TRĪS VEKTORU JAUKTS PRODUKTS UN TĀ ĪPAŠĪBAS

Jaukts darbs trīs vektorus sauc par skaitli, kas vienāds ar . Norādīts . Šeit pirmie divi vektori tiek reizināti vektoriski, un pēc tam iegūtais vektors tiek reizināts skalāri ar trešo vektoru. Acīmredzot šāds produkts ir noteikts skaits.

Apskatīsim jaukta produkta īpašības.

1. Ģeometriskā nozīme jaukts darbs. 3 vektoru jauktais reizinājums līdz zīmei ir vienāds ar uz šiem vektoriem uzbūvētā paralēlskaldņa tilpumu, kā uz malām, t.i. .

   Tādējādi un .

   

   Pierādījums. Noliksim malā vektorus no kopējās izcelsmes un uzbūvēsim uz tiem paralēlskaldni. Apzīmēsim un atzīmēsim to. Pēc skalārā reizinājuma definīcijas

   Pieņemot, ka un apzīmējot ar h atrast paralēlskaldņa augstumu.

   Tādējādi, kad

   Ja, tad tā. Līdz ar to,.

   Apvienojot abus šos gadījumus, mēs iegūstam vai .

   No šīs īpašības pierādījuma jo īpaši izriet, ka, ja vektoru trīskāršs ir labrocīgs, tad jauktais reizinājums ir , un, ja tas ir kreilis, tad .

2. Jebkuriem vektoriem , vienādība ir patiesa

   Šīs īpašības pierādījums izriet no 1. rekvizīta. Patiešām, ir viegli pierādīt, ka un . Turklāt zīmes “+” un “–” tiek ņemtas vienlaicīgi, jo leņķi starp vektoriem un un un ir gan asi, gan neasi.

3. Pārkārtojot jebkurus divus faktorus, jauktais produkts maina zīmi.

   Patiešām, ja mēs uzskatām jauktu produktu, tad, piemēram, vai

4. Jaukts produkts tad un tikai tad, ja viens no faktoriem ir vienāds ar nulli vai vektori ir vienādi.

   Pierādījums.

   Tādējādi nepieciešams un pietiekams nosacījums 3 vektoru koplanaritātei ir tas, ka to jauktais reizinājums ir vienāds ar nulli. Turklāt no tā izriet, ka trīs vektori veido pamatu telpā, ja .

   Ja vektori ir norādīti koordinātu formā, tad var parādīt, ka to jauktais produkts tiek atrasts pēc formulas:

   .

   Tādējādi jauktais reizinājums ir vienāds ar trešās kārtas determinantu, kura pirmajā rindā ir pirmā vektora koordinātas, otrajā rindā – otrā vektora koordinātas, bet trešajā rindā – trešā vektora koordinātas.

   Piemēri.

ANALĪTISKĀ ĢEOMETRIJĀ TELPA

Vienādojums F(x, y, z)= 0 definē telpā Oxyz kāda virsma, t.i. punktu lokuss, kuru koordinātas x, y, z apmierina šo vienādojumu. Šo vienādojumu sauc par virsmas vienādojumu un x, y, z– pašreizējās koordinātas.

Taču bieži vien virsma nav norādīta ar vienādojumu, bet gan kā telpu punktu kopa, kam piemīt viena vai otra īpašība. Šajā gadījumā ir jāatrod virsmas vienādojums, pamatojoties uz tās ģeometriskajām īpašībām.

LIDMAŠĪNA.

NORMĀLĀS plaknes VEKTORS.

LĪDEKĻA VIENĀDĀJUMS, KAS IZVĒROS PĀR DOTO PUNKTU

Apskatīsim patvaļīgu plakni σ telpā. Tās atrašanās vieta tiek noteikta, norādot vektoru, kas ir perpendikulārs šai plaknei un kādu fiksētu punktu M0(x 0, g 0, z 0), kas atrodas σ plaknē.

Tiek saukts vektors, kas ir perpendikulārs plaknei σ normālišīs plaknes vektors. Ļaujiet vektoram ir koordinātas.

Atvasināsim plaknes σ vienādojumu, kas iet caur šo punktu M0 un kam ir normāls vektors. Lai to izdarītu, uz plaknes σ ņem patvaļīgu punktu M(x, y, z) un apsveriet vektoru .

Par jebkuru punktu MО σ ir vektors, tāpēc to skalārais reizinājums ir vienāds ar nulli. Šī vienlīdzība ir nosacījums, ka punkts MО σ. Tas ir spēkā visiem šīs plaknes punktiem un tiek pārkāpts, tiklīdz punkts M atradīsies ārpus σ plaknes.

Ja punktus apzīmējam ar rādiusa vektoru M, – punkta rādiusa vektors M0, tad vienādojumu var uzrakstīt formā

Šo vienādojumu sauc vektors plaknes vienādojums. Rakstīsim to koordinātu formā. Kopš tā laika

Tātad, mēs esam ieguvuši plaknes vienādojumu, kas iet caur šo punktu. Tādējādi, lai izveidotu plaknes vienādojumu, ir jāzina normālā vektora koordinātas un kāda plaknē esošā punkta koordinātas.

