Como para qualquer conjunto de valores variáveis ​​​​do domínio de definição do predicado ele se transforma em uma afirmação, as mesmas operações lógicas são definidas no conjunto de predicados como para as declarações. Ao mesmo tempo, o conteúdo dos predicados é abstraído. Os predicados são considerados apenas em termos de seu significado. Em outras palavras, os predicados equivalentes não diferem.

Definição 1: Por negação - predicado local
, definido no conjunto
, chamado de novo - predicado local definido no mesmo conjunto. Indicado por:
. Diz: “não é verdade que
" Predicado
avalia como verdadeiro apenas para aqueles argumentos para os quais o valor do predicado
existe uma “mentira” e vice-versa. Em outras palavras, o predicado
satisfeito por aqueles e somente aqueles argumentos que não satisfazem o predicado dado
.

Predicado duplo
avalia como verdadeiro para esses e somente esses valores de variáveis
do domínio de definição do predicado, para o qual o predicado
assume o valor “falso”, ou seja.

Definição 2: Por conjunção - predicado local
, definido no conjunto
, E
- predicado local
, definido no conjunto
, chamado de novo
- predicado local definido em um conjunto
, denotado por Lê-se: "
E
" Este predicado é avaliado como verdadeiro apenas para os valores dos argumentos para os quais os predicados
E
simultaneamente assume o valor “true”.

Se, por exemplo,
- um predicado de duas casas definido em um conjunto
, A
- um predicado unário definido em um conjunto , então a conjunção desses predicados
existe um predicado de três casas definido no conjunto
. Este novo predicado é avaliado como verdadeiro para esses triplos de elementos
,
,
,
, para qual
E
.

Disjunção, implicação e equivalência de predicados são definidas de forma semelhante. Os valores dos predicados para determinados valores de variáveis ​​​​livres são determinados de acordo com operações lógicas específicas. Operações
também pode ser aplicado a predicados que possuem variáveis ​​comuns. Neste caso, o número de variáveis ​​do predicado composto resultante será igual ao número de variáveis ​​diferentes em seus membros. Em particular, se as operações
aplicar a dois - predicados locais dependendo das mesmas variáveis, então, como resultado da aplicação de operações lógicas, obtemos - um predicado local dependendo das mesmas variáveis.

Deixar
E
- dois - predicados locais dependendo das mesmas variáveis. Então:

a) o conjunto verdade de uma conjunção é igual à intersecção dos conjuntos verdade de seus membros;

b) o conjunto verdade de uma disjunção é igual à união dos conjuntos verdade de seus membros.

Não é difícil mostrar que a conjunção de dois predicados é identicamente verdadeira se e somente se ambos os predicados dados forem identicamente verdadeiros. Uma disjunção de dois predicados é satisfatória se e somente se pelo menos um deles for satisfatório. Uma disjunção de dois predicados é identicamente falsa se e somente se ambos os predicados dados forem identicamente falsos. Implicação de dois - predicados locais que dependem dos mesmos argumentos, é identicamente verdadeiro se e somente se a sua conclusão for uma consequência das premissas. Equivalência de dois - os predicados locais que dependem das mesmas variáveis ​​são identicamente verdadeiros se e somente se ambos os predicados forem equivalentes.

Qualquer equação (desigualdade) contendo variáveis ​​é um predicado definido no mesmo conjunto em que a equação (desigualdade) é dada. O conjunto de soluções de uma equação (desigualdade) nada mais é do que o conjunto verdade do predicado. Isso significa que ao substituir as raízes de uma equação (ou soluções de uma inequação) em vez das incógnitas, serão obtidas afirmações verdadeiras. Se, em vez de variáveis, números que não são soluções forem substituídos na equação (desigualdade), serão obtidas afirmações falsas. Qualquer sistema de equações (desigualdades) pode ser considerado como uma conjunção de predicados. Resolver um sistema significa encontrar o domínio de verdade da conjunção de predicados. Um conjunto de equações (desigualdades) nada mais é do que uma disjunção de predicados. A equivalência de equações (desigualdades) significa a equivalência dos predicados correspondentes.

Se
, então eles dizem que o argumento
satisfaz esse predicado. Por exemplo, o número 3 satisfaz o predicado
, e o número 1 não o satisfaz.

