Equações quadráticas.
Equação quadrática- equação algébrica de forma geral
onde x é uma variável livre,
a, b, c, são coeficientes, e
Expressão 
chamado de trinômio quadrado.
Métodos de resolução de equações quadráticas.
1. MÉTODO : Fatorando o lado esquerdo da equação.
Vamos resolver a equação x 2 + 10x - 24 = 0. Vamos fatorar o lado esquerdo:
x 2 + 10x - 24 = x 2 + 12x - 2x - 24 = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12)(x - 2).
Portanto, a equação pode ser reescrita da seguinte forma:
(x + 12)(x - 2) = 0
Como o produto é zero, pelo menos um de seus fatores é zero. Portanto, o lado esquerdo da equação torna-se zero em x = 2, e também quando x = - 12. Isto significa que o número 2 E - 12 são as raízes da equação x 2 + 10x - 24 = 0.
2. MÉTODO : Método para selecionar um quadrado completo.
Vamos resolver a equação x 2 + 6x - 7 = 0. Selecione um quadrado completo no lado esquerdo.
Para fazer isso, escrevemos a expressão x 2 + 6x na seguinte forma:
x 2 + 6x = x 2 + 2 x 3.
Na expressão resultante, o primeiro termo é o quadrado do número x, e o segundo é o produto duplo de x por 3. Portanto, para obter um quadrado completo, você precisa adicionar 3 2, pois
x2 + 2 x 3 + 3 2 = (x + 3) 2.
Vamos agora transformar o lado esquerdo da equação
x 2 + 6x - 7 = 0,
adicionando a ele e subtraindo 3 2. Nós temos:
x 2 + 6x - 7 = x2 + 2 x 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.
Assim, esta equação pode ser escrita da seguinte forma:
(x + 3) 2 - 16 =0, (x + 3) 2 = 16.
Por isso, x + 3 - 4 = 0, x 1 = 1, ou x + 3 = -4, x 2 = -7.
3. MÉTODO :Resolvendo equações quadráticas usando a fórmula.
Vamos multiplicar ambos os lados da equação
machado 2 + bx + c = 0, a ≠ 0
em 4a e sequencialmente temos:
4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0,
((2ax) 2 + 2ax b + b 2) - b 2 + 4ac = 0,
(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,
2ax + b = ± √ b 2 - 4ac,
2ax = - b ± √ b 2 - 4ac,
Exemplos.
A) Vamos resolver a equação: 4x2 + 7x + 3 = 0.
a = 4, b = 7, c = 3, D = b 2 - 4ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,
D > 0, duas raízes diferentes;
Assim, no caso de um discriminante positivo, ou seja, no
b 2 - 4ac >0, a equação machado 2 + bx + c = 0 tem duas raízes diferentes.
b) Vamos resolver a equação: 4x 2 - 4x + 1 = 0,
a = 4, b = - 4, c = 1, D = b 2 - 4ac = (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,
D = 0, uma raiz;
Então, se o discriminante for zero, ou seja, b 2 - 4ac = 0, então a equação
machado 2 + bx + c = 0 tem uma única raiz
V) Vamos resolver a equação: 2x 2 + 3x + 4 = 0,
a = 2, b = 3, c = 4, D = b 2 - 4ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13, D< 0.
Esta equação não tem raízes.
Então, se o discriminante for negativo, ou seja, b 2 - 4ac< 0 , a equação
machado 2 + bx + c = 0 não tem raízes.
Fórmula (1) das raízes de uma equação quadrática machado 2 + bx + c = 0 permite que você encontre raízes qualquer equação quadrática (se houver), incluindo reduzida e incompleta. A fórmula (1) é expressa verbalmente da seguinte forma: as raízes de uma equação quadrática são iguais a uma fração cujo numerador é igual ao segundo coeficiente tomado com sinal oposto, mais menos a raiz quadrada do quadrado deste coeficiente sem quadruplicar o produto do primeiro coeficiente pelo termo livre, e o denominador é o dobro do primeiro coeficiente.
