A essência do método Monte Carlo é a seguinte: você precisa encontrar o valor A alguma quantidade estudada. Para tanto, escolha uma variável aleatória X cuja expectativa matemática seja igual a a: M(X) = a.

Na prática, eles fazem isso: calculam (jogam) n valores possíveis x i da variável aleatória X, encontre sua média aritmética

E eles tomam a* do número desejado a como estimativa (valor aproximado). Assim, para utilizar o método de Monte Carlo, você deve ser capaz de reproduzir uma variável aleatória.

Seja necessário reproduzir uma variável aleatória discreta X, ou seja, calcule a sequência de seus valores possíveis x i (i=1,2, ...), conhecendo a lei de distribuição de X. Vamos introduzir a notação: R é uma variável aleatória contínua distribuída uniformemente no intervalo (0,1 ); r i (j=1,2,...) – números aleatórios (possíveis valores de R).

Regra: Para reproduzir uma variável aleatória discreta X especificada pela lei de distribuição

X x 1 x 2 ... x n

P p 1 p 2… p n

1. Divida o intervalo (0,1) do eixo ou em n intervalos parciais:

Δ 1 =(0;р 1), Δ 2 =(р 1; р 1+ р 2), …, Δ n = (р 1 +р 2 +…+р n -1; 1).

2. Escolha um número aleatório r j . Se r j caiu no intervalo parcial Δ i, então o valor jogado assumiu um valor possível x i. .

Jogando um grupo completo de eventos

É necessária a realização de testes, em cada um dos quais ocorre um dos eventos do grupo completo, cujas probabilidades são conhecidas. Jogar um grupo completo de eventos se resume a jogar uma variável aleatória discreta.

Regra: Para realizar testes, em cada um dos quais ocorre um dos eventos A 1, A 2, ..., An do grupo completo, cujas probabilidades são conhecidas p 1, p 2, ..., p n, basta reproduzir um valor discreto X com a seguinte lei de distribuição:

P p 1 p 2… p n

Se no teste o valor X assumiu um valor possível x i =i, então ocorreu o evento A i.

Jogando uma variável aleatória contínua

A função de distribuição F de uma variável aleatória contínua X é conhecida. É necessário jogar X, ou seja, calcule a sequência de valores possíveis x i (i=1,2, ...).

A. Método das funções inversas. Regra 1. x i de uma variável aleatória contínua X, conhecendo sua função de distribuição F, você precisa escolher um número aleatório r i, igualar sua função de distribuição e resolver a equação resultante F(x i) = r i para x i.

Se a densidade de probabilidade f(x) for conhecida, então a regra 2 será usada.

Regra 2. Para calcular o valor possível x i de uma variável aleatória contínua X, conhecendo sua densidade de probabilidade f, você precisa escolher um número aleatório r i e resolver a equação para x i

ou equação

onde a é o menor valor final possível de X.

B. Método de superposição. Regra 3. Para jogar o valor possível de uma variável aleatória X, cuja função de distribuição

F(x) = C 1 F 1 (x)+C 2 F 2 (x)+…+C n F n (x),

onde F k (x) – funções de distribuição (k=1, 2, …, n), С k >0, С i +С 2 +…+С n =1, você precisa escolher dois números aleatórios independentes r 1 e r 2 e usando o número aleatório r 1, reproduza o valor possível da variável aleatória discreta auxiliar Z (de acordo com a regra 1):

p C 1 C 2 … C n

Se descobrir que Z=k, então resolva a equação F k (x) = r 2 para x.

Observação 1. Se a densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua X for dada na forma

f(x)=C 1 f 1 (x)+C 2 f 2 (x)+…+C n f n (x),

onde f k são densidades de probabilidade, os coeficientes C k são positivos, sua soma é igual a um, e se acontecer que Z=k, então resolva (de acordo com a regra 2) em relação a x i em relação a ou a equação

Jogo aproximado de uma variável aleatória normal

Regra. Para aproximar o valor possível x i de uma variável aleatória normal X com parâmetros a=0 e σ=1, você precisa adicionar 12 números aleatórios independentes e subtrair 6 da soma resultante:

Comente. Se você quiser reproduzir aproximadamente uma variável aleatória normal Z com expectativa matemática A e desvio padrão σ, então, tendo jogado o valor possível de x i de acordo com a regra acima, encontre o valor possível desejado usando a fórmula: z i =σx i +a.

Definição 24.1.Números aleatórios nomear valores possíveis R variável aleatória contínua R, distribuído uniformemente no intervalo (0; 1).

1. Jogando uma variável aleatória discreta.

Suponha que queremos reproduzir uma variável aleatória discreta X, ou seja, obter uma sequência de seus valores possíveis, conhecendo a lei de distribuição X:

X x 1 X 2 … x n

r r 1 R 2 … rp .

Considere uma variável aleatória distribuída uniformemente em (0, 1) R e divida o intervalo (0, 1) com pontos com coordenadas R 1, R 1 + R 2 , …, R 1 + R 2 +… +rp-1 ativado P intervalos parciais cujos comprimentos são iguais às probabilidades com os mesmos índices.

Teorema 24.1. Se cada número aleatório que cai no intervalo receber um valor possível, então o valor que está sendo jogado terá uma determinada lei de distribuição:

X x 1 X 2 … x n

r r 1 R 2 … rp .

Prova.

Os valores possíveis da variável aleatória resultante coincidem com o conjunto X 1 , X 2 ,… x n, já que o número de intervalos é igual P, e quando atingido rj em um intervalo, uma variável aleatória pode assumir apenas um dos valores X 1 , X 2 ,… x n.

Porque Ré distribuído uniformemente, então a probabilidade de ele cair em cada intervalo é igual ao seu comprimento, o que significa que cada valor corresponde a uma probabilidade eu. Assim, a variável aleatória em jogo tem uma determinada lei de distribuição.

Exemplo. Jogue 10 valores de uma variável aleatória discreta X, cuja lei de distribuição tem a forma: X 2 3 6 8

R 0,1 0,3 0,5 0,1

Solução. Vamos dividir o intervalo (0, 1) em intervalos parciais: D 1 - (0; 0,1), D 2 - (0,1; 0,4), D 3 - (0,4; 0,9), D 4 – (0,9; 1). Vamos escrever 10 números da tabela de números aleatórios: 0,09; 0,73; 0,25; 0,33; 0,76; 0,52; 0,01; 0,35; 0,86; 0,34. O primeiro e o sétimo números estão no intervalo D 1, portanto, nestes casos, a variável aleatória jogada assumiu o valor X 1 = 2; o terceiro, quarto, oitavo e décimo números caíram no intervalo D 2, que corresponde a X 2 = 3; o segundo, quinto, sexto e nono números estavam no intervalo D 3 - neste caso X = x 3 = 6; Não houve números no último intervalo. Então, os valores possíveis acabaram X são: 2, 6, 3, 3, 6, 6, 2, 3, 6, 3.

2. Representar eventos opostos.

Que seja necessário realizar testes, em cada um dos quais um evento A aparece com uma probabilidade conhecida R. Considere uma variável aleatória discreta X, assumindo o valor 1 (se o evento A aconteceu) com probabilidade R e 0 (se A não aconteceu) com probabilidade q = 1 – p. Então jogaremos esta variável aleatória conforme sugerido no parágrafo anterior.

Exemplo. Jogue 10 desafios, cada um com um evento A aparece com probabilidade 0,3.

Solução. Para uma variável aleatória X com a lei da distribuição X 1 0

R 0,3 0,7

obtemos os intervalos D 1 – (0; 0,3) e D 2 – (0,3; 1). Usamos a mesma amostra de números aleatórios do exemplo anterior, para os quais os números 1, 3 e 7 caem no intervalo D 1, e o restante - no intervalo D 2. Portanto, podemos supor que o evento A ocorreu na primeira, terceira e sétima tentativas, mas não ocorreu nas tentativas restantes.