Na lógica matemática, além das operações lógicas sobre predicados, existem operações quantificação , o que torna a lógica de predicados muito mais rica em conteúdo em comparação com a lógica proposicional. Neste caso, como no caso das operações mais simples, os predicados são considerados apenas do ponto de vista dos seus significados, ou seja, predicados equivalentes não diferem. As principais operações quantificadoras são: o quantificador geral e o quantificador de existência, que são duais entre si.

Definição 3: Deixar
- um predicado unário definido em um conjunto não vazio

em uma declaração:
(lê-se: “para qualquer um realizado
"), chamado quantificador geral (ou uma declaração universal). Declaração
verdadeiro se e somente se o predicado fornecido
identicamente verdadeiro (ou seja, o domínio de verdade do predicado
coincide com o conjunto
).

Símbolo é chamado de quantificador geral em relação a uma variável , diz: “para todos " ou "para todos " Eles dizem que o ditado
é o resultado da aplicação de um quantificador geral a um predicado
. Símbolo vem da palavra inglesa “All” (traduzida: “all”).

Por exemplo, para os predicados "
" E "
", definidos no conjunto dos números reais, os enunciados universais correspondentes terão a forma:
– “todo número real é igual a si mesmo” (verdadeiro) e
– “todo número real é maior que 2” (falso).

Teorema 1: Se
- um predicado de um lugar definido em um conjunto finito que consiste em
elementos ,,…,, então a afirmação universal correspondente é equivalente à conjunção
provérbios:

Prova. Na verdade, de acordo com a definição do quantificador geral, a afirmação

identicamente verdadeiro, ou seja, quando tudo é verdade
declarações obtidas de um determinado predicado substituindo a variável argumentos ,,…,respectivamente. A última observação é possível se e somente se a conjunção destes
declarações. Aqueles. os termos da equivalência são verdadeiros ou falsos e, portanto, a equivalência é provada.

O teorema mostra que para predicados definidos em um conjunto finito, a operação de aplicação de um quantificador geral pode ser expressa por meio de uma conjunção. Para predicados definidos em um conjunto infinito, isso não pode ser feito; neste caso, a operação de aplicação do quantificador geral é completamente nova.

Definição 4: Deixar
- um predicado unário definido em um conjunto
. Operação que transforma um predicado
em uma declaração
(lê-se: “há , satisfazendo o predicado
"), chamado quantificador de existência (ou uma declaração existencial). Declaração
será verdadeiro se e somente se o predicado
executável. Esta afirmação será falsa se o predicado
identicamente falso.

Símbolo é chamado de quantificador existencial em relação a uma variável . Pode-se ler: “há de tal modo que
", ou "haverá tal , O que
" Símbolo vem da palavra inglesa "Exist" (existe).

Teorema 2: Se
– um predicado de um lugar definido em um conjunto finito de
elementos ,,…,, então a declaração existencial correspondente é equivalente à disjunção
provérbios:

Prova: Definição: declaração
será falso se e somente se todos forem falsos
declarações que são obtidas de um determinado predicado substituindo uma variável argumentos ,,…,respectivamente. A última observação é possível se e somente se a disjunção destes
declarações. Aqueles. os termos de uma equivalência são verdadeiros e falsos, portanto a equivalência é verdadeira.

Este teorema afirma que para predicados definidos em conjuntos finitos, a operação de aplicação de um quantificador existencial pode ser expressa em termos de disjunção. Para predicados definidos em conjuntos infinitos, isso não pode ser feito. A operação de aplicação do quantificador existencial é então completamente nova.

Deve ser lembrado que para qualquer predicado
, definido no conjunto
expressões
E
Estas são declarações, não predicados. Presença de variável aqui é puramente externo, relacionado ao método de notação. Portanto a variável , incluído nas expressões
E
, chamado variável associada, em contraste com a variável incluída no predicado
, onde a variável é chamada livre. Se aplicarmos a operação de quantificadores “suspensos” a um predicado de duas casas
por alguma variável, então, como resultado, o predicado de duas casas se transformará em um predicado de uma casa com uma variável livre. Raciocínio semelhante pode ser realizado para a segunda variável. A variável na qual o quantificador foi aplicado é chamada ligação variável. Se aplicarmos a operação quantificadora a - um predicado local em relação a alguma variável, então ele se transformará em
- predicado local.