Ņemiet vērā, ka plaknes vienādojums ir 1. pakāpes vienādojums attiecībā pret pašreizējām koordinātām x, y Un z.

Piemēri.

LAKNES VISPĀRĒJAIS VIENĀDĀJUMS

Var parādīt, ka jebkurš pirmās pakāpes vienādojums attiecībā uz Dekarta koordinātām x, y, z attēlo noteiktas plaknes vienādojumu. Šis vienādojums ir uzrakstīts šādi:

Ax+By+Cz+D=0

un tiek saukts vispārējais vienādojums plakne un koordinātas A, B, Cšeit ir plaknes normālā vektora koordinātas.

Apskatīsim vispārīgā vienādojuma īpašos gadījumus. Noskaidrosim, kā plakne atrodas attiecībā pret koordinātu sistēmu, ja viens vai vairāki vienādojuma koeficienti kļūst par nulli.

A ir segmenta garums, ko nogriež plakne uz ass Vērsis. Līdzīgi var pierādīt, ka b Un c– segmentu garumi, ko uz asīm nogriež attiecīgā plakne Oy Un Oz.

Plakņu konstruēšanai ir ērti izmantot plaknes vienādojumu segmentos.

Šis tiešsaistes kalkulators aprēķina vektoru jaukto reizinājumu. Tiek sniegts detalizēts risinājums. Lai aprēķinātu jauktu vektoru reizinājumu, atlasiet vektoru attēlošanas metodi (pēc koordinātām vai diviem punktiem), ievadiet datus šūnās un noklikšķiniet uz pogas "Aprēķināt".

×

Brīdinājums

Vai dzēst visas šūnas?

Aizvērt Notīrīt

Datu ievades instrukcijas. Skaitļi tiek ievadīti kā veseli skaitļi (piemēri: 487, 5, -7623 utt.), decimāldaļas (piem., 67., 102,54 utt.) vai daļskaitļi. Daļa jāievada formā a/b, kur a un b (b>0) ir veseli skaitļi vai decimālskaitļi. Piemēri 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 utt.

Vektoru jauktais reizinājums (teorija)

Jaukts gabals trīs vektori ir skaitlis, ko iegūst, skalāri reizinot pirmo divu vektoru un trešā vektora vektorreizinājuma rezultātu. Citiem vārdiem sakot, ja ir doti trīs vektori a, b Un c, tad, lai iegūtu šo vektoru jaukto reizinājumu, vispirms pirmos divus vektorus un iegūto vektoru [ ab] tiek skalāri reizināts ar vektoru c.

Trīs vektoru jauktais reizinājums a, b Un c apzīmē šādi: abc vai tā ( a,b,c). Tad mēs varam rakstīt:

abc=([ab],c)

Pirms formulēt teorēmu, kas atspoguļo jaukta reizinājuma ģeometrisko nozīmi, iepazīstieties ar labās trīskāršās, kreisās trīskāršās, labās koordinātu sistēmas, kreisās koordinātu sistēmas jēdzieniem (definīcijas 2, 2" un 3 vektoru vektoru reizinājuma lapā tiešsaistē).

Skaidrības labad turpmāk aplūkosim tikai labās puses koordinātu sistēmas.

1. teorēma. Vektoru jauktais reizinājums ([ab],c) ir vienāds ar paralēlskaldņa tilpumu, kas konstruēts uz vektoriem, kas reducēti līdz kopējam sākumam a, b, c, ņemts ar plus zīmi, ja trīs a, b, c pa labi, un ar mīnusa zīmi, ja trīs a, b, c pa kreisi Ja vektori a, b, c ir vienā plaknē, tad ([ ab],c) ir vienāds ar nulli.

Secinājums 1. Pastāv šāda vienlīdzība:

Tāpēc mums pietiek ar to pierādīt

([ab],c)=([bc],a)

(3)

No izteiksmes (3) ir skaidrs, ka kreisā un labā daļa ir vienāda ar paralēlskaldņa tilpumu. Bet labās un kreisās puses zīmes sakrīt, jo vektoru trīskārši abc Un bca ir tāda pati orientācija.

Pierādītā vienādība (1) ļauj uzrakstīt trīs vektoru jaukto reizinājumu a, b, c tikai formā abc, nenorādot, kuri divi vektori tiek vektoriski reizināti ar pirmajiem diviem vai pēdējiem diviem.

Secinājums 2. Nepieciešams un pietiekams nosacījums trīs vektoru līdzplanaritātei ir, ka to jauktais reizinājums ir vienāds ar nulli.

Pierādījums izriet no 1. teorēmas. Patiešām, ja vektori ir koplanāri, tad šo vektoru jauktais reizinājums ir vienāds ar nulli. Un otrādi, ja jauktais reizinājums ir vienāds ar nulli, tad šo vektoru koplanaritāte izriet no 1. teorēmas (jo paralēlskaldņa tilpums, kas uzbūvēts uz vektoriem, kas reducēts uz kopīgu sākumu, ir vienāds ar nulli).

Secinājums 3. Trīs vektoru, no kuriem divi sakrīt, jauktais reizinājums ir vienāds ar nulli.

