Uma fração ordinária é um número da forma em que o tipo são números naturais, por exemplo O número é chamado de numerador da fração, o denominador. Em particular, talvez neste caso a fração tenha a forma, mas mais frequentemente é escrita de forma simples. Isso significa que qualquer número natural pode ser representado como uma fração ordinária com denominador 1. Notação - outra versão da notação.

As frações comuns são divididas em próprias e impróprias

frações Uma fração é dita própria se seu numerador for menor que seu denominador, e imprópria se seu numerador for maior ou igual ao denominador.

Qualquer fração imprópria pode ser representada como a soma de um número natural e uma fração própria (ou como um número natural, se a fração for tal que seja um múltiplo de, por exemplo,

Exemplo. Represente uma fração imprópria como a soma de um número natural e uma fração própria: a)

Solução a)

É costume escrever a soma de um número natural e uma fração própria sem o sinal de adição, ou seja, em vez de escrever em vez de escrever, um número escrito nesta forma é chamado de número misto. Consiste em duas partes: inteira e fracionária. Assim, para o número 3 - a parte inteira é igual a 3, e a parte fracionária - Qualquer fração imprópria pode ser escrita como um número misto (ou como um número natural). O inverso também é verdadeiro: todo número misto ou natural pode ser escrito como uma fração imprópria. Por exemplo, .

Neste artigo começaremos a explorar números racionais. Aqui daremos definições de números racionais, daremos as explicações necessárias e daremos exemplos de números racionais. Depois disso, focaremos em como determinar se um determinado número é racional ou não.

Navegação na página.

Definição e exemplos de números racionais

Nesta seção daremos várias definições de números racionais. Apesar das diferenças de redação, todas essas definições têm o mesmo significado: os números racionais unem inteiros e frações, assim como os inteiros unem os números naturais, seus opostos e o número zero. Em outras palavras, os números racionais generalizam números inteiros e fracionários.

Vamos começar com definições de números racionais, que é percebido com mais naturalidade.

Da definição declarada segue-se que um número racional é:

• Qualquer número natural n. Na verdade, você pode representar qualquer número natural como uma fração ordinária, por exemplo, 3=3/1.
• Qualquer número inteiro, em particular o número zero. Na verdade, qualquer número inteiro pode ser escrito como uma fração positiva, uma fração negativa ou zero. Por exemplo, 26=26/1, .
• Qualquer fração comum (positiva ou negativa). Isto é diretamente confirmado pela definição dada de números racionais.
• Qualquer número misto. Na verdade, você sempre pode representar um número misto como uma fração imprópria. Por exemplo, e.
• Qualquer fração decimal finita ou fração periódica infinita. Isso ocorre porque as frações decimais indicadas são convertidas em frações ordinárias. Por exemplo, e 0,(3)=1/3.

Também está claro que qualquer fração decimal infinita não periódica NÃO é um número racional, uma vez que não pode ser representada como uma fração comum.

Agora podemos facilmente dar exemplos de números racionais. Os números 4.903, 100.321 são números racionais porque são números naturais. Os inteiros 58, −72, 0, −833.333.333 também são exemplos de números racionais. As frações comuns 4/9, 99/3 também são exemplos de números racionais. Os números racionais também são números.

A partir dos exemplos acima, fica claro que existem números racionais positivos e negativos, e o número racional zero não é positivo nem negativo.

A definição acima de números racionais pode ser formulada de uma forma mais concisa.

Definição.

Números racionais são números que podem ser escritos como uma fração z/n, onde z é um número inteiro en é um número natural.

Vamos provar que esta definição de números racionais é equivalente à definição anterior. Sabemos que podemos considerar a linha de uma fração como um sinal de divisão, então a partir das propriedades de divisão de inteiros e das regras de divisão de inteiros segue-se a validade das seguintes igualdades e. Portanto, essa é a prova.

Vamos dar exemplos de números racionais com base nesta definição. Os números −5, 0, 3 e são números racionais, pois podem ser escritos como frações com numerador inteiro e denominador natural da forma e, respectivamente.

A definição de números racionais pode ser dada na seguinte formulação.

Definição.

Números racionais são números que podem ser escritos como uma fração decimal periódica finita ou infinita.

Esta definição também é equivalente à primeira definição, pois toda fração ordinária corresponde a uma fração decimal finita ou periódica e vice-versa, e qualquer número inteiro pode ser associado a uma fração decimal com zeros após a vírgula.

Por exemplo, os números 5, 0, −13 são exemplos de números racionais porque podem ser escritos como as seguintes frações decimais 5,0, 0,0, −13,0, 0,8 e −7, (18).

Vamos terminar a teoria deste ponto com as seguintes afirmações:

• inteiros e frações (positivos e negativos) compõem o conjunto dos números racionais;
• todo número racional pode ser representado como uma fração com um numerador inteiro e um denominador natural, e cada uma dessas frações representa um certo número racional;
• todo número racional pode ser representado como uma fração decimal periódica finita ou infinita, e cada uma dessas frações representa um número racional.

Esse número é racional?

No parágrafo anterior, descobrimos que qualquer número natural, qualquer inteiro, qualquer fração ordinária, qualquer número misto, qualquer fração decimal finita, bem como qualquer fração decimal periódica é um número racional. Este conhecimento permite-nos “reconhecer” números racionais a partir de um conjunto de números escritos.

Mas e se o número for dado na forma de algum, ou como, etc., como responder à questão de saber se esse número é racional? Em muitos casos é muito difícil responder. Indiquemos algumas direções de pensamento.

Se um número for dado como uma expressão numérica que contém apenas números racionais e sinais aritméticos (+, −, · e:), então o valor desta expressão é um número racional. Isso decorre de como as operações com números racionais são definidas. Por exemplo, após realizar todas as operações na expressão, obtemos o número racional 18.

