Argumento x, então é chamado periódico se houver um número T tal que para qualquer x F(x + T) = F(x). Este número T é chamado de período da função.

Pode haver vários períodos. Por exemplo, a função F = const assume o mesmo valor para qualquer valor do argumento e, portanto, qualquer número pode ser considerado seu período.

Normalmente você está interessado no menor período diferente de zero de uma função. Para resumir, é simplesmente chamado de período.

Um exemplo clássico de funções periódicas é trigonométrica: seno, cosseno e tangente. Seu período é igual e igual a 2π, ou seja, sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) e assim por diante. No entanto, é claro, as funções trigonométricas não são as únicas periódicas.

Para funções simples e básicas, a única maneira de determinar se são periódicas ou não periódicas é através do cálculo. Mas para funções complexas já existem várias regras simples.

Se F(x) estiver com período T, e uma derivada for definida para ele, então esta derivada f(x) = F′(x) também é uma função periódica com período T. Afinal, o valor da derivada no ponto x é igual à tangente do ângulo tangente do gráfico de sua antiderivada neste ponto ao eixo x, e como a antiderivada se repete periodicamente, a derivada também deve se repetir. Por exemplo, a derivada da função sin(x) é igual a cos(x) e é periódica. Tirar a derivada de cos(x) dá –sin(x). A frequência permanece inalterada.

No entanto, o oposto nem sempre é verdadeiro. Assim, a função f(x) = const é periódica, mas sua antiderivada F(x) = const*x + C não é.

Se F(x) é uma função periódica com período T, então G(x) = a*F(kx + b), onde a, b e k são constantes e k não é igual a zero - também é uma função periódica , e seu período é T/k. Por exemplo, sin(2x) é uma função periódica e seu período é π. Isso pode ser representado visualmente da seguinte forma: ao multiplicar x por algum número, você parece comprimir o gráfico da função horizontalmente exatamente esse número de vezes

Se F1(x) e F2(x) são funções periódicas e seus períodos são iguais a T1 e T2, respectivamente, então a soma dessas funções também pode ser periódica. Porém, seu período não será uma simples soma dos períodos T1 e T2. Se o resultado da divisão T1/T2 for um número racional, então a soma das funções é periódica e seu período é igual ao mínimo múltiplo comum (MMC) dos períodos T1 e T2. Por exemplo, se o período da primeira função for 12 e o período da segunda for 15, então o período de sua soma será igual a LCM (12, 15) = 60.

Isso pode ser representado visualmente da seguinte forma: as funções vêm com diferentes “larguras de passos”, mas se a proporção de suas larguras for racional, então, mais cedo ou mais tarde (ou melhor, precisamente através do MMC de passos), elas se tornarão iguais novamente, e sua soma iniciará um novo período.

No entanto, se a proporção dos períodos for irracional, então a função total não será periódica. Por exemplo, seja F1(x) = x mod 2 (o resto quando x é dividido por 2) e F2(x) = sin(x). T1 aqui será igual a 2 e T2 será igual a 2π. A proporção dos períodos é igual a π - um número irracional. Portanto, a função sin(x) + x mod 2 não é periódica.

satisfazendo o sistema de desigualdades:

b) Considere um conjunto de números na reta numérica que satisfazem o sistema de desigualdades:

Encontre a soma dos comprimentos dos segmentos que compõem este conjunto.

§ 7. As fórmulas mais simples

No § 3 estabelecemos a seguinte fórmula para ângulos agudos α:

			sen2 α + cos2 α = 1.
				Mesma fórmula			quando,
				quando α é qualquer			na verdade
				le, seja M um ponto na trigonometria
				círculo ical correspondente a
				número α (Fig. 7.1). Então		M tem co-
				ordenadas x = cos α, y
				No entanto, cada ponto (x; y) situado em
				círculo de raio unitário com centro
				trome na origem, satisfazendo
				satisfaz a equação x2 + y2		1, de onde
				cos2 α + sin2 α = 1, conforme necessário.

Portanto, a fórmula cos2 α + sin2 α = 1 segue da equação do círculo. Pode parecer que assim demos uma nova prova desta fórmula para ângulos agudos (em comparação com a indicada no § 3, onde utilizamos o teorema de Pitágoras). A diferença, porém, é puramente externa: ao derivar a equação de um círculo x2 + y2 = 1, o mesmo teorema de Pitágoras é usado.

Para ângulos agudos também obtivemos outras fórmulas, por exemplo

De acordo com o símbolo, o lado direito é sempre não negativo, enquanto o lado esquerdo pode ser negativo. Para que a fórmula seja verdadeira para todo α, ela deve ser elevada ao quadrado. A igualdade resultante é: cos2 α = 1/(1 + tan2 α). Vamos provar que esta fórmula é verdadeira para todo α:1

1/(1 + tan2			sen2 α			cos2α	Cos2α.
			cos2α			sen2 α + cos2 α

Problema 7.1. Derive todas as fórmulas abaixo das definições e da fórmula sin2 α + cos2 α = 1 (já provamos algumas delas):

sen2 α + cos2 α = 1;

tg2 α =

tg2α

sen2 α =

tg α · ctg α = 1;

cos2α

1 + tan2 α

ctg2α

Ctg2

cos2α =

1 + cotg2 α

pecado2

Estas fórmulas permitem, conhecendo o valor de uma das funções trigonométricas de um determinado número, encontrar quase todo o resto.

novo Deixe, por exemplo, sabermos que sen x = 1/2. Então cos2 x =

1−sen2 x = 3/4, então cos x é 3/2 ou − 3/2. Para descobrir a qual desses dois números cos x é igual, são necessárias informações adicionais.

