EXPLICAÇÃO DO TEXTO DA LIÇÃO:

Continuamos a estudar a seção de geometria sólida "Corpo de revolução".

Os corpos de revolução incluem: cilindros, cones, bolas.

Vamos lembrar as definições.

Altura é a distância do topo de uma figura ou corpo até a base da figura (corpo). Caso contrário, um segmento conectando a parte superior e inferior da figura e perpendicular a ela.

Lembre-se, para encontrar a área de um círculo, multiplique pi pelo quadrado do raio.

A área do círculo é igual.

Lembre-se de como encontrar a área de um círculo, conhecendo o diâmetro? Como

vamos colocar na fórmula:

Um cone também é um corpo de revolução.

Um cone (mais precisamente, um cone circular) é um corpo que consiste em um círculo - a base do cone, um ponto que não está no plano deste círculo - o topo do cone e todos os segmentos que ligam o topo do cone. o cone com as pontas da base.

Vamos nos familiarizar com a fórmula para encontrar o volume de um cone.

Teorema. O volume de um cone é igual a um terço da área da base multiplicado pela altura.

Vamos provar este teorema.

Dado: um cone, S é a área de sua base,

h é a altura do cone

Prove: V=

Demonstração: Considere um cone com volume V, raio da base R, altura h e vértice no ponto O.

Vamos introduzir o eixo Ox por OM, o eixo do cone. Uma seção arbitrária de um cone por um plano perpendicular ao eixo x é um círculo centrado no ponto

M1 - o ponto de intersecção deste plano com o eixo Ox. Vamos denotar o raio desse círculo como R1, e a área da seção transversal como S(x), onde x é a abcissa do ponto M1.

Da semelhança dos triângulos retângulos OM1A1 e OMA (ے OM1A1 = ے OMA - linhas retas, ےMOA-comum, o que significa que os triângulos são semelhantes em dois ângulos) segue que

A figura mostra que OM1=x, OM=h

ou de onde pela propriedade da proporção encontramos R1 = .

Como a seção é um círculo, então S (x) \u003d πR12, substitua a expressão anterior por R1, a área da seção é igual à razão do produto do píer quadrado pelo quadrado x pelo quadrado da altura:

Vamos aplicar a fórmula básica

calculando os volumes dos corpos, com a=0, b=h, obtemos a expressão (1)

Como a base do cone é um círculo, a área S da base do cone será igual ao quadrado do píer

na fórmula para calcular o volume de um corpo, substituímos o valor do píer quadrado pela área da base e obtemos que o volume do cone é igual a um terço do produto da área da base e da altura

O teorema foi provado.

Corolário do teorema (fórmula para o volume de um cone truncado)

O volume V de um cone truncado, cuja altura é h, e as áreas das bases S e S1, são calculados pela fórmula

Ve é igual a um terço das cinzas multiplicado pela soma das áreas das bases e a raiz quadrada do produto das áreas da base.

Solução de problemas

Um triângulo retângulo com catetos 3 cm e 4 cm gira em torno da hipotenusa. Determine o volume do corpo resultante.

Quando o triângulo gira em torno da hipotenusa, obtemos um cone. Ao resolver esse problema, é importante entender que dois casos são possíveis. Em cada um deles, aplicamos a fórmula para encontrar o volume de um cone: o volume de um cone é igual a um terço do produto da base pela altura

No primeiro caso, o desenho ficará assim: um cone é dado. Seja raio r = 4, altura h = 3

A área da base é igual ao produto de π vezes o quadrado do raio

Então o volume do cone é igual a um terço do produto de π vezes o quadrado do raio vezes a altura.

Substituindo o valor na fórmula, verifica-se que o volume do cone é 16π.

No segundo caso, assim: dado um cone. Seja raio r = 3, altura h = 4

O volume de um cone é igual a um terço da área da base multiplicado pela altura:

A área da base é igual ao produto de π vezes o quadrado do raio:

Então o volume do cone é igual a um terço do produto de π vezes o quadrado do raio vezes a altura:

Substituindo o valor na fórmula, verifica-se que o volume do cone é 12π.

Resposta: O volume do cone V é 16 π ou 12 π

Problema 2. Dado um cone circular reto com raio de 6 cm, ângulo BCO = 45 .

Encontre o volume do cone.

Solução: Um desenho pronto é fornecido para esta tarefa.

Vamos escrever a fórmula para encontrar o volume de um cone:

Expressamos isso em termos do raio da base R:

Encontramos h \u003d BO por construção, - retangular, porque ângulo BOC=90 (a soma dos ângulos de um triângulo), os ângulos na base são iguais, então o triângulo ΔBOC é isósceles e BO=OC=6 cm.

Cilindro V \u003d S principal. h

Exemplo 2 Dado um cone circular reto ABC equilátero, BO = 10. Encontre o volume do cone.

Decisão

Encontre o raio da base do cone. C \u003d 60 0, B \u003d 30 0,

Seja OS = uma, então BC = 2 uma. De acordo com o teorema de Pitágoras:

Responda: .

Exemplo 3. Calcule os volumes das figuras formadas pela rotação das áreas delimitadas pelas linhas especificadas.

y2=4x; y=0; x=4.

Limites de integração a = 0, b = 4.

V= | =32π

Tarefas

Opção 1

1. A seção axial do cilindro é um quadrado, cuja diagonal é de 4 dm. Encontre o volume do cilindro.

2. O diâmetro externo da esfera oca é de 18 cm, a espessura da parede é de 3 cm. Encontre o volume das paredes da esfera.

X figura delimitada pelas linhas y 2 =x, y=0, x=1, x=2.

opção 2

1. Os raios de três bolas são iguais a 6 cm, 8 cm, 10 cm. Determine o raio da bola, cujo volume é igual à soma dos volumes dessas bolas.

2. A área da base do cone é de 9 cm 2, sua área de superfície total é de 24 cm 2. Encontre o volume do cone.

3. Calcule o volume do corpo formado pela rotação em torno do eixo O X figura delimitada pelas linhas y 2 =2x, y=0, x=2, x=4.

