Funções trigonométricas inversas são funções matemáticas inversas das funções trigonométricas.
Função y = arco seno (x)
O arco seno de um número α é um número α do intervalo [-π/2;π/2] cujo seno é igual a α.
Gráfico de uma função
A função у= sin(x) no intervalo [-π/2;π/2], é estritamente crescente e contínua; portanto, tem função inversa, estritamente crescente e contínua.
A função inversa para a função y= sin(x), onde x ∈[-π/2;π/2], é chamada de arco seno e é denotada y=arcsin(x), onde x∈[-1;1 ].
Assim, de acordo com a definição da função inversa, o domínio de definição do arco seno é o segmento [-1;1], e o conjunto de valores é o segmento [-π/2;π/2].
Observe que o gráfico da função y=arcsin(x), onde x ∈[-1;1], é simétrico ao gráfico da função y= sin(x), onde x∈[-π/2;π /2], em relação à bissetriz dos ângulos coordenados primeiro e terceiro trimestres.
Faixa de função y=arcsin(x).
Exemplo nº 1.
Encontre arco seno (1/2)?
Como o intervalo de valores da função arcsin(x) pertence ao intervalo [-π/2;π/2], então apenas o valor π/6 é adequado. Portanto, arcsin(1/2) =π/ 6.
Resposta:π/6
Exemplo nº 2.
Encontre arco seno (- (√3)/2)?
Como o intervalo de valores arcsin(x) x ∈[-π/2;π/2], então apenas o valor -π/3 é adequado. Portanto, arcsin(-(√3)/2) =- π /3.
Função y=arccos(x)
O arco cosseno de um número α é um número α do intervalo cujo cosseno é igual a α.
Gráfico de uma função
A função y= cos(x) no segmento é estritamente decrescente e contínua; portanto, tem função inversa, estritamente decrescente e contínua.
A função inversa para a função y= cosx, onde x ∈, é chamada arco cosseno e é denotado por y=arccos(x),onde x ∈[-1;1].
Assim, de acordo com a definição da função inversa, o domínio de definição do arco cosseno é o segmento [-1;1], e o conjunto de valores é o segmento.
Observe que o gráfico da função y=arccos(x), onde x ∈[-1;1] é simétrico ao gráfico da função y= cos(x), onde x ∈, em relação à bissetriz do ângulos coordenados do primeiro e terceiro trimestres.
Faixa de função y=arccos(x).
Exemplo nº 3.
Encontrar arcos (1/2)?
Como o intervalo de valores é arccos(x) x∈, então apenas o valor π/3 é adequado. Portanto, arccos(1/2) =π/3.
Exemplo nº 4.
Encontre arcos(-(√2)/2)?
Como o intervalo de valores da função arccos(x) pertence ao intervalo, então apenas o valor 3π/4 é adequado. Portanto, arccos(-(√2)/2) = 3π/4.
Resposta: 3π/4
Função y=arctg(x)
O arco tangente de um número α é um número α do intervalo [-π/2;π/2] cuja tangente é igual a α.
Gráfico de uma função 
A função tangente é contínua e estritamente crescente no intervalo (-π/2;π/2); portanto, tem uma função inversa que é contínua e estritamente crescente.
A função inversa para a função y= tan(x), onde x∈(-π/2;π/2); é chamado de arco tangente e é denotado por y=arctg(x), onde x∈R.
Assim, de acordo com a definição da função inversa, o domínio de definição do arco tangente é o intervalo (-∞;+∞), e o conjunto de valores é o intervalo
(-π/2;π/2).
Observe que o gráfico da função y=arctg(x), onde x∈R, é simétrico ao gráfico da função y= tanx, onde x ∈ (-π/2;π/2), relativo ao bissetriz dos ângulos coordenados do primeiro e terceiro trimestres.
O intervalo da função y=arctg(x).
Exemplo nº 5?
Encontre arctan((√3)/3).
Como o intervalo de valores arctg(x) x ∈(-π/2;π/2), então apenas o valor π/6 é adequado. Portanto, arctg((√3)/3) =π/6.
Exemplo nº 6.
Encontre arcg(-1)?
