Fórmulas de redução são relações que permitem ir de seno, cosseno, tangente e cotangente com ângulos `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi) 2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` para as mesmas funções do ângulo `\alpha`, que está localizado no primeiro quarto do círculo unitário. Assim, as fórmulas de redução “nos levam” a trabalhar com ângulos na faixa de 0 a 90 graus, o que é muito conveniente.

Ao todo são 32 fórmulas de redução. Sem dúvida, eles serão úteis durante o Exame Estadual Unificado, exames e testes. Mas avisamos imediatamente que não há necessidade de memorizá-los! Você precisa gastar um pouco de tempo e entender o algoritmo para sua aplicação, então não será difícil derivar a igualdade necessária no momento certo.

Primeiro, vamos anotar todas as fórmulas de redução:

Para ângulo (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) ou (`90^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`

Para ângulo (`\pi \pm \alpha`) ou (`180^\circ \pm \alpha`):

`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Para ângulo (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) ou (`270^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`

Para ângulo (`2\pi \pm \alpha`) ou (`360^\circ \pm \alpha`):

`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Muitas vezes você pode encontrar fórmulas de redução na forma de uma tabela onde os ângulos são escritos em radianos:

Para utilizá-lo, precisamos selecionar a linha com a função que necessitamos e a coluna com o argumento desejado. Por exemplo, para descobrir usando uma tabela a que ` sin(\pi + \alpha)` será igual, basta encontrar a resposta na intersecção da linha ` sin \beta` e da coluna ` \pi + \alfa`. Obtemos ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`.

E a segunda tabela semelhante, onde os ângulos são escritos em graus:

Regra mnemônica para fórmulas de redução ou como lembrá-las

Como já mencionamos, não há necessidade de memorizar todas as relações acima. Se você olhou para eles com atenção, provavelmente notou alguns padrões. Eles nos permitem formular uma regra mnemônica (mnemônica - lembre-se), com a qual podemos obter facilmente qualquer fórmula de redução.

Observemos imediatamente que para aplicar esta regra você precisa ser bom em identificar (ou lembrar) os sinais das funções trigonométricas em diferentes quadrantes do círculo unitário.
A vacina em si contém 3 etapas:

1. 1. O argumento da função deve ser representado como `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha`, e `\alpha` é necessariamente um ângulo agudo (de 0 a 90 graus).
   2. Para os argumentos `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha` a função trigonométrica da expressão transformada muda para uma cofunção, ou seja, o oposto (seno para cosseno, tangente para cotangente e vice-versa). Para argumentos `\pi \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` a função não muda.
   3. O sinal da função original é determinado. A função resultante no lado direito terá o mesmo sinal.

Para ver como esta regra pode ser aplicada na prática, vamos transformar diversas expressões:

1. `cos(\pi + \alfa)`.

A função não é invertida. O ângulo `\pi + \alpha` está no terceiro quarto, o cosseno neste quarto tem sinal “-”, então a função transformada também terá sinal “-”.

Resposta: ` cos(\pi + \alpha)= - cos \alpha`

2. `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)`.

De acordo com a regra mnemônica, a função será invertida. O ângulo `\frac (3\pi)2 - \alpha` está no terceiro quarto, o seno aqui tem um sinal “-”, então o resultado também terá um sinal “-”.

Resposta: `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)= - cos \alpha`

3. `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)`.

`cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (6\pi)2+\frac (\pi)2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac(\pi )2-\alfa))`. Vamos representar `3\pi` como `2\pi+\pi`. `2\pi` é o período da função.

Importante: As funções `cos \alpha` e `sin \alpha` possuem um período de `2\pi` ou `360^\circ`, seus valores não mudarão se o argumento for aumentado ou diminuído por estes valores.

