Mamãe lavou o quadro

No final das longas férias de verão, é hora de retornar lentamente à matemática superior e abrir solenemente um arquivo Verd vazio para começar a criar uma nova seção - . Confesso que as primeiras linhas não são fáceis, mas o primeiro passo é metade do caminho, então sugiro a todos que estudem com atenção o artigo introdutório, após o qual será 2 vezes mais fácil dominar o tema! Eu não estou exagerando em tudo. ... Na véspera do próximo 1º de setembro, lembro-me da primeira série e da cartilha .... Letras formam sílabas, sílabas em palavras, palavras em frases curtas - mamãe lavou o quadro. Dominar o terver e a estatística matemática é tão fácil quanto aprender a ler! No entanto, para isso é necessário conhecer os principais termos, conceitos e designações, bem como algumas regras específicas, às quais esta lição é dedicada.

Mas primeiro, por favor, aceite meus parabéns pelo início (continuação, conclusão, nota apropriada) do ano acadêmico e aceite o presente. O melhor presente é um livro e, para auto-estudo, recomendo a seguinte literatura:

1) Gmurman V. E. Teoria da Probabilidade e Estatística Matemática

Um livro lendário que passou por mais de dez reimpressões. Ele difere na inteligibilidade e na apresentação simples final do material, e os primeiros capítulos são completamente acessíveis, eu acho, já para alunos do 6º ao 7º ano.

2) Gmurman V. E. Guia para Resolução de Problemas em Probabilidade e Estatística Matemática

Reshebnik do mesmo Vladimir Efimovich com exemplos e tarefas detalhadas.

NECESSARIAMENTE baixe os dois livros da Internet ou obtenha seus originais em papel! Uma versão dos anos 60-70 serve, o que é ainda melhor para manequins. Embora a frase "teoria da probabilidade para manequins" pareça bastante ridícula, já que quase tudo se limita a operações aritméticas elementares. Eles escorregam, no entanto, em lugares derivados e integrais, mas isso é apenas em alguns lugares.

Tentarei alcançar a mesma clareza de apresentação, mas devo avisar que meu curso é focado em Solução de problemas e os cálculos teóricos são reduzidos ao mínimo. Assim, se você precisar de uma teoria detalhada, provas de teoremas (sim, teoremas!), consulte o livro didático.

Para quem quer aprender a resolver problemas em questão de dias, criado curso intensivo em pdf (de acordo com o site). Bem, agora mesmo, sem adiar o assunto em uma pasta longa, estamos começando a estudar terver e matstat - siga-me!

O suficiente para começar =)

À medida que você lê os artigos, é útil se familiarizar (pelo menos brevemente) com problemas adicionais dos tipos considerados. Na página Soluções prontas para matemática superior o pdf-ki correspondente com exemplos de soluções são colocados. Além disso, uma assistência significativa será fornecida IDZ 18.1-18.2 Ryabushko(mais fácil) e resolvido IDZ de acordo com a coleção de Chudesenko(mais difícil).

1) soma dois eventos e é chamado de evento que consiste no fato de que ou evento ou evento ou ambos os eventos ao mesmo tempo. Caso os eventos incompatível, a última opção desaparece, ou seja, pode ocorrer ou evento ou evento.

A regra também se aplica a mais termos, por exemplo, um evento é o que vai acontecer pelo menos um de eventos , uma se os eventos forem incompatíveis – aquele e único evento desta soma: ou evento, ou evento, ou evento, ou evento, ou evento.

Muitos exemplos:

O evento (quando lançar um dado não deixa cair 5 pontos) é aquele ou 1, ou 2, ou 3, ou 4, ou 6 pontos.

Evento (vai cair não mais dois pontos) é que 1 ou 2pontos.

Evento (haverá um número par de pontos) é que o ou 2 ou 4 ou 6 pontos.

O evento é que uma carta de naipe vermelho (coração) será retirada do baralho ou pandeiro), e o evento - que a “imagem” será extraída (jack ou senhora ou rei ouás).

Um pouco mais interessante é o caso dos eventos conjuntos:

O evento é que um clube será sorteado do baralho ou Sete ou sete de clubes De acordo com a definição acima, pelo menos algo- ou qualquer clube ou qualquer sete ou seu "cruzamento" - sete clubes. É fácil calcular que este evento corresponde a 12 resultados elementares (9 cartas de paus + 3 setes restantes).

O evento é que amanhã às 12:00 PELO MENOS UM dos eventos conjuntos resumidos, a saber:

- ou haverá apenas chuva/só trovões/só sol;
- ou apenas alguns eventos virão (chuva + trovoada / chuva + sol / trovoada + sol);
– ou todos os três eventos aparecerão ao mesmo tempo.

