Kas ir atvasinājums?
Atvasinātās funkcijas definīcija un nozīme

Daudzus pārsteigs šī raksta negaidītā izvietošana mana autora kursā par viena mainīgā funkcijas atvasinājumu un tā lietojumiem. Galu galā, kā jau kopš skolas laikiem: standarta mācību grāmata vispirms sniedz atvasinājuma definīciju, tā ģeometrisko, mehānisko nozīmi. Pēc tam studenti atrod funkciju atvasinājumus pēc definīcijas un faktiski tikai tad pilnveido diferenciācijas paņēmienu, izmantojot atvasinājumu tabulas.

Bet no mana viedokļa pragmatiskāka ir šāda pieeja: pirmkārt, vēlams LABI SAPRAST funkcijas robeža, un jo īpaši bezgalīgi mazi daudzumi. Fakts ir tāds atvasinājuma definīcijas pamatā ir limita jēdziens, kas tiek slikti ņemts vērā skolas kursā. Tāpēc ievērojama daļa jauno zināšanu granīta patērētāju neizprot pašu atvasinājuma būtību. Tāpēc, ja jums ir maz izpratnes par diferenciālrēķinu vai gudras smadzenes daudzu gadu laikā ir veiksmīgi atbrīvojušās no šīs bagāžas, lūdzu, sāciet ar funkciju ierobežojumi. Tajā pašā laikā apgūstiet/atcerieties to risinājumu.

Tā pati praktiskā izjūta nosaka, ka vispirms ir izdevīgi iemācīties atrast atvasinājumus, ieskaitot sarežģītu funkciju atvasinājumi. Teorija ir teorija, bet, kā saka, vienmēr gribas atšķirt. Šajā sakarā labāk ir veikt uzskaitītās pamata nodarbības, un varbūt diferenciācijas meistars pat neapzinoties savas rīcības būtību.

Iesaku pēc raksta izlasīšanas sākt ar materiāliem šajā lapā. Vienkāršākās problēmas ar atvasinājumiem, kur īpaši aplūkota funkcijas grafika pieskares problēma. Bet jūs varat pagaidīt. Fakts ir tāds, ka daudziem atvasinājuma lietojumiem tas nav jāsaprot, un nav pārsteidzoši, ka teorētiskā nodarbība parādījās diezgan vēlu - kad man vajadzēja paskaidrot pieaugošu/samazinošu intervālu un ekstrēmu atrašana funkcijas. Turklāt viņš bija par šo tēmu diezgan ilgu laiku. Funkcijas un grafiki”, līdz beidzot nolēmu to ievietot agrāk.

Tāpēc, dārgie tējkannas, nesteidzieties uzņemt atvasinājuma esenci kā izsalkuši dzīvnieki, jo piesātinājums būs bezgaršīgs un nepilnīgs.

Funkcijas pieauguma, samazināšanās, maksimuma, minimuma jēdziens

Daudzas mācību grāmatas atvasinājumu jēdzienu iepazīstina ar dažu praktisku problēmu palīdzību, un es arī nonācu pie interesanta piemēra. Iedomājieties, ka mēs gatavojamies ceļot uz pilsētu, kuru var sasniegt dažādos veidos. Nekavējoties atmetīsim izliektos līkumotos ceļus un apsvērsim tikai taisnas šosejas. Taču arī taisnās līnijas virzieni atšķiras: uz pilsētu var nokļūt pa gludu šoseju. Vai pa kalnainu šoseju – augšā un lejā, augšā un lejā. Cits ceļš iet tikai augšup, un cits visu laiku iet lejup. Ekstrēma entuziasti izvēlēsies maršrutu caur aizu ar stāvu klinti un stāvu kāpumu.

Bet neatkarīgi no jūsu vēlmēm ir ieteicams zināt apgabalu vai vismaz iegūt tā topogrāfisko karti. Ko darīt, ja šādas informācijas trūkst? Galu galā var izvēlēties, piemēram, gludu taku, bet rezultātā paklupt uz slēpošanas trasi ar dzīvespriecīgiem somiem. Nav fakts, ka navigators vai pat satelītattēls sniegs ticamus datus. Tāpēc būtu jauki celiņa reljefu formalizēt, izmantojot matemātiku.

Apskatīsim kādu ceļu (skats no sāniem):

Katram gadījumam atgādinu elementāru faktu: ceļošana notiek no kreisās puses uz labo. Vienkāršības labad mēs pieņemam, ka funkcija nepārtraukts apskatāmajā teritorijā.

Kādas ir šī grafika iezīmes?

Ar intervāliem funkciju palielinās, tas ir, katra nākamā tā vērtība vairāk iepriekšējā. Aptuveni runājot, grafiks ir spēkā lejā augšā(uzkāpjam kalnā). Un par intervālu funkcija samazinās– katra nākamā vērtība mazāk iepriekšējais, un mūsu grafiks ir ieslēgts no augšas uz leju(ejam lejā pa nogāzi).

Pievērsīsim uzmanību arī īpašiem punktiem. Punktā, kuru sasniedzam maksimums, tas ir pastāv tāds ceļa posms, kurā vērtība būs lielākā (augstākā). Tajā pašā brīdī tas tiek sasniegts minimums, Un pastāv tā apkārtne, kurā vērtība ir vismazākā (zemākā).

