Matricu transponēšana

Matricas transponēšana sauc par matricas rindu aizstāšanu ar tās kolonnām, vienlaikus saglabājot to secību (vai, kas ir tas pats, matricas kolonnu aizstāšanu ar tās rindām).

Dota sākotnējā matrica A:

Tad pēc definīcijas transponētā matrica A" ir šāda forma:

Saīsināta apzīmējuma forma matricas transponēšanas darbībai: bieži tiek apzīmēta transponētā matrica

Piemērs 3. Dotas matricas A un B:

Tad atbilstošajām transponētajām matricām ir šāda forma:

Ir viegli pamanīt divas matricas transponēšanas darbības likumsakarības.

1. Divreiz transponēta matrica ir vienāda ar sākotnējo matricu:

2. Transponējot kvadrātveida matricas, elementi, kas atrodas uz galvenās diagonāles, nemaina savas pozīcijas, t.i. Transponējot kvadrātveida matricas galvenā diagonāle nemainās.

Matricas reizināšana

Matricas reizināšana ir īpaša darbība, kas veido matricas algebras pamatu. Matricu rindas un kolonnas var uzskatīt par atbilstošu izmēru rindu un kolonnu vektoriem; citiem vārdiem sakot, jebkuru matricu var interpretēt kā rindu vektoru vai kolonnu vektoru kopumu.

Dotas divas matricas: A- Izmērs T X P Un IN- Izmērs p x k. Mēs apsvērsim matricu A kā kopums T rindu vektori A) izmēriem P katrs un matrica IN - kā kopums Uz kolonnu vektori b Jt kas satur katru P katras koordinātes:

Matricas rindu vektori A un matricas kolonnu vektori IN ir parādīti šo matricu apzīmējumos (2.7). Matricas rindas garums A vienāds ar matricas kolonnas augstumu IN, un tāpēc šo vektoru skalārajam reizinājumam ir jēga.

Definīcija 3. Matricu reizinājums A Un IN sauc par matricu C, kuras elementi Su ir vienādi ar rindu vektoru skalārajiem reizinājumiem A ( matricas A kolonnu vektoros bj matricas IN:

Matricu reizinājums A Un IN- matrica C - ir izmērs T X Uz, jo rindu vektoru un kolonnu vektoru garums l pazūd, summējot šo vektoru koordinātu reizinājumus to skalārajos reizinājumus, kā parādīts formulās (2.8). Tātad, lai aprēķinātu matricas C pirmās rindas elementus, ir nepieciešams secīgi iegūt matricas pirmās rindas skalāros reizinājumus A uz visām matricas kolonnām IN matricas C otro rindu iegūst kā matricas otrās rindas vektora skalāro reizinājumu A uz visiem matricas kolonnu vektoriem IN, un tā tālāk. Lai būtu ērtāk atcerēties matricu reizinājuma lielumu, ir jāsadala koeficientu matricu izmēru reizinājumi: - , tad atlikušie skaitļi attiecībā pret dod reizinājuma lielumu. Uz

dsnia, t.s. matricas C izmērs ir vienāds ar T X Uz.

Matricas reizināšanas darbībai ir raksturīga iezīme: matricu reizinājums A Un IN ir jēga, ja kolonnu skaits A vienāds ar rindu skaitu iekšā IN. Tad ja A un B - taisnstūra matricas, tad produkts IN Un A vairs nebūs jēgas, jo skalārajiem reizinājumiem, kas veido atbilstošās matricas elementus, jāietver vektori ar vienādu koordinātu skaitu.

Ja matricas A Un IN kvadrāts, izmērs l x l, ir jēga kā matricu reizinājums AB, un matricu reizinājums VA, un šo matricu izmērs ir tāds pats kā sākotnējo faktoru izmērs. Šajā gadījumā vispārējā matricas reizināšanas gadījumā netiek ievērots permutācijas (komutativitātes) likums, t.i. AB * VA.

Apskatīsim matricas reizināšanas piemērus.

Kopš matricas kolonnu skaita A vienāds ar matricas rindu skaitu IN, matricu reizinājums AB ir nozīme. Izmantojot formulas (2.8), produktā iegūstam matricu ar izmēru 3x2:

Darbs VA nav jēgas, jo matricas kolonnu skaits IN neatbilst matricas rindu skaitam A.