Às vezes, depois de simplificar as expressões e torná-las mais complexas, torna-se possível determinar se um determinado número é racional.

Vamos mais longe. O número 2 é um número racional, pois qualquer número natural é racional. E o número? É racional? Acontece que não, não é um número racional, é um número irracional (a prova desse fato por contradição é dada no livro didático de álgebra da 8ª série, listado abaixo na lista de referências). Também foi provado que a raiz quadrada de um número natural é um número racional apenas nos casos em que sob a raiz há um número que é o quadrado perfeito de algum número natural. Por exemplo, e são números racionais, pois 81 = 9 2 e 1 024 = 32 2, e os números e não são racionais, pois os números 7 e 199 não são quadrados perfeitos de números naturais.

O número é racional ou não? Nesse caso é fácil perceber que, portanto, esse número é racional. O número é racional? Foi provado que a k-ésima raiz de um inteiro é um número racional somente se o número sob o sinal da raiz for a k-ésima potência de algum inteiro. Portanto, não é um número racional, pois não existe nenhum número inteiro cuja quinta potência seja 121.

O método por contradição permite provar que os logaritmos de alguns números não são números racionais por algum motivo. Por exemplo, vamos provar que - não é um número racional.

Vamos supor o contrário, ou seja, digamos que é um número racional e pode ser escrito como uma fração ordinária m/n. Então damos as seguintes igualdades: . A última igualdade é impossível, pois no lado esquerdo está número ímpar 5 n, e no lado direito está o número par 2 m. Portanto, nossa suposição está incorreta e, portanto, não é um número racional.

Concluindo, vale ressaltar especialmente que, ao determinar a racionalidade ou irracionalidade dos números, deve-se evitar tirar conclusões repentinas.

Por exemplo, você não deve afirmar imediatamente que o produto dos números irracionais π e e é um número irracional, isso é “aparentemente óbvio”, mas não comprovado; Isto levanta a questão: “Por que um produto seria um número racional?” E porque não, porque podemos dar um exemplo de números irracionais, cujo produto dá um número racional: .

Também não se sabe se os números e muitos outros números são racionais ou não. Por exemplo, existem números irracionais cujo poder irracional é um número racional. Para ilustração, apresentamos um grau da forma, a base deste grau e o expoente não são números racionais, mas sim, e 3 é um número racional.

Bibliografia.

• Matemática. 6ª série: educacional. para educação geral instituições / [N. Sim. Vilenkin e outros]. - 22ª ed., rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: il. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Álgebra: livro didático para a 8ª série. Educação geral instituições / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editado por S. A. Telyakovsky. - 16ª edição. - M.: Educação, 2008. - 271 p. : doente. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemática (manual para quem ingressa nas escolas técnicas): Proc. subsídio.- M.; Mais alto escola, 1984.-351 p., il.

Palestra: Frações, porcentagens, números racionais

Números racionais são aqueles que podem ser expressos como uma fração comum.

Então, afinal, o que são frações?

Fração- um número que mostra um certo número de partes de um todo, ou seja, unidades.

As frações podem ser decimais ou ordinárias. Como uma operação matemática, fração- isso nada mais é do que divisão. Qualquer fração consiste em numerador(divisível), que está no topo, denominador(divisor), que fica abaixo, e a linha da fração, que desempenha diretamente a função de divisão. O denominador de uma fração mostra em quantas partes iguais um todo é dividido. O numerador mostra quantas partes iguais foram retiradas do todo.

Uma fração pode ser mista, ou seja, pode ter uma parte fracionária e uma parte inteira.

Por exemplo, 1; 5,03.

Uma fração comum pode ter um numerador e denominador arbitrários.

Por exemplo, 1/5, 4/7, 7/11, etc.

Uma fração decimal sempre tem os números 10, 100, 1000, 10000, etc.

Por exemplo, 1/10 = 0,1; 6/100 = 0,06, etc.

Você pode realizar as mesmas operações matemáticas em frações e em números inteiros:

1. Adição e subtração de frações

Para essas frações, o menor número divisível por um e pelo outro denominador é 30.

Para trazer ambas as frações para um denominador 30, você precisa encontrar um fator adicional. Para obter o denominador 30 na primeira fração, ele deve ser multiplicado por 6. Para obter o denominador 30 na segunda fração, ele deve ser multiplicado por 5. Para garantir que o valor da fração não mude, multiplicamos tanto o numerador quanto o denominador por esses números. Como resultado disso obtemos:

Para somar ou subtrair números com denominadores iguais, deixe o denominador como 30 e some os numeradores:

2. Multiplicação de frações

Ao multiplicar duas frações, você deve multiplicar seus numeradores, depois multiplicar os denominadores e escrever o resultado:

3. Divisão de frações

Ao dividir duas frações, você precisa virar a segunda fração e realizar a operação de multiplicação:

4. Redução de frações

Se o numerador e o denominador forem múltiplos de algum número idêntico, então tal fração pode ser reduzida dividindo o numerador e o denominador pelo número fornecido.

Na fração original, tanto o numerador quanto o denominador são divisíveis pelo número 3, portanto toda a fração pode ser reduzida por esse número.

5. Comparando frações

Ao comparar frações, você precisa usar várias regras:

- Se for feita uma comparação entre frações que têm o mesmo denominador, mas um numerador diferente, então a fração com o numerador maior será maior. Ou seja, essa comparação se resume a uma comparação de numeradores.

- Se as frações tiverem os mesmos numeradores, mas denominadores diferentes, os denominadores deverão ser comparados. A fração cujo denominador for menor será maior.

- Se as frações tiverem numeradores e denominadores diferentes, elas deverão ser reduzidas a um denominador comum.

O denominador comum é 42, portanto, o fator adicional para a primeira fração é 7 e o fator adicional para a segunda fração é 6. Obtemos:

Agora a comparação se resume à primeira regra. A fração com maior denominador é maior:

Interesse

Qualquer número que seja um centésimo de um inteiro é chamado de um por cento.