Klasē aplūkosim stingrāku terminoloģiju un definīcijas. par funkcijas galējībām, bet pagaidām izpētīsim vēl vienu svarīgu funkciju: par intervāliem funkcija palielinās, bet tā palielinās dažādos ātrumos. Un pirmais, kas piesaista uzmanību, ir tas, ka grafiks intervāla laikā paceļas uz augšu daudz foršāk, nekā uz intervālu . Vai ir iespējams izmērīt ceļa stāvumu, izmantojot matemātiskos rīkus?

Funkcijas maiņas ātrums

Ideja ir šāda: pieņemsim kādu vērtību (lasiet "delta x"), ko mēs sauksim argumentu pieaugums, un sāksim to “izmēģināt” dažādos mūsu ceļa punktos:

1) Apskatīsim galējo kreiso punktu: izejot distanci, uzkāpjam nogāzē līdz augstumam (zaļā līnija). Daudzums tiek saukts funkcijas pieaugums, un šajā gadījumā šis pieaugums ir pozitīvs (vērtību starpība gar asi ir lielāka par nulli). Izveidosim attiecību, kas būs mūsu ceļa stāvuma mērs. Acīmredzot tas ir ļoti konkrēts skaitlis, un, tā kā abi pieaugumi ir pozitīvi, tad .

Uzmanību! Apzīmējumi ir VIENS simbolu, tas ir, jūs nevarat “noraut” “deltu” no “X” un apsvērt šos burtus atsevišķi. Protams, komentārs attiecas arī uz funkcijas pieauguma simbolu.

Nozīmīgāk izpētīsim iegūtās frakcijas būtību. Sākumā būsim 20 metru augstumā (kreisajā melnajā punktā). Pieveicot metru distanci (kreisā sarkanā līnija), nonāksim 60 metru augstumā. Tad funkcijas pieaugums būs metri (zaļā līnija) un: . Tādējādi uz katra metrašajā ceļa posmā augstums palielinās vidēji par 4 metriem...aizmirsāt savu kāpšanas aprīkojumu? =) Citiem vārdiem sakot, konstruētā sakarība raksturo funkcijas VIDĒJO IZMAIŅU LIKMJU (šajā gadījumā pieaugumu).

Piezīme : Attiecīgā piemēra skaitliskās vērtības atbilst tikai aptuveni zīmējuma proporcijām.

2) Tagad dosimies tādā pašā attālumā no galējā labā melnā punkta. Šeit pieaugums ir pakāpeniskāks, tāpēc pieaugums (sārtinātā līnija) ir salīdzinoši neliels, un attiecība salīdzinājumā ar iepriekšējo gadījumu būs ļoti pieticīga. Relatīvi runājot, metri un funkciju pieauguma temps ir . Tas ir, šeit ir par katru ceļa metru vidēji pusmetrs kāpuma.

3) Neliels piedzīvojums kalna nogāzē. Apskatīsim augšējo melno punktu, kas atrodas uz ordinātu ass. Pieņemsim, ka tā ir 50 metru atzīme. Atkal pārvaram distanci, kā rezultātā atrodamies zemāk - 30 metru līmenī. Tā kā kustība tiek veikta no augšas uz leju(ass “pretējā” virzienā), tad fināls funkcijas (augstuma) pieaugums būs negatīvs: metri (brūns segments zīmējumā). Un šajā gadījumā mēs jau runājam par samazinājuma temps Iespējas: , tas ir, par katru šī posma ceļa metru augstums samazinās vidēji par 2 metriem. Piektajā punktā parūpējies par savu apģērbu.

Tagad uzdosim sev jautājumu: kādu “mērīšanas standarta” vērtību vislabāk izmantot? Tas ir pilnīgi saprotams, 10 metri ir ļoti nelīdzens. Uz tiem var viegli ietilpt labs ducis hummocks. Neatkarīgi no izciļņiem, zemāk var būt dziļa aiza, un pēc dažiem metriem ir tās otra puse ar vēl strauju kāpumu. Tādējādi ar desmit metru mēs nesaņemsim saprotamu aprakstu par šādiem ceļa posmiem caur attiecību .

No iepriekš minētās diskusijas izriet šāds secinājums: jo zemāka vērtība, jo precīzāk aprakstam ceļa reljefu. Turklāt šādi fakti ir patiesi:

– Jebkuram celšanas punkti varat atlasīt vērtību (pat ja ļoti maza), kas iekļaujas konkrēta pieauguma robežās. Tas nozīmē, ka atbilstošais augstuma pieaugums būs garantēts pozitīvs, un nevienlīdzība pareizi norādīs funkcijas pieaugumu katrā šo intervālu punktā.

- Tāpat, jebkuram slīpuma punkts ir vērtība, kas pilnībā iederēsies šajā slīpumā. Līdz ar to atbilstošais augstuma pieaugums ir nepārprotami negatīvs, un nevienādība pareizi parādīs funkcijas samazināšanos katrā dotā intervāla punktā.

– Īpaši interesants ir gadījums, kad funkcijas maiņas ātrums ir nulle: . Pirmkārt, nulles augstuma pieaugums () liecina par vienmērīgu ceļu. Un, otrkārt, ir arī citas interesantas situācijas, kuru piemērus redzat attēlā. Iedomājieties, ka liktenis mūs ir nogādājis pašā kalna galā ar planējošiem ērgļiem vai gravas dibenā ar kurkstošām vardēm. Ja jūs sperat nelielu soli jebkurā virzienā, augstuma izmaiņas būs niecīgas, un mēs varam teikt, ka funkcijas izmaiņu ātrums faktiski ir nulle. Tieši tāda aina ir vērojama punktos.

