Deixe a função u = f(x, y, z) contínua em alguma área D e tem derivadas parciais contínuas nesta região. Vamos escolher um ponto na área considerada M(x,y,z) e desenhe um vetor a partir dele S, cujos cossenos de direção são cosα, cosβ, cosγ. No vetor S a uma distância Δ s desde o seu início encontramos um ponto M 1 (x+Δ x, y+Δ y, z+Δ z), Onde
Vamos representar o incremento completo da função f como:
Onde 
Depois de dividir por Δ s Nós temos:
Na medida em que 
A igualdade anterior pode ser reescrita como:
Gradiente.
Definição O limite da relação em é chamado função derivada u = f(x, y, z) na direção do vetor S e é denotado.
Neste caso, de (1) obtemos:
(2)
Observação 1. Derivadas parciais são um caso especial da derivada direcional. Por exemplo, quando 
Nós temos:
Observação 2. Acima, o significado geométrico das derivadas parciais de uma função de duas variáveis foi definido como os coeficientes de inclinação das tangentes às linhas de interseção da superfície, que é o gráfico da função, com os planos x = x 0 e y = y 0. De maneira semelhante, podemos considerar a derivada desta função em relação à direção eu no ponto M(x 0, y 0) como a inclinação da linha de interseção da superfície dada e o plano que passa pelo ponto M paralelo ao eixo O z e direto eu.
Definição Um vetor cujas coordenadas em cada ponto de alguma área são as derivadas parciais da função u = f(x, y, z) neste momento é chamado gradiente funções u = f(x, y, z).
Designação: graduado você = .
propriedades de gradiente.
1. Derivada em relação à direção de algum vetor S é igual à projeção do vetor grad você por vetor S . Prova. Vetor de direção da unidade S tem a forma eS =(cosα, cosβ, cosγ), então o lado direito da fórmula (4.7) é o produto escalar dos vetores grad você e e s , ou seja, a projeção especificada.
2. Derivada em um determinado ponto na direção do vetor S tem o maior valor igual a |grad você| se esta direção for igual à direção do gradiente. Prova. Denote o ângulo entre os vetores S e graduar você através de φ. Então segue da propriedade 1 que |grad você|∙cosφ, (4.8) portanto, seu valor máximo é alcançado em φ=0 e é igual a |grad você|.
3. Derivada em relação à direção de um vetor perpendicular ao vetor grad você, é igual a zero.
Prova. Neste caso, na fórmula (4.8) 
4. Se z = f(x,y)é uma função de duas variáveis, então grad f= direcionado perpendicularmente à linha de nível f (x, y) = c, passando por este ponto.
Extrema de funções de várias variáveis. Uma condição necessária para um extremo. Condição suficiente para um extremo. Extremo condicional. Método dos multiplicadores de Lagrange. Encontrando os maiores e menores valores.
Definição 1. Ponto M 0 (x 0, y 0) chamado ponto máximo funções z = f(x, y), E se f (x o , y o) > f(x, y) para todos os pontos (x, y) M 0.
Definição 2. Ponto M 0 (x 0, y 0) chamado ponto mínimo funções z = f(x, y), E se f (x o , y o) < f(x, y) para todos os pontos (x, y) de algum bairro do ponto M 0.
Observação 1. Os pontos máximo e mínimo são chamados pontos extremos funções de várias variáveis.
Observação 2. O ponto extremo para uma função de qualquer número de variáveis é definido de maneira semelhante.
Teorema 1(condições extremas necessárias). Se um M 0 (x 0, y 0)é o ponto extremo da função z = f(x, y), então neste ponto as derivadas parciais de primeira ordem desta função são iguais a zero ou não existem.
Prova.
Vamos corrigir o valor da variável no contando y = y 0. Então a função f(x, y0) será uma função de uma variável X, para qual x = x 0é o ponto extremo. Portanto, pelo teorema de Fermat ou não existe. A mesma afirmação é provada para .
Definição 3. Os pontos pertencentes ao domínio de uma função de várias variáveis, nos quais as derivadas parciais da função são iguais a zero ou não existem, são chamados pontos estacionários esta função.
Comente. Assim, o extremo só pode ser alcançado em pontos estacionários, mas não é necessariamente observado em cada um deles.
