Equação com cosseno e fração. Aula e apresentação sobre o tema: "Solução das equações trigonométricas mais simples"

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Toda a teoria necessária. Soluções rápidas, armadilhas e segredos do exame. Todas as tarefas relevantes da parte 1 das tarefas do Banco de FIPI foram analisadas. O curso está em total conformidade com os requisitos do USE-2018.

O curso contém 5 grandes tópicos, 2,5 horas cada. Cada tópico é dado do zero, de forma simples e clara.

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Ao resolver muitos problemas de matemática, especialmente aqueles que ocorrem antes da 10ª série, a ordem das ações executadas que levarão ao objetivo é claramente definida. Tais problemas incluem, por exemplo, equações lineares e quadráticas, desigualdades lineares e quadráticas, equações fracionárias e equações que se reduzem a quadráticas. O princípio da solução bem-sucedida de cada uma das tarefas mencionadas é o seguinte: é necessário estabelecer que tipo de tarefa está sendo resolvida, lembrar a sequência necessária de ações que levarão ao resultado desejado, ou seja, responda e siga estes passos.

Obviamente, o sucesso ou o fracasso na resolução de um determinado problema depende principalmente de quão corretamente o tipo de equação que está sendo resolvido é determinado, quão corretamente a sequência de todas as etapas de sua solução é reproduzida. Claro que, neste caso, é necessário ter as habilidades para realizar transformações e cálculos idênticos.

Uma situação diferente ocorre com equações trigonométricas. Não é difícil estabelecer o fato de que a equação é trigonométrica. Dificuldades surgem ao determinar a sequência de ações que levariam à resposta correta.

Às vezes é difícil determinar seu tipo pela aparência de uma equação. E sem conhecer o tipo de equação, é quase impossível escolher a certa entre várias dezenas de fórmulas trigonométricas.

Para resolver a equação trigonométrica, devemos tentar:

1. trazer todas as funções incluídas na equação para "os mesmos ângulos";
2. trazer a equação para "as mesmas funções";
3. fatorar o lado esquerdo da equação, etc.

Considerar métodos básicos para resolver equações trigonométricas.

I. Redução às equações trigonométricas mais simples

Esquema de solução

Passo 1. Expresse a função trigonométrica em termos de componentes conhecidos.

Passo 2 Encontre o argumento da função usando fórmulas:

cosx = a; x = ±arcos a + 2πn, n ЄZ.

sen x = a; x \u003d (-1) n arcos em a + πn, n Є Z.

tanx = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctgx = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

etapa 3 Encontre uma variável desconhecida.

Exemplo.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Decisão.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Resposta: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Substituição de variável

Esquema de solução

Passo 1. Traga a equação para uma forma algébrica em relação a uma das funções trigonométricas.

Passo 2 Denote a função resultante pela variável t (se necessário, introduza restrições em t).

etapa 3 Escreva e resolva a equação algébrica resultante.

Passo 4 Faça uma substituição inversa.

Etapa 5 Resolva a equação trigonométrica mais simples.

Exemplo.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Decisão.

1) 2(1 - sen 2 (x/2)) - 5sen (x/2) - 5 = 0;

2sen 2(x/2) + 5sen(x/2) + 3 = 0.

2) Seja sen (x/2) = t, onde |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 ou e = -3/2 não satisfaz a condição |t| ≤ 1.

4) sen (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Resposta: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Método de redução de ordem de equação

Esquema de solução

Passo 1. Substitua esta equação por uma linear usando as fórmulas de redução de potência:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Passo 2 Resolva a equação resultante usando os métodos I e II.

Exemplo.

cos2x + cos2x = 5/4.

Decisão.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Resposta: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

4. Equações homogêneas

Esquema de solução

Passo 1. Traga esta equação para a forma

a) a sen x + b cos x = 0 (equação homogênea do primeiro grau)

ou para a vista

b) a sen 2 x + b sen x cos x + c cos 2 x = 0 (equação homogênea do segundo grau).

Passo 2 Divida os dois lados da equação por

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

e obtenha a equação para tg x:

a) atgx + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

etapa 3 Resolva a equação usando métodos conhecidos.

Exemplo.

5sen 2 x + 3sen x cos x - 4 = 0.

Decisão.

1) 5sen 2 x + 3sen x cos x – 4(sen 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sen 2 x + 3 sen x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Seja tg x = t, então

t2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 ou t = -4, então

tg x = 1 ou tg x = -4.

Da primeira equação x = π/4 + πn, n Є Z; da segunda equação x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Resposta: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Método para transformar uma equação usando fórmulas trigonométricas

Esquema de solução

Passo 1. Usando todos os tipos de fórmulas trigonométricas, transforme essa equação em uma equação que possa ser resolvida pelos métodos I, II, III, IV.