Tādējādi esam nonākuši pie pārsteidzošas iespējas perfekti precīzi raksturot funkcijas izmaiņu ātrumu. Galu galā matemātiskā analīze ļauj novirzīt argumenta pieaugumu uz nulli: , tas ir, lai padarītu to bezgala mazs.

Rezultātā rodas vēl viens loģisks jautājums: vai ir iespējams atrast ceļu un tā grafiku cita funkcija, kas darītu mums zināmu par visiem līdzenajiem posmiem, kāpumiem, nobraucieniem, virsotnēm, ielejām, kā arī pieauguma/samazinājuma ātrumu katrā ceļa punktā?

Kas ir atvasinājums? Atvasinājuma definīcija.
Atvasinājuma un diferenciāļa ģeometriskā nozīme

Lūdzu, izlasiet uzmanīgi un ne pārāk ātri – materiāls ir vienkāršs un pieejams ikvienam! Tas ir labi, ja dažviet kaut kas nešķiet īsti skaidrs, vienmēr varat atgriezties pie raksta vēlāk. Teikšu vēl, teoriju ir lietderīgi apgūt vairākas reizes, lai kārtīgi izprastu visus punktus (padoms īpaši aktuāls “tehniskajiem” studentiem, kuriem augstākajai matemātikai ir liela nozīme izglītības procesā).

Protams, pašā atvasinājuma definīcijā mēs to aizstājam ar:

Pie kā esam nonākuši? Un mēs nonācām pie secinājuma, ka par funkciju saskaņā ar likumu ir sastādīts saskaņā cita funkcija, ko sauc atvasinātā funkcija(vai vienkārši atvasinājums).

Atvasinājums raksturo izmaiņu ātrums funkcijas Kā? Ideja rit kā sarkans pavediens jau no paša raksta sākuma. Apsvērsim kādu punktu definīcijas joma funkcijas Lai funkcija ir diferencējama noteiktā punktā. Pēc tam:

1) Ja , tad funkcija palielinās punktā . Un acīmredzot ir intervāls(pat ļoti maza), kurā ir punkts, kurā funkcija aug, un tās grafiks iet “no apakšas uz augšu”.

2) Ja , tad funkcija samazinās punktā . Un ir intervāls, kurā ir punkts, kurā funkcija samazinās (grafiks iet “no augšas uz leju”).

3) Ja , tad bezgala tuvu punkta tuvumā funkcija saglabā savu ātrumu nemainīgu. Tas notiek, kā minēts, ar pastāvīgu funkciju un funkcijas kritiskajos punktos, it īpaši minimālajos un maksimālajos punktos.

Mazliet semantikas. Ko nozīmē darbības vārds “atšķirt” plašā nozīmē? Atšķirt nozīmē izcelt kādu iezīmi. Atšķirot funkciju, mēs “izolējam” tās izmaiņu ātrumu funkcijas atvasinājuma formā. Kas, starp citu, ir domāts ar vārdu “atvasinājums”? Funkcija noticis no funkcijas.

Terminus ļoti veiksmīgi interpretē atvasinājuma mehāniskā nozīme :
Apskatīsim ķermeņa koordinātu maiņas likumu atkarībā no laika un dotā ķermeņa kustības ātruma funkciju. Funkcija raksturo ķermeņa koordinātu maiņas ātrumu, tāpēc tā ir pirmais funkcijas atvasinājums attiecībā pret laiku: . Ja jēdziens "ķermeņa kustība" dabā nepastāvētu, tad nebūtu atvasinājums jēdziens "ķermeņa ātrums".

Ķermeņa paātrinājums ir ātruma maiņas ātrums, tāpēc: . Ja sākotnējie jēdzieni “ķermeņa kustība” un “ķermeņa ātrums” dabā nepastāvētu, tad arī nebūtu atvasinājums jēdziens "ķermeņa paātrinājums".

(\large\bf Funkcijas atvasinājums)

Apsveriet funkciju y=f(x), norādīts intervālā (a, b). Ļaujiet x- jebkurš fiksēts intervāla punkts (a, b), A Δx- patvaļīgs skaitlis, kas atbilst vērtībai x+Δx arī pieder pie intervāla (a, b). Šis numurs Δx sauc par argumentu pieaugumu.

Definīcija. Funkciju pieaugums y=f(x) punktā x, kas atbilst argumenta pieaugumam Δx, piezvanīsim uz numuru

Δy = f(x+Δx) - f(x).

Mēs tam ticam Δx ≠ 0. Apsveriet noteiktā fiksētā punktā x funkcijas pieauguma attiecība šajā punktā pret atbilstošo argumentu pieaugumu Δx

Mēs šo sakarību sauksim par atšķirības relāciju. Kopš vērtības x mēs uzskatām par fiksētu, starpības attiecība ir argumenta funkcija Δx. Šī funkcija ir definēta visām argumentu vērtībām Δx, kas pieder kādai pietiekami mazai punkta apkārtnei Δx=0, izņemot pašu punktu Δx=0. Tādējādi mums ir tiesības izskatīt jautājumu par noteiktās funkcijas robežas esamību plkst Δx → 0.

Definīcija. Funkcijas atvasinājums y=f(x) noteiktā fiksētā punktā x sauc par limitu plkst Δx → 0 starpības attiecība, tas ir

Ar nosacījumu, ka šis ierobežojums pastāv.

Apzīmējums. y′(x) vai f′(x).

Atvasinājuma ģeometriskā nozīme: funkcijas atvasinājums f(x)šajā brīdī x vienāds ar leņķa pieskari starp asi Vērsis un šīs funkcijas grafika pieskare attiecīgajā punktā:

f′(x 0) = \tgα.