4. MÉTODO: Resolvendo equações usando o teorema de Vieta.
Como é sabido, a equação quadrática reduzida tem a forma
x 2 + px + c = 0.(1)
Suas raízes satisfazem o teorema de Vieta, que, quando uma =1 parece
x 1 x 2 = q,
x 1 + x 2 = -p
Disto podemos tirar as seguintes conclusões (a partir dos coeficientes p e q podemos prever os sinais das raízes).
a) Se o meio membro q dada equação (1) é positiva ( q > 0), então a equação tem duas raízes de sinal de igual e isso depende do segundo coeficiente p. Se R< 0 , então ambas as raízes são negativas se R< 0 , então ambas as raízes são positivas.
Por exemplo,
x 2 – 3x + 2 = 0; x 1 = 2 E x 2 = 1, porque q = 2 > 0 E p = - 3< 0;
x 2 + 8x + 7 = 0; x 1 = - 7 E x 2 = - 1, porque q = 7 > 0 E p = 8 > 0.
b) Se um membro gratuito q dada equação (1) é negativa ( q< 0 ), então a equação tem duas raízes de sinais diferentes, e a raiz maior será positiva se p< 0 , ou negativo se p > 0 .
Por exemplo,
x 2 + 4x – 5 = 0; x 1 = - 5 E x 2 = 1, porque q = - 5< 0 E p = 4 > 0;
x 2 – 8x – 9 = 0; x 1 = 9 E x 2 = - 1, porque q = - 9< 0 E p = - 8< 0.
Exemplos.
1) Vamos resolver a equação 345x2 – 137x – 208 = 0.
Solução. Porque a + b + c = 0 (345 – 137 – 208 = 0), Que
x 1 = 1, x 2 = c/uma = -208/345.
Resposta 1; -208/345.
2) Resolva a equação 132x 2 – 247x + 115 = 0.
Solução. Porque a + b + c = 0 (132 – 247 + 115 = 0), Que
x 1 = 1, x 2 = c/a = 115/132.
Resposta 1; 115/132.
B. Se o segundo coeficiente b = 2ké um número par, então a fórmula raiz
Exemplo.
Vamos resolver a equação 3x2 - 14x + 16 = 0.
Solução. Nós temos: a = 3, b = - 14, c = 16, k = - 7;
D = k 2 – ac = (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, D > 0, duas raízes diferentes;
Resposta: 2; 8/3
EM. Equação reduzida
x 2 + px + q = 0
coincide com uma equação geral na qual uma = 1, b = p E c=q. Portanto, para a equação quadrática reduzida, a fórmula raiz é
Toma o formato:
A fórmula (3) é especialmente conveniente para usar quando R- numero par.
Exemplo. Vamos resolver a equação x2 – 14x – 15 = 0.
Solução. Nós temos: x 1,2 =7±
Resposta: x 1 = 15; x 2 = -1.
5. MÉTODO: Resolvendo equações graficamente.
Exemplo. Resolva a equação x2 - 2x - 3 = 0.
Vamos traçar a função y = x2 - 2x - 3
1) Temos: a = 1, b = -2, x0 = = 1, y0 = f(1) = 12 - 2 - 3 = -4. Isso significa que o vértice da parábola é o ponto (1; -4), e o eixo da parábola é a reta x = 1.
2) Tomemos dois pontos no eixo x que sejam simétricos em relação ao eixo da parábola, por exemplo, pontos x = -1 e x = 3.
Temos f(-1) = f(3) = 0. Vamos construir os pontos (-1; 0) e (3; 0) no plano de coordenadas.
3) Através dos pontos (-1; 0), (1; -4), (3; 0) desenhamos uma parábola (Fig. 68).
As raízes da equação x2 - 2x - 3 = 0 são as abcissas dos pontos de intersecção da parábola com o eixo x; Isso significa que as raízes da equação são: x1 = - 1, x2 - 3.
Vamos relembrar as propriedades básicas dos graus. Seja a > 0, b > 0, n, m quaisquer números reais. Então
1) a n a m = a n+m
2) \(\frac(a^n)(a^m) = a^(nm) \)
3) (a n) m = a nm
4) (ab) n = a n b n
5) \(\esquerda(\frac(a)(b) \direita)^n = \frac(a^n)(b^n) \)
7) a n > 1, se a > 1, n > 0
8) um n 1, n
9) a n > a m se 0
Na prática, funções da forma y = a x são frequentemente usadas, onde a é um determinado número positivo, x é uma variável. Tais funções são chamadas indicativo. Esse nome é explicado pelo fato de que o argumento da função exponencial é o expoente, e a base do expoente é o número dado.