Perguntas do teste:

1. Escreva as propriedades dos volumes dos corpos.

2. Escreva uma fórmula para calcular o volume de um corpo de revolução em torno do eixo Oy.

O trabalho de diagnóstico consiste em duas partes, incluindo 19 tarefas. A parte 1 contém 8 tarefas de nível básico de complexidade com uma resposta curta. A parte 2 contém 4 tarefas de maior complexidade com resposta curta e 7 tarefas de maior e alto nível de complexidade com resposta detalhada.
3 horas e 55 minutos (235 minutos) são atribuídos para realizar o trabalho de diagnóstico em matemática.
As respostas das tarefas 1-12 são escritas como um número inteiro ou uma fração decimal final. Escreva os números nos campos de resposta no texto do trabalho e, em seguida, transfira-os para a folha de respostas nº 1. Ao concluir as tarefas 13-19, você precisa anotar a solução completa e a resposta na folha de respostas nº. 2.
Todos os formulários são preenchidos com tinta preta brilhante. É permitido o uso de canetas gel, capilar ou tinteiro.
Ao concluir as tarefas, você pode usar um rascunho. As entradas de rascunho não contam para a avaliação do trabalho.
Os pontos que você ganha por tarefas concluídas são somados.
Desejamos-lhe sucesso!

Condições da tarefa

1. Encontre se
2. Para obter uma imagem ampliada de uma lâmpada na tela do laboratório, é utilizada uma lente convergente com distância focal principal = 30 cm. A distância da lente à lâmpada pode variar de 40 a 65 cm, e a distância da lente para a tela - na faixa de 75 a 100 cm. A imagem na tela ficará clara se a proporção for atendida. Especifique a maior distância da lente que a lâmpada pode ser colocada para que sua imagem na tela fique nítida. Expresse sua resposta em centímetros.
3. O navio passa ao longo do rio até o destino por 300 km e após estacionar retorna ao ponto de partida. Encontre a velocidade da corrente, se a velocidade do navio em águas paradas é de 15 km/h, o estacionamento dura 5 horas e o navio retorna ao ponto de partida 50 horas após sair dele. Dê sua resposta em km/h.
4. Encontre o menor valor de uma função em um segmento
5. a) Resolva a equação b) Encontre todas as raízes desta equação que pertencem ao segmento
6. Dado um cone circular reto com um vértice M. Seção axial do cone - um triângulo com um ângulo de 120 ° no vértice M. O gerador de cone é . Através do ponto M uma seção do cone é traçada perpendicularmente a um dos geradores.
   a) Prove que o triângulo resultante é um triângulo obtuso.
   b) Encontre a distância do centro O da base do cone ao plano da seção.
7. Resolva a equação
8. Círculo com centro O toca o lado AB Triângulo isósceles abc, extensões laterais CA e continuação da fundação Sol no ponto N. Ponto M- meio da base Sol.
   a) Prove que MN=AC.
   b) Encontrar SO, se os lados do triângulo abc são 5, 5 e 8.
9. O projeto empresarial "A" pressupõe um aumento dos valores investidos nele em 34,56% ao ano durante os primeiros dois anos e em 44% ao ano nos próximos dois anos. Projeto B assume crescimento por um número inteiro constante n por cento anualmente. Encontre o menor valor n, segundo o qual nos primeiros quatro anos o projeto "B" será mais lucrativo do que o projeto "A".
10. Encontre todos os valores do parâmetro , , para cada um dos quais o sistema de equações tem a única solução
11. Anya joga um jogo: dois números naturais diferentes são escritos no tabuleiro e , ambos são menores que 1000. Se ambos são números naturais, então Anya faz um movimento - ela substitui os anteriores por esses dois números. Se pelo menos um desses números não for um número natural, o jogo termina.
    a) O jogo pode continuar por exatamente três lances?
    b) Existem dois números iniciais tais que o jogo dure pelo menos 9 lances?
    c) Anya fez o primeiro lance no jogo. Encontre a maior razão possível do produto dos dois números obtidos para o produto

Introdução

Relevância do tema de pesquisa. As seções cônicas já eram conhecidas dos matemáticos da Grécia Antiga (por exemplo, Menechmus, século IV aC); com a ajuda dessas curvas, alguns problemas de construção foram resolvidos (duplicando o cubo, etc.), que se tornaram inacessíveis ao usar as ferramentas de desenho mais simples - uma bússola e uma régua. Nos primeiros estudos que chegaram até nós, os geômetras gregos obtinham seções cônicas traçando um plano de corte perpendicular a um dos geradores, enquanto, dependendo do ângulo de abertura no topo do cone (ou seja, o maior ângulo entre os geradores de uma cavidade), a linha de interseção acabou sendo uma elipse, se esse ângulo for agudo, é uma parábola, se for um ângulo reto, e uma hipérbole, se for obtusa. A obra mais completa dedicada a essas curvas foram as "Seções Cônicas" de Apolônio de Perga (cerca de 200 aC). Outros avanços na teoria das seções cônicas estão associados à criação no século XVII. novos métodos geométricos: projetivo (matemáticos franceses J. Desargues, B. Pascal) e especialmente coordenado (matemáticos franceses R. Descartes, P. Fermat).

O interesse pelas seções cônicas sempre foi sustentado pelo fato de que essas curvas são frequentemente encontradas em diversos fenômenos naturais e na atividade humana. Na ciência, as seções cônicas adquiriram um significado especial depois que o astrônomo alemão I. Kepler descobriu a partir de observações, e o cientista inglês I. Newton fundamentou teoricamente as leis do movimento planetário, uma das quais afirma que os planetas e cometas do sistema solar se movem ao longo de cônicas. seções, em um dos focos do qual é o Sol. Os exemplos a seguir referem-se a certos tipos de seções cônicas: um projétil ou uma pedra lançada obliquamente no horizonte descreve uma parábola (a forma correta da curva é um pouco distorcida pela resistência do ar); em alguns mecanismos, são utilizadas engrenagens elípticas (“engrenagem elíptica”); hipérbole serve como um gráfico de proporcionalidade inversa, muitas vezes observada na natureza (por exemplo, a lei de Boyle-Mariotte).

Objetivo:

O estudo da teoria das secções cónicas.

Tópico de pesquisa:

Seções cônicas.

Propósito do estudo:

Estude teoricamente as características das seções cônicas.

Objeto de estudo:

Seções cônicas.