Como o intervalo de valores arctg(x) x ∈(-π/2;π/2), então apenas o valor -π/4 é adequado. Portanto, arctg(-1) = - π/4.
Função y=arcctg(x)
O arco cotangente de um número α é um número α do intervalo (0;π) cuja cotangente é igual a α.
Gráfico de uma função
No intervalo (0;π), a função cotangente diminui estritamente; além disso, é contínuo em todos os pontos deste intervalo; portanto, no intervalo (0;π), esta função possui uma função inversa, que é estritamente decrescente e contínua.
A função inversa para a função y=ctg(x), onde x ∈(0;π), é chamada arcotangente e é denotada y=arcctg(x), onde x∈R.
Assim, de acordo com a definição da função inversa, o domínio de definição da arcotangente será R, e o conjunto de valores será o intervalo (0;π).O gráfico da função y=arcctg(x) , onde x∈R é simétrico ao gráfico da função y=ctg(x) x∈(0 ;π), em relação à bissetriz dos ângulos coordenados do primeiro e terceiro trimestres.
Faixa de função y=arcctg(x).
Exemplo nº 7.
Encontre arcctg((√3)/3)?
Como o intervalo de valores é arcctg(x) x ∈(0;π), então apenas o valor π/3 é adequado. Portanto, arccos((√3)/3) =π/3.
Exemplo nº 8.
Encontre arcctg(-(√3)/3)?
Como o intervalo de valores é arcctg(x) x∈(0;π), então apenas o valor 2π/3 é adequado. Portanto, arccos(-(√3)/3) = 2π/3.
Editores: Ageeva Lyubov Aleksandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna
Definição e notação
Arco seno (y = arco seno x) é a função inversa do seno (x = pecador -1 ≤ x ≤ 1 e o conjunto de valores -π /2 ≤ y ≤ π/2.pecado (arco seno x) = x ;
arco seno (sen x) = x .
Arcsine é às vezes denotado da seguinte forma:
.
Gráfico da função arco seno
Gráfico da função y = arco seno x
O gráfico do arco seno é obtido a partir do gráfico do seno se os eixos das abscissas e das ordenadas forem trocados. Para eliminar a ambigüidade, o intervalo de valores é limitado ao intervalo durante o qual a função é monotônica. Esta definição é chamada de valor principal do arco seno.
Arcoseno, arcos
Definição e notação
Arco cosseno (y = arcos x) é a função inversa do cosseno (x = aconchegante). Tem um escopo -1 ≤ x ≤ 1 e muitos significados 0 ≤ y ≤ π.cos(arcos x) = x ;
arcos(cos x) = x .
Arccoseno às vezes é denotado da seguinte forma:
.
Gráfico da função arco cosseno
Gráfico da função y = arcos x
O gráfico do arco cosseno é obtido a partir do gráfico do cosseno se os eixos abscissa e ordenada forem trocados. Para eliminar a ambigüidade, o intervalo de valores é limitado ao intervalo durante o qual a função é monotônica. Esta definição é chamada de valor principal do arco cosseno.
Paridade
A função arco seno é estranha:
arco seno (- x) = arco seno (-sin arco seno x) = arco seno (pecado (-arco seno x)) = - arco seno x
A função arco cosseno não é par nem ímpar:
arcos(- x) = arcos(-cos arcos x) = arcos(cos(π-arccos x)) = π - arcos x ≠ ± arcos x
Propriedades - extremos, aumento, diminuição
As funções arco-seno e arco-cosseno são contínuas em seu domínio de definição (ver prova de continuidade). As principais propriedades do arco seno e do arco cosseno são apresentadas na tabela.
| você = arco seno x | você = arcos x | |
| Escopo e continuidade | - 1 ≤ x ≤ 1 | - 1 ≤ x ≤ 1 |
| Faixa de valores | ||
| Subindo, descendo | aumenta monotonicamente | diminui monotonicamente |
| Altos | ||
| Mínimos | ||
| Zeros, y = 0 | x = 0 | x = 1 |
| Interceptar pontos com o eixo das ordenadas, x = 0 | você = 0 | y = π/ 2 |
Tabela de arcossenos e arcossenos
Esta tabela apresenta os valores dos arcos senos e arcos senos, em graus e radianos, para determinados valores do argumento.
