Para esta equação temos:

; (5.22)

. (5.23)

O último determinante dá a condição a 3 > 0. A condição Δ 2 > 0, para a 0 > 0, a 1 > 0 e a 3 > 0, só pode ser satisfeita para a 2 > 0.

Consequentemente, para uma equação de terceira ordem, a positividade de todos os coeficientes da equação característica não é mais suficiente. Também é necessário cumprir uma certa relação entre os coeficientes a 1 a 2 > a 0 a 3.

4. Equação de quarta ordem

Semelhante ao que foi feito acima, podemos obter que para uma equação de quarta ordem, além da positividade de todos os coeficientes, deve ser atendida a seguinte condição:

Uma desvantagem significativa dos critérios algébricos, incluindo os critérios de Hurwitz, é também que, para equações de ordem superior, na melhor das hipóteses, pode-se obter uma resposta sobre se o sistema de controle automático é estável ou instável. Além disso, no caso de um sistema instável, o critério não responde como os parâmetros do sistema devem ser alterados para torná-lo estável. Esta circunstância levou à busca de outros critérios que fossem mais convenientes na prática da engenharia.

5.3. Critério de estabilidade de Mikhailov

Consideremos separadamente o lado esquerdo da equação característica (5.7), que é um polinômio característico

Substituamos neste polinômio o valor puramente imaginário p = j, onde  representa a frequência angular das oscilações correspondentes à raiz puramente imaginária da solução característica. Neste caso obtemos o complexo característico

onde a parte real conterá potências pares de frequência

e imaginário – potências ímpares de frequência

E

Arroz. 5.4. Hodógrafo de Mikhailov

Se todos os coeficientes e um certo valor de frequência forem dados, então o valor D(j) será representado no plano complexo como um ponto com coordenadas U e V ou como um vetor conectando este ponto à origem. Se o valor da frequência for alterado continuamente de zero ao infinito, então o vetor mudará em magnitude e direção, descrevendo com seu final uma certa curva (hodógrafo), que é chamada Curva de Mikhailov (Fig. 5.4).

Na prática, a curva de Mikhailov é construída ponto por ponto, e diferentes valores de frequência  são especificados e U() e V() são calculados usando as fórmulas (5.28), (5.29). Os resultados do cálculo estão resumidos na tabela. 5.1.

Tabela 5.1

Construção da curva de Mikhailov

Usando esta tabela, a própria curva é construída (Fig. 5.4).

Vamos determinar a que ângulo de rotação do vetor D(j) deve ser igual quando a frequência  muda de zero ao infinito. Para fazer isso, escrevemos o polinômio característico como um produto de fatores

onde  1 –  n são as raízes da equação característica.

O vetor característico pode então ser representado da seguinte forma:

Cada colchete representa um número complexo. Portanto, D(j) é um produto de n números complexos. Ao multiplicar, os argumentos dos números complexos são somados. Portanto, o ângulo de rotação resultante do vetor D(j) será igual à soma dos ângulos de rotação dos fatores individuais (5.31) à medida que a frequência muda de zero ao infinito

Vamos definir cada termo em (5.31) separadamente. Para generalizar o problema, consideremos diferentes tipos de raízes.

1. Seja alguma raiz, por exemplo  1, real e negativo , isto é 1 = – 1 . O fator na expressão (5.31), determinado por esta raiz, terá a forma ( 1 + j). Vamos construir um hodógrafo deste vetor no plano complexo à medida que a frequência muda de zero ao infinito (Fig. 5.5, A). Quando= 0, a parte real é U= 1, e a parte imaginária é V= 0. Isso corresponde ao ponto A, situado no eixo real. Em0 o vetor mudará de tal forma que sua parte real ainda será igual a, e a parte imaginária V = (ponto B no gráfico). À medida que a frequência aumenta até o infinito, o vetor vai até o infinito, e a extremidade do vetor sempre permanece na linha reta vertical que passa pelo ponto A, e o vetor gira no sentido anti-horário.

Arroz. 5.5. Raízes reais

O ângulo de rotação resultante do vetor  1 = +( / 2).

2. Seja agora a raiz  1 real e positivo , isto é 1 = + 1. Então o fator em (5.31) determinado por esta raiz terá a forma (– 1 + j). Construções semelhantes (Fig. 5.5, b) mostram que o ângulo de rotação resultante será 1 = –( / 2). O sinal menos indica que o vetor gira no sentido horário.