Problema 7.2. Mostre com exemplos que ambos os casos acima são possíveis.

Problema 7.3. a) Seja tan x = −1. Encontre o pecado x. Quantas respostas esse problema tem?

b) Deixe, além das condições do ponto a) sabermos que sen x< 0. Сколько теперь ответов у задачи?

1 Para o qual tan α é definido, ou seja, cos α 6= 0.

Problema 7.4. Seja sen x = 3/5, x [π/2; 3π/2]. Encontre tg x.

Problema 7.5. Seja tan x = 3, cos x > sen x. Encontre cos x, sen x.

Problema 7.6. Seja tg x = 3/5. Encontre sen x + 2 cos x. cos x − 3 sen x

Problema 7.7. Prove as identidades:

tan α − sin α

c) sen α + cos α cot α + sin α tan α + cos α =

Problema 7.8. Simplifique as expressões:

a) (sen α + cos α)2 + (sen α − cos α)2 ; b) (tg α + ctg α)2 + (tg α − ctg α)2 ;

c) sen α(2 + berço α)(2 berço α + 1) − 5 cos α.

§ 8. Períodos de funções trigonométricas

Os números x, x+2π, x−2π correspondem ao mesmo ponto no círculo trigonométrico (se você percorrer um círculo extra ao longo do círculo trigonométrico, você voltará para onde estava). Isto implica as seguintes identidades, que já foram discutidas no § 5:

sin(x + 2π) = sin(x − 2π) = sin x; cos(x + 2π) = cos(x − 2π) = cos x.

Em conexão com essas identidades já usamos o termo “período”. Vamos agora dar definições precisas.

Definição. O número T 6= 0 é chamado de período da função f se para todo x as igualdades f(x − T) = f(x + T) = f(x) são verdadeiras (presume-se que x + T e x − T estão incluídos no domínio de definição da função, se incluir x). Uma função é chamada periódica se tiver um período (pelo menos um).

As funções periódicas surgem naturalmente ao descrever processos oscilatórios. Um desses processos já foi discutido no § 5. Aqui estão mais exemplos:

1) Seja ϕ = ϕ(t) o ângulo de desvio do pêndulo oscilante do relógio em relação à vertical no momento t. Então ϕ é uma função periódica de t.

2) A tensão (“diferença de potencial”, como diria um físico) entre dois soquetes de uma tomada CA,

quer seja considerada em função do tempo, é uma função periódica1.

3) Vamos ouvir o som musical. Então a pressão do ar num determinado ponto é uma função periódica do tempo.

Se uma função tiver um período T, então os períodos desta função também serão os números −T, 2T, −2T. . . - em uma palavra, todos os números nT, onde n é um número inteiro diferente de zero. Na verdade, verifiquemos, por exemplo, que f(x + 2T) = f(x):

f(x + 2T) = f((x + T) + T) = f(x + T) = f(x).

Definição. O menor período positivo de uma função f é - de acordo com o significado literal das palavras - um número positivo T tal que T é um período de f e nenhum número positivo menor que T é um período de f.

Não é necessário que uma função periódica tenha o menor período positivo (por exemplo, uma função que é constante tem um período de qualquer número e, portanto, não tem o menor período positivo). Também podemos dar exemplos de funções periódicas não constantes que não possuem o menor período positivo. No entanto, na maioria dos casos interessantes, existe o menor período positivo de funções periódicas.

1 Quando dizem “a tensão na rede é de 220 volts”, eles se referem ao seu “valor rms”, sobre o qual falaremos no § 21. A própria tensão muda o tempo todo.

Arroz. 8.1. Período de tangente e cotangente.

Em particular, o menor período positivo do seno e do cosseno é 2π. Vamos provar isso, por exemplo, para a função y = sin x. Seja, ao contrário do que afirmamos, seno tem um período T tal que 0< T < 2π. При x = π/2 имеем sin x = = 1. Будем теперь увеличивать x. В точке x + T значение синуса должно быть также равно 1. Но в следующий раз синус будет равен 1 только при x = (π/2) + 2π. Поэтому период синуса быть меньше 2π не может. Доказательство для косинуса аналогично.

O menor período positivo da função que descreve as oscilações (como nos nossos exemplos 1–3) é simplesmente chamado de período dessas oscilações.

Como 2π é o período do seno e do cosseno, será também o período da tangente e da cotangente. Porém, para essas funções, 2π não é o menor período: o menor período positivo da tangente e cotangente será π. Na verdade, os pontos correspondentes aos números x e x + π no círculo trigonométrico são diametralmente opostos: do ponto x ao ponto x + 2π deve-se percorrer uma distância π exatamente igual à metade do círculo. Agora, se usarmos a definição de tangente e cotangente usando os eixos de tangentes e cotangentes, as igualdades tg(x + π) = tan x e ctg(x + π) = ctg x se tornarão óbvias (Fig. 8.1). É fácil verificar (sugeriremos fazer isso nos problemas) que π é de fato o menor período positivo da tangente e da cotangente.

Uma observação sobre a terminologia. As palavras “período de uma função” são frequentemente usadas para significar “menor período positivo”. Portanto, se em uma prova lhe perguntarem: “100π é o período da função seno?”, não se apresse em responder, mas esclareça se você se refere ao menor período positivo ou apenas a um dos períodos.