1% = 1/100 = 0,01.

Para converter uma fração em notação percentual, ela deve ser convertida em uma fração decimal e depois multiplicada por 100%.

Por exemplo,

As porcentagens são usadas em três casos principais:

1. Se você precisar encontrar uma certa porcentagem de um número. Imagine que você recebe 10% do salário dos seus pais todos os meses. Porém, se você não souber matemática, não conseguirá calcular a que será igual a sua renda mensal. Então, isso é muito fácil de fazer.

Vamos imaginar que seus pais recebam 100.000 rublos todos os meses. Para saber o valor que você deve receber mensalmente, você precisa dividir o lucro dos seus pais por 100 e multiplicar por 10%, que você deverá receber:

100.000: 100 * 10 = 10.000 (rublos).

2. Se você precisa saber quanto seus pais recebem mensalmente, se você sabe que eles lhe dão 6.000 rublos, e isso, por sua vez, é de 3%, então essa ação com juros é chamada de encontrar o número por sua porcentagem. Para fazer isso, você precisa multiplicar o valor resultante por 100 e dividir pela sua porcentagem:

6.000 * 100: 3 = 200.000 (rublos).

3. Se você bebe 1 litro de água durante o dia e, por exemplo, precisa beber 2 litros de água, poderá facilmente encontrar a porcentagem de água que bebe. Para fazer isso, divida 1 litro por 2 litros e multiplique por 100%.

1: 2 * 100% = 50%.

(Nº 2475) Um frasco de xampu custa 200 rublos. Qual é o maior número de frascos que você pode comprar por 1.000 rublos durante uma liquidação com desconto de 15%.

(No. 2491) Uma caneta esferográfica custa 20 rublos. Qual é o maior número dessas canetas que podem ser compradas por 700 rublos depois que o preço aumenta em 15%?

(Nº 2503) O notebook custa 40 rublos. Qual é o maior número desses notebooks que podem ser adquiridos por 550 rublos depois que o preço for reduzido em 15%?

(Nº 2513) A loja compra vasos de flores a um preço de atacado de 100 rublos cada. A margem comercial é de 15%. Qual é o maior número desses potes que podem ser comprados nesta loja por 1.300 rublos?

(No. 2595) Uma passagem de trem para um adulto custa 550 rublos. O custo do ingresso de estudante é 50% do custo do ingresso de adulto. O grupo é composto por 18 escolares e 4 adultos. Quantos rublos custam os ingressos para todo o grupo?

(Nº 2.601) O preço de uma chaleira elétrica aumentou 21% e totalizou 3.025 rublos. Quantos rublos custava o produto antes do aumento de preço?

(Nº 2.617) A camiseta custou 800 rublos. Depois que o preço foi reduzido, passou a custar 680 rublos. Em que porcentagem o preço da camiseta foi reduzido?

(nº 6193) A cidade N tem 250 mil habitantes. Entre eles, 15% são crianças e adolescentes. Entre os adultos, 35% não trabalham (reformados, donas de casa, desempregados). Quantos adultos trabalham?

(No. 6235) O cliente fez um empréstimo de 3.000 rublos no banco. por um ano a 12%. Ele deve reembolsar o empréstimo depositando a mesma quantia no banco todos os meses, a fim de reembolsar todo o valor emprestado junto com os juros após um ano. Quanto ele deve depositar mensalmente no banco?

(Nº 24285) O imposto de renda é de 13% dos salários. Após a retenção do imposto de renda, Maria Konstantinovna recebeu 13.050 rublos. Quantos rublos é o salário de Maria Konstantinovna?

(Nº 24261) O imposto de renda é de 13% dos salários. O salário de Ivan Kuzmich é de 14.500 rublos. Quantos rublos ele receberá após deduzir o imposto de renda?

(No. 2587) O preço de atacado do livro é de 170 rublos. O preço de varejo é 20% superior ao preço de atacado. Qual é o maior número desses livros que podem ser adquiridos ao preço de varejo de 7.000 rublos?

Transcrição

2 ONDA PRINCIPAL 2013 CENTRO URAL SIBÉRIA LESTE: frações porcentagens números racionais Teoria: Conjunto de números racionais 1 1 ~ HOD ge N Z Propriedade básica 0 0. Proporção é a igualdade de duas razões. Propriedade: consequências Esquema de dependência diretamente proporcional. Propriedades básicas 1. Ordem: 0; 0; Operação de adição: ; HOK 3. Operação de multiplicação e divisão: 4. Transitividade da relação de ordem: 5. Comutatividade: 6. Associatividade: 7. Distributividade: 8. Presença de zero: Presença de números opostos: Presença de unidade: Presença de números recíprocos: R R 12. Conexão da relação de ordem com a operação de adição. O mesmo número racional pode ser adicionado aos lados esquerdo e direito de uma desigualdade racional. 2B1

3 13. Conexão da relação de ordem com a operação de multiplicação. Os lados esquerdo e direito de uma desigualdade racional podem ser multiplicados pelo mesmo número racional positivo. Qualquer que seja o número racional, você pode pegar tantas unidades que sua soma exceda a. N k Desigualdades racionais do mesmo sinal podem ser adicionadas termo a termo. Qualquer fração racional pode ser convertida em sua fração decimal equivalente dividindo o numerador pelo denominador. 1 resto pode acabar sendo igual a zero e o quociente será expresso como uma fração decimal finita, por exemplo 3:4 = zero no resto nunca funcionará, pois os restos serão repetidos infinitamente e o quociente será expresso como uma fração decimal periódica infinita. Por exemplo 2:3=0666 =06 7:13= = :15=21333 = ? Interesse. A centésima parte de um número é chamada de porcentagem. Três tipos de problemas envolvendo percentagens A 100% 1. Encontrando a percentagem de um determinado número A p% x. x p% 100% Para encontrar p% do número “A” você precisa encontrar 1% de “A” A: 100% e multiplicar por p%. 2. Encontrar um número a partir de outro número e seu valor como uma porcentagem do número desejado. x 100% 100% x. p% p% Para encontrar um número para um determinado valor “a” é p% você precisa encontrar 1% do número desejado dividindo o valor fornecido “a” por p% e multiplicar o resultado por 100% A 100% 3 . Encontrando a porcentagem de números. 100% x% x% A Você precisa encontrar a razão entre o número “a” e o número “A” e multiplicar por 100%. 3