Šeit mēs atrodam matricas produktus AB Un VA:

Kā redzams no rezultātiem, reizinājuma matrica ir atkarīga no matricu secības produktā. Abos gadījumos matricas produktiem ir tāds pats izmērs kā sākotnējiem faktoriem: 2x2.

Šajā gadījumā matrica IN ir kolonnas vektors, t.i. matrica ar trim rindām un vienu kolonnu. Kopumā vektori ir īpaši matricu gadījumi: garuma rindas vektors P ir matrica ar vienu rindu un P kolonnas un augstuma kolonnas vektoru P- matrica ar P rindas un viena kolonna. Doto matricu izmēri ir attiecīgi 2 x 3 un 3 x I, tāpēc ir definēts šo matricu reizinājums. Mums ir

Produkts rada 2 x 1 izmēra matricu vai 2 augstuma kolonnas vektoru.

Secīgi reizinot matricas, mēs atrodam:

Matricu reizinājuma īpašības. Ļaujiet A, B un C ir atbilstoša izmēra matricas (lai varētu noteikt matricas reizinājumus), un a ir reāls skaitlis. Tad ir spēkā šādas matricu reizinājuma īpašības:

• 1) (AB)C = A(BC);
• 2) C A + B)C = AC + BC
• 3) A (B+ C) = AB + AC;
• 4) a (AB) = (aA)B = A(aB).

Identitātes matricas jēdziens E tika ieviests 2.1.1. Ir viegli redzēt, ka matricas algebrā tā spēlē vienības lomu, t.i. Mēs varam atzīmēt vēl divas īpašības, kas saistītas ar reizināšanu ar šo matricu kreisajā un labajā pusē:

• 5 )AE=A;
• 6) EA = A.

Citiem vārdiem sakot, jebkuras matricas reizinājums ar identitātes matricu, ja tam ir jēga, nemaina sākotnējo matricu.

Strādājot ar matricām, dažreiz tās ir jātransponē, tas ir, vienkāršiem vārdiem sakot, jāapgriež. Protams, datus var ievadīt arī manuāli, taču Excel piedāvā vairākus veidus, kā to izdarīt vienkāršāk un ātrāk. Apskatīsim tos sīkāk.

Matricas transponēšana ir kolonnu un rindu apmaiņas process. Programmai Excel ir divas transponēšanas iespējas: izmantojot funkciju TRANSSP un izmantojot ieliktņa speciālo instrumentu. Apskatīsim katru no šīm iespējām sīkāk.

1. metode: TRANSPOZE operators

Funkcija TRANSSP pieder operatoru kategorijai "Saites un masīvi". Īpatnība ir tāda, ka, tāpat kā citas funkcijas, kas darbojas ar masīviem, izvades rezultāts nav šūnas saturs, bet gan viss datu masīvs. Funkcijas sintakse ir diezgan vienkārša un izskatās šādi:

TRANSPĒT (masīvs)

Tas nozīmē, ka vienīgais šī operatora arguments ir atsauce uz masīvu, mūsu gadījumā uz matricu, kas jāpārvērš.

Apskatīsim, kā šo funkciju var pielietot, izmantojot piemēru ar reālu matricu.

1. Lapā atlasām tukšu šūnu, kuru plānojam izveidot par transformētās matricas augšējo kreiso šūnu. Pēc tam noklikšķiniet uz ikonas "Ievietot funkciju", kas atrodas netālu no formulas joslas.



2. Notiek palaišana Funkciju vedņi. Atveriet tajā esošo kategoriju "Saites un masīvi" vai "Pilns alfabētiskais saraksts". Pēc vārda atrašanas "TRANSP", atlasiet to un noklikšķiniet uz pogas "LABI".



3. Tiek atvērts funkciju argumentu logs TRANSSP. Vienīgais šī operatora arguments atbilst laukam "Masīvs". Jums jāievada apgriežamās matricas koordinātas. Lai to izdarītu, novietojiet kursoru laukā un, turot nospiestu peles kreiso pogu, atlasiet visu matricas diapazonu uz lapas. Kad apgabala adrese ir parādīta argumentu logā, noklikšķiniet uz pogas "LABI".