3. Realizar um grupo completo de eventos.

Se os eventos A 1 , A 2 , …, Um p, cujas probabilidades são iguais R 1 , R 2 ,… rp, forme um grupo completo e, em seguida, para brincar (ou seja, modelar a sequência de suas aparições em uma série de testes), você pode jogar uma variável aleatória discreta X com a lei da distribuição X 1 2 … P, tendo feito isso da mesma forma que no ponto 1. Ao mesmo tempo, acreditamos que

r r 1 R 2 … rp

Se X assume o valor x eu = eu, então neste teste o evento ocorreu Um eu.

4. Jogando uma variável aleatória contínua.

a) Método das funções inversas.

Suponha que queiramos jogar uma variável aleatória contínua X, ou seja, obtenha uma sequência de seus valores possíveis XI (eu = 1, 2, …, n), conhecendo a função de distribuição F(x).

Teorema 24.2. Se eué um número aleatório, então o valor possível XI jogou variável aleatória contínua X com uma determinada função de distribuição F(x), correspondente eu, é a raiz da equação

F(XI) = eu. (24.1)

Prova.

Porque F(x) aumenta monotonicamente no intervalo de 0 a 1, então existe um valor (e único) do argumento XI, em que a função de distribuição assume o valor eu. Isso significa que a equação (24.1) tem uma solução única: XI= F -1 (eu), Onde F-1 - função inversa a F. Vamos provar que a raiz da equação (24.1) é um valor possível da variável aleatória em consideração X. Vamos primeiro supor que XIé o valor possível de alguma variável aleatória x, e provamos que a probabilidade de x cair no intervalo ( SD) é igual a F(d) – F(c). Na verdade, devido à monotonicidade F(x) e essa F(XI) = eu. Então

Portanto, então, a probabilidade de x cair no intervalo ( cd) é igual ao incremento da função de distribuição F(x) neste intervalo, portanto, x = X.

Jogue 3 valores possíveis de uma variável aleatória contínua X, distribuído uniformemente no intervalo (5; 8).

F(x) = , ou seja, é necessário resolver a equação, vamos escolher 3 números aleatórios: 0,23; 0,09 e 0,56 e substitua-os nesta equação. Vamos obter os valores possíveis correspondentes X:

b) Método de superposição.

Se a função de distribuição da variável aleatória em jogo puder ser representada como uma combinação linear de duas funções de distribuição:

então, desde quando X®¥ F(x) ® 1.

Vamos introduzir uma variável aleatória discreta auxiliar Z com a lei da distribuição

Z 12. Vamos escolher 2 números aleatórios independentes R 1 e R 2 e jogue o possível

p C 1 C 2

significado Z por número R 1 (ver ponto 1). Se Z= 1, então procuramos o valor possível desejado X da equação, e se Z= 2, então resolvemos a equação.

Pode-se provar que neste caso a função de distribuição da variável aleatória em jogo é igual à função de distribuição dada.

c) Jogo aproximado de uma variável aleatória normal.

Desde por R, uniformemente distribuído em (0, 1), então para a soma P variáveis ​​aleatórias independentes e uniformemente distribuídas no intervalo (0,1). Então, em virtude do teorema do limite central, a variável aleatória normalizada em P® ¥ terá uma distribuição próxima da normal, com os parâmetros A= 0 es =1. Em particular, uma aproximação bastante boa é obtida quando P = 12:

Então, para calcular o valor possível da variável aleatória normal normalizada X, você precisa adicionar 12 números aleatórios independentes e subtrair 6 da soma.

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LIÇÃO 1

Simulação de eventos aleatórios com uma determinada lei de distribuição

Jogando uma variável aleatória discreta

Seja necessário reproduzir uma variável aleatória discreta, ou seja, obtenha uma sequência de seus valores possíveis x i (i = 1,2,3,...n), conhecendo a lei de distribuição de X:

Vamos denotar por R uma variável aleatória contínua. O valor de R é distribuído uniformemente no intervalo (0,1). Por r j (j = 1,2,...) denotamos os valores possíveis da variável aleatória R. Vamos dividir o intervalo 0< R < 1 на оси 0r точками с координатами на n частичных интервалов.

Então obtemos:

Pode-se observar que o comprimento do intervalo parcial com índice i é igual à probabilidade P com o mesmo índice. Comprimento

Assim, quando um número aleatório r i cai no intervalo, a variável aleatória X assume o valor x i com probabilidade P i .

Existe o seguinte teorema:

Se cada número aleatório que cai no intervalo estiver associado a um valor possível x i , então o valor que está sendo jogado terá uma determinada lei de distribuição

Algoritmo para reproduzir uma variável aleatória discreta especificada pela lei de distribuição

1. É necessário dividir o intervalo (0,1) do eixo 0r em n intervalos parciais:

2. Selecione (por exemplo, em uma tabela de números aleatórios ou em um computador) um número aleatório r j .

Se r j caísse no intervalo, então a variável aleatória discreta que estava sendo tocada assumia um valor possível x i .

Jogando uma variável aleatória contínua

Seja necessário jogar uma variável aleatória contínua X, ou seja, obtenha uma sequência de seus valores possíveis x i (i = 1,2,...). Neste caso, a função de distribuição F(X) é conhecida.

Existe próximo teorema.

Se r i é um número aleatório, então o valor possível x i da variável aleatória contínua reproduzida X com uma função de distribuição conhecida F(X) correspondente a r i é a raiz da equação

Algoritmo para reproduzir uma variável aleatória contínua:

1. Você deve selecionar um número aleatório ri.

2. Iguale o número aleatório selecionado à função de distribuição conhecida F(X) e obtenha uma equação.

3. Resolva esta equação para x i. O valor resultante x i corresponderá simultaneamente ao número aleatório ri . e a lei de distribuição dada F(X).

Exemplo. Jogue 3 valores possíveis de uma variável aleatória contínua X, distribuída uniformemente no intervalo (2; 10).

A função de distribuição do valor X tem a seguinte forma:

Por condição, a = 2, b = 10, portanto,

De acordo com o algoritmo para reproduzir uma variável aleatória contínua, igualamos F(X) ao número aleatório selecionado ri .. Obtemos a partir daqui:

Substituímos esses números na equação (5.3) e obtemos os valores possíveis correspondentes de x:

Problemas de modelagem de eventos aleatórios com uma determinada lei de distribuição

1. É necessário reproduzir 10 valores de uma variável aleatória discreta, ou seja, obter uma sequência de seus possíveis valores x i (i=1,2,3,…n), conhecendo a lei de distribuição de X

Vamos selecionar um número aleatório r j da tabela de números aleatórios: 0,10; 0,12; 0,37; 0,09; 0,65; 0,66; 0,99; 0,19; 0,88; 0,59; 0,78

2. A frequência de recepção de pedidos de serviço está sujeita à lei de distribuição exponencial (), x, o parâmetro l é conhecido (doravante l = 1/t - a intensidade de recepção de pedidos)

l=0,5 solicitações/hora. Determine a sequência de valores para a duração dos intervalos entre o recebimento das inscrições. O número de implementações é 5. Número r j: 0,10; 0,12; 0,37; 0,09; 0,65; 0,99;

LIÇÃO 2

Sistema de filas

Os sistemas em que, por um lado, existem solicitações massivas para a realização de qualquer tipo de serviço e, por outro, essas solicitações são satisfeitas, são chamados de sistemas de filas. Qualquer QS serve para atender o fluxo de solicitações.

QS inclui: fonte de requisitos, fluxo de entrada, fila, dispositivo de atendimento, fluxo de saída de solicitações.

SMO são divididos em:

QS com perdas (falhas)

Fila com espera (comprimento de fila ilimitado)

QS com comprimento de fila limitado

QS com tempo de espera limitado.

Com base no número de canais ou dispositivos de serviço, os sistemas QS podem ser monocanal ou multicanal.

Por localização da fonte dos requisitos: aberta e fechada.

