Pieeja nenegatīvu veselu skaitļu pievienošanai ļauj mums pamatot labi zināmos saskaitīšanas likumus: komutatīvo un kombinēto.

Vispirms pierādīsim komutatīvo likumu, t.i., pierādīsim, ka visiem nenegatīviem veseliem skaitļiem a un b ir spēkā vienādība a + b = b + a.

Lai a ir elementu skaits kopā A, b ir elementu skaits kopā B un A B=0. Tad pēc nenegatīvu veselu skaitļu summas definīcijas a + b ir kopu A un B savienības elementu skaits: a + b = n (A//B). Bet kopa A B ir vienāda ar kopu B A atbilstoši kopu savienības komutatīvajai īpašībai, un tātad n(AU B) = n(B U A). Pēc summas definīcijas n(BiA) = b + a, tātad a+b=b+a jebkuriem nenegatīviem veseliem skaitļiem a un b.

Tagad pierādīsim kombinācijas likumu, t.i., pierādīsim, ka uz jebkuriem nenegatīviem veseliem skaitļiem a, b, c ir spēkā vienādība (a + b) + c = a + (b + c).

Pieņemsim, ka a = n(A), b = n(B), c = n(C) un АУВ = 0, ВУС = 0 Tad pēc divu skaitļu summas definīcijas varam uzrakstīt (a+ b)+ c = n(A/ /)B) + p(C) = p((AUBUC).

Tā kā kopu savienība pakļaujas kombinācijas likumam, tad n((AUB)U C) = n(A U(BUC)). No kurienes, pēc divu skaitļu summas definīcijas, mums ir n (A J(BUC)) = n (A) + n (BU C) = a + (b + c). Tāpēc (a+ b)+ c -- a+(b + c) jebkuriem nenegatīviem veseliem skaitļiem a, b un c.

Kāds ir saskaitīšanas asociatīvā likuma mērķis? Viņš paskaidro, kā jūs varat atrast trīs terminu summu: lai to izdarītu, vienkārši pievienojiet pirmo vārdu ar otro un pievienojiet trešo vārdu iegūtajam skaitlim vai pievienojiet pirmo vārdu otrā un trešā vārda summai. Ņemiet vērā, ka apvienošanas likums neparedz terminu pārkārtošanu.

Gan komutatīvos, gan asociatīvos saskaitīšanas likumus var vispārināt ar jebkuru terminu skaitu. Šajā gadījumā komutatīvais likums nozīmēs, ka summa nemainās, pārkārtojot terminus, un asociatīvais likums nozīmēs, ka summa nemainās ar jebkuru terminu grupēšanu (nemainot to secību).

No komutatīvajiem un asociatīvajiem saskaitīšanas likumiem izriet, ka vairāku terminu summa nemainīsies, ja tos kaut kādā veidā pārkārtos un ja kāda to grupa ir ievietota iekavās.

Aprēķināsim, izmantojot saskaitīšanas likumus, izteiksmes vērtību 109 + 36+ 191 +64 + 27.

Pamatojoties uz komutatīvo likumu, mēs pārkārtojam terminus 36 un 191. Tad 109 + 36+191+64 + 27= 109+191+36 + 64 + 27.

Izmantosim kombinācijas likumu, grupējot terminus, un pēc tam iekavās atrodam summas: 109+ 191 +36 + 64 + 27 ==(109 + 191) + (36 + 64) + 27 = 300 + 100 + 27.

Atkal piemērosim kombinācijas likumu, iekavās ievietojot skaitļu 300 un 100 summu: 300+ 100 + 27 = (300+ 100) + 27.

Veiksim aprēķinus: (300+ 100)+ 27 = 400+ 27 = 427.

Pamatskolas skolēni iepazīst saskaitīšanas komutācijas īpašību, pētot pirmos desmit skaitļus. Vispirms to izmanto, lai izveidotu viencipara saskaitīšanas tabulu un pēc tam racionalizētu dažādus aprēķinus.

