៈពេលពង្រីកដោយបំពាន ដែល "el" គឺជាចំនួនវិជ្ជមានណាមួយ រូបមន្តសម្រាប់ស៊េរី Fourier និង Fourier មេគុណខុសគ្នានៅក្នុងអាគុយម៉ង់ស៊ីនុស និងកូស៊ីនុសដែលមានភាពស្មុគស្មាញបន្តិច៖
ប្រសិនបើ នោះយើងទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់ចន្លោះពេលដែលយើងបានចាប់ផ្តើម។
ក្បួនដោះស្រាយ និងគោលការណ៍សម្រាប់ដោះស្រាយបញ្ហាត្រូវបានរក្សាទុកទាំងស្រុង ប៉ុន្តែភាពស្មុគស្មាញបច្ចេកទេសនៃការគណនាកើនឡើង៖
ឧទាហរណ៍ 4
ពង្រីកមុខងារទៅជាស៊េរី Fourier ហើយធ្វើផែនការបូក។ 
ដំណោះស្រាយ: តាមពិត analogue នៃឧទាហរណ៍លេខ 3 ជាមួយ ការដាច់នៃប្រភេទទី 1នៅចំណុច។ ក្នុងបញ្ហានេះ រយៈពេលពង្រីក ពាក់កណ្តាលរយៈពេល។ មុខងារត្រូវបានកំណត់ត្រឹមតែពាក់កណ្តាលចន្លោះប៉ុណ្ណោះ ប៉ុន្តែវាមិនផ្លាស់ប្តូរអ្វីនោះទេ - វាជាការសំខាន់ដែលផ្នែកទាំងពីរនៃអនុគមន៍អាចបញ្ចូលគ្នាបាន។
តោះពង្រីកមុខងារទៅជាស៊េរី Fourier៖
ដោយសារមុខងារមិនបន្តនៅដើម មេគុណ Fourier នីមួយៗ ច្បាស់ជាត្រូវសរសេរជាផលបូកនៃអាំងតេក្រាលពីរ៖
1) ខ្ញុំនឹងសរសេរអាំងតេក្រាលដំបូងឱ្យបានលម្អិតតាមដែលអាចធ្វើទៅបាន៖
២) សម្លឹងមើលផ្ទៃព្រះច័ន្ទដោយប្រុងប្រយ័ត្ន៖
អាំងតេក្រាលទីពីរ យកផ្នែក:
តើអ្នកគួរយកចិត្តទុកដាក់ចំពោះអ្វីបន្ទាប់ពីយើងបើកការបន្តដំណោះស្រាយដោយសញ្ញាផ្កាយ?
ដំបូងយើងមិនបាត់បង់អាំងតេក្រាលទីមួយទេ។ 
ដែលជាកន្លែងដែលយើងប្រតិបត្តិភ្លាមៗ នៅក្រោមសញ្ញានៃឌីផេរ៉ង់ស្យែល. ទី២ កុំភ្លេចអនិច្ចាអភ័ព្វមុនតង្កៀបធំហើយ កុំច្រឡំដោយសញ្ញានៅពេលប្រើរូបមន្ត 
. តង្កៀបធំបន្ទាប់ពីទាំងអស់វាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការបើកភ្លាមៗនៅជំហានបន្ទាប់។
នៅសល់គឺជាបញ្ហានៃបច្ចេកទេស មានតែបទពិសោធន៍មិនគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការដោះស្រាយអាំងតេក្រាលអាចបង្កឱ្យមានការលំបាក។
បាទ វាមិនមែនជាការឥតប្រយោជន៍ទេដែលសហសេវិកដ៏ឆ្នើមរបស់គណិតវិទូជនជាតិបារាំង Fourier មានការខឹងសម្បារ - តើគាត់ហ៊ានបំបែកមុខងារទៅជាស៊េរីត្រីកោណមាត្រយ៉ាងដូចម្តេច?! =) ដោយវិធីនេះ ប្រហែលជាអ្នកគ្រប់គ្នាចាប់អារម្មណ៍លើអត្ថន័យជាក់ស្តែងនៃកិច្ចការនៅក្នុងសំណួរ។ Fourier ខ្លួនគាត់ផ្ទាល់បានធ្វើការលើគំរូគណិតវិទ្យានៃចរន្តកំដៅ ហើយជាបន្តបន្ទាប់ ស៊េរីដែលដាក់ឈ្មោះតាមគាត់បានចាប់ផ្តើមត្រូវបានប្រើដើម្បីសិក្សាដំណើរការតាមកាលកំណត់ជាច្រើន ដែលជាក់ស្តែងមើលមិនឃើញនៅក្នុងពិភពខាងក្រៅ។ ឥឡូវនេះ ដោយវិធីនេះ ខ្ញុំបានគិតខ្លួនឯងថាវាមិនមែនជារឿងចៃដន្យទេដែលខ្ញុំបានប្រៀបធៀបក្រាហ្វនៃឧទាហរណ៍ទីពីរជាមួយនឹងចង្វាក់បេះដូងតាមកាលកំណត់។ អ្នកដែលចាប់អារម្មណ៍អាចស្គាល់ពីការអនុវត្តជាក់ស្តែង ការផ្លាស់ប្តូរ Fourierពីប្រភពភាគីទីបី។ ... ទោះបីជាវាមិនប្រសើរជាង - វានឹងត្រូវបានគេចងចាំជាស្នេហាដំបូង =)