Com base nisso, nossa expressão pode ser escrita da seguinte forma: `cos (\pi+(\frac(\pi)2-\alpha)`. Aplicando a regra mnemônica duas vezes, obtemos: `cos (\pi+(\frac(\ pi) 2-\alpha)= - cos (\frac(\pi)2-\alpha)= - sin \alpha`.

Resposta: `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=- sin \alpha`.

Regra do cavalo

O segundo ponto da regra mnemônica descrita acima também é chamado de regra do cavalo das fórmulas de redução. Eu me pergunto por que cavalos?

Portanto, temos funções com argumentos `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha`, os pontos `\frac (\pi)2`, `\pi`, `\frac (3\pi)2`, `2\pi` são chaves, eles estão localizados nos eixos coordenados. `\pi` e `2\pi` estão no eixo horizontal x, e `\frac (\pi)2` e `\frac (3\pi)2` estão na ordenada vertical.

Nós nos perguntamos: “Uma função se transforma em cofunção?” Para responder a esta pergunta, você precisa mover a cabeça ao longo do eixo no qual o ponto-chave está localizado.

Ou seja, para argumentos com pontos-chave localizados no eixo horizontal, respondemos “não” balançando a cabeça para os lados. E para cantos com pontos-chave localizados no eixo vertical, respondemos “sim” balançando a cabeça de cima para baixo, como um cavalo :)

Recomendamos assistir a um vídeo tutorial no qual o autor explica detalhadamente como lembrar fórmulas de redução sem memorizá-las.

Exemplos práticos de uso de fórmulas de redução

O uso de fórmulas de redução começa no 9º e 10º ano. Muitos problemas com seu uso foram submetidos ao Exame Estadual Unificado. Aqui estão alguns dos problemas onde você terá que aplicar essas fórmulas:

• problemas para resolver um triângulo retângulo;
• transformação de expressões trigonométricas numéricas e alfabéticas, cálculo de seus valores;
• tarefas estereométricas.

Exemplo 1. Calcule usando fórmulas de redução a) `sin 600^\circ`, b) `tg 480^\circ`, c) `cos 330^\circ`, d) `sin 240^\circ`.

Solução: a) `sen 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;

b) `tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac(\sqrt 3)3`;

c) `cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac(\sqrt 3)2`;

d) `sen 240^\circ=sen (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac(\sqrt 3)2`.

Exemplo 2. Tendo expresso cosseno através de seno usando fórmulas de redução, compare os números: 1) `sin \frac (9\pi)8` e `cos \frac (9\pi)8`; 2) `sin \frac (\pi)8` e `cos \frac (3\pi)10`.

Solução: 1)`sin \frac (9\pi)8=sin (\pi+\frac (\pi)8)=-sin \frac (\pi)8`

`cos \frac (9\pi)8=cos (\pi+\frac (\pi)8)=-cos \frac (\pi)8=-sin \frac (3\pi)8`

`-sin \frac (\pi)8> -sin \frac (3\pi)8`

`sin \frac (9\pi)8>cos \frac (9\pi)8`.

2) `cos \frac (3\pi)10=cos (\frac (\pi)2-\frac (\pi)5)=sin \frac (\pi)5`

`sin \frac (\pi)8

`sin \frac (\pi)8

Vamos primeiro provar duas fórmulas para o seno e o cosseno do argumento `\frac (\pi)2 + \alpha`: ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha` e ` cos (\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`. O resto é derivado deles.

Vamos pegar um círculo unitário e apontar A nele com coordenadas (1,0). Deixe depois de voltar para ângulo `\alpha` ele irá para o ponto `A_1(x, y)`, e após girar pelo ângulo `\frac (\pi)2 + \alpha` para o ponto `A_2(-y, x)`. Deixando cair as perpendiculares desses pontos até a reta OX, vemos que os triângulos `OA_1H_1` e `OA_2H_2` são iguais, pois suas hipotenusas e ângulos adjacentes são iguais. Então, com base nas definições de seno e cosseno, podemos escrever `sin\alpha=y`, `cos\alpha=x`, `sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=x`, `cos (\frac (\pi)2 + \alpha)=-y`. Onde podemos escrever que ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \alpha` e ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \alpha`, o que comprova a redução fórmulas para ângulos seno e cosseno `\frac (\pi)2 + \alpha`.