4 CENTRO Opção 1;8. Um comprimido do medicamento pesa 70 mg e contém 4% da substância ativa. O médico prescreve 105 mg da substância ativa para uma criança com menos de 6 meses de idade durante 5 meses e com peso de 8 kg por dia? Opção 2. Um comprimido do medicamento pesa 20 mg e contém 5% da substância ativa. O médico prescreve 04 mg da substância ativa para criança menor de 6 meses para cada criança de três meses e peso de 5 kg por dia? Opção 3. Um comprimido do medicamento pesa 20 mg e contém 5% da substância ativa. O médico prescreve 1 mg da substância ativa para uma criança com menos de 6 meses de idade e peso de 7 kg por dia? Opção 4;5. Um comprimido do medicamento pesa 20 mg e contém 9% da substância ativa. O médico prescreve 135 mg da substância ativa para uma criança com menos de 6 meses e peso de 8 kg por cada criança de quatro meses e peso de 8 kg por dia? Opção 6. Um comprimido do medicamento pesa 30 mg e contém 5% da substância ativa. O médico prescreve 075 mg da substância ativa para uma criança com menos de 6 meses de idade durante 5 meses e com peso de 8 kg por dia? Opção 7. Um comprimido do medicamento pesa 40 mg e contém 5% da substância ativa. O médico prescreve 125 mg da substância ativa para uma criança com menos de 6 meses de idade e peso de 8 kg por dia para cada criança de três meses de idade e peso de 8 kg? Observe que as oito opções são compostas por seis problemas com dados numéricos diferentes, mas com o mesmo conteúdo. As informações necessárias para o cálculo foram anotadas na tabela: Peso de um Conteúdo percentual Opções Receita mg Peso da criança kg comprimidos mg da substância ativa % 1 e e Solução da opção 1. Idéia: A porcentagem da substância ativa em um comprimido é conhecido, o que significa que você pode encontrar a quantidade correspondente da substância em mg. Conhecendo o peso da criança e a dosagem da substância ativa por 1 kg de peso, é possível saber a dose diária da substância ativa. Então o número de comprimidos é o quociente entre a norma diária da substância ativa dividida pela quantidade de substância ativa em um comprimido. Ações: 1. Determine a quantidade de substância ativa em um comprimido. Vamos fazer uma proporção: considere o peso de um comprimido de 70 mg como 100% e 4% desse peso será x mg da quantidade de substância ativa em um comprimido. Vamos escrever esta proporção esquematicamente. A partir daqui encontramos o termo desconhecido da proporção. Para fazer isso, você precisa multiplicar x 4% os termos conhecidos de uma diagonal e dividir pelo termo conhecido da outra diagonal: 70 4% x 28 mg. 100% 4

5 2. Determinar a quantidade da substância ativa prescrita pelo médico de acordo com a prescrição, tendo em conta o peso da criança. A dose da substância deve ser multiplicada pelo peso da criança: mg. Isto significa que a criança necessita de tomar 84 mg da substância ativa por dia. Determine o número de comprimidos contendo 84 mg da substância ativa. 3 aba. 28 Resposta 3. Outras opções são resolvidas de forma semelhante. EM URAL Opção 1;5. No apartamento onde mora Anastasia, está instalado um medidor de água fria. No dia 1º de setembro, o medidor apresentava consumo de 122 metros cúbicos de água e no dia 1º de outubro, 142 metros cúbicos. Quanto Anastasia deve pagar pela água fria em setembro se o preço de 1 metro cúbico de água fria for 9 rublos e 90 copeques? Dê sua resposta em rublos. Opção 2. No apartamento onde mora Maxim, está instalado um medidor de água fria. No dia 1º de fevereiro, o medidor apresentava consumo de 129 metros cúbicos de água e no dia 1º de março, 140 metros cúbicos. Quanto Maxim deve pagar pela água fria em fevereiro se o preço de 1 metro cúbico de água fria for de 10 rublos e 60 copeques? Dê sua resposta em rublos. Opção 3. No apartamento onde Alexey mora, está instalado um medidor de água fria. No dia 1º de junho, o medidor apresentava consumo de 151 metros cúbicos de água e, no dia 1º de julho, 165 metros cúbicos. Quanto Alexey deve pagar pela água fria em março se o preço de 1 metro cúbico de água fria for 20 rublos e 80 copeques? Dê sua resposta em rublos. Opção 4. No apartamento onde mora Asya, está instalado um medidor de água quente. No dia 1º de maio, o medidor apresentava consumo de 84 metros cúbicos de água e, no dia 1º de junho, 965 metros cúbicos. Quanto Anastasia deve pagar pela água quente em janeiro se o preço de 1 metro cúbico de água quente for 72 rublos e 60 copeques? Dê sua resposta em rublos. Opção 6;8. No apartamento onde mora a Anfisa há medidor de água quente instalado. No dia 1º de setembro, o medidor apresentava consumo de 239 metros cúbicos de água e, no dia 1º de outubro, 349 metros cúbicos. Quanto a Anfisa deve pagar pela água quente em setembro se o preço de 1 metro cúbico de água quente for 78 rublos e 60 copeques? Dê sua resposta em rublos. Opção 7. No apartamento onde Alla mora está instalado um medidor de água quente. No dia 1º de julho, o medidor apresentava consumo de 772 metros cúbicos de água e no dia 1º de agosto, 797 metros cúbicos. Quanto Alla deve pagar pela água quente em julho se o preço de 1 metro cúbico de água quente for 144 rublos e 80 copeques? Dê sua resposta em rublos. A região URAL resolveu o problema de pagamento do consumo de água por meio de medidor. Os dados numéricos para cálculo de acordo com as opções foram inseridos na tabela: Vari Leituras do medidor no início Leituras do medidor no início Preço 1 metro cúbico ante do mês civil metro cúbico do próximo mês civil metro cúbico 1 e rublo 90 copeques rublo 60 copeques rublo 80 copeques rublo 60 copeques 6 e rublo 60 copeques rublo 80 copeques Solução para a opção 1. Idéia: As leituras do medidor são conhecidas no início do mês em metros cúbicos e no início do próximo mês em metros cúbicos. Isso significa que você pode saber o consumo mensal de água a ser pago. Sabendo a quantidade de metros cúbicos de água consumidos e o preço de um metro cúbico de água, você pode saber o valor que precisa pagar por essa água. 5