| x | arco seno x | arcos x | ||
| saudação | alegre. | saudação | alegre. | |
| - 1 | - 90° | - | 180° | π |
| - | - 60° | - | 150° | |
| - | - 45° | - | 135° | |
| - | - 30° | - | 120° | |
| 0 | 0° | 0 | 90° | |
| 30° | 60° | |||
| 45° | 45° | |||
| 60° | 30° | |||
| 1 | 90° | 0° | 0 | |
≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386
Fórmulas
Veja também: Derivação de fórmulas para funções trigonométricas inversasFórmulas de soma e diferença
em ou
em e
em e
em ou
em e
em e
no
no
no
no
Expressões através de logaritmos, números complexos
Veja também: Derivando fórmulasExpressões através de funções hiperbólicas
Derivados
;
.
Consulte Derivação de derivados de arco seno e arco cosseno > > >
Derivadas de ordem superior:
,
onde é um polinômio de grau. É determinado pelas fórmulas:
;
;
.
Consulte Derivação de derivadas de ordem superior de arco seno e arco cosseno > > >
Integrais
Fazemos a substituição x = pecado. Integramos por partes, levando em consideração que -π/ 2 ≤ t ≤ π/2,
porque t ≥ 0:
.
Vamos expressar o arco cosseno através do arco seno:
.
Expansão da série
Quando |x|< 1
ocorre a seguinte decomposição:
;
.
Funções inversas
Os inversos do arco seno e do arco cosseno são seno e cosseno, respectivamente.
As seguintes fórmulas são válidas em todo o domínio de definição:
pecado (arco seno x) = x
cos(arcos x) = x .
As fórmulas a seguir são válidas apenas no conjunto de valores de arco seno e arco cosseno:
arco seno (sen x) = x no
arcos(cos x) = x no .
Referências:
EM. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matemática para engenheiros e estudantes universitários, “Lan”, 2009.
Funções trigonométricas inversas- estes são arco seno, arco cosseno, arco tangente e arco tangente.
Primeiro vamos dar algumas definições.
Arco seno Ou podemos dizer que se trata de um ângulo pertencente a um segmento cujo seno é igual ao número a.
arco cosseno o número a é chamado de número tal que
Arctangente o número a é chamado de número tal que
Arcotangente o número a é chamado de número tal que
Vamos falar detalhadamente sobre essas quatro novas funções para nós - as trigonométricas inversas.
Lembre-se, já nos conhecemos.
Por exemplo, a raiz quadrada aritmética de a é um número não negativo cujo quadrado é igual a a.
O logaritmo de um número b na base a é um número c tal que
Em que
Compreendemos por que os matemáticos tiveram que “inventar” novas funções. Por exemplo, as soluções de uma equação são e Não poderíamos escrevê-las sem o símbolo especial da raiz quadrada aritmética.
O conceito de logaritmo revelou-se necessário para escrever soluções, por exemplo, para esta equação: A solução desta equação é um número irracional. Este é um expoente da potência à qual 2 deve ser elevado para obter 7.
É o mesmo com equações trigonométricas. Por exemplo, queremos resolver a equação
É claro que suas soluções correspondem a pontos do círculo trigonométrico cuja ordenada é igual a E é claro que este não é o valor tabular do seno. Como anotar soluções?
Aqui não podemos prescindir de uma nova função, denotando o ângulo cujo seno é igual a um determinado número a. Sim, todo mundo já adivinhou. Este é o arco seno.
O ângulo pertencente ao segmento cujo seno é igual é o arco seno de um quarto. E isso significa que a série de soluções da nossa equação correspondente ao ponto direito do círculo trigonométrico é
E a segunda série de soluções para a nossa equação é
Saiba mais sobre como resolver equações trigonométricas -.
Resta descobrir - por que a definição de arco seno indica que este é um ângulo pertencente ao segmento?
O fato é que existem infinitos ângulos cujo seno é igual, por exemplo, a . Precisamos escolher um deles. Escolhemos aquele que fica no segmento .
