Definição em.7. Um ponto x ∈ R na reta real é chamado de ponto limite de uma sequência (xn) se, para qualquer vizinhança U(x) e qualquer número natural N, pode-se encontrar um elemento xn pertencente a esta vizinhança com um número maior que λ, ou seja, x 6 R - ponto limite, se. Em outras palavras, um ponto x será um ponto limite para (xn) se os elementos desta sequência com números arbitrariamente grandes caírem em qualquer uma de suas vizinhanças, embora, talvez, nem todos os elementos com números n > N. Portanto, a seguinte afirmação é bastante óbvio. Declaração b.b. Se lim(xn) = 6 6 R, então b é o único ponto limite da sequência (xn). Na verdade, em virtude da Definição 6.3 do limite de uma sequência, todos os seus elementos a partir de algum número caem em qualquer vizinhança arbitrariamente pequena do ponto 6 e, portanto, elementos com números arbitrariamente grandes não podem cair na vizinhança de qualquer outro ponto. Consequentemente, a condição da Definição 6.7 é satisfeita apenas para o ponto único 6. No entanto, nem todo ponto limite (às vezes chamado de ponto condensado fino) de uma sequência é o seu limite. Assim, a sequência (b.b) não tem limite (ver exemplo 6.5), mas tem dois pontos limites x = 1 e x = - 1. A sequência ((-1)n) tem dois pontos infinitos + oo e - com um linha numérica estendida, cuja união é denotada por um símbolo oo. É por isso que podemos assumir que os pontos limites infinitos coincidem, e o ponto infinito oo, conforme (6.29), é o limite desta sequência. Pontos limites da reta numérica de sequência. Prova do critério de Weierstrass e do critério de Cauchy. Seja dada uma sequência (sn) e os números k formem uma sequência crescente de inteiros positivos. Então a sequência (ynb onde yn = xkn) é chamada de subsequência da sequência original. Obviamente, se (in) tem o número 6 como limite, então qualquer uma de suas subsequências tem o mesmo limite, pois, a partir de algum número, todos os elementos da sequência original e de qualquer uma de suas subsequências caem em qualquer vizinhança escolhida do ponto 6. Ao mesmo tempo, qualquer ponto limite da subsequência é também o ponto limite da sequência. Seja b um ponto limite da sequência. sequência (xn), então, de acordo com a Definição 6. 7 ponto limite, para cada n existe um elemento pertencente à vizinhança U (6, 1/n) do ponto b de raio 1/n. A subsequência composta pelos pontos ijtj, ...1 ..., onde zjfcn€U(6, 1/n) Vn 6 N, tem como limite o ponto 6. Na verdade, para e > 0 arbitrário, pode-se escolher N tal isso. Então todos os elementos da subsequência, começando com o número km, caem na vizinhança ^ U(6, ε) do ponto 6, que corresponde à condição da Definição 6.3 do limite da sequência. O teorema inverso também é verdadeiro. Pontos limites da reta numérica de sequência. Prova do critério de Weierstrass e do critério de Cauchy. Teorema 8.10. Se alguma sequência tem uma subsequência com limite 6, então b é o ponto limite desta sequência. Segue-se da Definição 6.3 do limite de uma sequência que, a partir de algum número, todos os elementos da subsequência com limite b caem em uma vizinhança U(b, ​​​​e) de raio arbitrário e. Uma vez que os elementos da subsequência são simultaneamente elementos da sequência de números arbitrariamente grandes, e isso, em virtude da Definição 6.7, significa que b é um ponto limite da sequência (n). Observação 0.2. Os teoremas 6.9 e 6.10 também são válidos no caso em que o ponto limite é infinito, se ao provar a vizinhança morta U(6, 1 /n) considerarmos uma vizinhança (ou vizinhanças) A condição sob a qual uma subsequência convergente pode ser distinguida de uma sequência é estabelecida pelo seguinte teorema. Teorema 6.11 (Bolzano - Weierstrass.) Toda sequência limitada contém uma subsequência convergindo para um limite finito. Deixe todos os elementos da sequência (an) estarem entre os números a e 6, ou seja, xn € [ a, b] Vn € N. Divida o segmento [a , b] ao meio. Então pelo menos uma de suas metades conterá um número infinito de elementos da sequência, caso contrário todo o segmento [a, b] conteria um número finito deles, o que é impossível. Seja ] o das metades do segmento [a , 6], que contém um conjunto infinito de elementos da sequência (xp) (ou se ambas as metades forem tais, então qualquer