Objeto de estudo:

Desenvolvimento histórico das secções cónicas.

1. Formação de seções cônicas e seus tipos

As seções cônicas são linhas que se formam na seção de um cone circular reto com diferentes planos.

Observe que uma superfície cônica é uma superfície formada pelo movimento de uma linha reta que passa o tempo todo por um ponto fixo (o topo do cone) e cruza o tempo todo uma curva fixa - um guia (no nosso caso, um círculo ).

Classificando essas linhas de acordo com a natureza da localização dos planos secantes em relação aos geradores do cone, obtêm-se três tipos de curvas:

I. Curvas formadas por uma seção de um cone por planos não paralelos a nenhum dos geradores. Tais curvas serão vários círculos e elipses. Essas curvas são chamadas de curvas elípticas.

II. Curvas formadas por uma seção de um cone por planos, cada um dos quais é paralelo a uma das geratrizes do cone (Fig. 1b). Apenas parábolas serão tais curvas.

III. Curvas formadas por uma seção de um cone por planos, cada um dos quais é paralelo a uns dois geradores (Fig. 1c). tais curvas serão hipérboles.

Não pode mais haver curvas do tipo IV, pois não pode haver um plano paralelo a três geradores de um cone ao mesmo tempo, pois não existem três geradores de um cone no mesmo plano.

Observe que o cone pode ser interceptado por planos e de modo que duas retas são obtidas na seção. Para fazer isso, os planos secantes devem ser desenhados através do topo do cone.

2. Elipse

Dois teoremas são importantes para estudar as propriedades das seções cônicas:

Teorema 1. Seja dado um cone circular reto, dissecado pelos planos b 1, b 2, b 3, perpendiculares ao seu eixo. Então todos os segmentos dos geradores de cone entre qualquer par de círculos (obtidos em seção com os planos dados) são iguais entre si, ou seja, A 1 B 1 \u003d A 2 B 2 \u003d, etc. e B 1 C 1 \u003d B 2 C 2 \u003d, etc. Teorema 2. Se uma superfície esférica é dada e algum ponto S está fora dela, então os segmentos de tangentes desenhados do ponto S para a superfície esférica serão iguais entre si, isto é. SA 1 = SA 2 = SA 3 etc.

2.1 Propriedade básica de uma elipse

Cortamos um cone circular reto com um plano cruzando todos os seus geradores, no corte obtemos uma elipse. Tracemos um plano perpendicular ao plano que passa pelo eixo do cone.

Vamos inscrever duas bolas no cone de modo que, estando localizadas em lados opostos do plano e tocando a superfície cônica, cada uma delas toque o plano em algum ponto.

Deixe uma bola tocar o plano no ponto F 1 e tocar o cone ao longo do círculo C 1, e a outra no ponto F 2 e tocar o cone ao longo do círculo C 2 .

Tome um ponto arbitrário P na elipse.

Isso significa que todas as conclusões feitas sobre ela serão válidas para qualquer ponto da elipse. Tracemos a geratriz do OR do cone e marquemos os pontos R 1 e R 2 nos quais ele toca as bolas construídas.

Conecte o ponto P com os pontos F 1 e F 2 . Então PF 1 = PR 1 e PF 2 = PR 2, pois PF 1, PR 1 são tangentes traçadas do ponto P a uma bola, e PF 2, PR 2 são tangentes traçadas do ponto P a outra bola (teorema 2 ) . Somando ambas as igualdades termo a termo, encontramos

PF 1 + PF 2 = PR 1 + PR 2 = R 1 R 2 (1)

Esta relação mostra que a soma das distâncias (РF 1 e РF 2) de um ponto arbitrário P da elipse a dois pontos F 1 e F 2 é um valor constante para esta elipse (ou seja, não depende da posição de o ponto P na elipse).

Os pontos F 1 e F 2 são chamados de focos da elipse. Os pontos em que a linha F 1 F 2 intercepta a elipse são chamados de vértices da elipse. O segmento entre os vértices é chamado de eixo maior da elipse.

O segmento da geratriz R 1 R 2 é igual em comprimento ao eixo maior da elipse. Então a propriedade principal da elipse é formulada da seguinte forma: a soma das distâncias de um ponto arbitrário P da elipse aos seus focos F 1 e F 2 é um valor constante para esta elipse, igual ao comprimento de seu eixo maior.

Observe que se os focos da elipse coincidem, então a elipse é um círculo, ou seja, um círculo é um caso especial de uma elipse.

2.2 Equação da elipse

Para formular a equação de uma elipse, devemos considerar a elipse como o lugar geométrico dos pontos que possuem alguma propriedade que caracteriza esse lugar geométrico. Vamos tomar a propriedade principal da elipse como sua definição: Elipse é o lugar geométrico dos pontos em um plano para o qual a soma das distâncias a dois pontos fixos F 1 e F 2 desse plano, chamados focos, é um valor constante igual a o comprimento do seu eixo maior.

Deixe o comprimento do segmento F 1 F 2 \u003d 2c, e o comprimento do eixo principal é 2a. Para derivar a equação canônica da elipse, escolhemos a origem O do sistema de coordenadas cartesianas no meio do segmento F 1 F 2 e direcionamos os eixos Ox e Oy conforme mostrado na Figura 5. (Se os focos coincidem, então O coincide com F 1 e F 2, e além do eixo Ox pode ser considerado qualquer eixo que passa por O). Então no sistema de coordenadas escolhido os pontos F 1 (c, 0) e F 2 (-c, 0). Obviamente, 2a > 2c, i.e. a>c. Seja M(x, y) um ponto do plano pertencente à elipse. Seja МF 1 =r 1 , МF 2 =r 2 . De acordo com a definição de elipse, a igualdade

r 1 +r 2 =2a (2) é uma condição necessária e suficiente para a localização do ponto M (x, y) em uma dada elipse. Usando a fórmula da distância entre dois pontos, obtemos

r 1 =, r 2 =. Voltemos à igualdade (2):

Vamos mover uma raiz para o lado direito da igualdade e elevá-la ao quadrado:

Reduzindo, temos:

Damos semelhantes, reduzimos por 4 e isolamos o radical:

Nós esquadramos

Abra os colchetes e encurte para:

de onde obtemos:

(a 2 -c 2) x 2 + a 2 y 2 \u003d a 2 (a 2 -c 2). (3)

Observe que a 2 -c 2 >0. De fato, r 1 +r 2 é a soma de dois lados do triângulo F 1 MF 2 e F 1 F 2 é seu terceiro lado. Portanto, r 1 +r 2 > F 1 F 2 , ou 2а>2с, i.e. a>c. Denote a 2 -c 2 \u003d b 2. A equação (3) terá a seguinte aparência: b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 . Vamos realizar uma transformação que traz a equação da elipse para a forma canônica (literalmente: tomada como amostra), ou seja, dividimos ambas as partes da equação por a 2 b 2:

(4) - equação canônica de uma elipse.