Ou seja, o evento inclui 7 resultados possíveis.

O segundo pilar da álgebra de eventos:

2) trabalhar dois eventos e chamar o evento, que consiste no aparecimento conjunto desses eventos, ou seja, a multiplicação significa que em algumas circunstâncias virá e evento, e evento. Uma afirmação semelhante é verdadeira para um número maior de eventos, por exemplo, o trabalho implica que, sob certas condições, haverá e evento, e evento, e evento, …, e evento.

Considere um teste no qual duas moedas são lançadas e os seguintes eventos:

- caras cairão na 1ª moeda;
- a 1ª moeda dará coroa;
- a 2ª moeda dará cara;
- a 2ª moeda dará coroa.

Então:
e no dia 2 cairá uma águia;
- o evento consiste no fato de que em ambas as moedas (no 1º e na 2ª) as caudas cairão;
– o evento é que a 1ª moeda vai dar cara e na 2ª coroa da moeda;
- o evento é que a 1ª moeda sairá coroa e na 2ª moeda uma águia.

É fácil ver que os eventos incompatível (já que não pode, por exemplo, cair 2 caras e 2 coroas ao mesmo tempo) e forma grupo completo (desde que levado em consideração tudo resultados possíveis do lançamento de duas moedas). Vamos resumir esses eventos: . Como interpretar esta entrada? Muito simples - multiplicação significa conexão lógica E, e a adição é OU. Assim, a soma é fácil de ler em linguagem humana compreensível: “duas águias cairão ou duas caudas ou cara na 1ª moeda e na 2ª cauda ou cara na 1ª moeda eáguia na 2ª moeda »

Este foi um exemplo quando em um teste vários objetos estão envolvidos, neste caso duas moedas. Outro esquema comumente usado na prática é testes repetidos quando, por exemplo, o mesmo dado é lançado 3 vezes seguidas. Como demonstração, considere os seguintes eventos:

- no 1º lançamento, cairão 4 pontos;
- no 2º lançamento, cairão 5 pontos;
- no 3º lançamento, cairão 6 pontos.

Então o evento consiste no fato de que no 1º lançamento cairão 4 pontos e no 2º lançamento cairá 5 pontos e na 3ª jogada, cairão 6 pontos. Obviamente, no caso de um dado, haverá significativamente mais combinações (resultados) do que se estivéssemos jogando uma moeda.

…Entendo que, talvez, não se analisem exemplos muito interessantes, mas são coisas que se encontram frequentemente nos problemas e não há como fugir deles. Além de uma moeda, um dado e um baralho de cartas, há urnas com bolas coloridas, várias pessoas anônimas atirando em alvos e um trabalhador incansável que constantemente lapida alguns detalhes =)

Probabilidade do evento

Probabilidade do evento é um conceito central na teoria da probabilidade. ...Uma coisa lógica mortal, mas você tinha que começar em algum lugar =) Existem várias abordagens para sua definição:

;
Definição geométrica de probabilidade ;
Definição estatística de probabilidade .

Neste artigo, focarei na definição clássica de probabilidades, que é mais amplamente utilizada em tarefas educacionais.

Notação. A probabilidade de algum evento é indicada por uma letra maiúscula latina, e o próprio evento é colocado entre parênteses, funcionando como uma espécie de argumento. Por exemplo:

Além disso, uma letra minúscula é amplamente usada para representar probabilidade. Em particular, pode-se abandonar as designações complicadas de eventos e suas probabilidades a favor do seguinte estilo:

é a probabilidade de que o lançamento de uma moeda resulte em cara;
- a probabilidade de que 5 pontos caiam como resultado do lançamento de um dado;
é a probabilidade de que uma carta do naipe de paus seja retirada do baralho.

Essa opção é popular na solução de problemas práticos, pois permite reduzir significativamente a entrada da solução. Como no primeiro caso, é conveniente usar subscritos/sobrescritos “falantes” aqui.

Todo mundo adivinha há muito tempo sobre os números que acabei de escrever acima, e agora vamos descobrir como eles ficaram:

A definição clássica de probabilidade:

A probabilidade de um evento ocorrer em algum teste é a razão , onde:

é o número total de todos igualmente possível, elementar resultados deste teste, que formam grupo completo de eventos;

- resultar elementar resultados favorável evento.

Quando uma moeda é lançada, pode sair cara ou coroa - esses eventos se formam grupo completo, portanto, o número total de resultados ; enquanto cada um deles elementar e igualmente possível. O evento é favorecido pelo resultado (cara). De acordo com a definição clássica de probabilidades: .

