Se a informação sobre a distância de um ponto em relação ao plano de projeção for dada não por meio de uma marca numérica, mas por meio de uma segunda projeção do ponto construído no segundo plano de projeção, então o desenho é denominado de duas imagens ou complexo. Os princípios básicos para a construção de tais desenhos são delineados por G. Monge.

O método delineado por Monge - o método de projeção ortogonal, onde duas projeções são feitas em dois planos de projeção perpendiculares entre si - garantindo expressividade, precisão e mensurabilidade das imagens de objetos em um plano, foi e continua sendo o principal método de elaboração de desenhos técnicos.

O modelo de três planos de projeção é mostrado na figura. O terceiro plano, perpendicular a P1 e P2, é designado pela letra P3 e é denominado perfil. As projeções dos pontos neste plano são indicadas por letras maiúsculas ou números com índice 3. Os planos de projeção, que se cruzam aos pares, definem três eixos 0x, 0y e 0z, que podem ser considerados como um sistema de coordenadas cartesianas no espaço com início em ponto 0. Os três planos de projeção dividem o espaço em oito ângulos triédricos - octantes. Como antes, assumiremos que o observador que olha para o objeto está no primeiro octante. Para obter um diagrama, pontos do sistema de três planos de projeção, planos P1 e P3, são girados até ficarem alinhados com o plano P2. Ao designar eixos em um diagrama, os semieixos negativos geralmente não são indicados. Se apenas a imagem do objeto em si for significativa, e não sua posição em relação aos planos de projeção, então os eixos não serão mostrados no diagrama. Coordenadas são números atribuídos a um ponto para determinar sua posição no espaço ou em uma superfície. No espaço tridimensional, a posição de um ponto é estabelecida por meio de coordenadas cartesianas retangulares x, y e z (abscissa, ordenada e aplicada).

Aula 7, SRSP-7

2. A localização da linha reta em relação aos planos de projeção.

3. A posição relativa de um ponto e uma linha reta, duas linhas retas.

Projetando uma linha reta

Para determinar a posição de uma linha no espaço, existem os seguintes métodos: 1. Dois pontos (A e B). Considere dois pontos no espaço A e B (Fig.). Através desses pontos você pode traçar uma linha reta aprendendo um segmento. Para encontrar as projeções deste segmento no plano de projeção, é necessário encontrar as projeções dos pontos A e B e conectá-las com uma linha reta. Cada uma das projeções de um segmento no plano de projeção é menor que o próprio segmento:<; <; <.

2. Dois planos (a; b). Este método de configuração é determinado pelo fato de que dois planos não paralelos se cruzam no espaço em linha reta (este método é discutido em detalhes no curso de geometria elementar).

3. Ponto e ângulos de inclinação em relação aos planos de projeção. Conhecendo as coordenadas de um ponto pertencente a uma reta e seus ângulos de inclinação em relação aos planos de projeção, pode-se encontrar a posição da reta no espaço.

EM Dependendo da posição da linha em relação aos planos de projeção, ela pode ocupar posições gerais e particulares. 1. Uma linha reta que não é paralela a nenhum plano de projeção é chamada de linha reta geral (Fig.).

2. As linhas paralelas aos planos de projeção ocupam uma posição particular no espaço e são chamadas de linhas de nível. Dependendo de qual plano de projeção a linha reta dada é paralela, existem:

2.1. As linhas retas paralelas ao plano horizontal das projeções são chamadas de horizontais ou horizontais (Fig.).

2.2. As linhas retas paralelas ao plano frontal das projeções são chamadas de frontais ou frontais (Fig.).

2.3. As projeções diretas paralelas ao plano do perfil são chamadas de perfil (Fig.).

3. As linhas perpendiculares aos planos de projeção são chamadas de linhas de projeção. Uma linha perpendicular a um plano de projeção é paralela aos outros dois. Dependendo de qual plano de projeção a linha em estudo é perpendicular, existem:

