Introdução

Quando começamos a estudar figuras estereométricas, tocamos no tópico "Pirâmide". Gostamos deste tema porque a pirâmide é muito usada na arquitetura. E desde a nossa futura profissão de arquiteta, inspirada por esta figura, pensamos que ela poderá nos impulsionar a grandes projetos.

A força das estruturas arquitetônicas, sua qualidade mais importante. Associando a resistência, em primeiro lugar, aos materiais a partir dos quais são criadas e, em segundo lugar, às características das soluções de projeto, verifica-se que a resistência de uma estrutura está diretamente relacionada à forma geométrica que lhe é básica.

Em outras palavras, estamos falando da figura geométrica que pode ser considerada como modelo da forma arquitetônica correspondente. Acontece que a forma geométrica também determina a força da estrutura arquitetônica.

As pirâmides egípcias há muito são consideradas a estrutura arquitetônica mais durável. Como você sabe, eles têm a forma de pirâmides quadrangulares regulares.

É esta forma geométrica que proporciona a maior estabilidade devido à grande área de base. Por outro lado, a forma da pirâmide garante que a massa diminua à medida que a altura acima do solo aumenta. São essas duas propriedades que tornam a pirâmide estável e, portanto, forte nas condições da gravidade.

Objetivo do projeto: aprenda algo novo sobre as pirâmides, aprofunde o conhecimento e encontre aplicações práticas.

Para atingir este objetivo, foi necessário resolver as seguintes tarefas:

Aprenda informações históricas sobre a pirâmide

Considere a pirâmide como uma figura geométrica

Encontre aplicação na vida e na arquitetura

Encontre semelhanças e diferenças entre pirâmides localizadas em diferentes partes do mundo

Parte teórica

Informação histórica

O início da geometria da pirâmide foi estabelecido no antigo Egito e na Babilônia, mas foi desenvolvido ativamente na Grécia antiga. O primeiro a estabelecer a que o volume da pirâmide é igual foi Demócrito, e Eudoxo de Cnido provou isso. O antigo matemático grego Euclides sistematizou o conhecimento sobre a pirâmide no volume XII de seus "Inícios", e também trouxe a primeira definição da pirâmide: uma figura corporal delimitada por planos que convergem de um plano em um ponto.

Os túmulos dos faraós egípcios. O maior deles - as pirâmides de Quéops, Khafre e Mikerin em El Gizé nos tempos antigos foram considerados uma das Sete Maravilhas do Mundo. A ereção da pirâmide, na qual os gregos e romanos já viam um monumento ao orgulho sem precedentes dos reis e à crueldade, que condenou todo o povo do Egito a uma construção sem sentido, foi o ato de culto mais importante e deveria expressar, aparentemente, a identidade mística do país e seu governante. A população do país trabalhou na construção do túmulo na parte do ano livre de trabalhos agrícolas. Vários textos testemunham a atenção e o cuidado que os próprios reis (ainda que mais tarde) deram à construção de seu túmulo e de seus construtores. Também se sabe sobre as honras especiais do culto que acabaram sendo a própria pirâmide.

Conceitos Básicos

Pirâmide Um poliedro é chamado, cuja base é um polígono, e as faces restantes são triângulos com um vértice comum.

Apótema- a altura da face lateral de uma pirâmide regular, desenhada de seu topo;

Faces laterais- triângulos convergentes no topo;

Costelas laterais- lados comuns das faces laterais;

topo da pirâmide- um ponto que liga as bordas laterais e não se encontra no plano da base;

Altura- um segmento de uma perpendicular traçada pelo topo da pirâmide até o plano de sua base (as extremidades desse segmento são o topo da pirâmide e a base da perpendicular);

Seção diagonal de uma pirâmide- seção da pirâmide passando pelo topo e pela diagonal da base;

Base- um polígono que não pertence ao topo da pirâmide.