Da mesma forma, como resultado de um lançamento de um dado, podem aparecer resultados elementares igualmente possíveis, formando um grupo completo, e o evento é favorecido por um único resultado (rolando um cinco). Então: .ISSO NÃO É ACEITO PARA FAZER (embora não seja proibido descobrir as porcentagens em sua mente).

É costume usar frações de uma unidade, e, obviamente, a probabilidade pode variar dentro de . Além disso, se , então o evento é impossível, E se - autêntico, e se , então estamos falando de aleatória evento.

! Se durante a resolução de qualquer problema você obtiver algum outro valor de probabilidade - procure por um erro!

Na abordagem clássica da definição de probabilidade, os valores extremos (zero e um) são obtidos exatamente pelo mesmo raciocínio. Retira-se ao acaso 1 bola de uma urna contendo 10 bolas vermelhas. Considere os seguintes eventos:

em um único ensaio, um evento improvável não ocorrerá.

É por isso que você não ganhará o jackpot na loteria se a probabilidade desse evento for, digamos, 0,00000001. Sim, sim, é você - com o único bilhete em uma circulação específica. No entanto, mais bilhetes e mais sorteios não o ajudarão muito. ... Quando conto isso aos outros, quase sempre ouço em resposta: "mas alguém ganha". Ok, então vamos fazer o seguinte experimento: por favor, compre qualquer bilhete de loteria hoje ou amanhã (não demore!). E se você ganhar ... bem, pelo menos mais de 10 quilos de rublos, não se esqueça de cancelar a inscrição - vou explicar por que isso aconteceu. Por uma porcentagem, é claro =) =)

Mas não há necessidade de ficar triste, porque há um princípio oposto: se a probabilidade de algum evento estiver muito próxima da unidade, então em um único teste quase certo acontecerá. Portanto, antes de um salto de paraquedas, não tenha medo, pelo contrário - sorria! Afinal, circunstâncias absolutamente impensáveis ​​e fantásticas devem surgir para que ambos os pára-quedas falhem.

Embora tudo isso seja poesia, pois, dependendo do conteúdo do evento, o primeiro princípio pode ser alegre e o segundo - triste; ou mesmo ambos são paralelos.

Provavelmente o suficiente por enquanto, na aula Tarefas para a definição clássica de probabilidade vamos espremer o máximo da fórmula. Na parte final deste artigo, consideramos um importante teorema:

A soma das probabilidades dos eventos que formam um grupo completo é igual a um. Grosso modo, se os eventos formam um grupo completo, então, com 100% de probabilidade, um deles acontecerá. No caso mais simples, eventos opostos formam um grupo completo, por exemplo:

- como resultado de um sorteio, uma águia cairá;
- como resultado do lançamento de uma moeda, as coroas cairão.

De acordo com o teorema:

É claro que esses eventos são igualmente prováveis ​​e suas probabilidades são as mesmas. .

Por causa da igualdade de probabilidades, eventos igualmente prováveis ​​são freqüentemente chamados de equiprovável . E aqui está o trava-línguas para determinar o grau de intoxicação =)

Exemplo de dado: eventos são opostos, então .

O teorema em consideração é conveniente, pois permite encontrar rapidamente a probabilidade do evento oposto. Então, se você conhece a probabilidade de que um cinco caia, é fácil calcular a probabilidade de que ele não caia:

Isso é muito mais fácil do que resumir as probabilidades de cinco resultados elementares. Para resultados elementares, a propósito, este teorema também é válido:
. Por exemplo, se é a probabilidade de o atirador acertar o alvo, então é a probabilidade de ele errar.

! Na teoria das probabilidades, é indesejável usar as letras e para qualquer outro propósito.

Em homenagem ao Dia do Conhecimento, não vou dar lição de casa =), mas é muito importante que você possa responder as seguintes perguntas:

Que tipos de eventos existem?
– O que é acaso e igual possibilidade de um evento?
– Como você entende os termos compatibilidade/incompatibilidade de eventos?
– O que é um grupo completo de eventos, eventos opostos?
O que significa a adição e a multiplicação de eventos?
– Qual é a essência da definição clássica de probabilidade?
– Por que o teorema da adição para as probabilidades de eventos formando um grupo completo é útil?

Não, você não precisa empinar nada, estes são apenas os fundamentos da teoria das probabilidades - uma espécie de cartilha que caberá na sua cabeça rapidamente. E para que isso aconteça o mais rápido possível, sugiro que você leia as lições

Muitos, diante do conceito de "teoria da probabilidade", ficam assustados, pensando que isso é algo avassalador, muito complexo. Mas realmente não é tão trágico. Hoje vamos considerar o conceito básico da teoria das probabilidades, aprender a resolver problemas usando exemplos específicos.