3.1. Linha reta projetada frontalmente - AB (Fig.).

3.2. O perfil que projeta a linha reta é AB (Fig.).

] Tradução de V.F. Gaza. Comentários e edição por D.I. Kargina. Sob a direção geral de T.P. Kravets.
(Editora da Academia de Ciências da URSS, 1947. - Série “Clássicos da Ciência”)
Digitalização, processamento, formato Djv: ???, acréscimos e correções: AAW, mor, 2010

• ÍNDICE:
  GEOMETRIA DESCRITIVA
  Programa (9).
  Seção Um
  1. Assunto de geometria descritiva (13).
  2-9. Considerações pelas quais é determinada a posição de um ponto no espaço. Sobre o método de projeção (Figs. 1-3) (13).
  10. Comparação da geometria descritiva com a álgebra (27).
  11-13. O conceito básico de representação da forma e posição das superfícies. Aplicações e planos (28).
  14-22. Resolvendo alguns problemas elementares sobre uma linha reta e um plano (Fig. 4-11) (33).
  Seção dois
  23-26. Em planos tangentes e normais a superfícies curvas (45).
  27-31. Um método para construir planos tangentes em determinados pontos de superfícies curvas (Figs. 12-15) (48).
  32. Condições que determinam a posição de um plano tangente a qualquer superfície curva; notas sobre superfícies desenvolvíveis (59).
  33-34. Em planos tangentes a superfícies que passam por pontos definidos fora destas superfícies (62).
  35-44. Num plano tangente à superfície de uma ou mais bolas. Propriedades notáveis ​​​​de círculo, bola, seções cônicas e superfícies curvas de segunda ordem (Fig. 16-22) (65).
  45-47. Sobre o plano tangente às superfícies cilíndricas, cônicas e superfícies de rotação, traçado através de pontos indicados fora dessas superfícies (Figs. 23-25) (81).
  Seção três
  48. Na intersecção de superfícies curvas. Definição de curvas de dupla curvatura (89).
  49-50. Correspondência entre operações em geometria descritiva e eliminação de incógnitas em álgebra (90).
  51-56. Um método geral para determinar as projeções de linhas de intersecção de superfícies. Modificações deste método para alguns casos especiais (Fig. 26) (92).
  57-58. Tangentes às linhas de intersecção das superfícies (98).
  59-83. Intersecção de superfícies: cilíndricas, cônicas, etc. Essas interseções são desenvolvidas nos casos em que se desenvolve uma nas superfícies a que pertencem (Fig. 27-35) (100).
  84-87. Método de Roberval para construir uma tangente a uma curva dada pela lei do movimento do ponto gerador. Aplicação deste método a uma elipse e à linha de intersecção de dois elipsóides de revolução com foco comum (Figs. 36-37) (128).
  Seção quatro
  88-102. Aplicação de interseções de superfície para resolver vários problemas (Figs. 38-42) (132).
  Seção cinco
  103-109. Sobre curvas planas e de dupla curvatura, sobre suas evoluções, involutas e raios de curvatura (fng.43-45) (156).
  110-112. Sobre a superfície, que é o lugar geométrico das evoluções de uma curva de dupla curvatura; uma propriedade notável das evoluções examinadas nesta superfície. Formação de qualquer curva de dupla curvatura por movimento contínuo (163).
  113-124. Sobre superfícies curvas. Prova do teorema: “Toda superfície tem apenas duas curvaturas em qualquer ponto; cada curvatura tem sua própria direção, seu próprio raio, e os dois arcos ao longo dos quais essas curvaturas são medidas são perpendiculares entre si na superfície (Figs. 46-48) (166).
  125-129. Sobre as linhas de curvatura de qualquer superfície, sobre seus centros de curvatura e sobre a superfície que é sua localização geométrica. Aplicação à divisão de abóbadas em pedras de cunha e à arte da gravura (Fig. 49) (176).
  130-131. Cortando pedras da abóbada (180).
  TEORIA DA SOMBRA
  132. Sobre os benefícios das sombras aplicadas nos diagramas (187).
  133-135. Sobre a construção de sombras (figs. 50-52) (189).
  TEORIA DA PERSPECTIVA
  136-139 Métodos para representar objetos em perspectiva (Fig. 53) (212).
  140-142. Sobre a determinação de tonalidades na representação de objetos e na perspectiva aérea (223).
  143. Sobre mudanças nas cores sob certas circunstâncias (233).
  FORMULÁRIOS
  DI. Fotos. Gaspard Monge e sua “Geometria Descritiva” (245).
  SOU. Lukomskaia. Lista de obras e literatura sobre a vida e obra de Gaspard Monge (258).
  Notas (271).