As funções trigonométricas são um exemplo típico de funções periódicas: qualquer função periódica "não muito ruim" pode, em certo sentido, ser expressa em termos de funções trigonométricas.

Problema 8.1. Encontre os menores períodos positivos das funções:

				c) y = cosπx;

d) y = cos x + cos(1,01x).

Problema 8.2. A dependência da tensão em uma rede de corrente alternada com o tempo é dada pela fórmula U = U0 sin ωt (aqui t é o tempo, U é a tensão, U0 e ω são constantes). A frequência da corrente alternada é de 50 Hertz (isso significa que a tensão faz 50 oscilações por segundo).

a) Encontre ω, assumindo que t é medido em segundos;

b) Encontre o período (menor positivo) de U em função de t.

Problema 8.3. a) Prove que o menor período positivo do cosseno é 2π;

b) Prove que o menor período positivo da tangente é igual a π.

Problema 8.4. Seja o menor período positivo da função f T. Prove que todos os seus outros períodos são da forma nT para alguns inteiros n.

Problema 8.5. Prove que as seguintes funções não são periódicas.

>> Periodicidade das funções y = sin x, y = cos x

§ 11. Periodicidade das funções y = sin x, y = cos x

Nos parágrafos anteriores usamos sete propriedades funções: domínio de definição, par ou ímpar, monotonicidade, limitação, valores maiores e menores, continuidade, intervalo de valores de uma função. Usamos essas propriedades tanto para construir o gráfico de uma função (isso aconteceu, por exemplo, no § 9), quanto para ler o gráfico construído (isso aconteceu, por exemplo, no § 10). Chegou agora o momento oportuno para introduzir mais uma (oitava) propriedade das funções, que é claramente visível nas construções acima. gráficos funções y = sin x (ver Fig. 37), y = cos x (ver Fig. 41).

Definição. Uma função é chamada periódica se existe um número T diferente de zero tal que para qualquer x no conjunto a condição dupla é válida: igualdade:

O número T que satisfaz a condição especificada é chamado de período da função y = f(x).
Segue-se que, como para qualquer x as igualdades são válidas:

então as funções y = sin x, y = cos x são periódicas e o número é 2 P serve de período para ambas as funções.
A periodicidade de uma função é a oitava propriedade prometida das funções.

Agora observe o gráfico da função y = sin x (Fig. 37). Para construir uma onda senoidal, basta traçar uma de suas ondas (em um segmento e depois deslocar essa onda ao longo do eixo x. Como resultado, usando uma onda construiremos o gráfico inteiro.

Vejamos do mesmo ponto de vista o gráfico da função y = cos x (Fig. 41). Vemos que aqui, para traçar um gráfico, basta primeiro traçar uma onda (por exemplo, no segmento

E então mova-o ao longo do eixo x por
Resumindo, tiramos a seguinte conclusão.

Se a função y = f(x) tem um período T, então para construir um gráfico da função você deve primeiro construir um ramo (onda, parte) do gráfico em qualquer intervalo de comprimento T (na maioria das vezes pegue um intervalo com extremidades em pontos e, em seguida, desloque este ramo ao longo do eixo x para a direita e para a esquerda para T, 2T, ZT, etc.
Uma função periódica tem infinitos períodos: se T é um período, então 2T é um período, e ZT é um período, e -T é um período; Em geral, um período é qualquer número da forma KT, onde k = ±1, ±2, ± 3... Geralmente tentam, se possível, isolar o menor período positivo, é chamado de período principal.
Assim, qualquer número da forma 2pk, onde k = ±1, ± 2, ± 3, é o período das funções y = sinn x, y = cos x; 2n é o período principal de ambas as funções.

Exemplo. Encontre o período principal da função:

A) Seja T o período principal da função y = sin x. Vamos colocar

Para o número T ser um período de uma função, a identidade Mas, como estamos falando em encontrar o período principal, obtemos
b) Seja T o período principal da função y = cos 0,5x. Vamos colocar f(x)=cos 0,5x. Então f(x + T)=cos 0,5(x + T)=cos (0,5x + 0,5T).

Para que o número T seja um período da função, a identidade cos (0,5x + 0,5T) = cos 0,5x deve ser válida.

Isso significa 0,5t = 2pp. Mas, como estamos falando em encontrar o período principal, obtemos 0,5T = 2 l, T = 4 l.

A generalização dos resultados obtidos no exemplo é a seguinte afirmação: o período principal da função

A.G. Mordkovich Álgebra 10º ano

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Trigonométrico funções periódico, ou seja, se repetem após um determinado período. Como resultado, basta estudar a função neste intervalo e estender as propriedades descobertas a todos os outros períodos.

Instruções

1. Se você receber uma expressão primitiva na qual existe apenas uma função trigonométrica (sin, cos, tg, ctg, sec, cosec), e o ângulo dentro da função não é multiplicado por nenhum número, e ele próprio não é elevado a nenhum poder - use a definição. Para expressões contendo sin, cos, sec, cosec, sinta-se à vontade para definir o período como 2P, e se a equação contiver tg, ctg, então P. Digamos que, para a função y=2 sinx+5, o período será igual a 2P .

2. Se o ângulo x sob o sinal de uma função trigonométrica for multiplicado por algum número, então, para encontrar o período dessa função, divida o período típico por esse número. Digamos que você receba uma função y = sin 5x. O período típico para um seno é 2P; dividindo-o por 5, você obtém 2P/5 - este é o período desejado desta expressão.