Como a equação (4) é uma consequência algébrica da equação (2*), então as coordenadas xey de qualquer ponto M da elipse também satisfarão a equação (4). Como “raízes extras” podem aparecer durante as transformações algébricas associadas à eliminação de radicais, é necessário garantir que qualquer ponto M, cujas coordenadas satisfaçam a equação (4), esteja localizado nessa elipse. Para isso, basta provar que as quantidades r 1 e r 2 para cada ponto satisfazem a relação (2). Então, deixe que as coordenadas xey do ponto M satisfaçam a equação (4). Substituindo o valor de y 2 de (4) na expressão r 1 , após transformações simples encontramos que r 1 =. Uma vez que, então r 1 =. Da mesma forma, descobrimos que r 2 =. Assim, para o ponto considerado M r 1 =, r 2 =, i.e. r 1 + r 2 \u003d 2a, portanto, o ponto M está localizado em uma elipse. As quantidades a e b são chamadas de semieixos maior e menor da elipse, respectivamente.

2.3 Estudo da forma de uma elipse de acordo com sua equação

Vamos estabelecer a forma da elipse usando sua equação canônica.

1. A equação (4) contém x e y apenas em potências pares, então se o ponto (x, y) pertence à elipse, então os pontos (x, - y), (-x, y), (-x, - e). Segue-se que a elipse é simétrica em relação aos eixos Ox e Oy, e também em relação ao ponto O (0,0), que é chamado de centro da elipse.

2. Encontre os pontos de intersecção da elipse com os eixos coordenados. Colocando y \u003d 0, encontramos dois pontos A 1 (a, 0) e A 2 (-a, 0), nos quais o eixo Ox cruza a elipse. Colocando x=0 na equação (4), encontramos os pontos de interseção da elipse com o eixo Oy: B 1 (0, b) e. B 2 (0, - b) Os pontos A 1 , A 2 , B 1 , B 2 são chamados de vértices de elipse.

3. Da equação (4) segue-se que cada termo do lado esquerdo não excede a unidade, i.e. existem desigualdades e ou e. Portanto, todos os pontos da elipse estão dentro do retângulo formado pelas linhas retas, .

4. Na equação (4), a soma dos termos não negativos e é igual a um. Portanto, à medida que um termo aumenta, o outro diminui, ou seja, Se x aumenta, então y diminui e vice-versa.

Do que foi dito, segue-se que a elipse tem a forma mostrada na Fig. 6 (curva oval fechada).

Observe que se a = b, então a equação (4) terá a forma x 2 + y 2 = a 2 . Esta é a equação do círculo. Uma elipse pode ser obtida de um círculo de raio a, se for comprimido uma vez ao longo do eixo Oy. Com tal contração, o ponto (x; y) irá para o ponto (x; y 1), onde. Substituindo o círculo na equação, obtemos a equação da elipse: .

Vamos introduzir mais uma quantidade que caracteriza a forma da elipse.

A excentricidade de uma elipse é a razão entre a distância focal 2c e a distância 2a do seu eixo maior.

A excentricidade é geralmente denotada por e: e = Desde c< a, то. Заметив, что c 2 = a 2 - b 2 , находим: , отсюда.

A partir da última igualdade é fácil obter uma interpretação geométrica da excentricidade da elipse. Para números muito pequenos, a e b são quase iguais, ou seja, a elipse está próxima de um círculo. Se estiver próximo da unidade, então o número b é muito pequeno comparado ao número a, e a elipse é fortemente alongada ao longo do eixo maior. Assim, a excentricidade da elipse caracteriza a medida do alongamento da elipse.

3. Hipérbole

3.1 A principal propriedade da hipérbole

Explorando a hipérbole com a ajuda de construções semelhantes às construções realizadas para o estudo da elipse, verificamos que a hipérbole tem propriedades semelhantes às da elipse.

Vamos cortar um cone circular reto por um plano b que cruza ambos os seus planos, ou seja. paralelo a dois de seus geradores. A seção transversal é uma hipérbole. Tracemos pelo eixo ST do cone o plano ASB, perpendicular ao plano b.

Vamos inscrever duas bolas no cone - uma em uma de suas cavidades, a outra na outra, de modo que cada uma delas toque a superfície cônica e o plano secante. Deixe a primeira bola tocar o plano b no ponto F 1 e tocar a superfície cônica ao longo do círculo UґVґ. Deixe a segunda bola tocar o plano b no ponto F 2 e tocar a superfície cônica ao longo do círculo UV.

Escolhemos um ponto arbitrário M na hipérbole, vamos desenhar a geratriz do cone MS através dele e marcar os pontos d e D nos quais ele toca a primeira e a segunda bola. Conectamos o ponto M com os pontos F 1 , F 2 , que chamaremos de focos da hipérbole. Então MF 1 =Md, pois ambos os segmentos são tangentes à primeira bola, traçada a partir do ponto M. Da mesma forma, MF 2 =MD. Subtraindo termo por termo da primeira igualdade da segunda, encontramos

MF 1 -MF 2 \u003d Md-MD \u003d dD,

onde dD é um valor constante (como geratriz de um cone com bases UґVґ e UV), independente da escolha do ponto M na hipérbole. Denote por P e Q os pontos em que a linha F 1 F 2 intercepta a hipérbole. Esses pontos P e Q são chamados de vértices da hipérbole. O segmento PQ é chamado de eixo real da hipérbole. No curso de geometria elementar é provado que dD=PQ. Portanto, MF 1 -MF 2 =PQ.

