É um . Neste artigo, definiremos termos semelhantes, descobriremos o que é chamado de redução de termos semelhantes, consideraremos as regras pelas quais essa ação é executada e daremos exemplos de redução de termos semelhantes com uma descrição detalhada da solução.
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Definição e exemplos de termos semelhantes.
Uma conversa sobre tais termos surge após o conhecimento de expressões literais, quando se torna necessário realizar transformações com elas. De acordo com os livros didáticos de matemática N. Ya. Vilenkin definição de termos semelhantesé ministrada no 6º ano, e tem a seguinte redação:
Definição.
Termos semelhantes são termos que têm a mesma parte da letra.
Vale a pena considerar esta definição com cuidado. Primeiro, estamos falando de termos e, como você sabe, termos são elementos constituintes de somas. Isso significa que tais termos só podem estar presentes em expressões que são somas. Em segundo lugar, na definição sonora de tais termos há um conceito desconhecido de “parte literal”. O que significa a parte da letra? Quando esta definição é dada na sexta série, a parte da letra refere-se a uma letra (variável) ou ao produto de várias letras. Em terceiro lugar, a pergunta permanece: “O que são esses termos com uma letra a parte”? Estes são os termos, que são o produto de um determinado número, o chamado coeficiente numérico e a parte da letra.
Agora você pode trazer exemplos de termos semelhantes. Considere a soma de dois termos 3·a e 2·a da forma 3·a+2·a . Os termos dessa soma têm a mesma parte da letra, que é representada pela letra a , portanto, por definição, esses termos são semelhantes. Os coeficientes numéricos desses termos semelhantes são os números 3 e 2 .
Outro exemplo: total 5 x y 3 z+12 x y 3 z+1 os termos 5·x·y 3 ·z e 12·x·y 3 ·z com a mesma parte literal x·y 3 ·z são semelhantes. Observe que y 3 está presente na parte literal, sua presença não viola a definição da parte literal dada acima, pois é, de fato, o produto de y·y·y .
Separadamente, notamos que os coeficientes numéricos 1 e −1 para tais termos geralmente não são escritos explicitamente. Por exemplo, na soma 3 z 5 +z 5 −z 5 todos os três termos 3 z 5 , z 5 e −z 5 são semelhantes, eles têm a mesma letra parte z 5 e coeficientes 3 , 1 e −1 respectivamente, de onde 1 e −1 não são claramente visíveis.
A partir disso, na soma 5+7 x−4+2 x+y, não apenas 7 x e 2 x são termos semelhantes, mas também os termos sem a parte da letra 5 e −4 .
Mais tarde, o conceito de parte literal também se expande - começo a considerar a parte literal não apenas o produto de letras, mas uma expressão literal arbitrária. Por exemplo, no livro de álgebra para autores da 8ª série Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorov, editado por S. A. Telyakovsky, uma soma da forma é fornecida e diz-se que seus termos componentes são semelhantes. A parte literal comum desses termos semelhantes é uma expressão com uma raiz da forma .
Da mesma forma, termos semelhantes na expressão 4 (x 2 +x−1/x)−0,5 (x 2 +x−1/x)−1 podemos considerar os termos 4 (x 2 +x−1/x) e −0,5 (x 2 +x−1/x) , pois eles têm a mesma parte da letra (x 2 +x−1/x) .
Resumindo todas as informações acima, podemos dar a seguinte definição de termos semelhantes.
Definição.
Termos semelhantes são chamados termos em uma expressão literal que possuem a mesma parte literal, assim como termos que não possuem uma parte literal, onde a parte literal é entendida como qualquer expressão literal.
Separadamente, dizemos que termos semelhantes podem ser iguais (quando seus coeficientes numéricos são iguais), ou podem ser diferentes (quando seus coeficientes numéricos são diferentes).
Ao concluir este parágrafo, discutiremos um ponto muito sutil. Considere a expressão 2 x y+3 y x . Os termos 2 x y e 3 y x são semelhantes? Esta questão também pode ser formulada da seguinte forma: “As partes literais x y e y x dos termos indicados são as mesmas”? A ordem dos fatores literais neles é diferente, de modo que de fato eles não são os mesmos, portanto, os termos 2·x·y e 3·y·x à luz da definição apresentada acima não são semelhantes.
No entanto, muitas vezes esses termos são chamados de termos semelhantes (mas por uma questão de rigor, é melhor não fazer isso). Neste caso, eles são guiados pelo seguinte: de acordo com a permutação dos fatores no produto, isso não afeta o resultado, então a expressão original 2 x y+3 y x pode ser reescrita como 2 x y+3 x y , cujos termos são semelhantes. Ou seja, quando eles falam de termos semelhantes 2 x y e 3 y x na expressão 2 x y+3 y x , eles significam os termos 2 x y e 3 x y na expressão transformada da forma 2 x y+3 x y .