Tiešām. Ja divi no trim vektoriem sakrīt, tad tie ir koplanāri. Tāpēc šo vektoru jauktais reizinājums ir vienāds ar nulli.

Dekarta koordinātu vektoru jauktais reizinājums

Teorēma 2. Ļaujiet trīs vektori a, b Un c ko nosaka to Dekarta taisnstūra koordinātas

Pierādījums. Jaukts gabals abc vienāds ar vektoru skalāro reizinājumu [ ab] Un c. vektoru krustreizinājums [ ab] Dekarta koordinātēs aprēķina pēc formulas ():

Pēdējo izteiksmi var uzrakstīt, izmantojot otrās kārtas determinantus:

ir nepieciešams un pietiekams, lai determinants būtu vienāds ar nulli, kura rindas ir aizpildītas ar šo vektoru koordinātām, t.i.:

.

(7)

Lai pierādītu secinājumu, pietiek ņemt vērā formulu (4) un 2. secinājumu.

Vektoru jauktais reizinājums ar piemēriem

Piemērs 1. Atrodiet jauktu vektoru reizinājumu abс, Kur

Vektoru jauktais reizinājums a, b, c vienāds ar matricas determinantu L. Aprēķināsim matricas determinantu L, paplašinot determinantu pa 1. līniju:

Vektora beigu punkts a.

Jaukts (vai vektorskalārs) produkts trīs vektorus a, b, c (ņemti norādītajā secībā) sauc par vektora a un vektora reizinājuma b x c skalāro reizinājumu, t.i., skaitli a(b x c), vai, kas ir tas pats, (b x c)a.
Apzīmējums: abc.

Mērķis. Tiešsaistes kalkulators ir paredzēts vektoru jauktā reizinājuma aprēķināšanai. Iegūtais risinājums tiek saglabāts Word failā. Turklāt programmā Excel tiek izveidota risinājuma veidne.

Vektoru koplanaritātes pazīmes

Trīs vektorus (vai lielāku skaitu) sauc par koplanāriem, ja tie, reducēti līdz kopējam sākumam, atrodas vienā plaknē.
Ja vismaz viens no trim vektoriem ir nulle, tad arī trīs vektori tiek uzskatīti par koplanāriem.

Līdzplanaritātes pazīme. Ja sistēma a, b, c ir labā roka, tad abc>0 ; ja atstāj, tad abc Jaukta produkta ģeometriskā nozīme. Trīs nekopplanāru vektoru a, b, c jauktais reizinājums abc ir vienāds ar uz vektoriem a, b, c uzbūvētā paralēlskaldņa tilpumu, kas ņemts ar plus zīmi, ja sistēma a, b, c ir labās puses. , un ar mīnusa zīmi, ja šī sistēma ir kreiļa.

Jaukta produkta īpašības

1. Ja faktori tiek pārkārtoti apļveida veidā, jauktais produkts nemainās; pārkārtojot divus faktorus, zīme tiek apgriezta: abc=bca=cab=-(bac)=-(cba)=-(acb)
   Tas izriet no ģeometriskās nozīmes.
2. (a+b)cd=acd+bcd (izplatīšanas īpašība). Attiecas uz jebkuru terminu skaitu.
   Izriet no jaukta produkta definīcijas.
3. (ma)bc=m(abc) (kombinatīva īpašība attiecībā pret skalāro koeficientu).
   Izriet no jaukta produkta definīcijas. Šīs īpašības ļauj piemērot transformācijas jauktiem produktiem, kas atšķiras no parastajiem algebriskajiem tikai ar to, ka faktoru secību var mainīt, tikai ņemot vērā reizinājuma zīmi.
4. Jaukts produkts, kuram ir vismaz divi vienādi faktori, ir vienāds ar nulli: aab=0.

Piemērs Nr.1. Atrodiet jauktu produktu. ab(3a+2b-5c)=3aba+2abb-5abc=-5abc .

Piemērs Nr.2. (a+b)(b+c)(c+a)= (axb+axc+bxb+bxc)(c+a)= (axb+axc +bxc)(c+a)=abc+acc+aca+ aba +diskrētā kopija+bca. Visi termini, izņemot divus galējos, ir vienādi ar nulli. Arī bca=abc . Tāpēc (a+b)(b+c)(c+a)=2abc .

Piemērs Nr.3. Aprēķināt trīs vektoru jaukto reizinājumu a=15i+20j+5k, b=2i-4j+14k, c=3i-6j+21k.
Risinājums. Lai aprēķinātu vektoru jaukto reizinājumu, jāatrod no vektora koordinātām sastāvošas sistēmas determinants. Rakstīsim sistēmu formā.

Definīcija. Skaitli [, ] sauc par sakārtota vektoru trīskārša jaukto reizinājumu.

Mēs apzīmējam: (,) = = [, ].

Tā kā vektora un skalārais reizinājums ir iesaistīts jaukta produkta definīcijā, to kopīgās īpašības ir jaukta produkta īpašības.

Piemēram, () = ().

1. teorēma. Trīs koplanāru vektoru jauktais reizinājums ir nulle.