As principais propriedades da pirâmide correta

As arestas laterais, faces laterais e apótemas são iguais, respectivamente.

Os ângulos diedros na base são iguais.

Os ângulos diedros nas arestas laterais são iguais.

Cada ponto de altura é equidistante de todos os vértices da base.

Cada ponto de altura é equidistante de todas as faces laterais.

Fórmulas básicas da pirâmide

A área da superfície lateral e completa da pirâmide.

A área da superfície lateral da pirâmide (cheia e truncada) é a soma das áreas de todas as suas faces laterais, a área total da superfície é a soma das áreas de todas as suas faces.

Teorema: A área da superfície lateral de uma pirâmide regular é igual à metade do produto do perímetro da base e do apótema da pirâmide.

p- perímetro da base;

h- apótema.

A área das superfícies laterais e completas de uma pirâmide truncada.

p1, p 2 - perímetros de base;

h- apótema.

R- área de superfície total de uma pirâmide truncada regular;

lado S- área da superfície lateral de uma pirâmide truncada regular;

S1 + S2- área básica

Volume da Pirâmide

Forma A escala de volume é usada para pirâmides de qualquer tipo.

Hé a altura da pirâmide.

Ângulos da pirâmide

Os ângulos que são formados pela face lateral e pela base da pirâmide são chamados de ângulos diedros na base da pirâmide.

Um ângulo diedro é formado por duas perpendiculares.

Para determinar esse ângulo, muitas vezes você precisa usar o teorema das três perpendiculares.

Os ângulos formados por uma aresta lateral e sua projeção no plano da base são chamados ângulos entre a aresta lateral e o plano da base.

O ângulo formado por duas faces laterais é chamado ângulo diedro na borda lateral da pirâmide.

O ângulo, que é formado por duas arestas laterais de uma face da pirâmide, é chamado de canto no topo da pirâmide.

Seções da pirâmide

A superfície de uma pirâmide é a superfície de um poliedro. Cada uma de suas faces é um plano, então a seção da pirâmide dada pelo plano secante é uma linha quebrada que consiste em linhas retas separadas.

Seção diagonal

A seção de uma pirâmide por um plano que passa por duas arestas laterais que não estão na mesma face é chamada seção diagonal pirâmides.

Seções paralelas

Teorema:

Se a pirâmide é atravessada por um plano paralelo à base, as bordas laterais e as alturas da pirâmide são divididas por esse plano em partes proporcionais;

A seção deste plano é um polígono semelhante à base;

As áreas da seção e da base estão relacionadas entre si como os quadrados de suas distâncias do topo.

Tipos de pirâmide

Pirâmide correta- uma pirâmide, cuja base é um polígono regular, e o topo da pirâmide é projetado no centro da base.

Na pirâmide correta:

1. costelas laterais são iguais

2. faces laterais são iguais

3. apótemas são iguais

4. ângulos diedros na base são iguais

5. ângulos diedros nas bordas laterais são iguais

6. cada ponto de altura é equidistante de todos os vértices da base

7. cada ponto de altura é equidistante de todas as faces laterais

Pirâmide truncada- a parte da pirâmide encerrada entre a sua base e um plano de corte paralelo à base.

A base e a seção correspondente de uma pirâmide truncada são chamadas de bases de uma pirâmide truncada.

A perpendicular traçada de qualquer ponto de uma base ao plano de outra é chamada de a altura da pirâmide truncada.

Tarefas

Nº 1. Em uma pirâmide quadrangular regular, o ponto O é o centro da base, SO=8 cm, BD=30 cm Encontre a aresta lateral SA.

Solução de problemas

Nº 1. Em uma pirâmide regular, todas as faces e arestas são iguais.

Vamos considerar OSB: retângulo retangular OSB, porque.

