Sobrejeção, injeção e bijeção
A regra que define o mapeamento f: X (ou a função /) pode ser representada convencionalmente por setas (Fig. 2.1). Se houver pelo menos um elemento no conjunto Y para o qual nenhuma das setas aponta, isso indica que o intervalo de valores da função f não preenche todo o conjunto Y, ou seja, f(X) C Y.
Se o intervalo de valores / coincidir com Y, ou seja, f(X) = Y, então tal função é chamada sobrejetiva) ou, em resumo, sobrejeção, e diz-se que a função / mapeia o conjunto X no conjunto Y (em contraste com o caso geral de mapear o conjunto X em o conjunto Y de acordo com a Definição 2.1). Portanto, / : X é uma sobrejeção se Vy 6 Y 3x € X: /(x) = y. Neste caso, na figura, pelo menos uma seta conduz a cada elemento do conjunto Y (Fig. 2.2). Neste caso, várias setas podem levar a alguns elementos de Y. Se não mais do que uma seta levar a qualquer elemento y € Y, então / é chamado de função injetiva ou injeção. Esta função não é necessariamente sobrejetiva, ou seja, as setas não levam a todos os elementos do conjunto Y (Fig. 2.3).
- Portanto, a função /: X -Y Y é uma injeção se quaisquer dois elementos diferentes de X tiverem como imagens ao mapear / dois elementos diferentes de Y, ou Vy £ f(X) C Y 3xeX: f(x) = y. Sobrejeção, injeção e bijeção. Mapeamento reverso. A composição dos mapeamentos é um produto de conjuntos. Exibir cronograma. O mapeamento /:X->Y é chamado bijetivo, ou bijeção, se cada elemento de y 6 Y é a imagem de algum e único elemento de X, ou seja, Vy € f(X) = Y E!x € X: f(x) = y.
Num caso particular, os conjuntos X e Y podem coincidir (X = Y). Então a função bijetiva mapeará o conjunto X sobre si mesma. A bijeção de um conjunto sobre si mesmo também é chamada de transformação. 2.3. Mapeamento inverso Let /: X -? Y é uma certa bijeção e seja y € Y. Denotemos por /_1(y) o único elemento x € X tal que /(r) = y. Assim definimos algum mapeamento 9: Y Xу que é novamente uma bijeção. É chamado de mapeamento inverso ou bijeção inversa para /. Freqüentemente, ela também é chamada simplesmente de função inversa e é denotada por /"*. Na Fig. 2.5, a função d é precisamente a inversa de /, ou seja, d = f"1.
Exemplos de soluções em problemas
Os mapeamentos (funções) / e são mutuamente inversos. É claro que se uma função não é uma bijeção, então a sua função inversa não existe. Na verdade, se / não é injetivo, então algum elemento y € Y pode corresponder a vários elementos x do conjunto X, o que contradiz a definição de função. Se / não é sobrejetivo, então existem elementos em Y para os quais não existem pré-imagens em X, ou seja, para estes elementos a função inversa não está definida. Exemplo 2.1. A. Seja X = Y = R - um conjunto de números reais. A função /, definida pela fórmula y = For - 2, i,y € R, é uma bijeção. A função inversa é x = (y + 2)/3. b. A função real f(x) = x2 de uma variável real x não é sobrejetiva, pois os números negativos de Y = R não são imagens de elementos de X = K como /: Γ -> Y. Exemplo 2.2. Seja A" = R e Y = R+ o conjunto dos números reais positivos. A função f(x) = ax, a > 0, af 1, é uma bijeção. A função inversa será Z"1 (Y) = 1°8a Y
- Sobrejeção, injeção e bijeção. Mapeamento reverso. A composição dos mapeamentos é um produto de conjuntos. Exibir cronograma. 2.4. Composição de mapeamentos Se f:X-*Y e g:Y-*Zy então o mapeamento (p:X -+Z, definido para cada a: 6 A" pela fórmula =, é chamado de composição (superposição) de mapeamentos (funções) / e d> ou uma função complexa, e é designada rho/ (Fig. 2.6).
