Esquema de teste de Bernoulli. Fórmula de Bernoulli
Vamos fazer alguns testes. Além disso, a probabilidade de ocorrência do evento $A$ em cada tentativa não depende dos resultados de outras tentativas. Tais tentativas são chamadas independentes em relação ao evento A. Em diferentes tentativas independentes, o evento A pode ter probabilidades diferentes ou uma e a mesma. Consideraremos apenas aquelas tentativas independentes em que o evento $A$ tem a mesma probabilidade.
Por um evento complexo queremos dizer uma combinação de eventos simples. Faça n tentativas serem realizadas. Em cada tentativa, o evento $A$ pode ou não ocorrer. Assumimos que em cada tentativa a probabilidade de ocorrência do evento $A$ é a mesma e igual a $p$. Então a probabilidade $\overline A $ (ou não ocorrência de A ) é igual a $P(( \overline A ))=q=1-p$.
Seja necessário calcular a probabilidade de que em n-evento de teste $A$ ocorrerá k- vezes e $n-k$ vezes - não virá. Esta probabilidade será denotada por $P_n (k)$. Além disso, a sequência de ocorrência do evento $A$ não é importante. Por exemplo: $(( AAA\overline A , AA\overline A A, A\overline A AA, \overline A AAA ))$
$P_5 (3)-$ em cinco tentativas, o evento $A$ apareceu 3 vezes e 2 não apareceram. Essa probabilidade pode ser encontrada usando a fórmula de Bernoulli.
Derivação da fórmula de Bernoulli
Pelo teorema da multiplicação de probabilidades de eventos independentes, a probabilidade de que o evento $A$ ocorra $k$ vezes e $n-k$ vezes não ocorra é igual a $p^k\cdot q^ ( n-k ) $. E pode haver tantos eventos complexos quanto $C_n^k $. Como eventos complexos são incompatíveis, então, de acordo com o teorema da soma das probabilidades de eventos incompatíveis, precisamos adicionar as probabilidades de todos os eventos complexos, e há exatamente $C_n^k $ deles. Então a probabilidade de ocorrência do evento $A$ é exatamente k uma vez por n testes, existe $P_n (( A,\,k ))=P_n (k)=C_n^k \cdot p^k\cdot q^ ( n-k ) $ Fórmula de Bernoulli.
Exemplo. Um dado é lançado 4 vezes. Encontre a probabilidade de que um apareça na metade das vezes.
Decisão. $A=$ (aparência de um)
$ P(A)=p=\frac ( 1 ) ( 6 ) \, \,P(( \overline A ))=q=1-\frac ( 1 ) ( 6 ) =\frac ( 5 ) ( 6 ) $ $ P_4 (2)=C_4^2 \cdot p^2\cdot q^ ( 4-2 ) =\frac ( 4! ) ( 2!\cdot 2! ) \cdot 6^2\cdot (( \frac ( 5 ) ( 6 ) ))^2=$0,115
É fácil ver que para grandes valores né bastante difícil calcular a probabilidade por causa dos números enormes. Acontece que essa probabilidade pode ser calculada não apenas usando a fórmula de Bernoulli.
Se várias tentativas são realizadas e a probabilidade do evento A em cada tentativa não depende dos resultados de outras tentativas, então tais tentativas são chamadas independente em relação ao evento A .
Em diferentes tentativas independentes, o evento A pode ter probabilidades diferentes ou a mesma probabilidade. Consideraremos mais adiante apenas as tentativas independentes nas quais o evento A tem a mesma probabilidade.
Abaixo usamos o conceito complexo acontecimentos, entendendo por ele combinação de vários eventos separados, que são chamados simples .
Que seja produzido n ensaios independentes, em cada um dos quais o evento A pode ou não ocorrer. Vamos concordar em assumir que a probabilidade do evento A em cada tentativa é a mesma, ou seja, é igual a R . Portanto, a probabilidade de não ocorrência do evento A em cada tentativa também é constante e igual a q = 1 - p .
Vamos nos colocar na tarefa de calcular a probabilidade de que n testes, o evento A ocorrerá exatamente k vezes e, portanto, não será realizado n-k uma vez. É importante enfatizar que não é necessário que o evento A se repita exatamente k vezes em uma determinada seqüência.
