Alguns problemas podem ser resolvidos de forma conveniente e clara usando diagramas de Euler-Venn. Por exemplo, problemas envolvendo conjuntos. Se você não sabe o que são diagramas de Euler-Venn e como construí-los, leia primeiro.

Agora vejamos problemas típicos sobre conjuntos.

Tarefa 1.

Uma pesquisa foi realizada entre 100 alunos de uma escola com estudo aprofundado de línguas estrangeiras. Foi feita a pergunta aos alunos: “Quais línguas estrangeiras vocês estão estudando?” Descobriu-se que 48 alunos estudam inglês, 26 - francês, 28 - alemão. 8 alunos estudam inglês e alemão, 8 - inglês e francês, 13 - francês e alemão. 24 alunos não estudam inglês, francês ou alemão. Quantos alunos que responderam à pesquisa estudam três línguas ao mesmo tempo: inglês, francês e alemão?

Resposta: 3.

Solução:

• muitos alunos aprendendo inglês (“A”);
• muitos alunos que estudam francês (“F”);
• muitos alunos que estudam alemão (“N”).

Vamos representar usando o diagrama de Euler-Venn o que nos é dado de acordo com a condição.

Denotamos a área desejada A=1, Ф=1, Н=1 como “x” (na tabela abaixo, área nº 7). Vamos expressar as áreas restantes em termos de x.

0) Região A=0, Ф=0, Н=0: 24 escolares - dados de acordo com as condições do problema.

1) Área A=0, F=0, H=1: 28-(8-x+x+13-x)=7+x escolares.

2) Área A=0, F=1, H=0: 26-(8-x+x+13-x)=5+x escolares.

3) Área A=0, F=1, N=1: 13 escolares.

4) Área A=1, F=0, H=0: 48-(8-x+x+8-x)=32+x escolares.

5) Área A=1, F=0, H=1: 8 escolares.

6) Área A=1, F=1, H=0: 8 escolares.

№ região	A	F	N	Quantidade crianças em idade escolar
0	0	0	0	24
1	0	0	1	7+x
2	0	1	0	5+x
3	0	1	1	13º
4	1	0	0	32+x
5	1	0	1	8
6	1	1	0	8
7	1	1	1	X

Vamos definir x:

24+7+(x+5)+x+(13-x)+(32+x)+(8-x)+(8-x)+x=100.

x=100-(24+7+5+13+32+8+8)=100-97=3.

Descobrimos que 3 alunos estudavam três línguas ao mesmo tempo: inglês, francês e alemão.

Esta é a aparência do diagrama de Euler-Venn para x conhecido:

Tarefa 2.

Na Olimpíada de Matemática, os alunos foram convidados a resolver três problemas: um de álgebra, um de geometria e um de trigonometria. 1.000 alunos participaram da Olimpíada. Os resultados da Olimpíada foram os seguintes: 800 participantes resolveram problemas de álgebra, 700 de geometria, 600 de trigonometria, 600 alunos resolveram problemas de álgebra e geometria, 500 de álgebra e trigonometria, 400 de geometria e trigonometria. 300 pessoas resolveram problemas de álgebra, geometria e trigonometria. Quantos alunos não resolveram um único problema?

Resposta: 100.

Solução:

Primeiro, definimos conjuntos e introduzimos a notação. Há três deles:

• muitos problemas de álgebra ("A");
• muitos problemas de geometria ("G");
• muitos problemas em trigonometria ("T").

Vamos descrever o que precisamos encontrar:

Vamos determinar o número de alunos para todas as áreas possíveis.

Vamos denotar a área desejada A=0, G=0, T=0 como “x” (na tabela abaixo, área nº 0).

Vamos encontrar as áreas restantes:

1) Área A=0, G=0, T=1: sem escolares.

2) Área A=0, G=1, T=0: sem escolares.

3) Área A=0, G=1, T=1: 100 escolares.

4) Área A=1, G=0, T=0: sem escolares.

5) Região A=1, G=0, T=1: 200 escolares.

6) Área A=1, D=1, T=0: 300 escolares.

7) Região A=1, G=1, T=1: 300 escolares.

Vamos escrever os valores das áreas na tabela:

№ região	A	G	T	Quantidade crianças em idade escolar
0	0	0	0	X
1	0	0	1	0
2	0	1	0	0
3	0	1	1	100
4	1	0	0	0
5	1	0	1	200
6	1	1	0	300
7	1	1	1	300

Vamos exibir os valores de todas as áreas usando um diagrama:

Vamos definir x:

x=U-(A V Г V Т), onde U é o universo.