- Assim, uma função complexa antes de f implementa a regra: i Aplique / primeiro e depois di, ou seja, na composição das operações “antes / você deve começar com a operação / localizada à direita. Observe que a composição Fig. 2.6 os mapeamentos são associativos, ou seja, se /: X -+Y, d: Y Z e h: Z-*H> então (hog)of = = ho(gof)i que é mais fácil de escrever na forma ho para /. Vamos verificar isso da seguinte forma: Em qualquer wK "oaicecmee X é definido um mapeamento 1x -X X, chamado idêntico, muitas vezes também denotado por idx e dado pela fórmula Ix(x) = x Vx € A". Sua -ação é que deixa tudo em seus lugares.
Cada ponto M pode ser associado a um par (i, y) de números reais onde x é a coordenada do ponto Mx no eixo de coordenadas Ox, e y é a coordenada do ponto Mu no eixo de coordenadas Oy. Os pontos Mx e Mu são as bases das perpendiculares largadas do ponto M nos eixos Ox e Oy, respectivamente. Os números x e y são chamados de coordenadas do ponto M (no sistema de coordenadas selecionado), e x é chamado de abcissa do ponto M, e y é a ordenada deste ponto. É óbvio que cada par (a, b) de números reais a, 6 6R corresponde a um ponto M do plano, que tem esses números como coordenadas. E inversamente, cada ponto M do plano corresponde a um par (a, 6) de números reais a e 6. No caso geral, os pares (a, b) e (6, a) definem pontos diferentes, ou seja, É importante qual dos dois números aeb vem primeiro na designação do par. Portanto, estamos falando de um par ordenado. Nesse sentido, os pares (a, 6) e (6, a) são considerados iguais entre si e definem o mesmo ponto no plano, desde que a = 6. Sobrejeção, injeção e bijeção. Mapeamento reverso.
A composição dos mapeamentos é um produto de conjuntos. Exibir cronograma. O conjunto de todos os pares de números reais, bem como o conjunto de pontos do plano, é denotado por R2. Esta designação está associada ao importante conceito na teoria dos conjuntos de produto direto (ou dek-artov) de conjuntos (muitas vezes eles simplesmente falam de produto de conjuntos). Definição 2.2. O produto dos conjuntos A e B é o conjunto Ax B de possíveis pares ordenados (x, y), onde o primeiro elemento é retirado de A e o segundo de B, de modo que a igualdade de dois pares (x, y) e (&", y") são determinadas condições x = x" e y = y7. Os pares (i, y) e (y, x) são considerados diferentes se xy. Isto é especialmente importante ter em mente quando os conjuntos A e B coincidem. Portanto, no caso geral A x B f B x A, ou seja, o produto de conjuntos arbitrários não é comutativo, mas é distributivo em relação à união, interseção e diferença de conjuntos: onde denota um dos três nomeados operações. O produto dos conjuntos difere significativamente das operações indicadas em dois conjuntos. O resultado da execução dessas operações é um conjunto cujos elementos (se não estiver vazio) pertencem a um ou ambos os conjuntos originais. Os elementos do produto de conjuntos pertencem ao novo conjunto e representam objetos de um tipo diferente em comparação aos elementos dos conjuntos originais. Semelhante à Definição 2.2
Podemos introduzir o conceito de produto de mais de dois conjuntos. Os conjuntos (A x B) x C e A*x (B x C) são identificados e denotados simplesmente A x B x C, portanto. Funciona Ah Au Ah Ah Ah Ah, etc. denotado, via de regra, por A2, A3, etc. Obviamente, o plano R2 pode ser considerado como o produto R x R de duas cópias do conjunto dos números reais (daí a designação do conjunto de pontos do plano como o produto de dois conjuntos de pontos na reta numérica). O conjunto de pontos no espaço geométrico (tridimensional) corresponde ao produto R x R x R de três cópias do conjunto de pontos na reta numérica, denotado R3.