um deles ). Continuando este processo, construímos um sistema de segmentos aninhados onde bn - an = (6 - a)/2n. De acordo com o princípio dos segmentos aninhados, existe um ponto x que pertence a todos esses segmentos. Este ponto será o ponto limite para a sequência (xn). Na verdade, para qualquer e-vizinhança Wx, e) = (x x + e) ​​​​do ponto x, existe um segmento C U(x, e) (é basta escolher n da desigualdade (, contendo um número infinito de elementos da sequência (sn). De acordo com a definição 6,7 x é o ponto limite desta sequência. Então, em virtude do Teorema 6.9, existe uma subsequência convergindo para o ponto x. O método de raciocínio utilizado na prova deste teorema (às vezes denominado lema de Bolzano-Weierstrass) e associado à bissecção sucessiva dos segmentos em consideração é conhecido como método de Bolzano. Este teorema simplifica muito a prova de muitos teoremas complexos. Isso nos permite provar vários teoremas importantes de uma maneira diferente (às vezes mais simples). Apêndice 6.2. Prova do teste de Weierstrass e do critério de Cauchy Primeiro, provamos a Afirmação 6.1 (o teste de Weierstrass para a convergência de uma sequência monótona limitada). Suponhamos que a sequência (n) não seja decrescente. Então o conjunto de seus valores é limitado por cima e, pelo Teorema 2.1, tem o maior supremo, que denotamos por sup(xn) ser R. Devido às propriedades do maior supremo (ver 2.7) De acordo com a Definição 6.1 para uma sequência não decrescente, temos ou Then > Ny e, levando em consideração (6.34), obtemos 31im(sn) e lim(xn) = 66R. Se a sequência (xn) não for crescente, então a prova é semelhante. Passamos agora à prova da suficiência do critério de Kochia para a convergência de uma sequência (ver Asserção 6.3), uma vez que a necessidade da condição do critério decorre do Teorema 6.7. Deixe a sequência (sn) ser fundamental. De acordo com a Definição 6.4, dado um € > 0 arbitrário, pode-se encontrar um número N(s) tal que m^N e n^N se seguem. Então, assumindo m - N, para Vn > N obtemos € £ Como a sequência em consideração tem um número finito de elementos com números não superiores a N, segue de (6.35) que a sequência fundamental é limitada (para comparação, veja o prova do Teorema 6.2 sobre a limitação da sequência convergente). Para um conjunto de valores de uma sequência limitada, existem limites ínfimo e supremo (ver Teorema 2.1). Para o conjunto de valores dos elementos para n > N, denotamos essas faces an = inf xn e bjy = sup xn, respectivamente. À medida que N aumenta, o limite inferior exato não diminui e o limite superior exato não aumenta, ou seja, . eu recebo o sistema eloasenna? segmentos De acordo com o princípio dos segmentos aninhados, existe um ponto comum que pertence a todos os segmentos. Vamos denotar isso por b. Assim, quando da comparação (6. 36) e (6.37) como resultado obtemos que corresponde à definição 6.3 do limite de sequência, ou seja, 31im(x„) e lim(sn) = 6 6 R. Bolzano começou a estudar sequências fundamentais. Mas ele não tinha uma teoria rigorosa dos números reais e, portanto, não conseguiu provar a convergência da sequência fundamental. Isso foi feito por Cauchy, tomando como certo o princípio dos segmentos aninhados, que Kantor posteriormente fundamentou. O nome Cauchy foi dado não apenas ao critério de convergência de uma sequência, mas também a sequência fundamental é frequentemente chamada de sequência de Cauchy, e o nome Cantor é o princípio dos segmentos aninhados. Perguntas e tarefas 8.1. Prove que: 6.2. Dê exemplos de sequências não convergentes com elementos pertencentes aos conjuntos Q e R\Q. 0,3. Sob quais condições os termos de uma progressão aritmética e geométrica formam uma sequência decrescente e crescente? 6.4. Prove as relações que seguem da Tabela. 6.1. 6.5. Construa exemplos de sequências tendendo a pontos infinitos +oo, -oo, oo, e um exemplo de sequência convergindo para o ponto 6 ∈ R. c.e. Uma sequência ilimitada não pode ser um b.b.? Se sim, dê um exemplo. às 7. Construa um exemplo de sequência divergente composta por elementos positivos que não tem limite finito nem infinito. 6.8. Prove a convergência da sequência (n) dada pela fórmula recursiva sn+i = sin(xn/2) sob a condição “1 = 1. 6.9. Prove que lim(xn)=09 se sn+i/xn-»g€ .

