(embora na maioria das vezes o mesmo).

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  A posição do centro de massa (centro de inércia) de um sistema de pontos materiais na mecânica clássica é determinada da seguinte forma:

  r → c = ∑ i m i r → i ∑ i m i , (\displaystyle (\vec (r))_(c)=(\frac (\sum \limits _(i)m_(i)(\vec (r))_ (i))(\sum \limits _(i)m_(i))),)

  Onde r → c (\displaystyle (\vec (r))_(c))- vetor raio do centro de massa, r → i (\displaystyle (\vec(r))_(i))- vetor de raio eu-º ponto do sistema, m i (\displaystyle m_(i))- peso eu-ésimo ponto.

  Para o caso de distribuição de massa contínua:

  r → c = 1 M ∫ V ρ (r →) r → d V , (\displaystyle (\vec (r))_(c)=(1 \over M)\int \limits _(V)\rho ( (\vec (r)))(\vec (r))dV,) M = ∫ V ρ (r →) d V , (\displaystyle M=\int \limits _(V)\rho ((\vec (r)))dV,)

  Onde M (\displaystyle M)é a massa total do sistema, V (\displaystyle V)- volume, ρ (\displaystyle \rho )- densidade. O centro de massa caracteriza assim a distribuição de massa sobre um corpo ou um sistema de partículas.

  Pode-se mostrar que se o sistema não consiste em pontos materiais, mas em corpos estendidos com massas M i (\estilo de exibição M_(i)), então o vetor raio do centro de massa de tal sistema R c (\displaystyle R_(c)) associados aos vetores de raio dos centros de massa dos corpos R c i (\displaystyle R_(ci)) Razão:

  R → c = ∑ i M i R → c i ∑ i M i . (\displaystyle (\vec (R))_(c)=(\frac (\sum \limits _(i)M_(i)(\vec (R))_(ci))(\sum \limits _( i)M_(i))).)

  Em outras palavras, no caso de corpos estendidos, vale uma fórmula, que em sua estrutura coincide com a utilizada para pontos materiais.

  Centros de massa de figuras planas homogêneas

  As coordenadas do centro de massa de uma figura plana homogênea podem ser calculadas pelas fórmulas (uma consequência dos teoremas de Pappa-Guldin):

  x s = V y 2 π S (\displaystyle x_(s)=(\frac (V_(y))(2\pi S))) e y s = V x 2 π S (\displaystyle y_(s)=(\frac (V_(x))(2\pi S))), Onde V x , V y (\displaystyle V_(x),V_(y))- o volume do corpo obtido girando a figura em torno do eixo correspondente, S (\displaystyle S)é a área da figura.

  Centros de Massa de Perímetros de Figuras Homogêneas

  Para evitar erros, deve-se entender que no SRT o centro de massa é caracterizado não pela distribuição de massa, mas pela distribuição de energia. No curso de física teórica de Landau e Lifshitz, o termo “centro de inércia” é preferido. Na literatura ocidental sobre partículas elementares, o termo "centro de massa" é usado: ambos os termos são equivalentes.

  A velocidade do centro de massa na mecânica relativística pode ser encontrada pela fórmula:

  v → c = c 2 ∑ i E i ⋅ ∑ i p → i . (\displaystyle (\vec (v))_(c)=(\frac (c^(2))(\sum \limits _(i)E_(i)))\cdot \sum \limits _(i) (\vec(p))_(i).) peso em massa P = mg depende do parâmetro do campo gravitacional g), e, de um modo geral, mesmo localizado fora da haste.

  Em um campo gravitacional uniforme, o centro de gravidade sempre coincide com o centro de massa. Em problemas não cósmicos, o campo gravitacional geralmente pode ser considerado constante dentro do volume do corpo, então, na prática, esses dois centros quase coincidem.