- O produto de n conjuntos de números reais é denotado por Rn. Este conjunto representa todas as coleções possíveis (xj, X2, xn) de n números reais X2) xn £ R, e qualquer ponto x* de Rn é uma coleção (xj, x, x*) de números reais xn £ K*
- O produto de n conjuntos arbitrários é um conjunto de coleções ordenadas de n elementos (geralmente heterogêneos). Para tais conjuntos, os nomes tupla ou n-ka são usados (pronuncia-se “enka”). Exemplo 2.3. Seja A = (1, 2) e B = (1, 2). Então o conjunto A x B pode ser identificado com quatro pontos do plano R2, cujas coordenadas são indicadas na listagem dos elementos deste conjunto. Se C = (1,2) e D = (3,4), então Exemplo 2.4 Seja então a interpretação geométrica dos conjuntos E x F e F x E são apresentados na Figura 2.8.# Para o mapeamento /:X, podemos criar um conjunto de pares ordenados (r, y), que é um subconjunto do produto direto X x Y.
- Tal conjunto é denominado gráfico do mapeamento f (ou gráfico da função i*" - Exemplo 2.5. No caso de XCR e Y = K, cada par ordenado especifica as coordenadas de um ponto no plano R2. Se X é um intervalo da reta numérica R, então o gráfico da função pode representar alguma reta (Fig. 2.9) Exemplo 2.6 É claro que com XCR2 e Y = R o gráfico da função é um certo conjunto de pontos em R3 , que pode representar uma determinada superfície (Fig. 2.10).
Consideremos outro caso especial importante do conceito geral de correspondência - mapeamento de conjuntos. Se estiver em conformidade R entre conjuntos X E S imagem do elemento AX pode estar vazio ou conter vários elementos.
Relação entre elementos de conjuntos X E S chamado mostrar X VS , se cada elemento X de muitos X apenas um elemento do conjunto corresponde S. Este elemento é chamado imagem do elementoX com esta exibição: f(x). Em um gráfico desse mapeamento de cada ponto do conjunto X Sairá apenas uma seta (Fig. 29).
Considere o seguinte exemplo . Deixar X- muitos estudantes na plateia, e S- muitas cadeiras no mesmo auditório. Combine "estudante" X sentado em uma cadeira no» conjuntos mostrar X VS. Imagem do aluno Xé uma cadeira.
Deixar X = S = N- um conjunto de números naturais. Correspondência de "notação decimal de um número" X compreende no dígitos" determina a exibição N V N. Com esta exibição, o número 39 corresponde ao número 2 e o número 45981 corresponde ao número 5 (39 é um número de dois dígitos, 45981 é um número de cinco dígitos).
Deixar X- muitos quadriláteros, S- muitos círculos. "Quadrângulo" correspondente X inscrito em um círculo no» não é uma exibição X V S, uma vez que existem quadriláteros que não podem ser inscritos em um círculo. Mas neste caso dizem que o resultado é um mapeamento do conjunto X na multidão S.
Se exibir X V S tal que cada elemento sim de muitos
S corresponde a um ou mais elementos X de muitos X, então esse mapeamento é chamado exibição do conjunto X para muitosS.
Um monte de Xé chamado de domínio de definição do mapeamento f:XY, e muito S- a região de chegada deste mapeamento. Parte da área de chegada composta por todas as imagens sim de muitos Sim, chamado de conjunto de valores de mapeamento f.
Se y=f(x), então x é chamado protótipo do elemento y quando exibido f. O conjunto de todas as pré-imagens de um elemento no eles chamam isso de protótipo completo: f(s).
Os displays são dos seguintes tipos: injetivo, sobrejetivo e bijetivo.
Se o protótipo completo de cada elemento aa contém no máximo um elemento (pode estar vazio), então tais mapeamentos são chamados injetivo.
Exibições XY de tal modo que f(X)=S, são chamados de mapeamentos X para toda a multidão S ou sobrejetivo(de cada ponto do conjunto X sai uma seta, e depois de mudar de direção em cada ponto do conjunto X termina) (Fig. 31).
Se um mapeamento for injetivo e sobrejetivo, ele será chamado de um para um ou bijetivo.
Definir exibição Xé chamado de conjunto bijetivo, se cada elemento XX corresponde a um único elemento sim, e cada elemento aa corresponde a apenas um elemento XX(Fig. 32) .
Mapeamentos bijetivos geram conjuntos iguais : X~Y.