6 Ações: Determinar o consumo de água do mês Determinar o valor a pagar pela água consumida no mês p Resposta 198. As demais opções são resolvidas da mesma forma. PARA A SIBÉRIA Opção 1. 1 quilowatt-hora de eletricidade custa 1 rublo e 40 copeques. O medidor de eletricidade mostrou quilowatts-hora em 1º de junho e quilowatts-hora em 1º de julho. Quanto você precisa pagar pela eletricidade em junho? Dê sua resposta em rublos. Opção 2. 1 quilowatt-hora de eletricidade custa 1 rublo e 20 copeques. O medidor de eletricidade em 1º de novembro mostrou 669 quilowatts-hora e em 1º de dezembro 846 quilowatts-hora. Quanto devo pagar pela eletricidade em novembro? Dê sua resposta em rublos. Opção 3. 1 quilowatt-hora de eletricidade custa 2 rublos e 40 copeques. O medidor de eletricidade mostrou quilowatts-hora em 1º de outubro e quilowatts-hora em 1º de novembro. Quanto devo pagar pela eletricidade em outubro? Dê sua resposta em rublos. Opção 4;5. 1 quilowatt-hora de eletricidade custa 2 rublos e 50 copeques. O medidor de eletricidade em 1º de janeiro mostrou quilowatts-hora e em 1º de fevereiro mostrou quilowatts-hora. Quanto devo pagar pela eletricidade em janeiro? Dê sua resposta em rublos. Opção 6. 1 quilowatt-hora de eletricidade custa 1 rublo e 30 copeques. O medidor de eletricidade mostrou quilowatts-hora em 1º de setembro e quilowatts-hora em 1º de outubro. Quanto devo pagar pela eletricidade em setembro? Dê sua resposta em rublos. Opção 7;8. 1 quilowatt-hora de eletricidade custa 1 rublo e 70 copeques. No dia 1º de abril, o medidor de energia elétrica mostrou quilowatts-hora e no dia 1º de maio mostrou quilowatts-hora. Quanto devo pagar pela eletricidade em abril? Dê sua resposta em rublos. A região da SIBÉRIA resolveu o problema do pagamento do consumo de eletricidade por metro. Os dados numéricos para cálculo de acordo com as opções foram inseridos na tabela: Opções Leituras do medidor no início do mês civil kWh Leituras do medidor no início do próximo mês civil kWh Custo de 1 quilowatt-hora rublo 40 copeques rublo 20 copeques rublo 40 copeques 4 e rublo 50 copeques rublo 30 7 copeques e 70 copeques rublo Solução para a opção 1. Ideia: As leituras do medidor no início do mês de quilowatt-hora e no início do próximo mês de quilowatt-hora são conhecidas. Isso significa que você pode saber o consumo mensal de energia elétrica a pagar. Conhecendo a quantidade de quilowatt-hora de eletricidade consumida e o preço de um quilowatt-hora, você pode saber quanto precisa pagar por essa eletricidade. Ações: Determinar o consumo de energia elétrica do mês Determinar o valor a pagar pela energia elétrica consumida no mês. 6