Kombinācijas saskaitīšanas likums sākotnējā matemātikas kursā nav īpaši pētīts, bet tiek pastāvīgi izmantots. Tādējādi tas ir pamats skaitļa pa daļām saskaitīšanas tehnikai: 3 + 2 = 3 + (1 + 1) = (3+ 1)+ 1 =4+ 1 =5. Turklāt gadījumos, kad summai nepieciešams pievienot skaitli, skaitlim summu, summai summu, asociatīvais likums tiek lietots savienojumā ar komutatīvo likumu. Piemēram, summas 2+1 pievienošana skaitlim 4 tiek piedāvāta šādos veidos:

1) 4 + (2+1) = 4 + 3 = 7;

4+2+ 1 = 6+1 =7;

4 + (2+1) = 5 + 2 = 7.

Analizēsim šīs metodes. 1. gadījumā aprēķini tiek veikti noteiktā kārtībā. 2. gadījumā tiek piemērota saskaitīšanas asociatīvā īpašība. Aprēķini pēdējā gadījumā ir balstīti uz komutatīvajiem un asociatīvajiem saskaitīšanas likumiem, un starpposma transformācijas tiek izlaistas. Viņi ir tādi. Pirmkārt, pamatojoties uz komutatīvo likumu, mēs samainījām terminus 1 un 2: 4+(2-1) = 4 + (1+2). Tad mēs izmantojām kombinācijas likumu: 4 + (1 +2) = (4+ 1) + 2. Un visbeidzot, mēs veicām aprēķinus atbilstoši darbību secībai (4 +1)+ 2 = 5 + 2 = 7.

Noteikumi skaitļa atņemšanai no summas un summas atņemšanai no skaitļa

Pamatosim zināmos noteikumus skaitļa atņemšanai no summas un summas atņemšanai no skaitļa.

Noteikums skaitļa atņemšanai no summas. Lai no summas atņemtu skaitli, pietiek ar šo skaitli atņemt no viena no summas nosacījumiem un iegūtajam rezultātam pievienot vēl vienu vārdu.

Uzrakstīsim šo noteikumu, izmantojot simbolus: Ja a, b, c ir nenegatīvi veseli skaitļi, tad:

a) a>c mums ir, ka (a+b) -- c = (a -- c)+b;

b) priekš b>c mums ir, ka (a+b) -- c==a + (b -- c);

c) attiecībā uz a>c un b>c varat izmantot jebkuru no šīm formulām.

Ļaujiet a > c, tad pastāv atšķirība a -c. Apzīmēsim to ar p: a - c = p. Tādējādi a = p+c. Aizvietojiet summu p+-c, nevis a izteiksmē (a+b) -- c un pārveidojiet to: (a + 6) --c = (p + c+b) -- c = p+b+-c - - c = p+b

Bet burts p apzīmē atšķirību a - c, kas nozīmē, ka mums ir (a + b) - - c = (a - c) + b, kas ir jāpierāda.

Tāda pati argumentācija tiek veikta arī citos gadījumos. Tagad ilustrēsim šo noteikumu (gadījums “a”), izmantojot Eilera apļus. Ņemsim trīs galīgas kopas A, B un C, lai n(A) = a, n(B) = b, n(C) = c un AUB = 0, CUA. Tad (a+b) - c ir kopas (AUB)C elementu skaits, un skaitlis (a - c) + b ir kopas (AC)UB elementu skaits. Eilera apļos kopa (AUB)C ir attēlota ar ēnotu apgabalu, kas parādīts attēlā.

Ir viegli pārbaudīt, vai kopa (AC)UB tiks attēlota ar tieši tādu pašu apgabalu. Tātad (AUB)C = (AC)UB datiem

kopas A, B un C. Līdz ar to n((AUB)C) = n((AC)UB)u (a + b) - c - (a - c) + b.

Gadījumu “b” var ilustrēt līdzīgi.