Definição. Uma função exponencial é uma função da forma y = a x, onde a é um determinado número, a > 0, \(a \neq 1\)
A função exponencial tem as seguintes propriedades
1) O domínio de definição da função exponencial é o conjunto de todos os números reais.
Esta propriedade decorre do fato de que a potência a x onde a > 0 é definida para todos os números reais x.
2) O conjunto de valores da função exponencial é o conjunto de todos os números positivos.
Para verificar isso, você precisa mostrar que a equação a x = b, onde a > 0, \(a \neq 1\), não tem raízes se \(b \leq 0\), e tem uma raiz para qualquer b > 0.
3) A função exponencial y = a x é crescente no conjunto de todos os números reais se a > 1 e decrescente se 0. Isso decorre das propriedades de grau (8) e (9)
Vamos construir gráficos de funções exponenciais y = a x para a > 0 e para 0. Usando as propriedades consideradas, notamos que o gráfico da função y = a x para a > 0 passa pelo ponto (0; 1) e está localizado acima o eixo do Boi.
Se x 0.
Se x > 0 e |x| aumenta, o gráfico sobe rapidamente.
Gráfico da função y = a x em 0 Se x > 0 e aumenta, então o gráfico se aproxima rapidamente do eixo do Boi (sem cruzá-lo). Assim, o eixo do Boi é a assíntota horizontal do gráfico.
Se x 
Equações exponenciais
Vamos considerar vários exemplos de equações exponenciais, ou seja, equações em que a incógnita está contida no expoente. Resolver equações exponenciais geralmente se resume a resolver a equação a x = a b onde a > 0, \(a \neq 1\), x é uma incógnita. Esta equação é resolvida usando a propriedade da potência: potências com a mesma base a > 0, \(a \neq 1\) são iguais se e somente se seus expoentes forem iguais.
Resolva a equação 2 3x 3 x = 576
Como 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2, a equação pode ser escrita como 8 x 3 x = 24 2, ou como 24 x = 24 2, do qual x = 2.
Resposta x = 2
Resolva a equação 3 x + 1 - 2 3 x - 2 = 25
Tirando o fator comum 3 x - 2 dos colchetes do lado esquerdo, obtemos 3 x - 2 (3 3 - 2) = 25, 3 x - 2 25 = 25,
de onde 3 x - 2 = 1, x - 2 = 0, x = 2
Resposta x = 2
Resolva a equação 3 x = 7 x
Como \(7^x \neq 0 \) , a equação pode ser escrita na forma \(\frac(3^x)(7^x) = 1 \), da qual \(\left(\frac(3 )( 7) \direita) ^x = 1 \), x = 0
Resposta x = 0
Resolva a equação 9 x - 4 3 x - 45 = 0
Ao substituir 3 x = t, esta equação é reduzida à equação quadrática t 2 - 4t - 45 = 0. Resolvendo esta equação, encontramos suas raízes: t 1 = 9, t 2 = -5, de onde 3 x = 9, 3 x = -5 .
A equação 3 x = 9 tem raiz x = 2, e a equação 3 x = -5 não tem raízes, pois a função exponencial não pode assumir valores negativos.
Resposta x = 2
Resolva a equação 3 2 x + 1 + 2 5 x - 2 = 5 x + 2 x - 2
Vamos escrever a equação na forma
3 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 5 x - 2, de onde
2 x - 2 (3 2 3 - 1) = 5 x - 2 (5 2 - 2)
2 x - 2 23 = 5 x - 2 23
\(\esquerda(\frac(2)(5) \direita) ^(x-2) = 1 \)
x - 2 = 0
Resposta x = 2
Resolva a equação 3 |x - 1| = 3 |x + 3|
Como 3 > 0, \(3 \neq 1\), então a equação original é equivalente à equação |x-1| = |x+3|
Ao elevar ao quadrado esta equação, obtemos seu corolário (x - 1) 2 = (x + 3) 2, do qual
x 2 - 2x + 1 = x 2 + 6x + 9, 8x = -8, x = -1
A verificação mostra que x = -1 é a raiz da equação original.