7 p Resposta As opções restantes são resolvidas de forma semelhante. AO LESTE Opção 1;5;8. No apartamento onde mora Ekaterina, está instalado um medidor de água fria. No dia 1º de setembro, o medidor apresentava consumo de 189 metros cúbicos de água e no dia 1º de outubro, 204 metros cúbicos. Quanto Ekaterina deve pagar pela água fria em setembro se o preço de 1 metro cúbico de água fria for 16 rublos e 90 copeques? Dê sua resposta em rublos. Opção 2. No apartamento onde Valéry mora, está instalado um medidor de água fria. No dia 1º de março, o medidor apresentava consumo de 182 metros cúbicos de água e no dia 1º de abril, 192 metros cúbicos. Quanto Valery deve pagar pela água fria em março se o preço de 1 metro cúbico de água fria for de 23 rublos e 10 copeques? Dê sua resposta em rublos. Opção 3. No apartamento onde mora Marina está instalado medidor de água fria. No dia 1º de julho, o medidor apresentava consumo de 120 metros cúbicos de água e, no dia 1º de agosto, 131 metros cúbicos. Quanto Marina deve pagar pela água fria em julho se o preço de 1 metro cúbico de água fria for 20 rublos e 60 copeques? Dê sua resposta em rublos. Opção 4. No apartamento onde mora Egor está instalado um medidor de água quente. No dia 1º de novembro, o medidor apresentava consumo de 879 metros cúbicos de água e, no dia 1º de dezembro, 969 metros cúbicos. Quanto Yegor deve pagar pela água quente em novembro se o preço de 1 metro cúbico de água quente for 108 rublos e 20 copeques? Dê sua resposta em rublos. Opção 6. No apartamento onde mora Mikhail, está instalado um medidor de água quente. No dia 1º de março, o medidor apresentava consumo de 708 metros cúbicos de água e no dia 1º de abril, 828 metros cúbicos. Quanto Mikhail deveria pagar pela água quente em março se o preço de 1 metro cúbico de água quente for 72 rublos e 20 copeques? Dê sua resposta em rublos. Opção 7. No apartamento onde mora Anastasia está instalado um medidor de água quente. No dia 1º de janeiro, o medidor apresentava consumo de 894 metros cúbicos de água e no dia 1º de fevereiro, 919 metros cúbicos. Quanto Anastasia deve pagar pela água quente em janeiro se o preço de 1 metro cúbico de água quente for 103 rublos e 60 copeques? Dê sua resposta em rublos. As tarefas da região VOSTOK coincidiram com as tarefas da região URAL com diferença nos dados numéricos. Opções Leituras do medidor no início de um mês civil, metros cúbicos Leituras do medidor no início do próximo mês civil, metros cúbicos Preço 1 metro cúbico 1 e 5 e rublo 90 copeques rublo 10 copeques rublo 60 copeques rublo 20 copeques rublo 20 copeques rublo 60 copeques Portanto, a ideia da solução e das ações serão semelhantes às discutidas anteriormente para a região URAL. EM

Seção Operações com frações Seção Conversão de uma fração decimal em uma fração ordinária e vice-versa Seção Porcentagens (porcentagem de um número, porcentagem de números, variação percentual) Seção Depósitos, simples e complexos

Teste sobre o tema “GCD e NOC” Sobrenome, Nome. Os números naturais são chamados de relativamente primos se: a) possuem mais de dois divisores; b) seu MDC é igual; c) eles têm um divisor. O máximo divisor comum dos números é um

Perguntas para o teste de conhecimentos em matemática. Grau 5-6. 1. Definição de números naturais, inteiros e racionais. 2. Testes de divisibilidade por 10, por 5, por 2. 3. Testes de divisibilidade por 9, por 3. 4. Propriedade básica

Assunto. Desenvolvimento do conceito de número. Operações aritméticas com frações ordinárias. Adição. Uma soma de frações com o mesmo denominador é uma fração que tem o mesmo denominador e o numerador é igual à soma

4 Questões de revisão I. Números naturais. Série natural.. Números e números. Sistema numérico decimal. 3. Classificação e classes. Representação de um número como uma soma de termos de dígitos. 4. Comparação de natural

Equações lineares com uma variável Introdução Nikita Sarukhanov A álgebra do 7º ano surgiu em conexão com a resolução de vários problemas usando equações. Normalmente, os problemas exigem encontrar um ou mais

1. Encontrando uma porcentagem de um número Ajuda B1 Porcentagem 1% é um centésimo de algo, ou seja, 1% = 0,01 =. Assim, 2% = 0,02 =, 5% = 0,05 =, 10% = 0,10 = 0,1 = =. Vamos encontrar, por exemplo, 25%

Tópico de matemática do 6º ano. Divisibilidade dos números. Conceitos Básicos. O divisor de um número natural a é um número natural pelo qual a é dividido sem deixar resto. Por exemplo, ; 2; 5; 0 são divisores do número 0. O número 3 é um divisor

CONTEÚDO INTRODUÇÃO... 4 ÁLGEBRA... 5 Números, raízes e potências... 5 Noções básicas de trigonometria... 20 Logaritmos... 0 Convertendo expressões... 5 EQUAÇÕES E DESIGUALDADES... 57 Equações... 57 Desigualdades ... 91

Casa dos Professores do Distrito Federal dos Urais XI Olimpíada Internacional de Ciências Básicas Segunda etapa. Liga principal. Supervisor científico do projeto da disciplina: Elena Lvovna Grivkova, professora superior de matemática

Respostas às provas de matemática do 6º ano DPR >>> Respostas às provas de matemática do 6º ano DPR Respostas às provas de matemática do 6º ano DPR Adição subtração mista

Material de referência “Matemática 5ª série” Números naturais Os números usados ​​na contagem são chamados de números naturais. Eles são designados pela letra latina Ν. O número 0 não é um número natural! Método de gravação

MATEMÁTICA. TUDO PARA O PROFESSOR! FRAÇÕES DECIMAIS E OPERAÇÕES SOBRE ELAS BIBLIOTECA DIDÁTICA E DE GELOS BLIO IOTE Oferecemos materiais educativos sobre o tema “Frações decimais”: cartões para indivíduos

Algoritmo para encontrar a faixa de valores aceitáveis ​​​​de uma fração algébrica. Exemplo. Encontre o intervalo de valores aceitáveis: x 25 (x 5) (2x+4). 1. Escreva o denominador da fração algébrica; 2. Iguale o que está escrito

Tópico 3. “Relacionamentos. Proporções. Porcentagem" A proporção de dois números é o quociente da divisão de um deles pelo outro. A proporção mostra quantas vezes o primeiro número é maior que o segundo ou que parte do primeiro número

Encontrando números Exemplo 1. Os numeradores de três frações são proporcionais aos números 1, 2, 5 e os denominadores são proporcionais aos números 1, 3, 7. A média das frações aritméticas é igual. Encontre essas frações. Solução. Por condição

Trimestre 1 Quais números são números naturais? Como ler um número? Como escrever um número em algarismos? Relações entre unidades Como desenhar um raio coordenado e marcar pontos neste raio? Fórmulas numéricas que