Pierādījums. Ja dots vektoru trīskāršs ir koplanārs, tad vektoriem ir izpildīts viens no šiem nosacījumiem.

• 1. Dotajā vektoru trīskāršā ir vismaz viens nulles vektors. Šajā gadījumā teorēmas pierādījums ir acīmredzams.
• 2. Dotajā vektoru trīskāršā ir vismaz viens kolineāro vektoru pāris. Ja ||, tad [, ] = 0, jo [, ]= . Ja

|| , tad [, ] un [, ] = 0. Līdzīgi, ja || .

3. Lai šis vektoru trīskāršs būtu koplanārs, bet 1. un 2. gadījums nepastāv. Tad vektors [, ] būs perpendikulārs plaknei, kurai visi trīs vektori ir paralēli.

Tāpēc [, ] un (,) = 0.

2. teorēma.Ļaujiet vektoriem (), (), () norādīt bāzē (). Tad

Pierādījums. Saskaņā ar jaukta produkta definīciju

(,) = [, ] = с 1 - с 2 + с 3 = .

Determinanta īpašību dēļ mums ir:

Teorēma ir pierādīta.

3. teorēma. (,) = [, ].

Pierādījums. Jo

un determinanta īpašību dēļ mums ir:

(,) = = = [, ] = [, ].

Teorēma ir pierādīta.

4. teorēma. Nekopplanāra vektoru trīskārša jauktā reizinājuma modulis ir skaitliski vienāds ar paralēlskaldņa tilpumu, kas uzbūvēts uz šo vektoru pārstāvjiem ar kopīgu izcelsmi.

Pierādījums. Izvēlēsimies patvaļīgu punktu O un noliksim malā šo vektoru pārstāvjus, : , . Plaknē OAB konstruēsim paralelogramu OADB un, pievienojot malu OS, konstruēsim paralēlskaldni OADBCADB. Šī paralēlskaldņa tilpums V ir vienāds ar pamatlaukuma OADB un paralēlskaldņa augstuma OO reizinājumu.

Paralelograma OADB laukums ir |[, ]|. Citā pusē

|OO| = || |cos |, kur ir leņķis starp vektoriem un [, ].

Apsveriet jaukto produktu moduli:

|(,)| = | [, ]| = |[, ]||||cos | = |[, ]||OO| = V.

Teorēma ir pierādīta.

1. piezīme. Ja vektoru trīskārša jauktais reizinājums ir vienāds ar nulli, tad šis vektoru trīskāršs ir lineāri atkarīgs.

2. piezīme. Ja dotā vektoru trīskārša jauktais reizinājums ir pozitīvs, tad vektoru trīskāršs ir pareizs, un, ja tas ir negatīvs, tad vektoru trīskāršs ir pa kreisi. Patiešām, jauktā produkta zīme sakrīt ar cos zīmi, un leņķa lielums nosaka trīskārša orientāciju. Ja leņķis ir akūts, tad trīs ir pa labi, un, ja tas ir strups leņķis, tad trīs ir pa kreisi.

1. piemērs.Ņemot vērā paralēlskaldni ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 un šādu vektoru koordinātas ortonormālajā bāzē: (4; 3; 0), (2; 1; 2), (-3; -2; 5).

Atrast: 1) paralēlskaldņa tilpumu;

• 2) virsmu ABCD un CDD 1 C laukumi;
• 3) diedrālā leņķa kosinuss starp plaknēm ABC un CDD 1.

Risinājums.

Šis paralēlskaldnis ir veidots uz vektoriem

Tādējādi tā tilpums ir vienāds ar šo vektoru jauktā reizinājuma moduli, t.i.

Tātad, V tvaiks = 12 kubikvienības.

Atgādiniet, ka paralelograma laukums ir vienāds ar vektoru reizinājuma garumu, uz kuriem tas ir konstruēts.

Ieviesīsim apzīmējumu: , tad

Tāpēc (6; - 8; - 2), no kurienes

Tas. kv vienības

Tāpat

Lai tad ir

no kurienes (15; - 20; 1) un

Tas nozīmē kv.vienības.

Ieviesīsim šādu apzīmējumu: pl. (ABC)=, pl. (DCC 1)=.

Saskaņā ar vektorprodukta definīciju mums ir:

Tas nozīmē, ka ir patiesa šāda vienlīdzība:

No risinājuma otrā punkta mums ir:

Pierādīt, ka, ja un ir savstarpēji perpendikulāri vienību vektori, tad uz jebkuriem vektoriem ir spēkā šāda vienādība:

Risinājums.

Dotas vektoru koordinātas ortonormālā bāzē: ; . Tā kā pēc jaukta produkta īpašībām mums ir:

Tādējādi vienādību (1) var uzrakstīt šādā formā: , un šī ir viena no pārbaudītajām vektoru un vektoru reizinājuma īpašībām. Tādējādi ir pierādīta vienlīdzības (1) derīgums.

Pārbaudes darba nulles versijas risināšana

Uzdevums Nr.1

Vektors veido leņķus un attiecīgi ar bāzes vektoriem un. Nosakiet leņķi, ko vektors veido ar vektoru.