  Pela mesma razão, os conceitos Centro de gravidade e Centro de gravidade coincidem quando esses termos são usados ​​em geometria, estática e áreas afins, onde sua aplicação em comparação com a física pode ser chamada de metafórica e onde a situação de sua equivalência é implicitamente assumida (já que não há campo gravitacional real, então levando em consideração sua heterogeneidade não faz sentido). Nesses usos, os dois termos são tradicionalmente sinônimos, e muitas vezes o segundo é preferido simplesmente porque é mais antigo.

  Centro de gravidade(ou Centro de massa) de um determinado corpo é chamado de ponto que tem a propriedade de que, se um corpo for suspenso desse ponto, ele manterá sua posição.

  Abaixo consideramos problemas 2D e 3D relacionados à busca de vários centros de massa, principalmente do ponto de vista da geometria computacional.

  Nas soluções discutidas abaixo, existem dois facto. A primeira é que o centro de massa de um sistema de pontos materiais é igual à média de suas coordenadas, tomadas com coeficientes proporcionais às suas massas. O segundo fato é que, se conhecermos os centros de massa de duas figuras que não se cruzam, então o centro de massa de sua união estará no segmento que liga esses dois centros e o dividirá na mesma proporção que a massa de a segunda figura refere-se à massa da primeira.

  Caso bidimensional: polígonos

  De fato, ao falar sobre o centro de massa de uma figura bidimensional, um dos três seguintes pode ser entendido: tarefas:

  • O centro de massa do sistema de pontos - ou seja, toda a massa está concentrada apenas nos vértices do polígono.
  • O centro de massa do quadro - ou seja, a massa de um polígono está concentrada em seu perímetro.
  • O centro de massa de uma figura sólida - ou seja, a massa do polígono é distribuída por toda a sua área.

  Cada um desses problemas tem uma solução independente e será considerado a seguir separadamente.

  Centro de massa do sistema de pontos

  Este é o mais simples dos três problemas, e sua solução é a conhecida fórmula física para o centro de massa de um sistema de pontos materiais:

  onde são as massas dos pontos, são seus vetores de raio (especificando sua posição em relação à origem), e é o vetor de raio desejado do centro de massa.

  Em particular, se todos os pontos têm a mesma massa, então as coordenadas do centro de massa são média coordenadas do ponto. Por triângulo este ponto é chamado centroide e coincide com o ponto de intersecção das medianas:

  

  Por prova de Nestas fórmulas, basta lembrar que o equilíbrio é alcançado em um ponto em que a soma dos momentos de todas as forças é igual a zero. Nesse caso, isso se transforma em uma condição de que a soma dos vetores de raio de todos os pontos relativos ao ponto, multiplicada pelas massas dos pontos correspondentes, seja igual a zero:

  

  e, expressando daqui , obtemos a fórmula necessária.

  Centro de gravidade do quadro

  Mas então cada lado do polígono pode ser substituído por um ponto - o meio desse segmento (porque o centro de massa de um segmento homogêneo é o meio desse segmento), com uma massa igual ao comprimento desse segmento.

  Agora que recebemos o problema sobre o sistema de pontos materiais, e aplicando a solução do parágrafo anterior, encontramos:

  

  onde é o ponto médio do º lado do polígono, é o comprimento do º lado, é o perímetro, ou seja. a soma dos comprimentos dos lados.

  Por triângulo pode-se mostrar a seguinte afirmação: este ponto é ponto de interseção da bissetriz triângulo formado pelos pontos médios dos lados do triângulo original. (para mostrar isso, você precisa usar a fórmula acima e, em seguida, observar que as bissetrizes dividem os lados do triângulo resultante na mesma proporção que os centros de massa desses lados).

  Centro de massa de uma figura sólida

  Acreditamos que a massa esteja uniformemente distribuída sobre a figura, ou seja, a densidade em cada ponto da figura é igual ao mesmo número.

  Caixa triangular

  Argumenta-se que para um triângulo a resposta ainda é a mesma centroide, ou seja o ponto formado pela média aritmética das coordenadas dos vértices:

  

  Caso Triângulo: Prova

  Damos aqui uma prova elementar que não usa a teoria das integrais.

