1. problēma
Lineāro vienādojumu sistēmu atrisiniet divos veidos: izmantojot Krāmera formulas un Gausa metodi
1) atrisināt nehomogēnu lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu Ax = B, izmantojot Krāmera metodi
Sistēmas D determinants nav vienāds ar nulli. Atradīsim palīgdeterminantus D 1, D 2, D 3, ja tie nav vienādi ar nulli, tad atrisinājumu nav, ja tie ir vienādi, tad ir bezgalīgi daudz atrisinājumu
3 lineāru vienādojumu sistēma ar 3 nezināmajiem, kuru determinants nav nulle, vienmēr ir konsekventa un tai ir unikāls risinājums, ko aprēķina pēc formulām:
Atbilde: mēs saņēmām risinājumu:
2) atrisināt nehomogēnu lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu Ax = B, izmantojot Gausa metodi
Izveidosim paplašinātu sistēmas matricu
Ņemsim pirmo rindiņu kā ceļvedi un elementu a 11 = 1 kā ceļvedi. Izmantojot vadlīniju, pirmajā kolonnā iegūstam nulles.
atbilst lineāro vienādojumu sistēmas atrisinājumu kopaiAtbilde: mēs saņēmām risinājumu:
2. problēma
Dotas trijstūra ABC virsotņu koordinātas
Atrast:
1) malas AB garums;
4) mediānas AE vienādojums;
Izveidojiet doto trīsstūri un visas taisnes koordinātu sistēmā.
A(1; -1), B(4; 3). C(5; 1).
1) Attālums starp punktiem A( x 1; plkst.1) un B( x 2; plkst.2) nosaka pēc formulas
izmantojot kuru atrodam malas AB garumu;
2) malu AB un BC vienādojumi un to leņķiskie koeficienti;
Taisnes vienādojums, kas iet caur diviem dotiem plaknes A( x 1; plkst.1) un B( x 2; plkst.2) ir forma
Aizvietojot punktu A un B koordinātas (2), iegūstam malas AB vienādojumu:
Mēs atrodam taisnes AB leņķa koeficientu k AB, pārveidojot iegūto vienādojumu taisnes vienādojuma formā ar leņķa koeficientu y =kx - b.
, tas ir, no kurienesLīdzīgi iegūstam taisnes BC vienādojumu un atrodam tā leņķisko koeficientu.
Punktu B un C koordinātas aizstājot ar (2), iegūstam vienādojumu malai BC:
Mēs atrodam taisnes BC leņķa koeficientu k, pārveidojot iegūto vienādojumu taisnas līnijas vienādojuma formā ar leņķa koeficientu y =kx - b.
, tas ir3) iekšējais leņķis virsotnē B radiānos ar precizitāti 0,01
Lai atrastu mūsu trīsstūra iekšējo leņķi, mēs izmantojam formulu:
Ņemiet vērā, ka šīs frakcijas skaitītāja leņķisko koeficientu starpības aprēķināšanas procedūra ir atkarīga no taisnu līniju AB un BC relatīvā stāvokļa.
Aizvietojot iepriekš aprēķinātās k BC un k AB vērtības ar (3), mēs atrodam:
Tagad, izmantojot tabulas ar inženiertehnisko mikrokalkulatoru, mēs iegūstam B » 1,11 rad.
4) mediānas AE vienādojums;
Lai sastādītu mediānas AE vienādojumu, vispirms atrodam punkta E koordinātas, kas atrodas segmenta BC vidū.
Aizvietojot punktu A un E koordinātas vienādojumā (2), iegūstam vidējo vienādojumu:
5) augstuma CD vienādojums un garums;
Lai sastādītu augstuma CD vienādojumu, mēs izmantojam taisnas līnijas vienādojumu, kas iet caur doto punktu M( x 0 ; g 0)ar noteiktu slīpumu k, kam ir forma
un taisnes AB un CD perpendikulitātes nosacījums, ko izsaka ar sakarību k AB k CD = -1, no kurienes k CD = -1/k AB = - 3/4
Aizvietojot (4) vietā k vērtību k C D = -3/4, un vietā x 0 , y 0 punkta C atbilstošās koordinātas, iegūstam augstuma CD vienādojumu
Lai aprēķinātu augstuma CD garumu, mēs izmantojam formulu attāluma d atrašanai no dotā punkta M( x 0 ; g 0) uz doto taisni ar vienādojumu Ax+ By + C = 0, kam ir šāda forma:
Tā vietā tiek aizstāts ar (5). x 0 ; g 0 punkta C koordinātes, un A, B, C vietā iegūstam taisnes AB vienādojuma koeficientus
6) taisnes vienādojums, kas iet caur punktu E, kas ir paralēls malai AB, un tā krustošanās punktu M ar augstumu CD;
Tā kā vēlamā taisne EF ir paralēla taisnei AB, tad k EF = k AB = 4/3. Tā vietā aizstājot vienādojumu (4). x 0 ; g 0 punkta E koordinātes, un k vērtības vietā k EF iegūstam taisnes EF vienādojumu."
Lai atrastu punkta M koordinātas, kopīgi risinām taisnes EF un CD vienādojumus.
Tādējādi M(5,48, 0,64).
7) vienādojums riņķim ar centru punktā E, kas iet caur virsotni B
Tā kā apļa centrs atrodas punktā E(4.5; 2) un iet caur virsotni B(4; 3), tad tā rādiuss
Kanoniskais vienādojums riņķim ar rādiusu R, kura centrs atrodas punktā M 0 ( x 0 ; g 0) ir forma
Trijstūris ABC, augstums CD, mediāna AE, taisne EF, punkts M un aplis, kas konstruēts x0y koordinātu sistēmā 1. att.