Se em qualquer predicado todas as variáveis ​​​​estão relacionadas, então esse predicado é uma afirmação. Por exemplo, considere o predicado
, definido em algum conjunto de números. Vamos fazer uma declaração
. Esta é uma afirmação falsa que afirma que existe tal número , que é maior que qualquer número (- número singular para todos ). Trocando os quantificadores, obtemos uma nova afirmação:
. Esta afirmação afirma que para qualquer número você pode escolher um número como este , que a desigualdade é válida
(para cada há um número ). Esta afirmação é verdadeira. Pode-se observar que quando os quantificadores são reorganizados, o significado da afirmação muda. Por isso, reorganizar quantificadores diferentes é uma operação inaceitável. Quantificadores com o mesmo nome podem ser trocados. Além disso, quantificadores com o mesmo nome podem ser combinados em um, por exemplo: . Também é inaceitável utilizar vários quantificadores para a mesma variável, por exemplo:
.

Definição 5: Por uma declaração universal , correspondente - predicado local
, definido no conjunto

aplicação consistente quantificadores de generalidade sobre variáveis
em qualquer ordem.

Esta declaração é designada e lida brevemente da seguinte forma: “para todos
realizado
».

Definição 6: Por uma declaração existencial, relevante - predicado local
, definido no conjunto
, é uma declaração obtida de
aplicação consistente quantificadores de existência sobre variáveis
em qualquer ordem.

A declaração existencial resultante é denotada e lida da seguinte forma: “existe tal conjunto
, que é realizado
».

Por exemplo, para o predicado de duas casas "
» as declarações correspondentes têm a forma:
– “para quaisquer dois números reais: o primeiro é maior que o segundo” (falso), e
– “existem dois números reais, dos quais o primeiro é maior que o segundo” (verdadeiro).

Teorema 3: (Condição para a verdade idêntica de um predicado quantificado).

-predicado local derivado de - predicado local
, definido no conjunto
, aplicando um quantificador geral em relação a qualquer variável, é identicamente verdadeiro se e somente se o predicado fornecido
– identicamente verdadeiro.

Prova: Na verdade, que seja dado
- predicado local
, definido no conjunto
. Por definição, este predicado será identicamente verdadeiro se e somente se seu valor para valores arbitrários dos argumentos for “verdadeiro”. Isso significa que a afirmação universal é verdadeira

, definido no conjunto
. A última observação é possível se e somente se o predicado
– identicamente verdadeiro, mas porque argumentos
foram escolhidos arbitrariamente, então isso é equivalente à verdade idêntica do dado - predicado local
. O teorema foi provado.

Teorema 4: (Condição para a falsidade idêntica de um predicado quantificado).

-predicado local derivado de - predicado local
, definido no conjunto
, ao aplicar um quantificador existencial em relação a alguma variável, é identicamente falso se e somente se o predicado fornecido for identicamente falso.

Prova: Deixe-nos ter
- predicado local
, definido no conjunto
. Será identicamente falso se e somente se o seu valor para argumentos tomados arbitrariamente
existe uma "mentira". Isso significa que a afirmação existencial é falsa
, correspondente ao predicado unário
, definido no conjunto
. Este último é possível se e somente se o predicado
é identicamente falso, e uma vez que argumentos
foram escolhidos aleatoriamente, então este - predicado local
é identicamente falso. Q.E.D.

Até agora contrastamos predicados com proposições. No entanto, é mais conveniente contar declarações 0 - predicados locais. Então, quaisquer duas afirmações verdadeiras e quaisquer duas afirmações falsas devem ser consideradas equivalentes entre si.

O conceito de predicado

Definição 1

Predicado- uma instrução que contém variáveis ​​que assumem o valor $1$ ou $0$ (verdadeiro ou falso) dependendo dos valores das variáveis.

Exemplo 1

Por exemplo, a expressão $x=x^5$ é um predicado porque é verdadeiro para $x=0$ ou $x=1$ e falso para todos os outros valores de $x$.

Definição 2

Um conjunto no qual um predicado aceita apenas valores verdadeiros é chamado conjunto verdade do predicado$I_p$.