A ciência

O que um ramo da matemática como a “teoria da probabilidade” estuda? Ela observa padrões e magnitudes. Pela primeira vez, os cientistas se interessaram por essa questão no século XVIII, quando estudavam jogos de azar. O conceito básico da teoria da probabilidade é um evento. É qualquer fato comprovado pela experiência ou observação. Mas o que é experiência? Outro conceito básico da teoria da probabilidade. Isso significa que essa composição de circunstâncias não foi criada por acaso, mas para um propósito específico. Quanto à observação, aqui o próprio pesquisador não participa do experimento, mas simplesmente é testemunha desses eventos, ele não influencia em nada o que está acontecendo.

Eventos

Aprendemos que o conceito básico da teoria das probabilidades é um evento, mas não consideramos a classificação. Todos eles se enquadram nas seguintes categorias:

• Confiável.
• Impossível.
• Aleatório.

Não importa que tipo de eventos são observados ou criados no decorrer da experiência, todos eles estão sujeitos a essa classificação. Oferecemos conhecer cada uma das espécies separadamente.

Evento credível

Esta é uma circunstância diante da qual o conjunto de medidas necessárias foi tomado. Para entender melhor a essência, é melhor dar alguns exemplos. Física, química, economia e matemática superior estão sujeitas a esta lei. A teoria da probabilidade inclui um conceito tão importante como um determinado evento. aqui estão alguns exemplos:

• Trabalhamos e recebemos remuneração na forma de salários.
• Passamos bem nos exames, passamos na competição, por isso recebemos uma recompensa na forma de admissão em uma instituição de ensino.
• Investimos dinheiro no banco, se necessário, vamos recuperá-lo.

Tais eventos são confiáveis. Se cumprirmos todas as condições necessárias, certamente obteremos o resultado esperado.

Eventos impossíveis

Consideramos agora os elementos da teoria das probabilidades. Propomos passar para uma explicação do próximo tipo de evento, a saber, o impossível. Para começar, estipularemos a regra mais importante - a probabilidade de um evento impossível é zero.

É impossível desviar-se desta formulação ao resolver problemas. Para esclarecer, aqui estão alguns exemplos de tais eventos:

• A água congelou a uma temperatura de mais de dez (isso é impossível).
• A falta de energia elétrica não afeta de forma alguma a produção (tão impossível quanto no exemplo anterior).

Mais exemplos não devem ser dados, pois os descritos acima refletem muito claramente a essência desta categoria. O evento impossível nunca acontecerá durante a experiência em nenhuma circunstância.

eventos aleatórios

Ao estudar os elementos, atenção especial deve ser dada a esse tipo específico de evento. É isso que a ciência está estudando. Como resultado da experiência, algo pode ou não acontecer. Além disso, o teste pode ser repetido um número ilimitado de vezes. Exemplos proeminentes são:

• Jogar uma moeda é uma experiência, ou um teste, a cabeça é um evento.
• Puxar a bola para fora da bolsa às cegas é um teste, uma bola vermelha é pega é um evento, e assim por diante.

Pode haver um número ilimitado de exemplos, mas, em geral, a essência deve ser clara. Para resumir e sistematizar o conhecimento adquirido sobre os eventos, é fornecida uma tabela. A teoria da probabilidade estuda apenas o último tipo de todos os apresentados.

título	definição
credível	Eventos que ocorrem com 100% de garantia, sujeitos a certas condições.	Admissão a uma instituição de ensino com uma boa aprovação no exame de admissão.
Impossível	Eventos que nunca acontecerão em nenhuma circunstância.	Está nevando a uma temperatura do ar de mais de trinta graus Celsius.
Aleatório	Um evento que pode ou não ocorrer durante um experimento/teste.	Acerte ou erre ao jogar uma bola de basquete no aro.

As leis

A teoria da probabilidade é uma ciência que estuda a possibilidade de um evento ocorrer. Como os outros, tem algumas regras. Existem as seguintes leis da teoria da probabilidade:

• Convergência de sequências de variáveis ​​aleatórias.
• A lei dos grandes números.

Ao calcular a possibilidade do complexo, um complexo de eventos simples pode ser usado para obter o resultado de maneira mais fácil e rápida. Observe que as leis da teoria da probabilidade são facilmente provadas com a ajuda de alguns teoremas. Comecemos pela primeira lei.