Teorema 2(condições suficientes para um extremo). Deixe em alguma vizinhança do ponto M 0 (x 0, y 0), que é um ponto estacionário da função z = f(x, y), esta função tem derivadas parciais contínuas até a 3ª ordem inclusive. Denote então:
1) f(x, y) tem no ponto M 0 máximo se AC-B² > 0, UMA < 0;
2) f(x, y) tem no ponto M 0 mínimo se AC-B² > 0, UMA > 0;
3) não há extremo no ponto crítico se AC-B² < 0;
4) se AC-B² = 0, pesquisas adicionais são necessárias.
Exemplo. Vamos encontrar os pontos extremos da função z=x² - 2 xy + 2y² + 2 x. Para procurar pontos estacionários, resolvemos o sistema 
. Então, o ponto estacionário é (-2,-1). Em que A = 2, NO = -2, Com= 4. Então AC-B² = 4 > 0, portanto, um extremo é alcançado no ponto estacionário, ou seja, o mínimo (já que UMA > 0).
Extremo condicional.
Definição 4. Se os argumentos da função f (x 1 , x 2 ,…, x n) vinculado por condições adicionais na forma m equações ( m< n) :
φ 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, …, φm ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (1)
onde as funções φ i têm derivadas parciais contínuas, então as equações (1) são chamadas equações de conexão.
Definição 5. Função extrema f (x 1 , x 2 ,…, x n) nas condições (1) é chamado extremo condicional.
Comente. Podemos oferecer a seguinte interpretação geométrica do extremo condicional de uma função de duas variáveis: deixe os argumentos da função f(x,y) estão relacionados pela equação φ (x, y)= 0, definindo alguma curva no plano O hu. Tendo restaurado de cada ponto desta curva perpendiculares ao plano O hu antes de cruzar a superfície z = f (x, y), obtemos uma curva espacial situada na superfície acima da curva φ (x, y)= 0. O problema é encontrar os pontos extremos da curva resultante, que, obviamente, no caso geral não coincidem com os pontos extremos incondicionais da função f(x,y).
Vamos definir as condições extremas condicionais necessárias para uma função de duas variáveis, introduzindo a seguinte definição de antemão:
Definição 6. Função L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +
+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (2)
Onde λ eu - algumas constantes, chamadas Função Lagrange, e os números λ eu– multiplicadores de Lagrange indefinidos.
Teorema(condições extremas condicionais necessárias). Extremo condicional da função z = f(x, y) na presença da equação de restrição φ ( x, y)= 0 só pode ser alcançado em pontos estacionários da função Lagrange L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).
Considere a função u(x, y, z) no ponto M(x, y, z) e no ponto M 1 (x + Dx, y + Dy, z + Dz).
Vamos desenhar um vetor pelos pontos M e M 1 . Os ângulos de inclinação deste vetor em relação à direção dos eixos coordenados x, y, z serão denotados por a, b, g, respectivamente. Os cossenos desses ângulos são chamados cossenos de direção vetor.
A distância entre os pontos M e M 1 no vetor será denotada por DS.
onde as quantidades e 1 , e 2 , e 3 são infinitamente pequenas em .
A partir de considerações geométricas, é óbvio:
Assim, as igualdades acima podem ser representadas da seguinte forma:
Observe que s é um valor escalar. Determina apenas a direção do vetor.
Desta equação segue a seguinte definição:
O limite é chamado derivada da função u(x, y, z) na direção do vetor no ponto com coordenadas (x, y, z).
Vamos explicar o significado das igualdades acima com um exemplo.
Exemplo 9.1. Calcule a derivada da função z \u003d x 2 + y 2 x no ponto A (1, 2) na direção do vetor. Em (3, 0).
Decisão. Em primeiro lugar, é necessário determinar as coordenadas do vetor .
Encontramos as derivadas parciais da função z na forma geral:
Os valores dessas quantidades no ponto A: 
Para encontrar os cossenos de direção do vetor, realizamos as seguintes transformações:
=
Um vetor arbitrário direcionado ao longo de um determinado vetor é tomado como um valor, ou seja, determinando a direção da diferenciação.
A partir daqui, obtemos os valores dos cossenos de direção do vetor:
cosa = ; cosb=-
Finalmente obtemos: 
- o valor da derivada da função dada na direção do vetor .
Se uma função u = u(x, y, z) é dada em algum domínio D e algum vetor cujas projeções nos eixos coordenados são iguais aos valores da função u no ponto correspondente
,
então esse vetor é chamado gradiente funções u.
Neste caso, dizemos que um campo de gradientes é dado na região D.
Teorema: Seja a função u = u(x, y, z) e o campo gradiente
.