O predicado é chamado identicamente verdadeiro, se em qualquer conjunto de argumentos for avaliado como verdadeiro:

$P (x_1, \pontos, x_n)=1$

O predicado é chamado identicamente falso, se em qualquer conjunto de argumentos for avaliado como falso:

$P (x_1, \pontos, x_0)=0$

O predicado é chamado viável, se for avaliado como verdadeiro em pelo menos um conjunto de argumentos.

Porque predicados podem assumir apenas dois valores (verdadeiro/falso ou $0/1$), então todas as operações de álgebra lógica podem ser aplicadas a eles: negação, conjunção, disjunção, etc.

Exemplos de predicados

Deixe o predicado $R(x, y)$: $“x = y”$ denotar a relação de igualdade, onde $x$ e $y$ pertencem ao conjunto dos inteiros. Neste caso, o predicado R será verdadeiro para todos iguais $x$ e $y$.

Outro exemplo de predicado é TRABALHOS($x, y, z$) para a relação “$x$ trabalha na cidade y para a empresa $z$”.

Outro exemplo de predicado é LIKE($x, y$) para "x gosta de y" para $x$ e $y$, que pertencem a $M$ - o conjunto de todas as pessoas.

Assim, predicado é tudo o que é afirmado ou negado sobre o sujeito do julgamento.

Operações em predicados

Consideremos a aplicação de operações de álgebra lógica a predicados.

Operações lógicas:

Definição 3

Conjunção de dois predicados $A(x)$ e $B(x)$ são um predicado que assume um valor verdadeiro para aqueles e somente aqueles valores de $x$ de $T$ para os quais cada um dos predicados assume um valor verdadeiro e um valor falso em todos os momentos. em todos os outros casos. O conjunto verdade $T$ de um predicado é a interseção dos conjuntos verdade dos predicados $A(x)$ e $B(x)$. Por exemplo: predicado $A(x)$: “$x$ é um número par”, predicado $B(x)$: “$x$ é divisível por $5$.” Assim, o predicado seria "$x$ é um número par e é divisível por $5$" ou "$x$ é divisível por $10$".

Definição 4

Disjunção de dois predicados $A(x)$ e $B(x)$ são um predicado avaliado como falso para aqueles e somente aqueles valores de $x$ de $T$ para os quais cada um dos predicados é avaliado como falso e avaliado como verdadeiro em todos os outros casos. O conjunto verdade de um predicado é a união dos domínios de verdade dos predicados $A(x)$ e $B(x)$.

Definição 5

Negação de um predicado $A(x)$ é um predicado avaliado como verdadeiro para todos os valores de $x$ em $T$ para os quais $A(x)$ é avaliado como falso e vice-versa. O conjunto verdade do predicado $A(x)$ é o complemento de $T"$ do conjunto $T$ no conjunto $x$.

Definição 6

Implicação de predicado $A(x)$ e $B(x)$ é um predicado falso para aqueles e somente aqueles valores de $x$ de $T$ para os quais $A(x)$ é verdadeiro e $B( x )$ é falso e é avaliado como verdadeiro em todos os outros casos. Diz: “Se $A(x)$, então $B(x)$.”

Exemplo 2

Seja $A(x)$: “O número natural $x$ é divisível por $3$”;

$B(x)$: "O número natural $x$ é divisível por $4$."

Vamos criar um predicado: “Se um número natural $x$ é divisível por $3$, então também é divisível por $4$.”

O conjunto verdade de um predicado é a união do conjunto verdade do predicado $B(x)$ e o complemento do conjunto verdade do predicado $A(x)$.

Além das operações lógicas, as operações quânticas podem ser realizadas sobre predicados: o uso do quantificador universal, o quantificador de existência, etc.

Quantificadores

Definição 7

Quantificadores-- operadores lógicos, cuja aplicação a predicados os transforma em afirmações falsas ou verdadeiras.

Definição 8

Quantificador-- operações lógicas que limitam o domínio de verdade de um predicado e criam uma afirmação.

Os quantificadores mais comumente usados ​​são:

quantificador universal (denotado pelo símbolo $\forall x$) - a expressão “para todo $x$” (“para qualquer $x$”);

quantificador de existência (denotado pelo símbolo $\exists x$) - a expressão “existe $x$ tal que...”;

quantificador de unicidade e existência (denotado por $\exists !x$) - a expressão “há exatamente um $x$ tal que...”.