Passo 2 Resolva a equação resultante usando métodos conhecidos.

Exemplo.

senx + sen2x + sen3x = 0.

Decisão.

1) (sen x + sen 3x) + sen 2x = 0;

2sen 2x cos x + sen 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sen 2x = 0 ou 2cos x + 1 = 0;

Da primeira equação 2x = π/2 + πn, n Є Z; da segunda equação cos x = -1/2.

Temos x = π/4 + πn/2, n Є Z; da segunda equação x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Como resultado, x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Resposta: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

A capacidade e as habilidades para resolver equações trigonométricas são muito importante, seu desenvolvimento requer um esforço considerável, tanto por parte do aluno quanto do professor.

Muitos problemas de estereometria, física, etc. estão associados à solução de equações trigonométricas.O processo de resolver tais problemas, por assim dizer, contém muitos dos conhecimentos e habilidades que são adquiridos ao estudar os elementos da trigonometria.

As equações trigonométricas ocupam um lugar importante no processo de ensino de matemática e no desenvolvimento da personalidade em geral.

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Para resolver a equação trigonométrica, devemos tentar:

1. trazer todas as funções incluídas na equação para "os mesmos ângulos";
2. trazer a equação para "as mesmas funções";
3. fatorar o lado esquerdo da equação, etc.

Considerar métodos básicos para resolver equações trigonométricas.

I. Redução às equações trigonométricas mais simples

Esquema de solução

Passo 1. Expresse a função trigonométrica em termos de componentes conhecidos.

Passo 2 Encontre o argumento da função usando fórmulas:

cosx = a; x = ±arcos a + 2πn, n ЄZ.

sen x = a; x \u003d (-1) n arcos em a + πn, n Є Z.

tanx = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctgx = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

etapa 3 Encontre uma variável desconhecida.

Exemplo.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Decisão.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Resposta: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Substituição de variável

Esquema de solução

Passo 1. Traga a equação para uma forma algébrica em relação a uma das funções trigonométricas.

Passo 2 Denote a função resultante pela variável t (se necessário, introduza restrições em t).

etapa 3 Escreva e resolva a equação algébrica resultante.

Passo 4 Faça uma substituição inversa.

Etapa 5 Resolva a equação trigonométrica mais simples.

Exemplo.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Decisão.

1) 2(1 - sen 2 (x/2)) - 5sen (x/2) - 5 = 0;

2sen 2(x/2) + 5sen(x/2) + 3 = 0.

2) Seja sen (x/2) = t, onde |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 ou e = -3/2 não satisfaz a condição |t| ≤ 1.

4) sen (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Resposta: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Método de redução de ordem de equação

Esquema de solução

Passo 1. Substitua esta equação por uma linear usando as fórmulas de redução de potência:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Passo 2 Resolva a equação resultante usando os métodos I e II.

Exemplo.

cos2x + cos2x = 5/4.

Decisão.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Resposta: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

4. Equações homogêneas

Esquema de solução

Passo 1. Traga esta equação para a forma

a) a sen x + b cos x = 0 (equação homogênea do primeiro grau)

ou para a vista

b) a sen 2 x + b sen x cos x + c cos 2 x = 0 (equação homogênea do segundo grau).

Passo 2 Divida os dois lados da equação por

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

e obtenha a equação para tg x:

a) atgx + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

etapa 3 Resolva a equação usando métodos conhecidos.

Exemplo.

5sen 2 x + 3sen x cos x - 4 = 0.

Decisão.

1) 5sen 2 x + 3sen x cos x – 4(sen 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sen 2 x + 3 sen x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Seja tg x = t, então

t2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 ou t = -4, então

tg x = 1 ou tg x = -4.

Da primeira equação x = π/4 + πn, n Є Z; da segunda equação x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Resposta: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Método para transformar uma equação usando fórmulas trigonométricas

Esquema de solução

Passo 1. Usando todos os tipos de fórmulas trigonométricas, transforme essa equação em uma equação que possa ser resolvida pelos métodos I, II, III, IV.

Passo 2 Resolva a equação resultante usando métodos conhecidos.

Exemplo.

senx + sen2x + sen3x = 0.

Decisão.

1) (sen x + sen 3x) + sen 2x = 0;

2sen 2x cos x + sen 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sen 2x = 0 ou 2cos x + 1 = 0;

Da primeira equação 2x = π/2 + πn, n Є Z; da segunda equação cos x = -1/2.

Temos x = π/4 + πn/2, n Є Z; da segunda equação x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Como resultado, x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Resposta: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

A capacidade e as habilidades para resolver equações trigonométricas são muito importante, seu desenvolvimento requer um esforço considerável, tanto por parte do aluno quanto do professor.