A V G V T=0+0+0+300+300+200+100=900.

Descobrimos que 100 alunos não resolveram um único problema.

Tarefa 3.

Na Olimpíada de Física, os alunos foram convidados a resolver três problemas: um de cinemática, um de termodinâmica e um de óptica. Os resultados da Olimpíada foram os seguintes: 400 participantes resolveram problemas de cinemática, 350 de termodinâmica e 300 de óptica. 300 alunos resolveram problemas de cinemática e termodinâmica, 200 de cinemática e óptica, 150 de termodinâmica e óptica. 100 pessoas resolveram problemas de cinemática, termodinâmica e óptica. Quantos alunos resolveram dois problemas?

Resposta: 350.

Solução:

Primeiro, definimos conjuntos e introduzimos a notação. Há três deles:

• muitos problemas de cinemática (“K”);
• muitos problemas de termodinâmica (“T”);
• muitos problemas em óptica ("O").

Vamos representar usando o diagrama de Euler-Venn o que nos é dado de acordo com a condição:

Vamos descrever o que precisamos encontrar:

Vamos determinar o número de alunos para todas as áreas possíveis:

0) Região K=0, T=0, O=0: não definida.

1) Região K=0, T=0, O=1: 50 escolares.

2) Região K=0, T=1, O=0: sem escolares.

3) Região K=0, T=1, O=1: 50 escolares.

4) Área K=1, T=0, O=0: sem escolares.

5) Região K=1, T=0, O=1: 100 escolares.

6) Região K=1, T=1, O=0: 200 escolares.

7) Região K=1, T=1, O=1: 100 escolares.

Vamos escrever os valores das áreas na tabela:

№ região	PARA	T	SOBRE	Quantidade crianças em idade escolar
0	0	0	0	-
1	0	0	1	50
2	0	1	0	0
3	0	1	1	50
4	1	0	0	0
5	1	0	1	100
6	1	1	0	200
7	1	1	1	100

Vamos exibir os valores de todas as áreas usando um diagrama:

Vamos definir x.

x=200+100+50=350.

Conseguimos, 350 escolares resolveram dois problemas.

Tarefa 4.

Uma pesquisa foi realizada entre os transeuntes. A pergunta foi feita: “Que animal de estimação você tem?” De acordo com os resultados da pesquisa, descobriu-se que 150 pessoas têm gato, 130 têm cachorro e 50 têm pássaro. 60 pessoas têm um gato e um cachorro, 20 têm um gato e um pássaro, 30 têm um cachorro e um pássaro. 70 pessoas não têm animal de estimação. 10 pessoas têm um gato, um cachorro e um pássaro. Quantos transeuntes participaram da pesquisa?

Resposta: 300.

Solução:

Primeiro, definimos conjuntos e introduzimos a notação. Há três deles:

• muitas pessoas que têm gato (“K”);
• muitas pessoas que têm cachorro (“C”);
• muita gente que tem pássaro (“P”).

Vamos representar usando o diagrama de Euler-Venn o que nos é dado de acordo com a condição:

Vamos descrever o que precisamos encontrar:

Vamos determinar o número de pessoas para todas as áreas possíveis:

0) Região K=0, S=0, P=0: 70 pessoas.

1) Área K=0, S=0, P=1: 10 pessoas.

2) Região K=0, S=1, P=0: 50 pessoas.

3) Área K=0, S=1, P=1: 20 pessoas.

4) Região K=1, S=0, P=0: 80 pessoas.

5) Área K=1, T=0, O=1: 10 pessoas.

6) Área K=1, T=1, O=0: 50 pessoas.

7) Área K=1, T=1, O=1: 10 pessoas.

Vamos escrever os valores das áreas na tabela:

№ região	PARA	C	P	Quantidade Humano
0	0	0	0	70
1	0	0	1	10
2	0	1	0	50
3	0	1	1	20
4	1	0	0	80
5	1	0	1	10
6	1	1	0	50
7	1	1	1	10

Vamos exibir os valores de todas as áreas usando um diagrama:

Vamos definir x:

x=U (universo)

você=70+10+50+20+80+10+50+10=300.

Descobrimos que 300 pessoas participaram da pesquisa.

Tarefa 5.