SB 2 \u003d SO 2 + OB 2

SB2=64+225=289

Pirâmide na arquitetura

Pirâmide - uma estrutura monumental na forma de uma pirâmide geométrica regular comum, na qual os lados convergem em um ponto. De acordo com o propósito funcional, as pirâmides nos tempos antigos eram um local de sepultamento ou culto. A base de uma pirâmide pode ser triangular, quadrangular ou poligonal com um número arbitrário de vértices, mas a versão mais comum é a base quadrangular.

Conhece-se um número considerável de pirâmides, construídas por diferentes culturas do Mundo Antigo, principalmente como templos ou monumentos. As maiores pirâmides são as pirâmides egípcias.

Por toda a Terra você pode ver estruturas arquitetônicas em forma de pirâmides. Os edifícios em pirâmide são uma reminiscência dos tempos antigos e parecem muito bonitos.

As pirâmides egípcias são os maiores monumentos arquitetônicos do Egito Antigo, entre os quais uma das "Sete Maravilhas do Mundo" é a pirâmide de Quéops. Do pé ao topo, atinge 137,3 m, e antes de perder o topo, sua altura era de 146,7 m.

O edifício da estação de rádio na capital da Eslováquia, semelhante a uma pirâmide invertida, foi construído em 1983. Além de escritórios e instalações de serviços, há uma sala de concertos bastante espaçosa dentro do volume, que possui um dos maiores órgãos da Eslováquia .

O Louvre, que "é tão silencioso e majestoso quanto uma pirâmide" sofreu muitas mudanças ao longo dos séculos antes de se tornar o maior museu do mundo. Nasceu como fortaleza, erguida por Filipe Augusto em 1190, que logo se transformou em residência real. Em 1793 o palácio tornou-se um museu. As coleções são enriquecidas por meio de legados ou compras.

Continuamos a considerar as tarefas incluídas no exame de matemática. Já estudamos problemas onde a condição é dada e é necessário encontrar a distância entre dois pontos dados ou o ângulo.

Uma pirâmide é um poliedro cuja base é um polígono, as outras faces são triângulos e têm um vértice comum.

Uma pirâmide regular é uma pirâmide na base da qual se encontra um polígono regular e seu topo é projetado no centro da base.

Uma pirâmide quadrangular regular - a base é um quadrado. O topo da pirâmide é projetado no ponto de intersecção das diagonais da base (quadrado).

ML - apótema
∠MLO - ângulo diedro na base da pirâmide
∠MCO - o ângulo entre a borda lateral e o plano da base da pirâmide

Neste artigo, consideraremos as tarefas para resolver a pirâmide correta. É necessário encontrar qualquer elemento, área de superfície lateral, volume, altura. Claro, você precisa conhecer o teorema de Pitágoras, a fórmula para a área da superfície lateral da pirâmide, a fórmula para encontrar o volume da pirâmide.

No artigo « » são apresentadas fórmulas que são necessárias para resolver problemas em estereometria. Então as tarefas são:

SABC ponto O- centro básicoS vértice, ENTÃO = 51, CA= 136. Encontre a borda lateralSC.

Neste caso, a base é um quadrado. Isso significa que as diagonais AC e BD são iguais, elas se cruzam e são bissectadas pelo ponto de interseção. Observe que em uma pirâmide regular, a altura abaixada de seu topo passa pelo centro da base da pirâmide. Então SO é a altura e o triânguloSOCretangular. Então pelo teorema de Pitágoras:

Como tirar a raiz de um número grande.

Resposta: 85

Decida por si mesmo:

Em uma pirâmide quadrangular regular SABC ponto O- centro básico S vértice, ENTÃO = 4, CA= 6. Encontre uma aresta lateral SC.

Em uma pirâmide quadrangular regular SABC ponto O- centro básico S vértice, SC = 5, CA= 6. Encontre o comprimento do segmento ENTÃO.

Em uma pirâmide quadrangular regular SABC ponto O- centro básico S vértice, ENTÃO = 4, SC= 5. Encontre o comprimento do segmento CA.