3. Sejam duas raízes conjugadas, por exemplo  2 e  3, complexo com parte real negativa , isto é 2;3 = –±j. Da mesma forma, os fatores na expressão (5.31), determinados por essas raízes, terão a forma (–j + j)( + j + j).

No = 0, as posições iniciais de dois vetores são determinadas pelos pontos A 1 e A 2 (Fig. 5.6, A). O primeiro vetor é girado no sentido horário em relação ao eixo real por um ângulo igual a arctg( / ), e o segundo vetor é girado no mesmo ângulo no sentido anti-horário. Com um aumento gradual em  de zero ao infinito, as extremidades de ambos os vetores sobem até o infinito e ambos os vetores acabam se fundindo com o eixo imaginário.

O ângulo de rotação resultante do primeiro vetor é  2 = ( / 2) + . O ângulo de rotação resultante do segundo vetor 3 = ( / 2) –. O vetor correspondente ao produto (–j + j)( + j + j) irá girar através do ângulo 2 +  3 = 2 / 2 =.

Arroz. 5.6. Raízes complexas

4. Deixe-os serem iguais raízes complexas têm parte real positiva , isto é 2;3 = +±j.

Realizando a construção de forma semelhante ao caso considerado anteriormente (Fig. 5.6, b), obtemos o ângulo de rotação resultante 2 +  3 = –2 / 2 = –.

Assim, se a equação característica tiver f raízes com parte real positiva, então quaisquer que sejam essas raízes (reais ou complexas), elas corresponderão à soma dos ângulos de rotação iguais a –f ( / 2). Todas as demais raízes (n – f) da equação característica que possuem partes reais negativas corresponderão à soma dos ângulos de rotação igual a +(n – f)( / 2). Como resultado, o ângulo total de rotação do vetor D(j) quando a frequência muda de zero ao infinito de acordo com a fórmula (5.32) terá a forma

 = (n – f)( / 2) –f( / 2) = n ( / 2) –f .

(5.33)

Esta expressão determina a conexão desejada entre a forma da curva de Mikhailov e os sinais das partes reais das raízes da equação característica. Em 1936, A.V. Mikhailov formulou o seguinte critério de estabilidade para sistemas lineares de qualquer ordem.  Para a estabilidade de um sistema de enésima ordem é necessário e suficiente que o vetor D(j  ), descrevendo a curva de Mikhailov, ao mudar  = tinha um ângulo de rotação de zero ao infinito (  / 2).

n Esta formulação segue diretamente de (5.33). Para que o sistema seja estável, é necessário que todas as raízes estejam no semiplano esquerdo.

A partir daqui é determinado o ângulo de rotação do vetor resultante necessário. O critério de estabilidade de Mikhailov é formulado da seguinte forma:

para a estabilidade de um ACS linear, é necessário e suficiente que o hodógrafo de Mikhailov, quando a frequência muda de zero ao infinito, começando no semiplano positivo e sem cruzar a origem das coordenadas, cruze sequencialmente tantos quadrantes do complexo plano como a ordem do polinômio da equação característica do sistema.

SOBRE

parece que a curva de Mikhailov para sistemas estáveis ​​​​sempre tem uma forma espiral suave, e seu final vai ao infinito naquele quadrante do plano complexo, cujo número é igual ao grau da equação característica (Fig. 5.7). A curva de Mikhailov não pode passar por mais do que n quadrantes. Portanto, a instabilidade do sistema está sempre associada ao fato de que na curva de Mikhailov a sequência de passagem dos quadrantes é violada, fazendo com que o ângulo de rotação do vetor D(j) acaba sendo menor que n ( / 2) (Fig. 5.8).

Para um sistema estável, a curva de Mikhailov passa sucessivamente por n quadrantes do plano complexo.

A presença de limites de estabilidade de todos os três tipos pode ser determinada a partir da curva de Mikhailov como segue.