120 pessoas ingressaram em uma especialidade em uma das universidades. Os candidatos fizeram três exames: em matemática, ciência da computação e língua russa. 60 pessoas foram aprovadas em matemática, 40 em ciência da computação, 30 candidatos foram aprovados em matemática e ciência da computação, 30 em matemática e língua russa, 25 em ciência da computação e língua russa. 20 pessoas passaram nos três exames e 50 foram reprovadas. Quantos candidatos passaram no teste de língua russa?

Os diagramas de Euler-Venn são representações geométricas de conjuntos. A construção do diagrama consiste em desenhar um grande retângulo representando o conjunto universal U, e dentro dele - círculos (ou algumas outras figuras fechadas) representando os conjuntos.

As formas devem se cruzar da maneira mais geral exigida pelo problema e devem ser rotuladas de acordo. Os pontos situados dentro de diferentes áreas do diagrama podem ser considerados como elementos dos conjuntos correspondentes. Com o diagrama construído, você pode sombrear certas áreas para indicar conjuntos recém-formados.

As operações de conjunto são consideradas para obter novos conjuntos a partir dos existentes.

Definição. A união dos conjuntos A e B é um conjunto constituído por todos aqueles elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos A, B (Fig. 1):

Definição. A interseção dos conjuntos A e B é um conjunto que consiste em todos aqueles e somente aqueles elementos que pertencem simultaneamente ao conjunto A e ao conjunto B (Fig. 2):

Definição. A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos aqueles e somente aqueles elementos de A que não estão contidos em B (Fig. 3):

Definição. A diferença simétrica dos conjuntos A e B é o conjunto de elementos desses conjuntos que pertencem apenas ao conjunto A ou apenas ao conjunto B (Fig. 4):

Definição. O complemento absoluto do conjunto A é o conjunto de todos os elementos que não pertencem ao conjunto A (Fig. 5):

Arroz. 6.

Garantimos que em ambos os casos obtemos conjuntos iguais. Portanto, a relação original é válida.

OS DIAGRAMAS DE VENN são uma forma gráfica de especificar e analisar teorias lógico-matemáticas e suas fórmulas. Elas são construídas dividindo parte do plano em células (subconjuntos) com contornos fechados (curvas de Jordan). As células apresentam informações que caracterizam a teoria ou fórmula em consideração. O objetivo da construção de diagramas não é apenas ilustrativo, mas também operacional - processamento algorítmico de informações. O aparelho de diagramação de Venn é geralmente usado em conjunto com o analítico.

O método de particionamento, o número de células, bem como os problemas de registro de informações nas mesmas dependem da teoria em consideração, que também pode ser introduzida (descrita) graficamente - por alguns diagramas de Venn, inicialmente especificados, em particular, juntamente com algoritmos para suas transformações, quando alguns diagramas podem atuar como operadores, atuando em outros diagramas. Por exemplo, no caso do clássico lógica proposicional para fórmulas compostas por n variáveis ​​proposicionais diferentes, parte do plano (universo) é dividida em células de 2" correspondentes aos constituintes (na forma conjuntiva ou disjuntiva). O diagrama de Venn de cada fórmula é considerado tal plano nas células dos quais um asterisco é colocado (ou não) *.

(¬ a& ¬ b&c) V (a&¬ b&c) V (¬ a&b&¬ c)

com três variáveis ​​proposicionais a, b e c é determinado pelo diagrama mostrado na figura, onde os asteriscos nas células correspondem aos componentes conjuntivos desta fórmula disjuntiva normal perfeita. Se não houver células marcadas com asteriscos, então o diagrama de Venn está associado, por exemplo, a uma fórmula identicamente falsa, digamos (a&¬a).

O método indutivo de divisão de um plano em células de 2" remonta aos trabalhos do lógico inglês J. Venn, é chamado de método de Venn e consiste no seguinte:

1. Para n = 1, 2, 3, os círculos são usados ​​de forma óbvia. (Na figura mostrada, n = 3.)

2. Suponha que para n = k (k ≥ 3), o arranjo de k figuras seja especificado de forma que o plano seja dividido em 2k células.

Então, para localizar k+1 figuras neste plano, é suficiente, em primeiro lugar, escolher uma curva aberta (cf. sem pontos de autointersecção, ou seja, uma curva de Jordan aberta pertencente aos limites de todas as 2k células e tendo apenas um ponto comum peça com cada um desses limites. Em segundo lugar, circule. φ curva fechada do Jordão Ψ k+1 para que a curva Ψ k+1 passou por todas as células 2k e cruzou a borda de cada célula apenas duas vezes. Isso resultará em um arranjo de n= k+1 figuras de modo que o plano seja dividido em 2k+1 células.