Pelo número de elementos de serviço por necessidade: monofásico e multifásico.

Uma das formas de classificação é a classificação de D. Kendall - A/B/X/Y/Z

A - determina a distribuição do tempo entre as chegadas;

B – determina a distribuição do tempo de atendimento;

X – determina a quantidade de canais de atendimento;

Y - determina a capacidade do sistema (comprimento da fila);

Z - determina a ordem do serviço.

Quando a capacidade do sistema é infinita e a fila de atendimento segue o princípio do primeiro a chegar, primeiro a servir, as partes Y/Z são omitidas. O primeiro dígito (A) usa os seguintes símbolos:

A distribuição M tem uma lei exponencial,

G-a ausência de quaisquer suposições sobre o processo de serviço, ou é identificado com o símbolo GI, significando um processo de serviço recorrente,

D- determinístico (tempo de atendimento fixo),

E n - Erlang enésima ordem,

NM n - hiper-Erlang enésima ordem.

O segundo dígito (B) usa os mesmos símbolos.

O quarto dígito (Y) mostra a capacidade do buffer, ou seja, número máximo de vagas na fila.

O quinto dígito (Z) indica o método de seleção da fila em um sistema de espera: SP-probabilidade igual, FF-primeiro a entrar, primeiro a sair, LF-último a entrar-primeiro a sair, prioridade PR.

Para tarefas:

l é o número médio de inscrições recebidas por unidade de tempo

µ - número médio de aplicativos atendidos por unidade de tempo

Fator de carga do canal 1 ou a porcentagem de tempo que o canal está ocupado.

Características principais:

1) P rejeição - probabilidade de falha - probabilidade de o sistema recusar o serviço e o requisito ser perdido. Isso acontece quando o canal ou todos os canais estão ocupados (TFoP).

Para um QS P multicanal aberto =P n, onde n é o número de canais de serviço.

Para um QS com comprimento de fila limitado P aberto =P n + l, onde l é o comprimento de fila permitido.

2) Capacidade relativa q e absoluta A do sistema

q= 1-P aberto A=ql

3) Número total de requisitos no sistema

L sys = n - para SMO com falhas, n é o número de canais ocupados pelo serviço.

Para QS com espera e comprimento de fila limitado

L sys = n+L legal

onde L cool é o número médio de solicitações aguardando o início do serviço, etc.

Consideraremos as demais características à medida que resolvermos os problemas.

Sistemas de filas monocanal e multicanal. Sistemas com falhas.

O modelo de canal único mais simples com fluxo de entrada probabilístico e procedimento de serviço é um modelo caracterizado por uma distribuição exponencial tanto das durações dos intervalos entre o recebimento das necessidades quanto das durações do serviço. Neste caso, a densidade de distribuição da duração dos intervalos entre recebimentos de solicitações tem a forma

Densidade de distribuição de durações de serviço:

Os fluxos de solicitações e serviços são simples. Deixe o sistema funcionar com falhas. Este tipo de QS pode ser usado na modelagem de canais de transmissão em redes locais. É necessário determinar o rendimento absoluto e relativo do sistema. Vamos imaginar esse sistema de filas em forma de gráfico (Figura 2), que possui dois estados:

S 0 - canal livre (em espera);

S 1 - o canal está ocupado (a solicitação está sendo atendida).

Figura 2. Gráfico de estado de um QS monocanal com falhas

Denotemos as probabilidades de estado: P 0 (t) - a probabilidade do estado “canal livre”; P 1 (t) - probabilidade do estado “canal ocupado”. Usando o gráfico de estado rotulado, compilamos um sistema de equações diferenciais de Kolmogorov para probabilidades de estado:

O sistema de equações diferenciais lineares tem solução levando em consideração a condição de normalização P 0 (t) + P 1 (t) = 1. A solução deste sistema é chamada instável, pois depende diretamente de t e tem a seguinte aparência:

P 1 (t) = 1 - P 0 (t) (3.4.3)

É fácil verificar que para um QS monocanal com falhas, a probabilidade P 0 (t) nada mais é do que a capacidade relativa do sistema q. Na verdade, P 0 é a probabilidade de que no tempo t o canal esteja livre e uma solicitação que chega no tempo t seja atendida e, portanto, para um determinado tempo t a razão média entre o número de solicitações atendidas e o número de solicitações recebidas também é igual a P 0 (t), ou seja, q = P 0 (t).

Após um grande intervalo de tempo (at), um modo estacionário (estável) é alcançado:

Conhecendo o rendimento relativo, é fácil encontrar o absoluto. A taxa de transferência absoluta (A) é o número médio de solicitações que um sistema de filas pode atender por unidade de tempo:

A probabilidade de recusa de atendimento de uma solicitação será igual à probabilidade do estado “canal ocupado”:

Este valor de P aberto pode ser interpretado como a proporção média de pedidos não atendidos entre os submetidos.

Na grande maioria dos casos, na prática, os sistemas de filas são multicanais e, portanto, modelos com n canais de atendimento (onde n>1) são de indubitável interesse. O processo de enfileiramento descrito por este modelo é caracterizado pela intensidade do fluxo de entrada l, enquanto não mais do que n clientes (aplicações) podem ser atendidos em paralelo. A duração média do atendimento de uma solicitação é de 1/m. Os fluxos de entrada e saída são Poisson. O modo de operação de um canal de serviço específico não afeta o modo de operação de outros canais de serviço do sistema, e a duração do procedimento de serviço para cada canal é uma variável aleatória sujeita a uma lei de distribuição exponencial. O objetivo final do uso de n canais de serviço conectados em paralelo é aumentar (em comparação com um sistema de canal único) a velocidade de atendimento de solicitações atendendo n clientes simultaneamente. O gráfico de estado de um sistema de filas multicanal com falhas tem o formato mostrado na Figura 4.

Figura 4. Gráfico de estado de um QS multicanal com falhas

S 0 - todos os canais são gratuitos;

S 1 - um canal está ocupado, os demais estão livres;

S k - exatamente k canais estão ocupados, o restante está livre;

S n - todos os n canais estão ocupados, o restante está livre.

As equações de Kolmogorov para as probabilidades dos estados do sistema P 0 , ... , P k , ... P n terão a seguinte forma:

As condições iniciais para resolver o sistema são:

P 0 (0) = 1, P 1 (0) = P 2 (0) = ... = P k (0) = ... = P 1 (0) = 0.

A solução estacionária do sistema tem a forma:

As fórmulas para calcular probabilidades P k (3.5.1) são chamadas de fórmulas de Erlang.

Vamos determinar as características probabilísticas do funcionamento de um QS multicanal com falhas em modo estacionário:

1) probabilidade de falha:

já que uma solicitação é rejeitada se chegar em um momento em que todos os n canais estiverem ocupados. O valor P aberto caracteriza a integralidade do atendimento ao fluxo de entrada;

2) a probabilidade de a solicitação ser aceita para serviço (é também a capacidade relativa do sistema q) complementa P aberto a um:

3) rendimento absoluto

4) o número médio de canais ocupados pelo serviço () é o seguinte:

O valor caracteriza o grau de carregamento do QS.

Tarefaspara a lição 2

1. Um ramo de comunicação com um canal recebe o fluxo mais simples de mensagens com intensidade de l = 0,08 mensagens por segundo. O tempo de transmissão é distribuído de acordo com a lei exp. O atendimento de uma mensagem ocorre com intensidade µ=0,1. As mensagens que chegam em momentos em que o canal de serviço está ocupado transmitindo uma mensagem recebida anteriormente recebem uma falha de transmissão.

Coef. Carga relativa do canal (probabilidade de ocupação do canal)

P rejeita probabilidade de falha no recebimento de uma mensagem

Q capacidade relativa do ramo entrenós

E o rendimento absoluto do ramo de comunicação.

2. O ramo de comunicação possui um canal e recebe mensagens a cada 10 segundos. O tempo de serviço para uma mensagem é de 5 segundos. O tempo de transmissão da mensagem é distribuído de acordo com uma lei exponencial. As mensagens que chegam quando o canal está ocupado têm o serviço negado.