3. problēma
Izveidojiet vienādojumu taisnei, kuras katra punkta attālums līdz punktam A (2; 5) ir vienāds ar attālumu līdz taisnei y = 1. Atzīmējiet iegūto līkni koordinātu sistēmā
Risinājums
Ļaujiet M ( x, g) - vēlamās līknes pašreizējais punkts. Nometīsim perpendikulu MB no punkta M uz taisni y = 1 (2. att.). Tad B(x; 1). Tā kā MA = MB, tad
Mēs veidojam galveno sistēmas noteicošo faktoru
un aprēķiniet to.
Tad mēs sastādām papildu determinantus
un aprēķināt tos.
Saskaņā ar Krāmera likumu sistēmas risinājums tiek atrasts, izmantojot formulas
; 
;
, Ja 
1)
Aprēķināsim:
Izmantojot Krāmera formulas, mēs atrodam:
Atbilde: (1; 2; 3)
2)
Aprēķināsim:
Tā kā galvenais noteicējs 
, un vismaz viens papildu nav vienāds ar nulli (mūsu gadījumā 
), tad sistēmai nav risinājuma.
3)
Aprēķināsim:
Tā kā visi determinanti ir vienādi ar nulli, sistēmai ir bezgalīgs skaits risinājumu, kurus var atrast šādi: 
Atrisiniet sistēmas pats:
A) 
b) 
Atbilde: a) (1; 2; 5) b) 
;
;
Praktiskā nodarbība Nr.3 par tēmu:
Divu vektoru punktu reizinājums un tā pielietojums
1. Ja dota 
Un 
, tad mēs atrodam skalāro reizinājumu, izmantojot formulu: 
∙
2.Ja, tad šo divu vektoru skalāro reizinājumu atrod pēc formulas
1. Doti divi vektori 
Un 
Mēs atrodam viņu skalāro produktu šādi:
.
2. Doti divi vektori:
={2;3;–4}
={1;
–5; 6}
Skalārais produkts tiek atrasts šādi:
3.
,
3.1. Pastāvīga spēka darba atrašana taisnā ceļa posmā
1) 15 N spēka ietekmē ķermenis pa taisno virzījās 2 metrus. Leņķis starp spēku un kustības virzienu =60 0. Aprēķiniet darbu, ko veic spēks, lai pārvietotu ķermeni.
Ņemot vērā: 
Risinājums:
2) Ņemot vērā: 
Risinājums:
3) Ķermenis, kas pārvietots no punkta M(1; 2; 3) uz punktu N(5; 4; 6) 60 N spēka ietekmē. Leņķis starp spēka virzienu un nobīdes vektoru =45 0. Aprēķiniet šī spēka paveikto darbu.
Risinājums: atrodiet nobīdes vektoru 
Nobīdes vektora moduļa atrašana:
Pēc formulas 
atrast darbu:
3.2. Divu vektoru ortogonalitātes noteikšana
Divi vektori ir ortogonāli, ja 
, tas ir
jo 
1) 
- nav ortogonāls
2) 
- ortogonāls
3) Nosakiet, pie kāda vektori 
Un 
savstarpēji ortogonāli.
Jo 
, Tas 
, Līdzekļi
Izlemiet paši:
A) 
. Atrodiet viņu skalāro reizinājumu.
b) Aprēķiniet, cik daudz darba rada spēks 
, ja tā pielietojuma punkts, kustoties taisni, ir pārvietots no punkta M (5; -6; 1) uz punktu N (1; -2; 3)
c) Nosakiet, vai vektori ir ortogonāli 
Un
Atbildes: a) 1 b) 16 c) jā
3.3.Leņķa atrašana starp vektoriem
1)
. Atrast 
.
Mēs atradām 
aizstāt formulā:
.
1). Dotas ir trijstūra A(3; 2; –3), B(5; 1; –1), C(1; –2; 1) virsotnes. Atrodiet leņķi virsotnē A.
Ieliksim to formulā: 
Izlemiet paši:
Dotas ir trijstūra A(3; 5; -2), B(5; 7; -1), C(4; 3; 0) virsotnes. Nosakiet iekšējo leņķi virsotnē A.
Atbilde: 90 o
Praktiskā nodarbība Nr.4 par tēmu:
DIVU VEKTORU VEKTORPRODUKTS UN TĀ PIELIETOJUMS.
Formula divu vektoru krustreizinājuma atrašanai:
|
|
|
|
|
izskatās kā |
||
1) Atrodiet vektora reizinājuma moduli:
Sastādām determinantu un aprēķināsim to (izmantojot Sarusa likumu vai teorēmu par determinanta paplašināšanu pirmās rindas elementos).
1. metode: pēc Sarrusa likuma
2. metode: izvērsiet determinantu pirmās rindas elementos.
2) Atrodiet vektora reizinājuma moduli:
4.1. UZ DIVIEM VEKTORIEM UZBŪVĒTAS PARALELOGRAMMAS LAIKA APRĒĶINS.
1) Aprēķiniet uz vektoriem veidota paralelograma laukumu
2). Atrodiet vektora reizinājumu un tā moduli
4.2. Trijstūra laukuma APRĒĶINĀŠANA
Piemērs: dotas ir trijstūra A(1; 0; -1), B(1; 2; 0), C(3; -1; 1) virsotnes. Aprēķiniet trīsstūra laukumu.
Vispirms atradīsim koordinātas diviem vektoriem, kas izplūst no vienas virsotnes.