  A primeira prova, puramente geométrica, foi dada por Arquimedes, mas era muito complexa, com um grande número de construções geométricas. A prova dada aqui é retirada do artigo de Apostol, Mnatsakanian "Encontrando Centroids o Caminho Fácil".

  A prova se resume a mostrar que o centro de massa do triângulo está em uma das medianas; repetindo este processo mais duas vezes, mostramos assim que o centro de massa está no ponto de intersecção das medianas, que é o centroide.

  Vamos dividir este triângulo em quatro, ligando os pontos médios dos lados, como mostra a figura:

  

  Os quatro triângulos resultantes são semelhantes a um triângulo com coeficiente .

  Os triângulos nº 1 e nº 2 juntos formam um paralelogramo, cujo centro de massa está no ponto de intersecção de suas diagonais (uma vez que esta é uma figura simétrica em relação às duas diagonais, o que significa que seu centro de massa deve estar em cada uma das duas diagonais). O ponto está no meio do lado comum dos triângulos nº 1 e nº 2, e também está na mediana do triângulo:

  

  Agora, seja o vetor o vetor desenhado do vértice ao centro de massa do triângulo nº 1, e seja o vetor o vetor desenhado a partir do ponto (que, lembre-se, é o ponto médio do lado em que se encontra) :

  

  Nosso objetivo é mostrar que os vetores e são colineares.

  Denote por e os pontos que são os centros de massa dos triângulos nº 3 e nº 4. Então, obviamente, o centro de massa do agregado desses dois triângulos será o ponto , que é o ponto médio do segmento . Além disso, o vetor de ponto a ponto é o mesmo que o vetor .

  O centro de massa desejado do triângulo está no meio do segmento que liga os pontos e (já que dividimos o triângulo em duas partes de áreas iguais: No. 1-No. 2 e No. 3-No. 4):

  

  Assim, o vetor do vértice ao centroide é . Por outro lado, desde triângulo No. 1 é semelhante a um triângulo com coeficiente , então o mesmo vetor é igual a . Daqui tiramos a equação:

  

  de onde encontramos:

  Assim, provamos que os vetores e são colineares, o que significa que o centróide desejado está na mediana que emana do vértice .

  Além disso, ao longo do caminho, provamos que o centroide divide cada mediana em relação a , contando a partir do topo.

  Caixa de polígono

  Agora vamos passar para o caso geral - ou seja, para a ocasião polígono. Para ele, tal raciocínio não é mais aplicável, então reduzimos o problema a um triangular: ou seja, dividimos o polígono em triângulos (ou seja, triangulamos), encontramos o centro de massa de cada triângulo e, em seguida, encontramos o centro de massa dos centros de massa resultantes dos triângulos.

  A fórmula final é a seguinte:

  

  onde é o centróide do -th triângulo na triangulação do polígono dado, é a área do -th triângulo da triangulação, é a área de todo o polígono.

  A triangulação de um polígono convexo é uma tarefa trivial: para isso, por exemplo, podemos pegar triângulos , onde .

  Caso do polígono: caminho alternativo

  Por outro lado, a aplicação da fórmula acima não é muito conveniente para polígonos não convexos, uma vez que triangulá-los não é uma tarefa fácil em si. Mas para esses polígonos, você pode criar uma abordagem mais simples. Ou seja, vamos fazer uma analogia com a forma como você pode encontrar a área de um polígono arbitrário: um ponto arbitrário é selecionado e, em seguida, as áreas de sinal dos triângulos formados por esse ponto e os pontos do polígono são somados: . Uma técnica semelhante pode ser usada para encontrar o centro de massa: só agora vamos somar os centros de massa dos triângulos tomados com coeficientes proporcionais às suas áreas, ou seja, a fórmula final para o centro de massa é:

  

  onde é um ponto arbitrário, são os pontos do polígono, é o baricentro do triângulo, é a área do sinal deste triângulo, é a área do sinal de todo o polígono (ou seja, ).