4. Bet, kā mēs redzam, šūnā, kas paredzēta rezultāta parādīšanai, kļūdas veidā tiek parādīta nepareiza vērtība “#VĒRTĪBA!”. Tas ir saistīts ar masīvu operatoru darbības veidu. Lai labotu šo kļūdu, atlasiet šūnu diapazonu, kurā rindu skaitam jābūt vienādam ar sākotnējās matricas kolonnu skaitu un kolonnu skaitam jābūt vienādam ar rindu skaitu. Šāda atbilstība ir ļoti svarīga, lai rezultāts tiktu parādīts pareizi. Šajā gadījumā šūna, kas satur izteiksmi “#VĒRTĪBA!” jābūt atlasītā masīva augšējā kreisajā šūnā, un tieši no šīs šūnas jāsāk atlases procedūra, turot nospiestu peles kreiso pogu. Kad esat veicis atlasi, novietojiet kursoru formulas joslā uzreiz aiz operatora izteiksmes TRANSSP, kam tajā jāparādās. Pēc tam, lai veiktu aprēķinu, jānospiež poga Ievadiet, kā tas ir ierasts parastajās formulās, un sastādiet kombināciju Ctrl+Shift+Enter.



5. Pēc šīm darbībām matrica tika parādīta tā, kā mums vajadzēja, tas ir, transponētā formā. Bet ir vēl viena problēma. Fakts ir tāds, ka tagad jaunā matrica ir masīvs, kas saistīts ar formulu, kuru nevar mainīt. Mēģinot veikt izmaiņas matricas saturā, tiks parādīta kļūda. Daži lietotāji ir diezgan apmierināti ar šo situāciju, jo viņi neplāno veikt izmaiņas masīvā, bet citiem ir nepieciešama matrica, ar kuru viņi var pilnībā strādāt.

   Lai atrisinātu šo problēmu, mēs atlasām visu transponēto diapazonu. Pāriet uz cilni "Mājas" noklikšķiniet uz ikonas "Kopēt", kas atrodas uz lentes grupā "Starpliktuve". Norādītās darbības vietā pēc atlases kopēšanai varat iestatīt standarta īsinājumtaustiņu Ctrl+C.



6. Pēc tam, nenoņemot atlasi no transponētā diapazona, ar peles labo pogu noklikšķiniet uz tās. Grupas konteksta izvēlnē "Ievietošanas opcijas" noklikšķiniet uz ikonas "Vērtības", kas izskatās kā piktogramma, kurā attēloti skaitļi.

   

   Pēc tam masīva formula TRANSSP tiks dzēstas, un šūnās paliks tikai viena vērtība, ar kuru var strādāt tāpat kā ar sākotnējo matricu.

2. metode: matricas transponēšana, izmantojot īpašo ielīmēšanu

Turklāt matricu var transponēt, izmantojot vienu konteksta izvēlnes vienumu, ko sauc "Ievietot īpašo".

Pēc šīm darbībām uz lapas paliks tikai pārveidotā matrica.

Izmantojot tās pašas divas iepriekš aprakstītās metodes, programmā Excel varat transponēt ne tikai matricas, bet arī pilnvērtīgas tabulas. Procedūra būs gandrīz identiska.

Tātad, mēs noskaidrojām, ka programmā Excel matricu var transponēt, tas ir, apgriezt, mainot kolonnas un rindas, divos veidos. Pirmā iespēja ietver funkcijas izmantošanu TRANSSP, bet otrais ir Paste Special Tools. Kopumā gala rezultāts, kas iegūts, izmantojot abas šīs metodes, neatšķiras. Abas metodes darbojas gandrīz jebkurā situācijā. Tāpēc, izvēloties konvertēšanas iespēju, priekšplānā izvirzās konkrēta lietotāja personīgās izvēles. Tas ir, kura no šīm metodēm jums ir ērtāka, izmantojiet to.

Lai transponētu matricu, matricas rindas jāraksta kolonnās.

Ja , tad transponētā matrica

Ja tad

1. vingrinājums. Atrast

1. Kvadrātveida matricu determinanti.

Kvadrātveida matricām tiek ieviests skaitlis, ko sauc par determinantu.

Otrās kārtas matricām (dimensijai ) determinantu nosaka pēc formulas:

Piemēram, matricai tās determinants ir

Piemērs . Aprēķināt matricu determinantus.