Redução de termos semelhantes, regra, exemplos
A transformação de expressões contendo termos semelhantes implica a adição desses termos. Esta ação tem um nome especial - redução de termos semelhantes.
A redução de termos semelhantes é realizada em três etapas:
- primeiro, os termos são rearranjados de forma que termos semelhantes fiquem próximos uns dos outros;
- depois disso, a parte literal de termos semelhantes é retirada dos colchetes;
- por fim, calcula-se o valor da expressão numérica formada entre parênteses.
Vamos analisar as etapas gravadas com um exemplo. Apresentamos termos semelhantes na expressão 3 x y+1+5 x y . Primeiro, reorganizamos os termos de modo que os termos semelhantes 3 x y e 5 x y fiquem próximos um do outro: 3 x y+1+5 x y=3 x y+5 x y+1. Em segundo lugar, retiramos a parte literal dos colchetes, obtemos a expressão x·y·(3+5)+1 . Em terceiro lugar, calculamos o valor da expressão que foi formada entre parênteses: x·y·(3+5)+1=x·y·8+1 . Como é costume escrever o coeficiente numérico antes da parte da letra, vamos transferi-lo para este lugar: x·y·8+1=8·x·y+1. Isso completa a redução de termos semelhantes.
Por conveniência, as três etapas acima são combinadas em regra para reduzir termos semelhantes: para trazer termos semelhantes, você precisa somar seus coeficientes e multiplicar o resultado pela parte da letra (se houver).
A solução do exemplo anterior usando a regra de redução de termos semelhantes será mais curta. Vamos trazê-lo. Os coeficientes de termos semelhantes 3 x y e 5 x y na expressão 3 x y+1+5 x y são os números 3 e 5, sua soma é 8, multiplicando pela parte da letra x y , obtemos o resultado da redução desses termos é 8·x·y. Resta não esquecer o termo 1 na expressão original, como resultado temos 3 x y+1+5 x y=8 x y+1 .
Instrução
Antes de trazer termos semelhantes em um polinômio, muitas vezes é necessário realizar ações intermediárias: abrir todos os colchetes, elevar e trazer os próprios termos para a forma padrão. Ou seja, escreva-os como um produto de um fator numérico e variáveis. Por exemplo, a expressão 3xy(-1.5)y², reduzida à forma padrão, ficará assim: -4.5xy³.
Expanda todos os colchetes. Omita parênteses em expressões como A+B+C. Se houver um sinal de mais na frente dele, todos os termos serão preservados. Se houver um sinal de menos na frente dos colchetes, inverta os sinais de todos os termos. Por exemplo, (x³–2x)–(11x²–5ax)=x³–2x–11x²+5ax.
Se você precisar multiplicar um polinômio por um polinômio, multiplique todos os termos e some os monômios resultantes. Ao elevar um polinômio A+B a uma potência, use a multiplicação abreviada. Por exemplo, (2ax–3y)(4y+5a)=2ax∙4y–3y∙4y+2ax∙5a–3y∙5a.
Traga monômios para a forma padrão. Para fazer isso, agrupe números e graus com bases. Em seguida, multiplique-os juntos. Se necessário, eleve o monômio a uma potência. Por exemplo, 2ax∙5a–3y∙5a+(2xa)³=10a²x–15ay+8a³x³.
Encontre os termos na expressão que têm a mesma parte da letra. Destaque-os com um sublinhado especial para maior clareza: uma linha reta, uma linha ondulada, duas linhas simples, etc.
Some os coeficientes dos termos semelhantes. Multiplique o número resultante pela expressão literal. Termos semelhantes são dados. Por exemplo, x²–2x–3x+6+x²+6x–5x–30–2x²+14x–26=x²+x²–2x²–2x–3x+6x–5x+14x+6–30–26=10x–50 .
Origens:
- monômio e polinômio
- Lave por favor: anote: a) o valor, onde o primeiro termo
Mesmo a equação mais complexa deixa de parecer intimidadora se você a reduzir à forma que já encontrou. A maneira mais simples, que ajuda em qualquer situação, é trazer os polinômios para uma forma padrão. Este é o ponto de partida a partir do qual você pode avançar em direção a uma solução.
Você vai precisar
- papel
- canetas coloridas
Instrução
Lembre-se do formulário padrão para saber o que deve obter como resultado. Até a ordem de escrita é significativa: o primeiro deve ser os termos com o maior . Além disso, costuma-se escrever primeiro as incógnitas, indicadas por letras no início do alfabeto.
