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Prisma. Paralelepípedo

prismaé chamado de poliedro cujas duas faces são iguais n-gons (fundo) , situados em planos paralelos, e as n faces restantes são paralelogramos (bordas laterais) . Costela lateral prisma é o lado da face lateral que não pertence à base.

Um prisma cujas arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases é chamado Em linha reta prisma (Fig. 1). Se as arestas laterais não são perpendiculares aos planos das bases, então o prisma é chamado oblíquo . correto Um prisma é um prisma reto cujas bases são polígonos regulares.

Altura prisma é chamado de distância entre os planos das bases. Diagonal Um prisma é um segmento que conecta dois vértices que não pertencem à mesma face. seção diagonal Chama-se seção de um prisma por um plano que passa por duas arestas laterais que não pertencem à mesma face. Seção perpendicular chamada de seção do prisma por um plano perpendicular à aresta lateral do prisma.

Superfície lateral prisma é a soma das áreas de todas as faces laterais. Superfície total a soma das áreas de todas as faces do prisma é chamada (ou seja, a soma das áreas das faces laterais e as áreas das bases).

Para um prisma arbitrário, as fórmulas são verdadeiras:

Onde eué o comprimento da nervura lateral;

H- altura;

P

Q

lado S

S cheio

S principalé a área das bases;

Vé o volume do prisma.

Para um prisma reto, as seguintes fórmulas são verdadeiras:

Onde p- o perímetro da base;

eué o comprimento da nervura lateral;

H- altura.

Paralelepípedo Um prisma cuja base é um paralelogramo é chamado. Um paralelepípedo cujas arestas laterais são perpendiculares às bases é chamado de direto (Figura 2). Se as arestas laterais não são perpendiculares às bases, então o paralelepípedo é chamado oblíquo . Um paralelepípedo reto cuja base é um retângulo é chamado retangular. Um paralelepípedo retangular em que todas as arestas são iguais é chamado de cubo.

As faces de um paralelepípedo que não possuem vértices comuns são chamadas oposto . Os comprimentos das arestas que emanam de um vértice são chamados Medidas paralelepípedo. Como a caixa é um prisma, seus elementos principais são definidos da mesma forma que são definidos para os prismas.

Teoremas.

1. As diagonais do paralelepípedo se cruzam em um ponto e o cortam ao meio.

2. Em um paralelepípedo retangular, o quadrado do comprimento da diagonal é igual à soma dos quadrados de suas três dimensões:

3. Todas as quatro diagonais de um paralelepípedo retangular são iguais entre si.

Para um paralelepípedo arbitrário, as seguintes fórmulas são verdadeiras:

Onde eué o comprimento da nervura lateral;

H- altura;

Pé o perímetro da seção perpendicular;

Q– Área de seção perpendicular;

lado Sé a área de superfície lateral;

S cheioé a área total da superfície;

S principalé a área das bases;

Vé o volume do prisma.

Para um paralelepípedo direito, as seguintes fórmulas são verdadeiras:

Onde p- o perímetro da base;

eué o comprimento da nervura lateral;

Hé a altura do paralelepípedo direito.

Para um paralelepípedo retangular, as seguintes fórmulas são verdadeiras:

(3)

Onde p- o perímetro da base;

H- altura;

d- diagonais;

abc– medições de um paralelepípedo.

As fórmulas corretas para um cubo são:

Onde umaé o comprimento da costela;

dé a diagonal do cubo.

Exemplo 1 A diagonal de um paralelepípedo retangular é 33 dm, e suas medidas estão relacionadas como 2:6:9. Encontre as medidas do paralelepípedo.

Decisão. Para encontrar as dimensões do paralelepípedo, usamos a fórmula (3), ou seja, o fato de que o quadrado da hipotenusa de um paralelepípedo é igual à soma dos quadrados de suas dimensões. Denotado por k coeficiente de proporcionalidade. Então as dimensões do paralelepípedo serão iguais a 2 k, 6k e 9 k. Escrevemos a fórmula (3) para os dados do problema:

Resolvendo esta equação para k, Nós temos:

Assim, as dimensões do paralelepípedo são 6 dm, 18 dm e 27 dm.

Responda: 6dm, 18dm, 27dm.