SABC R- meio da costela BC, S- topo. Sabe-se que AB= 7, e SR= 16. Encontre a área da superfície lateral.

A área da superfície lateral de uma pirâmide triangular regular é igual à metade do produto do perímetro da base e o apótema (o apótema é a altura da face lateral de uma pirâmide regular desenhada de seu topo):

Ou você pode dizer isso: a área da superfície lateral da pirâmide é igual à soma das áreas das três faces laterais. As faces laterais de uma pirâmide triangular regular são triângulos de mesma área. Nesse caso:

Resposta: 168

Decida por si mesmo:

Em uma pirâmide triangular regular SABC R- meio da costela BC, S- topo. Sabe-se que AB= 1, e SR= 2. Encontre a área da superfície lateral.

Em uma pirâmide triangular regular SABC R- meio da costela BC, S- topo. Sabe-se que AB= 1, e a área da superfície lateral é 3. Encontre o comprimento do segmento SR.

Em uma pirâmide triangular regular SABC eu- meio da costela BC, S- topo. Sabe-se que SL= 2, e a área da superfície lateral é 3. Encontre o comprimento do segmento AB.

Em uma pirâmide triangular regular SABC M. Área de um triângulo abcé 25, o volume da pirâmide é 100. Encontre o comprimento do segmento EM.

A base da pirâmide é um triângulo equilátero. então Mé o centro da base eEM- a altura de uma pirâmide regularSABC. Volume da Pirâmide SABC igual: inspecionar solução

Em uma pirâmide triangular regular SABC as medianas da base se cruzam em um ponto M. Área de um triângulo abcé 3, EM= 1. Encontre o volume da pirâmide.

Em uma pirâmide triangular regular SABC as medianas da base se cruzam em um ponto M. O volume da pirâmide é 1, EM= 1. Encontre a área do triângulo abc.

Vamos terminar com isso. Como você pode ver, as tarefas são resolvidas em uma ou duas etapas. No futuro, consideraremos com você outros problemas desta parte, onde são dados corpos de revolução, não perca!

Eu te desejo sucesso!

Atenciosamente, Alexander Krutitskikh.

P.S: Agradeceria se você falasse sobre o site nas redes sociais.

Os alunos se deparam com o conceito de pirâmide muito antes de estudar geometria. Culpe as famosas grandes maravilhas egípcias do mundo. Portanto, iniciando o estudo deste maravilhoso poliedro, a maioria dos alunos já o imagina claramente. Todos os pontos turísticos acima estão na forma correta. O que pirâmide direita, e quais propriedades ele tem e será discutido mais adiante.

Em contato com

Definição

Existem muitas definições de pirâmide. Desde os tempos antigos, tem sido muito popular.

Por exemplo, Euclides a definiu como uma figura sólida, composta por planos, que, partindo de um, convergem em um determinado ponto.

Heron forneceu uma formulação mais precisa. Ele insistiu que era uma figura que tem uma base e planos na forma de triângulos, convergindo em um ponto.

Com base na interpretação moderna, a pirâmide é apresentada como um poliedro espacial, constituído por um certo k-gon e k figuras triangulares planas que têm um ponto comum.

Vamos olhar mais de perto, De que elementos é constituído?

• k-gon é considerado a base da figura;
• figuras de 3 ângulos se projetam como os lados da parte lateral;
• a parte superior, da qual se originam os elementos laterais, é chamada de topo;
• todos os segmentos que conectam o vértice são chamados de arestas;
• se uma linha reta é abaixada do topo ao plano da figura em um ângulo de 90 graus, sua parte encerrada no espaço interno é a altura da pirâmide;
• em qualquer elemento lateral ao lado do nosso poliedro, você pode desenhar uma perpendicular, chamada apótema.

O número de arestas é calculado usando a fórmula 2*k, onde k é o número de lados do k-gon. Quantas faces um poliedro como uma pirâmide tem pode ser determinado pela expressão k + 1.