Exemplo . Deixar - X muitos casacos no guarda-roupa, S- muitos ganchos aí. Vamos combinar cada casaco com o gancho em que está pendurado. Esta correspondência é um mapeamento X emE.É injetivo se nenhum gancho tiver mais de um casaco pendurado ou se alguns ganchos estiverem livres. Este mapeamento é sobrejetivo se todos os ganchos estiverem ocupados ou se alguns tiverem vários casacos pendurados. Será bijetivo se houver apenas um casaco pendurado em cada gancho.
Um papel importante na matemática é desempenhado pelo estabelecimento de conexões entre dois conjuntos e associado à consideração de pares de objetos formados a partir de elementos do primeiro conjunto e dos elementos correspondentes do segundo conjunto. O mapeamento de conjuntos é de particular importância.
Sejam conjuntos arbitrários. Mostrar conjuntos X para definir S toda regra é chamada f, segundo o qual cada elemento do conjunto está associado a um elemento completamente específico (único) do conjunto.
O fato de que f existe um mapeamento, resumidamente escrito na forma: .
A designação também é usada. Na maioria das vezes, as exibições são indicadas por letras f, q, F.
Então, para definir a exibição do conjunto X em um conjunto, cada elemento deve estar associado a um e apenas um elemento.
Se o elemento X de X elemento correspondente de S, então eles ligam elementos de caminho , A X – protótipo do elemento quando exibido, que é escrito como .
Da definição de um mapeamento segue-se que cada elemento de X a imagem é única, mas para um elemento pode haver muitos protótipos ou pode não haver nenhum. O conjunto de todas as pré-imagens de um elemento é chamado de um protótipo completo e é denotado por . Por isso, .
A imagem de um subconjunto de A e a imagem inversa de um subconjunto de EM quando exibido:
Por exemplo, deixe e seja um mapeamento A V A, combinando cada elemento A de A restante da divisão A pelo número 4. Então temos:
Dependendo das propriedades, imagens e protótipos, distinguem-se os mapeamentos: sobrejetivos, injetivos e bijetivos.
O mapeamento é chamado sobrejetivo , se aqueles. cada elemento de exibe pelo menos um elemento de X, ou para qualquer .
O mapeamento é chamado injetivo , se diferentes elementos do conjunto X são mapeados para diferentes elementos do conjunto, ou seja, , ou está vazio ou é um singleton definido para any . Mapeamentos injetivos também são chamados investimentos .
O mapeamento é chamado bijetivo , ou um a um um mapeamento se é sobrejetivo e injetivo, ou seja, se houver um singleton definido para any . Neste caso, podemos definir mapeamentos colocando for any: . É chamado reverter k e é denotado como .
Vamos ilustrar os tipos de mapeamentos para maior clareza.
Sobrejetivo Injetivo Bijetivo
Figura 12
Definir exibição A chamado para dentro de si transformação do conjunto A. Transformação de conjunto bijetivo A chamado definir substituição A.
Um exemplo de substituição de um conjunto de inteiros é o mapeamento definido por igualdade.
Observe também que o mapeamento do conjunto A V EM também chamado função , definido no conjunto A com valores no conjunto EM. Neste caso, o elemento é chamado significado funções apontar A. A própria multidão A chamado região definições funções, e o conjunto é o intervalo de valores da função.
Uma função é frequentemente tratada como uma variável que recebe valores de EM e então dependendo da variável X, tirando valores de A, que para cada valor A tamanho variável X corresponde a um valor muito específico de . Ao mesmo tempo, escrevem e em vez de “função” dizem “função”.
Vamos considerar vários mapeamentos e definir seus tipos.
1) Deixe X– um conjunto de círculos em um plano. Associando cada círculo ao seu centro, obtemos o mapeamento X sobre . Este mapeamento não é injetivo, pois o mesmo ponto pode ser o centro de um número infinito de círculos. Mas é sobrejetivo, pois qualquer ponto é o centro de algum círculo. Portanto, a correspondência inversa é definida em todos os lugares, sobrejetiva, mas não funcional.
2) A correspondência é uma função numérica definida em todo o conjunto dos números reais. O conjunto de valores desta função é um conjunto de números não negativos. Desde então, a função não é sobrejetiva. Não é injetivo, pois. Portanto não possui função inversa.