O método do diagrama de Venn é estendido para representar outras teorias lógico-matemáticas. A própria teoria é escrita de forma a destacar os elementos de sua linguagem de forma adequada à representação gráfica. Por exemplo, fórmulas atômicas da lógica clássica de predicados são escritas como palavras da forma P(Y1..Yr), onde P é um predicado, e Y1,..., Yr são variáveis ​​de assunto, não necessariamente diferentes; a palavra Y1,..., Yr é um infixo de sujeito. A óbvia natureza teórica dos conjuntos dos diagramas de Venn permite representar e estudar com a ajuda deles, em particular, cálculos da teoria dos conjuntos, por exemplo, o cálculo ZF da teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel. Os métodos gráficos em lógica e matemática vêm se desenvolvendo há muito tempo. Estes são, em particular, o quadrado lógico, os círculos de Euler e os diagramas originais de L. Carroll. No entanto, o método do diagrama de Venn difere significativamente do conhecido método do círculo de Euler usado na silogística tradicional. Os diagramas de Venn baseiam-se na ideia de decompor uma função booleana em constituintes – centrais para a álgebra da lógica, que determina sua natureza operacional. Venn usou seus diagramas principalmente para resolver problemas de lógica de classe. Seus diagramas também podem ser usados ​​com eficácia para resolver problemas de lógica proposicional e de predicados, revisar consequências de premissas, resolver equações lógicas, bem como outras questões, até o problema de solubilidade. O aparelho de diagrama de Venn é usado em aplicações de lógica matemática e teoria de autômatos, em particular na resolução de problemas relacionados a circuitos neurais e no problema de sintetizar circuitos confiáveis ​​a partir de elementos relativamente pouco confiáveis.

A. S. Kuzichev

Nova enciclopédia filosófica. Em quatro volumes. / Instituto de Filosofia RAS. Edição científica. conselho: V.S. Stepin, A.A. Guseinov, G.Yu. Semigin. M., Mysl, 2010, vol. 645.

Literatura:

Venn J. Lógica simbólica. L., 1881. Ed. 2, rev. L., 1894;

Diagramas de Kuzichev A. S. Venn. História e aplicações. Moscou, 1968;

É ele. Resolvendo alguns problemas de lógica matemática usando diagramas de Venn. - No livro: Estudo de sistemas lógicos. M., 1970.

Se você acha que não sabe nada sobre os círculos de Euler, você está errado. Na verdade, você provavelmente já os encontrou mais de uma vez, só não sabia como se chamava. Onde exatamente? Diagramas na forma de círculos de Euler formaram a base de muitos memes populares da Internet (imagens circuladas online sobre um tópico específico).

Vamos descobrir juntos que tipo de círculos são esses, por que são chamados assim e por que são tão convenientes de usar para resolver muitos problemas.

Origem do termo

é um diagrama geométrico que ajuda a encontrar e/ou tornar mais claras as conexões lógicas entre fenômenos e conceitos. Também ajuda a descrever a relação entre um conjunto e sua parte.

Ainda não está muito claro, certo? Olhe para essa foto:

A imagem mostra uma variedade - todos os brinquedos possíveis. Alguns dos brinquedos são conjuntos de construção - eles são destacados em um oval separado. Faz parte de um grande conjunto de “brinquedos” e ao mesmo tempo de um conjunto separado (afinal, um conjunto de construção pode ser “Lego” ou conjuntos de construção primitivos feitos de blocos para crianças). Parte da grande variedade de “brinquedos” podem ser brinquedos de corda. Eles não são construtores, então desenhamos uma forma oval separada para eles. O “carro de corda” oval amarelo refere-se ao conjunto “brinquedo” e faz parte do conjunto menor “brinquedo de corda”. Portanto, ele é representado dentro de ambas as formas ovais ao mesmo tempo.

Bem, ficou mais claro? É por isso que os círculos de Euler são um método que demonstra claramente: é melhor ver uma vez do que ouvir cem vezes. Seu mérito é que a clareza simplifica o raciocínio e ajuda a obter uma resposta de forma mais rápida e fácil.