Risinājums.

Konstruēsim paralēlskaldni uz vektoriem un pa diagonāli tā, lai vektori un būtu vienādi.

Tad taisnleņķa trīsstūrī ar taisnu leņķi leņķa lielums ir vienāds ar kur.

Līdzīgi taisnleņķa trijstūrī ar taisnu leņķi lielums ir vienāds ar, no kurienes.

Taisnstūra trīsstūrī, izmantojot Pitagora teorēmu, mēs atrodam:

Taisnā trīsstūrī kāja un hipotenūza ir taisnā leņķī. Tātad leņķis ir vienāds. Bet leņķis ir vienāds ar leņķi starp vektoriem un. Tādējādi problēma ir atrisināta.

Uzdevums Nr.2.

Bāzē ir doti trīs vektori. Pierādīt, ka četrstūris ir plakans. Atrodiet tā apgabalu.

Risinājums.

1. Ja vektori un ir koplanāri, tad tas ir plakans četrstūris. Aprēķināsim determinantu, ko veido šo vektoru koordinātas.

Tā kā determinants ir vienāds ar nulli, vektori un ir vienādi, kas nozīmē, ka četrstūris ir plakans.

2. Ņemiet vērā, ka tātad un tādējādi četrstūris ir trapece ar bāzēm AB un CD.

Pēc vektorprodukta īpašības mums ir:

Vektora reizinājuma atrašana

Uzdevums Nr.3. Atrodiet vektoru, kas ir kolineārs pret vektoru (2; 1; -2), kura garums ir 5.

Risinājums.

Apzīmēsim vektora koordinātas (x, y, z). Kā jūs zināt, kolineārajiem vektoriem ir proporcionālas koordinātas, un tāpēc mums ir:

x = 2t, y = t, z = ? 2t.

Atbilstoši problēmas nosacījumiem || = 5 un koordinātu formā:

Izsakot mainīgos ar parametru t, mēs iegūstam:

4t 2 + t 2 + 4t 2 =25,

Tādējādi

x = , y = , z = .

Mēs saņēmām divus risinājumus.

Šajā nodarbībā apskatīsim vēl divas darbības ar vektoriem: vektoru vektorreizinājums Un vektoru jauktais produkts (tūlītēja saite tiem, kam tas ir nepieciešams). Tas ir labi, dažreiz gadās, ka pilnīgai laimei papildus vektoru skalārais reizinājums, nepieciešams arvien vairāk. Tā ir vektora atkarība. Var šķist, ka mēs nokļūstam analītiskās ģeometrijas džungļos. Tas ir nepareizi. Šajā augstākās matemātikas sadaļā parasti ir maz koka, izņemot, iespējams, pietiekami daudz Pinokio. Patiesībā materiāls ir ļoti izplatīts un vienkāršs – diez vai sarežģītāks par to pašu skalārais produkts, būs vēl mazāk tipisko uzdevumu. Galvenais analītiskajā ģeometrijā, kā daudzi pārliecināsies vai jau ir pārliecinājušies, ir NEKLŪDĪT APRĒĶINOS. Atkārto kā burvestību un būsi laimīgs =)

Ja vektori kaut kur tālu mirdz, piemēram, zibens pie horizonta, tas nav svarīgi, sāciet ar stundu Manekenu vektori atjaunot vai atkārtoti iegūt pamatzināšanas par vektoriem. Gatavāki lasītāji ar informāciju var iepazīties selektīvi, centos apkopot vispilnīgāko piemēru krājumu, kas bieži sastopams praktiskajā darbā

Kas tevi uzreiz iepriecinās? Kad biju mazs, varēju žonglēt ar divām vai pat trim bumbiņām. Tas izdevās labi. Tagad jums nevajadzēs žonglēt vispār, jo mēs to apsvērsim tikai telpiskie vektori, un plakanie vektori ar divām koordinātām tiks izlaisti. Kāpēc? Tā radās šīs darbības – vektoru vektors un jauktais vektoru produkts ir definēts un darbojas trīsdimensiju telpā. Tas jau ir vieglāk!

Šī darbība, tāpat kā skalārais reizinājums, ietver divi vektori. Lai tie ir neiznīcīgi burti.

Pati darbība apzīmē aršādā veidā: . Ir arī citas iespējas, bet es esmu pieradis vektoru vektoru reizinājumu šādi apzīmēt kvadrātiekavās ar krustiņu.

Un uzreiz jautājums: ja iekšā vektoru skalārais reizinājums ir iesaistīti divi vektori, un šeit arī tiek reizināti divi vektori kāda ir atšķirība? Acīmredzamā atšķirība, pirmkārt, ir REZULTĀTĀ:

Vektoru skalārās reizinājuma rezultāts ir SKAITS:

Vektoru krustreizinājuma rezultāts ir VECTOR: , tas ir, mēs reizinām vektorus un atkal iegūstam vektoru. Slēgts klubs. Faktiski no šejienes cēlies operācijas nosaukums. Dažādā mācību literatūrā apzīmējumi var atšķirties, es izmantošu burtu.