Na presença de um limite de estabilidade primeiro tipo (raiz zero) não há termo livre do polinômio característico n = 0, e a curva de Mikhailov sai da origem (Fig. 5.9, curva 1)

Arroz. 5.8. ATS instável

Arroz. 5.9. Limites de estabilidade

No limite de estabilidade segundo tipo (limite de estabilidade oscilatória) o lado esquerdo da equação característica, ou seja, o polinômio característico, desaparece ao substituir p = j 0

D(j 0) = X( 0) + Y( 0) = 0. (5.34)

Isto implica duas igualdades: X( 0) = 0; Y( 0) = 0. Isso significa que o ponto  =  0 na curva de Mikhailov cai na origem das coordenadas (Fig. 5.9, curva 2). Neste caso, o valor  0 é a frequência das oscilações não amortecidas do sistema.

Para o limite de estabilidade terceiro tipo (raiz infinita) o final da curva de Mikhailov é lançado (Fig. 5.9, curva 3) de um quadrante para outro até o infinito. Neste caso, o coeficiente a 0 do polinômio característico (5.7) passará pelo valor zero, mudando o sinal de mais para menos.

Os principais tipos de equações diferenciais ordinárias (DEs) de ordem superior que podem ser resolvidas são listados. Os métodos para resolvê-los são brevemente descritos. São fornecidos links para páginas com descrições detalhadas de métodos de solução e exemplos.

Contente

Veja também: Equações diferenciais de primeira ordem
Equações diferenciais parciais lineares de primeira ordem

Equações diferenciais de ordens superiores, permitindo redução de ordem

Equações resolvidas por integração direta

Considere a seguinte equação diferencial:
.
Integramos n vezes.
;
;
e assim por diante. Você também pode usar a fórmula:
.
Veja Equações diferenciais que podem ser resolvidas diretamente integração >>>

Equações que não contêm explicitamente a variável dependente y

A substituição diminui a ordem da equação em um. Aqui está uma função de .
Consulte Equações diferenciais de ordens superiores que não contêm uma função explicitamente > > >

Equações que não incluem explicitamente a variável independente x

.
Consideramos que é uma função de.
.
Então
Da mesma forma para outros derivados. Como resultado, a ordem da equação é reduzida em um.

Veja Equações diferenciais de ordens superiores que não contêm uma variável explícita > > >

Equações homogêneas em relação a y, y′, y′′, ...
,
Para resolver esta equação, fazemos a substituição
.
onde é uma função de .
Então

Da mesma forma, transformamos derivadas, etc. Como resultado, a ordem da equação é reduzida em um.

Veja Equações diferenciais de ordem superior que são homogêneas em relação a uma função e suas derivadas > > > Equações diferenciais lineares de ordens superiores:
(1) ,
Vamos considerar
(2) ,
equação diferencial homogênea linear de enésima ordem
onde estão as funções da variável independente. Sejam n soluções linearmente independentes para esta equação. Então a solução geral da equação (1) tem a forma:

Veja Equações diferenciais de ordem superior que são homogêneas em relação a uma função e suas derivadas > > > onde estão constantes arbitrárias. As próprias funções formam um sistema fundamental de soluções.:
.
Sistema de solução fundamental
,
de uma equação linear homogênea de enésima ordem existem n soluções linearmente independentes para esta equação.

equação diferencial linear não homogênea de enésima ordem

Que haja uma solução particular (qualquer) para esta equação. Então a solução geral tem a forma:

onde está a solução geral da equação homogênea (1).
(3) .
Equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e redutíveis a eles
(2) .

Equações lineares homogêneas com coeficientes constantes Estas são equações da forma::
(4) .

Aqui estão os números reais. Para encontrar uma solução geral para esta equação, precisamos encontrar n soluções linearmente independentes que formem um sistema fundamental de soluções. Então a solução geral é determinada pela fórmula (2): Estamos procurando uma solução no formato . Nós temos
.

equação característica Se esta equação tiver
,
várias raízes

, então o sistema fundamental de soluções tem a forma: Se disponível

raiz complexa então também existe uma raiz conjugada complexa.
.

Equações lineares não homogêneas com uma parte especial não homogênea

Considere uma equação da forma
,
onde estão os polinômios de graus s 1 e s 2 ;

- permanente. Primeiro procuramos uma solução geral para a equação homogênea (3). Se a equação característica (4) não contém raiz
,
, então procuramos uma solução particular na forma:
;
;
Onde 1 e s 2 .

s - o maior de s Se a equação característica (4) tem uma raiz
.

multiplicidade, então procuramos uma solução particular na forma:
.