Na lógica matemática existe um conceito amarrando ou quantificação, que denotam a atribuição de um quantificador a uma fórmula.

Exemplos de uso de quantificadores

Seja o predicado “$x$ é um múltiplo de $7$”.

Usando o quantificador universal, podemos escrever as seguintes afirmações falsas:

qualquer número natural é divisível por $7$;

todo número natural é divisível por $7$;

todos os números naturais são divisíveis por $7$;

que será parecido com:

Imagem 1.

Para escrever afirmações verdadeiras, usamos quantificador de existência:

existem números naturais que são divisíveis por $7$;

existe um número natural que é divisível por $7$;

pelo menos um número natural é divisível por $7$.

A entrada será semelhante a:

Figura 2.

Seja o predicado dado no conjunto $x$ de números primos: “Um número primo é ímpar.” Colocando a palavra “qualquer” na frente do predicado, obtemos uma afirmação falsa: “Qualquer número primo é ímpar” (por exemplo, $2$ é um número primo par).

Colocamos a palavra “existe” na frente do predicado e obtemos uma afirmação verdadeira: “Existe um número primo que é ímpar” (por exemplo, $x=3$).

Assim, um predicado pode ser transformado em uma afirmação colocando um quantificador na frente do predicado.

Operações em quantificadores

Para construir a negação de afirmações que contêm quantificadores, usamos regra de negação de quantificadores:

Figura 3.

Consideremos as sentenças e selecionemos predicados entre elas, indicando o domínio de verdade de cada uma delas.

1 . Operação de negação.

Negação predicado P(x), dado no set X,é um predicado definido no mesmo conjunto e verdadeiro para esses e somente esses valores XX, sob o qual o predicado P(x) assume o significado de uma mentira.

2 . Operação de conjunção.

Conjunção predicados P(x) E Q(x), definido no conjunto X, é chamado de predicado P(x)Q(x), dado no mesmo conjunto e transformando-se em uma afirmação verdadeira para aqueles e somente aqueles valores XX, em que ambos os predicados assumem valores de verdade.

Se designarmos TR P(x), TP- conjunto verdade do predicado Q(x), e o conjunto verdade de sua conjunção TPÙQ, então, aparentemente, TPÙQ = PT Ç T.Q.

Vamos provar essa igualdade.

1. Deixe A X e sabe-se que AÎTPÙQ. Pela definição de conjunto verdade, isso significa que o predicado P(x)Q(x) se transforma em uma afirmação verdadeira quando x = uma, ou seja declaração R(a)Q(uma) é verdade. Como esta afirmação é uma conjunção, então pela definição de uma conjunção obtemos que cada uma das afirmações R(a) E Pergunta(a) também verdade. Significa que ATR E AQT. Assim, mostramos que TPÙQ Ì TRÇ QT.

2. Vamos provar a afirmação inversa. Deixar A- um elemento arbitrário do conjunto X e sabe-se que AÎ TP Ç QT. Pela definição de intersecção de conjuntos, isso significa que ATR E AQT, de onde tiramos isso R(a) E Pergunta(a)- afirmações verdadeiras, portanto a conjunção de afirmações R(a)Q(uma) também será verdade. Isto significa que o elemento A pertence ao conjunto verdade do predicado P(x)Q(x), ou seja AÎTPÙQ .

De 1 e 2, em virtude da definição de conjuntos iguais, segue-se que a igualdade TPÙQ =TRÇ QT, que era o que precisava ser comprovado.

Isso pode ser representado visualmente da seguinte maneira.

3. Operação de disjunção.

Disjunção predicados P(x) E Q(x) é chamado de predicado P(x)Q(x X e se transformando em uma afirmação verdadeira para esses e somente esses valores XX, para o qual pelo menos um dos predicados assume o valor de verdade P(x) ou Q(x).

Da mesma forma, está provado que TPÚQ = PT È T.Q.

4 .Operação de implicação.

Por implicação predicados P(x) E Q(x), definido no conjunto X, é chamado de predicado P(x)Q(x), definido no mesmo conjunto X e se transformando em uma afirmação falsa para esses e somente esses valores XX, em que P(x) assume o valor de verdade, e Q(x)- o significado das mentiras.

5 .Operação de equivalência.

