Aula 6. Aplicação de derivadas ao estudo de funções

Se a função f(x) tem uma derivada em cada ponto do segmento [ A, b], então seu comportamento pode ser estudado usando a derivada f"(X).

Vejamos os teoremas básicos do cálculo diferencial que fundamentam as aplicações derivadas.

Teorema de Fermat

Teorema(Fazenda) ( sobre a igualdade da derivada a zero ). Se a função f(x), diferenciável no intervalo (a, b) e atinge seu maior ou menor valor no ponto c є ( a, b), então a derivada da função neste ponto é zero, ou seja f"(Com) = 0.

Prova. Deixe a função f(x) é diferenciável no intervalo ( a, b) e no ponto X = Com leva o maior valor M no Com є ( a, b) (Fig. 1), ou seja,

f(Com) ≥ f(x) ou f(x) – f(c) ≤ 0 ou f(s +Δ X) – f(Com) ≤ 0.

Derivado f"(x) no ponto X = Com: .

Se x> c, Δ X> 0 (ou seja, Δ X→ 0 à direita do ponto Com), Que e portanto f"(Com) ≤ 0.

Se x< с , Δ X< 0 (т.е. ΔX→ 0 à esquerda do ponto Com), Que , do qual se segue que f"(Com) ≥ 0.

Por condição f(x) é diferenciável no ponto Com, portanto, seu limite em x→ Com não depende da escolha da direção de abordagem do argumento x ao ponto Com, ou seja .

Obtemos um sistema do qual segue f"(Com) = 0.

Em caso f(Com) = T(aqueles. f(x) leva no ponto Com menor valor), a prova é semelhante. O teorema foi provado.

Significado geométrico do teorema de Fermat: no ponto de maior ou menor valor alcançado dentro do intervalo, a tangente ao gráfico da função é paralela ao eixo x.

Arquivo FERMA-KDVar © NM Koziy, 2008

Certificado da Ucrânia nº 27312

BREVE PROVA DO Último Teorema do FERmat

O Último Teorema de Fermat é formulado da seguinte forma: Equação Diofantina (http://soluvel.okis.ru/evrika.html):

A n +B n =C n * /1/

Onde n- um número inteiro positivo maior que dois não tem solução em números inteiros positivos A , B , COM .

PROVA

Da formulação do Último Teorema de Fermat segue-se: se né um número inteiro positivo maior que dois, desde que dois dos três números A , EM ou COM- números inteiros positivos, um desses números não é um número inteiro positivo.

Construímos a prova com base no teorema fundamental da aritmética, que é chamado de “teorema da unicidade da fatoração” ou “teorema da unicidade da fatoração de inteiros compostos”. Expoentes pares e ímpares são possíveis n . Vamos considerar os dois casos.

1. Caso um: expoente n - número ímpar.

Neste caso, a expressão /1/ é transformada de acordo com fórmulas conhecidas como segue:

A n + EM n = COM n /2/

Nós acreditamos que A E B– inteiros positivos.

Números A , EM E COM devem ser números mutuamente primos.

Da equação /2/ segue-se que para determinados valores de números A E B fator ( A + B ) n , COM.

Vamos supor que o número COM - inteiro positivo. Levando em consideração as condições aceitas e o teorema fundamental da aritmética, a condição deve ser satisfeita :

COM n = A n + B n =(A+B) n ∙ D n , / 3/

onde está o fator Dn D

Da equação /3/ segue:

Da equação /3/ também segue que o número [ Cn = Um + Bn ] desde que o número COM ( A + B ) n. Porém, sabe-se que:

Um + Bn < ( A + B ) n /5/

Por isso:

- um número fracionário menor que um. /6/

Um número fracionário.

n

Para expoentes ímpares n >2 número:

< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.

Da análise da equação /2/ segue-se que para um expoente ímpar n número:

COM n = A n + EM n = (A+B)

consiste em dois fatores algébricos específicos, e para qualquer valor do expoente n o fator algébrico permanece inalterado ( A + B ).

Assim, o Último Teorema de Fermat não tem solução em inteiros positivos para expoentes ímpares n >2.

2. Caso dois: expoente n - numero par .

A essência do último teorema de Fermat não mudará se reescrevermos a equação /1/ como segue:

Um = Cn - Bn /7/

Neste caso, a equação /7/ é transformada da seguinte forma:

A n = C n - B n = ( COM +B)∙(C n-1 + C n-2 · B+ C n-3 ∙ B 2 +…+ C ∙ Bn -2 + Bn -1 ). /8/

Nós aceitamos isso COM E EM- números inteiros.

Da equação /8/ segue-se que para determinados valores de números B E C fator (C+ B ) tem o mesmo valor para qualquer valor do expoente n , portanto é um divisor do número A .

Vamos supor que o número A– um número inteiro. Levando em consideração as condições aceitas e o teorema fundamental da aritmética, a condição deve ser satisfeita :

A n =C n - Bn =(C+ B ) n ∙ Dn , / 9/

onde está o fator Dn deve ser um número inteiro e, portanto, o número D também deve ser um número inteiro.

Da equação /9/ segue:

/10/

Da equação /9/ também segue que o número [ A n = COM n - Bn ] desde que o número A– um número inteiro, deve ser divisível por um número (C+ B ) n. Porém, sabe-se que:

COM n - Bn < (С+ B ) n /11/

Por isso:

- um número fracionário menor que um. /12/

Um número fracionário.