Trešās kārtas (dimensijas ) kvadrātveida matricām ir “trijstūra” noteikums: attēlā punktēta līnija nozīmē skaitļu reizināšanu, caur kuriem šķērso punktētā līnija. Pirmie trīs skaitļi jāsaskaita, nākamie trīs skaitļi jāatņem.

Piemērs. Aprēķiniet determinantu.

Lai sniegtu determinanta vispārīgu definīciju, ir jāievieš nepilngadīgā un algebriskā papildinājuma jēdziens.

Nepilngadīga matricas elementu sauc par determinantu, kas iegūts, izsvītrojot šo rindu un kolonnu.

Piemērs. Atradīsim dažus A matricas minorus.

Algebriskais papildinājums elementu sauc par skaitli.

Tas nozīmē, ka, ja indeksu summa ir pāra, tad tie neatšķiras. Ja indeksu summa ir nepāra, tad tie atšķiras tikai pēc zīmes.

Iepriekšējam piemēram.

Matricas determinants ir noteiktas virknes elementu reizinājumu summa

(kolonna) to algebriskajiem papildinājumiem. Apskatīsim šo definīciju trešās kārtas matricā.

Pirmo ierakstu sauc par determinanta paplašināšanu pirmajā rindā, otro ir izvēršana otrajā kolonnā, bet pēdējais ir trešās rindas paplašinājums. Kopumā šādus paplašinājumus var rakstīt sešas reizes.

Piemērs. Aprēķiniet determinantu, izmantojot "trijstūra" noteikumu un izvēršot to pa pirmo rindu, pēc tam pa trešo kolonnu, pēc tam pa otro rindu.

Izvērsīsim determinantu pirmajā rindā:

Izvērsīsim determinantu trešajā kolonnā:

Izvērsīsim determinantu pa otro rindu:

Ņemiet vērā, ka jo vairāk nulles, jo vienkāršāki aprēķini. Piemēram, paplašinot ar pirmo kolonnu, mēs iegūstam

Starp determinantu īpašībām ir īpašība, kas ļauj saņemt nulles, proti:

Ja noteiktas rindas (kolonnas) elementiem pievienojat citas rindas (kolonnas) elementus, reizinot ar skaitli, kas nav nulle, tad determinants nemainīsies.

Ņemsim to pašu determinantu un iegūsim nulles, piemēram, pirmajā rindā.

Tādā pašā veidā tiek aprēķināti augstāku pasūtījumu noteicošie faktori.

2. uzdevums. Aprēķiniet ceturtās kārtas determinantu:

1) izkliedēšana pa jebkuru rindu vai kolonnu

2) iepriekš saņēmis nulles

Mēs iegūstam papildu nulli, piemēram, otrajā kolonnā. Lai to izdarītu, reiziniet otrās rindas elementus ar -1 un pievienojiet tos ceturtajai rindai:

1. Lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risināšana, izmantojot Krāmera metodi.

Parādīsim lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas risinājumu, izmantojot Krāmera metodi.

2. uzdevums. Atrisiniet vienādojumu sistēmu.

Mums jāaprēķina četri noteicošie faktori. Pirmo sauc par galveno, un tas sastāv no nezināmo koeficientiem:

Ņemiet vērā, ka, ja , sistēmu nevar atrisināt ar Krāmera metodi.

Trīs atlikušie determinanti ir apzīmēti ar , , un tiek iegūti, aizstājot atbilstošo kolonnu ar labās puses kolonnu.

Mēs atradām. Lai to izdarītu, mainiet galvenā determinanta pirmo kolonnu uz labās puses kolonnu:

Mēs atradām. Lai to izdarītu, mainiet galveno determinanta otro kolonnu uz labās puses kolonnu:

Mēs atradām. Lai to izdarītu, mainiet galvenā noteicēja trešo kolonnu uz labās puses kolonnu:

Mēs atrodam sistēmas risinājumu, izmantojot Krāmera formulas: , ,

Tādējādi sistēmas risinājums ir , ,

Veiksim pārbaudi; lai to izdarītu, mēs aizstāsim atrasto risinājumu visos sistēmas vienādojumos.

1. Lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risināšana ar matricas metodi.

Ja kvadrātveida matricai ir determinants, kas nav nulle, ir tāda apgrieztā matrica, ka . Matricu sauc par identitātes matricu, un tai ir forma

Apgrieztā matrica tiek atrasta pēc formulas:

Piemērs. Atrodiet matricas apgriezto vērtību

Vispirms mēs aprēķinām determinantu.