Anote o polinômio original e comece a procurar por termos semelhantes. Estes são os membros da equação dada a você, a mesma parte da letra ou (e) numérica. Para maior clareza, sublinhe os pares encontrados. Observe que semelhança não significa identidade - o principal é que um membro do par contém o segundo. Portanto, haverá membros xy, xy2z e xyz - eles têm uma parte comum na forma do produto de x e y. O mesmo vale para os poderosos.
Rotule diferentes termos semelhantes de maneiras diferentes. Para fazer isso, é melhor enfatizar com linhas simples, duplas e triplas, usar cores e outras formas de linha.
Tendo encontrado todos os termos semelhantes, prossiga para combiná-los. Para fazer isso, tire os termos semelhantes dos colchetes nos encontrados. Tenha em mente que um polinômio não tem termos semelhantes na forma padrão.
Verifique se você ainda tem os mesmos itens na entrada. Em alguns casos, você pode ter membros semelhantes novamente. Repita a operação com sua combinação.
Siga a segunda condição necessária para escrever um polinômio na forma padrão: cada um de seus participantes deve ser representado como um monômio na forma padrão: em primeiro lugar - um fator numérico, no segundo - uma variável ou variáveis, seguindo no já indicado pedido. Neste caso, tem uma sequência de letras especificada pelo alfabeto. Graus decrescentes são levados em conta em segundo lugar. Assim, a forma padrão do monômio é 7xy2, enquanto y27x, x7y2, y2x7, 7y2x, xy27 não são necessários.
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Instrução
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Fundição frações ao mínimo denominador chamado de forma diferente por abreviação frações. Se, como resultado de operações matemáticas, você obtiver uma fração com números grandes no numerador e no denominador, verifique se ela pode ser reduzida.
Exemplos:
monômios \(2\) \(x\) e \(5\) \(x\)- são semelhantes, pois tanto lá como lá as letras são as mesmas: x;
os monômios \(x^2y\) e \(-2x^2y\) são semelhantes, pois as letras são as mesmas tanto lá quanto ali: x ao quadrado multiplicado por y. O fato de haver um sinal de menos na frente do segundo monômio não importa, apenas tem um fator numérico negativo ();
os monômios \(3xy\) e \(5x\) não são semelhantes, pois no primeiro monômio os fatores literais xey são, e no segundo apenas x;
os monômios \(xy3yz\) e \(y^2 z7x\) são semelhantes. No entanto, para ver isso, é necessário trazer os monômios para . Então o primeiro monômio se parecerá com \(3xy^2z\), e o segundo com \(7xy^2z\) - e sua semelhança se tornará óbvia;
os monômios \(7x^2\) e \(2x\) não são semelhantes, pois no primeiro monômio os fatores literais x são quadrados (ou seja, \(x x\)) , e no segundo há apenas um x .
Como esses termos são definidos não precisa ser memorizado, é melhor simplesmente entender. Por que \(2x\) e \(5x\) são chamados de semelhantes? Mas pense nisso: \(2x\) é o mesmo que \(x+x\), e \(5x\) é o mesmo que \(x+x+x+x+x\). Ou seja, \(2x\) é "dois x", e \(5x\) é "cinco x". E lá, e lá na base - o mesmo (semelhante): x. Apenas um "número" diferente desses Xs.
Outra coisa, por exemplo, \(5x\) e \(3xy\). Aqui, o primeiro monômio é essencialmente "cinco x's", mas o segundo é "três x\(·\)jogos" (\(3xy=xy+xy+xy\)). Basicamente, não é o mesmo, não é o mesmo.
Redução de termos semelhantes
O processo de substituir a soma ou diferença de termos semelhantes por um monômio é chamado de " redução de termos semelhantes».
Ao mesmo tempo, observamos que, se os termos não forem semelhantes, não será possível reduzi-los. Por exemplo, você não pode adicionar \(2x^2\) e \(3x\), eles são diferentes!
Entenda, dobre não tais termos são os mesmos que adicionar rublos a quilogramas: será um completo absurdo.
Reduzir termos semelhantes é um passo muito comum na simplificação das expressões e , bem como na resolução de e . Vejamos um exemplo específico de aplicação do conhecimento adquirido.
Exemplo. Resolva a equação \(7x^2+3x-7x^2-x=6\)
Responda: \(3\)
Cada vez que não for necessário reescrever a equação para que as semelhantes fiquem lado a lado, você pode trazê-las imediatamente. Aqui foi feito para clareza de outras transformações.