Noteikums summas atņemšanai no skaitļa. Lai no skaitļa atņemtu skaitļu summu, pietiek no šī skaitļa atņemt katru vārdu pa vienam, t.i., ja a, b, c ir nenegatīvi veseli skaitļi, tad a>b+c mums ir a--( b+c ) = (a - b) - c.

Šī noteikuma pamatojums un tā kopu teorētiskā ilustrācija tiek veikta tāpat kā noteikums par skaitļa atņemšanu no summas.

Dotie noteikumi tiek apspriesti pamatskolā, izmantojot konkrētus piemērus, un to pamatošanai tiek izmantoti vizuālie attēli. Šie noteikumi ļauj racionāli veikt aprēķinus. Piemēram, noteikums par summas atņemšanu no skaitļa ir skaitļa atņemšanas pa daļām pamatā:

5-2 = 5-(1 + 1) = (5-1)-1=4-1=3.

Iepriekš minēto noteikumu nozīme labi atklājas, dažādos veidos risinot aritmētiskos uzdevumus. Piemēram, problēma “No rīta jūrā izgāja 20 mazas un 8 lielas zvejnieku laivas. Atgrieztas 6 laivas. Cik laivu ar zvejniekiem vēl jāatgriežas? var atrisināt trīs veidos:

/ ceļš. 1. 20 + 8 = 28 2. 28 -- 6 = 22

// veids. 1. 20 -- 6 = 14 2. 14 + 8 = 22

III metode. 1. 8 -- 6 = 2 2. 20 + 2 = 22

Reizināšanas likumi

Pierādīsim reizināšanas likumus, pamatojoties uz reizinājuma definīciju, izmantojot kopu Dekarta reizinājumu.

1. Komutatīvais likums: jebkuriem nenegatīviem veseliem skaitļiem a un b vienādība a*b = b*a ir patiesa.

Pieņemsim, ka a = n(A), b = n(B). Tad pēc produkta definīcijas a*b = n(A*B). Taču kopas A*B un B*A ir vienlīdz spēcīgas: katru pāri (a, b) no kopas AXB var saistīt ar vienu pāri (b, a) no kopas BxA un otrādi. Tas nozīmē, ka n(AXB) = n(BxA), un tāpēc a-b = n (AXB) = n (BXA) = b-a.

2. Kombinācijas likums: jebkuriem nenegatīviem veseliem skaitļiem a, b, c vienādība (a* b) *c = a* (b*c) ir patiesa.

Pieņemsim, ka a = n(A), b = n(B), c = n(C). Tad pēc produkta definīcijas (a-b)-c = n((AXB)XQ, a-(b -c) = n (AX(BXQ). Kopas (AxB)XC un A X (BX Q) atšķiras: pirmais sastāv no formas pāriem ((a, b), c), bet otrs - no formas pāriem (a, (b, c)), kur aЈA, bЈB, cЈC. Bet kopas (AXB) XC un AX(BXC) ir vienāda jauda, ​​jo pastāv vienas kopas kartēšana viens pret vienu. Tāpēc n((AXB) *C) = n(A*(B*C)) un , tāpēc (a*b) *c = a* (b*c).

3. Reizināšanas sadalījuma likums attiecībā pret saskaitīšanu: jebkuriem nenegatīviem veseliem skaitļiem a, b, c vienādība (a + b) x c = ac+ be ir patiesa.

Pieņemsim, ka a - n (A), b = n (B), c = n (C) un AUB = 0. Tad pēc produkta definīcijas mums ir (a + b) x c = n ((AUB) * C. No kurienes, pamatojoties uz vienādību (*), mēs iegūstam n ((A UВ) * C) = n((A * C)U(B* C)), un tālāk pēc summas un reizinājuma n ( (A * C)U(B* C) ) -- = n(A*C) + n(B*C) = ac + bc.

4. Reizināšanas sadalījuma likums attiecībā pret atņemšanu: jebkuriem nenegatīviem veseliem skaitļiem a, b un c un a^b vienādība (a - b)c = = ac - bc ir patiesa.