Se o ponto M estiver naquele ramo da hipérbole, próximo ao qual o foco F 1 está localizado, então MF 2 -MF 1 =PQ. Então, finalmente, obtemos МF 1 -MF 2 =PQ.

O módulo da diferença entre as distâncias de um ponto arbitrário M de uma hipérbole de seus focos F 1 e F 2 é um valor constante igual ao comprimento do eixo real da hipérbole.

3.2 Equação de uma hipérbole

Vamos tomar a propriedade principal de uma hipérbole como sua definição: Uma hipérbole é um lugar geométrico de pontos em um plano para o qual o módulo da diferença nas distâncias a dois pontos fixos F 1 e F 2 desse plano, chamados focos, é uma constante valor igual ao comprimento do seu eixo real.

Deixe o comprimento do segmento F 1 F 2 \u003d 2c, e o comprimento do eixo real é 2a. Para derivar a equação canônica da hipérbole, escolhemos a origem O do sistema de coordenadas cartesianas no meio do segmento F 1 F 2 , e direcionamos os eixos Ox e Oy conforme mostrado na Figura 5. Então no sistema de coordenadas escolhido o pontos F 1 (c, 0) e F 2 ( -s, 0). Obviamente 2a<2с, т.е. а<с. Пусть М (х, у) - точка плоскости, принадлежащая гиперболе. Пусть МF 1 =r 1 , МF 2 =r 2 . Согласно определению гиперболы равенство

r 1 -r 2 \u003d 2a (5) é uma condição necessária e suficiente para a localização do ponto M (x, y) nesta hipérbole. Usando a fórmula da distância entre dois pontos, obtemos

r 1 =, r 2 =. Voltemos à igualdade (5):

Vamos elevar ao quadrado os dois lados da equação

(x + s) 2 + y 2 \u003d 4a 2 ± 4a + (x-c) 2 + y 2

Reduzindo, temos:

2 хс=4а 2 ±4а-2 хс

±4a=4a 2 -4 xs

a 2 x 2 -2a 2 xc + a 2 c 2 + a 2 y 2 \u003d a 4 -2a 2 xc + x 2 c 2

x 2 (c 2 -a 2) - a 2 y 2 \u003d a 2 (c 2 -a 2) (6)

Observe que c 2 -a 2 >0. Denote c 2 -a 2 =b 2 . A equação (6) terá a seguinte aparência: b 2 x 2 -a 2 y 2 =a 2 b 2 . Realizamos uma transformação que traz a equação da hipérbole para a forma canônica, ou seja, dividimos ambas as partes da equação por a 2 b 2: (7) - a equação canônica da hipérbole, as quantidades aeb são, respectivamente, os semieixos real e imaginário da hipérbole.

Devemos certificar-nos de que a equação (7), obtida por transformações algébricas da equação (5*), não adquiriu novas raízes. Para isso, basta provar que para cada ponto M, cujas coordenadas x e y satisfazem a equação (7), os valores r 1 e r 2 satisfazem a relação (5). Conduzindo argumentos semelhantes aos que foram feitos ao derivar a fórmula da elipse, encontramos as seguintes expressões para r 1 e r 2:

Assim, para o ponto considerado M temos r 1 -r 2 =2a, e portanto está localizado na hipérbole.

3.3 Estudo da equação da hipérbole

Agora vamos tentar, com base na consideração da equação (7), ter uma ideia da localização da hipérbole.
1. Em primeiro lugar, a equação (7) mostra que a hipérbole é simétrica em relação a ambos os eixos. Isso é explicado pelo fato de que apenas graus pares de coordenadas são incluídos na equação da curva. 2. Marcamos agora a região do plano onde a curva ficará. A equação de uma hipérbole, resolvida em relação a y, tem a forma:

Mostra que y sempre existe quando x 2? um 2. Isso significa que para x? a e para x? - e a ordenada y será real, e para - a

Além disso, com o aumento de x (e maior a), a ordenada y também crescerá o tempo todo (em particular, pode-se ver a partir disso que a curva não pode ser ondulada, ou seja, com o crescimento da abcissa de x, a ordenada y aumenta ou diminui).

3. O centro de uma hipérbole é um ponto em relação ao qual cada ponto da hipérbole tem um ponto simétrico a si mesmo. O ponto O(0,0), a origem, como para a elipse, é o centro da hipérbole dada pela equação canônica. Isso significa que cada ponto da hipérbole tem um ponto simétrico na hipérbole em relação ao ponto O. Isso decorre da simetria da hipérbole em relação aos eixos Ox e Oy. Qualquer corda de uma hipérbole que passa pelo seu centro é chamada de diâmetro da hipérbole.

4. Os pontos de interseção da hipérbole com a linha sobre a qual se encontram seus focos são chamados de vértices da hipérbole, e o segmento entre eles é chamado de eixo real da hipérbole. Neste caso, o eixo real é o eixo x. Observe que o eixo real da hipérbole é frequentemente chamado de segmento 2a e da própria linha reta (o eixo Ox) sobre a qual se encontra.

Encontre os pontos de interseção da hipérbole com o eixo Oy. A equação do eixo y é x=0. Substituindo x = 0 na equação (7), obtemos que a hipérbole não tem pontos de interseção com o eixo Oy. Isso é compreensível, pois não há pontos de hipérbole em uma faixa de largura 2a, cobrindo o eixo Oy.

A linha perpendicular ao eixo real da hipérbole e passando pelo seu centro é chamada de eixo imaginário da hipérbole. Neste caso, coincide com o eixo y. Assim, nos denominadores dos termos com x 2 e y 2 na equação da hipérbole (7) estão os quadrados dos semieixos real e imaginário da hipérbole.

5. A hipérbole cruza a linha y = kx para k< в двух точках. Если k то общих точек у прямой и гиперболы нет.

Prova

Para determinar as coordenadas dos pontos de interseção da hipérbole e da reta y = kx, é necessário resolver o sistema de equações

Eliminando y, obtemos

ou Para b 2 -k 2 a 2 0, isto é, para k, a equação resultante, e portanto o sistema de soluções, não tem.

As linhas retas com as equações y= e y= - são chamadas assíntotas da hipérbole.