O autor do método é o cientista Leonhard Euler (1707-1783). Ele disse o seguinte sobre os diagramas que levam seu nome: “os círculos são adequados para facilitar nosso pensamento”. Euler é considerado um matemático, mecânico e físico alemão, suíço e até russo. O fato é que ele trabalhou por muitos anos na Academia de Ciências de São Petersburgo e deu uma contribuição significativa para o desenvolvimento da ciência russa.

Antes dele, o matemático e filósofo alemão Gottfried Leibniz foi guiado por um princípio semelhante ao construir suas conclusões.

O método de Euler recebeu reconhecimento e popularidade merecidos. E depois dele, muitos cientistas o utilizaram em seus trabalhos, e também o modificaram à sua maneira. Por exemplo, o matemático tcheco Bernard Bolzano usou o mesmo método, mas com circuitos retangulares.

O matemático alemão Ernest Schroeder também deu a sua contribuição. Mas os principais méritos pertencem ao inglês John Venn. Era especialista em lógica e publicou o livro “Lógica Simbólica”, no qual delineou detalhadamente sua versão do método (utilizou principalmente imagens de interseções de conjuntos).

Graças à contribuição de Venn, o método é até chamado de diagrama de Venn ou diagrama de Euler-Venn.

Por que os círculos de Euler são necessários?

Os círculos de Euler têm uma finalidade aplicada, ou seja, com a ajuda deles, problemas que envolvem a união ou intersecção de conjuntos em matemática, lógica, gestão e muito mais são resolvidos na prática.

Se falarmos sobre os tipos de círculos de Euler, podemos dividi-los naqueles que descrevem a unificação de alguns conceitos (por exemplo, a relação entre gênero e espécie) - nós os examinamos usando um exemplo no início do artigo.

E também aquelas que descrevem a intersecção de conjuntos segundo alguma característica. John Venn foi guiado por este princípio em seus esquemas. E é isso que está por trás de muitos memes populares na Internet. Aqui está um exemplo de tais círculos de Euler:

É engraçado, não é? E o mais importante, tudo fica claro imediatamente. Você pode gastar muitas palavras explicando seu ponto de vista ou simplesmente desenhar um diagrama simples que colocará tudo imediatamente em seu lugar.

A propósito, se você não consegue decidir qual profissão escolher, tente desenhar um diagrama na forma de círculos de Euler. Talvez um desenho como este o ajude a fazer sua escolha:

Essas opções que estarão na intersecção dos três círculos são a profissão que não só poderá alimentá-lo, mas também irá agradá-lo.

Resolvendo problemas usando círculos de Euler

Vejamos alguns exemplos de problemas que podem ser resolvidos usando círculos de Euler.

Aqui neste site - http://logika.vobrazovanie.ru/index.php?link=kr_e.html Elena Sergeevna Sazhenina oferece problemas interessantes e simples, cuja solução exigirá o método de Euler. Usando lógica e matemática, analisaremos um deles.

Problema sobre desenhos animados favoritos

Os alunos do sexto ano preencheram um questionário perguntando sobre seus desenhos animados favoritos. Acontece que a maioria deles gostava de Branca de Neve e os Sete Anões, Bob Esponja Calça Quadrada e O Lobo e o Bezerro. Há 38 alunos na turma. 21 alunos gostam de Branca de Neve e os Sete Anões. Além disso, três deles também gostam de “O Lobo e o Bezerro”, seis gostam de “Bob Esponja Calça Quadrada” e uma criança gosta igualmente dos três desenhos animados. “O Lobo e o Bezerro” tem 13 fãs, sendo que cinco deles citaram dois desenhos animados no questionário. Precisamos determinar quantos alunos da sexta série gostam de Bob Esponja Calça Quadrada.

Solução:

Como de acordo com as condições do problema temos três conjuntos, desenhamos três círculos. E como as respostas dos rapazes mostram que os conjuntos se cruzam, o desenho ficará assim:

Lembramos que de acordo com os termos da tarefa, entre os fãs do desenho animado “O Lobo e o Bezerro”, cinco rapazes escolheram dois desenhos ao mesmo tempo:

Acontece que:

21 – 3 – 6 – 1 = 11 – os caras escolheram apenas “Branca de Neve e os Sete Anões”.

13 – 3 – 1 – 2 = 7 – os caras só assistem “O Lobo e o Bezerro”.

Resta apenas descobrir quantos alunos da sexta série preferem o desenho animado “Bob Esponja Calça Quadrada” às outras duas opções. Do total de alunos subtraímos todos aqueles que amaram os outros dois desenhos ou escolheram várias opções:

38 – (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) = 8 – as pessoas assistem apenas “Bob Esponja Calça Quadrada”.