Atvasinājuma mehāniskā nozīme: Ceļa atvasinājums attiecībā pret laiku ir vienāds ar punkta taisnvirziena kustības ātrumu:

Taisnes pieskares vienādojums y=f(x) punktā M 0 (x 0 ,y 0) ieņem formu

y-y 0 = f′(x 0) (x-x 0).

Līknes normāls kādā punktā ir perpendikulārs pieskarei tajā pašā punktā. Ja f′(x 0)≠ 0, tad taisnes normas vienādojums y=f(x) punktā M 0 (x 0 ,y 0) ir rakstīts šādi:

Funkcijas diferenciācijas jēdziens

Ļaujiet funkcijai y=f(x) definēts noteiktā intervālā (a, b), x- kāda fiksēta argumenta vērtība no šī intervāla, Δx- jebkurš argumenta pieaugums, kas atbilst argumenta vērtībai x+Δx∈ (a, b).

Definīcija. Funkcija y=f(x) ko sauc par diferencējamu noteiktā punktā x, ja pieaugums Δyšī funkcija punktā x, kas atbilst argumenta pieaugumam Δx, var attēlot formā

Δy = A Δx + αΔx,

Kur A- daži neatkarīgi no Δx, A α - argumentu funkcija Δx, kas ir bezgalīgi mazs Δx → 0.

Tā kā divu bezgalīgi mazu funkciju reizinājums αΔx ir bezgalīgi mazs augstākas kārtas lielums nekā Δx(3 bezgalīgi mazu funkciju īpašība), tad varam rakstīt:

Δy = A Δx + o(Δx).

Teorēma. Lai funkcija y=f(x) bija diferencēts noteiktā punktā x, ir nepieciešams un pietiekami, ka tai šajā punktā ir ierobežots atvasinājums. Kurā A=f′(x), tas ir

Δy = f′(x) Δx + o(Δx).

Atvasinājuma atrašanas operāciju parasti sauc par diferenciāciju.

Teorēma. Ja funkcija y=f(x) x, tad šajā brīdī tas ir nepārtraukts.

komentēt. No funkcijas nepārtrauktības y=f(x)šajā brīdī x, vispārīgi runājot, funkcijas diferenciācija neseko f(x)šajā brīdī. Piemēram, funkcija y=|x|- nepārtraukts punktā x=0, bet tam nav atvasinājuma.

Diferenciālās funkcijas jēdziens

Definīcija. Funkciju diferenciālis y=f(x) tiek izsaukts šīs funkcijas atvasinājuma un neatkarīgā mainīgā pieauguma reizinājums x:

dy = y′ Δx, df(x) = f′(x) Δx.

Funkcionēšanai y=x mēs saņemam dy=dx=x′Δx = 1· Δx= Δx, tas ir dx=Δx- neatkarīga mainīgā lieluma diferenciālis ir vienāds ar šī mainīgā lieluma pieaugumu.

Tādējādi mēs varam rakstīt

dy = y′ dx, df(x) = f′(x) dx

Diferenciāls dy un pieaugums Δy funkcijas y=f(x)šajā brīdī x, abi atbilst vienam un tam pašam argumenta pieaugumam Δx, vispārīgi runājot, nav vienlīdzīgi viens ar otru.

Diferenciāļa ģeometriskā nozīme: funkcijas diferenciālis ir vienāds ar šīs funkcijas grafika pieskares ordinātu pieaugumu, kad arguments tiek palielināts Δx.

Diferencēšanas noteikumi

Teorēma. Ja katra no funkcijām u(x) Un v(x) var atšķirties noteiktā punktā x, tad šo funkciju summa, starpība, reizinājums un koeficients (koeficients ar nosacījumu, ka v(x)≠ 0) arī šajā brīdī ir diferencējami, un formulas atbilst:

Apsveriet sarežģīto funkciju y=f(φ(x))≡ F(x), Kur y=f(u), u=φ(x). Šajā gadījumā u sauca starpposma arguments, x - neatkarīgais mainīgais.

Teorēma. Ja y=f(u) Un u=φ(x) ir to argumentu diferencējamas funkcijas, tad sarežģītas funkcijas atvasinājums y=f(φ(x)) pastāv un ir vienāds ar šīs funkcijas reizinājumu attiecībā uz starpposma argumentu un starpargumenta atvasinājumu attiecībā uz neatkarīgo mainīgo, t.i.

komentēt. Sarežģītai funkcijai, kas ir trīs funkciju superpozīcija y=F(f(φ(x))), diferenciācijas noteikumam ir forma

y′ x = y′ u u′ v v′ x,

kur ir funkcijas v=φ(x), u=f(v) Un y=F(u)- to argumentu diferencējamās funkcijas.

Teorēma. Ļaujiet funkcijai y=f(x) palielinās (vai samazinās) un ir nepārtraukts kādā punkta apkārtnē x 0. Turklāt, lai šī funkcija norādītajā punktā būtu diferencējama x 0 un tā atvasinājums šajā brīdī f′(x 0) ≠ 0. Tad kādā attiecīgā punkta apkārtnē y 0 = f(x 0) apgrieztais ir definēts y=f(x) funkciju x=f -1 (y), un norādītā apgrieztā funkcija ir diferencējama attiecīgajā punktā y 0 = f(x 0) un par tā atvasinājumu šajā brīdī y formula ir derīga

Atvasinājumu tabula

Pirmā diferenciāļa formas nemainīgums

Apskatīsim sarežģītas funkcijas diferenciāli. Ja y=f(x), x=φ(t)- to argumentu funkcijas ir diferencējamas, tad funkcijas atvasinājums y=f(φ(t)) izteikts ar formulu

y′t = y′xx′t.