Depois disso, obtemos a solução geral:

Equações lineares não homogêneas com coeficientes constantes

1) Existem três soluções possíveis aqui..
Método Bernoulli
.
Primeiro, encontramos qualquer solução diferente de zero para a equação homogênea
,
Então fazemos a substituição - 1 onde é uma função da variável x.

2) Obtemos uma equação diferencial para você, que contém apenas derivadas de você em relação a x..
Fazendo a substituição, obtemos a equação n
,
- a ordem.

3) Método de substituição linear.
Vamos fazer uma substituição
(2) .
onde é uma das raízes da equação característica (4). Como resultado, obtemos uma equação linear não homogênea com coeficientes de ordem constantes.
,
Aplicando consistentemente esta substituição, reduzimos a equação original a uma equação de primeira ordem.

Método de variação das constantes de Lagrange

Neste método, primeiro resolvemos a equação homogênea (3). Sua solução se parece com:
.
Assumimos ainda que as constantes são funções da variável x.
.
Então a solução da equação original tem a forma:

onde estão funções desconhecidas. Substituindo na equação original e impondo algumas restrições, obtemos equações a partir das quais podemos encontrar o tipo de funções.
Equação de Euler
Reduz-se a uma equação linear com coeficientes constantes por substituição:

Porém, para resolver a equação de Euler, não há necessidade de fazer tal substituição. Você pode procurar imediatamente uma solução para a equação homogênea na forma

Como resultado, obtemos as mesmas regras de uma equação com coeficientes constantes, na qual em vez de uma variável é necessário substituir . Referências:

V.V. Stepanov, Curso de equações diferenciais, "LKI", 2015. N. M. Gunter, R. O. Kuzmin, Coleção de problemas em matemática superior, “Lan”, 2003.

Além das ordinárias, também são estudadas equações diferenciais parciais. Estas são equações que relacionam variáveis ​​independentes, uma função desconhecida dessas variáveis ​​e suas derivadas parciais em relação às mesmas variáveis. Mas consideraremos apenas Equações diferenciais ordinárias e portanto, por uma questão de brevidade, omitiremos a palavra “comum”.

Exemplos de equações diferenciais:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

A equação (1) é de quarta ordem, a equação (2) é de terceira ordem, as equações (3) e (4) são de segunda ordem, a equação (5) é de primeira ordem.

Equação diferencial tinha um ângulo de rotação de zero ao infinito ordem não precisa necessariamente conter uma função explícita, todas as suas derivadas da primeira à tinha um ângulo de rotação de zero ao infinito-ésima ordem e variável independente. Não pode conter derivadas explícitas de certas ordens, de uma função ou de uma variável independente.

Por exemplo, na equação (1) claramente não há derivadas de terceira e segunda ordem, bem como uma função; na equação (2) - a derivada de segunda ordem e a função; na equação (4) - a variável independente; na equação (5) - funções. Apenas a equação (3) contém explicitamente todas as derivadas, a função e a variável independente.

Resolvendo uma equação diferencial toda função é chamada y =f(x), quando substituído na equação ele se transforma em uma identidade.

O processo de encontrar uma solução para uma equação diferencial é chamado de integração.

Exemplo 1. Encontre a solução para a equação diferencial.

Solução. Vamos escrever esta equação na forma . A solução é encontrar a função a partir de sua derivada. A função original, como é conhecida no cálculo integral, é uma antiderivada para, ou seja,

É isso que é solução para esta equação diferencial . Mudando nele C, obteremos soluções diferentes. Descobrimos que existe um número infinito de soluções para uma equação diferencial de primeira ordem.

Solução geral da equação diferencial tinha um ângulo de rotação de zero ao infinito a ordem é a sua solução, expressa explicitamente em relação à função desconhecida e contendo tinha um ângulo de rotação de zero ao infinito constantes arbitrárias independentes, ou seja,

A solução da equação diferencial no Exemplo 1 é geral.

Solução parcial de uma equação diferencial é chamada uma solução na qual constantes arbitrárias recebem valores numéricos específicos.

Exemplo 2. Encontre a solução geral da equação diferencial e uma solução particular para .

Solução. Vamos integrar ambos os lados da equação um número de vezes igual à ordem da equação diferencial.