Importante! Uma pirâmide de forma regular é uma figura estereométrica cujo plano de base é um k-gon com lados iguais.

Propriedades básicas

Pirâmide correta tem muitas propriedades que são únicos para ela. Vamos listá-los:

1. A base é uma figura da forma correta.
2. As arestas da pirâmide, limitando os elementos laterais, têm valores numéricos iguais.
3. Os elementos laterais são triângulos isósceles.
4. A base da altura da figura cai no centro do polígono, ao mesmo tempo em que é o ponto central do inscrito e do descrito.
5. Todas as nervuras laterais são inclinadas em relação ao plano de base no mesmo ângulo.
6. Todas as superfícies laterais têm o mesmo ângulo de inclinação em relação à base.

Graças a todas as propriedades listadas, o desempenho dos cálculos dos elementos é bastante simplificado. Com base nas propriedades acima, prestamos atenção dois sinais:

1. No caso em que o polígono se encaixe em um círculo, as faces laterais terão ângulos iguais com a base.
2. Ao descrever um círculo em torno de um polígono, todas as arestas da pirâmide que emanam do vértice terão o mesmo comprimento e ângulos iguais com a base.

A praça é baseada

Pirâmide quadrangular regular - um poliedro baseado em um quadrado.

Tem quatro faces laterais, de aparência isósceles.

Em um plano, um quadrado é representado, mas eles são baseados em todas as propriedades de um quadrilátero regular.

Por exemplo, se for necessário conectar o lado de um quadrado com sua diagonal, a seguinte fórmula é usada: a diagonal é igual ao produto do lado do quadrado pela raiz quadrada de dois.

Baseado em um triângulo regular

Uma pirâmide triangular regular é um poliedro cuja base é um 3-gon regular.

Se a base é um triângulo regular e as arestas laterais são iguais às arestas da base, então tal figura chamado de tetraedro.

Todas as faces de um tetraedro são 3-gons equiláteros. Nesse caso, você precisa conhecer alguns pontos e não perder tempo com eles na hora de calcular:

• o ângulo de inclinação das nervuras para qualquer base é de 60 graus;
• o valor de todas as faces internas também é de 60 graus;
• qualquer rosto pode servir de base;
• desenhados dentro da figura são elementos iguais.

Seções de um poliedro

Em qualquer poliedro existem vários tipos de seções plano. Muitas vezes, em um curso de geometria escolar, eles trabalham com dois:

• axial;
• base paralela.

Uma seção axial é obtida pela interseção de um poliedro com um plano que passa pelo vértice, arestas laterais e eixo. Neste caso, o eixo é a altura desenhada a partir do vértice. O plano de corte é limitado pelas linhas de interseção com todas as faces, resultando em um triângulo.

Atenção! Em uma pirâmide regular, a seção axial é um triângulo isósceles.

Se o plano de corte for paralelo à base, o resultado será a segunda opção. Neste caso, temos no contexto uma figura semelhante à base.

Por exemplo, se a base for um quadrado, a seção paralela à base também será um quadrado, apenas de tamanho menor.

Ao resolver problemas nesta condição, são usados ​​sinais e propriedades de semelhança de figuras, baseado no teorema de Tales. Em primeiro lugar, é necessário determinar o coeficiente de semelhança.

Se o plano é desenhado paralelamente à base e corta a parte superior do poliedro, obtém-se uma pirâmide truncada regular na parte inferior. Então diz-se que as bases do poliedro truncado são polígonos semelhantes. Neste caso, as faces laterais são trapézios isósceles. A seção axial também é isósceles.

Para determinar a altura de um poliedro truncado, é necessário traçar a altura em uma seção axial, ou seja, em um trapézio.

Áreas de superfície

Os principais problemas geométricos que devem ser resolvidos no curso de geometria escolar são encontrar a área da superfície e o volume de uma pirâmide.