Atradīsim viņu vektorproduktu
4.3. DIVU VEKTORU KOLINEARITĀTES NOTEIKŠANA
Ja vektors 
Un 
tad ir kolineāri
, t.i., vektoru koordinātām jābūt proporcionālām.
a) Dotie vektori:: 
,
.
Tie ir kolineāri, jo 
Un
pēc katras frakcijas samazināšanas iegūstam attiecību 
b) Dotie vektori: 
.
Tie nav kolineāri, jo 
vai 
Izlemiet paši:
a) Pie kādām vektora vērtībām m un n 
kolineārs?
Atbilde: 
;
b) Atrodiet vektora reizinājumu un tā moduli 
,
.
Atbilde: 
,
.
Praktiskā nodarbība Nr.5 par tēmu:
TAISNIJA LIDMAŠĪNĀ
Uzdevums Nr. 1. Atrodiet vienādojumu taisnei, kas iet caur punktu A(-2; 3) paralēli taisnei 
1. Atrodiet līnijas slīpumu 
.
ir taisnas līnijas vienādojums ar leņķa koeficientu un sākotnējo ordinātu ( 
). Tāpēc 
.
2. Tā kā taisnes MN un AC ir paralēlas, to leņķiskie koeficienti ir vienādi, t.i. 
.
3. Lai atrastu taisnes AC vienādojumu, mēs izmantojam taisnes vienādojumu, kas iet caur punktu ar noteiktu leņķa koeficientu:
. Tā vietā šajā formulā 
Un 
vietā aizvietojiet punkta A koordinātas(-2; 3). 
Aizstāsim – 3. Aizstāšanas rezultātā iegūstam:
Atbilde: 
Uzdevums Nr.2. Atrodiet vienādojumu taisnei, kas iet caur punktu K(1; –2) paralēli taisnei.
1. Atradīsim līnijas slīpumu.
Šis ir līnijas vispārīgais vienādojums, kuru vispārīgā formā nosaka formula. Salīdzinot vienādojumus, konstatējam, ka A = 2, B = –3. Vienādojuma dotās taisnes slīpums tiek atrasts pēc formulas 
. Šajā formulā aizstājot A = 2 un B = –3, iegūstam taisnes MN slīpumu. Tātad, 
.
2. Tā kā taisnes MN un KS ir paralēlas, to leņķiskie koeficienti ir vienādi: 
.
3. Lai atrastu taisnes KS vienādojumu, mēs izmantojam taisnes vienādojuma formulu, kas iet caur punktu ar noteiktu leņķa koeficientu. 
. Tā vietā šajā formulā 
Un 
vietā aizvietosim punkta K(–2; 3) koordinātas 
Uzdevums Nr. 3. Atrodi vienādojumu tai taisnei, kas iet caur punktu K(–1; –3), kas ir perpendikulāra taisnei.
1. ir taisnas līnijas vispārīgs vienādojums, kuru vispārīgā formā sniedz formula.
un mēs atklājam, ka A = 3, B = 4.
Vienādojuma dotās taisnes slīpums tiek atrasts pēc formulas: 
. Šajā formulā aizstājot A = 3 un B = 4, iegūstam taisnes MN slīpumu: 
.
2. Tā kā taisnes MN un KD ir perpendikulāras, to leņķiskie koeficienti ir apgriezti proporcionāli un pretējā zīmē:
.
3. Lai atrastu taisnes KD vienādojumu, mēs izmantojam taisnes vienādojuma formulu, kas iet caur punktu ar doto leņķa koeficientu.
. Tā vietā šajā formulā 
Un 
vietā aizvietojiet punkta K(–1;–3) koordinātas 
aizstāsim Aizstāšanas rezultātā mēs iegūstam:
Izlemiet paši:
1. Atrodiet vienādojumu tai taisnei, kas iet caur punktu K(–4; 1) paralēli taisnei 
.
Atbilde: 
.
2. Atrodiet vienādojumu tai taisnei, kas iet caur punktu K(5; –2) paralēli taisnei 
.
3. Atrodiet vienādojumu tai taisnei, kas iet caur punktu K(–2, –6), kas ir perpendikulāra taisnei 
.
4. Atrodiet vienādojumu tai taisnei, kas iet caur punktu K(7; –2), kas ir perpendikulāra taisnei 
.
Atbilde: 
.
5. Atrodiet vienādojumu perpendikulam, kas nomests no punkta K(–6; 7) uz taisni. 
.
2.3.1. Definīcija.
Ļaujiet dot lineāros vienādojumus:
a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 , (2.3.1)
a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 , (2.3.2)
a 3 x + b 3 y + c 3 z = d 3 . (2.3.3)
Ja ir jāatrod vispārīgs risinājums vienādojumiem (2.3.1) ¾ (2.3.3), tad viņi saka, ka tie veidojas sistēma . Sistēmu, kas sastāv no vienādojumiem (2.3.1.) ¾ (2.3.3.), apzīmē šādi:
Sistēmu veidojošo vienādojumu vispārīgo risinājumu sauc sistēmas risinājums . Atrisiniet sistēmu (2.3.4) ¾ tas nozīmē vai nu atrast visu tās risinājumu kopu, vai pierādīt, ka tādu nav.
Tāpat kā iepriekšējos gadījumos, tālāk mēs atradīsim nosacījumus, saskaņā ar kuriem sistēmai (2.3.4) ir unikāls risinājums, ir vairāk nekā viens risinājums un tai nav risinājuma.