Então a derivada em relação à direção de algum vetor é igual à projeção do vetor gradu sobre o vetor .
Prova: Considere um vetor unitário e alguma função u = u(x, y, z) e encontre o produto escalar dos vetores e graus.
A expressão do lado direito desta igualdade é a derivada da função u na direção s.
Aqueles. 
. Se o ângulo entre os vetores graus e denotado por j, então o produto escalar pode ser escrito como o produto dos módulos desses vetores e o cosseno do ângulo entre eles. Levando em conta o fato de que o vetor é unitário, ou seja, seu módulo é igual a um, podemos escrever:
A expressão do lado direito desta igualdade é a projeção do vetor graduar você para vetor.
O teorema foi provado.
Para ilustrar o significado geométrico e físico do gradiente, digamos que o gradiente seja um vetor que mostra a direção da mudança mais rápida de algum campo escalar u em algum ponto. Na física, existem conceitos como gradiente de temperatura, gradiente de pressão, etc. Aqueles. a direção do gradiente é a direção do crescimento mais rápido da função.
Em termos de representação geométrica, o gradiente é perpendicular à superfície de nível da função.
1) O caso de uma função de duas variáveis. A direção é dada por um vetor. Escolhemos um vetor unitário que especifica a direção no plano: 
. Este vetor forma um ângulo com a direção positiva do eixo OX. A derivada direcional de uma função de duas variáveis é chamada de expressão 
.
2) O caso de uma função de três variáveis. Seja dado um vetor unitário que forma ângulos com os eixos OX, OY e OZ, respectivamente. Se designarmos as coordenadas do vetor como , então pela fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores e obtemos . Da mesma maneira, . Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, o vetor unitário que faz ângulos com os eixos OX, OY e OZ, tem coordenadas . A derivada direcional de uma função de três variáveis é chamada de expressão
.
Definição.Gradiente funções são geralmente chamadas de vetores 
. Por esta razão, a derivada de uma função na direção dada pelo vetor unitário pode ser calculada pela fórmula 
, onde à direita na fórmula está o produto escalar do gradiente da função e o vetor de direção unitária.
A principal propriedade do gradiente: entre todas as direções possíveis, o maior e positivo valor da derivada na direção assume a direção do gradiente. Esta propriedade segue da definição do produto escalar. Como a positividade da derivada significa o crescimento da função, a direção do gradiente no ponto é ϶ᴛᴏ a direção do maior crescimento da função.
Derivados parciais de ordens superiores.
Qualquer derivada parcial de uma função de variáveis 
em si também é uma função de variáveis. A derivada parcial da derivada parcial de uma função de muitas variáveis é chamada derivada parcial de segunda ordem funções . Nesse caso, se as variáveis em relação às quais as derivadas são tiradas primeiro da função e depois da função não coincidem, essa derivada parcial geralmente é chamada de mista. Notação derivada parcial de segunda ordem: 
. No caso em que e são funções contínuas em uma vizinhança de algum ponto, neste ponto.
Da mesma forma, são introduzidas derivadas parciais de qualquer ordem.
EXEMPLO
Hospedado em ref.rf
Localizar da função . Nós temos 
.
Para calcular a mesma derivada usando MAXIMs, usamos o comando diff(log(x+3*y),x,2,y,1).
Diferenciais de ordem superior.
Por analogia com as derivadas, são introduzidas diferenciais de ordens superiores, ou seja, diferenciais de diferenciais. Considere uma função de três variáveis. O diferencial desta função é a expressão . Observe que as derivadas incluídas na última expressão são funções de , e as diferenciais das variáveis não dependem de . Por isso, na condição de continuidade das derivadas mistas, a diferencial de segunda ordem tem a forma
Na última fórmula, usamos a propriedade de igualdade das derivadas mistas. É fácil ver que a fórmula da diferencial de segunda ordem é semelhante à fórmula do segundo grau da soma de três termos. Não é difícil calcular as diferenciais de segunda e terceira ordens da função de duas variáveis: ,
Um exercício. Encontrar para a função no ponto (1,1).
Fórmula de Taylor para uma função de muitas variáveis.
Como no caso de funções de uma variável, para funções de muitas variáveis, a fórmula de Taylor fornece a relação entre o incremento de uma função em um ponto e suas diferenciais no mesmo ponto:
Onde 
.
Em particular, para uma função de duas variáveis, temos:
Aqui 
.
Derivada direcional. - conceito e tipos. Classificação e características da categoria "Derivativo direcional". 2017, 2018.