,

.

Como resultado, obtivemos uma solução geral -

de uma dada equação diferencial de terceira ordem.

Agora vamos encontrar uma solução específica nas condições especificadas. Para fazer isso, substitua seus valores em vez de coeficientes arbitrários e obtenha

.

Se, além da equação diferencial, a condição inicial for dada na forma , então tal problema é chamado Problema de Cauchy . Substitua os valores e na solução geral da equação e encontre o valor de uma constante arbitrária C, e então uma solução particular da equação para o valor encontrado C. Esta é a solução para o problema de Cauchy.

Exemplo 3. Resolva o problema de Cauchy para a equação diferencial do Exemplo 1 sujeito a.

Solução. Vamos substituir os valores da condição inicial na solução geral sim = 3, x= 1. Obtemos

Escrevemos a solução do problema de Cauchy para esta equação diferencial de primeira ordem:

Resolver equações diferenciais, mesmo as mais simples, requer boas habilidades de integração e derivadas, incluindo funções complexas. Isso pode ser visto no exemplo a seguir.

Exemplo 4. Encontre a solução geral para a equação diferencial.

Solução. A equação é escrita de tal forma que você pode integrar imediatamente ambos os lados.

.

Aplicamos o método de integração por mudança de variável (substituição). Deixe estar então.

Necessário para levar dx e agora - atenção - fazemos isso de acordo com as regras de diferenciação de uma função complexa, uma vez que x e há uma função complexa (“maçã” é a extração de uma raiz quadrada ou, o que dá no mesmo, elevar à potência “meio”, e “carne picada” é a própria expressão sob a raiz):

Encontramos a integral:

Voltando à variável x, Nós temos:

.

Esta é a solução geral para esta equação diferencial de primeiro grau.

Para resolver equações diferenciais, não serão necessárias apenas habilidades das seções anteriores de matemática superior, mas também habilidades do ensino fundamental, ou seja, matemática escolar. Como já mencionado, em uma equação diferencial de qualquer ordem não pode haver uma variável independente, ou seja, uma variável x. O conhecimento sobre as proporções da escola que não foi esquecido (no entanto, dependendo de quem) da escola ajudará a resolver este problema. Este é o próximo exemplo.

Para uma compreensão mais profunda do que está acontecendo neste artigo, você pode ler.

Considere um sistema homogêneo de equações diferenciais de terceira ordem

Aqui x(t), y(t), z(t) são as funções necessárias no intervalo (a, b) e ij (i, j =1, 2, 3) são números reais.

Vamos escrever o sistema original na forma matricial
,
Onde

Procuraremos uma solução para o sistema original na forma
,
Onde , C 1 , C 2 , C 3 são constantes arbitrárias.

Para encontrar o sistema fundamental de soluções, você precisa resolver a chamada equação característica

Esta equação é uma equação algébrica de terceira ordem, portanto possui 3 raízes. Os seguintes casos são possíveis:

1. As raízes (autovalores) são reais e distintas.

2. Entre as raízes (autovalores) existem as conjugadas complexas, vamos
- raiz real
=

3. As raízes (autovalores) são reais. Uma das raízes é múltipla.

Para saber como agir em cada um desses casos, precisaremos:
Teorema 1.
Sejam os autovalores distintos aos pares da matriz A e sejam seus autovetores correspondentes. Então

formam um sistema fundamental de soluções para o sistema original.

Comente .
Seja o autovalor real da matriz A (a raiz real da equação característica) e seja o autovetor correspondente.
= - autovalores complexos da matriz A, - correspondente - autovetor. Então

(Re é a parte real, Im é a parte imaginária)
formam um sistema fundamental de soluções para o sistema original. (ou seja, e = considerados em conjunto)

Teorema 3.
Seja a raiz da equação característica da multiplicidade 2. Então o sistema original tem 2 soluções linearmente independentes da forma
,
onde , são constantes vetoriais. Se a multiplicidade for 3, então existem 3 soluções linearmente independentes da forma
.
Os vetores são encontrados substituindo as soluções (*) e (**) no sistema original.
Para entender melhor o método para encontrar soluções da forma (*) e (**), veja os exemplos típicos abaixo.

Agora vamos examinar cada um dos casos acima com mais detalhes.