Exemplo 2 Encontre o volume de um prisma triangular inclinado cuja base é um triângulo equilátero de lado 8 cm, se a aresta lateral for igual ao lado da base e for inclinada em um ângulo de 60º com a base.

Decisão . Vamos fazer um desenho (Fig. 3).

Para encontrar o volume de um prisma inclinado, você precisa conhecer a área de base e altura. A área da base deste prisma é a área de um triângulo equilátero com um lado de 8 cm. Vamos calcular:

A altura de um prisma é a distância entre suas bases. Do topo MAS 1 da base superior abaixamos a perpendicular ao plano da base inferior MAS 1 D. Seu comprimento será a altura do prisma. Considere D MAS 1 DE ANÚNCIOS: uma vez que este é o ângulo de inclinação da nervura lateral MAS 1 MAS para o plano básico MAS 1 MAS= 8 cm. Deste triângulo encontramos MAS 1 D:

Agora calculamos o volume usando a fórmula (1):

Responda: 192 cm3.

Exemplo 3 A borda lateral de um prisma hexagonal regular é de 14 cm. A área da maior seção diagonal é de 168 cm 2. Encontre a área total da superfície do prisma.

Decisão. Vamos fazer um desenho (Fig. 4)

A maior seção diagonal é um retângulo AA 1 DD 1, uma vez que a diagonal DE ANÚNCIOS hexágono regular ABCDEFé o maior. Para calcular a área de superfície lateral de um prisma, é necessário conhecer o lado da base e o comprimento da nervura lateral.

Conhecendo a área da seção diagonal (retângulo), encontramos a diagonal da base.

Porque, então

Desde então AB= 6cm.

Então o perímetro da base é:

Encontre a área da superfície lateral do prisma:

A área de um hexágono regular com um lado de 6 cm é:

Encontre a área total da superfície do prisma:

Responda:

Exemplo 4 A base de um paralelepípedo reto é um losango. As áreas das seções diagonais são 300 cm 2 e 875 cm 2. Encontre a área da superfície lateral do paralelepípedo.

Decisão. Vamos fazer um desenho (Fig. 5).

Denote o lado do losango por uma, as diagonais do losango d 1 e d 2, a altura da caixa h. Para encontrar a área da superfície lateral de um paralelepípedo reto, é necessário multiplicar o perímetro da base pela altura: (fórmula (2)). Perímetro básico p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, como ABCD- losango. H = AA 1 = h. Que. Precisa encontrar uma e h.

Considere seções diagonais. AA 1 SS 1 - um retângulo, um lado do qual é a diagonal de um losango CA = d 1 , borda do segundo lado AA 1 = h, então

Da mesma forma para a seção BB 1 DD 1 obtemos:

Usando a propriedade de um paralelogramo tal que a soma dos quadrados das diagonais é igual à soma dos quadrados de todos os seus lados, obtemos a igualdade Obtemos o seguinte.

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No currículo escolar do curso de geometria sólida, o estudo de figuras tridimensionais geralmente começa com um corpo geométrico simples - um poliedro de prisma. O papel de suas bases é desempenhado por 2 polígonos iguais dispostos em planos paralelos. Um caso especial é um prisma quadrangular regular. Suas bases são 2 quadriláteros regulares idênticos, aos quais os lados são perpendiculares, tendo a forma de paralelogramos (ou retângulos se o prisma não for inclinado).

Como é um prisma

Um prisma quadrangular regular é um hexaedro, nas bases do qual existem 2 quadrados, e as faces laterais são representadas por retângulos. Outro nome para esta figura geométrica é um paralelepípedo reto.

A figura, que representa um prisma quadrangular, é mostrada abaixo.

Você também pode ver na imagem os elementos mais importantes que compõem um corpo geométrico. Eles são comumente referidos como:

Às vezes, em problemas de geometria, você pode encontrar o conceito de seção. A definição soará assim: uma seção são todos os pontos de um corpo volumétrico que pertencem ao plano de corte. A seção é perpendicular (cruza as bordas da figura em um ângulo de 90 graus). Para um prisma retangular, também é considerada uma seção diagonal (o número máximo de seções que podem ser construídas é 2), passando por 2 arestas e pelas diagonais da base.

Se a seção for desenhada de tal forma que o plano de corte não seja paralelo às bases nem às faces laterais, o resultado é um prisma truncado.