Considere a função u(x, y, z) no ponto M(x, y, z) e no ponto M1(x + Dx, y + Dy, z + Dz). Vamos desenhar um vetor pelos pontos M e M1. Os ângulos de inclinação deste vetor em relação à direção dos eixos coordenados x, y, z serão denotados por a, b, g, respectivamente. Os cossenos desses ângulos são chamados de cossenos de direção do vetor. ... .
Considere a função u(x, y, z) no ponto M(x, y, z) e no ponto M1(x + Dx, y + Dy, z + Dz). Vamos desenhar um vetor pelos pontos M e M1. Os ângulos de inclinação deste vetor em relação à direção dos eixos coordenados x, y, z serão denotados por a, b, g, respectivamente. Os cossenos desses ângulos são chamados de cossenos de direção do vetor. ... .
Uma característica importante do campo escalar U(M) é a taxa de variação da função de campo na direção especificada. Se esta direção coincidir com a direção de um dos eixos coordenados, obteremos o valor da derivada parcial correspondente. Da álgebra vetorial... .
Seja a função U = F (X, Y, Z) contínua em algum domínio D e tenha derivadas parciais contínuas neste domínio. Escolhemos um ponto M(X,Y,Z) na área em consideração e traçamos um vetor S a partir dele, cujos cossenos de direção são cosA, cosB, cosG. No vetor S a uma distância DS de sua origem... .
A derivada de uma função em um ponto ao longo da direção é chamada de limite onde se o limite existe. Se a função é diferenciável, então a derivada direcional é calculada pela fórmula (1) onde são os cossenos de direção do vetor Em particular, se é uma função de duas variáveis,... .
campo escalar. Superfícies niveladas. ELEMENTOS DA TEORIA DE CAMPO MATEMÁTICA Etapas principais no desenvolvimento da física matemática A física matemática surgiu como uma ciência independente no final do século XVIII e início do século XIX. É neste...
Introduzindo o conceito de derivada parcial de uma função de muitas variáveis, incrementamos as variáveis individualmente, deixando todos os outros argumentos inalterados. Em particular, se considerarmos uma função de duas variáveis z = f(x, y), então ou a variável x recebeu um incremento Δx, e então no domínio da função houve uma transição de um ponto com coordenadas (x , y) a um ponto com coordenadas (x + Δx ;y); ou a variável y recebeu um incremento Δy, e então no domínio da função houve uma transição de um ponto com coordenadas (x, y) para um ponto com coordenadas (x; y + Δy) (ver Figura 5.6). Assim, o ponto no qual tomamos a derivada parcial da função moveu-se em direções paralelas aos eixos coordenados no plano (ou paralelas ao eixo das abcissas ou paralelas ao eixo das ordenadas). Consideremos agora o caso em que a direção pode ser tomada arbitrariamente, ou seja, incrementos são dados a várias variáveis ao mesmo tempo. Para o caso de uma função de duas variáveis, nos moveremos para o ponto (x + Δx; y + Δy), enquanto o deslocamento será Δ eu(ver figura 5.6).
Ao se mover nesta direção, a função z receberá um incremento Δ eu z = f(x + Δx; y + Δy) – f(x,y), chamado de incremento da função z na direção dada eu.
Derivado z eu` na direção eu
funções de duas variáveis
z = f(x,y) é o limite da razão do incremento da função nesta direção para a quantidade de deslocamento Δ eu quando o último tende a zero, ou seja. .
Derivado z eu` caracteriza a taxa de variação da função na direção eu.
O conceito de derivada direcional pode ser generalizado para funções com qualquer número de variáveis.
Figura 5.6 - Movendo um ponto na direção eu
Pode-se provar que z eu` = z x `cos α + z y `cos β, onde α e β são os ângulos formados pela direção do movimento do ponto com os eixos coordenados (ver Figura 5.6).
Por exemplo, vamos encontrar a derivada da função z = ln (x 2 + xy) no ponto
(3; 1) no sentido que vai deste ponto ao ponto (6; -3) (ver figura 5.7).
Para fazer isso, primeiro encontre as derivadas parciais desta função no ponto (3; 1): z x ` = (2x + y)/(x 2 + xy) = (2*3 + 1)/(3 2 + 3 *1) = 7/12;
z y ` \u003d x / (x 2 + xy) \u003d 3 / (3 2 + 3 * 1) \u003d 3/12 \u003d 1/4.