  Caso 3D: Poliedro

  Da mesma forma que no caso bidimensional, em 3D podemos falar sobre quatro possíveis enunciados de problemas de uma só vez:

  • O centro de massa do sistema de pontos - os vértices do poliedro.
  • O centro de massa do quadro são as bordas do poliedro.
  • Centro de massa da superfície - ou seja, a massa é distribuída sobre a área de superfície do poliedro.
  • O centro de massa de um poliedro sólido - ou seja, a massa é distribuída por todo o poliedro.

  Centro de massa do sistema de pontos

  Como no caso 2D, podemos aplicar a fórmula física e obter o mesmo resultado:

  que, no caso de massas iguais, se transforma na média aritmética das coordenadas de todos os pontos.

  Centro de massa da estrutura de poliedro

  Da mesma forma que no caso bidimensional, simplesmente substituímos cada aresta do poliedro por um ponto material localizado no meio dessa aresta, e com uma massa igual ao comprimento dessa aresta. Tendo recebido o problema dos pontos materiais, podemos facilmente encontrar sua solução como uma soma ponderada das coordenadas desses pontos.

  O centro de massa da superfície do poliedro

  Cada face da superfície de um poliedro é uma figura bidimensional, cujo centro de massa podemos encontrar. Encontrando esses centros de massa e substituindo cada face pelo seu centro de massa, obtemos um problema com pontos materiais, que já é fácil de resolver.

  Centro de massa de um poliedro sólido

  Caso tetraedro

  Como no caso bidimensional, primeiro resolvemos o problema mais simples - o problema do tetraedro.

  Afirma-se que o centro de massa de um tetraedro coincide com o ponto de intersecção de suas medianas (a mediana de um tetraedro é um segmento traçado de seu vértice ao centro de massa da face oposta; assim, a mediana do tetraedro passa pelo vértice e pelo ponto de intersecção das medianas da face triangular).

  Por que é tão? Raciocínios semelhantes ao caso bidimensional estão corretos aqui: se cortarmos um tetraedro em dois tetraedros usando um plano que passa pelo vértice do tetraedro e alguma mediana da face oposta, então ambos os tetraedros resultantes terão o mesmo volume (porque o face triangular será dividida pela mediana em dois triângulos de área igual, e a altura dos dois tetraedros não muda). Repetindo esse raciocínio várias vezes, obtemos que o centro de massa está no ponto de interseção das medianas do tetraedro.

  Este ponto - o ponto de intersecção das medianas do tetraedro - é chamado de seu centroide. Pode-se mostrar que ele realmente tem coordenadas iguais à média aritmética das coordenadas dos vértices do tetraedro:

  

  (isso pode ser inferido do fato de que o centroide divide as medianas em relação a )

  Assim, não há diferença fundamental entre os casos de um tetraedro e um triângulo: um ponto igual à média aritmética dos vértices é o centro de massa em duas formulações do problema ao mesmo tempo: ambos quando as massas estão apenas nos vértices , e quando as massas estão distribuídas por toda a área/volume. Na verdade, este resultado generaliza para uma dimensão arbitrária: o centro de massa de um simples(simplex) é a média aritmética das coordenadas de seus vértices.

  O caso de um poliedro arbitrário

  Passemos agora ao caso geral, o caso de um poliedro arbitrário.

  Novamente, como no caso bidimensional, reduzimos este problema ao já resolvido: dividimos o poliedro em tetraedros (ou seja, tetraedronizamos), encontramos o centro de massa de cada um deles e obtemos a resposta final para o problema na forma de uma soma ponderada dos centros encontrados wt.

  Definição

  Ao considerar um sistema de partículas, muitas vezes é conveniente encontrar um ponto que caracterize a posição e o movimento do sistema considerado como um todo. Tal ponto é Centro de gravidade.

  Se tivermos duas partículas da mesma massa, esse ponto estará no meio entre elas.

  Coordenadas do centro de massa

  Vamos supor que dois pontos materiais com massas $m_1$ e $m_2$ estejam localizados no eixo x e tenham coordenadas $x_1$ e $x_2$. A distância ($\Delta x$) entre essas partículas é:

  \[\Delta x=x_2-x_1\left(1\right).\]

  Definição

  O ponto C (Fig. 1), que divide a distância entre essas partículas em segmentos inversamente proporcionais às massas das partículas, é chamado Centro de massa este sistema de partículas.