Segue-se que para um valor ímpar do expoente n a equação /1/ do último teorema de Fermat não tem solução em inteiros positivos.

Para expoentes pares n >2 número:

< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.

Assim, o último teorema de Fermat não tem solução em inteiros positivos e para expoentes pares n >2.

A conclusão geral segue do acima: a equação /1/ do último teorema de Fermat não tem solução em inteiros positivos A, B E COM desde que o expoente n >2.

JUSTIFICATIVA ADICIONAL

No caso em que o expoente n – número par, expressão algébrica ( Cn - Bn ) se decompõe em fatores algébricos:

C 2 – B 2 =(CB) ∙ (C+B); /13/

C 4 – B 4 = ( CB) ∙ (C+B) (C 2 + B 2);/14/

C 6 – B 6 =(C-B) ∙ (C+B) · (C 2 –CB + B 2) ∙ (C 2 +CB+ B 2) ; /15/

C 8 – B 8= (C-B) ∙ (C+B) ∙ (C 2 + B 2) ∙ (C 4 + B 4)./16/

Vamos dar exemplos em números.

EXEMPLO 1: B=11; C=35.

C 2 – B 2 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) = 2 4 3 23;

C 4 – B 4 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) (2 673) = 2 4 3 23 673;

C 6 – B 6 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 · 23) · (31 2) · (3 · 577) =2 ∙ 3 ​​​​∙ 23 ∙ 31 2 ∙ 577;

C 8 – B 8 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) (2 673) ∙ (2 75633) = 2 5 ∙ 3 ∙ 23 ∙673 ∙ 75633 .

EXEMPLO 2: B=16; C=25.

C 2 – B 2 = (3 2) ∙ (41) = 3 2 ∙ 41;

C 4 – B 4 = (3 2) ∙ (41) · (881) =3 2 ∙ 41 · 881;

C 6 – B 6 = (3 2) ∙ (41) ∙ (2 2 ∙ 3) ∙ (13 37) (3 ∙ 7 61) = 3 3 7 ∙ 13 37 ∙ 41 ∙ 61;

C 8 – B 8 = (3 2) ∙ (41) ∙ (881) ∙ (17 26833) = 3 2 ∙ 41 ∙ 881 ∙ 17 26833.

Da análise das equações /13/, /14/, /15/ e /16/ e dos exemplos numéricos correspondentes segue-se:

Para um determinado expoente n , se for um número par, o número A n =C n - Bn decompõe-se em um número bem definido de fatores algébricos bem definidos;

Para qualquer expoente n , se for um número par, na expressão algébrica ( Cn - Bn ) sempre há multiplicadores ( C - B ) E ( C + B ) ;

Cada fator algébrico corresponde a um fator numérico completamente definido;

Para determinados números EM E COM os fatores numéricos podem ser números primos ou fatores numéricos compostos;

Cada fator numérico composto é um produto de números primos que estão parcial ou completamente ausentes de outros fatores numéricos compostos;

O tamanho dos números primos na composição dos fatores numéricos compostos aumenta com o aumento desses fatores;

O maior fator numérico composto correspondente ao maior fator algébrico inclui o maior número primo elevado a uma potência menor que o expoente n(na maioria das vezes no primeiro grau).

CONCLUSÕES: Evidências adicionais apoiam a conclusão de que o Último Teorema de Fermat não tem solução em inteiros positivos.

engenheiro mecânico

A julgar pela popularidade da consulta "teorema de Fermat - prova curta" este problema matemático realmente interessa a muitas pessoas. Este teorema foi declarado pela primeira vez por Pierre de Fermat em 1637 na borda de uma cópia da Aritmética, onde ele afirmava ter uma solução grande demais para caber na borda.

A primeira prova bem-sucedida foi publicada em 1995, uma prova completa do teorema de Fermat por Andrew Wiles. Foi descrito como um “progresso impressionante” e levou Wiles a receber o Prêmio Abel em 2016. Embora descrita de forma relativamente breve, a prova do teorema de Fermat também provou grande parte do teorema da modularidade e abriu novas abordagens para vários outros problemas e métodos eficazes para aumentar a modularidade. Essas conquistas avançaram a matemática em 100 anos. A prova do pequeno teorema de Fermat não é algo fora do comum hoje.

O problema não resolvido estimulou o desenvolvimento da teoria algébrica dos números no século XIX e a busca por uma prova do teorema da modularidade no século XX. É um dos teoremas mais notáveis ​​da história da matemática e, antes da prova completa do último teorema de Fermat por divisão, estava no Livro de Recordes do Guinness como o "problema matemático mais difícil", uma das características do qual é que tem o maior número de provas falhadas.

Referência histórica

A equação pitagórica x 2 + y 2 = z 2 tem um número infinito de soluções inteiras positivas para x, y e z. Essas soluções são conhecidas como trindades pitagóricas. Por volta de 1637, Fermat escreveu na margem de um livro que a equação mais geral a n + b n = c n não tinha soluções em números naturais se n fosse um número inteiro maior que 2. Embora o próprio Fermat afirmasse ter uma solução para seu problema, ele o fez. não deixe nenhum detalhe sobre sua prova. A prova elementar do teorema de Fermat, apresentada pelo seu criador, foi antes uma invenção arrogante dele. O livro do grande matemático francês foi descoberto 30 anos após sua morte. Esta equação, chamada Último Teorema de Fermat, permaneceu sem solução na matemática durante três séculos e meio.