Algebrisko komplementu atrašana:

Mēs rakstām apgriezto matricu:

Lai pārbaudītu aprēķinus, jums jāpārliecinās, ka .

Dota lineāro vienādojumu sistēma:

Apzīmēsim

Tad vienādojumu sistēmu var uzrakstīt matricas formā kā , un tātad . Iegūto formulu sauc par sistēmas risināšanas matricas metodi.

3. uzdevums. Atrisiniet sistēmu, izmantojot matricas metodi.

Nepieciešams izrakstīt sistēmas matricu, atrast tās apgriezto un pēc tam reizināt ar labo malu kolonnu.

Mēs jau esam atraduši apgriezto matricu iepriekšējā piemērā, kas nozīmē, ka mēs varam atrast risinājumu:

1. Lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risināšana ar Gausa metodi.

Krāmera metodi un matricas metodi izmanto tikai kvadrātiskām sistēmām (vienādojumu skaits ir vienāds ar nezināmo skaitu), un determinants nedrīkst būt vienāds ar nulli. Ja vienādojumu skaits nav vienāds ar nezināmo skaitu vai sistēmas determinants ir nulle, tiek izmantota Gausa metode. Gausa metodi var izmantot jebkuras sistēmas risināšanai.

Un aizstāsim to ar pirmo vienādojumu:

5. uzdevums. Atrisiniet vienādojumu sistēmu, izmantojot Gausa metodi.

Pamatojoties uz iegūto matricu, mēs atjaunojam sistēmu:

Mēs atrodam risinājumu:

Augstākajā matemātikā tiek pētīts tāds jēdziens kā transponēta matrica. Jāatzīmē: daudzi cilvēki domā, ka šī ir diezgan sarežģīta tēma, kuru nav iespējams apgūt. Tomēr tā nav. Lai precīzi saprastu, kā tiek veikta tik vienkārša darbība, jums tikai nedaudz jāiepazīstas ar pamatjēdzienu - matricu. Jebkurš students var saprast tēmu, ja veltīs laiku tās izpētei.

Kas ir matrica?

Matricas matemātikā ir diezgan izplatītas. Jāpiebilst, ka tie ir sastopami arī datorzinātnēs. Pateicoties viņiem un ar viņu palīdzību, ir viegli programmēt un izveidot programmatūru.

Kas ir matrica? Šī ir tabula, kurā ir ievietoti elementi. Tam jābūt taisnstūrveida izskatam. Vienkāršāk sakot, matrica ir skaitļu tabula. Tas ir apzīmēts, izmantojot dažus lielos latīņu burtus. Tas var būt taisnstūrveida vai kvadrātveida. Ir arī atsevišķas rindas un kolonnas, kuras sauc par vektoriem. Šādas matricas saņem tikai vienu skaitļu rindu. Lai saprastu, cik liela ir tabula, jums jāpievērš uzmanība rindu un kolonnu skaitam. Pirmo apzīmē ar burtu m, bet otro ar n.

Jums noteikti vajadzētu saprast, kas ir matricas diagonāle. Ir sānu un galvenā. Otrā ir tā skaitļu josla, kas iet no kreisās puses uz labo no pirmā līdz pēdējam elementam. Šajā gadījumā sānu līnija būs no labās uz kreiso pusi.

Ar matricām var veikt gandrīz visas vienkāršākās aritmētiskās darbības, tas ir, saskaitīt, atņemt, reizināt savā starpā un atsevišķi ar skaitli. Tos var arī transponēt.

Transponēšanas process

Transponētā matrica ir matrica, kurā tiek apmainītas rindas un kolonnas. Tas tiek darīts pēc iespējas vienkāršāk. Apzīmēts kā A ar augšējo indeksu T (AT). Principā jāsaka, ka augstākajā matemātikā šī ir viena no vienkāršākajām operācijām ar matricām. Galda izmērs tiek saglabāts. Šādu matricu sauc par transponētu.

Transponēto matricu īpašības

Lai pareizi veiktu transponēšanas procesu, ir jāsaprot, kādas šīs darbības īpašības pastāv.