  De acordo com a definição da Fig. 1, temos:

  \[\frac(l_1)(l_2)=\frac(m_2)(m_1)\left(2\right).\]

  onde $x_c$ é a coordenada do centro de massa, então temos:

  Da fórmula (4) obtemos:

  A expressão (5) é facilmente generalizada para um conjunto de pontos materiais, localizados arbitrariamente. Neste caso, a abcissa do centro de massa é igual a:

  Da mesma forma, as expressões para a ordenada ($y_c$) do centro de massa e suas aplicações ($z_c$) são obtidas:

  \ \

  As fórmulas (6-8) coincidem com as expressões que determinam o centro de gravidade do corpo. No caso de as dimensões do corpo serem pequenas em comparação com a distância ao centro da Terra, considera-se que o centro de gravidade coincide com o centro de massa do corpo. Na maioria dos problemas, o centro de gravidade coincide com o centro de massa do corpo.

  Se a posição de N pontos materiais do sistema é dada na forma vetorial, então o raio - o vetor que determina a posição do centro de massa é encontrado como:

  \[(\overline(r))_c=\frac(\sum\limits^N_(i=1)(m_i(\overline(r))_i))(\sum\limits^N_(i=1)( m_i))\esquerda(9\direita).\]

  Centro de movimento de massa

  A expressão para a velocidade do centro de massa ($(\overline(v))_c=\frac(d(\overline(r))_c)(dt)$) é:

  \[(\overline(v))_c=\frac(m_1(\overline(v))_1+m_2(\overline(v))_2+\dots +m_n(\overline(v))_n)(m_1+m_2+ \dots +m_n)=\frac(\overline(P))(M)\left(10\right),\]

  onde $\overline(P)$ é o momento total do sistema de partículas; $M$ é a massa do sistema. A expressão (10) é válida para movimentos com velocidades significativamente menores que a velocidade da luz.

  Se o sistema de partículas é fechado, a soma dos momentos de suas partes não muda. Portanto, a velocidade do centro de massa é um valor constante. Dizem que o centro de massa de um sistema fechado se move por inércia, ou seja, em linha reta e uniformemente, e esse movimento é independente do movimento das partes constituintes do sistema. Em um sistema fechado, forças internas podem atuar; como resultado de sua ação, partes do sistema podem ter acelerações. Mas isso não afeta o movimento do centro de massa. Sob a ação de forças internas, a velocidade do centro de massa não muda.

  Exemplos de problemas com solução

  Exemplo 1

  Exercício. Anote as coordenadas do centro de massa do sistema de três bolas localizadas nos vértices e no centro de um triângulo equilátero, cujo lado é igual a $b\(m)$ (Fig. 2).

  

  Decisão. Para resolver o problema, usamos expressões que determinam as coordenadas do centro de massa:

  \ \

  Da Fig. 2 vemos que as abcissas dos pontos:

  \[\left\( \begin(array)(c) m_1=2m,\ \ x_1=0;;\ \ \\ (\rm \ )m_2=3m,\ \ \ \ x_2=\frac(b)( 2);; \\ m_3=m,\ \ x_3=\frac(b)(2);; \\ m_4=4m,\ \ x_4=b.\end(array) \right.\left(2.3\right ).\]

  Então a abcissa do centro de massa é igual a:

  Vamos encontrar as ordenadas dos pontos.

  \[ \begin(array)(c) m_1=2m,\ \ y_1=0;;\ \ \\ (\rm \ )m_2=3m,\ \ \ \ y_2=\frac(b\sqrt(3)) (2);; \\ m_3=m,\ \ y_3=\frac(b\sqrt(3))(6);; \\ m_4=4m,\ \ y_4=0. \end(array)\left(2.4\right).\]

  Para encontrar a ordenada $y_2$, vamos calcular a altura em um triângulo equilátero:

  Encontramos a ordenada $y_3$, lembrando que as medianas em um triângulo equilátero são divididas pelo ponto de interseção na razão de 2:1 a partir do topo, temos:

  Calcule a ordenada do centro de massa:

  Responda.$x_c=0.6b\ (\rm \ )(\rm m)$; $y_c=\frac(b\sqrt(3)\ )(6)$ m

  Exemplo 2

  Exercício. Escreva a lei do movimento do centro de massa.