Número da lição Tópico da lição CALENDÁRIO - PLANEJAMENTO TEMÁTICO 6ª série Número de horas Capítulo 1. Frações ordinárias. 1. Divisibilidade de números 24 horas 1-3 Divisores e múltiplos 3 Divisor, múltiplo, menor múltiplo natural

Assunto. Desenvolvimento do conceito de número Resumo: O livro didático foi desenvolvido de acordo com o Programa de Trabalho da disciplina de ensino geral ODP.0 Matemática. O tutorial contém: teórico

“Acordado” “Aprovado” Vice-diretor de gestão de água Diretor da escola municipal 6ª série Planejamento temático-calendário em matemática (curso por correspondência) Ano acadêmico 2018-2019 Livro didático: Vilenkin N.Ya., Zhokhov

Expressões fracionárias-racionais Expressões contendo divisão por uma expressão com variáveis ​​​​são chamadas de expressões fracionárias (fracionárias-racionais), pois alguns valores das variáveis ​​​​não possuem.

Tópico 1 “Expressões numéricas. Procedimento. Comparação de números." Uma expressão numérica é uma ou mais quantidades numéricas (números) conectadas por sinais de operações aritméticas: adição,

Calendário e planejamento temático matemática 6ª série (5 horas por semana, total de 170 horas) lição Tópico da lição 1-3 Adição e subtração de frações com os mesmos denominadores, adição e subtração de decimais

Capítulo 1 Fundamentos da Álgebra Conjuntos Numéricos Vejamos os conjuntos numéricos básicos. O conjunto de números naturais N inclui números da forma 1, 2, 3, etc., que são usados ​​para contar objetos. Um monte de

NÚMEROS RACIONAIS Frações ordinárias Definição Frações da forma são chamadas de frações ordinárias Frações ordinárias, regulares e impróprias Definição Fração, própria se< при, где Z, N Z, N Z,

1 NÚMEROS IRRACIONAIS E REAIS Números irracionais O exemplo mais simples de medir o comprimento da diagonal de um quadrado unitário mostra que a operação de extrair a raiz quadrada de um número racional

26. Problemas de números inteiros Encontre o máximo divisor comum dos números (1 8): 1. 247 e 221. 2. 437 e 323. 3. 357 e 391. 4. 253 e 319. 5. 42 4 e 54 3. 6 78 4 e 65 2. 7. 77 3 e 242 2. 8. 51 3 e 119 2. 9. Soma.

Conteúdo: 1. Adição e subtração de números naturais. Comparação de números naturais. 2. Expressões numéricas e alfabéticas. A equação. 3. Multiplicação de números naturais. 4. Divisão de números naturais.

AULA 6 COMBINAÇÕES LINEARES E DEPENDÊNCIA LINEAR LEMA PRINCIPAL SOBRE BASE DE DEPENDÊNCIA LINEAR E DIMENSÃO DO ESPAÇO LINEAR RANK DO SISTEMA VETORIAL 1 COMBINAÇÕES LINEARES E DEPENDÊNCIA LINEAR

A propriedade principal de uma fração REGRAS EXEMPLO DE TAREFAS Reduza a fração para um novo denominador: 1) Multiplique (ou divida) o denominador da fração pelo número. 2) Multiplique (ou divida) o numerador da fração pelo mesmo número.

I opção 8B aula, 4 de outubro de 007 1 Insira as palavras que faltam: Definição 1 A raiz quadrada aritmética do número que é igual a a do número a (a 0) é denotada da seguinte forma: pela expressão A ação de encontrar

Pergunta: Quais números são chamados de números naturais? Resposta Os números naturais são números usados ​​para contagem. O que são classes e classificações na notação de números? Como são chamados os números ao somar? Formule uma consoante

Para estudantes estrangeiros do departamento preparatório AUTOR: Starovoitova Natalya Aleksandrovna Departamento de Formação Pré-Universitária e Orientação Profissional 1 2 3 8 4 Números; ; ; ; 2 3 7 5 4 - frações ordinárias.

ARITMÉTICA Operações com números naturais e frações ordinárias. Procedimento) Se não houver parênteses, então primeiro são realizadas as ações da décima potência (elevando a uma potência natural), depois da décima potência (multiplicação

CONTEÚDO Símbolos matemáticos... 3 Comparação de números... 4 Adição... 5 Relação entre os componentes da adição... 5 Lei comutativa da adição... 6 Lei combinativa da adição... 6 Procedimento...

MATERIAL DE REFERÊNCIA PARA PREPARAÇÃO PARA RESPONDER À QUESTÃO TEÓRICA DO EXAME DE TRADUÇÃO DE MATEMÁTICA DO 6º SÉRIE (no material de referência, os hiperlinks para recursos da Internet estão destacados em azul) BILHETE

Versão típica “Números complexos Polinômios e frações racionais” Tarefa Dados dois números complexos e cos sn Encontre e escreva o resultado na forma algébrica, escreva o resultado na forma trigonométrica

Capítulo INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA.. TRINEMIAL QUADRADO... Problema babilônico de encontrar dois números a partir de sua soma e produto. Um dos problemas mais antigos da álgebra foi proposto na Babilônia, onde foi difundido

Tópico 1. Direção da contagem Análise da resolução de problemas por tópico Capítulo 1 “Números negativos” As tarefas deste tópico são de natureza prática, importantes para a compreensão do uso dos sinais “+” e, para o desenvolvimento de competências

ADIÇÃO Adicionar 1 a um número significa obter o número seguinte ao dado: 4+1=5, 1+1=14, etc. Adicionar os números 5 significa adicionar um a 5 três vezes: 5+1+1+1=5+=8. SUBTRAIR Subtrair 1 de um número significa

2. Espaços lineares gerais e euclidianos Dizem que um conjunto X é um espaço linear sobre o corpo dos números reais, ou simplesmente um espaço linear real, se for para quaisquer elementos