Convergência de sequências de variáveis ​​aleatórias

Observe que existem vários tipos de convergência:

• A sequência de variáveis ​​aleatórias é convergente em probabilidade.
• Quase impossível.
• Convergência RMS.
• Convergência da Distribuição.

Então, na hora, é muito difícil chegar ao fundo disso. Aqui estão algumas definições para ajudá-lo a entender este tópico. Vamos começar com o primeiro olhar. A sequência é chamada convergente em probabilidade, se a seguinte condição for satisfeita: n tende ao infinito, o número para o qual a sequência tende é maior que zero e próximo a um.

Vamos para o próximo, quase certamente. A sequência é dita convergente quase certamente a uma variável aleatória com n tendendo ao infinito e P tendendo a um valor próximo à unidade.

O próximo tipo é Convergência RMS. Ao usar a convergência SC, o estudo de processos aleatórios vetoriais é reduzido ao estudo de seus processos aleatórios coordenados.

O último tipo permanece, vamos analisá-lo brevemente para prosseguir diretamente na resolução de problemas. A convergência de distribuição tem outro nome - “fraca”, explicaremos o porquê abaixo. Convergência fracaé a convergência das funções de distribuição em todos os pontos de continuidade da função de distribuição limitante.

Definitivamente, cumpriremos a promessa: a convergência fraca difere de todas as opções acima, pois a variável aleatória não é definida no espaço de probabilidade. Isso é possível porque a condição é formada exclusivamente por meio de funções de distribuição.

Lei dos Grandes Números

Excelentes assistentes para provar esta lei serão teoremas da teoria das probabilidades, tais como:

• A desigualdade de Chebyshev.
• Teorema de Chebyshev.
• Teorema de Chebyshev generalizado.
• Teorema de Markov.

Se considerarmos todos esses teoremas, essa questão pode se arrastar por várias dezenas de folhas. Nossa principal tarefa é aplicar a teoria da probabilidade na prática. Convidamos você a fazer isso agora mesmo. Mas antes disso, vamos considerar os axiomas da teoria das probabilidades, eles serão os principais auxiliares na resolução de problemas.

Axiomas

Já conhecemos o primeiro quando falamos sobre o evento impossível. Vamos lembrar: a probabilidade de um evento impossível é zero. Demos um exemplo muito vívido e memorável: a neve caiu a uma temperatura do ar de trinta graus Celsius.

A segunda é a seguinte: um determinado evento ocorre com probabilidade igual a um. Agora vamos mostrar como escrevê-lo usando a linguagem matemática: P(B)=1.

Terceiro: Um evento aleatório pode ou não ocorrer, mas a possibilidade sempre varia de zero a um. Quanto mais próximo o valor estiver de um, maior a chance; se o valor se aproximar de zero, a probabilidade é muito baixa. Vamos escrever em linguagem matemática: 0<Р(С)<1.

Considere o último, quarto axioma, que soa assim: a probabilidade da soma de dois eventos é igual à soma de suas probabilidades. Escrevemos em linguagem matemática: P (A + B) \u003d P (A) + P (B).

Os axiomas da teoria da probabilidade são as regras mais simples que são fáceis de lembrar. Vamos tentar resolver alguns problemas, com base no conhecimento já adquirido.

Bilhete de loteria

Para começar, considere o exemplo mais simples - a loteria. Imagine que você comprou um bilhete de loteria para dar sorte. Qual é a probabilidade de você ganhar pelo menos vinte rublos? No total, mil bilhetes participam da circulação, um dos quais tem um prêmio de quinhentos rublos, dez de cem rublos, cinquenta de vinte rublos e cento e cinco. Problemas na teoria da probabilidade são baseados em encontrar a possibilidade de sorte. Vamos dar uma olhada na solução para o problema acima juntos.

Se denotarmos pela letra A uma vitória de quinhentos rublos, a probabilidade de obter A será de 0,001. Como conseguimos? Você só precisa dividir o número de bilhetes "felizes" pelo número total (neste caso: 1/1000).

B é uma vitória de cem rublos, a probabilidade será igual a 0,01. Agora agimos com o mesmo princípio da ação anterior (10/1000)

C - os ganhos são iguais a vinte rublos. Encontramos a probabilidade, é igual a 0,05.

Os bilhetes restantes não nos interessam, pois seu fundo de prêmios é menor do que o especificado na condição. Vamos aplicar o quarto axioma: A probabilidade de ganhar pelo menos vinte rublos é P(A)+P(B)+P(C). A letra P denota a probabilidade de ocorrência desse evento, já as encontramos nas etapas anteriores. Resta apenas adicionar os dados necessários, na resposta obtemos 0,061. Este número será a resposta para a pergunta da tarefa.

baralho de cartas

Problemas na teoria da probabilidade também são mais complexos, por exemplo, faça a seguinte tarefa. Diante de você está um baralho de trinta e seis cartas. Sua tarefa é tirar duas cartas seguidas sem misturar a pilha, a primeira e a segunda cartas devem ser ases, o naipe não importa.