O teorema acabou se tornando um dos problemas não resolvidos mais notáveis ​​da matemática. As tentativas de provar isso geraram desenvolvimentos significativos na teoria dos números e, com o tempo, o Último Teorema de Fermat tornou-se conhecido como um problema não resolvido em matemática.

Breve história de evidências

Se n = 4, como o próprio Fermat provou, basta provar o teorema dos índices n, que são números primos. Ao longo dos dois séculos seguintes (1637-1839) a conjectura foi provada apenas para os números primos 3, 5 e 7, embora Sophie Germain tenha atualizado e provado uma abordagem que se aplicava a toda a classe de números primos. Em meados do século 19, Ernst Kummer expandiu isso e provou o teorema para todos os primos regulares, fazendo com que os primos irregulares fossem analisados ​​individualmente. Com base no trabalho de Kummer e usando pesquisas computacionais sofisticadas, outros matemáticos conseguiram expandir a solução do teorema, com o objetivo de cobrir todos os expoentes maiores até quatro milhões, mas a prova para todos os expoentes ainda não estava disponível (o que significa que os matemáticos geralmente consideravam a solução ao teorema impossível, extremamente difícil ou inatingível com o conhecimento atual).

Trabalho de Shimura e Taniyama

Em 1955, os matemáticos japoneses Goro Shimura e Yutaka Taniyama suspeitaram que havia uma ligação entre curvas elípticas e formas modulares, duas áreas completamente diferentes da matemática. Conhecida na época como conjectura de Taniyama-Shimura-Weil e (eventualmente) como teorema da modularidade, ela era independente, sem nenhuma conexão aparente com o último teorema de Fermat. Foi amplamente considerado um importante teorema matemático por si só, mas foi considerado (como o teorema de Fermat) impossível de provar. Ao mesmo tempo, a prova do grande teorema de Fermat (pelo método de divisão e pelo uso de fórmulas matemáticas complexas) foi realizada apenas meio século depois.

Em 1984, Gerhard Frey notou uma ligação óbvia entre estes dois problemas anteriormente não relacionados e não resolvidos. A prova completa de que os dois teoremas estavam intimamente relacionados foi publicada em 1986 por Ken Ribet, que se baseou em uma prova parcial de Jean-Pierre Serres, que provou todas as partes, exceto uma, conhecida como "conjectura épsilon". Simplificando, estes trabalhos de Frey, Serres e Ribe mostraram que se o teorema da modularidade pudesse ser provado para pelo menos uma classe semiestável de curvas elípticas, então a prova do último teorema de Fermat também seria descoberta mais cedo ou mais tarde. Qualquer solução que possa contradizer o último teorema de Fermat também pode ser usada para contradizer o teorema da modularidade. Portanto, se o teorema da modularidade for verdadeiro, então, por definição, não pode haver uma solução que contradiga o último teorema de Fermat, o que significa que deveria ter sido provado em breve.

Embora ambos os teoremas fossem problemas difíceis em matemática, considerados insolúveis, o trabalho dos dois japoneses foi a primeira sugestão de como o último teorema de Fermat poderia ser estendido e provado para todos os números, não apenas para alguns. Importante para os pesquisadores que escolheram o tema de pesquisa foi o fato de que, ao contrário do último teorema de Fermat, o teorema da modularidade era uma importante área ativa de pesquisa para a qual uma prova foi desenvolvida, e não apenas uma estranheza histórica, então o tempo gasto trabalhar nisso poderia ser justificado do ponto de vista profissional. No entanto, o consenso geral foi que resolver a conjectura de Taniyama-Shimura não era prático.

Último Teorema de Fermat: Prova de Wiles

Depois de saber que Ribet havia provado que a teoria de Frey estava correta, o matemático inglês Andrew Wiles, que se interessava pelo último teorema de Fermat desde a infância e tinha experiência em trabalhar com curvas elípticas e campos relacionados, decidiu tentar provar a conjectura de Taniyama-Shimura como forma de prove o último teorema de Fermat. Em 1993, seis anos depois de anunciar seu objetivo, enquanto trabalhava secretamente no problema de resolver o teorema, Wiles conseguiu provar uma conjectura relacionada, que por sua vez o ajudaria a provar o último teorema de Fermat. O documento de Wiles era enorme em tamanho e escopo.

A falha foi descoberta em uma parte de seu artigo original durante a revisão por pares e exigiu mais um ano de colaboração com Richard Taylor para resolver o teorema em conjunto. Como resultado, a prova final de Wiles do Último Teorema de Fermat não demorou a chegar. Em 1995, foi publicado numa escala muito menor do que o trabalho matemático anterior de Wiles, mostrando claramente que ele não se enganou nas suas conclusões anteriores sobre a possibilidade de provar o teorema. A conquista de Wiles foi amplamente divulgada na imprensa popular e popularizada em livros e programas de televisão. As partes restantes da conjectura de Taniyama-Shimura-Weil, que agora foram provadas e são conhecidas como teorema da modularidade, foram posteriormente provadas por outros matemáticos que se basearam no trabalho de Wiles entre 1996 e 2001. Por sua conquista, Wiles foi homenageado e recebeu diversos prêmios, incluindo o Prêmio Abel 2016.

A prova de Wiles do último teorema de Fermat é um caso especial de solução do teorema da modularidade para curvas elípticas. No entanto, este é o caso mais famoso de uma operação matemática em grande escala. Junto com a resolução do teorema de Ribet, o matemático britânico também obteve a prova do último teorema de Fermat. O Último Teorema de Fermat e o Teorema da Modularidade foram quase universalmente considerados improváveis ​​pelos matemáticos modernos, mas Andrew Wiles foi capaz de provar a todo o mundo científico que até mesmo os especialistas podem estar enganados.