2.3.2. Definīcija. Dota lineāro vienādojumu sistēma (2.3.4.). Matricas
tiek attiecīgi saukti ( pamata )matrica Un paplašināta matrica sistēmas.
2.3.3. Formas (2.3.4.) ekvivalento sistēmu definīcijas, kā arī 1. un 2. tipa elementārās transformācijas tiek ieviestas tāpat kā divu vienādojumu sistēmām ar diviem un trīs nezināmajiem.
Elementāra transformācija 3. sistēmas tipu (2.3.4.) sauc par dažu divu šīs sistēmas vienādojumu apmaiņu. Līdzīgi kā iepriekšējos 2 vienādojumu sistēmu gadījumos ar sistēmas elementārpārveidojumiem sistēma tiek iegūta,līdzvērtīgs šim.
2.3.4. Vingrinājums. Atrisiniet vienādojumu sistēmas:
Risinājums. A)
(1) Mēs apmainījām sistēmas pirmo un otro vienādojumu (3. tipa transformācija).
(2) pirmais vienādojums, kas reizināts ar 4, tika atņemts no otrā, un pirmais vienādojums, kas reizināts ar 6, tika atņemts no trešā (2. tipa transformācija); tādējādi nezināmais tika izslēgts no otrā un trešā vienādojuma x .
(3) Otrais vienādojums, reizināts ar 14, tika atņemts no trešā; nezināmais tika izslēgts no trešā y .
(4) No pēdējā vienādojuma mēs atrodam z = 1, aizstājot kuru ar otro, mēs atrodam y = 0. Visbeidzot, aizvietošana y = 0 un z = 1 pirmajā vienādojumā, mēs atrodam x = -2.ñ
(1) Mēs apmainījām sistēmas pirmo un otro vienādojumu.
(2) Pirmais vienādojums, kas reizināts ar 4, tika atņemts no otrā, un pirmais vienādojums, kas reizināts ar 6, tika atņemts no trešā.
(3) Otrais un trešais vienādojums sakrita. Vienu no tiem mēs izslēdzam no sistēmas (vai, citiem vārdiem sakot, ja no trešā vienādojuma atņemam otro, tad trešais vienādojums pārvēršas par identitāti 0 = 0; tas tiek izslēgts no sistēmas. Mēs pieņemam z = a .
(4) Aizstājējs z = a otrajā un pirmajā vienādojumā.
(5) Aizstāšana y = 12 - 12a pirmajā vienādojumā, mēs atrodam x .
c) Ja pirmo vienādojumu dala ar 4 un trešo ¾ ar 6, tad mēs nonākam pie līdzvērtīgas sistēmas
kas ir līdzvērtīgs vienādojumam x - 2y - z = -3. Šī vienādojuma risinājumi ir zināmi (sk. 2.2.3. b) piemēru.
Pēdējā vienlīdzība iegūtajā sistēmā ir pretrunīga. Tāpēc sistēmai nav risinājumu.
Transformācijas (1) un (2) ¾ ir tieši tādas pašas kā atbilstošās sistēmas b))
(3) Atņemiet otro no pēdējā vienādojuma.
Atbilde: a) (-2; 0; 1);
b) (21.–23 a ; 12 - 12a ; a ), a Î R;
c) ((-3 + 2 a + b ; a ; b )|a , b Î R};
d) Sistēmai nav risinājumu.
2.3.5. No iepriekšējiem piemēriem izriet, ka sistēma ar trim nezināmajiem, kā sistēma ar diviem nezināmajiem, var būt tikai viens risinājums, bezgalīgs skaits risinājumu un nav viena risinājuma. Tālāk mēs analizēsim visus iespējamos gadījumus. Bet vispirms mēs ieviešam dažus apzīmējumus.
Ar D apzīmē sistēmas matricas determinantu:
Ar D 1 apzīmē determinantu, kas iegūts no D, aizstājot pirmo kolonnu ar brīvo terminu kolonnu:
Līdzīgi liksim
D 2 = un D 3 = .
2.3.6. Teorēma. Ja D¹0, tad sistēma(2.3.4)ir unikāls risinājums
, , . (2.3.5)
Tiek izsauktas formulas (2.3.5). formulas = = 0 visiem i ¹ j un vismaz viens no noteicošajiem faktoriem , , nav vienāds ar nulli, tad sistēmai nav risinājumu.
4) Ja = = = = = = 0 visiem i ¹ j , tad sistēmai ir bezgalīgi daudz risinājumu, atkarībā no diviem parametriem.
PRAKTISKĀ NODARBĪBA Nr.73 LINEĀRU VIENĀDĀJUMU SISTĒMAS RISINĀJUMS
AR TRĪS MAINĪGĀJIEM
Mērķis:
Attīstīt spēju pārveidot matricas;
Attīstīt sistēmu risināšanas prasmes3 lineāri vienādojumi trīs mainīgajos, izmantojot Krāmera metodi;
Nostiprināt zināšanas par 2. un 3. kārtas determinantu īpašībām;
Materiālais un tehniskais atbalsts: darba veikšanas vadlīnijas;
Izpildes laiks: 2 akadēmiskās stundas;
Nodarbības gaita:
Izpētīt īsu teorētisko informāciju;
Pabeigt uzdevumus;
Izdarīt secinājumu par darbu;
Sagatavojiet sava darba aizstāvību par testa jautājumiem.
Īsa teorētiskā informācija:
Matrica ir kvadrātveida vai taisnstūrveida galds, piepildīta ar cipariem. Šos skaitļus sauc par matricas elementiem.
Matricas elementi, atrodas horizontāli, veido matricas rindas. Matricas elementi, sakārtoti vertikāli, veido matricas kolonnas.