Para começar, encontramos a probabilidade de que a primeira carta seja um ás, para isso dividimos quatro por trinta e seis. Eles o colocaram de lado. Tiramos a segunda carta, será um ás com probabilidade de três trinta e cinco avos. A probabilidade do segundo evento depende de qual carta tiramos primeiro, estamos interessados ​​em saber se foi um ás ou não. Segue que o evento B depende do evento A.

O próximo passo é encontrar a probabilidade de implementação simultânea, ou seja, multiplicamos A e B. Seu produto é encontrado da seguinte forma: multiplicamos a probabilidade de um evento pela probabilidade condicional de outro, que calculamos, assumindo que o primeiro aconteceu, ou seja, compramos um ás com a primeira carta.

Para deixar tudo claro, vamos designar um elemento como eventos. É calculado assumindo que o evento A ocorreu. Calculado como segue: P(B/A).

Vamos continuar a solução do nosso problema: P (A * B) \u003d P (A) * P (B / A) ou P (A * B) \u003d P (B) * P (A / B). A probabilidade é (4/36) * ((3/35)/(4/36). Calcule arredondando para centésimos. Temos: 0,11 * (0,09/0,11)=0,11 * 0, 82 = 0,09 A probabilidade de que vai tirar dois ases seguidos é nove centésimos. O valor é muito pequeno, segue-se que a probabilidade de ocorrência do evento é extremamente pequena.

Número esquecido

Propomos analisar mais algumas opções de tarefas que são estudadas pela teoria das probabilidades. Você já viu exemplos de como resolver alguns deles neste artigo, vamos tentar resolver o seguinte problema: o menino esqueceu o último dígito do telefone do amigo, mas como a ligação era muito importante, ele começou a discar tudo de uma vez. Precisamos calcular a probabilidade de que ele não ligue mais do que três vezes. A solução do problema é a mais simples se as regras, leis e axiomas da teoria das probabilidades forem conhecidas.

Antes de olhar para a solução, tente resolvê-la você mesmo. Sabemos que o último dígito pode ser de zero a nove, ou seja, são dez valores no total. A probabilidade de acertar é 1/10.

Em seguida, precisamos considerar as opções para a origem do evento, suponha que o menino acertou e imediatamente marcou o certo, a probabilidade de tal evento é 1/10. A segunda opção: a primeira chamada é um erro e a segunda está no alvo. Calculamos a probabilidade de tal evento: multiplique 9/10 por 1/9, como resultado, também obtemos 1/10. A terceira opção: a primeira e a segunda ligações acabaram sendo no endereço errado, só a partir da terceira o menino chegou onde queria. Calculamos a probabilidade de tal evento: multiplicamos 9/10 por 8/9 e por 1/8, obtemos 1/10 como resultado. De acordo com a condição do problema, não estamos interessados ​​em outras opções, então nos resta somar os resultados, como resultado temos 3/10. Resposta: A probabilidade de o menino não ligar mais de três vezes é 0,3.

Cartões com números

Há nove cartas à sua frente, cada uma contendo um número de um a nove, os números não se repetem. Eles foram colocados em uma caixa e misturados cuidadosamente. Você precisa calcular a probabilidade de que

• surgirá um número par;
• dois dígitos.

Antes de passar para a solução, vamos estipular que m é o número de casos de sucesso e n é o número total de opções. Encontre a probabilidade de que o número seja par. Não será difícil calcular que existem quatro números pares, este será o nosso m, são nove opções no total, ou seja, m = 9. Então a probabilidade é 0,44 ou 4/9.

Consideramos o segundo caso: o número de opções é nove e não pode haver nenhum resultado bem-sucedido, ou seja, m é igual a zero. A probabilidade de que a carta retirada contenha um número de dois dígitos também é zero.

O que é uma probabilidade?

Diante deste termo pela primeira vez, eu não entenderia o que é. Então vou tentar explicar de uma forma compreensível.

Probabilidade é a chance de que o evento desejado ocorra.

Por exemplo, você decidiu visitar um amigo, lembrar da entrada e até do andar em que ele mora. Mas esqueci o número e a localização do apartamento. E agora você está de pé na escada, e na sua frente estão as portas para escolher.