Várias razões e fórmulas são usadas para encontrar os elementos prismáticos reduzidos. Alguns deles são conhecidos no curso de planimetria (por exemplo, para encontrar a área da base de um prisma, basta lembrar a fórmula da área de um quadrado).

Superfície e volume

Para determinar o volume de um prisma usando a fórmula, você precisa conhecer a área de base e altura:

V = Sprim h

Como a base de um prisma tetraédrico regular é um quadrado de lado uma, Você pode escrever a fórmula de uma forma mais detalhada:

V = a²h

Se estamos falando de um cubo - um prisma regular com comprimento, largura e altura iguais, o volume é calculado da seguinte forma:

Para entender como encontrar a área da superfície lateral de um prisma, você precisa imaginar sua varredura.

Pode-se ver no desenho que a superfície lateral é composta por 4 retângulos iguais. Sua área é calculada como o produto do perímetro da base pela altura da figura:

Lado = Pos h

Como o perímetro de um quadrado é P = 4a, a fórmula tem a forma:

Lado = 4a h

Para cubo:

Lado = 4a²

Para calcular a área total da superfície de um prisma, adicione 2 áreas de base à área lateral:

Sfull = Sside + 2Sbase

Aplicada a um prisma regular quadrangular, a fórmula tem a forma:

Cheio = 4a h + 2a²

Para a área da superfície de um cubo:

Cheio = 6a²

Conhecendo o volume ou a área da superfície, você pode calcular os elementos individuais de um corpo geométrico.

Encontrando elementos de prisma

Muitas vezes há problemas em que o volume é dado ou o valor da superfície lateral é conhecido, onde é necessário determinar o comprimento do lado da base ou a altura. Nesses casos, as fórmulas podem ser derivadas:

• comprimento do lado da base: a = Sside/4h = √(V/h);
• altura ou comprimento da costela lateral: h = Sside / 4a = V / a²;
• área básica: Sprim = V/h;
• área da face lateral: Lateral gr = Lado / 4.

Para determinar a área de uma seção diagonal, você precisa saber o comprimento da diagonal e a altura da figura. Para um quadrado d = a√2. Portanto:

Sdiag = ah√2

Para calcular a diagonal do prisma, a fórmula é usada:

dprêmio = √(2a² + h²)

Para entender como aplicar as proporções acima, você pode praticar e resolver algumas tarefas simples.

Exemplos de problemas com soluções

Aqui estão algumas das tarefas que aparecem nos exames finais estaduais em matemática.

Exercício 1.

A areia é despejada em uma caixa com a forma de um prisma quadrangular regular. A altura de seu nível é 10 cm. Qual será o nível da areia se você a mover para um recipiente da mesma forma, mas com um comprimento de base 2 vezes maior?

Deve ser argumentado da seguinte forma. A quantidade de areia no primeiro e segundo recipientes não mudou, ou seja, seu volume neles é o mesmo. Você pode definir o comprimento da base como uma. Neste caso, para a primeira caixa, o volume da substância será:

V₁ = ha² = 10a²

Para a segunda caixa, o comprimento da base é 2a, mas a altura do nível de areia é desconhecida:

V₂ = h(2a)² = 4ha²

Na medida em que V₁ = V₂, as expressões podem ser equacionadas:

10a² = 4ha²

Depois de reduzir ambos os lados da equação por a², temos:

Como resultado, o novo nível de areia será h = 10 / 4 = 2,5 cm.

Tarefa 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ é um prisma regular. Sabe-se que BD = AB₁ = 6√2. Encontre a área total da superfície do corpo.

Para facilitar a compreensão de quais elementos são conhecidos, você pode desenhar uma figura.

Como estamos falando de um prisma regular, podemos concluir que a base é um quadrado com diagonal de 6√2. A diagonal da face lateral tem o mesmo valor, portanto, a face lateral também tem a forma de um quadrado igual à base. Acontece que todas as três dimensões - comprimento, largura e altura - são iguais. Podemos concluir que ABCDA₁B₁C₁D₁ é um cubo.

O comprimento de qualquer aresta é determinado através da diagonal conhecida:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

A área total da superfície é encontrada pela fórmula do cubo:

Sfull = 6a² = 6 6² = 216

Tarefa 3.