  Decisão. A lei da mudança no momento de um sistema de partículas é a lei do movimento do centro de massa. Da fórmula:

  \[(\overline(v))_c=\frac(\overline(P))(M)\to \overline(P)=M(\overline(v))_c\left(2.1\right)\]

  para uma massa constante $M$, diferenciando ambas as partes da expressão (2.1), obtemos:

  \[\frac(d\overline(P))(dt)=M\frac(d(\overline(v))_c)(dt)\left(2.2\right).\]

  A expressão (2.2) significa que a taxa de variação da quantidade de movimento do sistema é igual ao produto da massa do sistema pela aceleração de seu centro de massa. Como

  \[\frac(d\overline(P))(dt)=\sum\limits^N_(i=1)((\overline(F))_i\left(2.3\right),)\]

  De acordo com a expressão (2.4), descobrimos que o centro de massa do sistema se move da mesma maneira que um ponto material de massa M se moveria se sofresse a ação de uma força igual à soma de todas as forças externas que atuam sobre ele. as partículas que estão incluídas no sistema em consideração. Se $\sum\limits^N_(i=1)((\overline(F))_i=0,)$ então o centro de massa se move de forma uniforme e retilínea.

  O conceito de integral é amplamente aplicável na vida. Integrais são usados ​​em vários campos da ciência e tecnologia. As principais tarefas calculadas usando integrais são tarefas para:

  1. Encontrando o volume do corpo

  2. Encontrar o centro de massa do corpo.

  Vamos considerar cada um deles com mais detalhes. Aqui e abaixo, para denotar uma integral definida de alguma função f(x), com limites de integração de a a b, usaremos a seguinte notação ∫ a b f(x).

  Encontrando o volume de um corpo

  Considere a figura a seguir. Suponha que haja algum corpo cujo volume seja igual a V. Há também uma linha reta tal que, se tomarmos um certo plano perpendicular a essa linha reta, a área da seção transversal S desse corpo por esse plano será conhecida.

  Cada um desses planos será perpendicular ao eixo x e, portanto, o interceptará em algum ponto x. Ou seja, a cada ponto x do segmento será atribuído o número S (x) - a área da seção transversal do corpo, o plano que passa por esse ponto.

  Acontece que alguma função S(x) será dada no segmento. Se esta função for contínua neste segmento, então a seguinte fórmula será válida:

  V = ∫ a b S(x)dx.

  A comprovação dessa afirmação está além do escopo do currículo escolar.

  Calculando o centro de massa de um corpo

  O centro de massa é mais frequentemente usado em física. Por exemplo, há algum corpo que se move com qualquer velocidade. Mas é inconveniente considerar um corpo grande e, portanto, na física, esse corpo é considerado o movimento de um ponto, supondo que esse ponto tenha a mesma massa que todo o corpo.

  E a tarefa de calcular o centro de massa do corpo é a principal neste assunto. Como o corpo é grande, qual ponto deve ser considerado o centro de massa? Talvez aquele no meio do corpo? Ou talvez o ponto mais próximo da borda de ataque? É aí que entra a integração.

  As duas regras a seguir são usadas para encontrar o centro de massa:

  1. Coordenada x' do centro de massa de algum sistema de pontos materiais A1, A2, A3, … An com massas m1, m2, m3, … mn, respectivamente, localizados em uma linha reta nos pontos com coordenadas x1, x2, x3, … xn é encontrado pela seguinte fórmula:

  x' = (m1*x1 + ma*x2 + … + mn*xn)/(m1 + m2 + m3 +… + mn)

  2. Ao calcular as coordenadas do centro de massa, qualquer parte da figura em consideração pode ser substituída por um ponto material, enquanto a coloca no centro de massa desta parte separada da figura, e a massa pode ser tomada igual à massa desta parte da figura.