Existem dois tipos de área de superfície:

• área de elementos laterais;
• toda a área da superfície.

Pelo próprio título fica claro do que se trata. A superfície lateral inclui apenas os elementos laterais. Daí resulta que para encontrá-lo, basta somar as áreas dos planos laterais, ou seja, as áreas dos 3-gons isósceles. Vamos tentar derivar a fórmula para a área dos elementos laterais:

1. A área de um 3-gon isósceles é Str = 1/2(aL), onde a é o lado da base, L é o apótema.
2. O número de planos laterais depende do tipo do k-gon na base. Por exemplo, uma pirâmide quadrangular regular tem quatro planos laterais. Portanto, é necessário somar as áreas de quatro algarismos Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L . A expressão é simplificada desta forma porque o valor 4a=POS, onde POS é o perímetro da base. E a expressão 1/2 * Rosn é seu semiperímetro.
3. Assim, concluímos que a área dos elementos laterais de uma pirâmide regular é igual ao produto do semiperímetro da base e do apótema: Sside \u003d Rosn * L.

A área da superfície total da pirâmide consiste na soma das áreas dos planos laterais e da base: Sp.p. = Sside + Sbase.

Quanto à área da base, aqui a fórmula é usada de acordo com o tipo de polígono.

Volume de uma pirâmide regularé igual ao produto da área do plano da base pela altura dividida por três: V=1/3*Sbase*H, onde H é a altura do poliedro.

O que é uma pirâmide regular em geometria

Propriedades de uma pirâmide quadrangular regular

Pirâmide. Pirâmide truncada

Pirâmideé chamado de poliedro, uma de cujas faces é um polígono ( base ), e todas as outras faces são triângulos com um vértice comum ( faces laterais ) (Fig. 15). A pirâmide é chamada correto , se sua base for um polígono regular e o topo da pirâmide for projetado no centro da base (Fig. 16). Uma pirâmide triangular em que todas as arestas são iguais é chamada de tetraedro .

Costela lateral pirâmide é chamado o lado da face lateral que não pertence à base Altura pirâmide é a distância do seu topo ao plano da base. Todas as arestas laterais de uma pirâmide regular são iguais entre si, todas as faces laterais são triângulos isósceles iguais. A altura da face lateral de uma pirâmide regular desenhada a partir do vértice é chamada apotema . seção diagonal Uma seção de uma pirâmide é chamada de plano que passa por duas arestas laterais que não pertencem à mesma face.

Superfície lateral pirâmide é chamada de soma das áreas de todas as faces laterais. Superfície total é a soma das áreas de todas as faces laterais e da base.

Teoremas

1. Se em uma pirâmide todas as arestas laterais são igualmente inclinadas em relação ao plano da base, então o topo da pirâmide é projetado no centro do círculo circunscrito próximo à base.

2. Se na pirâmide todas as arestas laterais têm comprimentos iguais, então o topo da pirâmide é projetado no centro do círculo circunscrito próximo à base.

3. Se na pirâmide todas as faces estão igualmente inclinadas em relação ao plano da base, então o topo da pirâmide é projetado no centro do círculo inscrito na base.

Para calcular o volume de uma pirâmide arbitrária, a fórmula está correta:

Onde V- volume;

S principal- área de base;

Hé a altura da pirâmide.

Para uma pirâmide regular, as seguintes fórmulas são verdadeiras:

Onde p- o perímetro da base;

h a- apótema;

H- altura;

S cheio

lado S

S principal- área de base;

Vé o volume de uma pirâmide regular.

pirâmide truncada chamada de parte da pirâmide delimitada entre a base e o plano de corte paralelo à base da pirâmide (Fig. 17). Pirâmide truncada correta chamada de parte de uma pirâmide regular, encerrada entre a base e um plano de corte paralelo à base da pirâmide.