Definir

Rzan - probabilidade de ocupação do canal de comunicação (fator de carga relativo)

Q - rendimento relativo

A - capacidade absoluta do ramo de comunicação

4. O ramo internodal da rede de comunicação secundária possui n = 4 canais. O fluxo de mensagens que chegam para transmissão pelos ramais de comunicação tem intensidade = 8 mensagens por segundo. O tempo médio de transmissão de uma mensagem é t = 0,1 segundos.Uma mensagem que chega em um momento em que todos os n canais estão ocupados recebe uma falha de transmissão ao longo do ramal de comunicação. Encontre as características do SMO:

LIÇÃO 3

Sistema de canal único com standby

Consideremos agora um QS de canal único com espera. O sistema de filas possui um canal. O fluxo de entrada de solicitações de serviço é o fluxo mais simples com intensidade. A intensidade do fluxo de serviço é igual (ou seja, em média, um canal continuamente ocupado emitirá solicitações atendidas). A duração do serviço é uma variável aleatória sujeita à lei da distribuição exponencial. O fluxo de serviço é o fluxo de eventos de Poisson mais simples. Uma solicitação recebida quando o canal está ocupado é colocada na fila e aguarda atendimento. Este QS é o mais comum em modelagem. Com um grau ou outro de aproximação, ele pode ser usado para simular quase qualquer nó de uma rede local de computadores (LAN).

Suponhamos que não importa quantas solicitações cheguem à entrada do sistema de atendimento, este sistema (fila + clientes sendo atendidos) não pode acomodar mais do que N requisitos (aplicações), ou seja, os clientes que não estão em espera são forçados a ser atendidos em outro lugar. Sistema M/M/1/N. Finalmente, a fonte que gera solicitações de serviço tem capacidade ilimitada (infinitamente grande). O gráfico de estado do QS, neste caso, tem o formato mostrado na Figura 3

Figura 3. Gráfico de estado de um QS monocanal com espera (esquema de morte e reprodução)

Os estados QS têm a seguinte interpretação:

S 0 - “canal livre”;

S 1 - “canal ocupado” (sem fila);

S 2 - “canal ocupado” (uma solicitação está na fila);

S n - “canal ocupado” (n -1 aplicações estão em fila);

S N - “canal ocupado” (N - 1 aplicações estão na fila).

O processo estacionário neste sistema será descrito pelo seguinte sistema de equações algébricas:

onde p = fator de carga

n - número do estado.

A solução do sistema de equações acima para nosso modelo QS tem a forma:

Valor de probabilidade inicial para um QS com comprimento de fila limitado

Para um QS com fila infinita Í =? :

P 0 =1-s (3.4.7)

De referir que o cumprimento da condição de estacionariedade para um determinado QS não é necessário, uma vez que o número de candidaturas admitidas no sistema de atendimento é controlado através da introdução de uma restrição ao comprimento da fila, que não pode ultrapassar (N - 1) , e não pela razão entre as intensidades do fluxo de entrada, ou seja, não pela razão c = l/m.

Ao contrário do sistema monocanal considerado acima e com fila ilimitada, neste caso existe uma distribuição estacionária do número de solicitações para quaisquer valores finitos do fator de carga c.

Vamos determinar as características de um QS de canal único com espera e comprimento de fila limitado igual a (N - 1) (M/M/1/N), bem como para um QS de canal único com buffer de capacidade ilimitada (M/M/1/?). Para um QS com fila infinita, a condição com<1, т.е., для того, чтобы в системе не накапливалась бесконечная очередь необходимо, чтобы в среднем запросы в системе обслуживались быстрее, чем они туда поступают.

1) probabilidade de recusa de atendimento de um pedido:

Uma das características mais importantes dos sistemas nos quais a perda de solicitações é possível é a probabilidade P de perda de uma solicitação arbitrária. Neste caso, a probabilidade de perder um pedido arbitrário coincide com a probabilidade de que num momento arbitrário todos os lugares de espera estejam ocupados, ou seja, a seguinte fórmula é válida: Р de k = Р Н

2) capacidade relativa do sistema:

Para SMO com ilimitadoa fila q = 1, porque todas as solicitações serão atendidas

3) rendimento absoluto:

4) o número médio de aplicativos no sistema:

L S com fila ilimitada

5) tempo médio que uma aplicação permanece no sistema:

Para fila ilimitada

6) tempo médio de permanência de um cliente (aplicação) na fila:

Com fila ilimitada

7) número médio de aplicações (clientes) na fila (comprimento da fila):

com fila ilimitada

Comparando as expressões para o tempo médio de espera na fila T och e a fórmula para o comprimento médio da fila L och, bem como o tempo médio de permanência das solicitações no sistema T S e ​​o número médio de solicitações no sistema L S, nós vemos que

L och =l*T och L s =l* T s

Observe que essas fórmulas também são válidas para muitos sistemas de filas que são mais gerais que o sistema M/M/1 em consideração e são chamadas de fórmulas de Little. O significado prático dessas fórmulas é que elas eliminam a necessidade de calcular diretamente os valores de T och e T s com um valor conhecido dos valores L och e L s e vice-versa.

Tarefas de canal único SMcom antecipação, Comesperando ecomprimento de fila limitado

1. Dado um QS de linha única com armazenamento de fila ilimitado. As inscrições são recebidas a cada t = 14 segundos. O tempo médio de transmissão de uma mensagem é t=10 segundos. As mensagens que chegam em horários em que o canal de atendimento está ocupado são recebidas na fila sem sair dela antes do início do atendimento.

Determine os seguintes indicadores de desempenho:

2. O ramo de comunicação entre nós, que possui um canal e uma fila de armazenamento para m=3 mensagens pendentes (N-1=m), recebe o fluxo de mensagens mais simples com intensidade de l=5 mensagens. em segundos. O tempo de transmissão da mensagem é distribuído de acordo com uma lei exponencial. O tempo médio de transmissão de uma mensagem é de 0,1 segundos. As mensagens que chegam em momentos em que o canal de serviço está ocupado transmitindo uma mensagem recebida anteriormente e não há espaço livre na unidade são rejeitadas.

P rejeitar - probabilidade de falha no recebimento de uma mensagem

Sistema L - o número total médio de mensagens na fila e transmitidas ao longo do ramal de comunicação

T och - o tempo médio que uma mensagem permanece na fila antes do início da transmissão

T syst - tempo médio total que uma mensagem permanece no sistema, consistindo no tempo médio de espera na fila e no tempo médio de transmissão

Q - rendimento relativo

A - rendimento absoluto

3. O ramo entrenós da rede de comunicação secundária, que possui um canal e uma fila de armazenamento para m = 4 (N-1=4) mensagens em espera, recebe o fluxo de mensagens mais simples com intensidade = 8 mensagens por segundo. O tempo de transmissão da mensagem é distribuído de acordo com uma lei exponencial. O tempo médio de transmissão de uma mensagem é t = 0,1 segundo. As mensagens que chegam em momentos em que o canal de atendimento está ocupado transmitindo uma mensagem recebida anteriormente e não há espaço livre no drive são rejeitadas pela fila.

P aberto - probabilidade de falha no recebimento de mensagem para transmissão pelo canal de comunicação do ramal entrenó;

L och - o número médio de mensagens na fila para o ramal de comunicação da rede secundária da fila;

Sistema L - o número total médio de mensagens na fila e transmitidas ao longo do ramal de comunicação da rede secundária;

T och - tempo médio que uma mensagem permanece na fila antes do início da transmissão;

R zan - probabilidade do canal de comunicação estar ocupado (coeficiente de carga relativo do canal);

Q é a capacidade relativa do ramo internodal;

A é a capacidade absoluta do ramo internodal;

4. O ramo de comunicação entre nós, que possui um canal e uma fila de armazenamento para m=2 mensagens em espera, recebe o fluxo de mensagens mais simples com intensidade de l=4 mensagens. em segundos. O tempo de transmissão da mensagem é distribuído de acordo com uma lei exponencial. O tempo médio de transmissão de uma mensagem é de 0,1 segundos. As mensagens que chegam em momentos em que o canal de serviço está ocupado transmitindo uma mensagem recebida anteriormente e não há espaço livre na unidade são rejeitadas.