Šķērsprodukta definīcija

Vispirms būs definīcija ar bildi, tad komentāri.

Definīcija: vektora produkts nekolineārs vektori, pieņemts šādā secībā, ko sauc par VECTOR, garums kas ir skaitliski vienāds ar paralelograma laukumu, kas veidota uz šiem vektoriem; vektors vektoriem ortogonāli, un ir vērsta tā, lai bāzei būtu pareiza orientācija:

Sadalīsim definīciju pa daļām, šeit ir daudz interesantu lietu!

Tātad var izcelt šādus būtiskus punktus:

1) Sākotnējie vektori, kas apzīmēti ar sarkanām bultiņām, pēc definīcijas nav kolineārs. Nedaudz vēlāk būs lietderīgi apsvērt kolineāro vektoru gadījumu.

2) Tiek ņemti vektori stingri noteiktā secībā: – "a" tiek reizināts ar "būt", nevis “būt” ar “a”. Vektoru reizināšanas rezultāts ir VECTOR, kas ir norādīts zilā krāsā. Ja vektorus reizina apgrieztā secībā, iegūstam vienāda garuma un virzienā pretēju vektoru (aveņu krāsa). Tas ir, vienlīdzība ir patiesa .

3) Tagad iepazīsimies ar vektora reizinājuma ģeometrisko nozīmi. Tas ir ļoti svarīgs punkts! Zilā vektora (un līdz ar to tumšsarkanā vektora) GARUMS ir skaitliski vienāds ar uz vektoriem veidotā paralelograma AREA. Attēlā šis paralelograms ir iekrāsots melnā krāsā.

Piezīme : zīmējums ir shematisks, un, protams, vektora reizinājuma nominālais garums nav vienāds ar paralelograma laukumu.

Atcerēsimies vienu no ģeometriskajām formulām: Paralelograma laukums ir vienāds ar blakus esošo malu un starp tām esošā leņķa sinusa reizinājumu. Tāpēc, pamatojoties uz iepriekš minēto, ir spēkā formula vektora reizinājuma GARUMA aprēķināšanai:

Es uzsveru, ka formula ir par vektora GARU, nevis par pašu vektoru. Kāda ir praktiskā nozīme? Un nozīme ir tāda, ka analītiskās ģeometrijas problēmās paralelograma laukums bieži tiek atrasts, izmantojot vektora reizinājuma jēdzienu:

Iegūsim otro svarīgo formulu. Paralelograma diagonāle (sarkana punktēta līnija) sadala to divos vienādos trīsstūros. Tāpēc trīsstūra laukumu, kas veidots uz vektoriem (sarkans ēnojums), var atrast, izmantojot formulu:

4) Tikpat svarīgs fakts ir tas, ka vektors ir ortogonāls vektoriem, tas ir . Protams, arī pretēji vērstais vektors (aveņu bultiņa) ir ortogonāls sākotnējiem vektoriem.

5) Vektors ir vērsts tā, lai pamata Tā ir pa labi orientācija. Nodarbībā par pāreja uz jaunu pamatu Es runāju pietiekami detalizēti par plaknes orientācija, un tagad mēs sapratīsim, kas ir telpas orientācija. Es paskaidrošu uz jūsu pirkstiem labā roka. Garīgi apvienot rādītājpirksts ar vektoru un Vidējais pirksts ar vektoru. Gredzena pirksts un mazais pirksts nospiediet to plaukstā. Rezultātā īkšķis– vektora reizinājums pavērsies uz augšu. Tas ir uz labo pusi orientēts pamats (attēlā ir šis). Tagad mainiet vektorus ( rādītājpirksti un vidējie pirksti) vietām, kā rezultātā īkšķis pagriezīsies, un vektorreizinājums jau skatīsies uz leju. Tas ir arī uz labo pusi vērsts pamats. Jums var rasties jautājums: kuram pamatam ir kreisā orientācija? “Piešķirt” tiem pašiem pirkstiem kreisā roka vektorus un iegūt telpas kreiso pamatu un kreiso orientāciju (šajā gadījumā īkšķis atradīsies apakšējā vektora virzienā). Tēlaini izsakoties, šīs bāzes “sagriež” jeb orientē telpu dažādos virzienos. Un šo jēdzienu nevajadzētu uzskatīt par kaut ko tālu vai abstraktu - piemēram, telpas orientāciju maina visparastākais spogulis, un, ja jūs "izvelciet atstaroto objektu no skata stikla", tad vispārīgā gadījumā nebūs iespējams to apvienot ar "oriģinālu". Starp citu, turiet trīs pirkstus pie spoguļa un analizējiet atspulgu ;-)

...cik labi, ka tu tagad par to zini orientēts pa labi un pa kreisi bāzes, jo dažu pasniedzēju izteikumi par orientācijas maiņu ir biedējoši =)

Kolineāro vektoru krustreizinājums

Definīcija ir detalizēti apspriesta, atliek noskaidrot, kas notiek, ja vektori ir kolineāri. Ja vektori ir kolineāri, tad tos var novietot uz vienas taisnes un arī mūsu paralelograms “salocās” vienā taisnē. Tādu laukums, kā saka matemātiķi, deģenerēts paralelograms ir vienāds ar nulli. Tas pats izriet no formulas - nulles vai 180 grādu sinuss ir vienāds ar nulli, kas nozīmē, ka laukums ir nulle

Tādējādi, ja , tad Un . Lūdzu, ņemiet vērā, ka pats vektora reizinājums ir vienāds ar nulles vektoru, taču praksē tas bieži tiek atstāts novārtā un tiek rakstīts, ka tas ir arī vienāds ar nulli.