Agora podemos somar com segurança todos os números resultantes e descobrir que:

o desenho animado “Bob Esponja Calça Quadrada” foi escolhido por 8 + 2 + 1 + 6 = 17 pessoas. Esta é a resposta à questão colocada no problema.

Vejamos também tarefa, que em 2011 foi submetido ao teste de demonstração do Exame de Estado Unificado em ciência da computação e TIC (fonte - http://eileracrugi.narod.ru/index/0-6).

Condições do problema:

Na linguagem de consulta do mecanismo de pesquisa, o símbolo "|" é usado para denotar a operação lógica "OR" e o símbolo "&" é usado para a operação lógica "AND".

A tabela mostra as consultas e a quantidade de páginas encontradas para um determinado segmento da Internet.

Solicitar	Páginas encontradas (em milhares)
Cruzador | Encouraçado	7000
Cruzador	4800
Encouraçado	4500

Quantas páginas (em milhares) serão encontradas para a consulta? Cruzador e navio de guerra?

Supõe-se que todas as questões sejam executadas quase simultaneamente, de modo que o conjunto de páginas contendo todas as palavras pesquisadas não se altere durante a execução das consultas.

Solução:

Usando círculos de Euler representamos as condições do problema. Neste caso, utilizamos os números 1, 2 e 3 para designar as áreas resultantes.

Com base nas condições do problema, criamos as equações:

1. Cruzador | Encouraçado: 1 + 2 + 3 = 7.000
2. Cruzador: 1 + 2 = 4800
3. Encouraçado: 2 + 3 = 4500

Encontrar Cruzador e navio de guerra(indicada no desenho como área 2), substitua a equação (2) na equação (1) e descubra que:

4800 + 3 = 7000, de onde obtemos 3 = 2200.

Agora podemos substituir este resultado na equação (3) e descobrir que:

2 + 2.200 = 4.500, dos quais 2 = 2.300.

Resposta: 2300 - o número de páginas encontradas por solicitação Cruzador e navio de guerra.

Como você pode ver, os círculos de Euler ajudam a resolver de forma rápida e fácil até mesmo problemas bastante complexos ou simplesmente confusos à primeira vista.

Conclusão

Acho que conseguimos convencê-lo de que os círculos de Euler não são apenas divertidos e interessantes, mas também um método muito útil para resolver problemas. E não apenas problemas abstratos nas aulas escolares, mas também problemas bastante cotidianos. Escolher uma futura profissão, por exemplo.

Você provavelmente também ficará curioso em saber que na cultura popular moderna os círculos de Euler se refletem não apenas na forma de memes, mas também em séries de TV populares. Como “The Big Bang Theory” e “4Isla”.

Use este método útil e visual para resolver problemas. E não se esqueça de contar a seus amigos e colegas de classe sobre isso. Existem botões especiais no artigo para isso.

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Seções: Ciência da Computação

1. Introdução

No curso de Informática e TIC do ensino básico e médio são discutidos temas tão importantes como “Fundamentos de Lógica” e “Busca de Informação na Internet”. Ao resolver um determinado tipo de problema, é conveniente usar círculos de Euler (diagramas de Euler-Venn).

Referência matemática. Os diagramas de Euler-Venn são usados ​​principalmente na teoria dos conjuntos como uma representação esquemática de todas as interseções possíveis de vários conjuntos. Em geral, eles representam todas as 2 n combinações de n propriedades. Por exemplo, com n = 3, o diagrama de Euler-Venn é geralmente representado como três círculos com centros nos vértices de um triângulo equilátero e com o mesmo raio, aproximadamente igual ao comprimento do lado do triângulo.

2. Representação de conectivos lógicos em consultas de pesquisa

Ao estudar o tema “Busca de informações na Internet”, são considerados exemplos de consultas de pesquisa usando conectivos lógicos, de significado semelhante às conjunções “e”, “ou” da língua russa. O significado dos conectivos lógicos fica mais claro se você ilustrá-los usando um diagrama gráfico - círculos de Euler (diagramas de Euler-Venn).

3. Conexão de operações lógicas com teoria dos conjuntos

Os diagramas de Euler-Venn podem ser usados ​​para visualizar a conexão entre operações lógicas e teoria dos conjuntos. Para demonstração, você pode usar os slides em Anexo 1.