A-prioritāte dy=y′ t dt, tad mēs saņemam

dy = y′ t dt = y′ x · x′ t dt = y′ x (x′ t dt) = y′ x dx,

dy = y′ x dx.

Tātad, mēs esam pierādījuši

Funkcijas pirmās diferenciāļa formas nemainības īpašība: kā gadījumā, kad arguments x ir neatkarīgs mainīgais, un gadījumā, ja arguments x pati par sevi ir jaunā mainīgā, diferenciāļa, diferencējama funkcija dy funkcijas y=f(x) ir vienāds ar šīs funkcijas atvasinājumu, kas reizināts ar argumenta diferenciāli dx.

Diferenciāļa pielietojums aptuvenos aprēķinos

Mēs esam parādījuši, ka atšķirība dy funkcijas y=f(x), vispārīgi runājot, nav vienāds ar pieaugumu Δyšī funkcija. Tomēr līdz bezgalīgi mazai funkcijai ar augstāku mazuma pakāpi nekā Δx, ir spēkā aptuvenā vienādība

Δy ≈ dy.

Attiecību sauc par šīs vienādības vienādības relatīvo kļūdu. Jo Δy-dy=o(Δx), tad šīs vienādības relatīvā kļūda kļūst tik maza, cik vēlas, samazinoties |Δх|.

Ņemot vērā, ka Δy=f(x+δ x)-f(x), dy=f′(x)Δx, saņemam f(x+δ x)-f(x) ≈ f′(x)Δx vai

f(x+δ x) ≈ f(x) + f′(x)Δx.

Šī aptuvenā vienādība pieļauj ar kļūdu o(Δx) nomaiņas funkcija f(x) mazā punkta apkārtnē x(t.i., mazām vērtībām Δx) argumenta lineārā funkcija Δx, stāvot labajā pusē.

Augstākas kārtas atvasinājumi

Definīcija. Funkcijas otrās kārtas atvasinājums (vai otrās kārtas atvasinājums). y=f(x) sauc par tā pirmā atvasinājuma atvasinājumu.

Funkcijas otrā atvasinājuma apzīmējums y=f(x):

Otrā atvasinājuma mehāniskā nozīme. Ja funkcija y=f(x) apraksta materiāla punkta kustības likumu taisnā līnijā, pēc tam otro atvasinājumu f″(x) vienāds ar kustīga punkta paātrinājumu laika momentā x.

Trešo un ceturto atvasinājumu nosaka līdzīgi.

Definīcija. n atvasinājums (vai atvasinājums n-th order) funkcijas y=f(x) sauc par tā atvasinājumu n-1 atvasinājums:

y (n) =(y (n-1))′, f (n) (x)=(f (n-1) (x))′.

Apzīmējumi: y″′, y IV, y V utt.

Atvasinājuma ģeometriskā nozīme

LĪKNES TANGENTES DEFINĪCIJA Pieskares līknei y=ƒ(x) punktā M sauc par sekanta ierobežojošo pozīciju, kas izvilkta caur punktu M un tam blakus esošais punkts M 1 līkne, ar nosacījumu, ka punkts M 1 tuvojas bezgalīgi gar līkni līdz punktam M. ATvasinājuma ĢEOMETRISKĀ NOZĪME Funkcijas atvasinājums y=ƒ(x) punktā X 0 ir skaitliski vienāds ar slīpuma leņķa pieskari pret asi Ak pieskares līknei y=ƒ(x) punktā M (x 0; ƒ (x 0)).

VARIĀCIJA DOTIC LĪDZ LĪKNEI Punktēts līdz līknei y=ƒ(x) tieši tā M sauc par līnijas robežstāvokli, kas novilkta caur punktu M un nākamais punkts ar viņu M 1 greizs, aiz prāta, kāda jēga M 1 līkne neizbēgami tuvojas punktam M. ĢEOMETRISKĀ ZMIST POKHIDNOI Līdzīgas funkcijas y=ƒ(x) tieši tā x 0 skaitliski vienāds ar slīpuma pieskari asij Ak dotic, veikta līdz līknei y=ƒ(x) tieši tā M (x 0; ƒ (x 0)).

Atvasinājuma praktiskā nozīme

Apskatīsim, ko praktiski nozīmē daudzums, ko atradām kā noteiktas funkcijas atvasinājumu.

Pirmkārt, atvasinājums- tas ir diferenciālrēķina pamatjēdziens, kas raksturo funkcijas izmaiņu ātrumu noteiktā punktā.

Kas ir "izmaiņu ātrums"? Iedomāsimies funkciju f(x) = 5. Neatkarīgi no argumenta (x) vērtības tā vērtība nekādā veidā nemainās. Tas ir, tā izmaiņu ātrums ir nulle.

Tagad apsveriet funkciju f(x) = x. X atvasinājums ir vienāds ar vienu. Patiešām, ir viegli pamanīt, ka katrai argumenta (x) maiņai par vienu, arī funkcijas vērtība palielinās par vienu.

No saņemtās informācijas viedokļa tagad aplūkosim vienkāršu funkciju atvasinājumu tabulu. Pamatojoties uz to, uzreiz kļūst skaidra funkcijas atvasinājuma atrašanas fiziskā nozīme. Šai izpratnei vajadzētu atvieglot praktisku problēmu risināšanu.