Seja dada uma expressão que é o produto de um número e letras. O número nesta expressão é chamado coeficiente. Por exemplo:
na expressão, o coeficiente é o número 2;
na expressão - número 1;
em uma expressão, este é o número -1;
na expressão, o coeficiente é o produto dos números 2 e 3, ou seja, o número 6.
Petya tinha 3 doces e 5 damascos. Mamãe deu a Petya mais 2 doces e 4 damascos (veja a Fig. 1). Quantos doces e damascos Petya comeu no total?
Arroz. 1. Ilustração para o problema
Decisão
Vamos escrever a condição do problema na seguinte forma:
1) Havia 3 doces e 5 damascos:
2) Mamãe deu 2 doces e 4 damascos:
3) Ou seja, Petya tem tudo:
4) Adicionamos doces com doces, damascos com damascos:
Portanto, são 5 doces e 9 damascos no total.
Resposta: 5 doces e 9 damascos.
No Problema 1, na quarta etapa, tratamos da redução de termos semelhantes.
Os termos que têm a mesma parte da letra são chamados de termos semelhantes. Termos semelhantes podem diferir apenas em seus coeficientes numéricos.
Para adicionar (reduzir) termos semelhantes, você precisa adicionar seus coeficientes e multiplicar o resultado pela parte da letra comum.
Reduzindo termos semelhantes, simplificamos a expressão.
São termos semelhantes, pois possuem a mesma parte da letra. Portanto, para reduzi-los, é necessário somar todos os seus coeficientes - são 5, 3 e -1 e multiplicar pela parte da letra comum - isso é uma.
2)
Esta expressão contém termos semelhantes. A parte da letra comum é xy, e os coeficientes são 2, 1 e -3. Aqui estão estes termos semelhantes:
3)
Nesta expressão, termos semelhantes são e , vamos trazê-los:
4)
Vamos simplificar esta expressão. Para fazer isso, encontramos termos semelhantes. Existem dois pares de termos semelhantes nesta expressão - estes são e , e .
Vamos simplificar esta expressão. Para fazer isso, abra os colchetes usando a lei de distribuição:
Existem termos semelhantes na expressão - this e , vamos dar a eles:
Nesta lição, nos familiarizamos com o conceito de coeficiente, aprendemos quais termos são chamados semelhantes e formulamos a regra para reduzir termos semelhantes, e também resolvemos vários exemplos em que usamos essa regra.
Bibliografia
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Trabalho de casa
- Portal da Internet Youtube.com ( ).
- Portal da Internet For6cl.uznateshe.ru ().
- Portal da Internet Festival.1september.ru ().
- Portal da Internet Cleverstudents.ru ().
Exemplo 1 Vamos abrir os colchetes na expressão - 3 * (a - 2b).
Decisão. Multiplicamos - 3 por cada um dos termos a e - 2b. Obtemos - 3 * (a - 2b) \u003d - 3 * a + (- 3) * (- 2b) \u003d - 3a + 6b.
Exemplo 2 Vamos simplificar a expressão 2m - 7m + 3m.
Decisão. Nesta expressão, todos os termos têm um fator comum m. Assim, pela propriedade distributiva da multiplicação, 2m - 7m + Зm = m (2 - 7 + 3). O valor entre parênteses coeficientes todos os termos. É igual a -2. Portanto 2m - 7m + 3m = -2m.
Na expressão 2 m - 7 m + 3m, todos os termos têm uma parte de letra comum e diferem entre si apenas por coeficientes. Tais termos são chamados semelhante.
Os termos que têm a mesma parte da letra são chamados de termos semelhantes.
Termos semelhantes podem diferir apenas por coeficientes.
Para adicionar (ou dizer: trazer) termos semelhantes, você precisa adicionar seus coeficientes e multiplicar o resultado pela parte da letra comum.
Exemplo 3 Apresentamos termos semelhantes na expressão 5a + a -2a.
Decisão. Nesta soma, todos os termos são semelhantes, pois possuem a mesma letra parte a. Vamos somar os coeficientes: 5 + 1 - 2 = 4. Então, 5a + a - 2a = 4a.
Quais termos são chamados de termos semelhantes? Como os termos semelhantes podem diferir uns dos outros? Com base em qual propriedade da multiplicação é realizada a redução (adição) de termos semelhantes?
1265. Expanda os colchetes:
a) (a-b + c) * 8; e) (3m-2k + 1)*(-3);
b) -5*(m - n - k); f) - 2a*(b+2c-3m);
c) a*(b - m + n); g) (-2a + 3b + 5c) * 4m;
d) -a*(6b - 3c + 4); h) - a*(3m + k - n).