As operações lógicas são especificadas por suas tabelas verdade. EM Apêndice 2 Ilustrações gráficas de operações lógicas juntamente com suas tabelas verdade são discutidas em detalhes. Vamos explicar o princípio de construção de um diagrama no caso geral. No diagrama, a área do círculo com o nome A exibe a verdade da afirmação A (na teoria dos conjuntos, o círculo A é a designação de todos os elementos incluídos em um determinado conjunto). Assim, a área fora do círculo exibe o valor “falso” da afirmação correspondente. Para entender qual área do diagrama exibirá uma operação lógica, você precisa sombrear apenas as áreas em que os valores da operação lógica nos conjuntos A e B são iguais a “verdadeiro”.

Por exemplo, o valor da implicação é verdadeiro em três casos (00, 01 e 11). Vamos sombrear sequencialmente: 1) a área fora dos dois círculos que se cruzam, que corresponde aos valores A=0, B=0; 2) uma área relativa apenas ao círculo B (crescente), que corresponde aos valores A=0, B=1; 3) a área relacionada tanto ao círculo A quanto ao círculo B (intersecção) - corresponde aos valores A=1, B=1. A combinação destas três áreas será uma representação gráfica da operação lógica de implicação.

4. Usando círculos de Euler na prova de igualdades lógicas (leis)

Para provar igualdades lógicas, você pode usar o método do diagrama de Euler-Venn. Vamos provar a seguinte igualdade ¬(АvВ) = ¬А&¬В (lei de Morgan).

Para representar visualmente o lado esquerdo da igualdade, vamos fazer isso sequencialmente: sombreie ambos os círculos (aplicar disjunção) com a cor cinza, depois, para exibir a inversão, sombreie a área fora dos círculos com a cor preta:

Figura 3 Figura 4

Para representar visualmente o lado direito da igualdade, façamos sequencialmente: sombreie a área de exibição da inversão (¬A) em cinza e, da mesma forma, a área ¬B também em cinza; então, para exibir a conjunção, você precisa fazer a interseção dessas áreas cinzas (o resultado da sobreposição é representado em preto):

Figura 5 Figura 6 Figura 7

Vemos que as áreas para exibição das partes esquerda e direita são iguais. Q.E.D.

5. Problemas no formato do Exame Estadual e do Exame Estadual Unificado sobre o tema: “Busca de informações na Internet”

Problema nº 18 da versão demo do GIA 2013.

A tabela mostra consultas ao servidor de pesquisa. Para cada solicitação é indicado seu código - a letra correspondente de A a G. Organize os códigos de solicitação da esquerda para a direita em ordem descendente o número de páginas que o mecanismo de busca encontrará para cada solicitação.

Código	Solicitar
A	(Mosca e Dinheiro) | Samovar
B	Voar e dinheiro e bazar e samovar
EM	Mosca | Dinheiro | Samovar
G	Voar, Dinheiro e Samovar

Para cada consulta, construiremos um diagrama de Euler-Venn:

Solicitar A

Solicitação B

Solicitação B

Solicitação G

Resposta: VAGB.

Problema B12 da versão demo do Exame Estadual Unificado 2013.

A tabela mostra as consultas e a quantidade de páginas encontradas para um determinado segmento da Internet.

Solicitar	Páginas encontradas (em milhares)
Fragata | Destruidor	3400
Fragata e Destruidor	900
Fragata	2100

Quantas páginas (em milhares) serão encontradas para a consulta? Destruidor?

Acredita-se que todas as consultas foram executadas quase simultaneamente, de modo que o conjunto de páginas contendo todas as palavras pesquisadas não sofreu alterações durante a execução das consultas.

Ф – número de páginas (em milhares) sob consulta Fragata;

E – número de páginas (em milhares) sob consulta Destruidor;

X – número de páginas (em milhares) para uma consulta que menciona Fragata E Não mencionado Destruidor;

Y – número de páginas (em milhares) para uma consulta que menciona Destruidor E Não mencionado Fragata.

Vamos construir diagramas de Euler-Venn para cada consulta:

Solicitar	Diagrama de Euler-Venn	Número de páginas
Fragata | Destruidor	Figura 12	3400
Fragata e Destruidor	Figura 13	900
Fragata	Figura 14	2100
Destruidor	Figura 15	?

De acordo com os diagramas temos:

1. X + 900 + Y = F + Y = 2100 + Y = 3400. A partir daqui encontramos Y = 3400-2100 = 1300.
2. E = 900+U = 900+1300= 2200.