Resposta x = -1
O cabo LSV 2-7 16x0,12 pertence ao tipo de fitas que são utilizadas com sucesso para instalação intra e interdispositivos de dispositivos elétricos e radioeletrônicos operando em redes de energia com corrente contínua de 350 V ou com 250 V tensão alternada em frequências de até 50 Hz. A instalação das ferragens é realizada com a participação de diversos tipos de conectores, utilização de conectores de crimpagem e de contato, para os quais o isolamento pode ser perfurado por soldagem, além de adesivos e vernizes que não afetam o isolamento. O isolamento não fica comprometido se os núcleos forem separados por um jumper. A marca resiste perfeitamente à influência de vibração sinusoidal, ruído acústico, aceleração linear, choques mecânicos únicos e múltiplos.
Explicação da marcação LSV 2-7 16x0,12:
- L - fita
- S-série
- B - Isolamento de PVC
Elementos estruturais do cabo LSV 2-7 16x0,12
- Condutor interno de cobre estanhado monofio
- Isolamento de polímero de PVC
Parâmetros técnicos do cabo LSV 2-7 16x0,12
Certificados e garantias
I. machado 2 =0 – incompleto Equação quadrática (b=0, c=0 ). Solução: x=0. Resposta: 0.
Resolva equações.
2x·(x+3)=6x-x 2 .
Solução. Vamos abrir os colchetes multiplicando 2x para cada termo entre parênteses:
2x 2 +6x=6x-x 2 ; Movemos os termos do lado direito para o esquerdo:
2x 2 +6x-6x+x 2 =0; Aqui estão termos semelhantes:
3x 2 =0, portanto x=0.
Responder: 0.
II. machado 2 +bx=0 –incompleto Equação quadrática (c=0 ). Solução: x (ax+b)=0 → x 1 =0 ou ax+b=0 → x 2 =-b/a. Resposta: 0; -BA.
5x 2 -26x=0.
Solução. Vamos tirar o fator comum X fora dos colchetes:
x(5x-26)=0; cada fator pode ser igual a zero:
x=0 ou 5x-26=0→ 5x=26, divida ambos os lados da igualdade por 5 e obtemos: x=5,2.
Responder: 0; 5,2.
Exemplo 3. 64x+4x2 =0.
Solução. Vamos tirar o fator comum 4x fora dos colchetes:
4x(16+x)=0. Temos três fatores, 4≠0, portanto, ou x=0 ou 16+x=0. Da última igualdade obtemos x=-16.
Responder: -16; 0.
Exemplo 4.(x-3) 2 +5x=9.
Solução. Aplicando a fórmula do quadrado da diferença de duas expressões, abriremos os colchetes:
x 2 -6x+9+5x=9; transforme para a forma: x 2 -6x+9+5x-9=0; Vamos apresentar termos semelhantes:
x 2 -x=0; vamos tirá-lo X fora dos colchetes, obtemos: x (x-1)=0. Daqui ou x=0 ou x-1=0→x=1.
Responder: 0; 1.
III. machado 2 +c=0 –incompleto Equação quadrática (b=0 ); Solução: machado 2 =-c → x 2 =-c/a.
Se (-c/a)<0 , então não há raízes reais. Se (-с/а)>0
Exemplo 5. x 2 -49=0.
Solução.
x 2 =49, daqui x=±7. Responder:-7; 7.
Exemplo 6. 9x2 -4=0.
Solução.
Muitas vezes você precisa encontrar a soma dos quadrados (x 1 2 +x 2 2) ou a soma dos cubos (x 1 3 +x 2 3) das raízes de uma equação quadrática, com menos frequência - a soma dos valores recíprocos dos quadrados das raízes ou a soma das raízes quadradas aritméticas das raízes de uma equação quadrática:
O teorema de Vieta pode ajudar com isso:
x 2 +px+q=0
x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 =q.
Vamos expressar através p E q:
1) soma dos quadrados das raízes da equação x 2 +px+q=0;
2) soma dos cubos das raízes da equação x 2 +px+q=0.
Solução.
1) Expressão x 1 2 + x 2 2 obtido elevando ao quadrado ambos os lados da equação x 1 + x 2 = -p;
(x 1 +x 2) 2 =(-p) 2 ; abra os colchetes: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2 ; expressamos a quantidade necessária: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2x 1 x 2 =p 2 -2q. Temos uma igualdade útil: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.