Determine os seguintes indicadores de desempenho do ramo de comunicação:

P rejeitar - probabilidade de falha no recebimento de uma mensagem

L och - número médio de mensagens na fila para o ramo de comunicação

Sistema L - o número total médio de mensagens na fila e transmitidas ao longo do ramal de comunicação

T och - o tempo médio que uma mensagem permanece na fila antes do início da transmissão

T syst - tempo médio total que uma mensagem permanece no sistema, consistindo no tempo médio de espera na fila e no tempo médio de transmissão

Rzan - probabilidade de ocupação do canal de comunicação (coeficiente de carga relativo do canal c)

Q - rendimento relativo

A - rendimento absoluto

5. O ramal entrenós da rede de comunicação secundária, que possui um canal e uma fila de armazenamento de volume ilimitado de mensagens em espera, recebe o fluxo mais simples de mensagens com intensidade de l = 0,06 mensagens por segundo. O tempo médio de transmissão de uma mensagem é t = 10 segundos. As mensagens que chegam em horários em que o canal de comunicação está ocupado são recebidas em fila e não saem dela até o início do atendimento.

Determine os seguintes indicadores de desempenho do ramal de comunicação da rede secundária:

L och - o número médio de mensagens na fila do ramal de comunicação;

L syst - o número total médio de mensagens na fila e transmitidas ao longo do ramal de comunicação;

T och - tempo médio que uma mensagem permanece na fila;

T syst é o tempo médio total que uma mensagem permanece no sistema, que é a soma do tempo médio de espera na fila e do tempo médio de transmissão;

Rzan é a probabilidade do canal de comunicação estar ocupado (fator de carga relativo do canal);

Q - capacidade relativa do ramo internodal;

A - capacidade absoluta do ramo internodal

6. Dado um QS de linha única com armazenamento de fila ilimitado. As inscrições são recebidas a cada t = 13 segundos. Tempo médio para transmitir uma mensagem

t=10 segundos. As mensagens que chegam em horários em que o canal de atendimento está ocupado são recebidas na fila sem sair dela antes do início do atendimento.

Determine os seguintes indicadores de desempenho:

L och - número médio de mensagens na fila

Sistema L - o número total médio de mensagens na fila e transmitidas ao longo do ramal de comunicação

T och - o tempo médio que uma mensagem permanece na fila antes do início da transmissão

T syst - tempo médio total que uma mensagem permanece no sistema, consistindo no tempo médio de espera na fila e no tempo médio de transmissão

Rzan - probabilidade de ocupação (coeficiente de carga relativo do canal c)

Q - rendimento relativo

A - rendimento absoluto

7. O posto de diagnóstico especializado é um QS de canal único. O número de vagas para carros aguardando diagnóstico é limitado e igual a 3 [(N - 1) = 3]. Se todos os estacionamentos estiverem ocupados, ou seja, já houver três carros na fila, o próximo carro que chegar para diagnóstico não será colocado na fila para atendimento. O fluxo de carros que chegam para diagnóstico é distribuído de acordo com a lei de Poisson e tem intensidade = 0,85 (carros por hora). O tempo de diagnóstico do veículo é distribuído de acordo com uma lei exponencial e tem média de 1,05 horas.

É necessário determinar as características probabilísticas de uma estação de diagnóstico operando em modo estacionário: P 0 , P 1 , P 2 , P 3 , P 4 , P aberto, q,A, L och, L sys, T och, T sys

LIÇÃO 4

QS multicanal com espera, com espera e comprimento de fila limitado

Vamos considerar um sistema de filas multicanal com espera. Este tipo de QS é frequentemente usado ao modelar grupos de terminais de assinantes de LAN operando em modo interativo. O processo de filas é caracterizado pelo seguinte: os fluxos de entrada e saída são Poisson com intensidades e, respectivamente; não mais do que n clientes podem ser atendidos em paralelo. O sistema possui n canais de atendimento. A duração média do serviço para um cliente é de 1/m para cada canal. Este sistema também se refere ao processo de morte e reprodução.

c=l/nm - a relação entre a intensidade do fluxo de entrada e a intensidade total do serviço, é o fator de carga do sistema

(Com<1). Существует стационарное распределение числа запросов в рассматриваемой системе. При этом вероятности состояний Р к определяются:

onde P 0 é a probabilidade de todos os canais estarem livres com fila ilimitada, k é o número de solicitações.

se tomarmos c = l/m, então P 0 pode ser determinado para uma fila ilimitada:

Para uma fila limitada:

onde m é o comprimento da fila

Com fila ilimitada:

Capacidade relativa q = 1,

Capacidade absoluta A=l,

Número médio de canais ocupados Z=A/m

Com fila limitada

1 O ramo entrenós da rede de comunicação secundária possui n = 4 canais. O fluxo de mensagens que chegam para transmissão pelos ramais de comunicação tem intensidade = 8 mensagens por segundo. O tempo médio t = 0,1 para transmissão de uma mensagem por cada canal de comunicação é t/n = 0,025 segundos. O tempo de espera das mensagens na fila é ilimitado. Encontre as características do SMO:

P aberto - probabilidade de falha na transmissão da mensagem;

Q é a capacidade relativa do ramo de comunicação;

A é o rendimento absoluto do ramo de comunicação;

Z - número médio de canais ocupados;

L och - número médio de mensagens na fila;

T = tempo médio de espera;

T syst - tempo total médio de permanência das mensagens na fila e transmissão ao longo do ramal de comunicação.

2. Uma oficina mecânica da planta com três postos (canais) realiza reparos de pequena mecanização. O fluxo de mecanismos defeituosos que chegam à oficina é Poisson e tem intensidade = 2,5 mecanismos por dia, o tempo médio de reparo de um mecanismo é distribuído de acordo com a lei exponencial e é igual a = 0,5 dias. Suponhamos que não exista outra oficina na fábrica e, portanto, a fila de mecanismos em frente à oficina pode crescer quase que ilimitadamente. É necessário calcular os seguintes valores limites das características probabilísticas do sistema:

Probabilidades de estados do sistema;

Número médio de inscrições na fila de atendimento;

Número médio de aplicativos no sistema;

Tempo médio que um aplicativo permanece na fila;

A duração média de permanência de um aplicativo no sistema.

3. O ramo internodal da rede de comunicação secundária possui n=3 canais. O fluxo de mensagens que chegam para transmissão pelos ramais de comunicação tem intensidade de l = 5 mensagens por segundo. O tempo médio de transmissão de uma mensagem é t=0,1, t/n=0,033 seg. A fila de armazenamento de mensagens aguardando transmissão pode conter até m= 2 mensagens. Uma mensagem que chega no momento em que todos os lugares da fila estão ocupados recebe uma falha de transmissão ao longo do ramo de comunicação. Encontre as características do QS: P open - probabilidade de falha na transmissão da mensagem, Q - throughput relativo, A - throughput absoluto, Z - número médio de canais ocupados, L och - número médio de mensagens na fila, T so - média de espera tempo, sistema T - o tempo total médio que uma mensagem permanece na fila e é transmitida ao longo do ramal de comunicação.