Informações e métodos de construção, determinados pela necessidade de imagens planas de formas espaciais, foram acumulados gradativamente desde a antiguidade. Por um longo período de tempo, as imagens planas foram realizadas principalmente como imagens visuais. Com o desenvolvimento da tecnologia, surgiu a questão de utilizar um método que garanta a precisão e mensurabilidade das imagens, ou seja, a capacidade de estabelecer com precisão a localização de cada ponto da imagem em relação a outros pontos ou planos e, por meio de técnicas simples, determinar os tamanhos dos segmentos de linhas e figuras, tornou-se de suma importância. Gradualmente, as regras e técnicas individuais acumuladas para a construção de tais imagens foram reunidas em um sistema e desenvolvidas no trabalho do cientista francês Monge, publicado em 1799 sob o título “Géometrie déscriptive”.

Gaspard Monge (1746-1818) entrou para a história como um importante geômetra francês do final do século XVIII e início do século XIX, engenheiro, figura pública e estadista durante a revolução de 1789-1794. e o reinado de Napoleão I, um dos fundadores da famosa École Polytechnique de Paris, participante dos trabalhos de introdução do sistema métrico de pesos e medidas. Como um dos ministros do governo revolucionário da França, Monge fez muito para protegê-lo da intervenção estrangeira e pela vitória das tropas revolucionárias. Monge não teve imediatamente a oportunidade de publicar seu trabalho descrevendo o método que havia desenvolvido. Considerando a grande importância prática deste método para fazer desenhos de objetos de importância militar e não querendo que o método de Monge se tornasse conhecido fora das fronteiras da França, o seu governo proibiu a impressão do livro. Somente no final do século XVIII esta proibição foi levantada. Após a restauração dos Bourbon, Gaspard Monge foi perseguido, forçado a se esconder e terminou a vida na pobreza. O método descrito por Monge é método de projeção paralela (as projeções retangulares são feitas em dois planos de projeção perpendiculares entre si)- garantir a expressividade, precisão e mensurabilidade das imagens de objetos em um plano, foi e continua sendo o principal método de elaboração de desenhos técnicos.

Palavra retangular frequentemente substituído pela palavra ortogonal, formado a partir de palavras gregas antigas que significam “reto” e “ângulo”. Na apresentação a seguir, o termo projeções ortogonais será usado para designar um sistema de projeções retangulares em planos perpendiculares entre si.

Este curso se concentra principalmente em projeções retangulares. No caso de utilizar projeções oblíquas paralelas, isso será especificado a cada vez.

A geometria descritiva (DGE) tornou-se objeto de ensino em nosso país desde 1810, quando começaram as aulas de geometria descritiva, juntamente com outras disciplinas do currículo, no recém-fundado Instituto do Corpo de Engenheiros Ferroviários. Isso foi causado por sua importância prática cada vez maior.

No Instituto do Corpo de Engenheiros Ferroviários 1) ocorreu a atividade docente de Yakov Aleksandrovich Sevastyanov (1796-1849), formado neste instituto em 1814, cujo nome está associado ao aparecimento das primeiras obras de literatura moderna em Rússia. g., primeiro traduzido do francês, e depois a primeira obra original intitulada “Fundamentos da Geometria Descritiva” (1821), dedicada principalmente à apresentação do método das projeções ortogonais.

1) Agora o Instituto de Engenheiros Ferroviários de Leningrado leva o seu nome. Acadêmico V.N.