Attiecīgi, ja atvasinājums parāda funkcijas izmaiņu ātrumu, tad dubultais atvasinājums parāda paātrinājumu.

2080.1947

Datums: 20.11.2014

Kas ir atvasinājums?

Atvasinājumu tabula.

Atvasinājums ir viens no galvenajiem augstākās matemātikas jēdzieniem. Šajā nodarbībā mēs iepazīstināsim ar šo jēdzienu. Iepazīsim viens otru, bez stingriem matemātiskiem formulējumiem un pierādījumiem.

Šī iepazīšanās ļaus jums:

Izprast vienkāršu uzdevumu ar atvasinājumiem būtību;

Veiksmīgi atrisināt šos vienkāršākos uzdevumus;

Sagatavojieties nopietnākām nodarbībām par atvasinājumiem.

Pirmkārt - patīkams pārsteigums.)

Stingrā atvasinājuma definīcija ir balstīta uz robežu teoriju, un lieta ir diezgan sarežģīta. Tas ir satraucoši. Bet atvasinājumu praktiskā pielietošana, kā likums, neprasa tik plašas un dziļas zināšanas!

Lai veiksmīgi izpildītu lielāko daļu uzdevumu skolā un universitātē, pietiek ar to, ka zina tikai daži termini- izprast uzdevumu un tikai daži noteikumi- lai to atrisinātu. Tas ir viss. Tas mani iepriecina.

Sāksim iepazīties?)

Noteikumi un apzīmējumi.

Elementārajā matemātikā ir daudz dažādu matemātisku darbību. Saskaitīšana, atņemšana, reizināšana, kāpināšana, logaritms utt. Ja šīm darbībām pievieno vēl vienu darbību, elementārā matemātika kļūst augstāka. Šo jauno operāciju sauc diferenciācija.Šīs darbības definīcija un nozīme tiks apspriesta atsevišķās nodarbībās.

Šeit ir svarīgi saprast, ka diferencēšana ir vienkārši matemātiska darbība ar funkciju. Mēs ņemam jebkuru funkciju un saskaņā ar noteiktiem noteikumiem to pārveidojam. Rezultāts būs jauna funkcija. Šo jauno funkciju sauc: atvasinājums.

Diferenciācija- darbība ar funkciju.

Atvasinājums- šīs darbības rezultāts.

Tāpat kā, piemēram, summa- pievienošanas rezultāts. Or Privāts- sadalīšanas rezultāts.

Zinot terminus, var vismaz saprast uzdevumus.) Formulējumi ir šādi: atrast funkcijas atvasinājumu; ņemt atvasinājumu; atšķirt funkciju; aprēķināt atvasinājumu un tā tālāk. Tas ir viss tas pats. Protams, ir arī sarežģītāki uzdevumi, kur atvasinājuma atrašana (diferencēšana) būs tikai viens no soļiem problēmas risināšanā.

Atvasinājums ir norādīts ar domuzīmi funkcijas augšējā labajā stūrī. Kā šis: y" vai f"(x) vai S"(t) un tā tālāk.

Lasīšana igrek insults, ef insults no x, es insults no te, nu tu saproti...)

Pirmskaitlis var norādīt arī noteiktas funkcijas atvasinājumu, piemēram: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" utt. Bieži vien atvasinājumi tiek apzīmēti, izmantojot diferenciāļus, taču mēs šajā nodarbībā šādu apzīmējumu neapskatīsim.

Pieņemsim, ka esam iemācījušies saprast uzdevumus. Atliek tikai iemācīties tos atrisināt.) Ļaujiet man vēlreiz atgādināt: atvasinājuma atrašana ir funkcijas pārveidošana saskaņā ar noteiktiem noteikumiem. Pārsteidzoši, ka šādu noteikumu ir ļoti maz.

Lai atrastu funkcijas atvasinājumu, jums jāzina tikai trīs lietas. Trīs pīlāri, uz kuriem balstās visa diferenciācija. Šeit tie ir šie trīs pīlāri:

1. Atvasinājumu tabula (diferenciācijas formulas).

3. Sarežģītas funkcijas atvasinājums.

Sāksim secībā. Šajā nodarbībā aplūkosim atvasinājumu tabulu.

Atvasinājumu tabula.

Pasaulē ir bezgalīgi daudz funkciju. Šajā komplektā ir funkcijas, kas ir vissvarīgākās praktiskai lietošanai. Šīs funkcijas ir atrodamas visos dabas likumos. No šīm funkcijām, piemēram, no ķieģeļiem, jūs varat izveidot visas pārējās. Šo funkciju klasi sauc elementāras funkcijas. Tieši šīs funkcijas tiek pētītas skolā - lineārās, kvadrātiskās, hiperbolas utt.

Funkciju diferencēšana "no nulles", t.i. Pamatojoties uz atvasinājuma definīciju un robežu teoriju, tā ir diezgan darbietilpīga lieta. Un matemātiķi arī ir cilvēki, jā, jā!) Tātad viņi vienkāršoja savu (un mūsu) dzīvi. Viņi aprēķināja elementāro funkciju atvasinājumus pirms mums. Rezultātā tiek iegūta atvasinājumu tabula, kurā viss ir gatavs.)

Lūk, šī plāksne populārākajām funkcijām. Kreisajā pusē ir elementāra funkcija, labajā pusē ir tās atvasinājums.