3. Para encontrar o período de uma função trigonométrica elevada a uma potência, avalie a paridade da potência. Para obter um grau uniforme, reduza o período típico pela metade. Digamos que se você receber a função y = 3 cos ^ 2x, então o período típico 2P diminuirá 2 vezes, então o período será igual a P. Observe que as funções tg, ctg são periódicas para P para cada grau.

4. Se você receber uma equação contendo o produto ou quociente de duas funções trigonométricas, primeiro encontre o período de todas elas separadamente. Depois disso, encontre o número mínimo que conteria o inteiro de ambos os períodos. Digamos que a função y=tgx*cos5x seja dada. Para tangente o período é P, para cosseno 5x o período é 2P/5. O número mínimo em que ambos os períodos podem ser acomodados é 2P, portanto o período desejado é 2P.

5. Se você achar difícil fazer da forma sugerida ou duvidar do resultado, tente fazer por definição. Tome T como o período da função; é maior que zero. Substitua a expressão (x + T) em vez de x na equação e resolva a igualdade resultante como se T fosse um parâmetro ou um número. Como resultado, você descobrirá o valor da função trigonométrica e poderá encontrar o menor período. Digamos que, como resultado do alívio, você obtenha o pecado de identidade (T/2) = 0. O valor mínimo de T no qual é realizado é 2P, este será o resultado da tarefa.

Uma função periódica é uma função que repete seus valores após algum período diferente de zero. O período de uma função é um número que, quando adicionado ao argumento de uma função, não altera o valor da função.

Você vai precisar

• Conhecimento de matemática elementar e revisão básica.

Instruções

1. Vamos denotar o período da função f(x) pelo número K. Nossa tarefa é descobrir esse valor de K. Para fazer isso, imagine que a função f(x), usando a definição de uma função periódica, igualamos f(x+K)=f(x).

2. Resolvemos a equação resultante em relação à incógnita K, como se x fosse uma constante. Dependendo do valor de K, haverá diversas opções.

3. Se K>0 – então este é o período da sua função. Se K=0 – então a função f(x) não é periódica. Se a solução para a equação f(x+K)=f(x) não existe para qualquer K diferente de zero, então tal função é chamada de aperiódica e também não tem período.

Vídeo sobre o tema

Observação!
Todas as funções trigonométricas são periódicas e todas as funções polinomiais com grau maior que 2 são aperiódicas.

Conselho util
O período de uma função que consiste em 2 funções periódicas é o mínimo múltiplo universal dos períodos dessas funções.

Equações trigonométricas são equações que contêm funções trigonométricas de um argumento desconhecido (por exemplo: 5sinx-3cosx =7). Para saber como resolvê-los, você precisa conhecer algumas maneiras de fazer isso.

Instruções

1. A resolução de tais equações consiste em 2 etapas: a primeira é reformar a equação para adquirir sua forma mais simples. As equações trigonométricas mais simples são: Sinx=a; Cosx=a, etc.

2. A segunda é a solução da equação trigonométrica mais simples obtida. Existem maneiras básicas de resolver equações deste tipo: Resolvendo algebricamente. Este método é famoso na escola, em um curso de álgebra. Também chamado de método de substituição e substituição de variáveis. Usando fórmulas de redução, transformamos, fazemos uma substituição e depois encontramos as raízes.

3. Fatoração de uma equação. Primeiro, movemos todos os termos para a esquerda e os fatoramos.

4. Reduzindo a equação a uma homogênea. As equações são chamadas de equações homogêneas se todos os termos tiverem o mesmo grau e o seno e o cosseno do mesmo ângulo.Para resolvê-la, você deve: primeiro transferir todos os seus termos do lado direito para o lado esquerdo; retire todos os fatores universais dos colchetes; igualar fatores e colchetes a zero; colchetes equiparados fornecem uma equação homogênea de grau inferior, que deve ser dividida por cos (ou sen) no grau mais alto; resolva a equação algébrica resultante em relação a tan.

5. A próxima maneira é mover para um meio ângulo. Digamos, resolva a equação: 3 sen x – 5 cos x = 7. Vamos passar para o meio ângulo: 6 sen (x / 2) · cos (x / 2) – 5 cos? (x / 2) + 5 pecado? (x / 2) = 7 pecado? (x / 2) + 7 porque? (x/ 2) , após o qual reduzimos todos os termos em uma parte (de preferência o lado direito) e resolvemos a equação.

6. Entrada do ângulo auxiliar. Quando substituímos o valor inteiro cos(a) ou sin(a). O sinal “a” é um ângulo auxiliar.

7. Um método de transformar um produto em uma soma. Aqui você precisa aplicar as fórmulas apropriadas. Digamos dado: 2 sen x · sen 3x = cos 4x. Resolva transformando o lado esquerdo em uma soma, ou seja: cos 4x – cos 8x = cos 4x ,cos 8x = 0 ,8x = p / 2 + pk , x = p/16 + pk/8.

8. O método final é chamado de substituição multifuncional. Transformamos a expressão e fazemos uma alteração, digamos Cos(x/2)=u, e então resolvemos a equação com o parâmetro u. Na compra do total, convertemos o valor para o contrário.

Vídeo sobre o tema

Se considerarmos pontos em um círculo, então os pontos x, x + 2π, x + 4π, etc. coincidem entre si. Assim, trigonométrico funções em linha reta periodicamente repetir seu significado. Se o período é famoso funções, é possível construir uma função neste período e repeti-la nos demais.