Observe que Δx = 6 – 3 = 3; Δy \u003d -3 - 1 \u003d -4; (Δ eu) 2 = 9 + 16 = 25;
|Δ eu| = 5. Então cos α = 3/5; cosβ = -4/5; z eu` =
z x `cos α +
z y `cos β = (7/12)*(3/5) - (1/4)*(4/5) = (7/4)*(1/5) - (1/4)*(4 / 5) = (7*1 - 1*4)/(4*5) = 3/20.
gradiente de função
Sabe-se de um curso de matemática escolar que um vetor em um plano é um segmento direcionado. Seu início e fim têm duas coordenadas. As coordenadas vetoriais são calculadas subtraindo as coordenadas iniciais das coordenadas finais.
O conceito de vetor também pode ser estendido para um espaço n-dimensional (em vez de duas coordenadas haverá n coordenadas).
Gradiente grad z da função z = f(х 1 , х 2 , …х n) é o vetor das derivadas parciais da função no ponto, ou seja. vetor com coordenadas 
.
Pode-se provar que o gradiente de uma função caracteriza a direção do crescimento mais rápido do nível da função em um ponto.
Por exemplo, para a função z \u003d 2x 1 + x 2 (veja a Figura 5.8), o gradiente em qualquer ponto terá coordenadas (2; 1). Ele pode ser construído em um plano de várias maneiras, tomando qualquer ponto como início do vetor. Por exemplo, você pode conectar o ponto (0; 0) ao ponto (2; 1), ou ponto (1; 0) ao ponto (3; 1), ou ponto (0; 3) ao ponto (2; 4), ou t.P. (ver figura 5.8). Todos os vetores construídos desta forma terão coordenadas (2 - 0; 1 - 0) =
= (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).
A Figura 5.8 mostra claramente que o nível da função cresce na direção do gradiente, pois as linhas de nível construídas correspondem aos valores de nível 4 > 3 > 2.
Figura 5.8 - Função gradiente z \u003d 2x 1 + x 2
Considere outro exemplo - a função z = 1/(x 1 x 2). O gradiente desta função não será mais sempre o mesmo em pontos diferentes, pois suas coordenadas são determinadas pelas fórmulas (-1 / (x 1 2 x 2); -1 / (x 1 x 2 2)).
A Figura 5.9 mostra as linhas de nível da função z = 1 / (x 1 x 2) para os níveis 2 e 10 (a linha reta 1 / (x 1 x 2) = 2 é indicada por uma linha pontilhada e a linha reta
1 / (x 1 x 2) \u003d 10 - linha contínua).
Figura 5.9 - Gradientes da função z \u003d 1 / (x 1 x 2) em vários pontos
Pegue, por exemplo, o ponto (0,5; 1) e calcule o gradiente neste ponto: (-1 / (0,5 2 * 1); -1 / (0,5 * 1 2)) \u003d (-4; - 2) . Observe que o ponto (0,5; 1) está na linha de nível 1 / (x 1 x 2) \u003d 2, porque z \u003d f (0,5; 1) \u003d 1 / (0,5 * 1) \u003d 2. Para representar o vetor (-4; -2) na Figura 5.9, conectamos o ponto (0,5; 1) com o ponto (-3,5; -1), porque
(-3,5 – 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).
Vamos pegar outro ponto na mesma linha de nível, por exemplo, ponto (1; 0,5) (z = f(1; 0,5) = 1/(0,5*1) = 2). Calcule o gradiente neste ponto
(-1/(1 2 *0,5); -1/(1*0,5 2)) = (-2; -4). Para representá-lo na Figura 5.9, conectamos o ponto (1; 0,5) com o ponto (-1; -3,5), pois (-1 - 1; -3,5 - 0,5) = (-2; - 4).
Vamos pegar mais um ponto na mesma linha de nível, mas só agora em um quarto de coordenadas não positivo. Por exemplo, ponto (-0,5; -1) (z = f(-0,5; -1) = 1/((-1)*(-0,5)) = 2). O gradiente neste ponto será
(-1/((-0,5) 2 *(-1)); -1/((-0,5)*(-1) 2)) = (4; 2). Vamos descrevê-lo na Figura 5.9 conectando o ponto (-0,5; -1) com o ponto (3,5; 1), porque (3,5 - (-0,5); 1 - (-1)) = (4; 2).
Deve-se notar que em todos os três casos considerados, o gradiente mostra a direção de crescimento do nível da função (em direção à linha de nível 1/(x 1 x 2) = 10 > 2).