Īpašs gadījums ir vektora krustreizinājums ar sevi:

Izmantojot vektora reizinājumu, varat pārbaudīt trīsdimensiju vektoru kolinearitāti, un mēs, cita starpā, arī analizēsim šo problēmu.

Lai atrisinātu praktiskus piemērus, jums var būt nepieciešams trigonometriskā tabula lai no tā atrastu sinusu vērtības.

Nu, iekuram uguni:

1. piemērs

a) Atrodi vektoru vektorreizinājuma garumu, ja

b) Atrodiet uz vektoriem veidota paralelograma laukumu, ja

Risinājums: Nē, tā nav drukas kļūda, es apzināti izveidoju sākotnējos datus klauzulās. Jo risinājumu dizains būs atšķirīgs!

a) Saskaņā ar nosacījumu, jums ir jāatrod garums vektors (krustprodukts). Saskaņā ar atbilstošo formulu:

Atbilde:

Ja jums jautāja par garumu, tad atbildē mēs norādām izmēru - vienības.

b) Saskaņā ar nosacījumu, jums ir jāatrod kvadrāts paralelograms, kas veidots uz vektoriem. Šī paralelograma laukums ir skaitliski vienāds ar vektora reizinājuma garumu:

Atbilde:

Lūdzu, ņemiet vērā, ka atbilde vispār nerunā par vektorproduktu; mums jautāja par to figūras laukums, attiecīgi izmērs ir kvadrāta vienības.

Mēs vienmēr skatāmies, KAS mums jāatrod atbilstoši stāvoklim, un, pamatojoties uz to, formulējam skaidrs atbildi. Var šķist, ka tas ir burtiski, taču skolotāju vidū ir daudz literātu, un ir liela iespēja, ka uzdevums tiks atgriezts pārskatīšanai. Lai gan tas nav īpaši tāls ķibele - ja atbilde ir nepareiza, tad rodas iespaids, ka cilvēks nesaprot vienkāršas lietas un/vai nav sapratis uzdevuma būtību. Šis punkts vienmēr ir jākontrolē, risinot problēmas augstākajā matemātikā un arī citos mācību priekšmetos.

Kur pazuda lielais burts “en”? Principā to varēja papildus pievienot risinājumam, bet, lai saīsinātu ierakstu, es to nedarīju. Ceru, ka visi to saprot un apzīmē vienu un to pašu.

Populārs DIY risinājuma piemērs:

2. piemērs

Atrodiet uz vektoriem veidota trīsstūra laukumu, ja

Formula trīsstūra laukuma atrašanai caur vektora reizinājumu ir dota definīcijas komentāros. Risinājums un atbilde ir stundas beigās.

Praksē uzdevums patiešām ir ļoti izplatīts; trijstūri parasti var jūs mocīt.

Lai atrisinātu citas problēmas, mums būs nepieciešams:

Vektoru vektorreizinājuma īpašības

Mēs jau esam apsvēruši dažas vektorprodukta īpašības, tomēr es tās iekļaušu šajā sarakstā.

Patvaļīgiem vektoriem un patvaļīgam skaitlim ir patiesas šādas īpašības:

1) Citos informācijas avotos šis vienums īpašībās parasti nav izcelts, taču praktiskā ziņā tas ir ļoti svarīgi. Lai tas tā būtu.

2) – par īpašumu arī ir runāts augstāk, dažkārt sauc antikommutativitāte. Citiem vārdiem sakot, vektoru secībai ir nozīme.

3) – asociatīvais vai asociatīvs vektorproduktu likumi. Konstantes var viegli pārvietot ārpus vektora reizinājuma. Tiešām, kas viņiem tur jādara?

4) – izplatīšana vai sadales vektorproduktu likumi. Arī ar kronšteinu atvēršanu nav problēmu.

Lai to parādītu, apskatīsim īsu piemēru:

3. piemērs

Atrodi, ja

Risinājums: Nosacījums atkal prasa atrast vektora reizinājuma garumu. Krāsosim savu miniatūru:

(1) Saskaņā ar asociatīvajiem likumiem konstantes tiek ņemtas ārpus vektora reizinājuma darbības jomas.

(2) Mēs pārvietojam konstanti ārpus moduļa, un modulis “apēd” mīnusa zīmi. Garums nevar būt negatīvs.

(3) Pārējais ir skaidrs.