Dê uma olhada no círculo trigonométrico. Você verá que no segmento cada ângulo corresponde a um determinado valor de seno, e apenas um. E vice-versa, qualquer valor do seno do segmento corresponde a um único valor do ângulo do segmento. Isso significa que em um segmento você pode definir uma função que recebe valores de para
Vamos repetir a definição novamente:
O arco seno de um número é o número , de tal modo que
Designação: A área de definição do arco seno é um segmento. A faixa de valores é um segmento.
Você pode se lembrar da frase “arcossenos vivem à direita”. Só não esqueça que não é só na direita, mas também no segmento.
Estamos prontos para representar graficamente a função
Como de costume, plotamos os valores de x no eixo horizontal e os valores de y no eixo vertical.
Porque, portanto, x está no intervalo de -1 a 1.
Isso significa que o domínio de definição da função y = arco seno x é o segmento
Dissemos que y pertence ao segmento . Isso significa que o intervalo de valores da função y = arcsin x é o segmento.
Observe que o gráfico da função y=arcsinx cabe inteiramente dentro da área delimitada pelas linhas e
Como sempre, ao traçar um gráfico de uma função desconhecida, vamos começar com uma tabela.
Por definição, o arco seno de zero é um número do segmento cujo seno é igual a zero. Qual é esse número? - É claro que isso é zero.
Da mesma forma, o arco seno de um é um número do segmento cujo seno é igual a um. Obviamente isso
Continuamos: - este é um número do segmento cujo seno é igual a . Sim, isso
| 0 | |||||
| 0 |
Construindo um gráfico de uma função
Propriedades da função
1. Âmbito de definição
2. Faixa de valores
3., ou seja, esta função é ímpar. Seu gráfico é simétrico em relação à origem.
4. A função aumenta monotonicamente. Seu valor mínimo, igual a - , é alcançado em , e seu maior valor, igual a , em
5. O que significam os gráficos de funções e ? Você não acha que eles são "feitos de acordo com o mesmo padrão" - assim como o ramo direito de uma função e o gráfico de uma função, ou como os gráficos de funções exponenciais e logarítmicas?
Imagine que recortamos um pequeno fragmento de uma onda senoidal comum e depois o giramos verticalmente - e obteremos um gráfico de arco seno.
O que para uma função neste intervalo são os valores do argumento, então para o arco seno estarão os valores da função. É assim que deve ser! Afinal, seno e arco seno são funções mutuamente inversas. Outros exemplos de pares de funções mutuamente inversas são em e, bem como funções exponenciais e logarítmicas.
Lembre-se de que os gráficos de funções mutuamente inversas são simétricos em relação à linha reta
Da mesma forma, definimos a função. Precisamos apenas de um segmento no qual cada valor de ângulo corresponda ao seu próprio valor de cosseno e, conhecendo o cosseno, podemos encontrar o ângulo de forma única. Um segmento nos servirá
O arco cosseno de um número é o número , de tal modo que
É fácil lembrar: “os arcos cossenos vivem de cima”, e não apenas de cima, mas no segmento
Designação: A área de definição do arco cosseno é um segmento. A faixa de valores é um segmento.
Obviamente, o segmento foi escolhido porque nele cada valor de cosseno é obtido apenas uma vez. Em outras palavras, cada valor de cosseno, de -1 a 1, corresponde a um único valor de ângulo do intervalo
O arco cosseno não é uma função par nem ímpar. Mas podemos usar a seguinte relação óbvia:
Vamos traçar a função
Precisamos de uma seção da função onde ela seja monotônica, ou seja, assuma cada valor exatamente uma vez.
Vamos escolher um segmento. Neste segmento a função diminui monotonicamente, ou seja, a correspondência entre os conjuntos é biunívoca. Cada valor de x tem um valor de y correspondente. Neste segmento existe uma função inversa ao cosseno, ou seja, a função y = arccosx.
Vamos preencher a tabela usando a definição de arco cosseno.
O arco cosseno de um número x pertencente ao intervalo será um número y pertencente ao intervalo tal que
Isso significa, desde ;
Porque ;
Porque ,
Porque ,
| 0 | |||||
| 0 |
Aqui está o gráfico do arco cosseno:
Propriedades da função
1. Âmbito de definição
2. Faixa de valores
Esta função tem uma forma geral - não é par nem ímpar.