Por exemplo, se estamos falando sobre a ocorrência de um evento MAS três vezes em quatro tentativas, os seguintes eventos complexos são possíveis: AAA, AAA, AAA, AAA. Gravação AAA significa que na primeira, segunda e terceira tentativas o evento MAS veio, mas no quarto teste não apareceu, ou seja. aconteceu o contrário MAS; outras entradas têm um significado correspondente.
Denote a probabilidade desejada Rp (k) . Por exemplo, o símbolo R 5 (3) significa a probabilidade de que em cinco tentativas o evento ocorra exatamente 3 vezes e, portanto, não ocorra 2 vezes.
O problema pode ser resolvido usando a chamada fórmula de Bernoulli.
Derivação da fórmula de Bernoulli. A probabilidade de um evento composto consistir no fato de que em P evento de teste MAS virá k uma vez e não virá n - k vezes, de acordo com o teorema da multiplicação de probabilidades de eventos independentes é igual a p k q n - k . Pode haver tantos eventos complexos quanto combinações de P elementos por k elementos, ou seja, C n k .
Como esses eventos complexos incompatível, então de acordo com o teorema da adição de probabilidades de eventos incompatíveis a probabilidade desejada é igual à soma das probabilidades de todos os eventos complexos possíveis. Como as probabilidades de todos esses eventos complexos são as mesmas, a probabilidade desejada (da ocorrência k horários do evento MAS dentro P testes) é igual à probabilidade de um evento complexo, multiplicado pelo seu número:
A fórmula resultante é chamada Fórmula de Bernoulli .
Exemplo 1. A probabilidade de que o consumo de eletricidade durante um dia não ultrapasse a norma estabelecida é igual a p = 0,75 . Encontre a probabilidade de que nos próximos 6 dias o consumo de eletricidade durante 4 dias não exceda a norma.
Decisão. A probabilidade de consumo normal de eletricidade durante cada um dos 6 dias é constante e igual a p = 0,75 . Portanto, a probabilidade de gastos excessivos de eletricidade todos os dias também é constante e igual a q \u003d 1 - p \u003d 1 - 0,75 \u003d 0,25.
A probabilidade desejada de acordo com a fórmula de Bernoulli é igual a:
Breve teoria
A teoria da probabilidade lida com experimentos que podem ser repetidos (pelo menos em teoria) um número ilimitado de vezes. Deixe que algum experimento seja repetido uma vez, e os resultados de cada repetição não dependem dos resultados das repetições anteriores. Essas séries de repetições são chamadas de tentativas independentes. Um caso especial de tais testes são ensaios independentes de Bernoulli, que são caracterizados por duas condições:
1) o resultado de cada teste é um dos dois resultados possíveis, chamados respectivamente de "sucesso" ou "fracasso".
2) a probabilidade de "sucesso" em cada teste subsequente não depende dos resultados dos testes anteriores e permanece constante.
Teorema de Bernoulli
Se uma série de tentativas independentes de Bernoulli for feita, em cada uma das quais o "sucesso" ocorre com probabilidade , então a probabilidade de que o "sucesso" nas tentativas ocorra exatamente uma vez é expressa pela fórmula:
onde é a probabilidade de falha.
- o número de combinações de elementos por (veja as fórmulas básicas de combinatória)
Essa fórmula é chamada Fórmula de Bernoulli.
A fórmula de Bernoulli permite que você se livre de um grande número de cálculos - adição e multiplicação de probabilidades - com um número suficientemente grande de testes.
O esquema de teste de Bernoulli também é chamado de esquema binomial, e as probabilidades correspondentes são chamadas de binomiais, que está associada ao uso de coeficientes binomiais.
A distribuição segundo o esquema de Bernoulli permite, em particular, encontrar o número mais provável de ocorrência de um evento.
Se o número de tentativas nótimo, então aproveite:
Exemplo de solução de problema
A tarefa
A germinação das sementes de uma determinada planta é de 70%. Qual é a probabilidade de que em 10 sementes semeadas: 8, pelo menos 8; pelo menos 8?