Instruções

1. O período é um número T tal que f(x) = f(x+T). Para encontrar o período, resolva a equação correspondente, substituindo x e x+T como argumento. Nesse caso, utilizam os já conhecidos períodos para funções. Para as funções seno e cosseno o período é 2π, e para as funções tangente e cotangente é π.

2. Deixe a função f(x) = sin^2(10x) ser dada. Considere a expressão sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)). Use a fórmula para reduzir o grau: sin^2(x) = (1 – cos 2x)/2. Então você obtém 1 – cos 20x = 1 – cos 20(x+T) ou cos 20x = cos (20x+20T). Sabendo que o período do cosseno é 2π, 20T = 2π. Isso significa T = π/10. T é o período mínimo correto, e a função será repetida após 2T, e após 3T, e na outra direção ao longo do eixo: -T, -2T, etc.

Conselho util
Use fórmulas para reduzir o grau de uma função. Se você já conhece os períodos de algumas funções, tente reduzir a função existente a funções conhecidas.

Examinar uma função em busca de paridade e estranheza ajuda a construir um gráfico da função e a compreender a natureza de seu comportamento. Para esta pesquisa, você precisa comparar esta função escrita para o argumento “x” e para o argumento “-x”.

Instruções

1. Escreva a função que deseja investigar na forma y=y(x).

2. Substitua o argumento da função por “-x”. Substitua este argumento em uma expressão funcional.

3. Simplifique a expressão.

4. Assim, você tem a mesma função escrita para os argumentos “x” e “-x”. Observe essas duas entradas. Se y(-x)=y(x), então é uma função par. Se y(-x)=-y(x), então é uma função ímpar. Se for impossível digamos sobre uma função que y (-x)=y(x) ou y(-x)=-y(x), então pela propriedade de paridade esta é uma função de forma universal. Ou seja, não é par nem ímpar.

5. Anote suas descobertas. Agora você pode usá-los na construção de um gráfico de uma função ou em um futuro estudo analítico das propriedades de uma função.

6. Também é possível falar sobre a paridade e a estranheza de uma função no caso em que o gráfico da função já é dado. Digamos que o gráfico serviu como resultado de um experimento físico. Se o gráfico de uma função é simétrico em relação ao eixo das ordenadas, então y(x) é uma função par. Se o gráfico de uma função é simétrico em relação ao eixo das abcissas, então x(y) é uma função par. x(y) é uma função inversa à função y(x) Se o gráfico de uma função for simétrico em relação à origem (0,0), então y(x) é uma função ímpar. A função inversa x(y) também será ímpar.

7. É importante lembrar que a ideia de paridade e estranheza de uma função tem ligação direta com o domínio de definição da função. Se, digamos, uma função par ou ímpar não existe em x=5, então ela não existe em x=-5, o que não pode ser dito sobre uma função de forma universal. Ao estabelecer paridade par e ímpar, preste atenção ao domínio da função.

8. Encontrar uma função para paridade e estranheza está correlacionado com encontrar um conjunto de valores de função. Para encontrar o conjunto de valores de uma função par, basta olhar para metade da função, à direita ou à esquerda de zero. Se em x>0 a função par y(x) assume valores de A a B, então assumirá os mesmos valores em x<0.Для нахождения множества значений, принимаемых нечетной функцией, тоже довольно разглядеть только одну часть функции. Если при x>0 função ímpar y(x) assume um intervalo de valores de A a B, então em x<0 она будет принимать симметричный диапазон значений от (-В) до (-А).

“Trigonométricas” já começaram a ser chamadas de funções que são determinadas pela dependência dos ângulos agudos de um triângulo retângulo nos comprimentos de seus lados. Tais funções incluem, em primeiro lugar, seno e cosseno, em segundo lugar, o inverso dessas funções, secante e cossecante, suas derivadas tangente e cotangente, bem como as funções inversas arco seno, arco cosseno, etc. a “solução” de tais funções, mas sobre o seu “cálculo”, isto é, sobre encontrar um valor numérico.

Instruções

1. Se o argumento da função trigonométrica for desconhecido, então seu valor pode ser calculado por um método indireto com base nas definições dessas funções. Para fazer isso, você precisa saber os comprimentos dos lados do triângulo, cuja função trigonométrica para um dos ângulos precisa ser calculada. Digamos, por definição, o seno de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão entre o comprimento da perna oposta a esse ângulo e o comprimento da hipotenusa. Conclui-se que para encontrar o seno de um ângulo basta conhecer os comprimentos destes 2 lados. Uma definição semelhante afirma que o seno de um ângulo agudo é a razão entre o comprimento da perna adjacente a esse ângulo e o comprimento da hipotenusa. A tangente de um ângulo agudo pode ser calculada dividindo o comprimento da perna oposta pelo comprimento da perna adjacente, e a cotangente requer a divisão do comprimento da perna adjacente pelo comprimento da perna oposta. Para calcular a secante de um ângulo agudo, você precisa encontrar a razão entre o comprimento da hipotenusa e o comprimento da perna adjacente ao ângulo desejado, e a cossecante é determinada pela razão entre o comprimento da hipotenusa e o comprimento da perna oposta.

2. Se o argumento da função trigonométrica estiver correto, você não precisa saber os comprimentos dos lados do triângulo - você pode usar tabelas de valores ou calculadoras de funções trigonométricas. Essa calculadora está incluída nos programas padrão do sistema operacional Windows. Para iniciá-lo, você pode pressionar a combinação de teclas Win + R, inserir o comando calc e clicar no botão “OK”. Na interface do programa, você deve expandir a seção “Visualizar” e selecionar o item “Engenheiro” ou “Cientista”. Depois disso, é possível introduzir o argumento da função trigonométrica. Para calcular as funções seno, cosseno e tangente, após inserir o valor, clique no botão da interface correspondente (sin, cos, tg), e para encontrar seu arco seno inverso, arco cosseno e arco tangente, marque a caixa de seleção Inv com antecedência.