3) O mapeamento é sobrejetivo e injetivo: para qualquer existe um e apenas um número tal que. Este número é .
4) O mapeamento (- o conjunto de números não negativos) de um conjunto em si mesmo é definido em todos os lugares, injetivo, mas não sobrejetivo. Na verdade, para a fração , está satisfeito.
Portanto, o conjunto de valores desta função é o intervalo. A função inversa é definida neste intervalo e assume valores não negativos.
5) O mapeamento definido pela regra é um mapeamento injetivo. Não é bijetivo porque. Porém, se definirmos o mapeamento da mesma forma, obteremos um mapeamento bijetivo. . ; da sobrejetividade segue apenas a sobrejetividade, e da injetividade segue apenas a injetividade.
3. Se e são transformações definidas A, então sua composição também é uma transformação do conjunto A.
Introdução à teoria dos conjuntos e combinatória
Trabalho prático nº 8. Mapeamentos. Tipos de monitores
Perguntas para o trabalho
- O que é um “mapeamento conjunto a conjunto”?
- O que é uma “imagem”, o que é um “protótipo” neste mapeamento?
- O que está cheio f - imagem, o que está completo f - protótipo, quando exibido eh?
- Cite os tipos de mapeamentos, dê suas definições e dê exemplos.
- Quais são os dois conjuntos considerados equivalentes? Dar exemplos.
- Qual conjunto é chamado contável? Dar exemplos.
Exemplos de soluções de tarefas
Exemplo 1. Seja A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} N e B =(0; 1) Z Vamos combinar cada número xA seu resto quando dividido por 2.
Isso corresponde a um mapeamento? Que tipo é esse display? Qual elemento é a imagem do elemento 6, 7? Vamos encontrar a imagem inversa completa do elemento 1.
Solução. Vamos representar a correspondência dada usando um gráfico:
Nós vemos que:
1) cada elemento do conjunto A , é o ponto de partida;
2) para cada ponto de origem existe apenas um ponto de chegada. (Isso significa que a correspondência indicada é um mapeamento do conjunto A para definir B);
3) Cada elemento do conjunto EM é o ponto de chegada. (Portanto, este é um mapeamento “para”).
Como há muitos EM existe um elemento (por exemplo, 0) para o qual o protótipo não é nenhum elemento de A , então esse mapeamento não é um para um.
A imagem do número 6 é o número 0 EM , a imagem do número 7 é o número 1 EM . Protótipo completo do número 1 EM existe um conjunto de números (1; 3; 5; 7; 9) A .
Exemplo 2. Seja X conjunto de triângulos planos, S = R. Vamos escolher uma unidade de medida para comprimentos e atribuir um número a cada triângulo - o perímetro desse triângulo. Essa partida será um mapeamento? Que tipo é o display fornecido? Qual é o protótipo completo do número em R?
Solução. Cada triângulo no plano tem um perímetro definido exclusivamente. Portanto, cada triângulo do conjunto X corresponde a um único número de R , ou seja, esta correspondência é um mapeamento X para R . Neste caso, dois triângulos diferentes podem ter o mesmo perímetro. Em outras palavras, o mapeamento não é um para um. Além disso, não existe triângulo cujo perímetro seja igual a um número negativo, ou seja, o mapeamento não é um mapeamento "para". Deixar em R. Então:
- no > 0, a imagem completa é o conjunto de todos os triângulos do plano cujo perímetro é igual ao número no , este conjunto é infinito.
- no ≤ 0, a imagem completa é um conjunto vazio.
Exemplo 3. X = (0; 1; 2; 3; 4) N, Y = Z. Mapeamento f do conjunto X para o conjunto Y dado da seguinte forma:
Vamos determinar o tipo desse mapeamento e construir seu gráfico.
Solução. Para cada x X vamos encontrar a imagem y Y. Escrevemos os resultados correspondentes na tabela:
|
y=f(x) |
–2 |
Vários valores de exibição f é um conjunto
A = (–2; 1; 4; 7; 10) Y e B ≠ Y . Cada elemento y B em X existe apenas um protótipo. Temos, portanto, um mapeamento um-para-um do conjunto X para definir Y.