A solução do problema
Vamos usar a fórmula de Bernoulli:
No nosso caso
Deixe o evento - de 10 sementes brotar 8:
Deixe o evento - subir pelo menos 8 (isso significa 8, 9 ou 10)
Deixe o evento subir pelo menos 8 (isso significa 8,9 ou 10)
Responda
Médio o custo de resolver o trabalho de controle é de 700 a 1200 rublos (mas não inferior a 300 rublos para todo o pedido). O preço é fortemente influenciado pela urgência da decisão (de dias a várias horas). O custo da ajuda on-line no exame / teste - a partir de 1000 rublos. para a solução de bilhetes.
O aplicativo pode ser deixado diretamente no chat, tendo previamente descartado a condição das tarefas e informando os prazos para resolvê-lo. O tempo de resposta é de vários minutos.
Nesta lição, encontraremos a probabilidade de um evento ocorrer em tentativas independentes quando as tentativas forem repetidas. . As tentativas são chamadas independentes se a probabilidade de um ou outro resultado de cada tentativa não depender de quais resultados as outras tentativas tiveram. . Testes independentes podem ser realizados nas mesmas condições e em condições diferentes. No primeiro caso, a probabilidade de um evento ocorrer em todas as tentativas é a mesma; no segundo caso, varia de tentativa para tentativa.
Exemplos de Retestes Independentes :
- um dos nós do dispositivo ou dois ou três nós falhará, e a falha de cada nó não depende do outro nó, e a probabilidade de falha de um nó é constante em todos os testes;
- uma peça produzida sob certas condições tecnológicas constantes, ou três, quatro, cinco peças, se tornará não padronizada, e uma peça pode se tornar não padronizada, independentemente de qualquer outra peça, e a probabilidade de que a peça seja revelar-se fora do padrão é constante em todos os testes;
- de vários tiros no alvo, um, três ou quatro tiros atingem o alvo independentemente do resultado de outros tiros e a probabilidade de acertar o alvo é constante em todas as tentativas;
- quando a moeda é inserida, a máquina funcionará corretamente uma, duas ou mais vezes, independentemente do que as outras inserções de moeda tenham tido, e a probabilidade de a máquina funcionar corretamente é constante em todas as tentativas.
Esses eventos podem ser descritos por um esquema. Cada evento ocorre em cada tentativa com a mesma probabilidade, que não muda se os resultados das tentativas anteriores forem conhecidos. Tais testes são chamados independentes, e o esquema é chamado esquema de Bernoulli . Supõe-se que tais testes podem ser repetidos quantas vezes forem desejadas.
Se a probabilidade p evento UMAé constante em cada tentativa, então a probabilidade de que em n evento de teste independente UMA virá m vezes, localizado Fórmula de Bernoulli :
(Onde q= 1 – p- a probabilidade de que o evento não ocorra)
Vamos definir a tarefa - para encontrar a probabilidade de um evento desse tipo em n ensaios independentes virão m uma vez.
Fórmula de Bernoulli: exemplos de resolução de problemas
Exemplo 1 Encontre a probabilidade de que entre cinco peças selecionadas aleatoriamente, duas sejam padrão, se a probabilidade de que cada peça seja padrão for 0,9.
Decisão. Probabilidade do evento MAS, consistindo no fato de que uma peça tomada ao acaso é padrão, é p=0,9 , e a probabilidade de que não seja padrão é q=1–p=0,1. O evento indicado na condição do problema (nós o denotamos por NO) ocorre se, por exemplo, as duas primeiras partes forem padrão e as três seguintes não forem padrão. Mas o evento NO também ocorre se a primeira e a terceira partes forem padrão e o restante não for padrão, ou se a segunda e a quinta partes forem padrão e o restante não for padrão. Existem outras possibilidades para que o evento ocorra. NO. Qualquer um deles é caracterizado pelo fato de que, de cinco partes tomadas, duas, ocupando qualquer lugar em cinco, serão padrão. Portanto, o número total de diferentes possibilidades para a ocorrência de um evento NOé igual ao número de possibilidades para colocar duas peças padrão em cinco lugares, ou seja, é igual ao número de combinações de cinco elementos por dois, e .