Pode-se provar que o gradiente é sempre perpendicular à linha de nível (superfície de nível) que passa pelo ponto dado.
campo escalar uma parte do espaço (ou todo o espaço) é chamada, cada ponto, que corresponde ao valor numérico de alguma quantidade escalar.
Exemplos
Um corpo que tem um certo valor de temperatura em cada ponto é um campo escalar.
Um corpo não homogêneo, cada ponto do qual corresponde a uma certa densidade - um campo de densidade escalar.
Em todos esses casos, o valor escalar U não depende do tempo, mas depende da posição (coordenadas) do ponto M no espaço, ou seja, é uma função de três variáveis, é chamado função de campo. E vice-versa, qualquer função de três variáveis u=f(x, y, z) define algum campo escalar.
A função de campo escalar planar depende de duas variáveis z=f(x, y).
Considere um campo escalar u=f(x, y, z).
Um vetor cujas coordenadas são as derivadas parciais de uma função calculada em um dado ponto é chamado gradiente função neste ponto ou o gradiente do campo escalar.
Considere um vetor com dois pontos M 0 (x 0 , y 0 , z 0) e . Vamos encontrar o incremento da função na direção:
Derivada direcional o próximo limite é chamado se existir:
onde são os cossenos de direção do vetor ; α, β, γ são os ângulos que o vetor forma com os eixos coordenados, se .
Para uma função de duas variáveis, essas fórmulas assumem a forma:
ou 
,
como .
Existe uma relação entre o gradiente e a derivada direcional no mesmo ponto.
Teorema. O produto escalar do gradiente de uma função e um vetor de alguma direção é igual à derivada da função dada na direção deste vetor:
.
Consequência. A derivada em relação à direção tem o maior valor se esta direção for a mesma que a direção do gradiente (justifique-se usando a definição do produto escalar e supondo que ).
Descobertas:
1. Um gradiente é um vetor que mostra a direção do maior aumento na função em um determinado ponto e tendo um módulo numericamente igual à taxa desse aumento:
.
2. A derivada na direção é a taxa de variação da função na direção: se , então a função nessa direção aumenta, se , então a função diminui.
3. Se o vetor coincide com um dos vetores, então a derivada na direção desse vetor coincide com a derivada parcial correspondente.
Por exemplo, se , então .
Exemplo
Dada uma função 
, ponto A(1, 2) e vetor.
Encontre: 1);
Decisão
1) Encontre as derivadas parciais da função e calcule-as no ponto A.
, .
Então 
.
2) Encontre os cossenos de direção do vetor:
Responda: ; .
Literatura [ 1,2]
Perguntas para o autoexame:
1. O que é chamado de função de duas variáveis, seu domínio de definição?
2. Como são determinadas as derivadas parciais?
3. Qual é o significado geométrico das derivadas parciais?
4. O que é chamado de gradiente de um campo escalar em um determinado ponto?
5. O que é chamado de derivada direcional?
6. Formule as regras para encontrar os extremos de uma função de duas variáveis.
Opção 1
Tarefa número 1
a) 
; b) 
;
dentro) ; G) 
.
Tarefa número 2 Investigue uma função para continuidade: encontre pontos de interrupção da função e determine seu tipo. Construa um gráfico esquemático da função.
Número da tarefa Dado um número complexo Z. Obrigatório: escreva o número Z nas formas algébrica e trigonométrica. .
Tarefa número 4.
1) y \u003d 3x 5 - sinx, 2) y \u003d tgx, 3) y \u003d, 4) .
Tarefa número 5. Investigue a função usando os métodos de cálculo diferencial e, usando os resultados do estudo, construa um gráfico. .
Tarefa número 6. A função z=f(x,y) é dada. Verifique se a identidade F≡0 é preenchida? 
Tarefa número 7 Dada uma função Z=x2+xy+y2, ponto e vetor . Encontrar:
1) gradz no ponto MAS;
2) derivada em um ponto MAS na direção do vetor .
opção 2
Tarefa número 1 Calcule os limites das funções sem usar a regra de L'Hopital.
a) 
; b) 
;
dentro) 
; G) 
.
Tarefa número 2 Investigue uma função para continuidade: encontre pontos de interrupção da função e determine seu tipo. Construa um gráfico esquemático da função.
Tarefa número 3 Dado um número complexo Z. Obrigatório: escreva o número Z nas formas algébrica e trigonométrica.
Tarefa número 4. Encontre as derivadas de primeira ordem dessas funções.