O quarto está sendo reformado. Sabe-se que seu piso tem o formato de um quadrado com área de 9 m². A altura da sala é de 2,5 m. Qual é o menor custo para colocar papel de parede em uma sala se 1 m² custa 50 rublos?

Como o piso e o teto são quadrados, ou seja, quadriláteros regulares, e suas paredes são perpendiculares às superfícies horizontais, podemos concluir que se trata de um prisma regular. É necessário determinar a área de sua superfície lateral.

O comprimento da sala é a = √9 = 3 m.

A praça será coberta com papel de parede Lado = 4 3 2,5 = 30 m².

O menor custo de papel de parede para esta sala será 50 30 = 1500 rublos.

Assim, para resolver problemas para um prisma retangular, basta saber calcular a área e o perímetro de um quadrado e de um retângulo, bem como conhecer as fórmulas para encontrar o volume e a área da superfície.

Como encontrar a área de um cubo

Definição. Prisma- este é um poliedro, cujos vértices estão localizados em dois planos paralelos, e nos mesmos dois planos existem duas faces do prisma, que são polígonos iguais com lados respectivamente paralelos, e todas as arestas que não estão nesses planos são paralelos.

Duas faces iguais são chamadas bases de prisma(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Todas as outras faces do prisma são chamadas faces laterais(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Todas as faces laterais formam superfície lateral do prisma .

Todas as faces laterais de um prisma são paralelogramos .

As arestas que não se encontram nas bases são chamadas arestas laterais do prisma ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Prisma Diagonal um segmento é chamado, cujas extremidades são dois vértices do prisma que não se encontram em uma de suas faces (AD 1).

O comprimento do segmento que liga as bases do prisma e perpendicular a ambas as bases ao mesmo tempo é chamado altura do prisma .

Designação:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Primeiro, na ordem do desvio, são indicados os vértices de uma base e, em seguida, na mesma ordem, os vértices da outra; as extremidades de cada aresta lateral são designadas pelas mesmas letras, apenas os vértices situados em uma base é indicada por letras sem índice e na outra - com índice)

O nome do prisma está associado ao número de ângulos na figura que se encontra em sua base, por exemplo, na Figura 1, a base é um pentágono, então o prisma é chamado prisma pentagonal. Mas desde tal prisma tem 7 faces, então ele heptaedro(2 faces são as bases do prisma, 5 faces são paralelogramos, são suas faces laterais)

Entre os prismas retos, um tipo específico se destaca: os prismas regulares.

Um prisma reto é chamado correto, se suas bases são polígonos regulares.

Um prisma regular tem todas as faces laterais retângulos iguais. Um caso especial de um prisma é um paralelepípedo.

Paralelepípedo

Paralelepípedo- Este é um prisma quadrangular, na base do qual se encontra um paralelogramo (paralelepípedo oblíquo). Paralelepípedo direito- um paralelepípedo cujas arestas laterais são perpendiculares aos planos da base.

cubóide- um paralelepípedo direito cuja base é um retângulo.

Propriedades e teoremas:

Algumas propriedades de um paralelepípedo são semelhantes às propriedades bem conhecidas de um paralelogramo. Um paralelepípedo retangular com dimensões iguais é chamado cubo .Um cubo tem todas as faces quadradas iguais. O quadrado de uma diagonal é igual à soma dos quadrados de suas três dimensões

,

onde d é a diagonal do quadrado;
a - lado do quadrado.

A ideia de um prisma é dada por:

• várias estruturas arquitetônicas;
• Brinquedos para crianças;
• caixas de embalagem;
• itens de designer, etc.

Área de superfície total e lateral do prisma

Área total da superfície do prismaé a soma das áreas de todas as suas faces Superfície lateralé chamada de soma das áreas de suas faces laterais. as bases do prisma são polígonos iguais, então suas áreas são iguais. então

S completo \u003d lado S + 2S principal,

Onde S cheio- área total da superfície, lado S- área de superfície lateral, S principal- área básica

A área da superfície lateral de um prisma reto é igual ao produto do perímetro da base e a altura do prisma.

lado S\u003d P principal * h,

Onde lado Sé a área da superfície lateral de um prisma reto,

P principal - o perímetro da base de um prisma reto,

h é a altura do prisma reto, igual à aresta lateral.

Volume do Prisma

O volume de um prisma é igual ao produto da área da base pela altura.