Vindo da definição de tangente e cotangente, obtemos ` tan(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (sin(\frac (\pi)2 + \alpha))(cos(\frac (\ pi)2 + \alpha))=\frac (cos \alpha)(-sin \alpha)=-ctg \alpha` e ` сtg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (cos(\ frac (\ pi)2 + \alpha))(sin(\frac (\pi)2 + \alpha))=\frac (-sin \alpha)(cos \alpha)=-tg \alpha`, o que prova a fórmulas de redução para tangente e cotangente do ângulo `\frac (\pi)2 + \alpha`.

Para provar fórmulas com o argumento `\frac (\pi)2 - \alpha`, basta representá-lo como `\frac (\pi)2 + (-\alpha)` e seguir o mesmo caminho acima. Por exemplo, `cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (\pi)2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)`.

Os ângulos `\pi + \alpha` e `\pi - \alpha` podem ser representados como `\frac (\pi)2 +(\frac (\pi)2+\alpha)` e `\frac (\pi ) 2 +(\frac (\pi)2-\alpha)` respectivamente.

E `\frac (3\pi)2 + \alpha` e `\frac (3\pi)2 - \alpha` como `\pi +(\frac (\pi)2+\alpha)` e `\pi +(\frac (\pi)2-\alfa)`.

Aula e apresentação sobre o tema: “Aplicação de fórmulas de redução na resolução de problemas”

Materiais adicionais
Caros usuários, não se esqueçam de deixar seus comentários, críticas, desejos. Todos os materiais foram verificados por um programa antivírus.

Auxiliares de ensino e simuladores na loja online Integral para o 10º ano
1C: Escola. Tarefas de construção interativas para as séries 7 a 10
1C: Escola. Resolvemos problemas de geometria. Tarefas interativas sobre construção de espaço para alunos do 10º ao 11º ano

O que estudaremos:
1. Vamos repetir um pouco.
2. Regras para fórmulas de redução.
3. Tabela de conversão para fórmulas de redução.
4. Exemplos.

Revisão de funções trigonométricas

Pessoal, vocês já se depararam com fórmulas fantasmas, mas ainda não as chamaram assim. O que você acha: onde?

Veja nossos desenhos. Corretamente, quando as definições de funções trigonométricas foram introduzidas.

Regra para fórmulas de redução

Vamos apresentar a regra básica: Se sob o sinal da função trigonométrica houver um número da forma π×n/2 + t, onde n é qualquer número inteiro, então nossa função trigonométrica pode ser reduzida a uma forma mais simples, que conterá apenas o argumento t. Essas fórmulas são chamadas de fórmulas fantasmas.

Vamos lembrar algumas fórmulas:

• pecado(t + 2π*k) = pecado(t)
• cos(t + 2π*k) = cos(t)
• pecado (t + π) = -sin (t)
• cos(t + π) = -cos(t)
• sin(t + π/2) = cos(t)
• cos(t + π/2) = -sin(t)
• bronzeado(t + π*k) = bronzeado(x)
• ctg(t + π*k) = ctg(x)

existem muitas fórmulas fantasmas, vamos fazer uma regra pela qual determinaremos nossas funções trigonométricas ao usar fórmulas fantasmas:

• Se o sinal de uma função trigonométrica contém números da forma: π + t, π - t, 2π + t e 2π - t, então a função não mudará, ou seja, por exemplo, o seno permanecerá um seno, o cotangente permanecerá uma cotangente.
• Se o sinal da função trigonométrica contém números da forma: π/2 + t, π/2 - t,
  3π/2 + t e 3π/2 - t, então a função mudará para uma função relacionada, ou seja, o seno se tornará um cosseno, a cotangente se tornará uma tangente.
• Antes da função resultante, você precisa colocar o sinal que a função transformada teria sob a condição 0

Estas regras também se aplicam quando o argumento da função é dado em graus!