• Jebkurai transponētajai tabulai ir jābūt oriģinālai matricai. To noteicošajiem faktoriem jābūt vienādiem vienam ar otru.
• Ja ir skalārā mērvienība, tad, veicot šo darbību, to var izņemt.
• Kad matrica ir dubultā transponēta, tā būs vienāda ar sākotnējo.
• Ja salīdzināsit divas salocītas tabulas ar apmainītām kolonnām un rindām ar to elementu summu, kuriem tika veikta šī darbība, tās būs vienādas.
• Pēdējā īpašība ir tāda, ka, ja jūs transponējat tabulas, kas reizinātas savā starpā, vērtībai jābūt vienādai ar rezultātiem, kas iegūti, reizinot transponētās matricas kopā apgrieztā secībā.

Kāpēc transponēt?

Matrica matemātikā ir nepieciešama, lai ar to atrisinātu noteiktas problēmas. Dažos no tiem ir jāaprēķina apgrieztā tabula. Lai to izdarītu, jums ir jāatrod noteicējs. Tālāk tiek aprēķināti nākotnes matricas elementi, pēc tam tie tiek transponēti. Atliek tikai atrast tieši apgriezto tabulu. Mēs varam teikt, ka šādās problēmās ir jāatrod X, un tas ir diezgan viegli izdarāms, izmantojot vienādojumu teorijas pamatzināšanas.

Rezultāti

Šajā rakstā tika apskatīts, kas ir transponētā matrica. Šī tēma būs noderīga nākamajiem inženieriem, kuriem jāprot pareizi aprēķināt sarežģītas struktūras. Dažreiz matricu nav tik viegli atrisināt, jums ir jāsakrauj smadzenes. Taču studentu matemātikas gaitā šī darbība tiek veikta pēc iespējas vienkāršāk un bez piepūles.

Šīs operācijas ar matricām nav lineāras.

DEFINĪCIJA. Transponēts matrica matricai Izmērs
sauc par izmēru matricu
, kas iegūts no aizstājot visas tā rindas ar kolonnām ar vienādiem sērijas numuriem.

Tas ir, ja =
, Tas
,=1,2,…,
,=1,2,…,.

PIEMĒRS.

=

; ==

3x2 2x3 3x3 3x3

DEFINĪCIJA. Ja =, tad matrica A sauca simetrisks.

Visas diagonāles matricas ir simetriskas, jo to elementi ir vienādi, simetriski attiecībā pret galveno diagonāli.

Acīmredzot ir spēkā šādas transponēšanas darbības īpašības:

DEFINĪCIJA. Ļaujiet =
- izmēru matrica
,=
- izmēru matrica
. Šo matricu reizinājums
- matrica =
Izmērs
, kuras elementus aprēķina pēc formulas:

, =1,2,…,
,=1,2,…,,

tas ir, elements rinda un matricas kolonna vienāds ar atbilstošo elementu reizinājumu summu matricas rinda Un matricas kolonna .

PIEMĒRS.

=
, =

2x3 3x1 2x3 3x1 2x1

Darbs
- neeksistē.

MATRIKSAS REIZINĀŠANAS DARBĪBAS ĪPAŠĪBAS

1.
, pat ja abi produkti ir definēti.

PIEMĒRS.
,

, Lai gan

DEFINĪCIJA. Matricas Un tiek saukti maināms, Ja
, citādi Un tiek saukti nemainīgs.

No definīcijas izriet, ka tikai tāda paša izmēra kvadrātveida matricas var būt mainīgas.

PIEMĒRS.

matricas Un maināms.

Tas ir
,

nozīmē, Un – permutācijas matricas.

Kopumā identitātes matrica tiek mainīta ar jebkuru kvadrātveida matricu ar tādu pašu secību un jebkurai matricai
. Šis ir matricas īpašums izskaidro, kāpēc to sauc par vienību: reizinot skaitļus, skaitlim 1 ir šī īpašība.

Ja ir definēti atbilstošie produkti, tad:

5.

PIEMĒRS.

,

2x2 2x1 2x1 1x2

KOMENTĀRS. Matricas elementi var būt ne tikai skaitļi, bet arī funkcijas. Tādu matricu sauc funkcionāls.

PIEMĒRS.

Determinanti un to īpašības

Katra kvadrātveida matrica saskaņā ar noteiktiem noteikumiem var būt saistīta ar noteiktu skaitli, ko sauc par tā determinantu.