Para b 2 -k 2 a 2 >0, ou seja, para k< система имеет два решения:

Portanto, cada linha reta que passa pela origem, com inclinação k< пересекает гиперболу в двух точках. При k = 0 получаем точки пересечения (a; 0) и (- a; 0) - вершины гиперболы.

6. Propriedade óptica da hipérbole: os raios ópticos que emanam de um foco da hipérbole, refletidos por ela, parecem emanar do segundo foco.

A excentricidade da hipérbole é a razão entre a distância focal 2c e a distância 2a do seu eixo real?
Essa. do lado de sua concavidade.

3.4 Hipérbole conjugada

Juntamente com a hipérbole (7), é considerada a chamada hipérbole conjugada em relação a ela. A hipérbole conjugada é definida pela equação canônica.

Na fig. 10 mostra a hipérbole (7) e sua hipérbole conjugada. A hipérbole conjugada tem as mesmas assíntotas que a dada, mas F 1 (0, c),

4. Parábola

4.1 Propriedade básica de uma parábola

Vamos estabelecer as propriedades básicas de uma parábola. Cortemos um cone circular reto com vértice S por um plano paralelo a um de seus geradores. Na seção obtemos uma parábola. Tracemos pelo eixo ST do cone o plano ASB, perpendicular ao plano (Fig. 11). A geratriz SA que se encontra nela será paralela ao plano. Inscrevemos no cone uma superfície esférica tangente ao cone ao longo do círculo UV e tangente ao plano no ponto F. Trace uma linha passando pelo ponto F paralela ao gerador SA. Vamos denotar o ponto de sua interseção com a geratriz SB por P. O ponto F é chamado de foco da parábola, o ponto P é seu vértice, e a reta PF que passa pelo vértice e pelo foco (e paralela à geratriz SA) é chamado de eixo da parábola. A parábola não terá um segundo vértice - o ponto de intersecção do eixo PF com a geratriz SA: este ponto "vai ao infinito". Vamos chamar a diretriz (na tradução significa "guia") a linha q 1 q 2 da interseção do plano com o plano no qual o círculo UV se encontra. Pegue um ponto arbitrário M na parábola e conecte-o ao vértice do cone S. A linha MS toca a bola no ponto D que está no círculo UV. Conectamos o ponto M com o foco F e soltamos a perpendicular MK do ponto M até a diretriz. Então verifica-se que as distâncias de um ponto arbitrário M da parábola ao foco (MF) e à diretriz (MK) são iguais entre si (a propriedade principal da parábola), ou seja, MF=MK.

Prova: МF=MD (como tangentes a uma bola de um ponto). Vamos denotar o ângulo entre qualquer uma das geratrizes do cone e o eixo ST como q. Vamos projetar os segmentos MD e MK no eixo ST. O segmento MD forma uma projeção no eixo ST, igual a MDcosc, pois MD está na geratriz do cone; o segmento MK forma uma projeção no eixo ST, igual a MKsoc, pois o segmento MK é paralelo à geratriz SA. (De fato, a diretriz q 1 q 1 é perpendicular ao plano ASB. Portanto, a linha PF intercepta a diretriz no ponto L em um ângulo reto. Mas as linhas MK e PF estão no mesmo plano, e MK também é perpendicular para a diretriz). As projeções de ambos os segmentos MK e MD no eixo ST são iguais entre si, pois uma de suas extremidades - o ponto M - é comum e as outras duas D e K estão em um plano perpendicular ao eixo ST (Fig. ). Então МDcosц= MKsоsц ou МD= MK. Portanto, MF=MK.

Propriedade 1.(Propriedade focal de uma parábola).

A distância de qualquer ponto da parábola ao meio da corda principal é igual à sua distância à diretriz.

Prova.

Ponto F - o ponto de intersecção da linha QR e a corda principal. Este ponto está no eixo de simetria Oy. De fato, os triângulos RNQ e ROF são congruentes, assim como os triângulos retângulos

triângulos com catetos iniciais (NQ=OF, OR=RN). Portanto, não importa o ponto N que tomemos, a linha QR construída ao longo dela interceptará a corda principal em seu F médio. Agora está claro que o triângulo FMQ é isósceles. De fato, o segmento MR é a mediana e a altura desse triângulo. Isso implica que MF=MQ.

Propriedade 2.(Propriedade óptica de uma parábola).

Qualquer tangente à parábola faz ângulos iguais com o raio focal desenhado para o ponto tangente e o raio vindo do ponto tangente e co-direcionado com o eixo (ou, raios saindo de um único foco, refletidos da parábola, irão paralela ao eixo).

Prova. Para um ponto N situado na própria parábola, a igualdade |FN|=|NH| é verdadeira, e para um ponto N" situado na região interna da parábola, |FN"|<|N"H"|. Если теперь провести биссектрису l угла FМК, то для любой отличной от М точки M" прямой l найдём:

|FM"|=|M"K"|>|M"K"|, ou seja, o ponto M" está na região externa da parábola. Assim, toda a reta l, exceto o ponto M, fica na região externa, ou seja, a região interna da parábola fica em um lado de l, o que significa que l é tangente à parábola. Isso prova a propriedade óptica da parábola: o ângulo 1 é igual ao ângulo 2, pois l é a bissetriz do ângulo FMK.

4.2 Equação de uma parábola

Com base na propriedade principal de uma parábola, formulamos sua definição: uma parábola é um conjunto de todos os pontos em um plano, cada um dos quais está igualmente distante de um determinado ponto, chamado de foco, e de uma determinada linha reta, chamada de diretriz. . A distância do foco F à diretriz é chamada de parâmetro da parábola e é denotada por p (p > 0).

Para derivar a equação da parábola, escolhemos o sistema de coordenadas Oxy para que o eixo Oxy passe pelo foco F perpendicular à diretriz na direção da diretriz para F, e a origem O esteja localizada no meio entre o foco e a diretriz (Fig. 12). No sistema selecionado, o foco é F(, 0), e a equação da diretriz tem a forma x=-, ou x+= 0. Seja m (x, y) um ponto arbitrário da parábola. Conecte o ponto M com F. Desenhe o segmento MH perpendicular à diretriz. De acordo com a definição de parábola, MF = MH. Usando a fórmula da distância entre dois pontos, encontramos:

Portanto, elevando ambos os lados da equação ao quadrado, obtemos

Essa. (8) A equação (8) é chamada de equação canônica de uma parábola.