Wiles anunciou sua descoberta pela primeira vez na quarta-feira, 23 de junho de 1993, em uma palestra em Cambridge intitulada "Formas Modulares, Curvas Elípticas e Representações de Galois". No entanto, em Setembro de 1993, foi determinado que os seus cálculos continham um erro. Um ano depois, em 19 de setembro de 1994, no que ele chamaria de “o momento mais importante de sua vida profissional”, Wiles se deparou com uma revelação que lhe permitiu corrigir a solução do problema até o ponto em que ela pudesse satisfazer os requisitos matemáticos. comunidade.

Características do trabalho

A prova de Andrew Wiles do teorema de Fermat usa muitas técnicas da geometria algébrica e da teoria dos números e tem muitas ramificações nessas áreas da matemática. Ele também usa construções padrão da geometria algébrica moderna, como a categoria de esquemas e a teoria de Iwasawa, bem como outros métodos do século XX que não estavam disponíveis para Pierre Fermat.

Os dois artigos contendo as evidências totalizam 129 páginas e foram escritos ao longo de sete anos. John Coates descreveu esta descoberta como uma das maiores conquistas da teoria dos números, e John Conway a chamou de a principal conquista matemática do século XX. Wiles, a fim de provar o último teorema de Fermat provando o teorema da modularidade para o caso especial de curvas elípticas semiestáveis, desenvolveu métodos poderosos para aumentar a modularidade e descobriu novas abordagens para vários outros problemas. Por resolver o último teorema de Fermat ele foi nomeado cavaleiro e recebeu outros prêmios. Quando foi anunciado que Wiles havia ganhado o Prêmio Abel, a Academia Norueguesa de Ciências descreveu sua conquista como “uma prova maravilhosa e elementar do último teorema de Fermat”.

Como foi

Uma das pessoas que analisou o manuscrito original de Wiles sobre a solução do teorema foi Nick Katz. Durante a sua revisão, ele fez ao britânico uma série de perguntas esclarecedoras, o que forçou Wiles a admitir que o seu trabalho continha claramente uma lacuna. Houve um erro numa parte crítica da prova que deu uma estimativa para a ordem de um grupo específico: o sistema de Euler usado para estender o método Kolyvagin e Flach estava incompleto. O erro, no entanto, não tornou o seu trabalho inútil - cada parte do trabalho de Wiles foi muito significativa e inovadora em si, assim como muitos dos desenvolvimentos e métodos que ele criou no decorrer do seu trabalho e que afectaram apenas uma parte do seu trabalho. o manuscrito. No entanto, este trabalho original, publicado em 1993, não forneceu realmente uma prova do Último Teorema de Fermat.

Wiles passou quase um ano tentando redescobrir a solução do teorema, primeiro sozinho e depois em colaboração com seu ex-aluno Richard Taylor, mas tudo parecia ter sido em vão. No final de 1993, espalharam-se rumores de que a prova de Wiles havia falhado nos testes, mas não se sabia a gravidade da falha. Os matemáticos começaram a pressionar Wiles para que revelasse os detalhes do seu trabalho, estivesse ele concluído ou não, para que a comunidade mais ampla de matemáticos pudesse explorar e usar tudo o que ele havia conseguido. Em vez de corrigir rapidamente o seu erro, Wiles apenas descobriu complexidades adicionais na prova do último teorema de Fermat e finalmente percebeu o quão difícil era.

Wiles afirma que na manhã de 19 de setembro de 1994, ele estava prestes a desistir e desistir, e quase se resignou ao fato de ter falhado. Ele estava disposto a publicar seu trabalho inacabado para que outros pudessem desenvolvê-lo e descobrir onde ele havia errado. O matemático inglês decidiu dar-se uma última oportunidade e analisou o teorema uma última vez para tentar compreender as principais razões pelas quais a sua abordagem não funcionou, quando de repente percebeu que a abordagem Kolyvagin-Flac não funcionaria até que incluísse também a prova em o processo da teoria de Iwasawa, fazendo-o funcionar.

Em 6 de outubro, Wiles pediu a três colegas (incluindo Faltins) que revisassem seu novo trabalho e, em 24 de outubro de 1994, ele apresentou dois manuscritos, "Curvas elípticas modulares e o último teorema de Fermat" e "Propriedades teóricas do anel de algumas álgebras de Hecke". ", o segundo dos quais Wiles co-escreveu com Taylor e argumentou que certas condições necessárias para justificar a etapa corrigida no artigo principal foram atendidas.

Esses dois artigos foram revisados ​​e finalmente publicados como uma edição de texto completo na edição de maio de 1995 dos Annals of Mathematics. Os novos cálculos de Andrew foram amplamente analisados ​​e eventualmente aceitos pela comunidade científica. Esses trabalhos estabeleceram o teorema da modularidade para curvas elípticas semiestáveis, passo final para a prova do Último Teorema de Fermat, 358 anos após sua criação.

História do Grande Problema

Resolver este teorema tem sido considerado o maior problema da matemática há muitos séculos. Em 1816 e novamente em 1850, a Academia Francesa de Ciências ofereceu um prêmio para uma prova geral do Último Teorema de Fermat. Em 1857, a Academia concedeu 3.000 francos e uma medalha de ouro a Kummer por sua pesquisa sobre números ideais, embora ele não tenha se candidatado ao prêmio. Outro prêmio foi oferecido a ele em 1883 pela Academia de Bruxelas.