	Funkcija y	Funkcijas y atvasinājums y"
1	C (nemainīga vērtība)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n — jebkurš skaitlis)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	grēks x	(sin x)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctan x
	arcctg x
4	a x
	e x
5	žurnāls a x
	ln x ( a = e)

Es iesaku pievērst uzmanību trešajai funkciju grupai šajā atvasinājumu tabulā. Jaudas funkcijas atvasinājums ir viena no visbiežāk sastopamajām formulām, ja ne visizplatītākā! Vai jūs saprotat mājienu?) Jā, atvasinājumu tabulu vēlams zināt no galvas. Starp citu, tas nav tik grūti, kā varētu šķist. Mēģiniet atrisināt vairāk piemēru, pati tabula paliks atmiņā!)

Atvasinājuma tabulas vērtības atrašana, kā jūs saprotat, nav visgrūtākais uzdevums. Tāpēc ļoti bieži šādos uzdevumos ir papildu mikroshēmas. Vai nu uzdevuma formulējumā, vai sākotnējā funkcijā, kuras, šķiet, nav tabulā...

Apskatīsim dažus piemērus:

1. Atrodiet funkcijas y = x atvasinājumu 3

Tabulā šādas funkcijas nav. Bet ir jaudas funkcijas atvasinājums vispārējā formā (trešā grupa). Mūsu gadījumā n=3. Tātad n vietā mēs aizstājam trīs un uzmanīgi pierakstām rezultātu:

(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

Tieši tā.

Atbilde: y" = 3x 2

2. Atrodiet funkcijas y = sinx atvasinājuma vērtību punktā x = 0.

Šis uzdevums nozīmē, ka vispirms ir jāatrod sinusa atvasinājums un pēc tam jāaizstāj vērtība x = 0 tieši šajā atvasinājumā. Tieši tādā secībā! Citādi gadās, ka viņi oriģinālajā funkcijā uzreiz aizvieto nulli... Mums tiek lūgts atrast nevis sākotnējās funkcijas vērtību, bet gan vērtību tā atvasinājums. Atvasinājums, ļaujiet man atgādināt, ir jauna funkcija.

Izmantojot planšetdatoru, mēs atrodam sinusu un atbilstošo atvasinājumu:

y" = (sin x)" = cosx

Mēs atvasinājumā aizstājam nulli:

y"(0) = cos 0 = 1

Šī būs atbilde.

3. Atšķiriet funkciju:

Ko, vai tas iedvesmo?) Atvasinājumu tabulā šādas funkcijas nav.

Atgādināšu, ka funkcijas diferencēšana nozīmē vienkārši atrast šīs funkcijas atvasinājumu. Ja aizmirstat elementāro trigonometriju, mūsu funkcijas atvasinājuma meklēšana ir diezgan apgrūtinoša. Tabula nepalīdz...

Bet, ja mēs redzam, ka mūsu funkcija ir dubultā leņķa kosinuss, tad uzreiz viss kļūst labāk!

Jā jā! Atcerieties, ka pārveidojot sākotnējo funkciju pirms diferenciācijas diezgan pieņemami! Un tas notiek, lai padarītu dzīvi daudz vieglāku. Izmantojot dubultā leņķa kosinusa formulu:

Tie. mūsu viltīgā funkcija ir nekas vairāk kā y = cosx. Un šī ir tabulas funkcija. Mēs uzreiz saņemam:

Atbilde: y" = - grēks x.

Piemērs pieredzējušiem absolventiem un studentiem:

4. Atrodiet funkcijas atvasinājumu:

Protams, atvasinājumu tabulā šādas funkcijas nav. Bet, ja atceras elementāru matemātiku, darbības ar pakāpēm... Tad pavisam iespējams šo funkciju vienkāršot. Kā šis:

Un x desmitdaļas pakāpē jau ir tabulas funkcija! Trešā grupa, n=1/10. Mēs rakstām tieši pēc formulas:

Tas ir viss. Šī būs atbilde.

Ceru, ka ar pirmo diferenciācijas pīlāru – atvasinājumu tabulu – viss ir skaidrs. Atliek tikt galā ar diviem atlikušajiem vaļiem. Nākamajā nodarbībā apgūsim diferencēšanas noteikumus.

Ļaujiet funkcijai tikt definētai punktā un kādā tā apkārtnē. Piešķirsim argumentam tādu pieaugumu, lai punkts ietilpst funkcijas definīcijas jomā. Pēc tam funkcija tiks palielināta.

DEFINĪCIJA. Funkcijas atvasinājums punktā sauc par funkcijas pieauguma attiecības robežu šajā punktā pret argumenta pieaugumu, pie (ja šī robeža pastāv un ir ierobežota), t.i.

Apzīmē: ,,,.

Funkcijas atvasinājums punktā pa labi (pa kreisi) sauca

(ja šī robeža pastāv un ir ierobežota).

Apzīmē ar: , – atvasinājums labajā pusē,

, ir atvasinājums punktā kreisajā pusē.

Acīmredzot sekojošā teorēma ir patiesa.

TEORĒMA. Funkcijai ir atvasinājums punktā tad un tikai tad, ja šajā punktā ir labās un kreisās puses funkcijas atvasinājumi un tie ir viens ar otru vienādi. Turklāt

Sekojošā teorēma nosaka saikni starp funkcijas atvasinājuma esamību punktā un funkcijas nepārtrauktību šajā punktā.

TEORĒMA (nepieciešams nosacījums funkcijas atvasinājuma pastāvēšanai punktā). Ja funkcijai kādā punktā ir atvasinājums, tad funkcija šajā punktā ir nepārtraukta.