2) Expressão x13 +x23 Vamos representar a soma dos cubos usando a fórmula:
(x 1 3 +x 2 3)=(x 1 +x 2)(x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2)=-p·(p 2 -2q-q)=-p·(p 2 -3q).
Outra equação útil: x 1 3 +x 2 3 = -p·(p 2 -3q).
Exemplos.
3)x2 -3x-4=0. Sem resolver a equação, calcule o valor da expressão x 1 2 + x 2 2.
Solução.
x 1 +x 2 =-p=3, e o trabalho x 1 ∙x 2 =q=no exemplo 1) igualdade:
x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q. Nós temos -p=x 1 +x 2 = 3 → p 2 =3 2 =9; q = x1x2 = -4. Então x 1 2 +x 2 2 =9-2·(-4)=9+8=17.
Responder: x 1 2 +x 2 2 =17.
4) x 2 -2x-4=0. Calcule: x 1 3 +x 2 3 .
Solução.
Pelo teorema de Vieta, a soma das raízes desta equação quadrática reduzida é x 1 +x 2 =-p=2, e o trabalho x 1 ∙x 2 =q=-4. Vamos aplicar o que recebemos ( no exemplo 2) igualdade: x 1 3 +x 2 3 =-p·(p 2 -3q)= 2·(2 2 -3·(-4))=2·(4+12)=2·16=32.
Responder: x 1 3 +x 2 3 =32.
Pergunta: e se recebermos uma equação quadrática não reduzida? Resposta: sempre pode ser “reduzido” dividindo termo a termo pelo primeiro coeficiente.
5) 2x 2 -5x-7=0. Sem decidir, calcule: x 1 2 + x 2 2.
Solução. Recebemos uma equação quadrática completa. Divida ambos os lados da igualdade por 2 (o primeiro coeficiente) e obtenha a seguinte equação quadrática: x2 -2,5x-3,5=0.
De acordo com o teorema de Vieta, a soma das raízes é igual a 2,5 ; o produto das raízes é igual -3,5 .
Resolvemos da mesma forma que no exemplo 3) usando a igualdade: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.
x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.
Responder: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.
6)x2 -5x-2=0. Encontrar:
Vamos transformar esta igualdade e, usando o teorema de Vieta, substituir a soma das raízes por -p, e o produto das raízes por q, obtemos outra fórmula útil. Ao derivar a fórmula, usamos a igualdade 1): x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.
Em nosso exemplo x 1 +x 2 =-p=5; x 1 ∙x 2 =q=-2. Substituímos esses valores na fórmula resultante:
7)x2 -13x+36=0. Encontrar:
Vamos transformar essa soma e obter uma fórmula que pode ser usada para encontrar a soma das raízes quadradas aritméticas das raízes de uma equação quadrática.
Nós temos x 1 +x 2 =-p=13; x 1 ∙x 2 =q=36. Substituímos esses valores na fórmula resultante:
Conselho : verifique sempre a possibilidade de encontrar as raízes de uma equação quadrática usando um método adequado, porque 4 revisado fórmulas úteis permitem concluir rapidamente uma tarefa, especialmente nos casos em que o discriminante é um número “inconveniente”. Em todos os casos simples, encontre as raízes e opere-as. Por exemplo, no último exemplo selecionamos as raízes usando o teorema de Vieta: a soma das raízes deve ser igual a 13 , e o produto das raízes 36 . Quais são esses números? Certamente, 4 e 9. Agora calcule a soma das raízes quadradas desses números: 2+3=5. É isso!
I. Teorema de Vieta para a equação quadrática reduzida.
Soma das raízes da equação quadrática reduzida x 2 +px+q=0é igual ao segundo coeficiente tomado com sinal oposto, e o produto das raízes é igual ao termo livre:
x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 =q.
Encontre as raízes da equação quadrática dada usando o teorema de Vieta.
Exemplo 1) x 2 -x-30=0. Esta é a equação quadrática reduzida ( x 2 +px+q=0), segundo coeficiente p=-1 e o membro gratuito q=-30. Primeiro, vamos ter certeza de que esta equação tem raízes e que as raízes (se houver) serão expressas em números inteiros. Para isso, basta que o discriminante seja um quadrado perfeito de um número inteiro.