Prêmio Wolfskehl

Em 1908, o industrial alemão e matemático amador Paul Wolfskehl legou 100.000 marcos de ouro (uma grande soma para a época) à Academia de Ciências de Göttingen como prêmio por uma prova completa do Último Teorema de Fermat. Em 27 de junho de 1908, a Academia publicou nove regras de premiação. Entre outras coisas, essas regras exigiam a publicação das evidências em um periódico revisado por pares. O prêmio só seria concedido dois anos após a publicação. A competição expiraria em 13 de setembro de 2007 - aproximadamente um século depois de seu início. Em 27 de junho de 1997, Wiles recebeu o prêmio em dinheiro de Wolfschel e depois outros US$ 50.000. Em março de 2016, ele recebeu € 600.000 do governo norueguês como parte do Prêmio Abel por sua "prova impressionante do último teorema de Fermat usando a conjectura da modularidade para curvas elípticas semiestáveis, abrindo uma nova era na teoria dos números". Foi um triunfo mundial para o humilde inglês.

Antes da prova de Wiles, o teorema de Fermat, como mencionado anteriormente, foi considerado absolutamente insolúvel durante séculos. Milhares de evidências incorretas foram apresentadas ao comitê de Wolfskehl em vários momentos, totalizando aproximadamente 3 metros de correspondência. Só no primeiro ano de existência do prémio (1907-1908), foram apresentadas 621 candidaturas pretendendo resolver o teorema, embora na década de 1970 este número tenha diminuído para aproximadamente 3-4 candidaturas por mês. De acordo com F. Schlichting, revisor de Wolfschel, a maior parte das evidências baseava-se em métodos rudimentares ensinados nas escolas e eram frequentemente apresentadas por "pessoas com formação técnica, mas com uma carreira malsucedida". Segundo o historiador da matemática Howard Aves, o último teorema de Fermat estabeleceu uma espécie de recorde - é o teorema com mais provas incorretas.

Os louros de Fermat foram para os japoneses

Como mencionado anteriormente, por volta de 1955, os matemáticos japoneses Goro Shimura e Yutaka Taniyama descobriram uma possível conexão entre dois ramos da matemática aparentemente completamente diferentes - curvas elípticas e formas modulares. O teorema da modularidade resultante (então conhecido como conjectura de Taniyama-Shimura) de sua pesquisa afirma que toda curva elíptica é modular, o que significa que pode ser associada a uma forma modular única.

A teoria foi inicialmente rejeitada como improvável ou altamente especulativa, mas foi levada mais a sério quando o teórico dos números Andre Weyl encontrou evidências para apoiar as descobertas dos japoneses. Como resultado, a conjectura foi frequentemente chamada de conjectura de Taniyama-Shimura-Weil. Passou a fazer parte do programa Langlands, que é uma lista de hipóteses importantes que requerem comprovação no futuro.

Mesmo depois de muita atenção, a conjectura foi reconhecida pelos matemáticos modernos como extremamente difícil ou talvez impossível de provar. Agora é esse teorema que aguarda Andrew Wiles, que poderá surpreender o mundo inteiro com sua solução.

Teorema de Fermat: prova de Perelman

Apesar do mito popular, o matemático russo Grigory Perelman, apesar de toda a sua genialidade, nada tem a ver com o teorema de Fermat. O que, no entanto, em nada prejudica os seus numerosos serviços prestados à comunidade científica.

Assim, o Último Teorema de Fermat (muitas vezes chamado de último teorema de Fermat), formulado em 1637 pelo brilhante matemático francês Pierre Fermat, é de natureza muito simples e compreensível para qualquer pessoa com ensino médio. Diz que a fórmula a elevado a n + b elevado a n = c elevado a n não tem soluções naturais (ou seja, não fracionárias) para n > 2. Tudo parece simples e claro, mas o os melhores matemáticos e amadores comuns lutaram para encontrar uma solução por mais de três séculos e meio.

Por que ela é tão famosa? Agora vamos descobrir...



Existem muitos teoremas comprovados, não comprovados e ainda não comprovados? A questão aqui é que o Último Teorema de Fermat representa o maior contraste entre a simplicidade da formulação e a complexidade da prova. O Último Teorema de Fermat é um problema incrivelmente difícil, mas sua formulação pode ser compreendida por qualquer pessoa do 5º ano do ensino médio, mas nem mesmo todo matemático profissional consegue entender a prova. Nem na física, nem na química, nem na biologia, nem na matemática, existe um único problema que pudesse ser formulado de forma tão simples, mas que permanecesse sem solução por tanto tempo. 2. Em que consiste?

Vamos começar com as calças pitagóricas. O texto é muito simples - à primeira vista. Como sabemos desde a infância, “as calças pitagóricas são iguais em todos os lados”. O problema parece tão simples porque foi baseado em uma afirmação matemática que todos conhecem - o teorema de Pitágoras: em qualquer triângulo retângulo, o quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma dos quadrados construídos sobre os catetos.

No século 5 aC. Pitágoras fundou a irmandade pitagórica. Os pitagóricos, entre outras coisas, estudaram trigêmeos inteiros que satisfazem a igualdade x²+y²=z². Eles provaram que existem infinitos triplos pitagóricos e obtiveram fórmulas gerais para encontrá-los. Eles provavelmente tentaram procurar graus C e superiores. Convencidos de que isso não funcionou, os pitagóricos abandonaram as tentativas inúteis. Os membros da irmandade eram mais filósofos e estetas do que matemáticos.