Qual é a chance (probabilidade) de que, se você tocar a primeira campainha, seu amigo a abrirá para você? Apartamento inteiro, e um amigo mora apenas atrás de um deles. Com igual chance, podemos escolher qualquer porta.

Mas qual é essa chance?

Portas, a porta certa. Probabilidade de adivinhar tocando na primeira porta: . Ou seja, uma vez em cada três você vai adivinhar com certeza.

Queremos saber ligando uma vez, quantas vezes vamos adivinhar a porta? Vejamos todas as opções:

1. você ligou para 1º uma porta
2. você ligou para 2º uma porta
3. você ligou para 3º uma porta

E agora considere todas as opções onde um amigo pode estar:

uma. Atras do 1º porta
b. Atras do 2º porta
dentro. Atras do 3º porta

Vamos comparar todas as opções na forma de uma tabela. Uma marca indica as opções quando sua escolha corresponde à localização de um amigo, uma cruz - quando não corresponde.

Como você vê tudo possivelmente opções localização do amigo e sua escolha de qual porta tocar.

MAS resultados favoráveis ​​de todos . Ou seja, você adivinhará os tempos tocando a porta uma vez, ou seja, .

Esta é a probabilidade - a proporção de um resultado favorável (quando sua escolha coincidiu com a localização de um amigo) para o número de eventos possíveis.

A definição é a fórmula. A probabilidade é geralmente denotada por p, então:

Não é muito conveniente escrever tal fórmula, então vamos tomar para - o número de resultados favoráveis ​​e para - o número total de resultados.

A probabilidade pode ser escrita como uma porcentagem, para isso você precisa multiplicar o resultado resultante por:

Provavelmente, a palavra “resultados” chamou sua atenção. Como os matemáticos chamam várias ações (para nós, tal ação é uma campainha) de experimentos, é costume chamar o resultado de tais experimentos de resultado.

Bem, os resultados são favoráveis ​​e desfavoráveis.

Vamos voltar ao nosso exemplo. Digamos que tocamos em uma das portas, mas um estranho a abriu para nós. Nós não adivinhamos. Qual é a probabilidade de que, se tocarmos uma das portas restantes, nosso amigo a abrirá para nós?

Se você pensou isso, então isso é um erro. Vamos descobrir.

Temos duas portas restantes. Assim, temos os passos possíveis:

1) Ligue para 1º uma porta
2) Ligue 2º uma porta

Um amigo, com tudo isso, definitivamente está atrás de um deles (afinal, ele não estava atrás daquele que chamamos):

a) um amigo 1º porta
b) um amigo para 2º porta

Vamos desenhar a tabela novamente:

Como você pode ver, existem todas as opções, das quais - favoráveis. Ou seja, a probabilidade é igual.

Por que não?

A situação que consideramos é exemplo de eventos dependentes. O primeiro evento é a primeira campainha, o segundo evento é a segunda campainha.

E eles são chamados de dependentes porque afetam as seguintes ações. Afinal, se um amigo abrisse a porta após o primeiro toque, qual seria a probabilidade de ele estar atrás de um dos outros dois? Corretamente, .

Mas se há eventos dependentes, então deve haver independente? Verdade, existem.

Um exemplo de livro didático é jogar uma moeda.

1. Lançamos uma moeda. Qual é a probabilidade de, por exemplo, sair cara? Isso mesmo - porque as opções para tudo (cara ou coroa, vamos negligenciar a probabilidade de uma moeda ficar no limite), mas apenas nos convém.
2. Mas as caudas caíram. Ok, vamos fazer isso de novo. Qual é a probabilidade de sair cara agora? Nada mudou, está tudo igual. Quantas opções? Dois. Com o quanto estamos satisfeitos? Um.

E deixe as caudas caírem pelo menos mil vezes seguidas. A probabilidade de cair cara de uma vez será a mesma. Há sempre opções, mas favoráveis.

Distinguir eventos dependentes de eventos independentes é fácil:

1. Se o experimento for realizado uma vez (uma vez que uma moeda é lançada, a campainha toca uma vez, etc.), os eventos são sempre independentes.
2. Se o experimento for realizado várias vezes (uma moeda é lançada uma vez, a campainha é tocada várias vezes), o primeiro evento é sempre independente. E então, se o número de resultados favoráveis ​​ou o número de todos os resultados mudar, então os eventos são dependentes e, se não, são independentes.

Vamos praticar um pouco para determinar a probabilidade.

Exemplo 1

A moeda é lançada duas vezes. Qual é a probabilidade de sair cara duas vezes seguidas?