Līnijas ir numurētas no kreisās puses uz labo, sākot no numura1, kolonnas ir numurētas no augšas uz leju, sākot no numura1.
MatricaA , kamm līnijas unn kolonnas, sauc par matricuIzmērsm ieslēgtsn un ir norādītsA m∙n . Elementsa i j matricasA = { a ij } stāv krustojumāi - ak līnijas unj- kolonnā.
Kvadrātveida matricas galvenā diagonāle ir diagonāle, kas ved no matricas augšējā kreisā stūra uz apakšējo labo stūri.Kvadrātveida matricas sānu diagonāle ir diagonāle, kas ved no matricas apakšējā kreisā stūra uz augšējo labo stūri.
Divas matricas tiek uzskatītas par vienādām, ja tām ir vienāda dimensija un to atbilstošie elementi ir vienādi.
Katru matricu var reizināt ar jebkuru skaitli, un jak - tad numursk ∙ A ={ k ∙ a ij }.
Tāda paša izmēra matricasA m∙n UnB m∙n var salocīt, unA m∙n + B m∙n = { a ij + b i j }.
Matricas pievienošanas darbībai ir īpašībasA + B = B + A , A +( B + C ) = ( A + B ) + C .
1. piemērs. Pēc operāciju veikšanas ar matricām, atrast matricu C= 2A - B, kur, .
Risinājums.
Aprēķināsim 3x3 dimensijas matricu 2A:
Aprēķināsim matricu C = 2A — dimensijā 3x3:
C = 2 A - B .
Trešās kārtas matricas determinants ir skaitlis, ko nosaka vienādība:
.
Šis skaitlis ir algebriskā summa, kas sastāv no sešiem vārdiem. Katrs termins satur tieši vienu elementu no katras matricas rindas un katras kolonnas. Katrs termins sastāv no trīs faktoru reizinājuma.
1.1.att. 1.2.att.
Zīmes, ar kurām determinanta termini iekļauti trešās kārtas determinanta atrašanas formulā, var noteikt, izmantojot doto shēmu, ko sauc par trijstūri jeb Sarrusa likumu. Pirmie trīs termini tiek ņemti ar plus zīmi un tiek noteikti no attēla (1.1.), bet nākamie trīs vārdi tiek ņemti ar mīnusa zīmi un tiek noteikti no attēla (1.2).
2. piemērs. Aprēķiniet trešās kārtas determinantu, izmantojot Sarrusa likumu:
Risinājums:
3. piemērs. Aprēķiniet trešās kārtas determinantu, izmantojot paplašināšanas metodi pār pirmās rindas elementiem:
Risinājums:
Mēs izmantojam formulu:
3 -2 +2 = 3(-5 + 16) – 2(1+32) + 2(2 +20) = 33 – 66 + 44 = 11.
Apskatīsim galvenās determinantu īpašības:
Determinants ar nulles rindu (kolonnu) ir vienāds ar nulli.
Ja reiziniet jebkuru matricas rindu (jebkuru kolonnu) ar jebkuru skaitli, tad matricas determinants tiks reizināts ar šo skaitli.
Determinants nemainās, kad matrica tiek transponēta.
Determinants maina zīmi, kad tiek pārkārtotas jebkuras divas matricas rindas (kolonnas).
Matricas ar divām identiskām rindām (kolonnām) determinants ir vienāds ar nulli.
Determinants nemainās, ja jebkurai rindai tiek pievienota cita rinda, kas reizināta ar jebkuru skaitli. Līdzīgs apgalvojums attiecas uz kolonnām.
Matricu un determinantu īpašības tiek plaši izmantotas, risinot trīs lineāru vienādojumu sistēmu ar trim nezināmajiem:
,
kur x 1 , X 2 , X 3 ir mainīgie un 11 , A 12 ,…, A 33 - skaitliskie koeficienti. Jāatceras, ka, risinot sistēmu, ir iespējama viena no trim iespējamām atbildēm:
1) sistēmai ir unikāls risinājums – (x 1 ; X 2 ; X 3 );
2) sistēmai ir bezgalīgi daudz risinājumu (nenodefinēti);
3) sistēmai nav risinājumu (nekonsekventi).
Apsveriet iespēju atrisināt trīs lineāru vienādojumu sistēmu ar trim nezināmajiemKrāmera metode, kasļauj atrastvienīgais sistēmas risinājums, kas balstīts uz spēju aprēķināt trešās kārtas determinantus:
3. piemērs. Atrodiet risinājumu trīs lineāru vienādojumu sistēmai ar trim nezināmajiem, izmantojot Krāmera formulas:
Risinājums. Atrodiet trešās kārtas determinantus, izmantojotSarrusa likums jeb paplašināšana ar pirmās rindas elementiem:
Mēs atrodam sistēmas risinājumu, izmantojot formulas:
Atbilde: (- 152; 270; -254)
Uzdevumi patstāvīgai izpildei:
es. Atrodiet transformācijas matricu.
II. Aprēķināt determinantuIIIpasūtījums.
III. Atrisiniet sistēmu, izmantojot Krāmera metodi.
1. iespēja.
1. C = A +3 B , Ja,. 2..
2. iespēja.
1. C =2 A - B ,Ja,. 2..
3. iespēja.
1. C = 3 A + B , Ja,. 2. .
4. iespēja.
1. C = A - 4 B , Ja,. 2..
5. iespēja.
1. C = 4 A - B , Ja,. 2..
6. iespēja.
1. C = A +2 B , Ja,. 2..
7. iespēja.