Pares de valores (x; y ) da tabela forma um gráfico deste mapeamento f:X→Y . Em um sistema de coordenadas retangulares, este gráfico se parece com:
Exemplo 4. Dados dois conjuntos de palavras: X = (vermelho; azul; verde; amarelo) e S = (gravata; leve; lenço; lençol). Esses conjuntos são equivalentes?
Solução. Esses conjuntos são equivalentes, pois para eles é possível estabelecer um mapeamento um-para-um “para”.
Por exemplo:
Exemplo 5. Conjuntos dados: UMA = ( x | x = 2 n , n N ) e
B = ( x | x = , n N ). Esses conjuntos são equivalentes?
Solução. Esses conjuntos são equivalentes, pois é possível selecionar um mapeamento um-para-um do conjunto A para definir B.
Por exemplo: f:AB
x = 2 n y = .
Exercícios
1. Entre o conjunto de nomes X = (Andrey; Boris; Mikhail; Alexey; Konstantin; Vasily; Valentina; Clara; Semyon; Maria; Sophia; Oleg; Trofim4 Yuri; Yakov) e um conjunto S (letras do alfabeto russo) foi estabelecida uma correspondência em que cada nome está associado à sua primeira letra. Esta partida será exibida X para Y ? Se sim, que tipo? Encontre a imagem do conjunto X . Encontre protótipos completos de cartas A, B, K, L. Construa um gráfico da correspondência indicada.
2. Cada ponto M do segmento AB vamos combinar sua projeção M para esta linha eu . Essa partida será um mapeamento? Qual deles? Descreva o domínio de definição, a faixa de valores deste mapeamento.
3. Defina X consiste em todos os quadrados do plano, e o conjunto S de todos os círculos no mesmo plano. Vamos associar cada quadrado a um círculo nele inscrito. Este mapeamento é mapeamento X para Y?
4. É possível configurar o display da seguinte forma: definir E dos segmentos, em Y – de triângulos; cada segmento está associado a um triângulo para o qual esse segmento é a linha média?
5. É verdade que a conformidade f: Z Z
Xy = –5 x + 2
existe um mapeamento "para"?
6. Seja X – conjunto de números reais. Cada número x X Vamos combinar seu quadrado. Essa correspondência pode ser chamada de mapeamento reversível?
7. Mostre que os seguintes conjuntos são contáveis:
a) o conjunto dos números naturais ímpares;
b) o conjunto dos inteiros não negativos;
c) o conjunto dos quadrados dos números naturais;
d) o conjunto dos números naturais múltiplos de 5;
e) o conjunto dos cubos dos números naturais.
8. Dois conjuntos são fornecidos: A = (Paris; Moscou; Varsóvia; Cracóvia; Londres; Saransk; Vladimir; Marselha) e B = (França; Rússia; Inglaterra; Polónia; Suécia; Áustria). Estabeleçamos a correspondência entre eles: “cidade xA localizado no país" Vamos construir gráficos dessa correspondência. Essa partida será um mapeamento? Que tipo?
9. Os conjuntos A são equivalentes às imagens de assentamentos no mapa e no conjunto B áreas povoadas da área mostrada no mapa?
Tarefa individual
- Selecione uma exibição das correspondências especificadas. Indique seu tipo, construa um gráfico.
2. Desenhe gráficos das seguintes relações em um sistema de coordenadas cartesianas retangulares Z . Para cada relação, descubra se é um mapeamento Z para Z, mapeando Z para Z , mapeamento um para um, sobreposição:
1) x + y = 3; 7) em< х + 2;
2) x – y ≤ 5; 8) y ≤ x + 2;
3) x + y = 4, x > 0; 9) y = 4;
4) x = y, – 4 ≤ x ≤ 6; 10) xy = 24, –6 ≤ x ≤ 6.