A probabilidade de cada possibilidade, de acordo com o teorema da multiplicação de probabilidades, é igual ao produto de cinco fatores, dos quais dois, correspondentes ao aparecimento de partes padrão, são iguais a 0,9, e os três restantes, correspondentes ao aparecimento de partes não padronizadas. -peças padrão, são iguais a 0,1, ou seja, esta probabilidade é . Como essas dez possibilidades são eventos incompatíveis, pelo teorema da adição, a probabilidade de um evento NO, que denotamos
Exemplo 2 A probabilidade de a máquina exigir a atenção de um trabalhador dentro de uma hora é de 0,6. Supondo que as falhas nas máquinas sejam independentes, encontre a probabilidade de que durante uma hora a atenção do trabalhador seja exigida por qualquer uma das quatro máquinas atendidas por ele.
Decisão. Usando Fórmula de Bernoulli no n=4 , m=1 , p=0,6 e q=1–p=0,4, obtemos
Exemplo 3 Para o funcionamento normal do depósito de carros, deve haver pelo menos oito carros na linha, sendo dez deles. A probabilidade de não saída de cada carro para a linha é igual a 0,1. Encontre a probabilidade de operação normal do depósito no dia seguinte.
Decisão. O Autobase funcionará bem (evento F) se um ou oito entrarão na linha (o evento MAS), ou nove (evento NO), ou todos os dez carros do evento (evento C). De acordo com o teorema da adição de probabilidade,
encontramos cada termo pela fórmula de Bernoulli. Aqui n=10 , m=8; 10 e p\u003d 1-0,1 \u003d 0,9, pois p deve significar a probabilidade de um carro entrar na fila; então q=0,1. Como resultado, obtemos
Exemplo 4 Seja a probabilidade de um cliente precisar de um sapato masculino tamanho 41 ser 0,25. Encontre a probabilidade de que entre seis compradores pelo menos dois precisem de sapatos de tamanho 41.
Faça n tentativas em relação ao evento A. Vamos apresentar os seguintes eventos: Аk -- evento А foi realizado durante o k-ésimo teste, $ k=1,2,\dots , n$. Então $\bar(A)_(k) $ é o evento oposto (o evento A não ocorreu durante o k-ésimo teste, $k=1,2,\dots , n$).
O que são ensaios de pares e independentes
Definição
Os testes são chamados do mesmo tipo em relação ao evento A se as probabilidades dos eventos $A1, A2, \dots , An$ forem as mesmas: $P(A1)=P(A2)= \dots =P(An) $ (ou seja, a probabilidade de ocorrência do evento A em uma tentativa é constante em todas as tentativas).
Obviamente, neste caso, as probabilidades de eventos opostos também coincidem: $P(\bar(A)_(1))=P(\bar(A)_(2))=...=P(\bar( A) _(n))$.
Definição
As tentativas são chamadas independentes em relação ao evento A se os eventos $A1, A2, \dots , An$ forem independentes.
Nesse caso
Neste caso, a igualdade é preservada quando qualquer evento Ak é substituído por $\bar(A)_(k) $.
Seja uma série de n tentativas independentes semelhantes em relação ao evento A. Levamos a notação: p - a probabilidade do evento A em um teste; q é a probabilidade do evento oposto. Assim P(Ak)=p, $P(\bar(A)_(k))=q$ para qualquer kep+q=1.
A probabilidade de que em uma série de n tentativas o evento A ocorra exatamente k vezes (0 ≤ k ≤ n) é calculada pela fórmula:
$P_(n) (k)=C_(n)^(k) p^(k) q^(n-k) $ (1)
A igualdade (1) é chamada de fórmula de Bernoulli.
A probabilidade de que em uma série de n tentativas independentes do mesmo tipo o evento A ocorra pelo menos k1 vezes e no máximo k2 vezes é calculada pela fórmula:
$P_(n) (k_(1) \le k\le k_(2))=\sum \limits _(k=k_(1) )^(k_(2) )C_(n)^(k) p ^(k) q^(n-k) $ (2)
A aplicação da fórmula de Bernoulli para grandes valores de n leva a cálculos complicados; portanto, nesses casos, é melhor usar outras fórmulas - assintóticas.