Ou seja, é fácil selecionar um conjunto de números que satisfaça perfeitamente a igualdade x²+y²=z²

Começando com 3, 4, 5 - na verdade, um estudante júnior entende que 9 + 16 = 25.

Ou 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Ótimo.

E assim por diante. E se tomarmos uma equação semelhante x³+y³=z³? Talvez existam esses números também?




E assim por diante (Fig. 1).

Então, acontece que eles NÃO são. É aqui que o truque começa. A simplicidade é aparente, porque é difícil provar não a presença de algo, mas, pelo contrário, a sua ausência. Quando precisar provar que existe uma solução, você pode e deve simplesmente apresentar essa solução.

Provar ausência é mais difícil: por exemplo, alguém diz: tal e tal equação não tem solução. Colocá-lo em uma poça? fácil: bam - e aqui está a solução! (dar solução). E pronto, o adversário está derrotado. Como comprovar ausência?

Diga: “Não encontrei essas soluções”? Ou talvez você não estivesse bem? E se eles existirem, apenas muito grandes, muito grandes, de tal forma que mesmo um computador superpoderoso ainda não tenha força suficiente? Isto é o que é difícil.

Isso pode ser mostrado visualmente assim: se você pegar dois quadrados de tamanhos adequados e desmontá-los em quadrados unitários, então deste monte de quadrados unitários você obterá um terceiro quadrado (Fig. 2):


Mas vamos fazer o mesmo com a terceira dimensão (Fig. 3) – não funciona. Não há cubos suficientes ou sobraram cubos extras:





Mas o matemático francês do século XVII, Pierre de Fermat, estudou com entusiasmo a equação geral x n +y n =z n . E finalmente concluí: para n>2 não existem soluções inteiras. A prova de Fermat está irremediavelmente perdida. Manuscritos estão queimando! Tudo o que resta é a sua observação na Aritmética de Diofanto: “Encontrei uma prova verdadeiramente surpreendente desta proposição, mas as margens aqui são demasiado estreitas para a conter”.

Na verdade, um teorema sem prova é chamado de hipótese. Mas Fermat tem a reputação de nunca cometer erros. Mesmo que ele não tenha deixado provas de uma declaração, esta foi posteriormente confirmada. Além disso, Fermat provou sua tese para n=4. Assim, a hipótese do matemático francês ficou para a história como o Último Teorema de Fermat.

Depois de Fermat, grandes mentes como Leonhard Euler trabalharam na busca por uma prova (em 1770 ele propôs uma solução para n = 3),

Adrien Legendre e Johann Dirichlet (estes cientistas encontraram em conjunto a prova para n = 5 em 1825), Gabriel Lamé (que encontrou a prova para n = 7) e muitos outros. Em meados da década de 80 do século passado, ficou claro que o mundo científico estava a caminho da solução final do Último Teorema de Fermat, mas somente em 1993 os matemáticos viram e acreditaram que o épico de três séculos de busca por uma prova do último teorema de Fermat estava praticamente terminado.

É facilmente demonstrado que basta provar o teorema de Fermat apenas para n simples: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Para n composto, a prova permanece válida. Mas existem infinitos números primos...

Em 1825, usando o método de Sophie Germain, as matemáticas Dirichlet e Legendre provaram independentemente o teorema para n=5. Em 1839, utilizando o mesmo método, o francês Gabriel Lame mostrou a veracidade do teorema para n=7. Gradualmente, o teorema foi provado para quase todos os n menores que cem.


Finalmente, o matemático alemão Ernst Kummer, num estudo brilhante, mostrou que o teorema em geral não pode ser provado usando os métodos da matemática do século XIX. O Prêmio da Academia Francesa de Ciências, criado em 1847 para a prova do teorema de Fermat, permaneceu sem prêmio.

Em 1907, o rico industrial alemão Paul Wolfskehl decidiu tirar a própria vida por causa de um amor não correspondido. Como um verdadeiro alemão, ele marcou a data e a hora do suicídio: exatamente à meia-noite. No último dia fez testamento e escreveu cartas para amigos e parentes. As coisas terminaram antes da meia-noite. Deve ser dito que Paul estava interessado em matemática. Não tendo mais nada para fazer, foi à biblioteca e começou a ler o famoso artigo de Kummer. De repente, teve a impressão de que Kummer havia cometido um erro de raciocínio. Wolfskel começou a analisar esta parte do artigo com um lápis nas mãos. A meia-noite passou, a manhã chegou. A lacuna na prova foi preenchida. E o próprio motivo do suicídio agora parecia completamente ridículo. Paulo rasgou suas cartas de despedida e reescreveu seu testamento.

Ele logo morreu de causas naturais. Os herdeiros ficaram bastante surpresos: 100.000 marcos (mais de 1.000.000 de libras esterlinas atuais) foram transferidos para a conta da Real Sociedade Científica de Göttingen, que no mesmo ano anunciou um concurso para o Prêmio Wolfskehl. 100.000 marcos foram concedidos à pessoa que provou o teorema de Fermat. Nem um centavo foi concedido por refutar o teorema...