1266. Execute ações aplicando a propriedade de distribuição multiplicação:
1267. Adicione termos semelhantes:
Expressões como 7x-3x+6x-4x são lidas assim:
- a soma de sete x, menos três x, seis x e menos quatro x
- sete x menos três x mais seis x menos quatro x
1268. Reduza termos semelhantes:
1269. Abra os colchetes e dê termos semelhantes:
1270. Encontre o valor da expressão:
1271. Decida a equação:
a) 3*(2x + 8)-(5x+2)=0; c) 8*(3-2x)+5*(3x + 5)=9.
b) - 3*(3y + 4)+4*(2y -1)=0;
1272. Um quilo de batata custa 20 copeques, e um quilo de repolho custa 14 copeques.As batatas foram compradas 3 kg a mais do que os repolhos. Pagaram 1 por tudo. 62 k. Quantos quilos de batatas e quantos repolhos compraram?
1273. Um turista andou 3 horas e andou de bicicleta por 4 horas. No total, ele percorreu 62 km. A que velocidade ele andou se andou 5 km/h mais devagar a pé do que andava de bicicleta?
1274. Calcular oralmente:
1275. Qual é a soma de mil termos, cada um dos quais é igual a -1? Qual é o produto de mil fatores, cada um dos quais é -1?
1276. Encontre o valor da expressão
1-3 + 5-7 + 9-11+ ... + 97-99.
1277. Resolva oralmente a equação:
a) x + 4=0; c) m + m + m = 3m;
b) a+3=a-1; d) (y-3)(y + 1)=0.
1278. Multiplique: 
1279. Qual é o coeficiente em cada uma das expressões:
1280. A distância de Moscou a Nizhny Novgorod é de 440 km. Qual deve ser a escala do mapa para que nele essa distância tenha um comprimento de 8,8 cm?
1285. Resolva o problema:
1) O operador da colheitadeira superou o plano em 15% e colheu grãos em uma área de 230 hectares. Quantos hectares, segundo o plano, a colheitadeira deve colher?
2) Uma equipe de carpinteiros gastou 4,2 m3 de tábuas para reformar o prédio. Ao mesmo tempo, ela economizou 16% das placas alocadas para reparo. Quantos metros cúbicos de tábuas foram alocados para a reforma do prédio?
1286. Encontre o valor da expressão:
1) - 3,4 7,1 - 3,6 6,8 + 9,7 8,6; 2) -4,1 8,34+2,5 7,9-3,9 4,2.
1287. Use o gráfico para resolver o problema: “Marina, Larisa, Zhanna e Katya podem Toque em diferentes instrumentos (piano, violoncelo, violão, violino), mas cada um só em um. Eles também conhecem línguas estrangeiras (inglês, francês, alemão, espanhol), mas cada uma apenas uma. Conhecido:
1) a garota que toca violão fala espanhol;
2) Larisa não toca violino nem violoncelo e não sabe inglês;
3) Marina não toca violino nem violoncelo e não sabe nem alemão nem inglês;
4) uma garota que fala alemão não toca violoncelo;
5) Jeanne sabe francês, mas não toca violino. Quem toca que instrumento e que língua estrangeira ele conhece?”
1288. Expanda os colchetes:
a) (x+y-z)*3; d) (2x-y+3)*(-2);
b) 4*(m-n-p); e) (8m-2n+p)*(-1);
c) - 8 * (a - b-c); e) (a + 5-b-c) * m.
1289. Encontre o valor da expressão aplicando a propriedade distributiva da multiplicação:
1290. Dê termos semelhantes:
1291. Abra os colchetes e dê termos semelhantes:
1292. Resolva a equação:
1293. Comprei uma mesa e 6 cadeiras por 67 rublos. A cadeira é mais barata que a mesa por 18 rublos. Quanto custa uma cadeira e quanto custa uma mesa?
1294. Há 119 alunos em três turmas. Há 4 alunos a mais na primeira série do que na segunda série e 3 a menos que na terceira série. Quantos alunos há em cada turma?
1295. Determine a escala do mapa se a distância entre dois pontos no solo for 750 m, e no mapa 25 mm.
1296. Qual é o comprimento do segmento mostrado no mapa a uma distância de 6,5 km, se a escala do mapa é 1:25.000?
1297. No mapa, um segmento tem comprimento de 12,6 cm. Qual é o comprimento desse segmento no solo se a escala do mapa for 1: 150.000?
N.Ya.Vilenkin, A.S. Chesnokov, S.I. Schwarzburd, V.I. Zhokhov, Matemática para a 6ª série, Livro didático para o ensino médio
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