4.3 Estudo das formas de uma parábola de acordo com sua equação

1. Na equação (8), a variável y está incluída em um grau par, o que significa que a parábola é simétrica em relação ao eixo Ox; o eixo x é o eixo de simetria da parábola.

2. Como c > 0, segue de (8) que x > 0. Portanto, a parábola está localizada à direita do eixo y.

3. Seja x \u003d 0, então y \u003d 0. Portanto, a parábola passa pela origem.

4. Com um aumento ilimitado em x, o módulo y também aumenta indefinidamente. A parábola y 2 \u003d 2 px tem a forma (forma) mostrada na Figura 13. O ponto O (0; 0) é chamado de vértice da parábola, o segmento FM \u003d r é chamado de raio focal do ponto M . As equações y 2 \u003d -2 px, x 2 \u003d - 2 py, x 2 =2 py (p>0) também definem parábolas.

1.5. Propriedade do diretório de seções cônicas .

Aqui provamos que toda seção cônica não circular (não degenerada) pode ser definida como um conjunto de pontos M, cuja razão entre a distância MF de um ponto fixo F para a distância MP de uma reta fixa d que não passa por o ponto F é igual a um valor constante e: onde F - o foco da seção cônica, a linha reta d é a diretriz, e a razão e é a excentricidade. (Se o ponto F pertence à linha d, então a condição determina o conjunto de pontos, que é um par de linhas, ou seja, uma seção cônica degenerada; para e = 1, esse par de linhas se funde em uma linha. Para provar isso, considere o cone formado pela rotação da reta l em torno da que a intercepta no ponto O da reta p, constituindo com l o ângulo b< 90є; пусть плоскость р не проходит через вершину конуса и образует с его осью p угол в < 90є (если в = 90є, то плоскость р пересекает конус по окружности).

Inscrevemos uma bola K no cone tocando o plano p no ponto F e tocando o cone ao longo do círculo S. Denotamos a linha de interseção do plano p com o plano y do círculo S por d.

Vamos agora conectar um ponto arbitrário M, situado na linha A da interseção do plano pe o cone, com o vértice O do cone e com o ponto F, e soltar a perpendicular MP de M até a linha d; também denotar por E o ponto de intersecção do gerador MO do cone com o círculo S.

Além disso, MF = ME, como segmentos de duas tangentes da bola K, traçadas a partir de um ponto M.

Além disso, o segmento ME forma com o eixo p do cone um ângulo 6 constante (isto é, independente da escolha do ponto M) e o segmento MP forma um ângulo β constante; portanto, as projeções desses dois segmentos no eixo p são respectivamente iguais a ME cos b e MP cos c.

Mas essas projeções coincidem, pois os segmentos ME e MP têm uma origem comum M e suas extremidades estão no plano y perpendicular ao eixo p.

Portanto, ME cos b = MP cos c, ou seja, como ME = MF, MF cos b = MP cos c, de onde segue que

Também é fácil mostrar que se o ponto M do plano p não pertence ao cone, então. Assim, cada seção de um cone circular reto pode ser descrita como um conjunto de pontos no plano, para o qual. Por outro lado, alterando os valores dos ângulos b e c, podemos dar à excentricidade qualquer valor e > 0; Além disso, a partir de considerações de semelhança, não é difícil entender que a distância FQ do foco à diretriz é diretamente proporcional ao raio r da bola K (ou a distância d do plano p do vértice O de o cone). Pode-se mostrar que, assim, escolhendo a distância d apropriadamente, podemos dar à distância FQ qualquer valor. Portanto, cada conjunto de pontos M, para o qual a razão das distâncias de M a um ponto fixo F e a uma linha fixa d tem um valor constante, pode ser descrito como uma curva obtida na seção de um cone circular reto por um plano. Isso prova que seções cônicas (não degeneradas) também podem ser definidas pela propriedade discutida nesta subseção.

Essa propriedade das seções cônicas é chamada de propriedade do diretório. É claro que se c > b, então e< 1; если в = б, то е = 1; наконец, если в < б, то е >1. Por outro lado, é fácil ver que se s > 6, então o plano p intercepta o cone ao longo de uma linha delimitada fechada; se c = b, então o plano p intercepta o cone ao longo de uma linha ilimitada; se em< б, то плоскость р пересекает обе полы конуса и, следовательно, линия пересечения этой плоскости и конуса состоит из двух (неограниченных) частей или ветвей (рис. 17).

A seção cônica para a qual e< 1, называется эллипсом; коническое сечение с эксцентриситетом е = 1 называется параболой; коническое сечение, для которого е >1 é chamado de hipérbole. As elipses também incluem um círculo, que não pode ser especificado por uma propriedade de diretório; como para um círculo a razão gira para 0 (porque neste caso β \u003d 90º), considera-se condicionalmente que o círculo é uma seção cônica com excentricidade de 0.

6. Elipse, hipérbole e parábola como seções cônicas

seção cônica elipse hipérbole

O antigo matemático grego Menechmus, que descobriu a elipse, a hipérbole e a parábola, as definiu como seções de um cone circular por um plano perpendicular a um dos geradores. Ele chamou as curvas resultantes de seções de cones de ângulo agudo, retangular e de ângulo obtuso, dependendo do ângulo axial do cone. A primeira, como veremos a seguir, é uma elipse, a segunda é uma parábola, a terceira é um ramo de uma hipérbole. Os nomes "elipse", "hipérbole" e "parábola" foram introduzidos por Apolônio. Quase completamente (7 de 8 livros) o trabalho de Apolônio "Sobre seções cônicas" chegou até nós. Neste trabalho, Apolônio considera os dois andares do cone e cruza o cone com planos que não são necessariamente perpendiculares a um dos geradores.

Teorema. A seção de qualquer cone circular reto por um plano (não passando pelo seu vértice) define uma curva, que só pode ser uma hipérbole (Fig. 4), uma parábola (Fig. 5) ou uma elipse (Fig. 6). Além disso, se o plano intercepta apenas um plano do cone e ao longo de uma curva fechada, essa curva é uma elipse; se um plano intercepta apenas um plano ao longo de uma curva aberta, essa curva é uma parábola; se o plano de corte cruza os dois planos do cone, então uma hipérbole é formada na seção.