  Por exemplo, se uma massa de densidade p(x) é distribuída ao longo da haste - um segmento do eixo Ox, onde p(x) é uma função contínua, então a coordenada do centro de massa x' será igual a.

  Qualquer corpo pode ser considerado como um conjunto de pontos materiais, que, por exemplo, podem ser tomados como moléculas. Seja o corpo constituído por n pontos materiais com massas m1, m2, ...mn.

  centro de massa do corpo, consistindo de n pontos materiais, é chamado de ponto (no sentido geométrico), cujo vetor de raio é determinado pela fórmula:

  Aqui R1 é o vetor raio do ponto com o número i (i = 1, 2, ... n).

  Essa definição parece incomum, mas na verdade ela dá a posição do próprio centro de massa, sobre o qual temos uma ideia intuitiva. Por exemplo, o centro de massa da haste estará no meio. A soma das massas de todos os pontos incluídos no denominador da fórmula acima é chamada de massa do corpo. peso corporal chamado a soma das massas de todos os seus pontos: m = m1 + m2 + ... + mn.

  

  Em corpos homogêneos simétricos, o CM está sempre localizado no centro de simetria ou no eixo de simetria se a figura não tiver um centro de simetria. O centro de massa pode estar localizado tanto dentro do corpo (disco, quadrado, triângulo) quanto fora dele (anel, moldura, quadrado).

  Para uma pessoa, a posição do CM depende da postura adotada. Em muitos esportes, um componente importante do sucesso é a capacidade de manter o equilíbrio. Então, na ginástica, acrobacias

  um grande número de elementos incluirá diferentes tipos de equilíbrio. A capacidade de manter o equilíbrio é importante na patinação artística, na patinação, onde o suporte tem uma área muito pequena.

  As condições de equilíbrio para um corpo em repouso são a igualdade simultânea a zero da soma das forças e da soma dos momentos das forças que atuam sobre o corpo.

  Vamos descobrir qual a posição que o eixo de rotação deve ocupar para que o corpo nele fixado permaneça em equilíbrio sob a ação da gravidade. Para fazer isso, vamos quebrar o corpo em muitos pedaços pequenos e desenhar as forças da gravidade agindo sobre eles.

  

  De acordo com a regra dos momentos, para o equilíbrio é necessário que a soma dos momentos de todas essas forças em torno do eixo seja igual a zero.

  Pode-se mostrar que para cada corpo existe um único ponto onde a soma dos momentos de gravidade em relação a qualquer eixo que passa por este ponto é igual a zero. Este ponto é chamado de centro de gravidade (geralmente coincide com o centro de massa).

  Centro de gravidade do corpo (CG) chamado o ponto em torno do qual a soma dos momentos de gravidade agindo sobre todas as partículas do corpo é igual a zero.

  Assim, as forças da gravidade não fazem o corpo girar em torno do centro de gravidade. Portanto, todas as forças da gravidade poderiam ser substituídas por uma única força que é aplicada a este ponto e é igual à força da gravidade.

  Para estudar os movimentos do corpo de um atleta, o termo centro de gravidade comum (CGG) é frequentemente introduzido. Principais propriedades do centro de gravidade:

  Se o corpo estiver fixo em um eixo que passa pelo centro de gravidade, a gravidade não fará com que ele gire;

  O centro de gravidade é o ponto de aplicação da gravidade;

  Em um campo uniforme, o centro de gravidade coincide com o centro de massa.

  Equilíbrio é a posição do corpo em que ele pode permanecer em repouso por um tempo arbitrariamente longo. Quando o corpo se desvia da posição de equilíbrio, as forças que atuam sobre ele mudam e o equilíbrio de forças é perturbado.

  Existem vários tipos de equilíbrio (Fig. 9). É costume distinguir três tipos de equilíbrio: estável, instável e indiferente.