4. A função é estritamente decrescente. A função y = arccosx assume seu maior valor, igual a , em , e seu menor valor, igual a zero, assume em
5. As funções e são mutuamente inversas.
Os próximos são arcotangente e arcotangente.
O arco tangente de um número é o número , de tal modo que
Designação: . A área de definição do arco tangente é o intervalo. A área de valores é o intervalo.
Por que os fins do intervalo - pontos - são excluídos na definição de arco tangente? Claro, porque a tangente nestes pontos não está definida. Não existe número a igual à tangente de nenhum desses ângulos.
Vamos construir um gráfico do arco tangente. De acordo com a definição, o arco tangente de um número x é um número y pertencente ao intervalo tal que
Como construir um gráfico já está claro. Como o arco tangente é a função inversa da tangente, procedemos da seguinte forma:
Selecionamos uma seção do gráfico da função onde a correspondência entre x e y é injetora. Este é o intervalo C. Nesta seção a função assume valores de para
Então a função inversa, ou seja, a função, tem um domínio de definição que será toda a reta numérica, de até, e o intervalo de valores será o intervalo
Significa,
Significa,
Significa,
Mas o que acontece com valores infinitamente grandes de x? Em outras palavras, como essa função se comporta quando x tende para mais infinito?
Podemos nos perguntar: para qual número do intervalo o valor da tangente tende ao infinito? - Obviamente isso
Isso significa que para valores infinitamente grandes de x, o gráfico arco tangente se aproxima da assíntota horizontal
Da mesma forma, se x se aproxima de menos infinito, o gráfico arco tangente se aproxima da assíntota horizontal
A figura mostra um gráfico da função
Propriedades da função
1. Âmbito de definição
2. Faixa de valores
3. A função é estranha.
4. A função é estritamente crescente.
6. Funções e são mutuamente inversas - claro, quando a função é considerada no intervalo
Da mesma forma, definimos a função tangente inversa e traçamos seu gráfico.
O arco tangente de um número é o número , de tal modo que
Gráfico de função:
Propriedades da função
1. Âmbito de definição
2. Faixa de valores
3. A função é de forma geral, ou seja, nem par nem ímpar.
4. A função é estritamente decrescente.
5. Assíntotas diretas e horizontais desta função.
6. As funções e são mutuamente inversas se consideradas no intervalo
Como as funções trigonométricas são periódicas, suas funções inversas não são únicas. Então, a equação y = pecado x, para um dado, tem infinitas raízes. Na verdade, devido à periodicidade do seno, se x é tal raiz, então também o é x + 2πn(onde n é um número inteiro) também será a raiz da equação. Por isso, funções trigonométricas inversas são multivaloradas. Para facilitar o trabalho com eles, é introduzido o conceito de seus principais significados. Considere, por exemplo, seno: y = pecado x. Se limitarmos o argumento x ao intervalo , então nele a função y = pecado x aumenta monotonicamente. Portanto, possui uma função inversa única, chamada arco seno: x = arco seno y.
Salvo indicação em contrário, por funções trigonométricas inversas entendemos seus valores principais, que são determinados pelas seguintes definições.
Arcseno ( você = arco seno x) é a função inversa do seno ( x = pecador
Arco cosseno ( você = arcos x) é a função inversa do cosseno ( x = aconchegante), tendo um domínio de definição e um conjunto de valores.
Arctangente ( você = arctano x) é a função inversa da tangente ( x = tg e), tendo um domínio de definição e um conjunto de valores.
arco tangente ( você = arcoctg x) é a função inversa da cotangente ( x = ctg e), tendo um domínio de definição e um conjunto de valores.
Gráficos de funções trigonométricas inversas
Gráficos de funções trigonométricas inversas são obtidos a partir de gráficos de funções trigonométricas por reflexão espelhada em relação à linha reta y = x. Veja as seções Seno, cosseno, tangente, cotangente.
você = arco seno x
você = arcos x
você = arctano x
você = arcoctg x
Fórmulas básicas
Aqui você deve prestar atenção especial aos intervalos para os quais as fórmulas são válidas.
arco seno (sen x) = x no
pecado (arco seno x) = x
arcos(cos x) = x no
cos(arcos x) = x
arctano(tg x) = x no
tg(arctg x) = x
arcoctg(ctg x) = x no
ctg(arcctg x) = x
Fórmulas relacionadas a funções trigonométricas inversas
Veja também: Derivação de fórmulas para funções trigonométricas inversasFórmulas de soma e diferença
em ou
em e
em e
em ou
em e
em e
no
no
no
no
no
no
no
no
no
no
Referências:
EM. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matemática para engenheiros e estudantes universitários, “Lan”, 2009.