1. C =2 A + B , Ja,. 2..
8. iespēja.
1. C =3 A - B , Ja,. 2..
9. variants.
1. C = A - 3 B , Ja,. 2..
10. variants.
1. C = A - 2 B , Ja,. 2..
11. variants.
1. C = A +4 B , Ja,. 2..
12. variants.
1. C =4 A + B , Ja,. 2..
13. variants.
1. C = A +3 B , Ja,. 2..
14. variants.
1. C =2 A - B , Ja,. 2..
15. variants.
1. C =3 A + B , Ja,. 2..
Jautājumi paškontrolei:
Kas ir matrica?
Trešās kārtas determinantu aprēķināšanas noteikumi?
Uzrakstiet Krāmera formulas, lai atrisinātu trīs lineāru vienādojumu sistēmu ar trim mainīgajiem.
Vienādojumu sistēmas tiek plaši izmantotas tautsaimniecības sektorā dažādu procesu matemātiskai modelēšanai. Piemēram, risinot ražošanas vadības un plānošanas, loģistikas maršrutu (transporta problēma) vai iekārtu izvietošanas problēmas.
Vienādojumu sistēmas tiek izmantotas ne tikai matemātikā, bet arī fizikā, ķīmijā un bioloģijā, risinot populācijas lieluma noteikšanas uzdevumus.
Lineāro vienādojumu sistēma ir divi vai vairāki vienādojumi ar vairākiem mainīgajiem, kuriem jāatrod kopīgs risinājums. Tāda skaitļu virkne, kurai visi vienādojumi kļūst par patiesiem vienādībām vai pierāda, ka virkne neeksistē.
Lineārais vienādojums
Formas ax+by=c vienādojumus sauc par lineāriem. Apzīmējumi x, y ir nezināmie, kuru vērtība jāatrod, b, a ir mainīgo koeficienti, c ir vienādojuma brīvais loceklis.
Vienādojuma atrisināšana, uzzīmējot to, izskatīsies kā taisna līnija, kuras visi punkti ir polinoma atrisinājumi.
Lineāro vienādojumu sistēmu veidi
Par vienkāršākajiem piemēriem tiek uzskatītas lineāro vienādojumu sistēmas ar diviem mainīgajiem X un Y.
F1(x, y) = 0 un F2(x, y) = 0, kur F1,2 ir funkcijas un (x, y) ir funkciju mainīgie.
Atrisināt vienādojumu sistēmu - tas nozīmē atrast vērtības (x, y), pie kurām sistēma pārvēršas par patiesu vienādību, vai noteikt, ka piemērotas x un y vērtības nepastāv.
Vērtību pāris (x, y), kas uzrakstīts kā punkta koordinātas, tiek saukts par lineāro vienādojumu sistēmas risinājumu.
Ja sistēmām ir viens kopīgs risinājums vai risinājuma nav, tās sauc par līdzvērtīgām.
Homogēnas lineāro vienādojumu sistēmas ir sistēmas, kuru labā puse ir vienāda ar nulli. Ja labajai daļai aiz vienādības zīmes ir vērtība vai tā ir izteikta ar funkciju, šāda sistēma ir neviendabīga.
Mainīgo lielumu skaits var būt daudz lielāks par diviem, tad jārunā par piemēru lineāru vienādojumu sistēmai ar trīs vai vairāk mainīgajiem.
Saskaroties ar sistēmām, skolēni pieņem, ka vienādojumu skaitam noteikti jāsakrīt ar nezināmo skaitu, taču tas tā nav. Vienādojumu skaits sistēmā nav atkarīgs no mainīgajiem, to var būt tik daudz, cik vēlas.
Vienkāršas un sarežģītas vienādojumu sistēmu risināšanas metodes
Nav vispārējas analītiskas metodes šādu sistēmu risināšanai, visas metodes ir balstītas uz skaitliskiem risinājumiem. Skolas matemātikas kursā detalizēti aprakstītas tādas metodes kā permutācija, algebriskā saskaitīšana, aizstāšana, kā arī grafiskās un matricas metodes, risinājums ar Gausa metodi.
Galvenais uzdevums, mācot risināšanas metodes, ir iemācīt pareizi analizēt sistēmu un atrast katram piemēram optimālo risinājuma algoritmu. Galvenais ir nevis iegaumēt katras metodes noteikumu un darbību sistēmu, bet gan saprast konkrētas metodes izmantošanas principus.
Lineāro vienādojumu sistēmu piemēru risināšana 7. klases vispārējās izglītības programmā ir diezgan vienkārša un ļoti detalizēti izskaidrota. Jebkurā matemātikas mācību grāmatā šai sadaļai tiek pievērsta pietiekama uzmanība. Lineāro vienādojumu sistēmu piemēru risināšana, izmantojot Gausa un Krēmera metodi, tiek pētīta plašāk pirmajos augstākās izglītības gados.
Sistēmu risināšana, izmantojot aizstāšanas metodi
Aizvietošanas metodes darbības ir vērstas uz viena mainīgā lieluma vērtības izteikšanu otrā. Izteiksme tiek aizstāta ar atlikušo vienādojumu, pēc tam tā tiek reducēta līdz formai ar vienu mainīgo. Darbība tiek atkārtota atkarībā no nezināmo datu skaita sistēmā
Dosim risinājumu 7. klases lineāro vienādojumu sistēmas piemēram, izmantojot aizstāšanas metodi:
Kā redzams no piemēra, mainīgais x tika izteikts ar F(X) = 7 + Y. Rezultātā iegūtā izteiksme, kas aizstāta ar sistēmas 2. vienādojumu X vietā, palīdzēja iegūt vienu mainīgo Y 2. vienādojumā. . Šī piemēra atrisināšana ir vienkārša un ļauj iegūt Y vērtību.Pēdējais solis ir iegūto vērtību pārbaude.