Encontrando o discriminante D=b 2 — 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .
Agora, de acordo com o teorema de Vieta, a soma das raízes deve ser igual ao segundo coeficiente tomado com sinal oposto, ou seja, ( -p), e o produto é igual ao termo livre, ou seja, ( q). Então:
x1 +x2 =1; x 1 ∙x 2 =-30. Precisamos escolher dois números tais que seu produto seja igual a -30 , e o valor é unidade. Estes são números -5 E 6 . Resposta: -5; 6.
Exemplo 2) x 2 +6x+8=0. Temos a equação quadrática reduzida com o segundo coeficiente p = 6 e membro gratuito q=8. Vamos ter certeza de que existem raízes inteiras. Vamos encontrar o discriminante D1 D1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . O discriminante D 1 é o quadrado perfeito do número 1 , o que significa que as raízes desta equação são números inteiros. Vamos selecionar as raízes usando o teorema de Vieta: a soma das raízes é igual a –р=-6, e o produto das raízes é igual a q=8. Estes são números -4 E -2 .
Na verdade: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=q. Resposta: -4; -2.
Exemplo 3) x 2 +2x-4=0. Nesta equação quadrática reduzida, o segundo coeficiente p = 2 e o membro gratuito q=-4. Vamos encontrar o discriminante D1, já que o segundo coeficiente é um número par. D1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. O discriminante não é um quadrado perfeito do número, então fazemos conclusão: As raízes desta equação não são números inteiros e não podem ser encontradas utilizando o teorema de Vieta. Isso significa que resolvemos esta equação, como de costume, usando as fórmulas (neste caso, usando as fórmulas). Nós temos:
Exemplo 4). Escreva uma equação quadrática usando suas raízes se x 1 =-7, x 2 =4.
Solução. A equação necessária será escrita na forma: x 2 +px+q=0, e, com base no teorema de Vieta –p=x 1 +x 2=-7+4=-3 →p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . Então a equação assumirá a forma: x 2 +3x-28=0.
Exemplo 5). Escreva uma equação quadrática usando suas raízes se:
II. Teorema de Vieta para uma equação quadrática completa machado 2 +bx+c=0.
A soma das raízes é menos b, dividido por A, o produto das raízes é igual a Com, dividido por A:
x 1 + x 2 = -b/uma; x 1 ∙x 2 =c/uma.
Exemplo 6). Encontre a soma das raízes de uma equação quadrática 2x 2 -7x-11=0.
Solução.
Temos certeza de que esta equação terá raízes. Para isso, basta criar uma expressão para o discriminante e, sem calculá-lo, apenas certificar-se de que o discriminante é maior que zero. D=7 2 -4∙2∙(-11)>0 . Agora vamos usar teorema Vieta para equações quadráticas completas.
x 1 +x 2 =-b:uma=- (-7):2=3,5.
Exemplo 7). Encontre o produto das raízes de uma equação quadrática 3x2 +8x-21=0.
Solução.
Vamos encontrar o discriminante D1, já que o segundo coeficiente ( 8 ) é um número par. D1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . A equação quadrática tem 2 raiz, segundo o teorema de Vieta, o produto das raízes x 1 ∙x 2 =c:uma=-21:3=-7.
I. machado 2 +bx+c=0– equação quadrática geral
Discriminante D=b 2 - 4ac.
Se D>0, então temos duas raízes reais:
Se D=0, então temos uma única raiz (ou duas raízes iguais) x=-b/(2a).
Se D<0, то действительных корней нет.
Exemplo 1) 2x2 +5x-3=0.
Solução. a=2; b=5; c=-3.
D=b 2 - 4ac=5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; 2 raízes reais.
4x2 +21x+5=0.
Solução. a=4; b=21; c=5.
D=b 2 - 4ac=21 2 - 4∙4∙5=441-80=361=19 2 >0; 2 raízes reais.
II. machado 2 +bx+c=0 – equação quadrática de forma particular com segundo par
coeficiente b
Exemplo 3) 3x 2 -10x+3=0.
Solução. a=3; b=-10 (número par); c=3.
Exemplo 4) 5x 2 -14x-3=0.
Solução. a=5; b= -14 (número par); c=-3.
Exemplo 5) 71x2 +144x+4=0.
Solução. a=71; b=144 (número par); c=4.