APLIECINĀJUMS

Ļaujiet tai pastāvēt. Tad

,

kur ir bezgalīgi mazs at.

komentēt

funkcijas atvasinājums un apzīmē

funkciju diferenciācija .

ĢEOMETRISKĀ UN FIZISKĀ NOZĪME

1) Atvasinājuma fiziskā nozīme. Ja funkcija un tās arguments ir fiziski lielumi, tad atvasinājums ir mainīgā lieluma izmaiņu ātrums attiecībā pret mainīgo kādā punktā. Piemēram, ja ir attālums, ko nobraucis laika punkts, tad tā atvasinājums ir ātrums laika brīdī. Ja ir elektroenerģijas daudzums, kas plūst caur vadītāja šķērsgriezumu laika momentā, tad ir elektroenerģijas daudzuma izmaiņu ātrums laika momentā, t.i. strāvas stiprums konkrētajā brīdī.

2) Atvasinājuma ģeometriskā nozīme.

Ļaujiet būt kādai līknei, būt punktam uz līknes.

Tiek izsaukta jebkura taisne, kas krustojas vismaz divus punktus sekants .

Pieskares līknei punktā sauc par sekanta robežstāvokli, ja punkts tiecas, pārvietojoties pa līkni.

No definīcijas ir acīmredzams, ka, ja punktā pastāv līknes pieskare, tad tā ir vienīgā

Apsveriet līkni (t.i., funkcijas grafiku). Ļaujiet tai kādā punktā nevertikāla pieskare. Tā vienādojums: (vienādojums taisnei, kas iet caur punktu un kurai ir leņķa koeficients).

Pēc slīpuma definīcijas

kur ir taisnes slīpuma leņķis pret asi.

Ļaut būt sekanta slīpuma leņķim pret asi, kur. Tā kā ir tangenss, tad kad

Tāpēc

Tādējādi mēs to saņēmām – funkcijas grafika pieskares leņķiskais koeficients punktā(funkcijas atvasinājuma ģeometriskā nozīme punktā). Tāpēc līknes pieskares vienādojumu punktā var ierakstīt formā

komentēt . Tiek saukta taisne, kas iet caur punktu, kas ir perpendikulāra līknes pieskarei punktā normāli pret līkni punktā . Tā kā perpendikulāru taisnu līniju leņķiskie koeficienti ir saistīti ar sakarību, normālvienādojums ar līkni punktā būs šāds:

, Ja.

Ja , tad līknes pieskarei punktā būs forma

un normāli.

TANGENTI UN NORMĀLIE VIENĀDĀJUMI

Pieskares vienādojums

Ļaujiet funkcijai dot vienādojumu y=f(x), jums jāuzraksta vienādojums pieskares punktā x 0. No atvasinājuma definīcijas:

y/(x)=limΔ x→0Δ yΔ x

Δ y=f(x+Δ x)−f(x).

Vienādojums pieskares uz funkciju grafiku: y=kx+b (k,b=konst). No atvasinājuma ģeometriskās nozīmes: f/(x 0)=tgα= k Jo x 0 un f(x 0)∈ taisne, tad vienādojums pieskares ir uzrakstīts šādi: y−f(x 0)=f/(x 0)(x−x 0), vai

y=f/(x 0)· x+f(x 0)−f/(x 0)· x 0.

Normāls vienādojums

Normāls- ir perpendikulāra pieskares(skat. attēlu). Pamatojoties uz to:

tgβ= tg(2π−α)= ctgα=1 tgα=1 f/(x 0)

Jo normālās slīpuma leņķis ir leņķis β1, tad mums ir:

tgβ1= tg(π−β)=− tgβ=-1 f/(x).

Punkts ( x 0,f(x 0))∈ normāls, vienādojums iegūst šādu formu:

y−f(x 0)=−1f/(x 0)(x−x 0).

APLIECINĀJUMS

Ļaujiet tai pastāvēt. Tad

,

kur ir bezgalīgi mazs at.

Bet tas nozīmē, ka tas ir nepārtraukts punktā (sk. nepārtrauktības ģeometrisko definīciju). ∎

komentēt . Funkcijas nepārtrauktība punktā nav pietiekams nosacījums, lai punktā pastāvētu šīs funkcijas atvasinājums. Piemēram, funkcija ir nepārtraukta, bet tai nav atvasinājuma punktā. Tiešām,

un tāpēc neeksistē.

Acīmredzot korespondence ir funkcija, kas definēta kādā kopā. Viņi viņu sauc funkcijas atvasinājums un apzīmē

Tiek saukta operācija, lai atrastu funkcijas atvasināto funkciju funkciju diferenciācija .

Summas un starpības atvasinājums

Dotas funkcijas f(x) un g(x), kuru atvasinājumi mums ir zināmi. Piemēram, varat izmantot iepriekš aprakstītās elementārās funkcijas. Tad jūs varat atrast šo funkciju summas un starpības atvasinājumu:

(f + g)' = f ' + g'

(f - g)' = f ' - g'

Tātad divu funkciju summas (starpības) atvasinājums ir vienāds ar atvasinājumu summu (starpību). Var būt vairāk terminu. Piemēram, (f + g + h)' = f' + g' + h'.

Stingri sakot, algebrā nav jēdziena “atņemšana”. Pastāv jēdziens "negatīvs elements". Tāpēc starpību f − g var pārrakstīt kā summu f + (−1) g, un tad paliek tikai viena formula - summas atvasinājums.