Equivalência predicados P(x) E Q(x), definido no conjunto X, é chamado de predicado P(x)Q(x), definido no mesmo conjunto X e aceitar o valor da verdade para aqueles e somente esses valores XX, para os quais os valores de cada um dos predicados são verdadeiros ou falsos. O conjunto de verdade neste caso é assim:

TPÛQ = .

Exemplo. No set M = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20} predicados são dados: Oh)- "número X não divisível por 5 », B(x) - « X- o número é par", C(x) - « X- o número é primo", D(x)- "número X múltiplo 3 " Encontre o conjunto verdade dos seguintes predicados:

a) Oh)B(x); b) Machado); c) C(x)A(x); e) B(x)D(x) e represente-os usando diagramas de Euler-Venn.

Solução: a) Encontre o conjunto verdade dos predicados.

UMA(x): T = (1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19);

B(x): T = (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20).

Conjunto verdade de uma conjunção Oh)B(x) existem verdades T E T .

Informalmente, um predicado pode ser definido como uma determinada afirmação, cujo significado depende dos valores das variáveis ​​​​objetivas do conjunto M, no qual o predicado é definido.

a) P(x): “xé um número primo”;

(Aqui e ao longo do texto a seguir, para especificar um predicado, usaremos uma forma abreviada de notação, que é descrita em detalhes a seguir: “ xé um número primo.")

b) D(x,y) : “xé completamente divisível por sim”;

c) R(x,y): “x > sim”.

Quaisquer conjuntos numéricos podem ser considerados como um conjunto sujeito para estes exemplos, em particular, nos exemplos a), b) – M= Í , e em c) – M= Ñ .

Mais estritamente predicado pode ser definido como um mapeamento n o poder do conjunto M, chamado de localidade ou aridade de um predicado em um conjunto de dois elementos B = {1, 0}

Ao substituir em um predicado em vez de variáveis ​​​​de assunto do conjunto de valores obtemos uma afirmação lógica (então, a). Assim, um predicado é uma afirmação variável (ou um sistema de declarações), cuja verdade é determinada pela substituição de vários valores das variáveis ​​​​objetivas.

Como os predicados recebem valores do conjunto B , então as operações lógicas ~ são definidas para eles. Além disso, as operações de afirmação de universalidade e de afirmação de existência são introduzidas para predicados.

A operação de afirmação da universalidade põe em correspondência a forma expressiva P(x) declaração (leia-se como, P(x) verdade para todos x de muitos M, no qual o predicado é definido). Uma afirmação é verdadeira se e somente se a afirmação P(a) verdadeiro para qualquer elemento.

A operação afirmação de existência coloca em correspondência a forma expressiva P(x) declaração (leia-se como, existe tal x de muitos M, para o qual a declaração P(x) verdadeiro). Uma afirmação é verdadeira se e somente se a afirmação P(a) verdadeiro para pelo menos um elemento.

Os sinais " e $ são chamados de quantificadores de universalidade e existência (quantificador traduzido do latim - determinação de quantidade). Transição da forma expressiva P(x) a declarações ou é chamado de anexar um quantificador ou vincular uma variável x(às vezes por quantificação da variável x). Uma variável com um quantificador é chamada de vinculada, uma variável não vinculada é chamada de livre. O significado das variáveis ​​ligadas e livres nas expressões de predicado é diferente. Uma variável livre é uma variável comum que pode assumir valores diferentes de M, e a expressão P(x)– uma declaração variável dependendo do significado x. Expressões e não dependem de uma variável x e em fixo P E M tem um significado muito definido. Variáveis ​​essencialmente relacionadas não são encontradas apenas na lógica matemática. Por exemplo, em expressões ou variáveis x conectado, em fixo f a primeira expressão é igual a um certo número, e a segunda é uma função de a E b.

Assim, as afirmações não falam sobre as propriedades dos elementos individuais do conjunto M, mas sobre as propriedades do próprio conjunto M. A verdade ou falsidade dessas afirmações não depende de como a variável de assunto nelas incluída é designada, e pode ser substituída por qualquer outra variável de assunto, por exemplo sim, e obter afirmações e , tendo o mesmo significado e os mesmos valores de verdade das afirmações originais.