Também podemos criar uma tabela de transformações de funções trigonométricas:

Exemplos de uso de fórmulas de redução

1. Transforme cos(π + t). O nome da função permanece, ou seja, obtemos cos(t). Vamos supor ainda que π/2

2. Transforme sin(π/2 + t). O nome da função muda, ou seja, obtemos cos(t). A seguir, suponha que 0 sin(t + π/2) = cos(t)

3. Transforme tg(π + t). O nome da função permanece, ou seja, ficamos bronzeados (t). Suponhamos ainda que 0

4. Transforme ctg(270 0 + t). O nome da função muda, ou seja, obtemos tg(t). Suponhamos ainda que 0

Problemas com fórmulas de redução para solução independente

Pessoal, convertam vocês mesmos usando nossas regras:

1) tg(π + t),
2) tg(2π - t),
3) berço(π - t),
4) tg(π/2 - t),
5) cotg(3π + t),
6) pecado(2π + t),
7) pecado(π/2 + 5t),
8) pecado(π/2 - t),
9) pecado(2π - t),
10) cos(2π - t),
11) cos(3π/2 + 8t),
12) cos(3π/2 - t),
13) cos(π - t).

E mais um ponto: existem muitas fórmulas de redução de número e iremos alertá-lo imediatamente para não memorizá-las todas. Não há absolutamente nenhuma necessidade disso - existe um que permite aplicar facilmente fórmulas de redução.

Então, vamos anotar todas as fórmulas de redução em forma de tabela.

Essas fórmulas podem ser reescritas usando graus e radianos. Para fazer isso, basta lembrar a relação entre graus e radianos e substituir π por 180 graus em todos os lugares.

Exemplos de uso de fórmulas de redução

O objetivo deste parágrafo é mostrar como as fórmulas de redução são utilizadas na prática para resolver exemplos.

Para começar, vale dizer que existe um número infinito de maneiras de representar um ângulo sob o sinal de funções trigonométricas na forma e . Isso se deve ao fato de que o ângulo pode assumir qualquer valor. Vamos mostrar isso com um exemplo.

Por exemplo, tomemos o ângulo sob o sinal da função trigonométrica igual a . Este ângulo pode ser representado como , ou como , ou como , ou de muitas outras maneiras.

Agora vamos ver quais fórmulas de redução teremos que usar dependendo da representação do ângulo. Vamos levar .

Se representarmos o ângulo como , então esta representação corresponde a uma fórmula de redução da forma , da qual obtemos . Aqui podemos indicar o valor da função trigonométrica: .

Para apresentação já usaremos uma fórmula da forma , o que nos leva ao seguinte resultado: .

Finalmente, como a fórmula de redução correspondente tem a forma .

Para concluir esta discussão, vale a pena notar que há certas conveniências ao usar representações de ângulos nas quais o ângulo tem um valor de 0 a 90 graus (de 0 a pi meio radianos).

Vejamos outro exemplo de uso de fórmulas de redução.

Exemplo.

Usando fórmulas de redução, represente através do seno e também através do cosseno de um ângulo agudo.

Solução.

Para aplicar as fórmulas de redução, precisamos representar um ângulo de 197 graus na forma ou , e de acordo com as condições do problema, o ângulo deve ser agudo. Isso pode ser feito de duas maneiras: ou . Por isso, ou .

Referindo-se às fórmulas de redução correspondentes E , obtemos e .

Responder:

E .

Regra mnemônica

Como mencionamos acima, não é necessário memorizar fórmulas de redução. Se você observá-los com atenção, poderá identificar padrões a partir dos quais poderá obter uma regra que permite obter qualquer uma das fórmulas de redução. Ele é chamado regra mnemônica(mnemônicos é a arte da memorização).