Lineāro vienādojumu sistēmas piemēru ne vienmēr ir iespējams atrisināt ar aizstāšanu. Vienādojumi var būt sarežģīti, un mainīgā izteikšana otrā nezināmā izteiksmē būs pārāk apgrūtinoša turpmākiem aprēķiniem. Ja sistēmā ir vairāk nekā 3 nezināmie, arī risināšana ar aizstāšanu nav piemērota.
Lineāru nehomogēnu vienādojumu sistēmas piemēra risinājums:
Risinājums, izmantojot algebrisko saskaitīšanu
Meklējot risinājumus sistēmām, izmantojot saskaitīšanas metodi, vienādojumi tiek saskaitīti pēc vārda un reizināti ar dažādiem skaitļiem. Matemātisko darbību galvenais mērķis ir vienādojums vienā mainīgajā.
Šīs metodes izmantošana prasa praksi un novērojumus. Lineāro vienādojumu sistēmas atrisināšana, izmantojot saskaitīšanas metodi, ja ir 3 vai vairāk mainīgie, nav viegli. Algebrisko saskaitīšanu ir ērti izmantot, ja vienādojumos ir daļskaitļi un decimāldaļas.
Risinājuma algoritms:
- Reiziniet abas vienādojuma puses ar noteiktu skaitli. Aritmētiskās darbības rezultātā vienam no mainīgā lieluma koeficientiem jākļūst vienādam ar 1.
- Pievienojiet iegūto izteiksmi pēc vārda un atrodiet kādu no nezināmajiem.
- Aizstājiet iegūto vērtību sistēmas 2. vienādojumā, lai atrastu atlikušo mainīgo.
Risinājuma metode, ieviešot jaunu mainīgo
Jaunu mainīgo var ieviest, ja sistēmai ir jāatrod risinājums ne vairāk kā diviem vienādojumiem; arī nezināmo skaitam nevajadzētu būt lielākam par diviem.
Metode tiek izmantota, lai vienkāršotu vienu no vienādojumiem, ieviešot jaunu mainīgo. Jaunais vienādojums tiek atrisināts ieviestajam nezināmajam, un iegūto vērtību izmanto, lai noteiktu sākotnējo mainīgo.
Piemērā redzams, ka, ieviešot jaunu mainīgo t, bija iespējams sistēmas 1. vienādojumu reducēt uz standarta kvadrātisko trinomu. Polinomu var atrisināt, atrodot diskriminantu.
Nepieciešams atrast diskriminanta vērtību, izmantojot labi zināmo formulu: D = b2 - 4*a*c, kur D ir vēlamais diskriminants, b, a, c ir polinoma faktori. Dotajā piemērā a=1, b=16, c=39, tātad D=100. Ja diskriminants ir lielāks par nulli, tad ir divi atrisinājumi: t = -b±√D / 2*a, ja diskriminants ir mazāks par nulli, tad ir viens risinājums: x = -b / 2*a.
Iegūto sistēmu risinājums tiek atrasts ar pievienošanas metodi.
Vizuāla metode sistēmu risināšanai
Piemērots 3 vienādojumu sistēmām. Metode sastāv no katra sistēmā iekļautā vienādojuma grafiku konstruēšanas uz koordinātu ass. Līkņu krustošanās punktu koordinātas būs sistēmas vispārējais risinājums.
Grafiskajai metodei ir vairākas nianses. Apskatīsim vairākus piemērus lineāro vienādojumu sistēmu risināšanai vizuālā veidā.
Kā redzams no piemēra, katrai līnijai tika izveidoti divi punkti, mainīgā x vērtības tika izvēlētas patvaļīgi: 0 un 3. Pamatojoties uz x vērtībām, tika atrastas y vērtības: 3 un 0. Punkti ar koordinātām (0, 3) un (3, 0) tika atzīmēti grafikā un savienoti ar līniju.
Darbības ir jāatkārto otrajam vienādojumam. Līniju krustpunkts ir sistēmas risinājums.
Šajā piemērā ir jāatrod grafisks risinājums lineāro vienādojumu sistēmai: 0,5x-y+2=0 un 0,5x-y-1=0.
Kā redzams no piemēra, sistēmai nav risinājuma, jo grafiki ir paralēli un nekrustojas visā to garumā.
Sistēmas no 2. un 3. piemēra ir līdzīgas, taču konstruējot kļūst acīmredzams, ka to risinājumi atšķiras. Jāatceras, ka ne vienmēr ir iespējams pateikt, vai sistēmai ir risinājums vai nav, vienmēr ir nepieciešams izveidot grafu.
Matrica un tās šķirnes
Matricas izmanto, lai kodolīgi uzrakstītu lineāro vienādojumu sistēmu. Matrica ir īpašs tabulas veids, kas piepildīts ar cipariem. n*m ir n — rindas un m — kolonnas.
Matrica ir kvadrātveida, ja kolonnu un rindu skaits ir vienāds. Matrica-vektors ir vienas kolonnas matrica ar bezgalīgi iespējamu rindu skaitu. Matricu ar vieniniekiem gar vienu no diagonālēm un citiem nulles elementiem sauc par identitāti.
Apgrieztā matrica ir matrica, ko reizinot ar kuru sākotnējā matrica pārvēršas par vienības matricu; šāda matrica pastāv tikai sākotnējai kvadrātveida matricai.