LIÇÃO 5

QS fechado

Vamos considerar um modelo de manutenção de frota de máquinas, que é um modelo de sistema de filas fechadas. Até agora, consideramos apenas sistemas de filas para os quais a intensidade do fluxo de entrada de solicitações não depende do estado do sistema. Neste caso, a origem das solicitações é externa ao QS e gera um fluxo ilimitado de solicitações. Vamos considerar sistemas de filas para os quais depende do estado do sistema, e a origem dos requisitos é interna e gera um fluxo limitado de solicitações. Por exemplo, um parque de máquinas composto por N máquinas é atendido por uma equipe de R mecânicos (N > R), e cada máquina pode ser atendida por apenas um mecânico. Aqui, as máquinas são fontes de requisitos (solicitações de serviço) e os mecânicos são canais de serviço. Uma máquina defeituosa, após a manutenção, é utilizada para o fim a que se destina e torna-se uma fonte potencial de necessidades de serviço. Obviamente, a intensidade depende de quantas máquinas estão atualmente em operação (N - k) e de quantas máquinas estão em manutenção ou em fila aguardando atendimento (k). No modelo em consideração, a capacidade da fonte de requisitos deve ser considerada limitada. O fluxo de entrada de demandas vem de um número limitado de máquinas em operação (N - k), que em momentos aleatórios quebram e necessitam de manutenção. Além disso, cada máquina de (N - k) está em operação. Gera um fluxo Poisson de requisitos com intensidade X independente de outros objetos, o fluxo total (total) de entrada tem intensidade. Uma solicitação que entra no sistema quando pelo menos um canal está livre é imediatamente processada. Se uma solicitação encontrar todos os canais ocupados atendendo outras solicitações, ela não sairá do sistema, mas entrará em uma fila e aguardará até que um dos canais fique livre. Assim, em um sistema de filas fechado, o fluxo de entrada de necessidades é formado a partir do fluxo de saída. O estado do sistema Sk é caracterizado pelo número total de solicitações atendidas e em fila igual a k. Para o sistema fechado em consideração, obviamente, k = 0, 1, 2, ... , N. Além disso, se o sistema estiver no estado S k, então o número de objetos em operação é igual a (N - k) . Se for a intensidade do fluxo de demandas por máquina, então:

O sistema de equações algébricas que descreve a operação de um QS de malha fechada em modo estacionário é o seguinte:

Resolvendo este sistema, encontramos a probabilidade do k-ésimo estado:

O valor de P 0 é determinado a partir da condição de normalização dos resultados obtidos pelas fórmulas para P k , k = 0, 1, 2, ... , N. Determinemos as seguintes características probabilísticas do sistema:

Número médio de solicitações em fila de atendimento:

Número médio de solicitações no sistema (atendimento e enfileiramento)

número médio de mecânicos (canais) “ociosos” por falta de trabalho

Taxa de ociosidade do objeto atendido (máquina) na fila

Taxa de utilização de instalações (máquinas)

Proporção de tempo de inatividade dos canais de atendimento (mecânica)

Tempo médio de espera por atendimento (tempo de espera por atendimento em fila)

Problema de QS fechado

1. Deixe dois engenheiros de igual produtividade serem alocados para atender dez computadores pessoais (PCs). O fluxo de falhas (mau funcionamento) de um computador é Poisson com intensidade = 0,2. O tempo de manutenção do PC obedece à lei exponencial. O tempo médio de manutenção de um PC por um engenheiro é: = 1,25 horas. As seguintes opções de organização de serviços são possíveis:

Ambos os engenheiros atendem todos os dez computadores, portanto, se um PC falhar, ele será atendido por um dos engenheiros livres, neste caso R = 2, N = 10;

Cada um dos dois engenheiros mantém cinco PCs atribuídos a ele. Neste caso R = 1, N = 5.

É necessário escolher a melhor opção para organizar a manutenção do PC.

É necessário determinar todas as probabilidades dos estados P k: P 1 - P 10, levando em consideração que a partir dos resultados do cálculo de P k, calculamos P 0

LIÇÃO 6

Cálculo de tráfego.

A teoria do teletráfego é uma seção da teoria das filas. As bases da teoria do teletráfego foram lançadas pelo cientista dinamarquês A.K. Erlang. Suas obras foram publicadas em 1909-1928. Vamos dar definições importantes utilizadas na teoria do teletráfego (TT). O termo “tráfego” corresponde ao termo “carga telefônica”. Refere-se à carga criada pelo fluxo de chamadas, demandas e mensagens que chegam às entradas do QS. O volume de tráfego é a quantidade do intervalo de tempo integral total perdido por um ou outro recurso durante o qual esse recurso foi ocupado durante o período de tempo analisado. Uma unidade de trabalho pode ser considerada uma segunda ocupação de um recurso. Às vezes você pode ler sobre uma hora de trabalho, e às vezes apenas segundos ou horas. No entanto, as recomendações da ITU dão a dimensão do volume de tráfego em horas erlango. Para entender o significado de tal unidade de medida, precisamos considerar outro parâmetro de tráfego – a intensidade do tráfego. Nesse caso, muitas vezes falam sobre a intensidade média de tráfego (carga) em um determinado pool (conjunto) de recursos. Se em cada momento t de um determinado intervalo (t 1,t 2) o número de recursos de um determinado conjunto ocupado com tráfego de serviço for igual a A(t), então a intensidade média do tráfego será

O valor da intensidade do tráfego é caracterizado como o número médio de recursos ocupados pelo atendimento do tráfego em um determinado intervalo de tempo. A unidade para medir a intensidade da carga é um Erlang (1 Erl, 1 E), ou seja, 1 Erlang é uma intensidade de tráfego que requer o pleno emprego de um recurso, ou, em outras palavras, em que o recurso realiza um trabalho que vale uma segunda ocupação em um segundo. Na literatura americana, às vezes você pode encontrar outra unidade de medida chamada CCS-Centrum (ou cem) chamadas em segundo. O número CCS reflete o tempo de ocupação do servidor em intervalos de 100 segundos por hora. A intensidade medida em CCS pode ser convertida para Erlang usando a fórmula 36CCS=1 Erl.

O tráfego gerado por uma fonte e expresso em horas-ocupações é igual ao produto do número de tentativas de chamada c durante um determinado intervalo de tempo T e a duração média de uma tentativa t: y = c t (h-z). O tráfego pode ser calculado de três maneiras diferentes:

1) seja o número de chamadas c por hora 1.800, e a duração média da sessão t = 3 minutos, então Y = 1.800 chamadas. /h. 0,05 h = 90 Conde;

2) sejam fixadas as durações ti de todas as n ocupações das saídas de um determinado pacote durante o tempo T, então o tráfego é determinado da seguinte forma:

3) deixe o número de saídas ocupadas simultaneamente de um determinado feixe ser monitorado em intervalos iguais durante o tempo T; com base nos resultados da observação, uma função degrau do tempo x(t) é construída (Figura 8).

Figura 8. Amostras de saídas de feixe ocupadas simultaneamente

O tráfego durante o tempo T pode ser estimado como o valor médio de x(t) durante esse tempo:

onde n é o número de amostras de saídas ocupadas simultaneamente. O valor Y é o número médio de saídas de feixe ocupadas simultaneamente durante o tempo T.

Flutuações de tráfego. O tráfego nas redes telefónicas secundárias flutua significativamente ao longo do tempo. Durante a jornada de trabalho, a curva de tráfego apresenta dois ou até três picos (Figura 9).