  O equilíbrio estável (Fig. 9, a) é caracterizado pelo fato de que o corpo retorna à sua posição original quando é defletido. Nesse caso, surgem forças, ou momentos de forças, tendendo a devolver o corpo à sua posição original. Um exemplo é a posição do corpo com apoio superior (por exemplo, pendurado na travessa), quando, com eventuais desvios, o corpo tende a retornar à sua posição original.

  O equilíbrio indiferente (Fig. 9, b) é caracterizado pelo fato de que quando a posição do corpo muda, não há forças ou momentos de forças que tendam a retornar o corpo à sua posição original ou a remover ainda mais o corpo dela. Esta é uma ocorrência rara em humanos. Um exemplo é o estado de ausência de peso em uma nave espacial.

  O equilíbrio instável (Fig. 9, c) é observado quando, com pequenos desvios do corpo, surgem forças ou momentos de forças que tendem a desviar ainda mais o corpo de sua posição inicial. Tal caso pode ser observado quando uma pessoa, de pé sobre um suporte de uma área muito pequena (muito menor que a área de suas duas pernas ou mesmo uma perna), se desvia para o lado.

  Figura 9 Equilíbrio corporal: estável (a), indiferente (b), instável (c)

  

  Junto com os tipos listados de equilíbrio de corpos em biomecânica, um mais tipo de equilíbrio considera-se - estável limitado. Este tipo de equilíbrio se distingue pelo fato de que o corpo pode retornar à sua posição inicial se se desviar dela até certo limite, por exemplo, determinado pelo limite da área de apoio. Se o desvio exceder este limite, o equilíbrio torna-se instável.

  A principal tarefa em garantir o equilíbrio do corpo humano é garantir que a projeção do GCM do corpo esteja dentro da área de suporte. Dependendo do tipo de atividade (manter uma posição estática, caminhar, correr, etc.) e dos requisitos de estabilidade, a frequência e a velocidade das ações corretivas mudam, mas os processos de manutenção do equilíbrio são os mesmos.

  A distribuição de massa no corpo humano

  A massa do corpo e as massas dos segmentos individuais são muito importantes para vários aspectos da biomecânica. Em muitos esportes, é necessário conhecer a distribuição de massa para desenvolver a técnica correta de execução dos exercícios. Para analisar os movimentos do corpo humano, é utilizado o método de segmentação: convencionalmente é dividido em determinados segmentos. Para cada segmento, sua massa e a posição do centro de massa são determinadas. Na tabela. 1 define as massas das partes do corpo em unidades relativas.

  Tabela 1. Massas de partes do corpo em unidades relativas

  Muitas vezes, em vez do conceito de centro de massa, outro conceito é usado - o centro de gravidade. Em um campo de gravidade uniforme, o centro de gravidade sempre coincide com o centro de massa. A posição do centro de gravidade do elo é indicada como sua distância do eixo da articulação proximal e é expressa em relação ao comprimento do elo tomado como unidade.

  Na tabela. 2 mostra a posição anatômica dos centros de gravidade de várias partes do corpo.

  Mesa 2. Centros de gravidade de partes do corpo

  Parte do corpo	Posição do centro de gravidade
  Quadril	0,44 comprimento do link
  canela	0,42 comprimento do link
  Ombro	0,47 comprimento do link
  Antebraço	0,42 comprimento do link
  tronco
  Cabeça
  Escovar
  Pé
  Ombro	0,47 comprimento do link
  Antebraço	0,42 comprimento do link
  tronco	0,44 distância do eixo transversal das articulações do ombro ao eixo do quadril
  Cabeça	Localizado na região da sela turca do osso esfenóide (projeção da frente entre as sobrancelhas, do lado - 3,0 - 3,5 acima do canal auditivo externo)
  Escovar	Na região da cabeça do terceiro osso metacarpal
  Pé	Em uma linha reta conectando o tubérculo calcâneo do calcâneo com a extremidade do segundo dedo a uma distância de 0,44 do primeiro ponto
  O centro geral de massa de gravidade na posição vertical do corpo	Localizado na posição principal na região pélvica, em frente ao sacro