3. Existem também métodos alternativos. Uma delas é ir ao site do mecanismo de busca Nigma ou Google e inserir a função desejada e seu argumento como uma consulta de pesquisa (digamos, sen 0,47). Esses mecanismos de pesquisa possuem calculadoras integradas, portanto, após enviar tal solicitação, você receberá o valor da função trigonométrica inserida.

Vídeo sobre o tema

Dica 7: Como descobrir o valor das funções trigonométricas

As funções trigonométricas apareceram pela primeira vez como ferramentas para cálculos matemáticos abstratos das dependências dos valores dos ângulos agudos em um triângulo retângulo nos comprimentos de seus lados. Agora eles são amplamente utilizados nos campos científicos e técnicos da atividade humana. Para cálculos utilitários de funções trigonométricas a partir de determinados argumentos, você pode usar várias ferramentas - várias delas que são especialmente acessíveis são descritas abaixo.

Instruções

1. Use, digamos, o programa de calculadora instalado por padrão com o sistema operacional. Ele abre selecionando o item “Calculadora” na pasta “Serviço” da subseção “Típico”, localizada na seção “Todos os programas”. Esta seção pode ser encontrada abrindo o menu principal do sistema operacional clicando no botão “Iniciar”. Se você estiver usando a versão do Windows 7, provavelmente simplesmente digitará a palavra “Calculadora” no campo “Descobrir programas e arquivos” do menu principal e clicar no link correspondente nos resultados da pesquisa.

2. Insira o valor do ângulo para o qual deseja calcular a função trigonométrica e, a seguir, clique no botão correspondente a esta função - sin, cos ou tan. Se você está preocupado com funções trigonométricas inversas (arco seno, arco cosseno ou arco tangente), primeiro clique no botão denominado Inv - ele inverte as funções atribuídas aos botões de guia da calculadora.

3. Nas versões anteriores do sistema operacional (digamos, Windows XP), para acessar funções trigonométricas, você precisa abrir a seção “Visualizar” no menu da calculadora e selecionar a linha “Engenharia”. Além disso, em vez do botão Inv, a interface das versões anteriores do programa possui uma caixa de seleção com a mesma inscrição.

4. Você pode viver sem uma calculadora se tiver acesso à Internet. Existem muitos serviços na Internet que oferecem calculadoras de funções trigonométricas organizadas de diferentes maneiras. Uma das opções particularmente convenientes está integrada ao mecanismo de busca Nigma. Indo para a página principal, basta inserir o valor que o preocupa no campo de consulta de pesquisa - digamos, “arco tangente 30 graus”. Depois de clicar no botão “Detectar!” O mecanismo de busca irá calcular e mostrar o resultado do cálculo - 0,482347907101025.

Vídeo sobre o tema

A trigonometria é um ramo da matemática para a compreensão de funções que expressam diferentes dependências dos lados de um triângulo retângulo nos valores dos ângulos agudos na hipotenusa. Tais funções foram chamadas trigonométricas e, para facilitar o trabalho com elas, foram derivadas funções trigonométricas identidades .

Desempenho identidades em matemática denota uma igualdade que é satisfeita para todos os valores dos argumentos das funções nela incluídas. Trigonométrico identidades são igualdades de funções trigonométricas, confirmadas e aceitas para simplificar o trabalho com fórmulas trigonométricas.Uma função trigonométrica é uma função elementar da dependência de um dos catetos de um triângulo retângulo no valor do ângulo agudo na hipotenusa. As seis funções trigonométricas básicas usadas com mais frequência são sin (seno), cos (cosseno), tg (tangente), ctg (cotangente), sec (secante) e cosec (cossecante). Essas funções são chamadas de funções diretas, também existem funções inversas, digamos, seno - arco seno, cosseno - arco cosseno, etc. Inicialmente, as funções trigonométricas foram refletidas na geometria, após o que se espalharam para outras áreas da ciência: física, química, geografia, óptica, teoria das probabilidades, bem como acústica, teoria musical, fonética, computação gráfica e muitos outros. Hoje em dia é difícil imaginar cálculos matemáticos sem estas funções, embora num passado distante elas fossem utilizadas apenas em astronomia e arquitetura. identidades são usados ​​para simplificar o trabalho com fórmulas trigonométricas longas e reduzi-las a uma forma digerível. Existem seis identidades trigonométricas principais; elas estão relacionadas a funções trigonométricas diretas: tg ? = pecado?/cos?; pecado^2? +cos^2? = 1; 1 + tg ^ 2? = 1/cos^2?; 1 + 1/tg^2? = 1/sen^2?; pecado (?/2 – ?) = cos ?; cos (?/2 – ?) = sin ?. Estes identidades fácil de confirmar a partir das propriedades da razão entre lados e ângulos em um triângulo retângulo: pecado? = BC/AC = b/c; porque? = AB/AC = a/c; tg? = b/a. A primeira identidade tg ? = pecado?/cos? segue da proporção dos lados do triângulo e da exclusão do lado c (hipotenusa) ao dividir sen por cos. A identidade ctg ? é definida da mesma maneira. = cos ?/sin ?, porque ctg ? = 1/tg ?.Pelo teorema de Pitágoras a^2 + b^2 = c^2. Vamos dividir essa igualdade por c^2, obtemos a segunda identidade: a^2/c^2 + b^2/c^2 = 1 => sin^2 ? + cos^2 ? = 1.Terceiro e quarto identidades obtido dividindo, respectivamente, por b^2 e a^2: a^2/b^2 + 1 = c^2/b^2 => tg^2 ? + 1 = 1/cos^2 ?;1 + b^2/a^2 = c^2/a^2 => 1 + 1/tg^2 ? = 1/sen^ ? ou 1 + ctg ^ 2? = 1/sen ^ 2?. Quinto e sexto básico identidades são comprovados determinando a soma dos ângulos agudos de um triângulo retângulo, que é igual a 90° ou?/2.Mais difícil trigonométrico identidades: fórmulas para adicionar argumentos, ângulos duplos e triplos, reduzir graus, reformar a soma ou produto de funções, bem como fórmulas para substituição trigonométrica, nomeadamente expressões de funções trigonométricas básicas através de tg de meio ângulo: sin ?= (2*tg ?/2)/(1 + tan^2 ?/2);cos ? = (1 – tg^2 ?/2)/(1 = tg^2 ?/2);tg ? = (2*tg ?/2)/(1 – tg^2 ?/2).