3) ដោយសារតំណខ្សោយដែលបានលើកឡើងម្តងហើយម្តងទៀត យើងដោះស្រាយជាមួយមេគុណទីបី៖
ការរួមបញ្ចូលដោយផ្នែក៖ 
យើងជំនួសមេគុណ Fourier ដែលបានរកឃើញទៅក្នុងរូបមន្ត 
កុំភ្លេចចែកមេគុណសូន្យជាពាក់កណ្តាល៖
ចូររៀបរាប់ផលបូកនៃស៊េរី។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងធ្វើបែបបទម្តងទៀតដោយសង្ខេប: នៅចន្លោះពេលយើងបង្កើតបន្ទាត់មួយហើយនៅលើចន្លោះពេល - បន្ទាត់មួយ។ ជាមួយនឹងតម្លៃសូន្យនៃ "x" យើងដាក់ចំណុចមួយនៅកណ្តាល "លោត" នៃគម្លាតហើយ "ចម្លង" តារាងសម្រាប់រយៈពេលជិតខាង: 
នៅ "ប្រសព្វ" នៃរយៈពេល ផលបូកក៏នឹងស្មើនឹងចំណុចកណ្តាលនៃ "លោត" នៃគម្លាត។
រួចរាល់។ ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកថា មុខងារខ្លួនវាត្រូវបានកំណត់តាមលក្ខខណ្ឌតែលើចន្លោះពាក់កណ្តាលប៉ុណ្ណោះ ហើយជាក់ស្តែង គឺស្របគ្នាជាមួយនឹងផលបូកនៃស៊េរីនៅលើចន្លោះពេល។
ចម្លើយ:
ពេលខ្លះមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យជាដុំៗក៏បន្តនៅលើកំឡុងពេលពង្រីកផងដែរ។ ឧទាហរណ៍សាមញ្ញបំផុត៖ 
. ដំណោះស្រាយ (មើល បូហាន ភាគ ២)គឺដូចគ្នានឹងឧទាហរណ៍ពីរមុនដែរ៖ ទោះបីជា មុខងារបន្តនៅចំណុចនេះ មេគុណ Fourier នីមួយៗត្រូវបានបង្ហាញជាផលបូកនៃអាំងតេក្រាលពីរ។
នៅក្នុងចន្លោះពេលនៃការបែកបាក់ ចំណុចដាច់នៃប្រភេទទី 1និង/ឬ "ប្រសព្វ" នៃក្រាហ្វអាចមានច្រើន (ពីរ បី និងជាទូទៅណាមួយ។ ចុងក្រោយចំនួនទឹកប្រាក់) ។ ប្រសិនបើមុខងារមួយអាចបញ្ចូលគ្នាបាននៅគ្រប់ផ្នែក នោះវាក៏អាចពង្រីកបាននៅក្នុងស៊េរី Fourier ផងដែរ។ ប៉ុន្តែតាមបទពិសោធន៍ជាក់ស្តែង ខ្ញុំមិនចាំថា សំណប៉ាហាំងបែបនេះទេ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មានកិច្ចការពិបាកជាងការគិត ហើយនៅចុងបញ្ចប់នៃអត្ថបទសម្រាប់អ្នកគ្រប់គ្នា មានតំណភ្ជាប់ទៅកាន់ស៊េរី Fourier នៃភាពស្មុគស្មាញកើនឡើង។
ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ ចូរយើងសម្រាក ផ្អៀងលើកៅអីរបស់យើង ហើយសញ្ជឹងគិតអំពីផ្កាយដែលលាតសន្ធឹងគ្មានទីបញ្ចប់៖
ឧទាហរណ៍ 5
ពង្រីកអនុគមន៍ទៅជាស៊េរី Fourier នៅចន្លោះពេល ហើយគ្រោងផលបូកនៃស៊េរី។
នៅក្នុងភារកិច្ចនេះមុខងារ បន្តនៅលើចន្លោះពេលពាក់កណ្តាល decomposition ដែលជួយសម្រួលដំណោះស្រាយ។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺស្រដៀងនឹងឧទាហរណ៍លេខ 2. មិនមានការគេចចេញពីយានអវកាសទេ - អ្នកត្រូវតែសម្រេចចិត្ត =) គំរូរចនាប្រហាក់ប្រហែលនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន កាលវិភាគត្រូវបានភ្ជាប់។
ការពង្រីកស៊េរី Fourier នៃមុខងារគូ និងសេស
ជាមួយនឹងមុខងារគូ និងសេស ដំណើរការនៃការដោះស្រាយបញ្ហាគឺមានភាពសាមញ្ញគួរឱ្យកត់សម្គាល់។ ហើយនោះហើយជាមូលហេតុ។ ចូរយើងត្រលប់ទៅការពង្រីកមុខងារនៅក្នុងស៊េរី Fourier នៅលើកំឡុងពេលនៃ "two pi" 
និងរយៈពេលបំពាន "ពីរអាល" 
.