Šis likums ir atvasināts no vienādības (AB) *C = (A *C)(B*C) un tiek pierādīts līdzīgi kā iepriekšējais.

Komutatīvos un asociatīvos reizināšanas likumus var attiecināt uz jebkuru faktoru skaitu. Tāpat kā piedevām, šie likumi bieži tiek lietoti kopā, tas ir, vairāku faktoru reizinājums nemainīsies, ja tie tiek kaut kādā veidā pārkārtoti un ja kāda no tiem ir iekavās.

Sadales likumi nosaka saikni starp reizināšanu un saskaitīšanu un atņemšanu. Pamatojoties uz šiem likumiem, iekavas tiek atvērtas tādās izteiksmēs kā (a + b) c un (a - b) c, kā arī faktors tiek izņemts no iekavām, ja izteiksme ir formā ac - be vai

Sākotnējā matemātikas kursā tiek pētīta reizināšanas komutatīvā īpašība, kas formulēta šādi: “Reizstrādājums nemainīsies, pārkārtojot faktorus” - un tiek plaši izmantots viencipara skaitļu reizināšanas tabulas sastādīšanā. Komutatīvais likums pamatskolā netiek skaidri aplūkots, bet tiek lietots kopā ar komutācijas likumu, reizinot skaitli ar reizinājumu. Tas notiek šādi: studenti tiek aicināti apsvērt dažādus veidus, kā atrast izteiksmes vērtību 3* (5*2) un salīdzināt rezultātus.

Tiek doti gadījumi:

1) 3* (5*2) = 3*10 = 30;

2) 3* (5*2) = (3*5) *2 = 15*2 = 30;

3) 3* (5*2) = (3*2) *5 = 6*5 = 30.

Pirmā no tām ir balstīta uz darbību kārtības likumu, otrā uz asociatīvo reizināšanas likumu, trešā uz reizināšanas komutatīvajiem un asociatīvajiem likumiem.

Reizināšanas sadales likums attiecībā pret saskaitīšanu tiek apspriests skolā, izmantojot konkrētus piemērus, un to sauc par noteikumiem skaitļa reizināšanai ar summu un summas ar skaitli. Šo divu noteikumu ievērošanu nosaka metodoloģiski apsvērumi.

Noteikumi summas dalīšanai ar skaitli un skaitļu dalīšanai ar reizinājumu

Iepazīsimies ar dažām naturālo skaitļu dalīšanas īpašībām. Šo noteikumu izvēli nosaka sākotnējā matemātikas kursa saturs.

Noteikums summas dalīšanai ar skaitli. Ja skaitļi a un b dalās ar skaitli c, tad to summa a + b dalās ar c; koeficients, kas iegūts, dalot summu a + b ar skaitli c, ir vienāds ar to koeficientu summu, kas iegūti, dalot a ar c un b ar c, t.i.

(a + b): c = a: c + b: c.

Pierādījums. Tā kā a dalās ar c, ir tāds naturāls skaitlis m = a:c, ka a = c-m. Līdzīgi ir tāds naturāls skaitlis n - b:c, ka b = c-n. Tad a+b = c-m + c-/2 = c-(m + n). No tā izriet, ka a + b dalās ar c un koeficients, kas iegūts, dalot a + b ar skaitli c, ir vienāds ar m + n, t.i., a: c + b: c.

Pierādīto noteikumu var interpretēt no kopas teorētiskā viedokļa.

Pieņemsim, ka a = n(A), b = n(B) un AGV = 0. Ja katru no kopām A un B var sadalīt vienādās apakškopās, tad šo kopu apvienošana pieļauj vienu un to pašu nodalījumu.

Turklāt, ja katra kopas A nodalījuma apakškopa satur a:c elementus un katra kopas B apakškopa satur b:c elementus, tad katra kopas A[)B apakškopa satur a:c+b:c elementus. Tas nozīmē, ka (a + b): c = a: c + b: c.