Uma prova elegante deste teorema foi proposta em 1822 por Dandelin usando esferas, que agora são chamadas de esferas de Dandelin. Vejamos esta prova.

Inscrevemos em um cone duas esferas que tocam o plano de seção П de lados diferentes. Denote por F1 e F2 os pontos de contato entre este plano e as esferas. Tomemos um ponto arbitrário M na linha de seção do cone pelo plano P. Na geratriz do cone que passa por M, marcamos os pontos P1 e P2 situados no círculo k1 e k2, ao longo do qual as esferas tocam o cone.

É claro que MF1=MP1 como os segmentos de duas tangentes à primeira esfera saindo de M; da mesma forma, MF2=MP2. Portanto, MF1+MF2=MP1+MP2=P1P2. O comprimento do segmento P1P2 é o mesmo para todos os pontos M de nossa seção: é a geratriz de um cone truncado limitado pelos planos paralelos 1 e 11, nos quais estão os círculos k1 e k2. Portanto, a linha de seção do cone pelo plano P é uma elipse com focos F1 e F2. A validade deste teorema também pode ser estabelecida com base na posição geral de que a interseção de uma superfície de segunda ordem por um plano é uma linha de segunda ordem.

Literatura

1. Atanasyan L.S., Bazylev V.T. Geometria. Em 2 horas Parte 1. Livro didático para alunos de física e matemática. ped. in-comrade-M.: Iluminismo, 1986.

2. Bazylev V.T. etc. Geometria. Proc. bolsa para alunos do 1º ano de física. - tapete. fatos ped. dentro. - camarada-M.: Educação, 1974.

3. Pogorelov A.V. Geometria. Proc. para 7-11 células. média escola - 4ª ed.-M.: Iluminismo, 1993.

4. História da matemática desde a antiguidade até ao início do século XIX. Yushkevich A. P. - M.: Nauka, 1970.

5. Boltyansky V.G. Propriedades ópticas da elipse, hipérbole e parábola. // Quantum. - 1975. - Nº 12. - com. 19-23.

6. Efremov N.V. Minicurso de Geometria Analítica. - M: Nauka, 6ª edição, 1967. - 267 p.

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Os principais tipos de seção do cone. Seção formada por um plano que passa pelo eixo do cone (axial) e pelo seu ápice (triângulo). A formação de uma seção por um plano paralelo (parábola), perpendicular (círculo) e não perpendicular (elipse) ao eixo.

Seja dado um cilindro circular reto, o plano horizontal de projeções é paralelo à sua base. Quando um cilindro é interceptado por um plano em posição geral (assumimos que o plano não intercepta as bases do cilindro), a linha de interseção é uma elipse, a própria seção tem a forma de uma elipse, sua projeção horizontal coincide com a projeção da base do cilindro, e a frente também tem a forma de uma elipse. Mas se o plano de corte faz um ângulo igual a 45 ° com o eixo do cilindro, então a seção, que tem a forma de uma elipse, é projetada por um círculo naquele plano de projeções para o qual a seção está inclinada ao mesmo ângulo.

Se o plano de corte cruza a superfície lateral do cilindro e uma de suas bases (Fig. 8.6), então a linha de interseção tem a forma de uma elipse incompleta (parte de uma elipse). A projeção horizontal da seção neste caso faz parte do círculo (projeção da base), e a frontal faz parte da elipse. O plano pode ser localizado perpendicularmente a qualquer plano de projeção, então a seção será projetada neste plano de projeção por uma linha reta (parte do traço do plano secante).

Se o cilindro é interceptado por um plano paralelo à geratriz, então as linhas de interseção com a superfície lateral são retas, e a própria seção tem a forma de um retângulo se o cilindro for reto, ou um paralelogramo se o cilindro for inclinado.

Como você sabe, tanto o cilindro quanto o cone são formados por superfícies pautadas.

A linha de interseção (linha de corte) da superfície regrada e o plano no caso geral é uma certa curva, que é construída a partir dos pontos de interseção dos geradores com o plano secante.

Que seja dado cone circular reto. Ao cruzá-lo com um plano, a linha de interseção pode assumir a forma de: um triângulo, uma elipse, um círculo, uma parábola, uma hipérbole (Fig. 8.7), dependendo da localização do plano.

Um triângulo é obtido quando o plano de corte, cruzando o cone, passa pelo seu vértice. Neste caso, as linhas de intersecção com a superfície lateral são linhas retas que se cruzam no topo do cone, que, juntamente com a linha de intersecção da base, formam um triângulo projetado nos planos de projeção com distorção. Se o plano intercepta o eixo do cone, obtém-se um triângulo na seção, em que o ângulo com o vértice que coincide com o vértice do cone será máximo para as seções triangulares do cone dado. Neste caso, a seção é projetada no plano de projeção horizontal (é paralela à sua base) por um segmento de reta.

A linha de interseção de um plano e um cone será uma elipse se o plano não for paralelo a nenhum dos geradores do cone. Isso equivale ao fato de o plano cruzar todos os geradores (toda a superfície lateral do cone). Se o plano de corte for paralelo à base do cone, a linha de interseção é um círculo, a própria seção é projetada no plano de projeção horizontal sem distorção e no plano frontal - como um segmento de linha reta.

A linha de interseção será uma parábola quando o plano secante for paralelo a apenas uma geratriz do cone. Se o plano de corte é paralelo a dois geradores ao mesmo tempo, então a linha de interseção é uma hipérbole.

Um cone truncado é obtido se um cone circular reto é interceptado por um plano paralelo à base e perpendicular ao eixo do cone, e a parte superior é descartada. No caso em que o plano de projeção horizontal é paralelo às bases do cone truncado, essas bases são projetadas no plano de projeção horizontal sem distorção por círculos concêntricos, e a projeção frontal é um trapézio. Quando um cone truncado é interceptado por um plano, dependendo de sua localização, a linha de corte pode assumir a forma de um trapézio, elipse, círculo, parábola, hipérbole ou parte de uma dessas curvas, cujas extremidades são conectadas por um linha reta.