Exemplo 6) 9x 2 -30x+25=0.
Solução. a=9; b=-30 (número par); c=25.
III. machado 2 +bx+c=0 – Equação quadrática tipo privado fornecido: a-b+c=0.
A primeira raiz é sempre igual a menos um e a segunda raiz é sempre igual a menos Com, dividido por A:
x 1 =-1, x 2 =-c/a.
Exemplo 7) 2x2 +9x+7=0.
Solução. a=2; b=9; c=7. Vamos verificar a igualdade: a-b+c=0. Nós temos: 2-9+7=0 .
Então x 1 =-1, x 2 =-c/a=-7/2=-3,5. Responder: -1; -3,5.
4. machado 2 +bx+c=0 – equação quadrática de uma forma particular sujeita a : a+b+c=0.
A primeira raiz é sempre igual a um, e a segunda raiz é igual a Com, dividido por A:
x 1 =1, x 2 =c/uma.
Exemplo 8) 2x 2 -9x+7=0.
Solução. a=2; b=-9; c=7. Vamos verificar a igualdade: a+b+c=0. Nós temos: 2-9+7=0 .
Então x 1 =1, x 2 =c/a=7/2=3,5. Responder: 1; 3,5.
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Consiste no facto de o betão, reforçado com fortes armações de aço, ser um material de construção de elevada resistência e não estar sujeito a inúmeras influências ambientais, pelo que o desenho da fundação de um suporte de catenária é capaz de suportar aço e reforçado suportes de linhas de energia de concreto sem a ameaça de tombamento por décadas. Durabilidade, resistência às cargas e resistência são as principais vantagens da utilização de fundações de concreto armado FP2.7x2.7-A para suportes metálicos de linhas aéreas de circuito único de 220 kV, linhas aéreas de circuito único de 330 kV na construção de energia.
Fundações de concreto armado FP2.7x2.7-A para suportes metálicos de linhas aéreas de circuito único de 220 kV, linhas aéreas de circuito único de 330 kV são feitas de concreto pesado com classe de resistência à compressão de pelo menos B30, grau - de M300. O grau do concreto para resistência ao gelo não é inferior a F150, para resistência à água - W4 - W6. O cimento e os inertes utilizados na fabricação do concreto devem atender aos requisitos do SNiP I-B.3-62 e TP4-68. O maior tamanho de grão na estrutura de concreto não deve exceder 20-40 mm. Controle da resistência do concreto das fundações de suporte de acordo com GOST 10180-67 “Concreto pesado. Métodos para determinar a resistência" e GOST 10181-62 "Concreto pesado. Métodos para determinar a mobilidade e rigidez de uma mistura de concreto."
Como reforço, são utilizadas fundações FP2.7x2.7-A para suportes metálicos de linhas aéreas de circuito único de 220 kV, linhas aéreas de circuito único de 330 kV: barras de aço de reforço laminadas a quente da classe A-I, barras de aço de reforço laminadas a quente de perfil periódico classe A-III, barras de aço de perfil periódico classe A-IV e arame de armadura comum classe B1. Para os laços de montagem, apenas é utilizado reforço de haste laminada a quente da classe A-I feita de aço carbono carbono.
As fundações dos suportes das linhas de transmissão de energia para a construção de energia enfrentam uma tarefa responsável - manter a estabilidade e a resistência dos suportes das linhas de transmissão de energia por muitos anos em diferentes condições climáticas, em qualquer época do ano e em qualquer clima. Portanto, são colocadas exigências muito elevadas nas fundações de suporte. Antes do envio ao cliente, as fundações dos suportes FP2.7x2.7-A para suportes metálicos de linhas aéreas de circuito único de 220 kV, linhas aéreas de circuito único de 330 kV são testadas de acordo com vários parâmetros, por exemplo, o grau de estabilidade , resistência, durabilidade e resistência ao desgaste, resistência a temperaturas negativas e influências atmosféricas . Antes da soldagem, as peças da junta devem estar isentas de ferrugem. As fundações de concreto armado com espessura da camada protetora de concreto inferior a 30 mm, bem como as fundações instaladas em solos agressivos, devem ser protegidas por impermeabilização.