1. Algoritmo para resolução de sistemas homogêneos de equações diferenciais de terceira ordem no caso de diferentes raízes reais da equação característica.
Dado o sistema

1) Compomos uma equação característica

- autovalores reais e distintos das 9raízes desta equação).
2) Construímos onde

3) Construímos onde
- autovetor da matriz A, correspondente a, ou seja, - qualquer solução de sistema

4) Construímos onde
- autovetor da matriz A, correspondente a, ou seja, - qualquer solução de sistema

5)

constituem um sistema fundamental de soluções. A seguir escrevemos a solução geral do sistema original na forma
,
aqui C 1, C 2, C 3 são constantes arbitrárias,
,
ou em forma de coordenadas

Vejamos alguns exemplos:
Exemplo 1.




2) Encontre


3) Encontre


4) Funções vetoriais



ou em notação de coordenadas

Exemplo 2.

1) Compomos e resolvemos a equação característica:

2) Encontre


3) Encontre


4) Encontre


5) Funções vetoriais

formam um sistema fundamental. A solução geral tem a forma

ou em notação de coordenadas

2. Algoritmo para resolução de sistemas homogêneos de equações diferenciais de terceira ordem no caso de raízes conjugadas complexas da equação característica.


- raiz real,

2) Construímos onde

3) Nós construímos

- autovetor da matriz A, correspondente a, ou seja, satisfaz o sistema

Aqui Re é a parte real
Eu sou - parte imaginária
4) constituem um sistema fundamental de soluções. A seguir escrevemos a solução geral do sistema original:
, Onde
C 1, C 2, C 3 são constantes arbitrárias.

Exemplo 1.

1) Componha e resolva a equação característica

2) Estamos construindo

3) Nós construímos
, Onde

Vamos reduzir a primeira equação por 2. Em seguida, adicione a primeira equação multiplicada por 2i à segunda equação e subtraia a primeira multiplicada por 2 da terceira equação.

Avançar

Por isso,

4) - sistema fundamental de soluções. Vamos escrever a solução geral do sistema original:

Exemplo 2.

1) Compomos e resolvemos a equação característica


2) Estamos construindo

(ou seja, e considerados em conjunto), onde

Multiplique a segunda equação por (1-i) e reduza por 2.


Por isso,

3)
Solução geral do sistema original

ou

2. Algoritmo para resolução de sistemas homogêneos de equações diferenciais de terceira ordem no caso de raízes múltiplas da equação característica.
Compomos e resolvemos a equação característica

Há duas possibilidades:

Considere o caso a) 1), onde

- autovetor da matriz A, correspondente a, ou seja, satisfaz o sistema

2) Consultemos o Teorema 3, do qual segue que existem duas soluções linearmente independentes da forma
,
onde , são vetores constantes. Vamos levá-los para.
3) - sistema fundamental de soluções. A seguir escrevemos a solução geral do sistema original:

Considere o caso b):
1) Consultemos o Teorema 3, do qual segue que existem três soluções linearmente independentes da forma
,
onde , , são vetores constantes. Vamos levá-los para.
2) - sistema fundamental de soluções. A seguir escrevemos a solução geral do sistema original.

Para entender melhor como encontrar soluções na forma (*), considere vários exemplos típicos.

Exemplo 1.

Compomos e resolvemos a equação característica:

Temos o caso a)
1) Nós construímos
, Onde

Da segunda equação subtraímos a primeira:

? A terceira linha é semelhante à segunda, riscamos. Subtraia a segunda da primeira equação:

2) = 1 (múltiplos de 2)
De acordo com T.3, esta raiz deve corresponder a duas soluções linearmente independentes da forma .
Vamos tentar encontrar todas as soluções linearmente independentes para as quais, ou seja, soluções da forma
.
Tal vetor será uma solução se e somente se o autovetor corresponder a =1, ou seja,
, ou
, a segunda e a terceira linhas são semelhantes à primeira, jogue-as fora.

O sistema foi reduzido a uma equação. Consequentemente, existem duas incógnitas livres, por exemplo, e. Vamos primeiro dar a eles os valores 1, 0; depois os valores 0, 1. Obtemos as seguintes soluções:
.
Por isso, .
3) - sistema fundamental de soluções. Resta anotar a solução geral do sistema original:
.
ou