A necessidade de encontrar o mínimo significado matemático funçõesé de interesse real na resolução de problemas aplicados, digamos, em economia. Enorme significado minimizar perdas é essencial para as atividades empresariais.

Instruções

1. Para descobrir o mínimo significado funções, é necessário determinar em que valor do argumento x0 a desigualdade y(x0) será satisfeita? y(x), onde x? x0. Como de costume, este problema é resolvido em um determinado intervalo ou em cada faixa de valores funções, se um não for especificado. Um aspecto da solução é encontrar pontos fixos.

2. Um ponto estacionário é chamado significado argumento em que a derivada funções vai para zero. De acordo com o teorema de Fermat, se uma função diferenciável assume um extremo significado em algum ponto (neste caso, um mínimo local), então este ponto é estacionário.

3. Mínimo significado a função muitas vezes assume exatamente esse ponto, mas não pode ser determinada invariavelmente. Além disso, nem sempre é possível dizer com precisão qual é o mínimo funções ou ele aceita o infinitamente pequeno significado. Então, como sempre, eles encontram o limite para o qual tende à medida que diminui.

4. Para determinar o mínimo significado funções, você precisa realizar uma sequência de ações que consiste em quatro etapas: encontrar o domínio de definição funções, aquisição de pontos fixos, visão geral de valores funções nesses pontos e nas extremidades do vão, detectando o mínimo.

5. Acontece que alguma função y(x) é dada em um intervalo com limites nos pontos A e B. Encontre o domínio de sua definição e descubra se o intervalo é seu subconjunto.

6. Calcular Derivada funções. Iguale a expressão resultante a zero e encontre as raízes da equação. Verifique se esses pontos estacionários estão dentro da lacuna. Caso contrário, não serão tidos em conta numa fase posterior.

7. Examine a lacuna quanto ao tipo de limites: abertos, fechados, compostos ou imensuráveis. Isso determina como você pesquisa o valor mínimo significado. Digamos que o segmento [A, B] seja um intervalo fechado. Insira-os na função e calcule os valores. Faça o mesmo com um ponto estacionário. Selecione o total mais baixo.

8. Com intervalos abertos e imensuráveis ​​a situação é um pouco mais difícil. Aqui você terá que procurar limites unilaterais que nem sempre fornecem um resultado inequívoco. Digamos que, para um intervalo com um limite fechado e um limite perfurado [A, B), deve-se encontrar uma função em x = A e um limite unilateral lim y em x? B-0.

Objetivo: resumir e sistematizar o conhecimento dos alunos sobre o tema “Periodicidade das Funções”; desenvolver competências na aplicação das propriedades de uma função periódica, encontrando o menor período positivo de uma função, construindo gráficos de funções periódicas; promover o interesse pelo estudo da matemática; cultivar observação e precisão.

Equipamentos: computador, projetor multimídia, fichas de tarefas, slides, relógios, mesas de enfeites, elementos de artesanato popular

“A matemática é o que as pessoas usam para controlar a natureza e a si mesmas.”
UM. Kolmogorov

Durante as aulas

I. Estágio organizacional.

Verificar a preparação dos alunos para a aula. Relate o tema e os objetivos da aula.

II. Verificando o dever de casa.

Verificamos o dever de casa por meio de amostras e discutimos os pontos mais difíceis.

III. Generalização e sistematização do conhecimento.

1. Trabalho frontal oral.

Questões teóricas.

1) Forme uma definição do período da função
2) Nomeie o menor período positivo das funções y=sin(x), y=cos(x)
3). Qual é o menor período positivo das funções y=tg(x), y=ctg(x)
4) Usando um círculo, prove a correção das relações:

y = pecado (x) = pecado (x + 360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n € Z
ctg(x+πn)=ctgx, n € Z

sin(x+2π n)=sinx, n € Z
cos(x+2π n)=cosx, n € Z

5) Como traçar uma função periódica?

Exercícios orais.