Figura 9. Flutuações de tráfego durante o dia

A hora do dia em que o tráfego observado durante um longo período de tempo é mais significativo é chamada de hora de maior movimento (BHH). O conhecimento do tráfego na CNN é de fundamental importância, pois determina a quantidade de canais (linhas), o volume de equipamentos das estações e nós. O tráfego no mesmo dia da semana apresenta variações sazonais. Se o dia da semana for pré-feriado, o NNN desse dia será maior que o do dia seguinte ao feriado. À medida que o número de serviços suportados pela rede aumenta, também aumenta o tráfego. Portanto, é problemático prever com suficiente confiança a ocorrência de picos de tráfego. O tráfego é monitorado de perto pelas organizações de administração e design de rede. As regras de medição de tráfego foram desenvolvidas pela ITU-T e são utilizadas pelas administrações de redes nacionais para satisfazer os requisitos de qualidade de serviço tanto para os assinantes da sua rede como para os assinantes de outras redes a ela ligadas. A teoria do teletráfego pode ser usada para cálculos práticos de perdas ou do volume do equipamento da estação (nó) somente se o tráfego estiver estacionário (estatisticamente estável). Esta condição é aproximadamente satisfeita pelo tráfego na CHNN. A quantidade de carga que entra na central telefônica automática por dia afeta a prevenção e reparo dos equipamentos. A irregularidade da carga que entra na estação durante o dia é determinada pelo coeficiente de concentração

Uma definição mais estrita de NNN é feita a seguir. A Recomendação E.500 da ITU exige a análise de 12 meses de dados de intensidade, selecionando os 30 dias mais movimentados, encontrando as horas mais movimentadas nesses dias e calculando a média das medições de intensidade nesses intervalos. Este cálculo da intensidade do tráfego (carga) é denominado estimativa normal da intensidade do tráfego no CHN ou nível A. Uma estimativa mais rigorosa pode ser calculada em média ao longo dos 5 dias mais movimentados do período de 30 dias selecionado. Essa nota é chamada de nota aumentada ou nota de nível B.

O processo de criação de tráfego. Como todo usuário da rede telefônica sabe, nem todas as tentativas de estabelecer uma conexão com o assinante chamado são bem-sucedidas. Às vezes, você precisa fazer várias tentativas malsucedidas antes que a conexão desejada seja estabelecida.

Figura 10. Diagrama de eventos ao estabelecer uma conexão entre assinantes

Consideremos possíveis eventos ao simular o estabelecimento de uma conexão entre os assinantes A e B (Figura 10). As estatísticas sobre chamadas em redes telefónicas são as seguintes: a percentagem de conversas concluídas é de 70-50%, a percentagem de chamadas falhadas é de 30-50%. Qualquer tentativa do assinante leva a entrada QS. Com tentativas bem-sucedidas (quando a conversa ocorreu), o tempo de ocupação dos dispositivos de comutação que estabelecem conexões entre entradas e saídas é maior do que com tentativas sem sucesso. O assinante pode interromper as tentativas de estabelecer uma conexão a qualquer momento. As novas tentativas podem ser causadas pelos seguintes motivos:

O número foi discado incorretamente;

Suposição de erro na rede;

O grau de urgência da conversa;

Falha nas tentativas anteriores;

Conhecer os hábitos do assinante B;

Dúvida sobre como discar o número corretamente.

Uma nova tentativa pode ser feita dependendo das seguintes circunstâncias:

Graus de urgência;

Avaliação dos motivos do insucesso;

Avaliando a viabilidade de repetir tentativas,

Estimativas de intervalo aceitável entre tentativas.

A falha em tentar novamente pode ser devido à baixa urgência. Existem vários tipos de tráfego gerado por chamadas: entrada (proposta) Y n e perdida Y n. O tráfego Y n inclui todas as tentativas bem-sucedidas e malsucedidas, o tráfego Y n, que faz parte de Y n, inclui tentativas bem-sucedidas e algumas tentativas malsucedidas:

Y pr = Y r + Y np,

onde Y p é o tráfego conversacional (útil) e Y np é o tráfego gerado por tentativas malsucedidas. A igualdade Y p = Y p só é possível no caso ideal se não houver perdas, erros na chamada dos assinantes e nenhuma resposta dos assinantes chamados.

A diferença entre as cargas recebidas e transmitidas durante um determinado período de tempo será a carga perdida.

Previsão de tráfego. Recursos limitados levam à necessidade de uma expansão gradual da estação e da rede. A administração da rede prevê um aumento do tráfego durante a fase de desenvolvimento, tendo em conta que:

A receita é determinada pela parte do tráfego transmitido Y p, - os custos são determinados pela qualidade do serviço com maior tráfego;

Uma grande proporção de perdas (baixa qualidade) ocorre em casos raros e é típica do final do período de desenvolvimento;

O maior volume de tráfego perdido ocorre durante períodos em que praticamente não há perdas - se as perdas forem inferiores a 10%, os assinantes não respondem a elas. Ao planejar o desenvolvimento das estações e da rede, o projetista deve responder à questão de quais são os requisitos para a qualidade da prestação do serviço (perdas). Para isso, é necessário mensurar as perdas de tráfego de acordo com as regras adotadas no país.

Exemplo de medição de tráfego.

Primeiro, vamos ver como você pode exibir o funcionamento de um QS que possui vários recursos que atendem simultaneamente algum tráfego. Falaremos mais sobre recursos como servidores que atendem ao fluxo de aplicativos ou requisitos. Uma das maneiras mais visuais e frequentemente usadas de representar o processo de atendimento de solicitações por um conjunto de servidores é um gráfico de Gantt. Este diagrama é um sistema de coordenadas retangular com o eixo x representando o tempo e o eixo y marcando pontos discretos correspondentes aos servidores do pool. A Figura 11 mostra um gráfico de Gantt para um sistema de três servidores.

Nos primeiros três intervalos de tempo (nós os contamos como um segundo), o primeiro e o terceiro servidores estão ocupados, nos próximos dois segundos - apenas o terceiro, depois o segundo funciona por um segundo, depois o segundo e o primeiro por dois segundos , e os últimos dois segundos - apenas o primeiro.

O diagrama construído permite calcular o volume de tráfego e sua intensidade. O diagrama reflete apenas o tráfego atendido ou perdido, pois não diz nada sobre se as solicitações que entraram no sistema não puderam ser atendidas pelos servidores.

O volume de tráfego passado é calculado como o comprimento total de todos os segmentos do gráfico de Gantt. Volume em 10 segundos:

Associamos a cada intervalo de tempo, plotado na abcissa, um número inteiro igual ao número de servidores ocupados neste intervalo unitário. Este valor A(t) é a intensidade instantânea. Para nosso exemplo

UMA(t)= (2, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1)

Vamos agora encontrar a intensidade média do tráfego durante um período de 10 segundos

Assim, a intensidade média do tráfego passado pelo sistema dos três servidores em consideração é de 1,5 Erl.

Parâmetros básicos de carga

As comunicações telefônicas são utilizadas por diversas categorias de assinantes, que se caracterizam por:

número de fontes de carga - N,

número médio de chamadas de uma fonte durante um determinado período (normalmente NNN) - c,

a duração média de uma sessão do sistema de comutação ao atender uma chamada é t.

A intensidade da carga será

Vamos identificar diferentes fontes de chamadas. Por exemplo,

Número médio de chamadas para CHN de um telefone comercial;

Número médio de chamadas de um telefone individual de apartamento; teletráfego de serviço de massa de eventos aleatórios

com contagem - a mesma do aparelho de uso coletivo;

com ma - o mesmo de uma máquina de moedas;

com sl - o mesmo de uma linha de conexão.

Então o número médio de chamadas de uma fonte:

Existem dados aproximados para o número médio de chamadas de uma fonte da categoria correspondente:

3,5 - 5, =0,5 - 1, com contagem = 1,5 - 2, com ma =15 - 30, com sl =10 - 30.

Existem os seguintes tipos de conexões que, dependendo do resultado da conexão, criam diferentes cargas telefônicas na estação:

k р - coeficiente que mostra a proporção de conexões que terminaram em conversa;

k з - conexões que não terminaram em conversa devido à ocupação do assinante chamado;

k mas - coeficiente que expressa a proporção de ligações que não terminaram em conversação por não resposta do assinante chamado;

k osh - conexões que não terminaram em conversa devido a erros do chamador;

k aqueles - chamadas que não terminaram em conversa por motivos técnicos.

Durante a operação normal da rede, os valores desses coeficientes são iguais a:

kp=0,60-0,75; k z =0,12-0,15; k mas =0,08-0,12; k osh =0,02-0,05; k aqueles =0,005-0,01.