Noteikums skaitļa dalīšanai ar reizinājumu. Ja naturāls skaitlis a dalās ar naturāliem skaitļiem b un c, tad, lai a dalītu ar skaitļu b un c reizinājumu, pietiek ar skaitli a dalīt ar b (c) un iegūto koeficientu dalīt ar c (b) : a: (b * c) --(a: b): c = (a: c): b Pierādījums. Ieliksim (a:b):c = x. Tad pēc koeficienta definīcijas a:b = c-x, tātad līdzīgi a - b-(cx). Pamatojoties uz reizināšanas asociatīvo likumu a = (bc)-x. Iegūtā vienādība nozīmē, ka a:(bc) = x. Tādējādi a:(bc) = (a:b):c.

Noteikums skaitļa reizināšanai ar divu skaitļu koeficientu. Lai reizinātu skaitli ar divu skaitļu koeficientu, pietiek šo skaitli reizināt ar dividendi un iegūto reizinājumu dalīt ar dalītāju, t.i.

a-(b:c) = (a-b):c.

Formulēto noteikumu piemērošana ļauj vienkāršot aprēķinus.

Piemēram, lai atrastu izteiksmes vērtību (720+ 600): 24, pietiek dalīt terminus 720 un 600 ar 24 un pievienot iegūtos koeficientus:

(720+ 600): 24 = 720:24 + 600:24 = 30 + 25 = 55. Izteiksmes 1440:(12* 15) vērtību var atrast, vispirms dalot 1440 ar 12 un pēc tam dalot iegūto koeficientu līdz 15:

1440: (12 * 15) = (1440:12): 15 = 120:15 = 8.

Šie noteikumi tiek apspriesti sākotnējā matemātikas kursā, izmantojot konkrētus piemērus. Pirmo reizi iepazīstoties ar noteikumu, kā summu 6 + 4 dalīt ar skaitli 2, tiek izmantots ilustratīvs materiāls. Nākotnē šo noteikumu izmantos, lai racionalizētu aprēķinus. Noteikums par skaitļa dalīšanu ar reizinājumu tiek plaši izmantots, dalot skaitļus, kas beidzas ar nullēm.

Tēma Nr.1.

Reālie skaitļi Skaitliskās izteiksmes. Skaitlisko izteiksmju konvertēšana

I. Teorētiskais materiāls

Pamatjēdzieni

· Veseli skaitļi

· Skaitļa decimālais apzīmējums

· Pretēji skaitļi

· Veseli skaitļi

· Kopējā frakcija

Racionālie skaitļi

· Bezgalīga decimāldaļa

· Skaitļa periods, periodiskā daļa

· Iracionāli skaitļi

· Reāli skaitļi

Aritmētiskās darbības

Skaitliskā izteiksme

· Izteiksmes vērtība

· Decimāldaļas pārvēršana parastā daļskaitlī

Daļas pārvēršana decimāldaļās

Periodiskās daļas pārvēršana parastā daļā

· Aritmētisko darbību likumi

· Dalāmības pazīmes

Tiek izsaukti skaitļi, ko izmanto, saskaitot objektus vai lai norādītu objekta sērijas numuru starp līdzīgiem objektiem dabisks. Jebkuru naturālu skaitli var uzrakstīt, izmantojot desmit cipariem: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Šo skaitļu apzīmējumu sauc decimālzīme

Piemēram: 24; 3711; 40125.

Parasti tiek apzīmēta naturālo skaitļu kopa N.

Tiek izsaukti divi skaitļi, kas atšķiras viens no otra tikai ar zīmi pretī cipariem.

Piemēram, numuri 7 un – 7.

Naturālie skaitļi, to pretstati un skaitlis nulle veido kopu vesels Z.

Piemēram: – 37; 0; 2541.

