Esquema Courant-Isakson-Ries(KIR), que às vezes também está associado ao nome S.K. Godunov, acontece quando , 
. Sua ordem de aproximação é . O esquema KIR é condicionalmente estável, ou seja, quando a condição Courant é cumprida 
. Apresentamos as equações diferenciais para o esquema Courant-Isakson-Ries em pontos internos do domínio computacional:
Esses esquemas, também chamados de esquema com diferenças upwind (na literatura inglesa - upwind), podem ser escritos na forma
Sua vantagem é um relato mais preciso da área de dependência da solução. Se introduzirmos a notação
então ambos os esquemas podem ser escritos nas seguintes formas:
(forma de fluxo da equação diferencial);
(aqui o termo com a segunda diferença é claramente destacado, o que dá estabilidade ao esquema);
(equação em incrementos finitos).
Vamos considerar também método de coeficientes incertos para construir um esquema de diferenças, o canto direito da primeira ordem de precisão para a equação de transporte
O esquema pode ser representado na forma
O esquema Courant-Isakson-Rees está intimamente relacionado aos métodos numéricos de características. Vamos dar uma breve descrição da ideia de tais métodos.
Os dois últimos esquemas obtidos (com sinais diferentes da taxa de transferência) podem ser interpretados da seguinte forma. Vamos construir uma característica passando pelo nó (t n + 1, x m), cujo valor deve ser determinado, e cruzando a camada t n no ponto 
. Para maior certeza, assumimos que a taxa de transferência c é positiva.
Realizando interpolação linear entre os nós x m - 1 e x m na camada inferior no tempo, obtemos
A seguir, transferimos o valor você n (x") ao longo da característica sem mudar para a camada superior t n + 1, ou seja, colocamos 
. É natural considerar o último valor como uma solução aproximada equação homogênea transferir. Nesse caso
ou, passando do número do Courant novamente para os parâmetros da grade,
aqueles. usando outro método chegamos ao já conhecido esquema do “canto esquerdo”, estável para . Quando o ponto de intersecção da característica que sai do nó (t n + 1, x m, com a n-ésima camada no tempo está localizado à esquerda do nó (t n, x m - 1). Assim, para encontrar uma solução, é não é mais interpolação, mas extrapolação, que se revela instável.
A instabilidade do esquema do “canto direito” para c > 0 também é óbvia. Para provar isso, pode-se usar a característica espectral ou a condição de Courant, Friedrichs e Levy. Raciocínio semelhante pode ser realizado para o caso c< 0 и схемы "правый уголок".
Instável circuito de quatro pontos acontece quando 
, sua ordem de aproximação. As equações da grade para o esquema de diferenças terão a seguinte forma:
Esquema Lax-Wendroff ocorre quando 
. A ordem de aproximação do esquema Lax-Wendroff é 
. O esquema é estável sob a condição Courant .
Este esquema pode ser obtido pelo método dos coeficientes indeterminados ou levando em consideração com mais precisão o termo principal do erro de aproximação. Consideremos o processo de derivação do esquema Lax-Wendroff com mais detalhes. Fazendo um estudo do esquema anterior de quatro pontos para aproximação (e o estudo é bastante elementar e se resume a expandir a função de projeção na grade da solução exata do problema diferencial em uma série de Taylor), obtemos para o principal termo do erro
Ao derivar a expressão para o termo principal do erro de aproximação, foi utilizada uma consequência da equação de transporte diferencial original
Que é obtido diferenciando a equação original (3.3) primeiro em relação ao tempo t, depois em relação à coordenada x e subtraindo uma da outra as relações resultantes.
A seguir, substituindo segunda derivada no segundo termo do lado direito com precisão de O(h 2), obtemos um novo esquema de diferenças que se aproxima do original equação diferencial com precisão . As equações da grade para o esquema Lax-Wendroff nos nós internos das grades computacionais são
Esquema implícito de seis pontos ocorre em q = 0; quando sua ordem de aproximação , no .
A segunda parte do livro é dedicada à construção e ao estudo de esquemas de diferenças para equações diferenciais ordinárias. Ao mesmo tempo, apresentaremos os conceitos básicos de convergência, aproximação e estabilidade na teoria dos esquemas de diferenças, que são de natureza geral. A familiaridade com estes conceitos, adquirida em relação às equações diferenciais ordinárias, tornará possível no futuro, ao estudar esquemas de diferenças para equações diferenciais parciais, focar nas inúmeras características e dificuldades características desta classe tão diversa de problemas.