Durante a operação, as fundações FP2.7x2.7-A para suportes metálicos de linhas aéreas de circuito único de 220 kV, linhas aéreas de circuito único de 330 kV estão sujeitas a supervisão cuidadosa, especialmente nos primeiros anos de operação da linha aérea. Um dos defeitos mais graves na construção de fundações, de difícil eliminação em condições de operação, é a violação dos padrões tecnológicos durante sua fabricação: utilização de brita de baixa qualidade ou mal lavada, violação de proporções no preparo de uma mistura de concreto, etc. . Um defeito igualmente grave é a concretagem em camadas de fundações, quando elementos individuais da mesma fundação são concretados em momentos diferentes sem preparação prévia da superfície. Neste caso, o concreto de um elemento de fundação não se ajusta a outro, podendo ocorrer a destruição da fundação sob cargas externas significativamente menores que as calculadas.
Na fabricação de fundações de concreto armado para suportes, às vezes também são violadas normas: utiliza-se concreto de baixa qualidade, as armaduras são colocadas nas dimensões erradas conforme previsto no projeto. Durante a construção de linhas de energia sobre fundações pré-fabricadas ou estaqueadas de concreto armado, podem ocorrer defeitos graves que não são permitidos pela construção energética. Tais defeitos incluem a instalação de fundações de concreto armado quebradas, sua penetração insuficiente no solo (especialmente na instalação de suportes em encostas de morros e ravinas), compactação inadequada durante o aterro, instalação de fundações pré-fabricadas de tamanhos menores, etc. instalação de fundações de concreto armado, nas quais as fundações pré-fabricadas individuais destinadas a servir de base para um suporte metálico apresentam diferentes elevações verticais ou deslocamentos das fundações individuais na planta. Se descarregadas incorretamente, as fundações FP2.7x2.7-A para suportes metálicos de linhas aéreas de circuito único de 220 kV, linhas aéreas de circuito único de 330 kV podem ser danificadas, lascas de concreto e reforços podem ser expostos. Durante o processo de aceitação, atenção especial deve ser dada à conformidade dos chumbadores e suas porcas com as dimensões de projeto.
Em condições de operação, as fundações de concreto armado FP2.7x2.7-A para suportes metálicos de linhas aéreas de circuito único de 220 kV e linhas aéreas de circuito único de 330 kV são danificadas tanto por influências ambientais quanto por grandes cargas externas. O reforço de fundações com estrutura de concreto poroso é prejudicado pelos efeitos agressivos das águas subterrâneas. As fissuras que se formam na superfície das fundações, quando expostas a cargas operacionais alternadas, bem como ao vento, à umidade e às baixas temperaturas, expandem-se, o que acaba por levar à destruição do concreto e à exposição das armaduras. Em áreas localizadas perto de fábricas de produtos químicos, os chumbadores e a parte superior dos apoios de pés metálicos deterioram-se rapidamente.
A ruptura da fundação de suporte também pode ocorrer em decorrência do seu desalinhamento com as estantes, o que provoca grandes momentos fletores. Uma ruptura semelhante pode ocorrer quando a base da fundação é arrastada pelas águas subterrâneas e se desvia de sua posição vertical.
Durante o processo de aceitação, as fundações FP2.7x2.7-A para suportes metálicos de linhas aéreas de circuito único de 220 kV, linhas aéreas de circuito único de 330 kV são verificadas quanto à conformidade com o projeto, profundidade de assentamento, qualidade do concreto, qualidade de soldagem de armaduras de trabalho e chumbadores, presença e qualidade de proteção contra ação de águas agressivas. As marcas verticais das fundações são medidas e a localização dos chumbadores é verificada conforme gabarito. Caso seja detectada alguma não conformidade com as normas, todos os defeitos são eliminados antes do preenchimento das cavas. São reparadas fundações que apresentam lascas de concreto e armaduras expostas na parte superior. Para isso, é instalada uma moldura de concreto de 10 a 20 cm de espessura, enterrada 20 a 30 cm abaixo do nível do solo. Deve-se ter em mente que a construção energética não permite uma moldura de concreto de escória, pois a escória contém uma mistura de enxofre, que provoca corrosão intensa das armaduras e das ancoragens. Em caso de danos mais significativos nas fundações (inclusive monolíticas), a parte danificada é coberta com armadura soldada à armadura da fundação principal e após a instalação da fôrma é concretada.