Veidlapas numurs , kur m – vesels skaitlis, n – naturāls skaitlis, ko sauc par parasto frakcija. Ņemiet vērā, ka jebkuru naturālu skaitli var attēlot kā daļskaitli ar saucēju 1.

Piemēram: , .

Veselo skaitļu un daļskaitļu (pozitīvo un negatīvo) kopu savienība veido kopu racionāls cipariem. To parasti apzīmē J.

Piemēram: ; – 17,55; .

Ļaujiet dot doto decimāldaļskaitli. Tā vērtība nemainīsies, ja labajā pusē pievienosit jebkuru nulles skaitu.

Piemēram: 3,47 = 3,470 = 3,4700 = 3,47000… .

Šādu decimāldaļu sauc par bezgalīgu decimāldaļu.

Jebkuru parasto daļskaitli var attēlot kā bezgalīgu decimāldaļskaitli.

Tiek izsaukta secīgi atkārtota ciparu grupa pēc skaitļa komata periodā, un tiek izsaukta bezgalīga decimāldaļdaļa, kuras apzīmējumā ir šāds punkts periodiski. Īsuma labad ir pieņemts punktu rakstīt vienu reizi, pievienojot to iekavās.

Piemēram: 0,2142857142857142857… = 0,2(142857).

2,73000… = 2,73(0).

Tiek sauktas bezgalīgas decimāldaļas neperiodiskas daļas neracionāli cipariem.

Racionālo un iracionālo skaitļu kopu savienība veido kopu derīgs cipariem. To parasti apzīmē R.

Piemēram: ; 0,(23); 41,3574…

Numurs ir neracionāls.

Visiem skaitļiem ir noteiktas trīs darbību darbības:

· I posma darbības: saskaitīšana un atņemšana;

· II posma darbības: reizināšana un dalīšana;

· III posma darbības: paaugstināšana un sakņu ekstrakcija.

Tiek izsaukta izteiksme, kas sastāv no skaitļiem, aritmētiskiem simboliem un iekavām ciparu.

Piemēram: ; .

Tiek izsaukts skaitlis, kas iegūts darbību veikšanas rezultātā izteiksmes vērtība.

Skaitliskā izteiksme nav jēgas, ja tajā ir dalījums ar nulli.

Atrodot izteiksmes vērtību, secīgi tiek veiktas III, II stadijas un I posma darbības beigās darbības. Šajā gadījumā ir jāņem vērā iekavu izvietojums skaitliskā izteiksmē.

Skaitliskās izteiksmes konvertēšana sastāv no secīgas aritmētisko darbību veikšanas ar tajā iekļautajiem skaitļiem, izmantojot atbilstošus noteikumus (noteikums par parasto daļskaitļu pievienošanu ar dažādiem saucējiem, decimāldaļu reizināšanu utt.). Uzdevumi skaitlisko izteiksmju konvertēšanai mācību grāmatās atrodami šādos formulējumos: “Atrast skaitliskās izteiksmes vērtību”, “Vienkāršot skaitlisko izteiksmi”, “Aprēķināt” u.c.

Meklējot dažu skaitlisko izteiksmju vērtības, jums ir jāveic darbības ar dažāda veida daļskaitļiem: parasto, decimāldaļu, periodisko. Šajā gadījumā var būt nepieciešams pārvērst parasto daļskaitli decimāldaļā vai veikt pretēju darbību - aizstāt periodisko daļu ar parasto.

Lai pārvērstu decimāldaļskaitlis līdz parastajai daļai, pietiek ar daļskaitļa skaitītājā ierakstīt skaitli aiz komata, bet saucējā vienu ar nullēm, un pa labi no komata ir jābūt tik nullēm, cik ciparu.

Piemēram: ; .

Lai pārvērstu daļa līdz decimāldaļai, jums ir jāsadala tā skaitītājs ar saucēju saskaņā ar noteikumu par decimāldaļas dalīšanu ar veselu skaitli.

Piemēram: ;

;

.