Função cosseno inverso
O intervalo de valores da função y=cos x (ver Fig. 2) é um segmento. No segmento a função é contínua e decrescente monotonicamente.
Arroz. 2
Isso significa que a função inversa à função y=cos x está definida no segmento. Esta função inversa é chamada arco cosseno e é denotada y=arccos x.
Definição
O arco cosseno de um número a, se |a|1, é o ângulo cujo cosseno pertence ao segmento; é denotado por arccos a.
Assim, arccos a é um ângulo que satisfaz as duas condições a seguir: сos (arccos a)=a, |a|1; 0? arcos a?р.
Por exemplo, arccos, desde cos e; arccos, desde cos e.
A função y = arccos x (Fig. 3) é definida em um segmento, seu intervalo de valores é o segmento. No segmento, a função y=arccos x é contínua e diminui monotonicamente de p até 0 (já que y=cos x é uma função contínua e monotonicamente decrescente no segmento); nas extremidades do segmento atinge seus valores extremos: arccos(-1)= p, arccos 1= 0. Observe que arccos 0 = . O gráfico da função y = arccos x (ver Fig. 3) é simétrico ao gráfico da função y = cos x em relação à linha reta y=x.
Arroz. 3
Vamos mostrar que a igualdade arccos(-x) = p-arccos x é válida.
Na verdade, por definição 0? arcos x? R. Multiplicando por (-1) todas as partes da última desigualdade dupla, obtemos - p? arcos x? 0. Adicionando p a todas as partes da última desigualdade, descobrimos que 0? p-arccos x? R.
Assim, os valores dos ângulos arccos(-x) e p - arccos x pertencem ao mesmo segmento. Como o cosseno diminui monotonicamente em um segmento, não pode haver nele dois ângulos diferentes que tenham cossenos iguais. Vamos encontrar os cossenos dos ângulos arccos(-x) e p-arccos x. Por definição, cos (arccos x) = - x, de acordo com as fórmulas de redução e por definição temos: cos (p - - arccos x) = - cos (arccos x) = - x. Portanto, os cossenos dos ângulos são iguais, o que significa que os próprios ângulos são iguais.
Função seno inversa
Vamos considerar a função y=sin x (Fig. 6), que no segmento [-р/2;р/2] é crescente, contínua e toma valores do segmento [-1; 1]. Isso significa que no segmento [- p/2; p/2] a função inversa da função y=sin x está definida.
Arroz. 6
Esta função inversa é chamada de arco seno e é denotada y = arco seno x. Vamos apresentar a definição do arco seno de um número.
O arco seno de um número é um ângulo (ou arco) cujo seno é igual ao número a e que pertence ao segmento [-р/2; p/2]; é denotado por arco seno a.
Assim, arco seno a é um ângulo que satisfaz as seguintes condições: sin (arco seno a)=a, |a| ?1; -r/2 ? arco, hein? r/2. Por exemplo, desde sin e [- p/2; p/2]; arco seno, já que sin = u [- p/2; p/2].
A função y=arcsin x (Fig. 7) é definida no segmento [- 1; 1], o intervalo de seus valores é o segmento [-р/2;р/2]. No segmento [- 1; 1] a função y=arcsin x é contínua e aumenta monotonicamente de -p/2 a p/2 (isso decorre do fato de que a função y=sin x no segmento [-p/2; p/2] é contínua e aumenta monotonicamente). Assume o maior valor em x = 1: arco seno 1 = p/2, e o menor em x = -1: arco seno (-1) = -p/2. Em x = 0 a função é zero: arcsin 0 = 0.
Vamos mostrar que a função y = arcsin x é ímpar, ou seja, arco seno (-x) = - arco seno x para qualquer x [ - 1; 1].