PALESTRA O conceito de matriz e suas propriedades Ações em matrizes O conceito de matriz Uma matriz de ordem (dimensão) é uma tabela retangular de números ou expressões de letras contendo colunas: () i linhas

Aritmética - classe RESPOSTAS: Tópico Multiplicação e divisão de frações decimais),) 00.0 Tópico Adição e subtração de frações com denominadores diferentes)) Tópico Divisão de frações ordinárias))) e Tópico Proporções) Tópico

3 Caro leitor! Em suas mãos está um livro de referência moderno que o apoiará em seus estudos do 5º ao 11º ano, o ajudará a se preparar para os exames e lhe dará a oportunidade de entrar facilmente em uma universidade. No diretório

Lição Tópico da lição Nota Divisibilidade de números 16 horas 1 Divisibilidade de números naturais 2 Divisores e múltiplos 3 Divisores de números 4 Múltiplos 5 Testes de divisibilidade por 10 6 Testes de divisibilidade por 5, por 2 7 Teste

Tópico 1. Conjuntos. Conjuntos numéricos N, Z, Q, R 1. Conjuntos. Operações em conjuntos. 2. O conjunto dos números naturais N. 3. O conjunto dos inteiros Z. Divisibilidade dos inteiros. Sinais de divisibilidade. 4. Racional

Moscou: Editora AST: Astrel, 2016. 284, p. (Academia de Ensino Primário). 978-5-17-098011-6 978-5-271-47746-1 978-5-17-098011-6 978-5-271-47746-1 Conteúdo Queridos adultos!... 6 Números

Site de matemática elementar por Dmitry Gushchin wwwthetspru Gushchin D D MATERIAIS DE REFERÊNCIA PARA PREPARAÇÃO PARA O Exame Estadual Unificado de Matemática TAREFAS B7: CÁLCULOS E TRANSFORMAÇÕES Elementos e tipos de conteúdo testados

Conteúdo Equação........................................ Expressões inteiras.. .... ................................ Expressões com potências.......... .... ............. 3 Monômio.......................... .......... ....

V. V. Rasin NÚMEROS REAIS Yekaterinburg 2005 Agência Federal de Educação Universidade Estadual de Ural em homenagem. A. M. Gorky V. V. Racine NÚMEROS REAIS Ekaterinburg 2005 UDC 517,13 (075,3)

Equações Na álgebra, são considerados dois tipos de igualdades: identidades e equações. Uma identidade é uma igualdade que é satisfeita para todos os valores válidos das letras nela incluídas.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ \\ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ \\\\ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ \\\\\\\\\\\\\\\ \\\\\\\ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ Coleção para

PREPARAÇÃO PARA O OGE Materiais de referência para alunos do 9º ano Álgebra Números naturais e operações sobre eles O conceito de número natural refere-se aos conceitos mais simples e primários da matemática e não está definido

Consideremos o primeiro método de resolução do SLE usando a regra de Cramer para um sistema de três equações com três incógnitas: A resposta é calculada usando as fórmulas de Cramer: D, D1, D2, D3 são determinantes Determinante do terceiro

Sistemas de equações Sejam dadas duas equações com duas incógnitas f(x, y)=0 e g(x, y)=0, onde f(x, y), g(x, y) são algumas expressões com variáveis ​​x e você. Se a tarefa é encontrar todas as soluções gerais para os dados

Aula de matemática. Professora Demidova Elena Nikolaevna trimestre..divisibilidade de NÚMEROS Divisores e múltiplos. Sinais de divisibilidade por 0, etc. Testes de divisibilidade por e por 9. Números primos e compostos. Decomposição em primos

Aula da 6ª série (Federal State Educational Standards LLC) Tipo principal Conteúdo (seção, tópicos) da atividade educacional Repetição do curso de matemática da 5ª série (horas) Número de horas Material do livro didático Correção Repetição do curso de matemática.

Aula. Uma potência com um expoente real arbitrário, suas propriedades. Função de potência, suas propriedades, gráficos.. Lembre-se das propriedades de uma potência com um expoente racional. a a a a a para tempos naturais

Aula 2 Resolvendo sistemas de equações lineares. 1. Resolução de sistemas de 3 equações lineares pelo método de Cramer. Definição. Um sistema de 3 equações lineares é um sistema da forma Neste sistema, as quantidades necessárias são

Lição 16 Relacionamentos. Proporções. Porcentagens O quociente de 12: 6 = 2 é a proporção dos números 12 e 6. A proporção dos números 12 e 6 é igual ao número 2. o número 2. O quociente de 2: = 2 é a proporção do números 2 e. A proporção dos números é 2 e igual

Tarefa 1 Exame de Estado Unificado -2015 (básico) Se você precisar apenas da resposta primeiro exemplo 2.65 - segundo exemplo 3.2 - terceiro exemplo -1.1 Esta é uma tarefa sobre operações com frações ordinárias. Aqui está um pouco de teoria para quem está um pouco

Capítulo I. Elementos da álgebra linear A álgebra linear é a parte da álgebra que estuda espaços e subespaços lineares, operadores lineares, funções lineares, bilineares e quadráticas em espaços lineares.

A sequência de progressões é uma função de um argumento natural. Especificando uma sequência por uma fórmula de termo geral: a n = f(n), n N, por exemplo, a n = n + n + 4, a = 43, a = 47, a 3 = 3,. Sequenciamento

Tópico 1.4. Resolvendo sistemas de duas (três) equações lineares da fórmula de Cramer Gabriel Cramer (1704 1752) Matemático suíço. Este método é aplicável apenas no caso de sistemas de equações lineares, onde o número de variáveis

Matemática 6º ano CONTEÚDO DE APRENDIZAGEM Aritmética Números naturais. Divisibilidade dos números naturais. Critérios de divisibilidade por 5, 9, 0. Números primos e compostos. Fatoração de um número natural em fatores primos.