A duração média de uma sessão depende dos tipos de conexões. Por exemplo, se a conexão terminou com uma conversa, a duração média do estado t de ocupação do dispositivo será igual a

onde está o tempo de estabelecimento da conexão;

comp. - uma conversa que ocorreu;

t in - a duração do envio da chamada para o telefone do assinante chamado;

t r - duração da conversa

onde t co é o sinal de resposta da estação;

1,5n - tempo para discar o número do assinante chamado (n - número de caracteres do número);

t s é o tempo necessário para estabelecer uma conexão trocando mecanismos e desconectar a conexão após o término da conversa. Valores aproximados das grandezas consideradas:

t co = 3 seg., t c = 1-2,5 seg., t b = 8-10 seg., t p = 90-130 seg.

Chamadas que não terminam em conversa também criam carga telefônica.

O tempo médio de ocupação dos dispositivos quando o assinante chamado está ocupado é

onde está a conexão de instalação determinado por (4.2.3)

t зз - tempo de audição da campainha de ocupado, t зз =6 seg.

A duração média da ocupação do dispositivo quando o assinante chamado não atende é

onde t pv - tempo de escuta do sinal de retorno, t pv = 20 seg.

Se não houve conversa devido a erros do assinante, em média t osh = 30 seg.

A duração das aulas que não terminaram em conversação por motivos técnicos não é determinada, pois o percentual dessas aulas é pequeno.

Do exposto segue-se que a carga total criada por um grupo de fontes por trás da CNN é igual à soma das cargas de tipos individuais de atividades.

onde é um coeficiente que leva em consideração os termos como ações

Numa rede telefónica com numeração de sete dígitos, foi concebida uma central telefónica automática, cuja composição estrutural dos assinantes é a seguinte:

N conta = 4.000, N ind = 1.000, N contagem = 2.000, N ma = 400, N sl = 400.

O número médio de chamadas recebidas de uma fonte no CHNN é igual a

Usando as fórmulas (4.2.3) e (4.2.6) encontramos a carga

1,10,62826767 segundos = 785,2 Hz.

Duração média da aula t da fórmula Y = Nct

t= Y/Nc= 2826767/7800*3,8=95,4 seg.

Carregar tarefa

1. Numa rede telefónica com numeração de sete dígitos, é concebida uma central telefónica automática, cuja composição estrutural dos assinantes é a seguinte:

N uchr =5000, Nind=1500, N contagem =3000, N ma =500, N sl =500.

Determine a carga que chega à estação - Y, a duração média da ocupação t, se for conhecido que

com ind =4, com ind =1, com contagem =2, com ma =10, com sl =12, t r =120 seg., t in =10 seg., k r =0,6, t s =1 seg., =1,1 .

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Seja necessário reproduzir uma variável aleatória contínua X, ou seja, obtenha uma sequência de seus valores possíveis (i=1, 2, ..., n), conhecendo a função de distribuição F(x).

Teorema. Se for um número aleatório, então o valor possível da variável aleatória contínua reproduzida X com uma determinada função de distribuição F (x), correspondente a , é a raiz da equação.

Regra 1. Para encontrar o valor possível, uma variável aleatória contínua X, conhecendo sua função de distribuição F (x), é necessário selecionar um número aleatório, igualar sua função de distribuição e resolver a equação resultante .

Nota 1. Se não for possível resolver esta equação explicitamente, recorra a métodos gráficos ou numéricos.

Exemplo 1. Jogue 3 valores possíveis de uma variável aleatória contínua X, distribuída uniformemente no intervalo (2, 10).

Solução: Vamos escrever a função de distribuição do valor X, distribuído uniformemente no intervalo (a, b): .

De acordo com a condição, a=2, b=10, portanto, .

Usando a regra 1, escreveremos uma equação para encontrar valores possíveis, para os quais igualamos a função de distribuição a um número aleatório:

Daqui .

Vamos escolher 3 números aleatórios, por exemplo, . . . Vamos substituir esses números na equação resolvida em relação a; Como resultado, obtemos os valores possíveis correspondentes de X: ; ; .

Exemplo 2. Uma variável aleatória contínua X é distribuída de acordo com a lei exponencial especificada pela função de distribuição (o parâmetro é conhecido) (x > 0). Precisamos encontrar uma fórmula explícita para representar os valores possíveis de X.

Solução: Usando a regra, escrevemos a equação.

Vamos resolver esta equação para: , ou .

O número aleatório está contido no intervalo (0, 1); portanto, o número também é aleatório e pertence ao intervalo (0,1). Em outras palavras, os valores de R e 1-R são distribuídos igualmente. Portanto, para encontrá-lo, você pode usar uma fórmula mais simples.

Nota 2. Sabe-se que .

Em particular, .

Segue-se que se a densidade de probabilidade for conhecida, então para jogar X, em vez de equações, pode-se resolver a equação.

Regra 2. Para encontrar o valor possível de uma variável aleatória contínua X, conhecendo sua densidade de probabilidade, é necessário escolher um número aleatório e resolver para ele a equação ou equação , onde a é o menor valor final possível de X.

Exemplo 3. É dada a densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua X no intervalo; fora deste intervalo. Precisamos encontrar uma fórmula explícita para representar os valores possíveis de X.

Solução: Vamos escrever a equação de acordo com a regra 2.

Depois de realizar a integração e resolver a equação quadrática resultante para , finalmente conseguiremos.

18.7 Jogo aproximado de uma variável aleatória normal

Lembremos primeiro que se uma variável aleatória R é distribuída uniformemente no intervalo (0, 1), então sua expectativa matemática e variância são respectivamente iguais: M(R)=1/2, D(R)=1/12.

Vamos compilar a soma de n variáveis ​​aleatórias independentes e uniformemente distribuídas no intervalo (0, 1): .

Para normalizar esta soma, primeiro encontramos a sua expectativa matemática e variância.

Sabe-se que a expectativa matemática da soma das variáveis ​​aleatórias é igual à soma das expectativas matemáticas dos termos. A soma contém n termos, a expectativa matemática de cada um dos quais, devido a M(R) = 1/2, é igual a 1/2; portanto, a expectativa matemática da soma

Sabe-se que a variância da soma das variáveis ​​aleatórias independentes é igual à soma das variâncias dos termos. A soma contém n termos independentes, a variância de cada um deles, devido a D(R) = 1/12, é igual a 1/12; portanto, a variância da soma

Daí o desvio padrão da soma

Normalizemos o valor em questão, para o qual subtraímos a expectativa matemática e dividimos o resultado pelo desvio padrão: .

Em virtude do teorema do limite central, a distribuição desta variável aleatória normalizada tende à normal com os parâmetros a = 0 e . Para n finito, a distribuição é aproximadamente normal. Em particular, para n=12 obtemos uma aproximação bastante boa e conveniente para cálculos.

As estimativas são satisfatórias: próximas de zero, pouco diferentes de um.

Lista de fontes usadas

1. Gmurman V.E. Teoria da Probabilidade e Estatística Matemática. – M.: Ensino Superior, 2001.

2. Kalinina V.N., Pankin V.F. Estatísticas matemáticas. – M.: Ensino Superior, 2001.

3. Gmurman V.E. Um guia para resolver problemas em teoria das probabilidades e estatística matemática. – M.: Ensino Superior, 2001.

4. Kochetkov E.S., Smerchinskaya S.O., Sokolov V.V. Teoria da Probabilidade e Estatística Matemática. – M.:FÓRUM:INFRA-M, 2003.

5. Agapov G.I. Livro de problemas sobre teoria das probabilidades. – M.: Ensino Superior, 1994.

6. Kolemaev V.A., Kalinina V.N. Teoria da Probabilidade e Estatística Matemática. – M.: INFRA-M, 2001.

7. Ventzel E.S. Teoria da probabilidade. – M.: Ensino Superior, 2001.

Denotemos um SV uniformemente distribuído no intervalo (0, 1) por R, e seus valores possíveis (números aleatórios) por r j .

Vamos dividir o intervalo)