Na verdade, por definição, se |x| ?1, temos: - p/2 ? arco seno x ? ? r/2. Assim, os ângulos arcsin(-x) e - arco seno x pertencem ao mesmo segmento [ - p/2; p/2].
Vamos encontrar os senos destesângulos: sin (arcsin(-x)) = - x (por definição); já que a função y=sin x é ímpar, então sin (-arcsin x)= - sin (arcsin x)= - x. Assim, os senos dos ângulos pertencentes ao mesmo intervalo [-р/2; p/2], são iguais, o que significa que os próprios ângulos são iguais, ou seja, arco seno (-x)= - arco seno x. Isso significa que a função y=arcsin x é ímpar. O gráfico da função y=arcsin x é simétrico em relação à origem.
Vamos mostrar que arcsin (sin x) = x para qualquer x [-р/2; p/2].
Na verdade, por definição -p/2? arco seno (sen x) ? p/2, e pela condição -p/2? x? r/2. Isso significa que os ângulos x e arco seno (sen x) pertencem ao mesmo intervalo de monotonicidade da função y=sen x. Se os senos de tais ângulos forem iguais, então os próprios ângulos serão iguais. Vamos encontrar os senos desses ângulos: para o ângulo x temos sen x, para o ângulo arcsin (sen x) temos sin (arcsin(sin x)) = sin x. Descobrimos que os senos dos ângulos são iguais, portanto, os ângulos são iguais, ou seja, arco seno (sen x) = x. .
Arroz. 7
Arroz. 8
O gráfico da função arcsin (sin|x|) é obtido pelas transformações usuais associadas ao módulo do gráfico y=arcsin (sin x) (mostrado pela linha tracejada na Fig. 8). O gráfico desejado y=arcsin (sen |x-/4|) é obtido a partir dele deslocando /4 para a direita ao longo do eixo x (mostrado como uma linha sólida na Fig. 8)
Função inversa da tangente
A função y=tg x no intervalo assume todos os valores numéricos: E (tg x)=. Durante este intervalo é contínuo e aumenta monotonicamente. Isso significa que uma função inversa à função y = tan x é definida no intervalo. Esta função inversa é chamada arco tangente e é denotada y = arctan x.
O arco tangente de a é um ângulo de um intervalo cuja tangente é igual a a. Assim, arctg a é um ângulo que satisfaz as seguintes condições: tg (arctg a) = a e 0? arco um? R.
Assim, qualquer número x sempre corresponde a um único valor da função y = arctan x (Fig. 9).
É óbvio que D (arctg x) = , E (arctg x) = .
A função y = arctan x está aumentando porque a função y = tan x está aumentando no intervalo. Não é difícil provar que arctg(-x) = - arctgx, ou seja, esse arco tangente é uma função ímpar.
Arroz. 9
O gráfico da função y = arctan x é simétrico ao gráfico da função y = tan x em relação à reta y = x, o gráfico y = arctan x passa pela origem das coordenadas (já que arctan 0 = 0) e é simétrico em relação à origem (como o gráfico de uma função ímpar).
Pode ser provado que arctan (tan x) = x se x.
Função inversa cotangente
A função y = ctg x em um intervalo pega todos os valores numéricos do intervalo. O intervalo de seus valores coincide com o conjunto de todos os números reais. No intervalo, a função y = cot x é contínua e aumenta monotonicamente. Isso significa que neste intervalo é definida uma função que é inversa à função y = cot x. A função inversa da cotangente é chamada arcotangente e é denotada y = arcctg x.
O arco cotangente de a é um ângulo pertencente a um intervalo cuja cotangente é igual a a.
Assim, аrcctg a é um ângulo que satisfaz as seguintes condições: ctg (arcctg a)=a e 0? arcotg a? R.
Da definição da função inversa e da definição de arco tangente segue que D (arcctg x) = , E (arcctg x) = . O arco cotangente é uma função decrescente porque a função y = ctg x diminui no intervalo.
O gráfico da função y = arcctg x não intercepta o eixo do Boi, pois y > 0 R. Para x = 0 y = arcctg 0 =.
O gráfico da função y = arcctg x é mostrado na Figura 11.
Arroz. 11
Observe que para todos os valores reais de x a identidade é verdadeira: arcctg(-x) = p-arcctg x.