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Equações trigonométricas mais complexas

Equações

pecado x = a,
porque x = a,
tg x = a,
ctg x = a

são as equações trigonométricas mais simples. Nesta seção, usando exemplos específicos, consideraremos equações trigonométricas mais complexas. Sua solução, como regra, é reduzida a resolver as equações trigonométricas mais simples.

Exemplo 1 . resolva a equação

pecado 2 X= cos X pecado 2 x.

Transferindo todos os termos desta equação para o lado esquerdo e decompondo a expressão resultante em fatores, obtemos:

pecado 2 X(1 - cos X) = 0.

O produto de duas expressões é igual a zero se e somente se pelo menos um dos fatores for igual a zero, e o outro assumir qualquer valor numérico, desde que seja definido.

Se um pecado 2 X = 0 , então 2 X=n π ; X = π / 2n.

Se 1 - co X = 0 , então cos X = 1; X = 2kπ .

Assim, temos dois grupos de raízes: X = π / 2n; X = 2kπ . O segundo grupo de raízes está obviamente contido no primeiro, pois para n = 4k a expressão X = π / 2n torna-se
X = 2kπ .

Portanto, a resposta pode ser escrita em uma fórmula: X = π / 2n, Onde n-qualquer número inteiro.

Note que esta equação não pode ser resolvida reduzindo por sen 2 x. De fato, após a redução, obteríamos 1 - cos x = 0, de onde X= 2k π . Assim, perderíamos algumas raízes, por exemplo π / 2 , π , 3π / 2 .

EXEMPLO 2. resolva a equação

Uma fração é zero somente se seu numerador for zero.
então pecado 2 X = 0 , de onde 2 X=n π ; X = π / 2n.

A partir desses valores X devem ser descartados como estranhos aqueles valores para os quais pecadoX desaparece (frações com denominadores zero não têm sentido: a divisão por zero não é definida). Esses valores são números que são múltiplos de π . Na fórmula
X = π / 2n são obtidos mesmo n. Portanto, as raízes desta equação serão os números

X = π / 2 (2k + 1),

onde k é qualquer número inteiro.

Exemplo 3 . resolva a equação

2 pecado 2 X+ 7 cos x - 5 = 0.

Expressar pecado 2 X Através dos porquex : pecado 2 X = 1 - cos 2x . Então esta equação pode ser reescrita como

2 (1 - cos 2 x) + 7 cos x - 5 = 0 , ou

2cos 2 x- 7cos x + 3 = 0.

denotando porquex Através dos no, chegamos à equação quadrática

2a 2 - 7a + 3 = 0,

cujas raízes são os números 1/2 e 3. Portanto, ou cos x= 1/2 ou cos X= 3. No entanto, o último é impossível, pois o valor absoluto do cosseno de qualquer ângulo não excede 1.

Resta reconhecer que porque x = 1 / 2 , Onde

x = ± 60° + 360° n.

Exemplo 4 . resolva a equação

2 pecado X+ 3cos x = 6.

Porque o pecado x e porque x não exceda 1 em valor absoluto, então a expressão
2 pecado X+ 3cos x não pode assumir valores maiores que 5 . Portanto, esta equação não tem raízes.

Exemplo 5 . resolva a equação

pecado X+ cos x = 1

Elevando ambos os lados desta equação ao quadrado, obtemos:

pecado 2 X+ 2 pecado x porque x+ cos2 x = 1,

mas pecado 2 X + cos 2 x = 1 . então 2 pecado x porque x = 0 . Se um pecado x = 0 , então X = nπ ; E se
porque x , então X = π / 2 + kπ . Esses dois grupos de soluções podem ser escritos em uma fórmula:

X = π / 2n

Como elevamos ao quadrado ambas as partes desta equação, é possível que entre as raízes que obtivemos existam outras estranhas. É por isso que neste exemplo, ao contrário de todos os anteriores, é necessário fazer uma verificação. Todos os valores

X = π / 2n pode ser dividido em 4 grupos

	1) X = 2kπ .	(n=4k)
	2) X *= π /* 2** + 2kπ .	(n=4k+1)
	3) X = π + 2kπ .	(n=4k+2)
	4) X *= 3π /* 2** + 2kπ .	(n=4k+3)

No X = 2kπ pecado x+ cos x= 0 + 1 = 1. Portanto, X = 2kπ são as raízes desta equação.

No X = π / 2 + 2kπ. pecado x+ cos x= 1 + 0 = 1 X = π / 2 + 2kπ são também as raízes desta equação.

No X = π + 2kπ pecado x+ cos x= 0 - 1 = - 1. Portanto, os valores X = π + 2kπ não são raízes desta equação. Da mesma forma, mostra-se que X = 3π / 2 + 2kπ. não são raízes.

Assim, esta equação tem as seguintes raízes: X = 2kπ e X = π / 2 + 2mπ., Onde k e m- quaisquer números inteiros.

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