A regra mnemônica contém três etapas:

Vale dizer desde já que para aplicar a regra mnemônica você precisa ser muito bom em identificar os sinais de seno, cosseno, tangente e cotangente por trimestres, pois terá que fazer isso constantemente.

Vejamos a aplicação da regra mnemônica usando exemplos.

Exemplo.

Usando uma regra mnemônica, escreva as fórmulas de redução para E , considerando o ângulo como o ângulo do primeiro quarto.

Solução.

Não precisamos fazer o primeiro passo da regra, pois os ângulos sob os sinais das funções trigonométricas já estão escritos na forma exigida.

Vamos determinar o sinal das funções E . Desde que - o ângulo do primeiro quarto, o ângulo é também o ângulo do primeiro quarto, e o ângulo - ângulo do segundo quarto. O cosseno do primeiro trimestre tem sinal de mais e a tangente do segundo trimestre tem sinal de menos. Nesta fase, as fórmulas necessárias serão semelhantes E . Agora que descobrimos os sinais, podemos passar para a etapa final da regra mnemônica.

Como o argumento da função cosseno tem a forma , então o nome da função deve ser alterado para cofunção, ou seja, para seno. E o argumento tangente tem a forma , portanto, o nome da função deve permanecer o mesmo.

Como resultado temos E . Você pode consultar a tabela de fórmulas de redução para ter certeza de que os resultados obtidos estão corretos.

Responder:

E .

Para consolidar o material, considere resolver um exemplo com ângulos específicos.

Exemplo.

Usando uma regra mnemônica, reduza às funções trigonométricas de um ângulo agudo.

Solução.

Primeiro, vamos imaginar o ângulo de 777 graus na forma necessária para aplicar a regra mnemônica. Isso pode ser feito de duas maneiras: ou.

O ângulo original é o primeiro quarto do ângulo, o seno desse ângulo tem um sinal de mais.

Para representá-lo, o nome do seno deve ser deixado igual, mas para representar o tipo, o seno deverá ser alterado para cosseno.

Como resultado, temos e .

Responder:

E .

Para concluir este ponto, considere um exemplo que ilustra a importância da representação correta de um ângulo sob o sinal de funções trigonométricas para a aplicação da regra mnemônica: o ângulo deve ser nítido!!!

Vamos calcular a tangente do ângulo. Em princípio, referindo-se ao material do artigo os valores de seno, cosseno, tangente e cotangente, podemos responder imediatamente à questão do problema: .

Se representarmos um ângulo como ou como , podemos usar a regra mnemônica: e , o que nos leva ao mesmo resultado.

Mas isto é o que pode acontecer se tomarmos a representação de um ângulo, por exemplo, da forma. Neste caso, a regra mnemónica nos levará a este resultado. Este resultado está incorreto, e isso se explica pelo fato de que para a representação não tivemos o direito de aplicar a regra mnemônica, uma vez que o ângulo não é agudo.

Fórmulas de prova de redução

As fórmulas de redução refletem periodicidade, simetria e propriedades de deslocamento por ângulos e . Notemos imediatamente que todas as fórmulas de redução podem ser provadas descartando o termo nos argumentos, pois significa alterar o ângulo por um número inteiro de revoluções completas, e isso não altera os valores das funções trigonométricas. Este termo serve como um reflexo da periodicidade.

O primeiro bloco de 16 fórmulas de redução segue diretamente das propriedades de seno, cosseno, tangente e cotangente. Nem vale a pena insistir neles.

Vamos passar para o próximo bloco de fórmulas. Primeiro provamos os dois primeiros. O resto segue deles. Então, vamos provar as fórmulas de redução da forma E .