Ya. A. Sevastyanov deu palestras em russo, embora o ensino naquela época fosse geralmente ministrado em francês. Assim, Ya. A. Sevastyanov lançou as bases para o ensino e estabelecimento da terminologia nos tempos modernos. em sua língua nativa. Mesmo durante a vida de Ya. A. Sevastyanov n. foi incluído nos currículos de várias instituições de ensino civis e militares.

Um marco importante no desenvolvimento dos tempos modernos. No século XIX, Nikolai Ivanovich Makarov (1824-1904), que lecionou esta matéria no Instituto Tecnológico de São Petersburgo, e Valerian Ivanovich Kurdyumov (1853-1904), que, sendo professor no Instituto de Engenheiros Ferroviários de São Petersburgo no departamento de arte da construção, deixou na Rússia neste instituto o curso n. d. Em sua prática docente, V.I. Kurdyumov dá numerosos exemplos do uso do n. para resolver problemas de engenharia.

As atividades e trabalhos de V.I. Kurdyumov pareciam encerrar o período de quase um século de desenvolvimento da ciência moderna. e seu ensino na Rússia. Nesse período, a maior atenção foi dada à organização do ensino, à criação de obras destinadas a servir de livro didático e ao desenvolvimento de técnicas e métodos aprimorados para a resolução de diversos problemas. Foram momentos significativos e necessários no desenvolvimento do ensino n. G.; entretanto, seu desenvolvimento científico ficou aquém dos avanços no campo dos métodos de apresentação do assunto. Somente nas obras de V.I. Kurdyumov a teoria recebeu uma reflexão mais vívida. Enquanto isso, em alguns países estrangeiros no século 19 DC. já recebeu desenvolvimento científico significativo. Obviamente, para eliminar o atraso e para o desenvolvimento do conteúdo científico de N. d. foi necessário ampliar sua base teórica e voltar-se para o trabalho de pesquisa.

Isso pode ser visto nas obras e atividades de Evgraf Stepanovich Fedorov (1853 - 1919), o famoso cientista russo, geômetra-cristalógrafo, e Nikolai Alekseevich Rynin (1877-1942), que já nos últimos anos antes da Grande Revolução Socialista de Outubro voltou-se para o desenvolvimento da geometria descritiva como ciências. Até o momento, a geometria descritiva como ciência recebeu um desenvolvimento significativo nos trabalhos dos cientistas soviéticos N.A. Glagolev (1888-1945), A.I. (1884-1963), S. M. Kolotov (1885-1965), N. F. Chetverukhin (1891-1974), I. I. Kotov (1909-1976) e muitos outros.

Perguntas para o Capítulo I

1. Como é construída a projeção central de um ponto?
2. Quando a projeção central de uma linha reta representa um ponto?
3. Qual é o método de projeção chamado paralelo?
4. Como é construída uma projeção paralela de uma linha reta?
5. A projeção paralela de uma linha reta pode representar um ponto?
6. Se um ponto pertence a uma determinada reta, como suas projeções estão mutuamente localizadas?
7. Em que caso, na projeção paralela, um segmento de reta é projetado em seu tamanho natural?
8. Qual é o método Monge?
9. O que significa a palavra “ortogonal”?

O método de Monge, ou método de projeção, é um método de projeção paralela, e projeções retangulares são feitas em dois planos de projeção perpendiculares entre si. Um plano localizado horizontalmente é chamado de plano horizontal de projeções (denotado P1), e um plano localizado verticalmente é chamado de plano frontal de projeções (denotado P2).

A linha de intersecção dos planos de projeção é chamada de eixo de projeção. O eixo de projeção divide cada um dos planos P1 e P2 em semiplanos. A designação X é usada para este eixo (Figura 3). A Figura 4 mostra a construção das projeções de um determinado ponto A do sistema P1, P2.

Figura 3 Figura 4

A projeção do ponto A no plano de projeção horizontal é obtida por meio de um raio de projeção, que é traçado através do ponto A perpendicular a P1 até cruzar com ele. O ponto de intersecção é chamado de projeção horizontal do ponto A e é designado A1.