1) Prove as seguintes relações

a) pecado(740º) = pecado(20º)
b) cos(54º) = cos(-1026º)
c) pecado(-1000º) = pecado(80º)

2. Prove que um ângulo de 540º é um dos períodos da função y= cos(2x)

3. Prove que um ângulo de 360º é um dos períodos da função y=tg(x)

4. Transforme estas expressões para que os ângulos nelas incluídos não ultrapassem 90º em valor absoluto.

a) tg375º
b) ctg530º
c) pecado1268º
e) cos(-7363º)

5. Onde você encontrou as palavras PERÍODO, PERIODICIDADE?

Respostas dos alunos: Um período na música é uma estrutura na qual se apresenta um pensamento musical mais ou menos completo. Um período geológico faz parte de uma era e é dividido em épocas com um período de 35 a 90 milhões de anos.

Meia-vida de uma substância radioativa. Fração periódica. Periódicos são publicações impressas que aparecem dentro de prazos estritamente definidos. Sistema periódico de Mendeleev.

6. As figuras mostram partes dos gráficos de funções periódicas. Determine o período da função. Determine o período da função.

Responder:T=2; T=2; T=4; T=8.

7. Onde na sua vida você encontrou a construção de elementos repetidos?

Resposta do aluno: Elementos de ornamento, arte popular.

4. Resolução coletiva de problemas.

(Resolvendo problemas em slides.)

Vamos considerar uma das maneiras de estudar uma função quanto à periodicidade.

Este método evita as dificuldades associadas à prova de que um determinado período é o menor e também elimina a necessidade de abordar questões sobre operações aritméticas em funções periódicas e a periodicidade de uma função complexa. O raciocínio baseia-se apenas na definição de uma função periódica e no seguinte fato: se T é o período da função, então nT(n?0) é o seu período.

Problema 1. Encontre o menor período positivo da função f(x)=1+3(x+q>5)

Solução: Suponha que o período T desta função. Então f(x+T)=f(x) para todo x € D(f), ou seja,

1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25)
(x+T+0,25)=(x+0,25)

Vamos colocar x = -0,25, obtemos

(T)=0<=>T = n, n € Z

Obtivemos que todos os períodos da função em questão (se existirem) estão entre os inteiros. Vamos escolher o menor número positivo entre esses números. Esse 1 . Vamos verificar se será realmente um período 1 .

f(x+1) =3(x+1+0,25)+1

Como (T+1)=(T) para qualquer T, então f(x+1)=3((x+0,25)+1)+1=3(x+0,25)+1=f(x ), ou seja, 1 – período f. Como 1 é o menor de todos os inteiros positivos, então T=1.

Problema 2. Mostre que a função f(x)=cos 2 (x) é periódica e encontre seu período principal.

Problema 3. Encontre o período principal da função

f(x)=sen(1,5x)+5cos(0,75x)

Vamos assumir o período T da função, então para qualquer X a proporção é válida

sen1,5(x+T)+5cos0,75(x+T)=sen(1,5x)+5cos(0,75x)

Se x = 0, então

sen(1,5T)+5cos(0,75T)=sen0+5cos0

sen(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Se x=-T, então

sen0+5cos0=sen(-1,5T)+5cos0,75(-T)

5= – sen(1,5T)+5cos(0,75T)

sen(1,5T)+5cos(0,75T)=5 – sen(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Somando, obtemos:

10cos(0,75T)=10

2π n, n € Z

Vamos escolher o menor número positivo de todos os números “suspeitos” do período e verificar se é um período para f. Este número

f(x+)=sen(1,5x+4π )+5cos(0,75x+2π )= sin(1,5x)+5cos(0,75x)=f(x)

Isso significa que este é o período principal da função f.

Problema 4. Vamos verificar se a função f(x)=sin(x) é periódica

Seja T o período da função f. Então para qualquer x

pecado|x+Т|=pecado|x|

Se x=0, então sin|Т|=sin0, sin|Т|=0 Т=π n, n € Z.

Vamos assumir. Que para algum n o número π n é o período

a função em consideração π n>0. Então sin|π n+x|=sen|x|

Isto implica que n deve ser um número par e um número ímpar, mas isso é impossível. Portanto, esta função não é periódica.

Tarefa 5. Verifique se a função é periódica

f(x)=

Seja T o período de f, então

, portanto sinT=0, Т=π n, n € Z. Suponhamos que para algum n o número π n é de fato o período desta função. Então o número 2π n será o período

Como os numeradores são iguais, seus denominadores são iguais, portanto

Isso significa que a função f não é periódica.

Trabalho em grupos.

Tarefas para o grupo 1.

Tarefas para o grupo 2.

Verifique se a função f é periódica e encontre seu período fundamental (se existir).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

Tarefas para o grupo 3.

No final do trabalho, os grupos apresentam as suas soluções.

VI. Resumindo a lição.

Reflexão.

A professora entrega aos alunos cartões com desenhos e pede-lhes que pintem parte do primeiro desenho de acordo com o quanto acham que dominam os métodos de estudo de uma função por periodicidade, e parte do segundo desenho - de acordo com seus contribuição para o trabalho da aula.

VII. Trabalho de casa

1). Verifique se a função f é periódica e encontre seu período fundamental (se existir)

b). f(x)=x 2 -2x+4

c). f(x)=2tg(3x+5)

2). A função y=f(x) tem um período T=2 e f(x)=x 2 +2x para x € [-2; 0]. Encontre o valor da expressão -2f(-3)-4f(3.5)

Literatura/

1. Mordkovich A.G.Álgebra e início da análise com estudo aprofundado.
2. Matemática. Preparação para o Exame Estadual Unificado. Ed. Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
3. Sheremetieva T.G. , Tarasova E.A.Álgebra e análise inicial para as séries 10-11.