A maioria dos matemáticos profissionais considerava a busca por uma prova do Último Teorema de Fermat uma tarefa impossível e recusou-se resolutamente a perder tempo com um exercício tão inútil. Mas os amadores se divertiram muito. Poucas semanas após o anúncio, uma avalanche de “evidências” atingiu a Universidade de Göttingen. O professor E.M. Landau, cuja responsabilidade era analisar as provas enviadas, distribuiu cartões aos seus alunos:


Querido. . . . . . . .

Obrigado por me enviar o manuscrito com a prova do Último Teorema de Fermat. O primeiro erro está na página... na linha... . Por causa disso, toda a prova perde a validade.
Professor EM Landau











Em 1963, Paul Cohen, apoiando-se nas descobertas de Gödel, provou a insolubilidade de um dos vinte e três problemas de Hilbert - a hipótese do contínuo. E se o Último Teorema de Fermat também for indecidível?! Mas os verdadeiros fanáticos do Grande Teorema não ficaram nem um pouco desapontados. O advento dos computadores deu repentinamente aos matemáticos um novo método de prova. Após a Segunda Guerra Mundial, equipes de programadores e matemáticos provaram o Último Teorema de Fermat para todos os valores de n até 500, depois até 1.000 e mais tarde até 10.000.

Na década de 1980, Samuel Wagstaff aumentou o limite para 25.000 e, na década de 1990, os matemáticos declararam que o Último Teorema de Fermat era verdadeiro para todos os valores de n até 4 milhões. Mas se você subtrair até mesmo um trilhão de trilhões do infinito, ele não ficará menor. Os matemáticos não são convencidos pelas estatísticas. Provar o Grande Teorema significava prová-lo para TODO e indo até o infinito.




Em 1954, dois jovens amigos matemáticos japoneses começaram a pesquisar formas modulares. Esses formulários geram séries de números, cada um com sua série. Por acaso, Taniyama comparou essas séries com séries geradas por equações elípticas. Eles combinaram! Mas as formas modulares são objetos geométricos e as equações elípticas são algébricas. Nenhuma conexão jamais foi encontrada entre objetos tão diferentes.

No entanto, após testes cuidadosos, amigos apresentaram uma hipótese: toda equação elíptica tem um gêmeo - uma forma modular e vice-versa. Foi essa hipótese que se tornou a base de toda uma direção na matemática, mas até que a hipótese Taniyama-Shimura fosse comprovada, todo o edifício poderia desabar a qualquer momento.

Em 1984, Gerhard Frey mostrou que uma solução para a equação de Fermat, se existir, pode ser incluída em alguma equação elíptica. Dois anos depois, o professor Ken Ribet provou que esta equação hipotética não poderia ter contrapartida no mundo modular. A partir de agora, o Último Teorema de Fermat estava inextricavelmente ligado à conjectura de Taniyama-Shimura. Tendo provado que qualquer curva elíptica é modular, concluímos que não existe equação elíptica com solução para a equação de Fermat, e o Último Teorema de Fermat seria imediatamente provado. Mas durante trinta anos não foi possível provar a hipótese de Taniyama-Shimura e havia cada vez menos esperança de sucesso.

Em 1963, quando tinha apenas dez anos, Andrew Wiles já era fascinado pela matemática. Quando aprendeu sobre o Grande Teorema, percebeu que não poderia desistir dele. Quando estudante, estudante e estudante de pós-graduação, ele se preparou para essa tarefa.

Tendo aprendido sobre as descobertas de Ken Ribet, Wiles mergulhou de cabeça na prova da conjectura de Taniyama-Shimura. Ele decidiu trabalhar em completo isolamento e sigilo. “Percebi que tudo o que tinha a ver com o Último Teorema de Fermat desperta muito interesse... Muitos espectadores obviamente interferem no alcance do objetivo.” Sete anos de trabalho duro foram recompensados; Wiles finalmente completou a prova da conjectura de Taniyama-Shimura.

Em 1993, o matemático inglês Andrew Wiles apresentou ao mundo sua prova do Último Teorema de Fermat (Wiles leu seu artigo sensacional em uma conferência no Instituto Sir Isaac Newton em Cambridge), trabalho que durou mais de sete anos.







Enquanto o hype continuava na imprensa, um trabalho sério começou a verificar as evidências. Cada evidência deve ser cuidadosamente examinada antes que a evidência possa ser considerada rigorosa e precisa. Wiles passou um verão agitado esperando o feedback dos revisores, na esperança de conseguir sua aprovação. No final de agosto, os especialistas consideraram que a decisão não estava suficientemente fundamentada.

Descobriu-se que esta decisão contém um erro grosseiro, embora em geral seja correta. Wiles não desistiu, recorreu à ajuda do famoso especialista em teoria dos números Richard Taylor, e já em 1994 publicou uma prova corrigida e ampliada do teorema. O mais surpreendente é que este trabalho ocupou até 130 (!) páginas na revista matemática “Annals of Mathematics”. Mas a história também não terminou aí - o ponto final só foi alcançado no ano seguinte, 1995, quando foi publicada a versão final e “ideal”, do ponto de vista matemático, da prova.

“...meio minuto após o início do jantar festivo por ocasião do seu aniversário, apresentei a Nadya o manuscrito da prova completa” (Andrew Wales). Ainda não disse que os matemáticos são pessoas estranhas?






Desta vez não houve dúvidas sobre as evidências. Dois artigos foram submetidos à análise mais cuidadosa e foram publicados em maio de 1995 nos Annals of Mathematics.