A projeção frontal do ponto A é obtida cruzando o raio projetado traçado através do ponto A perpendicular a P2 e é designada A2.

Muitas vezes também são consideradas projeções de perfil de pontos e linhas. O plano de projeção do perfil (P3) está localizado perpendicularmente a ambos os planos de projeção (Figura 5).

As linhas de intersecção dos planos de projeção são chamadas de eixos de projeção. Existem três eixos no total: eixo OX, eixo OU e eixo OZ.

Figura 5 Figura 6

Se o ponto A for projetado em todos os três planos de projeção, obtemos três projeções do ponto A – horizontal A1, frontal A2 e perfil A3 (Figura 6). Se você precisar construir um desenho complexo ou diagrama de Monge (é a mesma coisa) para o ponto A, então a imagem espacial ou visual deve ser convertida em uma imagem plana. A Figura 7 mostra como os planos de projeção se desdobram: o plano frontal permanece no lugar, o plano horizontal é transformado girando 90 graus em torno do eixo OX até ficar alinhado com o plano frontal, e o plano de perfil é girado 90 graus para a direita em torno do OZ eixo até ficar alinhado com o frontal. Nesse caso, o eixo de projeções do amplificador operacional parece se bifurcar - ele participa da formação do plano horizontal de projeções e é necessário para o plano de perfil de projeções.

Figura 7 Figura 8

Assim, o diagrama do ponto ficará como na Figura 8. Além disso, é preciso atentar para o fato de que a distância do ponto A ao plano P1 será expressa pela coordenada Z, a distância do ponto A ao plano P2 será ser expresso pela coordenada Y, e ao plano P3 - coordenada X.

Durante o Diretório, aproximou-se de Napoleão, participou de sua campanha no Egito e da fundação do Instituto Egípcio no Cairo (1798); foi elevado para contar.

Monge Gaspard (10.5.1746-28.7.1818) - geômetra e figura pública francesa, membro da Academia de Ciências de Paris (1780). Criador da geometria descritiva, um dos organizadores da École Polytechnique de Paris e seu diretor de longa data. Nasceu em Bon Côte d'0r. Formou-se na Escola de Engenheiros Militares de Mézières. A partir de 1768 foi professor de matemática e, a partir de 1771, também professor de física nesta escola. A partir de 1780 lecionou hidráulica na Escola do Louvre (Paris). ). Dedicou-se à análise matemática, química, meteorologia, mecânica prática. Durante a revolução burguesa francesa, trabalhou na comissão para estabelecer um novo sistema de pesos e medidas, depois foi Ministro dos Assuntos Navais e organizador do nacional. defesa. Durante o Diretório, aproximou-se de Napoleão, participou de sua campanha no Egito e de sua fundação no Cairo Instituto Egípcio (1798), criando (na década de 70) métodos modernos de desenho de projeção e sua base; - geometria descritiva. O principal trabalho de Monge sobre estas questões foi “Geometria Descritiva” Ele também fez descobertas importantes em geometria diferencial. Os primeiros trabalhos de Monge sobre equações de superfícies foram publicados em 1770 e 1801, os trabalhos de Monge sobre finitos e diferenciais. equações de várias superfícies foram publicadas. Em 1804 foi publicado o livro “Aplicação da Análise em Geometria”. Nele, Monge considerou superfícies cilíndricas e cônicas formadas pelo movimento de uma linha horizontal que passa por uma linha vertical fixa, superfícies de “canais”, superfícies nas quais as linhas de maior inclinação formam em todos os lugares um ângulo constante com o plano horizontal; superfícies de transferência, etc. Como apêndice do livro, Monge apresentou sua teoria de integração de equações diferenciais parciais de 1ª ordem e sua solução para o problema da vibração das cordas. Para cada tipo de superfície, primeiro deduzi uma equação diferencial e depois uma equação finita. O primeiro denotava as letras p e q para as derivadas parciais de z em relação a x e y, e as letras r, s e t para as derivadas de 2ª ordem.