Lai pārvērstu periodiska daļa uz parasto daļu, nepieciešams:

1) no skaitļa pirms otrā perioda atņem skaitli pirms pirmā perioda;

2) ierakstiet šo starpību kā skaitītāju;

3) saucējā ierakstiet skaitli 9 tik reižu, cik skaitļu ir periodā;

4) pieskaitiet saucējam tik nulles, cik ciparu ir starp komatu un pirmo punktu.

Piemēram: ; .

Aritmētisko darbību likumi reāliem skaitļiem

1. Ceļošana(komutatīvais) saskaitīšanas likums: terminu pārkārtošana nemaina summas vērtību:

2. Ceļošana(komutatīvais) reizināšanas likums: faktoru pārkārtošana nemaina produkta vērtību:

3. Konjunktīvs(asociatīvais) saskaitīšanas likums: summas vērtība nemainīsies, ja kādu terminu grupu aizstāj ar to summu:

4. Konjunktīvs(asociatīvais) reizināšanas likums: produkta vērtība nemainīsies, ja kādu faktoru grupu aizstāj ar to reizinājumu:

.

5. Izplatīšana(distributīvais) reizināšanas likums attiecībā pret saskaitīšanu: lai reizinātu summu ar skaitli, pietiek reizināt katru saskaitījumu ar šo skaitli un saskaitīt iegūtos reizinājumus:

Īpašības 6–10 sauc par absorbcijas likumiem 0 un 1.

Dalāmības pazīmes

Tiek izsauktas īpašības, kas dažos gadījumos ļauj bez dalīšanas noteikt, vai viens skaitlis dalās ar citu dalāmības pazīmes.

Pārbaude dalāmību ar 2. Skaitlis dalās ar 2 tad un tikai tad, ja skaitlis beidzas ar pat numuru. Tas ir, pie 0, 2, 4, 6, 8.

Piemēram: 12834; –2538; 39,42.

Pārbaudi dalāmību ar 3. Skaitlis dalās ar 3 tad un tikai tad, ja tā ciparu summa dalās ar 3.

Piemēram: 2742; –17940.

Pārbaudiet dalāmību ar 4. Skaitlis, kurā ir vismaz trīs cipari, dalās ar 4 tad un tikai tad, ja divciparu skaitlis, ko veido dotā skaitļa pēdējie divi cipari, dalās ar 4.

Piemēram: 15436; –372516.

Dalāmības pārbaude ar 5. Skaitlis dalās ar 5 tad un tikai tad, ja tā pēdējais cipars ir 0 vai 5.

Piemēram: 754570; –4125.

Dalāmības pārbaude ar 9. Skaitlis dalās ar 9 tad un tikai tad, ja tā ciparu summa dalās ar 9.

Piemēram: 846; –76455.

Mērķis: pārbaudīt prasmju attīstību veikt aprēķinus, izmantojot formulas; iepazīstināt bērnus ar aritmētisko darbību komutatīvajiem, asociatīvajiem un sadales likumiem.

• ieviest saskaitīšanas un reizināšanas likumu alfabētisko apzīmējumu; iemācīt pielietot aritmētisko darbību likumus, lai vienkāršotu aprēķinus un burtu izteiksmes;
• attīstīt loģisko domāšanu, prāta darba iemaņas, stipras gribas ieradumus, matemātisko runu, atmiņu, uzmanību, interesi par matemātiku, praktiskumu;
• audzināt cieņu vienam pret otru, draudzības sajūtu un uzticēšanos.

Nodarbības veids: kombinēts.

• iepriekš iegūto zināšanu pārbaude;
• sagatavot skolēnus jaunu materiālu apguvei
• jauna materiāla prezentācija;
• skolēnu uztvere un izpratne par jaunu materiālu;
• pētāmā materiāla primārā konsolidācija;
• nodarbības apkopošana un mājasdarbu uzlikšana.

Aprīkojums: dators, projektors, prezentācija.