CAPÍTULO 4. EXEMPLOS ELEMENTARES DE ESQUEMAS DE DIFERENÇA
Neste capítulo veremos exemplos introdutórios de esquemas de diferenças, destinados apenas a um conhecimento preliminar dos conceitos básicos da teoria.
§ 8. O conceito de ordem de precisão e aproximação
1. Ordem de precisão do esquema de diferenças.
Esta seção é dedicada à questão da convergência de soluções de equações diferenciais ao refinar a malha para soluções de equações diferenciais que elas aproximam. Limitar-nos-emos aqui a estudar dois esquemas de diferenças para solução numérica do problema
Vamos começar com o esquema de diferenças mais simples baseado no uso da equação de diferenças
Vamos dividir o segmento em passos de comprimento h. É conveniente escolher onde N é um número inteiro. Numeramos os pontos de divisão da esquerda para a direita, então. O valor e obtido do esquema de diferença em um ponto será denotado por Defina o valor inicial. Vamos colocar isso. A equação de diferença (2) implica a relação
de onde encontramos a solução da equação (2) sob a condição inicial:
A solução exata para o problema (1) tem a forma. Assume o valor
Vamos agora encontrar uma estimativa do valor do erro da solução aproximada (3). Este erro no ponto será
Estamos interessados em saber como diminui à medida que o número de pontos de partição aumenta, ou, o que dá no mesmo, à medida que o passo da grelha de diferenças diminui. Para descobrir isso, vamos representá-lo na forma
Assim, a igualdade (3) assumirá a forma
ou seja, o erro (5) tende a zero e a magnitude do erro é da ordem da primeira potência do degrau.
Com base nisso, dizem que o esquema de diferenças tem a primeira ordem de precisão (não confundir com a ordem da equação de diferenças definida no § 1).
Vamos agora resolver o problema (1) usando a equação de diferença
Isto não é tão simples como pode parecer à primeira vista. O fato é que o esquema em consideração é uma equação de diferenças de segunda ordem, ou seja, requer a especificação de duas condições iniciais, enquanto a equação integrável (1) é uma equação de primeira ordem e para ela especificamos apenas . É natural colocar.
Não está claro como configurá-los. Para entender isso, usaremos a forma explícita de resolução da equação (7) (ver § 3 fórmulas):
A expansão (9) de acordo com a fórmula de Taylor das raízes da equação característica nos permite dar representações aproximadas para Vamos realizar em detalhes a derivação de tal representação -
Desde então
Não faremos um cálculo completamente semelhante para , mas escreveremos imediatamente o resultado:
Substituindo expressões aproximadas na fórmula (8), obtemos
Obteremos todas as conclusões adicionais estudando esta fórmula.
Observe que se o coeficiente tende ao limite finito b, então o primeiro termo do lado direito da igualdade (12) tende à solução desejada para o problema (1).
Seção nº 10. Solução numérica de equações diferenciais parciais
Esquemas de diferenças para equações do tipo elíptico |
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Vários problemas de valor de contorno e aproximação de condições de contorno |
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Construção de um esquema de diferenças no caso do problema de Dirichlet para a equação de Poisson |
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Método de varredura de matriz |
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Método iterativo para resolver um esquema de diferenças para o problema de Dirichlet |
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Equação do tipo parabólico. Métodos de diferenças finitas explícitos e implícitos |
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Métodos de varredura para equações parabólicas |
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Índice de assunto |
Esquemas de diferença. Conceitos Básicos
Seja D uma certa área de mudança nas variáveis independentes x, y, limitada por um contorno. Eles dizem que uma equação diferencial linear de segunda ordem para a função U(x, y) é dada no domínio D se para qualquer ponto do domínio D a seguinte relação for válida:
∂2U |
∂2U |
∂2U |
|||||||||
∂x2 |
∂x2 |
||||||||||
G(x, y)você = f(x, y), |
|||||||||||
onde a(x, y), b(x, y), . . . - coeficientes, f(x, y) - termo livre da equação. Essas funções são conhecidas e geralmente consideradas definidas no domínio fechado D = D +.
O gráfico da solução representa uma superfície no espaço Oxyz.