Vamos considerar o círculo unitário. Deixe o ponto inicial A, após rotação de um ângulo, ir para o ponto A 1 (x, y), e após rotação de um ângulo, para o ponto A 2. Vamos desenhar A 1 H 1 e A 2 H 2 – perpendiculares à linha reta Boi.

É fácil ver que os triângulos retângulos OA 1 H 1 e OA 2 H 2 são iguais na hipotenusa e em dois ângulos adjacentes. A partir da igualdade dos triângulos e da localização dos pontos A 1 e A 2 no círculo unitário, fica claro que se o ponto A 1 tem coordenadas x e y, então o ponto A 2 tem coordenadas −y e x. Então as definições de seno e cosseno nos permitem escrever as igualdades e , do qual se segue que E . Isso comprova as fórmulas de redução consideradas para qualquer ângulo.

Considerando que ambos (se necessário, veja o artigo identidades trigonométricas básicas), bem como as fórmulas que acabamos de provar, obtemos E . Então provamos as duas fórmulas de redução a seguir.

Para provar fórmulas de redução com um argumento, basta representá-lo como , e então usar as fórmulas e propriedades comprovadas de funções trigonométricas com argumentos opostos. Por exemplo, .

Todas as outras fórmulas de redução são comprovadas de forma semelhante com base naquelas já comprovadas por dupla aplicação. Por exemplo, é representado como , e - como . E e - como e respectivamente.

Bibliografia.

• Álgebra: Livro didático para o 9º ano. média. escola/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. SA Telyakovsky - M.: Educação, 1990. - 272 pp.: III.
• Bashmakov M. I.Álgebra e os primórdios da análise: livro didático. para as séries 10-11. média. escola - 3ª edição. - M.: Educação, 1993. - 351 p.: il. - ISBN 5-09-004617-4.
• Álgebra e o início da análise: Proc. para as séries 10-11. Educação geral instituições / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn e outros; Ed. A. N. Kolmogorov - 14ª ed. - M.: Educação, 2004. - 384 pp.: il.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemática (manual para quem ingressa nas escolas técnicas): Proc. subsídio.- M.; Mais alto escola, 1984.-351 p., il.

Existem duas regras para usar fórmulas de redução.

1. Se o ângulo puder ser representado como (π/2 ±a) ou (3*π/2 ±a), então mudanças no nome da função pecado para cos, cos para pecado, tg para ctg, ctg para tg. Se o ângulo puder ser representado na forma (π ±a) ou (2*π ±a), então O nome da função permanece inalterado.

Veja a imagem abaixo, ela mostra esquematicamente quando você deve mudar a placa e quando não.

2. A regra “como você era, você permanece”.

O sinal da função reduzida permanece o mesmo. Se a função original tivesse um sinal de mais, a função reduzida também teria um sinal de mais. Se a função original tivesse um sinal de menos, então a função reduzida também teria um sinal de menos.

A figura abaixo mostra os sinais das funções trigonométricas básicas dependendo do trimestre.

Calcule o pecado (150˚)

Vamos usar as fórmulas de redução:

Sin(150˚) está no segundo trimestre, pela figura vemos que o sinal do pecado neste trimestre é igual a +; Isso significa que a função fornecida também terá um sinal de mais. Aplicamos a segunda regra.

Agora 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ é π/2. Ou seja, estamos tratando do caso π/2+60, portanto, conforme a primeira regra, mudamos a função de sin para cos. Como resultado, obtemos Sin(150˚) = cos(60˚) = ½.

Se desejado, todas as fórmulas de redução podem ser resumidas em uma tabela. Mas ainda é mais fácil lembrar essas duas regras e usá-las.

Precisa de ajuda com seus estudos?

Tópico anterior:

Fórmulas de redução.

As fórmulas de redução não precisam ser ensinadas; elas precisam ser compreendidas. Entenda o algoritmo para sua derivação. Isso é muito fácil!

Vamos pegar um círculo unitário e colocar todas as medidas de graus (0°; 90°; 180°; 270°; 360°) nele.