Atbilde:

Ir pienācis laiks ugunij pievienot vairāk malkas:

4. piemērs

Aprēķiniet uz vektoriem veidota trīsstūra laukumu, ja

Risinājums: Atrodiet trīsstūra laukumu, izmantojot formulu . Galvenais ir tas, ka vektori “tse” un “de” paši tiek parādīti kā vektoru summas. Algoritms šeit ir standarta un nedaudz atgādina nodarbības 3. un 4. piemēru Vektoru punktu reizinājums. Skaidrības labad mēs sadalīsim risinājumu trīs posmos:

1) Pirmajā solī mēs izsakām vektora reizinājumu caur vektora reizinājumu, patiesībā, izteiksim vektoru vektora izteiksmē. Par garumiem vēl nav ne vārda!

(1) Aizstāj vektoru izteiksmes.

(2) Izmantojot sadalījuma likumus, mēs atveram iekavas saskaņā ar polinomu reizināšanas likumu.

(3) Izmantojot asociatīvos likumus, mēs pārvietojam visas konstantes ārpus vektora reizinājuma. Ar nelielu pieredzi 2. un 3. darbību var veikt vienlaikus.

(4) Pirmais un pēdējais termins ir vienādi ar nulli (nulles vektors), pateicoties jaukajai īpašībai. Otrajā terminā mēs izmantojam vektora produkta antikomutativitātes īpašību:

(5) Mēs piedāvājam līdzīgus terminus.

Rezultātā vektors izrādījās izteikts caur vektoru, kas bija jāsasniedz:

2) Otrajā solī mēs atrodam vajadzīgā vektora reizinājuma garumu. Šī darbība ir līdzīga 3. piemēram:

3) Atrodiet vajadzīgā trīsstūra laukumu:

Risinājuma 2.-3.posmu varēja rakstīt vienā rindā.

Atbilde:

Aplūkotā problēma ir diezgan izplatīta testos, šeit ir piemērs, kā to atrisināt pats:

5. piemērs

Atrodi, ja

Īss risinājums un atbilde nodarbības beigās. Paskatīsimies, cik uzmanīgs bijāt, pētot iepriekšējos piemērus ;-)

Vektoru krustreizinājums koordinātēs

, kas norādīti ortonormāli, izteikts ar formulu:

Formula ir patiešām vienkārša: determinanta augšējā rindā ierakstām koordinātu vektorus, otrajā un trešajā rindā "ieliekam" vektoru koordinātas un ievietojam stingrā kārtībā– vispirms “ve” vektora koordinātas, tad “dubultā-ve” vektora koordinātas. Ja vektori jāreizina citā secībā, tad rindas ir jāsamaina:

10. piemērs

Pārbaudiet, vai šādi telpas vektori ir kolineāri:
A)
b)

Risinājums: Pārbaude ir balstīta uz vienu no šīs nodarbības apgalvojumiem: ja vektori ir kolineāri, tad to vektora reizinājums ir vienāds ar nulli (nulles vektors): .

a) Atrodiet vektora reizinājumu:

Tādējādi vektori nav kolineāri.

b) Atrodiet vektora reizinājumu:

Atbilde a) nav kolineārs, b)

Šeit, iespējams, ir visa pamatinformācija par vektoru vektoru reizinājumu.

Šī sadaļa nebūs ļoti liela, jo ir maz problēmu, ja tiek izmantots vektoru jauktais produkts. Patiesībā viss būs atkarīgs no definīcijas, ģeometriskās nozīmes un pāris darba formulām.

Jaukts vektoru reizinājums ir trīs vektoru reizinājums:

Tāpēc viņi sastājās rindā kā vilciens un nevar sagaidīt, kad tiks identificēti.

Pirmkārt, atkal definīcija un attēls:

Definīcija: Jaukts darbs ne-kopplanārs vektori, pieņemts šādā secībā, zvanīja paralēlskaldņu tilpums, kas veidota uz šiem vektoriem, aprīkota ar “+” zīmi, ja pamats ir pareizs, un “–” zīmi, ja pamats ir pa kreisi.

Taisīsim zīmējumu. Mums neredzamās līnijas tiek vilktas ar punktētām līnijām:

Iedziļināsimies definīcijā:

2) Tiek ņemti vektori noteiktā secībā, tas ir, vektoru pārkārtošanās produktā, kā jūs varētu nojaust, nenotiek bez sekām.

3) Pirms komentēt ģeometrisko nozīmi, es atzīmēšu acīmredzamu faktu: vektoru jauktais reizinājums ir SKAITS: . Mācību literatūrā dizains var nedaudz atšķirties, jauktu produktu esmu pieradis apzīmēt ar , bet aprēķinu rezultātu ar burtu “pe”.

A-prioritāte jauktais produkts ir paralēlskaldņa tilpums, veidots uz vektoriem (attēls zīmēts ar sarkaniem vektoriem un melnām līnijām). Tas ir, skaitlis ir vienāds ar noteiktā paralēlskaldņa tilpumu.

Piezīme : Zīmējums ir shematisks.

4) Neraizēsimies atkal par pamata un telpas orientācijas jēdzienu. Pēdējās daļas nozīme ir tāda, ka skaļumam var pievienot mīnusa zīmi. Vienkāršiem vārdiem sakot, jaukts produkts var būt negatīvs: .

Tieši no definīcijas izriet formula uz vektoriem veidota paralēlskaldņa tilpuma aprēķināšanai.