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Vamos denotar δ(x, y) = b2 − ac. A equação L(U) = f é chamada elíptica, parabólica ou |
hiperbólico em D se as condições δ (x, y) forem satisfeitas adequadamente< 0, δ(x, y) = 0, δ(x, y) >0 para |
todos (x, y) D. |
Dependendo do tipo de equação diferencial, os valores limites iniciais são definidos de forma diferente |
(10.1): |
Equação de Poisson (equação do tipo elíptica) |
∂2 U ∂2 U |
∂x 2 + ∂y 2 = f(x, y) |
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Equação do calor (equação do tipo parabólica)
∂U = ∂ 2 U + f(x, t) ∂t ∂x2
Equação de onda (equação do tipo hiperbólica)
∂2 U ∂2 U
∂x 2 + ∂y 2 = f(x, y)
Convergência, aproximação e estabilidade de esquemas de diferenças
Seja U uma solução para a equação diferencial
dado em D. Considere um certo conjunto Dh = (Mh) constituído por pontos isolados Mh pertencentes à região fechada D = D +. A quantidade de pontos em Dh será caracterizada pelo valor h; quanto menor h, maior será o número de pontos em Dh. O conjunto Dh é chamado de grade, e os pontos Mh Dh são chamados de nós da grade. Uma função definida em nós é chamada de função de grade. Denotemos por U o espaço de funções V (x, y) contínuo em D. Seja Uh o espaço formado pelo conjunto de funções de grade Vh (x, y) definidas em Dh. No método da grade, o espaço U é substituído pelo espaço Uh.
Seja U(x, y) uma solução exata da equação ((10.2)) e U(x, y) pertence a U. Vamos colocar o problema de encontrar os valores de Uh (x, y). Esses valores juntos formam uma tabela na qual o número de valores
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igual ao número de pontos em Dh. É raro que um problema colocado com precisão possa ser resolvido. Via de regra, é possível calcular alguns valores de grade U(h) em relação aos quais se pode assumir que
U(h) ≈ Uh(x, y).
As quantidades U(h) são chamadas de valores de grade aproximados da solução U(x, y). Para calculá-los, construímos um sistema de equações numéricas, que escreveremos na forma
Lh (U(h) ) = fh , |
||||||||||||||
existe um operador diferença, |
correspondente ao operador |
|||||||||||||
é formado por F da mesma forma que U |
foi formado de acordo com U. Chamaremos de fórmula (10.3) a diferença |
|||||||||||||
esquema. Sejam introduzidas as normas k · kU h e k · kF h nos espaços lineares Uh e Fh, respectivamente, que são análogos de grade das normas k · kU e k · kF nos espaços originais. Diremos que o esquema de diferenças (10.3) é convergente se a condição for satisfeita quando h → 0
kUh (x, y) − Uh kU h → 0.
Se a condição for atendida
kUh (x, y) − Uh kU h 6 pc ,
onde c é uma constante independente de h e s > 0, então dizemos que há convergência com uma velocidade da ordem de s em relação a h.
Eles dizem que o esquema de diferenças (10.3) aproxima o problema (10.2) na solução U(x, y) se
Lh (Uh (x, y)) = f(h) + δf(h) e |
δf(h) F h → 0 como h → 0. |
|
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A quantidade δf(h) é chamada de erro de aproximação ou resíduo do esquema de diferenças. Se
δf (h) F h 6 Mh σ , onde M é uma constante independente de h e σ > 0, então dizemos que um esquema de diferença ( 10.3 ) na solução U(x, y) com um erro da ordem de σ em relação a h.
O esquema de diferença (3) é chamado estável se existe h0 > 0 tal que para todo h< h0 и любых f(h) Fh выполняются условия
O esquema de diferenças (10.3) tem uma solução única; |
||||
U(h) Uh |
f(h) F h , onde M é uma constante independente de h e f(h) . |
|||
Em outras palavras, um esquema de diferenças é estável se sua solução depender continuamente dos dados de entrada. A estabilidade caracteriza a sensibilidade do esquema a vários tipos de erros; é uma propriedade interna do problema de diferença e esta propriedade não está diretamente relacionada ao problema diferencial original, ao contrário da convergência e da aproximação. Existe uma conexão entre os conceitos de convergência, aproximação e estabilidade. Consiste no fato de que a convergência decorre da aproximação e da estabilidade.
Teorema 1 Deixe o esquema de diferença L h (U h (x, y)) = f (h) aproxima o problema L(U) = f na solução U(x, y) com ordem s em relação a h e sustentável. Então este esquema convergirá, e a ordem de sua convergência coincidirá com a ordem de aproximação, ou seja, seria uma avaliação justa
Uh (x, y) − Uh U h 6 khs , |
||
onde k é uma constante independente de h.