Noteikumi vienādojumu sistēmas pārvēršanai matricā
Attiecībā uz vienādojumu sistēmām vienādojumu koeficientus un brīvos vārdus raksta kā matricas skaitļus, viens vienādojums ir viena matricas rinda.
Tiek uzskatīts, ka matricas rinda nav nulle, ja vismaz viens rindas elements nav nulle. Tāpēc, ja kādā no vienādojumiem mainīgo skaits atšķiras, tad trūkstošā nezināmā vietā jāievada nulle.
Matricas kolonnām stingri jāatbilst mainīgajiem. Tas nozīmē, ka mainīgā x koeficientus var ierakstīt tikai vienā kolonnā, piemēram, pirmajā, nezināmā y koeficientu - tikai otrajā.
Reizinot matricu, visi matricas elementi tiek secīgi reizināti ar skaitli.
Apgrieztās matricas atrašanas iespējas
Formula apgrieztās matricas atrašanai ir diezgan vienkārša: K -1 = 1 / |K|, kur K -1 ir apgrieztā matrica, un |K| ir matricas determinants. |K| nedrīkst būt vienāds ar nulli, tad sistēmai ir risinājums.
Determinants ir viegli aprēķināms matricai divi reiz divi; jums vienkārši jāreizina diagonālie elementi viens ar otru. Opcijai “trīs reiz trīs” ir formula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Var izmantot formulu vai arī atcerēties, ka no katras rindas un katras kolonnas jāņem pa vienam elementam, lai darbā neatkārtotos kolonnu un elementu rindu numuri.
Lineāro vienādojumu sistēmu piemēru risināšana, izmantojot matricas metodi
Risinājuma atrašanas matricas metode ļauj samazināt apgrūtinošos ierakstus, risinot sistēmas ar lielu skaitu mainīgo un vienādojumu.
Piemērā a nm ir vienādojumu koeficienti, matrica ir vektors, x n ir mainīgie, un b n ir brīvie termini.
Sistēmu risināšana, izmantojot Gausa metodi
Augstākajā matemātikā Gausa metodi pēta kopā ar Krāmera metodi, un sistēmu risinājumu meklēšanas procesu sauc par Gausa-Kramera risinājuma metodi. Šīs metodes izmanto, lai atrastu mainīgos lielumus sistēmām ar lielu skaitu lineāro vienādojumu.
Gausa metode ir ļoti līdzīga risinājumiem ar aizstāšanu un algebrisku saskaitīšanu, taču tā ir sistemātiskāka. Skolas kursā 3 un 4 vienādojumu sistēmām tiek izmantots risinājums pēc Gausa metodes. Metodes mērķis ir reducēt sistēmu līdz apgrieztas trapeces formai. Ar algebrisko transformāciju un aizstāšanas palīdzību vienā no sistēmas vienādojumiem tiek atrasta viena mainīgā lieluma vērtība. Otrais vienādojums ir izteiksme ar 2 nezināmajiem, savukārt 3 un 4 ir attiecīgi ar 3 un 4 mainīgajiem.
Pēc sistēmas nogādāšanas aprakstītajā formā tālākais risinājums tiek reducēts līdz zināmo mainīgo secīgai aizstāšanai sistēmas vienādojumos.
Skolas mācību grāmatās 7. klasei risinājuma piemērs ar Gausa metodi ir aprakstīts šādi:
Kā redzams no piemēra, (3) solī tika iegūti divi vienādojumi: 3x 3 -2x 4 =11 un 3x 3 +2x 4 =7. Jebkuru vienādojumu atrisināšana ļaus noskaidrot vienu no mainīgajiem x n.
5. teorēma, kas ir minēta tekstā, nosaka, ka, ja viens no sistēmas vienādojumiem tiek aizstāts ar ekvivalentu, tad iegūtā sistēma arī būs līdzvērtīga sākotnējai.
Gausa metodi vidusskolēniem ir grūti saprast, taču tas ir viens no interesantākajiem veidiem, kā attīstīt to bērnu atjautību, kuri ir uzņemti progresīvās mācību programmās matemātikas un fizikas stundās.
Lai atvieglotu ierakstīšanu, aprēķinus parasti veic šādi:
Vienādojumu un brīvo terminu koeficientus raksta matricas formā, kur katra matricas rinda atbilst kādam no sistēmas vienādojumiem. atdala vienādojuma kreiso pusi no labās puses. Romiešu cipari norāda vienādojumu numurus sistēmā.
Vispirms pierakstiet matricu, ar kuru jāstrādā, pēc tam visas darbības, kas veiktas ar vienu no rindām. Iegūtā matrica tiek uzrakstīta aiz "bultiņas" zīmes un tiek turpinātas nepieciešamās algebriskās darbības, līdz tiek sasniegts rezultāts.
Rezultātā jāiegūst matrica, kurā viena no diagonālēm ir vienāda ar 1, un visi pārējie koeficienti ir vienādi ar nulli, tas ir, matrica tiek reducēta līdz vienības formai. Mēs nedrīkstam aizmirst veikt aprēķinus ar skaitļiem abās vienādojuma pusēs.
Šī ierakstīšanas metode ir mazāk apgrūtinoša un ļauj novērst uzmanību, uzskaitot daudzus nezināmus.
Jebkuras risinājuma metodes bezmaksas izmantošana prasīs rūpību un zināmu pieredzi. Ne visas metodes ir lietišķas. Dažas risinājumu meklēšanas metodes ir vairāk ieteicamas noteiktā cilvēka darbības jomā, bet citas pastāv izglītības nolūkos.