Resposta: 2200.

6. Resolvendo problemas lógicos significativos usando o método do diagrama de Euler-Venn

Há 36 pessoas na classe. Os alunos desta turma frequentam círculos de matemática, física e química, sendo que 18 pessoas frequentam o círculo de matemática, 14 pessoas frequentam o círculo de física, 10 pessoas frequentam o círculo de química. Além disso, sabe-se que 2 pessoas frequentam os três círculos, 8 pessoas. frequentar matemática e física, 5 e matemática e química, 3 - física e química.

Quantos alunos da turma não frequentam nenhum clube?

Para resolver este problema, é muito conveniente e intuitivo utilizar os círculos de Euler.

O círculo maior é o conjunto de todos os alunos da turma. Dentro do círculo existem três conjuntos que se cruzam: membros do conjunto matemático ( M), físico ( F), químico ( X) círculos.

Deixar MFC- muitos caras, cada um frequentando os três clubes. MF¬X- muitas crianças, cada uma frequentando clubes de matemática e física e Não visita química. ¬M¬FH- muitos caras, cada um frequentando o clube de química e não frequentando os clubes de física e matemática.

Introduzimos conjuntos de forma semelhante: ¬МФХ, М¬ФХ, М¬Ф¬Х, ¬МФ¬Х, ¬М¬Ф¬Х.

Sabe-se que todos os três círculos são frequentados por 2 pessoas, portanto, na região MFC Vamos inserir o número 2. Porque 8 pessoas frequentam as rodas de matemática e física, e entre elas já há 2 pessoas frequentando as três rodas, então na região MF¬X vamos inserir 6 pessoas (8-2). Vamos determinar de forma semelhante o número de alunos nos conjuntos restantes:

Vamos resumir o número de pessoas em todas as regiões: 7+6+3+2+4+1+5=28. Consequentemente, 28 pessoas da turma frequentam clubes.

Isso significa que 36-28 = 8 alunos não frequentam clubes.

Depois das férias de inverno, a professora da turma perguntou quais das crianças iam ao teatro, ao cinema ou ao circo. Acontece que dos 36 alunos da turma, dois nunca tinham ido ao cinema. nem no teatro nem no circo. 25 pessoas foram ao cinema, 11 ao teatro, 17 ao circo; tanto no cinema quanto no teatro - 6; tanto no cinema quanto no circo - 10; e no teatro e circo - 4.

Quantas pessoas já foram ao cinema, ao teatro e ao circo?

Seja x o número de crianças que já foram ao cinema, ao teatro e ao circo.

Então você pode construir o seguinte diagrama e contar o número de caras em cada área:

6 pessoas visitaram o cinema e o teatro, o que significa que apenas 6 pessoas visitaram o cinema e o teatro. Da mesma forma, apenas no cinema e no circo (10º) pessoas. Somente em teatro e circo (4) pessoas. 25 pessoas foram ao cinema, o que significa que 25 delas só foram ao cinema - (10's) - (6's) - x = (9+x). Da mesma forma, apenas no teatro havia (1+x) pessoas. Só havia (3+x) pessoas no circo. Não foram ao teatro, cinema ou circo – 2 pessoas. Isso significa 36-2=34 pessoas. participou de eventos. Por outro lado, podemos resumir o número de pessoas que estiveram no teatro, no cinema e no circo: (9+x)+(1+x)+(3+x)+(10's)+(6's)+(4's)+x = 34 Conclui-se que apenas uma pessoa compareceu aos três eventos.

Assim, os círculos de Euler (diagramas de Euler-Venn) encontram aplicação prática na resolução de problemas no formato do Exame de Estado Unificado e do Exame de Estado e na resolução de problemas lógicos significativos.

Literatura

1. V.Yu. Lyskova, E.A. Rakitina. Lógica em ciência da computação. M.: Informática e Educação, 2006. 155 p.
2. L.L. Bósova. Fundamentos aritméticos e lógicos de computadores. M.: Informática e Educação, 2000. 207 p.
3. L.L. Bosova, A.Yu. Bósova. Livro didático. Ciência da computação e TIC para a 8ª série: BINOM. Laboratório do Conhecimento, 2012. 220 p.
4. L.L. Bosova, A.Yu. Bósova. Livro didático. Ciência da computação e TIC para o 9º ano: BINOM. Laboratório do Conhecimento, 2012. 244 p.
5. Site FIPI: http://www.fipi.ru/