Divida o segmento [ a 0 ,b 0] ao meio em dois segmentos iguais. Pelo menos um dos segmentos resultantes contém um número infinito de termos na sequência. Vamos denotar isso [ a 1 ,b 1 ] .

Na próxima etapa, repetimos o procedimento com o segmento [ a 1 ,b 1 ] : dividimos-o em dois segmentos iguais e escolhemos entre eles aquele que contém um número infinito de termos da sequência. Vamos denotar isso [ a 2 ,b 2 ] .

Continuando o processo, obtemos uma sequência de segmentos aninhados

em que cada um subsequente é metade do anterior e contém um número infinito de membros da sequência ( x k } .

Os comprimentos dos segmentos tendem a zero:

Em virtude do princípio de Cauchy-Cantor de segmentos aninhados, existe um único ponto ξ que pertence a todos os segmentos:

Por construção em cada segmento [a eu ,b eu ] há um número infinito de termos na sequência. Vamos escolher sequencialmente

enquanto observa a condição de números crescentes:

Então a subsequência converge para o ponto ξ. Isso decorre do fato de que a distância de a ξ não excede o comprimento do segmento que os contém [a eu ,b eu ] , onde

Extensão ao caso de um espaço de dimensão arbitrária

O teorema de Bolzano-Weierstrass é facilmente generalizado para o caso de um espaço de dimensão arbitrária.

Seja dada uma sequência de pontos no espaço:

(o índice inferior é o número do membro da sequência, o superior é o número da coordenada). Se a sequência de pontos no espaço for limitada, então cada uma das sequências numéricas de coordenadas:

também limitado ( - número da coordenada).

Devido à versão unidimensional do teorema de Bolzano-Weirstrass da sequência ( x k) podemos selecionar uma subsequência de pontos cujas primeiras coordenadas formam uma sequência convergente. Da subsequência resultante, selecionamos mais uma vez uma subsequência convergindo na segunda coordenada. Neste caso, a convergência na primeira coordenada é preservada devido ao fato de que qualquer subsequência de uma sequência convergente também converge. E assim por diante.

Depois n passos obtemos alguma sequência

que é uma subsequência de e converge em cada uma das coordenadas. Segue-se que esta subsequência converge.

História

Teorema de Bolzano-Weierstrass (para o caso n= 1) foi provado pela primeira vez pelo matemático tcheco Bolzano em 1817. No trabalho de Bolzano, apareceu como lema na prova do teorema dos valores intermediários de uma função contínua, hoje conhecido como teorema de Bolzano-Cauchy. Contudo, estes e outros resultados, comprovados por Bolzano muito antes de Cauchy e Weierstrass, passaram despercebidos.

Apenas meio século depois, Weierstrass, independentemente de Bolzano, redescobriu e provou este teorema. Originalmente chamado de teorema de Weierstrass, antes do trabalho de Bolzano se tornar conhecido e receber reconhecimento.

Hoje este teorema leva os nomes de Bolzano e Weierstrass. Este teorema é frequentemente chamado Lema de Bolzano-Weierstrass, e às vezes lema do ponto limite.

O teorema de Bolzano-Weierstrass e a noção de compacidade

O teorema de Bolzano-Weierstrass estabelece a seguinte propriedade interessante de um conjunto limitado: qualquer sequência de pontos M contém uma subsequência convergente.

Ao provar várias proposições em análise, muitas vezes recorre-se ao seguinte truque: determina-se uma sequência de pontos que possui alguma propriedade desejada e, a partir dela, seleciona-se uma subsequência, também a possuindo, mas já convergindo. Por exemplo, é assim que se prova o teorema de Weierstrass de que uma função contínua em um intervalo é limitada e assume seus maiores e menores valores.

A eficácia de tal técnica em geral, bem como o desejo de estender o teorema de Weierstrass a espaços métricos arbitrários, levaram em 1906 o matemático francês Maurice Fréchet a introduzir o conceito compacidade. A propriedade dos conjuntos limitados, estabelecida pelo teorema de Bolzano-Weierstrass, é, figurativamente falando, que os pontos do conjunto estão localizados bastante “próximos” ou “compactos”: depois de dar um número infinito de passos ao longo deste conjunto, nós certamente chegaremos tão perto quanto quisermos - de um ponto no espaço.

Fréchet introduz a seguinte definição: um conjunto M chamado compactar, ou compactar, se alguma sequência de seus pontos contém uma subsequência convergindo para algum ponto deste conjunto. Supõe-se que no set M métrica é definida, ou seja, é