Apsveriet otrās kārtas kvadrātveida matricu:

Tās determinants ir skaitlis, kas tiek uzrakstīts un aprēķināts šādi:

(1.1)

Tādu determinantu sauc otrās kārtas noteicējs un varbūt

apzīmēts citādi:
vai
.

Trešās kārtas determinants ir skaitlis, kas atbilst kvadrātveida matricai
, ko aprēķina saskaņā ar noteikumu:

Šo trešās kārtas determinanta aprēķināšanas noteikumu sauc par trīsstūra noteikumu, un to var shematiski attēlot šādi:

PIEMĒRS.
;

Ja mēs piešķiram pirmo un pēc tam otro kolonnu pa labi no determinanta, tad trīsstūra noteikumu var mainīt:

Vispirms tiek reizināti skaitļi uz galvenās diagonāles un divas tai paralēlās diagonāles, pēc tam tiek reizināti skaitļi otrā (sānu) diagonālē un tai paralēli. Atlikušo produktu summa tiek atņemta no pirmo trīs produktu summas.

Grupējot terminus (1.2) un izmantojot (1.1), mēs to atzīmējam

(1.3)

Tas ir, aprēķinot trešās kārtas determinantu, tiek izmantoti otrās kārtas determinanti, un
ir matricas determinants, kas iegūts no izsvītrojot elementu (precīzāk, pirmā rinda un pirmā kolonna, kuru krustpunktā ir ),
– izsvītrojot elementu ,
– elements .

DEFINĪCIJA. Papildus nepilngadīgais
elements kvadrātveida matrica ir matricas determinants, kas iegūts no izsvītrojot -th līnija un kolonnā.

PIEMĒRS.

DEFINĪCIJA. Algebriskais papildinājums elements kvadrātveida matrica izsauktais numurs
.

PIEMĒRS.

Matricai :

Matricai :
un tā tālāk.

Tātad, ņemot vērā formulētās definīcijas, (1.3) var pārrakstīt šādi: .

Tagad pāriesim pie vispārējā gadījuma.

DEFINĪCIJA. Noteicējs kvadrātveida matrica pasūtījums ir skaitlis, kas tiek uzrakstīts un aprēķināts šādi:

(1.4)

Vienādību (1.4) sauc determinanta paplašināšana pirmās elementos līnijas. Šajā formulā algebriskie papildinājumi tiek aprēķināti kā determinanti
-tais pasūtījums. Tādējādi, aprēķinot 4. kārtas determinantu, izmantojot formulu (1.4), vispārīgi runājot, ir jāaprēķina 4 3. kārtas determinanti; aprēķinot 5. kārtas determinantu - 5 4. kārtas determinantus utt. Taču, ja, piemēram, 4.kārtas determinantā pirmajā rindā ir 3 nulles elementi, tad formulā (1.4) paliks tikai viens ar nulli neatšķirīgs termins.

PIEMĒRS.

Apsvērsim (bez pierādījumiem) determinantu īpašības:

Determinantu var izvērst pirmās kolonnas elementos:

PIEMĒRS.

KOMENTĀRS. Apskatītie piemēri ļauj secināt: trīsstūrveida matricas determinants ir vienāds ar galvenās diagonāles elementu reizinājumu.

No tā izriet, ka determinanta rindas un kolonnas ir vienādas.

No šejienes jo īpaši izriet, ka jebkuras virknes kopīgs faktors (kolonna) var izņemt aiz determinanta zīmes. Arī determinants, kuram ir nulles rinda vai nulles kolonna, ir vienāds ar nulli.

Vienādību (1.6) sauc rinda.

Vienādību (1.7) sauc determinanta paplašināšana elementos kolonna.

Noteiktas rindas (kolonnas) visu elementu reizinājumu summa ar

citas rindas atbilstošo elementu algebriskie papildinājumi

(kolonna) ir vienāds ar nulli, tas ir, kad
Un
plkst
.

PIEMĒRS.
, jo šī determinanta pirmās un otrās rindas elementi ir attiecīgi proporcionāli (6. īpašība).

Īpašums 9 tiek izmantots īpaši bieži, aprēķinot determinantus, jo tas ļauj jebkuram determinantam iegūt rindu vai kolonnu, kurā visi elementi, izņemot vienu, ir vienādi ar nulli.

PIEMĒRS.