Fundações pirâmide truncada - polígonos semelhantes. Faces laterais - trapézio. Altura pirâmide truncada é chamada de distância entre suas bases. Diagonal Uma pirâmide truncada é um segmento conectando seus vértices que não estão na mesma face. seção diagonal Uma seção de uma pirâmide truncada é chamada de plano que passa por duas arestas laterais que não pertencem à mesma face.

Para uma pirâmide truncada, as fórmulas são válidas:

(4)

Onde S 1 , S 2 - áreas das bases superior e inferior;

S cheioé a área total da superfície;

lado Sé a área de superfície lateral;

H- altura;

Vé o volume da pirâmide truncada.

Para uma pirâmide truncada regular, a seguinte fórmula é verdadeira:

Onde p 1 , p 2 - perímetros de base;

h a- o apótema de uma pirâmide truncada regular.

Exemplo 1 Em uma pirâmide triangular regular, o ângulo diedro na base é de 60º. Encontre a tangente do ângulo de inclinação da aresta lateral ao plano da base.

Decisão. Vamos fazer um desenho (Fig. 18).

A pirâmide é regular, o que significa que a base é um triângulo equilátero e todas as faces laterais são triângulos isósceles iguais. O ângulo diedro na base é o ângulo de inclinação da face lateral da pirâmide para o plano da base. O ângulo linear será o ângulo uma entre duas perpendiculares: i.e. O topo da pirâmide é projetado no centro do triângulo (o centro do círculo circunscrito e o círculo inscrito no triângulo abc). O ângulo de inclinação da nervura lateral (por exemplo SB) é o ângulo entre a própria aresta e sua projeção no plano base. Para costela SB este ângulo será o ângulo SBD. Para encontrar a tangente você precisa conhecer as pernas ENTÃO e OB. Deixe o comprimento do segmento BDé 3 uma. ponto O segmento de linha BDé dividido em partes: e De encontramos ENTÃO: De encontramos:

Responda:

Exemplo 2 Encontre o volume de uma pirâmide quadrangular truncada regular se as diagonais de suas bases são cm e cm e a altura é 4 cm.

Decisão. Para encontrar o volume de uma pirâmide truncada, usamos a fórmula (4). Para encontrar as áreas das bases, você precisa encontrar os lados dos quadrados da base, conhecendo suas diagonais. Os lados das bases são 2 cm e 8 cm, respectivamente. Isso significa as áreas das bases e Substituindo todos os dados na fórmula, calculamos o volume da pirâmide truncada:

Responda: 112 cm3.

Exemplo 3 Encontre a área da face lateral de uma pirâmide truncada triangular regular, cujos lados da base são 10 cm e 4 cm, e a altura da pirâmide é 2 cm.

Decisão. Vamos fazer um desenho (Fig. 19).

A face lateral desta pirâmide é um trapézio isósceles. Para calcular a área de um trapézio, você precisa conhecer as bases e a altura. As bases são dadas por condição, apenas a altura permanece desconhecida. Encontre-o de onde MAS 1 E perpendicular de um ponto MAS 1 no plano da base inferior, UMA 1 D- perpendicular de MAS 1 em CA. MAS 1 E\u003d 2 cm, pois esta é a altura da pirâmide. Para encontrar DE faremos um desenho adicional, no qual representaremos uma vista superior (Fig. 20). Ponto O- projeção dos centros das bases superior e inferior. uma vez que (ver Fig. 20) e Por outro lado OKé o raio do círculo inscrito e OMé o raio do círculo inscrito:

MK=DE.

De acordo com o teorema de Pitágoras de

Área da face lateral:

Responda:

Exemplo 4 Na base da pirâmide encontra-se um trapézio isósceles, cujas bases uma e b (uma> b). Cada face lateral forma um ângulo igual ao plano da base da pirâmide j. Encontre a área total da superfície da pirâmide.

Decisão. Vamos fazer um desenho (Fig. 21). Área total da superfície da pirâmide SABCé igual a soma das áreas e a área do trapézio ABCD.