Prova . Por definição de aproximação temos
Exemplo 1. Esquema de diferenças para a equação de Poisson do tipo elíptico.
Consideremos a construção de um esquema de diferenças para o primeiro problema de valor de contorno para a equação Uma você = f(x,y) em uma área que é um retângulo com lados paralelos aos eixos coordenados. Deixe este retângulo ser associado a uma grade uniforme com etapas h x E ei .
Problema de valor limite
pode ser escrito na forma de operador:
Observe que esta entrada também inclui condições de contorno.
Substituindo operadores diferenciais por operadores diferenciais, obtemos as equações
que aproxima a equação diferencial original com a segunda ordem 0(h 2 + h 2) precisão e atuação em todos os pontos internos da região.
Os análogos diferenciais das condições de contorno terão a forma
A aproximação diferencial da equação diferencial juntamente com os análogos diferenciais das condições de contorno formam um esquema diferencial para a equação de Poisson.
Por analogia com o problema do valor limite, o esquema de diferenças pode ser escrito na forma de operador:
onde em L/, tanto a equação de diferença quanto a condição de contorno de diferença estão incluídas:
A equação diferencial relaciona os valores da função de grade em cinco pontos formando padrão de diferença para esta equação. Para este caso, esse padrão é chamado cruzar. Pode-se imaginar outros padrões para esta equação.
Obteremos uma solução aproximada para o problema do valor limite diferencial se determinarmos os valores da função de grade em todos os nós internos do domínio. Para isso, é necessário resolver em conjunto um sistema de equações lineares algébricas, cuja dimensão é igual ao número de nós internos da região. Neste caso, falamos de um esquema de diferenças implícitas. Qualquer valor que nos interesse Uij só pode ser determinado a partir da solução de todo o problema da diferença.
Em relação ao sistema de equações, notamos duas circunstâncias.
- 1. O sistema tem uma dimensão muito alta (M - 1) x (N- 1), e os métodos tradicionais de solução exata (por exemplo, o método de Gauss) requerem para solução uma série de operações algébricas proporcionais à terceira potência da dimensão do sistema.
- 2. A matriz do sistema possui muitos elementos zero (matriz solta). Esta circunstância permite desenvolver métodos econômicos para soluções aproximadas.
A formulação considerada do problema de diferença é típica para equações elípticas. Na dinâmica dos gases, esta é a forma da equação para a função de corrente ou para o potencial de velocidade. Em outras seções veremos métodos eficientes para resolver tais esquemas de diferenças.
Arroz. 2.8.
PRI M 2. Esquema de diferenças para a equação parabólica mais simples (condutividade térmica não estacionária em uma haste de comprimento unitário).
Considere o seguinte problema:
Notemos que no caso de uma equação parabólica temos uma região aberta. Ao construir um esquema de diferenças, surgem várias opções para a conexão entre as derivadas de diferenças no espaço e no tempo.
Vamos integrar a equação em um intervalo de tempo:
Dependendo da fórmula de quadratura que utilizarmos para calcular a integral do lado direito, obteremos diferentes esquemas de diferenças (Fig. 2.9).
Ao relacionar a derivada temporal da diferença com a derivada espacial definida em P-ésima camada de tempo, obtemos
'esquema de diferença' explícito
Isto é equivalente a um cálculo aproximado da integral do lado direito de (2.12), mas utilizando o método dos retângulos esquerdos.
Arroz. 2.9. Grade e modelos para a equação do calor: A -área e grade; b- modelo de esquema explícito; V- modelo de esquema implícito; G- modelo de família de circuitos de seis pontos; d- modelo de diagrama
"salto"
A fórmula acima também contém um método para resolver equações de grade:
Valor da função de grade na próxima camada
é determinado através dos valores conhecidos de gf no anterior. Movendo-se sequencialmente em camadas a partir da condição inicial deles, 0) = você(x), a solução pode ser encontrada em todo o domínio computacional. O padrão de diferença para este esquema é mostrado na Fig. 2,9, b.
Estimando a integral através do valor do integrando na camada P+ 1, usamos um modelo de diferença como a Fig. 2.9, b, e o análogo diferencial da equação diferencial assume a forma
Para encontrar os valores da função de grade na próxima camada de tempo, ao usar este esquema de diferenças, é necessário resolver conjuntamente tantas equações da forma (2.14) quantos forem os nós internos localizados em P - 1-1ª camada temporária. Levando em consideração as condições de contorno = / n+1, Mg Г +1 = m n+1, o sistema nos permite construir uma solução na próxima camada de tempo com valores conhecidos da função de grade na camada anterior. Passando dos valores iniciais em camadas, em cada uma das quais é necessário resolver um sistema de equações, é possível construir uma solução aproximada em toda a região.