Analisemos as funções sin(a) e cos(a) em cada trimestre.

Lembre-se de que observamos a função sin(a) ao longo do eixo Y e a função cos(a) ao longo do eixo X.

No primeiro trimestre fica claro que a função pecado(a)>0
E função cos(a)>0
O primeiro trimestre pode ser descrito em termos de graus, como (90-α) ou (360+α).

No segundo trimestre fica claro que a função pecado(a)>0, porque o eixo Y é positivo neste trimestre.
Uma função cos(a) porque o eixo X é negativo neste quadrante.
O segundo quarto pode ser descrito em termos de graus, como (90+α) ou (180-α).

No terceiro trimestre fica claro que as funções pecado(a) O terceiro quarto pode ser descrito em termos de graus, como (180+α) ou (270-α).

No quarto trimestre fica claro que a função sin(a) porque o eixo Y é negativo neste trimestre.
Uma função cos(a)>0, porque o eixo X é positivo neste trimestre.
O quarto trimestre pode ser descrito em termos de graus, como (270+α) ou (360-α).

Agora vamos examinar as próprias fórmulas de redução.

Vamos lembrar simples algoritmo:
1. Trimestre.(Sempre observe em que bairro você está).
2. Sinal.(Para trimestres, consulte funções cosseno ou seno positivas ou negativas).
3. Se você tiver (90° ou π/2) e (270° ou 3π/2) entre colchetes, então mudanças de função.

E assim começaremos a analisar esse algoritmo em trimestres.

Descubra a que a expressão cos(90-α) será igual
Raciocinamos de acordo com o algoritmo:
1. Um quarto.


Vai cos(90-α) = sin(α)

Descubra a que será igual a expressão sin(90-α)
Raciocinamos de acordo com o algoritmo:
1. Um quarto.


Vai sin(90-α) = cos(α)

Descubra a que será igual a expressão cos(360+α)
Raciocinamos de acordo com o algoritmo:
1. Um quarto.
2. No primeiro trimestre, o sinal da função cosseno é positivo.

Vai cos(360+α) = cos(α)

Descubra a que será igual a expressão sin(360+α)
Raciocinamos de acordo com o algoritmo:
1. Um quarto.
2. No primeiro trimestre, o sinal da função seno é positivo.
3. Não há (90° ou π/2) e (270° ou 3π/2) entre colchetes, então a função não muda.
Vai pecado (360 + α) = pecado (α)

Descubra a que será igual a expressão cos(90+α)
Raciocinamos de acordo com o algoritmo:
1. Segundo quarto.

3. Há (90° ou π/2) entre parênteses, então a função muda de cosseno para seno.
Vai cos(90+α) = -sin(α)

Descubra a que será igual a expressão sin(90+α)
Raciocinamos de acordo com o algoritmo:
1. Segundo quarto.

3. Há (90° ou π/2) entre parênteses, então a função muda de seno para cosseno.
Vai sin(90+α) = cos(α)

Descubra a que será igual a expressão cos(180-α)
Raciocinamos de acordo com o algoritmo:
1. Segundo quarto.
2. No segundo trimestre, o sinal da função cosseno é negativo.
3. Não há (90° ou π/2) e (270° ou 3π/2) entre colchetes, então a função não muda.
Vai cos(180-α) = cos(α)

Descubra a que será igual a expressão sin(180-α)
Raciocinamos de acordo com o algoritmo:
1. Segundo quarto.
2. No segundo trimestre, o sinal da função seno é positivo.
3. Não há (90° ou π/2) e (270° ou 3π/2) entre colchetes, então a função não muda.
Vai pecado (180-α) = pecado (α)

Estou falando do terceiro e quarto trimestres, vamos criar uma tabela de forma semelhante:

Se inscrever para o canal no YOUTUBE e assista ao vídeo, prepare-se para os exames de matemática e geometria conosco.