Em geral, para n Predicado -ário, se, as operações de afirmação de universalidade ou existência podem ser realizadas k vezes (a ordem de escolha das variáveis ​​​​para as quais o quantificador é atribuído pode ser qualquer, excluindo sua repetição) e obter a expressão

onde denota o quantificador de universalidade ou existência. Variáveis ​​na forma de instrução (1) são vinculadas e livres.

Relação de ordem. Conjuntos encomendados

Definição. Atitude R em um conjunto Xé chamada de relação de ordem se for transitiva e assimétrica ou antissimétrica.

Definição. Atitude R em um conjunto Xé chamada de relação de ordem estrita se for transitiva e assimétrica.

Exemplos relações de ordem estrita: “mais” no conjunto dos números naturais, “mais alto” no conjunto das pessoas, etc.

Definição. Atitude R em um conjunto Xé chamada de relação de ordem não estrita se for transitiva e antissimétrica.

Exemplos relações de ordem não estrita: “não mais” no conjunto dos números reais, “ser um divisor” no conjunto dos números naturais, etc.

Definição. Um monte de Xé chamado ordenado se uma relação de ordem for especificada nele.

Exemplo. No set X= (1; 2; 3; 4; 5) duas relações são dadas: “ X £ no" E " X- divisor no».

Ambas as relações têm propriedades de reflexividade, antissimetria e transitividade (construa gráficos e verifique você mesmo as propriedades), ou seja, são relações de ordem não estrita. Mas a primeira relação tem a propriedade de conexidade, enquanto a segunda não.

Definição. Relação de pedido R em um conjunto Xé chamada de relação de ordem linear se tiver a propriedade de conexidade.

No ensino fundamental, muitas relações de ordem são estudadas. Já na primeira série existem relações “menos”, “mais” no conjunto dos números naturais, “mais curto”, “mais longo” no conjunto dos segmentos, etc.

Perguntas de controle

1. Defina uma relação binária em um conjunto X.

2. Como escrever uma declaração de que os elementos X E no está numa Relação R?

3. Liste maneiras de definir relacionamentos.

4. Formule as propriedades que os relacionamentos podem ter. Como essas propriedades são refletidas no gráfico?

5. Que propriedades uma relação deve ter para que seja uma relação de equivalência?

6. Como se relaciona a relação de equivalência com a partição de um conjunto em classes?

7. Que propriedades uma relação deve ter para que seja uma relação de ordem?

Capítulo 5. Predicados e Teoremas

Em matemática muitas vezes existem sentenças contendo uma ou mais variáveis, por exemplo: “ X+ 2 = 7”, “a cidade está localizada no Volga”. Estas frases não são declarações, porque é impossível dizer sobre eles se são verdadeiros ou falsos. No entanto, ao substituir valores específicos por uma variável X eles se transformam em afirmações verdadeiras ou falsas. Assim, no primeiro exemplo com X= 5 obtemos uma afirmação verdadeira, e quando X= 3 – afirmação falsa.

Definição. Uma frase com variáveis, que, dados valores específicos das variáveis, se transforma em um enunciado, é chamada de forma proposicional ou predicado.

Com base no número de variáveis ​​incluídas no predicado, elas são diferenciadas como simples, duplas, etc. predicados e denotar A(X), EM(x;y)…

Exemplo: A(X): « Xé divisível por 2" – um predicado de um lugar, EM(X; no): "direto X perpendicular a uma linha reta no"é um predicado de duas casas.

Deve-se ter em mente que o predicado pode conter variáveis ​​implicitamente: “o número é divisível por 2”, “o aluno obteve nota excelente na prova de matemática”.

A especificação de um predicado, via de regra, também envolve a especificação de um conjunto a partir do qual são selecionados os valores das variáveis ​​​​incluídas no predicado.

Definição. O conjunto (domínio) da definição de um predicado é o conjunto X, composto por todos os valores das variáveis, quando substituído por um predicado, este se transforma em uma afirmação.

Então, o predicado " X> 2" pode ser considerado no conjunto dos números naturais ou dos números reais.

Cada predicado A(X), X Î X define um conjunto TÌ X, composto por elementos que, quando substituídos no predicado A(X) em vez de X acaba sendo uma afirmação verdadeira.