O esquema de diferença considerado é um exemplo esquema de diferença implícita,é chamado de esquema antecipado ou esquema puramente implícito.
O padrão de diferença de seis pontos gera uma família de esquemas de diferença, dos quais os dois anteriores são casos especiais:
No uma = 0 temos um esquema explícito, com uma = eu- implícito com avanço, com A> 0 - implícito. No A - 0,5 obtemos o simétrico, amplamente conhecido na prática computacional Diagrama de Crank Nicholson.
Os esquemas acima, é claro, não esgotam toda a variedade de esquemas de diferenças baseados na aproximação de diferenças de operadores diferenciais. Aqui está um exemplo de um esquema de diferença explícito baseado na centralização da derivada no tempo, um esquema que usa uma função de grade em três camadas de tempo:
O padrão de diferença captura três camadas de tempo. O esquema tem uma segunda ordem de aproximação tanto no tempo quanto na variável espacial e é explícito. Este esquema tem uma série de desvantagens significativas, muitas das quais podem ser eliminadas pela substituição E”na aproximação da derivada espacial pelo valor médio em duas camadas de tempo:
O esquema explícito de três camadas assim obtido
chamado Esquema Dufortpe-Frankel, e a ausência de um valor de função de grade no nó central explica o nome “leapfrog”, que às vezes é usado para esquemas deste tipo.
Usando exemplos, foi mostrado que para o mesmo problema de valor de contorno é possível escrever vários esquemas de diferenças diferentes, ou seja, O pesquisador tem uma seleção bastante grande à sua disposição. Que condições o esquema de diferenças deve satisfazer para que a solução da diferença corresponda à solução do problema diferencial original? Esta questão será discutida na próxima seção.
Usando um modelo para cada nó interno da região de solução, a equação do calor é aproximada
A partir daqui encontramos:
Usando as condições iniciais e de contorno, os valores da função de grade são encontrados em todos os nós no nível de tempo zero.
Então usando as relações
os valores dessas funções são encontrados em todos os nós internos no primeiro nível de tempo, após o qual encontramos o valor nos nós de fronteira
Como resultado, encontramos o valor dos recursos em todos os nós no primeiro nível de tempo. Depois disso, usando essas relações encontramos todos os outros valores, etc.
No esquema de diferença em consideração, o valor da função desejada no próximo nível de tempo é encontrado diretamente, explicitamente usando a fórmula
Portanto, o esquema de diferença em consideração usando este padrão é chamado esquema de diferença explícito . Sua precisão é da ordem de grandeza.
Este esquema de diferenças é fácil de usar, mas tem uma desvantagem significativa. Acontece que o esquema de diferença explícito tem uma solução estável só nesse caso, se a condição for atendida :
Esquema de diferença explícita é condicionalmente estável . Se a condição não for atendida, pequenos erros de cálculo, por exemplo, aqueles associados ao arredondamento de dados de computador, levam a uma mudança brusca na solução. A solução torna-se inutilizável. Esta condição impõe restrições muito rigorosas ao passo de tempo, o que pode ser inaceitável devido a um aumento significativo no tempo de cálculo para resolver este problema.
Considere um esquema de diferença usando um padrão diferente
Método 36
Esquema de diferenças implícitas para a equação do calor.
Vamos substituir na equação de condução de calor:
Esta relação é escrita para cada nó interno no nível de tempo e é complementada por duas relações que determinam os valores nos nós de fronteira. O resultado é um sistema de equações para determinar os valores desconhecidos da função no nível do tempo.
O esquema para resolver o problema é o seguinte:
Usando as condições iniciais e de contorno, o valor da função é encontrado no nível de tempo zero. Então, usando essas relações e condições de contorno, um sistema de equações algébricas lineares é construído para encontrar o valor da função no primeiro nível de tempo, após o qual o sistema é construído novamente usando essas relações, e os valores são encontrados no segundo nível de tempo, etc.
Diferença do esquema explícito- os valores no próximo nível de tempo não são calculados diretamente usando uma fórmula pronta, mas são encontrados resolvendo um sistema de equações, ou seja, os valores das incógnitas são encontrados implicitamente resolvendo o SLAE. Portanto, o esquema de diferenças é denominado implícito. Ao contrário do explícito, o implícito é absolutamente estável.