Generalização do esquema de Bernoulli
Considere uma generalização do esquema de Bernoulli. Se em uma série de n tentativas independentes, cada uma das quais tem m resultados incompatíveis aos pares e possíveis Ak com probabilidades correspondentes Рk= рk(Аk). Então a fórmula de distribuição polinomial é válida:
Exemplo 1
A probabilidade de contrair a gripe durante uma epidemia é de 0,4. Encontre a probabilidade de que entre 6 funcionários da empresa adoeçam
- exatamente 4 funcionários;
- não mais de 4 funcionários.
Decisão. 1) Obviamente, para resolver este problema, aplica-se a fórmula de Bernoulli, onde n=6; k=4; p=0,4; q=1-p=0,6. Aplicando a fórmula (1), obtemos: $P_(6) (4)=C_(6)^(4) \cdot 0.4^(4) \cdot 0.6^(2) \approx 0.138$.
Para resolver este problema, aplica-se a fórmula (2), onde k1=0 e k2=4. Nós temos:
\[\begin(array)(l) (P_(6) (0\le k\le 4)=\sum \limits _(k=0)^(4)C_(6)^(k) p^( k) q^(6-k) =C_(6)^(0) \cdot 0.4^(0) \cdot 0.6^(6) +C_(6)^(1) \cdot 0.4 ^(1) \cdot 0,6^(5) +C_(6)^(2) \cdot 0.4^(2) \cdot 0.6^(4) +) \\ (+C_(6) ^(3) \cdot 0.4^(3) \ cdot 0.6^(3) +C_(6)^(4) \cdot 0.4^(4) \cdot 0.6^(2) \ aprox 0.959.) \end(array)\]
Deve-se notar que esta tarefa é mais fácil de resolver usando o evento oposto - mais de 4 funcionários adoeceram. Então, levando em conta a fórmula (7) sobre as probabilidades de eventos opostos, obtemos:
Resposta: $\ $0,959.
Exemplo 2
Uma urna contém 20 bolas brancas e 10 pretas. 4 bolas são retiradas e cada bola retirada é devolvida à urna antes que a próxima seja retirada e as bolas da urna sejam misturadas. Encontre a probabilidade de que das quatro bolas retiradas haja 2 bolas brancas na Figura 1.
Imagem 1.
Decisão. Seja o evento A: uma bola branca é retirada. Então as probabilidades $D (A)=\frac(2)(3) ,\, \, D (\overline(A))=1-\frac(2)(3) =\frac(1)(3) $ .
De acordo com a fórmula de Bernoulli, a probabilidade necessária é $D_(4) (2)=N_(4)^(2) \left(\frac(2)(3) \right)^(2) \left(\frac (1)( 3) \direito)^(2) =\frac(8)(27) $.
Resposta: $\frac(8)(27) $.
Exemplo 3
Determine a probabilidade de que uma família com 5 filhos não tenha mais de 3 meninas. As probabilidades de ter um menino e uma menina são as mesmas.
Decisão. Probabilidade de ter uma menina $\partial =\frac(1)(2) ,\, q=\frac(1)(2) $-probabilidade de ter um menino. Não há mais de três meninas em uma família, o que significa que uma, duas ou três meninas nasceram, ou todos os meninos da família.
Encontre as probabilidades de que não haja meninas na família, uma, duas ou três meninas tenham nascido: $D_(5) (0)=q^(5) =\frac(1)(32) $,
\ \ \
Portanto, a probabilidade necessária é $D =D_(5) (0)+D_(5) (1)+D_(5) (2)+D_(5) (3)=\frac(13)(16) $ .
Resposta: $\frac(13)(16)$.
Exemplo 4
O primeiro atirador com um tiro pode acertar os dez primeiros com uma probabilidade de 0,6, os nove com uma probabilidade de 0,3 e os oito com uma probabilidade de 0,1. Qual é a probabilidade de que, com 10 tiros, ele acerte dez seis vezes, nove três vezes e oito oito vezes?