Vamos usar a afirmação de que se todas as faces da pirâmide estão igualmente inclinadas em relação ao plano da base, então o vértice é projetado no centro do círculo inscrito na base. Ponto O- projeção de vértices S na base da pirâmide. Triângulo SODé a projeção ortogonal do triângulo refrigerante ao plano base. De acordo com o teorema sobre a área da projeção ortogonal de uma figura plana, obtemos:

Da mesma forma, significa Assim, o problema foi reduzido a encontrar a área do trapézio ABCD. Desenhe um trapézio ABCD separadamente (Fig. 22). Ponto Oé o centro de um círculo inscrito em um trapézio.

Como um círculo pode ser inscrito em um trapézio, então ou Pelo teorema de Pitágoras temos

Vídeo aula 2: Desafio da pirâmide. Volume da Pirâmide

Vídeo aula 3: Desafio da pirâmide. Pirâmide correta

Palestra: Pirâmide, sua base, bordas laterais, altura, superfície lateral; pirâmide triangular; pirâmide direita

Pirâmide, suas propriedades

Pirâmide- Este é um corpo tridimensional que possui um polígono na base e todas as suas faces são compostas por triângulos.

Um caso especial de uma pirâmide é um cone, na base do qual se encontra um círculo.

Considere os principais elementos da pirâmide:

Apótemaé um segmento que liga o topo da pirâmide com o meio da borda inferior da face lateral. Em outras palavras, esta é a altura da face da pirâmide.

Na figura você pode ver os triângulos ADS, ABS, BCS, CDS. Se você observar atentamente os nomes, poderá ver que cada triângulo tem uma letra comum em seu nome - S. Ou seja, significa que todas as faces laterais (triângulos) convergem em um ponto, que é chamado de topo da pirâmide.

O segmento OS, que conecta o vértice com o ponto de interseção das diagonais da base (no caso de triângulos, no ponto de interseção das alturas), é chamado altura da pirâmide.

Uma seção diagonal é um plano que passa pelo topo da pirâmide, bem como por uma das diagonais da base.

Como a superfície lateral da pirâmide consiste em triângulos, para encontrar a área total da superfície lateral, é necessário encontrar as áreas de cada face e adicioná-las. O número e a forma das faces dependem da forma e do tamanho dos lados do polígono que se encontra na base.

O único plano em uma pirâmide que não tem um vértice é chamado base pirâmides.

Na figura, vemos que a base é um paralelogramo, porém, pode haver qualquer polígono arbitrário.

Propriedades:

Considere o primeiro caso de uma pirâmide, na qual ela possui arestas do mesmo comprimento:

• Um círculo pode ser descrito em torno da base de tal pirâmide. Se você projetar o topo de tal pirâmide, sua projeção estará no centro do círculo.
• Os ângulos na base da pirâmide são os mesmos para cada face.
• Ao mesmo tempo, uma condição suficiente para que um círculo possa ser descrito em torno da base da pirâmide, e também que todas as arestas sejam de comprimentos diferentes, podem ser considerados os mesmos ângulos entre a base e cada aresta das faces .

Se você se deparar com uma pirâmide na qual os ângulos entre as faces laterais e a base são iguais, as seguintes propriedades são verdadeiras:

• Você será capaz de descrever um círculo ao redor da base da pirâmide, cujo topo é projetado exatamente para o centro.
• Se você desenhar em cada lado da altura da base, eles terão o mesmo comprimento.
• Para encontrar a área da superfície lateral de tal pirâmide, basta encontrar o perímetro da base e multiplicá-lo pela metade do comprimento da altura.
• Sbp \u003d 0,5P oc H.
• Tipos de pirâmide.
• Dependendo de qual polígono está na base da pirâmide, eles podem ser triangulares, quadrangulares, etc. Se um polígono regular (com lados iguais) estiver na base da pirâmide, essa pirâmide será chamada de regular.

Pirâmide triangular regular