Plāns:

1. Organizatoriskais moments.
2. Iepriekš pētītā materiāla pārbaude.
3. Jauna materiāla apguve.
4. Primārais zināšanu apguves tests (darbs ar mācību grāmatu).
5. Zināšanu uzraudzība un pašpārbaude (patstāvīgais darbs).
6. Nodarbības rezumēšana.
7. Atspulgs.

Nodarbību laikā

1. Organizatoriskais moments

Skolotājs: Labdien, bērni! Nodarbību sākam ar atvadīšanās dzejoli. Pievērsiet uzmanību ekrānam. (1 slaids). 2. pielikums .

Matemātika, draugi,
Pilnīgi visiem tas ir vajadzīgs.
Cītīgi strādājiet klasē
Un veiksme jūs noteikti gaida!

2. Materiāla atkārtošana

Apskatīsim mūsu aplūkoto materiālu. Es aicinu studentu pie ekrāna. Uzdevums: ar rādītāju savieno rakstīto formulu ar tās nosaukumu un atbildi uz jautājumu, ko vēl var atrast, izmantojot šo formulu. (2 slaidi).

Atveriet piezīmju grāmatiņas, parakstiet numuru, lielisks darbs. Pievērsiet uzmanību ekrānam. (3 slaidi).

Mēs strādājam mutiski pie nākamā slaida. (5 slaidi).

12 + 5 + 8		25 10		250 – 50
200 – 170		30 + 15		45: 3
15 + 30		45 – 17		28 25 4

Uzdevums: atrast izteicienu nozīmi. (Pie ekrāna strādā viens students.)

– Ko interesantu pamanījāt, risinot piemērus? Kādiem piemēriem ir vērts pievērst īpašu uzmanību? (Bērnu atbildes.)

Problēmsituācija

– Kādas saskaitīšanas un reizināšanas īpašības jūs zināt no pamatskolas? Vai varat tos uzrakstīt, izmantojot alfabētiskās izteiksmes? (Bērnu atbildes).

3. Jauna materiāla apgūšana

– Un tā, šodienas nodarbības tēma ir “Aritmētisko darbību likumi” (6 slaidi).
– Pierakstiet piezīmju grāmatiņā stundas tēmu.
– Kas jauns mums jāapgūst klasē? (Nodarbības mērķi tiek formulēti kopā ar bērniem.)
- Mēs skatāmies uz ekrānu. (7 slaidi).

Jūs redzat saskaitīšanas likumus, kas rakstīti burtu formā un piemēros. (Piemēru analīze).

– Nākamais slaids (8 slaidi).

Apskatīsim reizināšanas likumus.

– Tagad iepazīsimies ar ļoti svarīgu sadales likumu (9 slaidi).

- Apkopojiet. (10 slaidi).

– Kāpēc ir jāzina aritmētisko darbību likumi? Vai tie noderēs turpmākajās studijās, kādus priekšmetus apgūstot? (Bērnu atbildes.)

- Ierakstiet likumus piezīmju grāmatiņā.

4. Materiāla nostiprināšana

– Atveriet mācību grāmatu un mutiski atrodiet Nr.212 (a, b, d).

Nr.212 (c, d, g, h) rakstiski uz tāfeles un burtnīcās. (Eksāmens).

– Strādājam pie Nr.214 mutiski.

– Veicam uzdevumu Nr.215. Ar kādu likumu šis skaitlis tiek atrisināts? (Bērnu atbildes).

5. Patstāvīgais darbs

– Pierakstiet atbildi uz kartītes un salīdziniet savus rezultātus ar kaimiņu pie sava galda. Tagad pievērsiet uzmanību ekrānam. (11 slaidi).(Pastāvīgā darba pārbaude).

6. Nodarbības kopsavilkums

- Uzmanība pret ekrānu. (12 slaidi). Pabeidz teikumu.

Nodarbību atzīmes.

7. Mājas darbs

13.§, 227., 229.nr.

8. Atspulgs