5) = y, – 4 ≤ x ≤ 6;
6) x > y;
Tarefas de autocontrole
Junte os seguintes pares de conjuntos com um sinal “=” se forem iguais e um sinal “~” se forem equivalentes:
1) UMA - o conjunto dos lados de um triângulo,
EM - conjunto de ângulos de um triângulo;
2) UMA - muitas letras na palavra “orelha”,
B = (o; k; s; l);
3) UMA – muitos anéis em um toco de árvore,
EM – muitos anos vividos junto à árvore;
4) muitos continentes na Terra e muitos estados
Mostrar - um dos conceitos básicos da matemática. Um mapeamento é qualquer regra ou lei de correspondência entre conjuntos. Sejam e conjuntos arbitrários não vazios. Eles dizem que um mapeamento de um conjunto para um conjunto é dado (notação: ou) se a cada elemento do conjunto (é atribuída uma correspondência a um único elemento definido exclusivamente do conjunto (.
O elemento é chamado caminho elemento quando exibido, e o elemento é chamado protótipo elemento nesta exibição. A imagem de um conjunto de elementos quando exibida é o conjunto de todos os elementos do tipo que pertencem ao intervalo de valores. O conjunto de todos os elementos (), cujas imagens constituem o intervalo de valores é denominado protótipo conjunto de elementos (). O conjunto é chamado domínio de definição mostrar.
O mapeamento é chamado sobrejetivo eu , quando cada elemento do conjunto (tem pelo menos uma imagem inversa do conjunto (, ou seja, ou.
O mapeamento é chamado injetivo, quando cada elemento do conjunto (é a imagem de apenas um elemento do conjunto (, ou seja, as imagens de quaisquer dois elementos diferentes do conjunto são diferentes, ou seja, segue.
O mapeamento é chamado bijetivo ou um a um, quando é injetivo e sobrejetivo, ou seja, Cada elemento do conjunto é a imagem de um e apenas um elemento do conjunto.
Igualdade dois mapeamentos e significa, por definição, que suas áreas correspondentes coincidem (e), e.
Trabalhar dois mapeamentos e pode ser definido como um mapeamento que associa cada elemento do conjunto a um elemento do conjunto.
Um mapeamento de um conjunto para um conjunto também é chamado de função em um conjunto com valores no conjunto. Se os conjuntos coincidem, então o mapeamento bijetivo do conjunto sobre si mesmo é chamado transformação multidões. A transformação de conjunto mais simples é idêntico- é definido da seguinte forma: . Um mapeamento de identidade que leva cada elemento para si também é chamado solteiro transformação. Se as transformações e forem fornecidas, então a transformação resultante da execução sequencial primeiro da transformação e depois da transformação é chamada trabalhar transformações E: .
Para transformações do mesmo conjunto, aplicam-se as seguintes leis:
A lei comutativa para realizar transformações não é satisfeita no caso geral, ou seja, .
Se entre dois conjuntos podemos definir bijetivo mapeamento (para estabelecer uma correspondência um-para-um entre seus elementos), então tais conjuntos são chamados equivalente ou igualmente poderoso. Conjuntos finitos só são equivalentes se o número de seus elementos for o mesmo.
Conjuntos infinitos também podem ser comparados entre si.
Dois conjuntos têm a mesma cardinalidade ou são chamados de equivalentes (notação) se uma correspondência biunívoca puder ser estabelecida entre seus elementos, ou seja, se for possível especificar alguma regra segundo a qual cada elemento de um dos conjuntos esteja associado a um e apenas um elemento do outro conjunto.
Se tal mapeamento for impossível, então os conjuntos terão cardinalidades diferentes; acontece que neste último caso, por mais que tentemos trazer os elementos de ambos os conjuntos em correspondência, sempre sobrarão elementos extras e, além disso, sempre do mesmo conjunto, para o qual um valor maior do número cardinal é atribuído ou dizem que este conjunto tem mais poder. Um conjunto infinito e algum subconjunto dele podem ser equivalentes. Um conjunto equivalente ao conjunto dos números naturais é chamado de conjunto contável. Para que um conjunto seja contável é necessário e suficiente que cada elemento do conjunto esteja associado ao seu número ordinal. De qualquer conjunto infinito é possível selecionar um subconjunto contável. Cada subconjunto de um conjunto contável é contável ou finito. Um conjunto contável é o conjunto infinito organizado de forma mais primitiva. O produto cartesiano de dois conjuntos contáveis é contável. A união de um número finito ou infinito de conjuntos finitos ou contáveis é um conjunto finito ou contável.