Tópico nº 9
Problemas de otimização.
Esses problemas estão entre os problemas mais importantes da matemática aplicada. Otimização significa escolher a melhor opção entre todas as soluções possíveis para um determinado problema. Para isso, é necessário formular o problema a ser resolvido como matemático, dando sentido quantitativo aos conceitos de melhor ou pior. Normalmente, durante o processo de solução é necessário encontrar os valores dos parâmetros otimizados. Esses parâmetros são chamados projeto. E o número de parâmetros de projeto determina dimensão do problema.
Uma avaliação quantitativa da solução é feita por meio de uma determinada função dependendo dos parâmetros de projeto. Esta função é chamada alvo . É construído de forma que o valor ideal corresponda ao máximo (mínimo).
- função objetiva.
Os casos mais simples são quando a função objetivo depende de um parâmetro e é especificada por uma fórmula explícita. Pode haver várias funções alvo.
Por exemplo, ao projetar uma aeronave, é necessário garantir simultaneamente a máxima confiabilidade, o mínimo peso e custo, etc. Nesses casos, insira sistema de prioridade . Cada função objetivo recebe um determinado multiplicador alvo, resultando em uma função objetivo generalizada (função de trade-off).
Normalmente a solução ótima é limitada por uma série de condições relacionadas à função física do problema. Essas condições podem ser na forma de igualdades ou desigualdades
A teoria e os métodos de resolução de problemas de otimização na presença de restrições são objeto de pesquisa em um dos ramos da matemática aplicada - programação matemática.
Se a função objetivo for linear em relação aos parâmetros de projeto e as restrições impostas aos parâmetros também forem lineares, então problema de programação linear . Consideremos métodos para resolver um problema de otimização unidimensional.
É necessário encontrar os valores nos quais a função objetivo tem valor máximo. Se a função objetivo for dada analiticamente e uma expressão para suas derivadas puder ser encontrada, então a solução ótima será alcançada nas extremidades do segmento ou nos pontos em que a derivada desaparece. Estes são os pontos críticos e. É necessário encontrar os valores da função objetivo em todos os pontos críticos e selecionar o máximo.
Em geral, vários métodos de busca são usados para encontrar uma solução. Como resultado, o segmento que contém a solução ótima diminui.
Vejamos alguns dos métodos de pesquisa. Suponhamos que a função objetivo no intervalo tenha um máximo. Neste caso, dividindo por pontos nodais, cujo número é , a função objetivo é calculada nesses pontos nodais. Suponhamos que o valor máximo da função objetivo estará no nó, então podemos assumir que a solução ótima está localizada no intervalo. Como resultado, o segmento que contém a solução ótima foi estreitado. O novo segmento resultante é novamente dividido em partes, etc. A cada partição, o segmento que contém a solução ótima é reduzido em um fator.
Suponhamos que as etapas de estreitamento tenham sido executadas. Então o segmento original é reduzido por um fator.
Ou seja, fazemos isso enquanto ele está rodando (*)
Neste caso, a função objetivo é calculada.
É necessário encontrar um valor tal que a expressão (*) seja obtida no menor
número de cálculos.
Método 37
Método de meia divisão.
Vamos considerar o método de pesquisa para . É chamado de método de redução pela metade, pois a cada passo o segmento que contém a solução ótima é dividido pela metade.
A eficiência da busca pode ser aumentada selecionando especialmente os pontos nos quais a função objetivo é calculada em uma determinada etapa de estreitamento.
Método 38
Método da seção áurea.
Uma maneira eficaz é o método da proporção áurea. A seção áurea de um segmento é o ponto para o qual a condição é satisfeita
Existem dois desses pontos: =0,382 +0,618
0,618 +0,382 .
O segmento é dividido por pontos e então é encontrado um ponto em que a função objetivo é máxima. Como resultado, um segmento modificado de comprimento 0,618( - ) é encontrado.
Um valor da seção áurea para o segmento estreitado já é conhecido, portanto, em cada etapa subsequente é necessário calcular a função objetivo em apenas um ponto (o segundo ponto da seção áurea).
Método 39
Método de subida (descida) coordenada por coordenada.
Passemos a considerar o problema de otimização no caso em que a função objetivo depende de vários valores de parâmetros. O método de pesquisa mais simples é o método de subida (descida) coordenada por coordenada.