Muito tempo se passou desde aquele momento, mas ainda existe uma opinião na sociedade de que o Último Teorema de Fermat é insolúvel. Mas mesmo quem conhece a prova encontrada continua trabalhando nessa direção - poucos estão satisfeitos com o fato de o Grande Teorema exigir uma solução de 130 páginas!

Portanto, agora os esforços de muitos matemáticos (em sua maioria amadores, não cientistas profissionais) estão voltados para a busca por uma prova simples e concisa, mas esse caminho, muito provavelmente, não levará a lugar nenhum...

Para números inteiros n maiores que 2, a equação x n + y n = z n não tem soluções diferentes de zero em números naturais.

Você provavelmente se lembra dos seus tempos de escola teorema de Pitágoras: O quadrado da hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma dos quadrados dos catetos. Você também deve se lembrar do clássico triângulo retângulo com lados cujos comprimentos estão na proporção 3: 4: 5. Para isso, o teorema de Pitágoras se parece com isto:

Este é um exemplo de resolução da equação pitagórica generalizada em inteiros diferentes de zero com n= 2. Último Teorema de Fermat (também chamado de "Último Teorema de Fermat" e "Último Teorema de Fermat") é a afirmação de que para os valores n> 2 equações da forma x n + sim = z n não têm soluções diferentes de zero em números naturais.

A história do Último Teorema de Fermat é muito interessante e instrutiva, e não apenas para matemáticos. Pierre de Fermat contribuiu para o desenvolvimento de vários campos da matemática, mas a maior parte do seu legado científico foi publicada apenas postumamente. O fato é que a matemática para Fermat era uma espécie de hobby, e não uma ocupação profissional. Ele se correspondia com os principais matemáticos de sua época, mas não se esforçou para publicar seu trabalho. Os escritos científicos de Fermat são encontrados principalmente na forma de correspondência privada e notas fragmentárias, muitas vezes escritas nas margens de vários livros. Está nas margens (do segundo volume da antiga “Aritmética” grega de Diofante. - Observação tradutor) logo após a morte do matemático, os descendentes descobriram a formulação do famoso teorema e do pós-escrito:

« Encontrei uma prova verdadeiramente maravilhosa disso, mas esses campos são muito estreitos para isso».

Infelizmente, aparentemente, Fermat nunca se preocupou em escrever a “prova milagrosa” que encontrou, e os descendentes a procuraram sem sucesso por mais de três séculos. De toda a herança científica dispersa de Fermat, que contém muitas afirmações surpreendentes, foi o Grande Teorema que teimosamente se recusou a ser resolvido.

Quem tentou provar o Último Teorema de Fermat foi em vão! Outro grande matemático francês, René Descartes (1596-1650), chamou Fermat de “fanfarrão”, e o matemático inglês John Wallis (1616-1703) o chamou de “maldito francês”. O próprio Fermat, entretanto, ainda deixou uma prova de seu teorema para o caso n= 4. Com prova para n= 3 foi resolvido pelo grande matemático suíço-russo do século XVIII, Leonhard Euler (1707-83), após o que, incapaz de encontrar evidências para n> 4, sugeriu brincando que a casa de Fermat fosse revistada para encontrar a chave das evidências perdidas. No século XIX, novos métodos na teoria dos números tornaram possível provar a afirmação para muitos números inteiros dentro de 200, mas, novamente, não para todos.

Em 1908, foi estabelecido um prêmio de 100.000 marcos alemães para a solução deste problema. O fundo do prêmio foi legado pelo industrial alemão Paul Wolfskehl, que, segundo a lenda, iria cometer suicídio, mas ficou tão entusiasmado com o Último Teorema de Fermat que mudou de ideia sobre a morte. Com o advento da adição de máquinas e depois de computadores, a barra de valor n começou a subir cada vez mais - para 617 no início da Segunda Guerra Mundial, para 4.001 em 1954, para 125.000 em 1976. No final do século 20, os computadores mais poderosos dos laboratórios militares de Los Alamos (Novo México, EUA) foram programados para resolver o problema de Fermat em segundo plano (semelhante ao modo de proteção de tela de um computador pessoal). Assim, foi possível mostrar que o teorema é verdadeiro para valores incrivelmente grandes x, y, z E n, mas isso não poderia servir como uma prova estrita, uma vez que qualquer um dos seguintes valores n ou trigêmeos de números naturais poderiam refutar o teorema como um todo.

Finalmente, em 1994, o matemático inglês Andrew John Wiles (n. 1953), trabalhando em Princeton, publicou uma prova do Último Teorema de Fermat, que, após algumas modificações, foi considerada abrangente. A prova ocupou mais de cem páginas de periódicos e baseou-se no uso de aparatos modernos de matemática superior, que não foram desenvolvidos na época de Fermat. Então, o que Fermat quis dizer ao deixar uma mensagem nas margens do livro de que havia encontrado a prova? A maioria dos matemáticos com quem conversei sobre este tema apontaram que ao longo dos séculos houve provas incorretas mais do que suficientes do Último Teorema de Fermat, e que, muito provavelmente, o próprio Fermat encontrou uma prova semelhante, mas não conseguiu reconhecer o erro. iniciar. No entanto, é possível que ainda exista alguma prova curta e elegante do Último Teorema de Fermat que ninguém ainda encontrou. Só uma coisa pode ser dita com certeza: hoje sabemos com certeza que o teorema é verdadeiro. A maioria dos matemáticos, penso eu, concordaria sem reservas com Andrew Wiles, que comentou sobre a sua prova: “Agora, finalmente, a minha mente está em paz”.