Definição. O conjunto que consiste em todos esses valores, cuja substituição no predicado produz uma afirmação verdadeira, é chamado de conjunto verdade do predicado (denotado T).

Exemplo. Considere o predicado A(X): « X < 5», заданный на множестве натуральных чисел. T = {1; 2; 3; 4}.

Os predicados, assim como as declarações, podem ser elementares ou compostos. Predicados compostos são formados a partir de predicados elementares usando conectivos lógicos.

Deixar TA A(X), TELEVISÃO– domínio de verdade do predicado EM(X).

Definição. Conjunção de predicados A(X) E EM(X) é chamado de predicado A(X) Ù EM(X X Î X, para o qual ambos os predicados são verdadeiros.

Vamos mostrar isso TA Ù EM = TAÇ TELEVISÃO.

Prova. 1) Deixe A Î TA Ù EM Þ A(A) Ù EM(A) é uma afirmação verdadeira. Pela definição de conjunção temos: A(A) - verdadeiro, EM(A) – verdadeiro Þ A Î TAÙ A Î TELEVISÃOÞ A Î TAÇ TELEVISÃOÞ TA Ù EM Ì TAÇ TELEVISÃO.

2) Deixe bÎ TAÇ TELEVISÃOÞ b Î TAÙ b Î TELEVISÃOÞ A(b) - verdadeiro, EM(b) – verdadeiro Þ por definição de conjunção A(b) Ù EM(b) – afirmação verdadeira Þ b Î TA Ù EM Þ TAÇ TELEVISÃOÌ TA Ù EM .

Porque TA Ù EM Ì TAÇ TELEVISÃO E TAÇ TELEVISÃOÌ TA Ù EM, então pela propriedade de igualdade dos conjuntos TA Ù EM = TAÇ TELEVISÃO, que era o que precisava ser comprovado.

Observe que a regra resultante também é válida para predicados contendo mais de uma variável.

Exemplo. Vejamos os predicados A(X): « X < 10», EM(X): « X A(X) Ù EM(X): « X < 10 и делится на 3».

TA= {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, TELEVISÃO= (3; 6; 9; 12; 15;…), então TA Ù EM = {3; 6; 9}.

Definição. Disjunção de predicado A(X) E EM(X) é chamado de predicado A(X) Ú EM(X), o que é verdadeiro para aqueles e somente aqueles valores X Î X, para o qual pelo menos um dos predicados é verdadeiro.

Você pode provar (por si mesmo) que TA Ú EM = TAÈ TELEVISÃO.

Exemplo. Vejamos os predicados A(X): « X divisível por 2", EM(X): « Xé divisível por 3", dado no conjunto dos números naturais. Vamos encontrar o domínio de verdade do predicado A(X) Ú EM(X): « X divisível por 2 ou 3."

TA= {2; 4; 6; 8; 10;…}, TELEVISÃO= {3; 6; 9; 12; 15; …}, TA Ú EM = {2; 3; 4; 6; 8; 9; …}.

Definição. Negação do predicado A(X) chamado de predicado . É verdade para esses e somente esses valores X Î X, para o qual o predicado A(X) é falso e vice-versa.

Observe que = .

Definição. Por implicação de predicados A(X) E EM(X) é chamado de predicado A(X) Þ EM(X) (leia-se: “Se A(X), Que EM(X)"). Torna-se uma afirmação falsa para esses valores X Î X, para o qual o predicado A(X) é verdadeiro, e o predicado EM(X) é falso.

Da definição temos que o predicado A(X) Þ EM(X) é falso no conjunto TAÇ e, portanto, é verdadeiro no complemento deste conjunto. Usando as leis das operações em conjuntos, temos: .

Perguntas de controle

1. O que é chamado de forma expressiva ou predicado?

2. Quais predicados se distinguem pelo número de variáveis ​​​​incluídas neles? Dar exemplos.

3. Qual conjunto é chamado de domínio de definição do predicado?

4. Qual conjunto é chamado de conjunto verdade de um predicado?

5. O que é chamado de conjunção de predicados? Prove uma igualdade que liga o domínio de verdade de uma conjunção de predicados com os domínios de verdade desses predicados.

6. Dê definições de disjunção, negação e implicação de predicados. Escreva as igualdades que conectam os domínios de verdade de uma conjunção de predicados com os domínios de verdade desses predicados.