ចូរសន្មតថាមុខងាររបស់យើងគឺស្មើគ្នា។ ពាក្យទូទៅនៃស៊េរី ដូចដែលអ្នកអាចមើលឃើញ មានសូម្បីតែកូស៊ីនុស និងស៊ីនុសសេស។ ហើយប្រសិនបើយើងបំបែកមុខងារ EVEN នោះ ហេតុអ្វីបានជាយើងត្រូវការស៊ីនុសសេស?! ចូរកំណត់មេគុណដែលមិនចាំបាច់ឡើងវិញ៖ .
ដោយវិធីនេះ មុខងារគូពង្រីកទៅជាស៊េរី Fourier តែនៅក្នុងកូស៊ីនុសប៉ុណ្ណោះ។:
ដោយសារតែ អាំងតេក្រាលនៃមុខងារគូលើផ្នែកនៃសមាហរណកម្មដែលស៊ីមេទ្រីទាក់ទងនឹងសូន្យអាចត្រូវបានកើនឡើងទ្វេដង បន្ទាប់មកមេគុណ Fourier ដែលនៅសល់ក៏ត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញផងដែរ។
សម្រាប់វិសាលភាព៖ 
សម្រាប់ចន្លោះពេលបំពាន៖ 
ឧទាហរណ៍នៃសៀវភៅសិក្សាដែលត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងសៀវភៅសិក្សាស្ទើរតែទាំងអស់រួមមានការពង្រីកមុខងារសូម្បីតែ 
. លើសពីនេះទៀត ពួកគេបានជួបគ្នាម្តងហើយម្តងទៀត នៅក្នុងការអនុវត្តផ្ទាល់ខ្លួនរបស់ខ្ញុំ៖
ឧទាហរណ៍ ៦
បានផ្តល់មុខងារមួយ។ ទាមទារ៖
1) ពង្រីកមុខងារទៅជាស៊េរី Fourier ជាមួយនឹងរយៈពេល ដែលជាលេខវិជ្ជមានតាមអំពើចិត្ត។
2) សរសេរការពង្រីកនៅលើចន្លោះពេល បង្កើតមុខងារ និងក្រាហ្វនៃផលបូកសរុបនៃស៊េរី។
ដំណោះស្រាយ៖ នៅក្នុងកថាខណ្ឌទីមួយ វាត្រូវបានស្នើឡើងដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាតាមរបៀបទូទៅ ហើយនេះគឺងាយស្រួលណាស់! វានឹងមានតម្រូវការ - គ្រាន់តែជំនួសតម្លៃរបស់អ្នក។
1) នៅក្នុងបញ្ហានេះ រយៈពេលពង្រីក ពាក់កណ្តាលរយៈពេល។ នៅក្នុងដំណើរការនៃសកម្មភាពបន្ថែមទៀតជាពិសេសក្នុងអំឡុងពេលសមាហរណកម្ម "el" ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាថេរ
មុខងារគឺសូម្បីតែ ដែលមានន័យថាវាពង្រីកទៅជាស៊េរី Fourier តែនៅក្នុងកូស៊ីនុសប៉ុណ្ណោះ៖ 
.
មេគុណ Fourier ត្រូវបានស្វែងរកដោយរូបមន្ត 
. យកចិត្តទុកដាក់លើគុណសម្បត្តិដាច់ខាតរបស់ពួកគេ។ ទីមួយ ការរួមបញ្ចូលត្រូវបានអនុវត្តលើផ្នែកវិជ្ជមាននៃការពង្រីក ដែលមានន័យថាយើងកម្ចាត់ម៉ូឌុលដោយសុវត្ថិភាព។ 
ដោយពិចារណាតែ "x" ពីពីរបំណែក។ ហើយទីពីរ ការរួមបញ្ចូលត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញគួរឱ្យកត់សម្គាល់។
ពីរ៖ 
ការរួមបញ្ចូលដោយផ្នែក៖
តាមវិធីនេះ៖
ខណៈពេលដែលថេរ ដែលមិនអាស្រ័យលើ "en" ត្រូវបានយកចេញពីផលបូក។
ចម្លើយ: 
2) ចូរយើងសរសេរការពង្រីកនៅលើចន្លោះពេល សម្រាប់ការនេះ យើងជំនួសតម្លៃដែលចង់បាននៃពាក់កណ្តាលរយៈពេលទៅក្នុងរូបមន្តទូទៅ៖