Decisão:

Considere todas as opções possíveis:

1. águia águia
2. cauda de águia
3. cauda-águia
4. Caudas-caudas

Como você pode ver, todas as opções. Destes, estamos satisfeitos apenas. Essa é a probabilidade:

Se a condição pede simplesmente para encontrar a probabilidade, então a resposta deve ser dada como uma fração decimal. Se fosse indicado que a resposta deve ser dada em porcentagem, então multiplicaríamos por.

Responda:

Exemplo 2

Em uma caixa de chocolates, todos os doces são embalados na mesma embalagem. No entanto, de doces - com nozes, conhaque, cerejas, caramelo e nougat.

Qual é a probabilidade de pegar um doce e obter um doce com nozes. Dê sua resposta em porcentagem.

Decisão:

Quantos resultados possíveis existem? .

Ou seja, pegando um doce, será um daqueles da caixa.

E quantos resultados favoráveis?

Porque a caixa contém apenas chocolates com nozes.

Responda:

Exemplo 3

Em uma caixa de bolas. dos quais são brancos e negros.

1. Qual é a probabilidade de tirar uma bola branca?
2. Adicionamos mais bolas pretas à caixa. Qual é a probabilidade de tirar uma bola branca agora?

Decisão:

a) Há apenas bolas na caixa. dos quais são brancos.

A probabilidade é:

b) Agora há bolas na caixa. E sobraram tantos brancos.

Responda:

Probabilidade total

A probabilidade de todos os eventos possíveis é ().

Por exemplo, em uma caixa de bolas vermelhas e verdes. Qual é a probabilidade de tirar uma bola vermelha? Bola verde? Bola vermelha ou verde?

Probabilidade de tirar uma bola vermelha

Bola verde:

Bola vermelha ou verde:

Como você pode ver, a soma de todos os eventos possíveis é igual a (). Compreender este ponto irá ajudá-lo a resolver muitos problemas.

Exemplo 4

Há canetas hidrográficas na caixa: verde, vermelho, azul, amarelo, preto.

Qual é a probabilidade de NÃO tirar um marcador vermelho?

Decisão:

Vamos contar o número resultados favoráveis.

NÃO um marcador vermelho, que significa verde, azul, amarelo ou preto.

Probabilidade de todos os eventos. E a probabilidade de eventos que consideramos desfavoráveis ​​(quando pegamos uma caneta hidrográfica vermelha) é .

Assim, a probabilidade de NÃO desenhar uma caneta hidrográfica vermelha é -.

Responda:

A probabilidade de que um evento não ocorra é menos a probabilidade de que o evento ocorra.

Regra para multiplicar as probabilidades de eventos independentes

Você já sabe o que são eventos independentes.

E se você precisar encontrar a probabilidade de dois (ou mais) eventos independentes ocorrerem em sequência?

Digamos que queremos saber qual é a probabilidade de que, ao jogar uma moeda uma vez, veremos uma águia duas vezes?

Já consideramos - .

E se jogarmos uma moeda? Qual é a probabilidade de ver uma águia duas vezes seguidas?

Total de opções possíveis:

1. Águia-Águia-Águia
2. caudas de águia
3. Cabeça-cauda-águia
4. Head-tails-tails
5. cauda-águia-águia
6. Coroa-cara-coroa
7. Caudas-caudas-cabeças
8. Caudas-caudas-caudas

Eu não sei você, mas eu fiz essa lista errada uma vez. Uau! E a única opção (a primeira) nos convém.

Por 5 rolagens, você mesmo pode fazer uma lista de resultados possíveis. Mas os matemáticos não são tão industriosos quanto você.

Portanto, eles primeiro notaram, e depois provaram, que a probabilidade de uma certa sequência de eventos independentes diminui a cada vez pela probabilidade de um evento.

Em outras palavras,

Considere o exemplo da mesma moeda malfadada.

Probabilidade de sair cara em um julgamento? . Agora estamos jogando uma moeda.

Qual é a probabilidade de obter coroa em uma linha?

Essa regra não funciona apenas se formos solicitados a encontrar a probabilidade de que o mesmo evento ocorra várias vezes seguidas.

Se quiséssemos encontrar a sequência CAUDA-ÁGUIA-CAUDA em lançamentos consecutivos, faríamos o mesmo.

A probabilidade de obter coroas - , caras - .

A probabilidade de obter a sequência CAUDA-ÁGUIA-CAUDA-CAUDA:

Você pode verificar você mesmo fazendo uma tabela.

A regra para adicionar as probabilidades de eventos incompatíveis.

Então para! Nova definição.

Vamos descobrir. Vamos pegar nossa moeda gasta e lançá-la uma vez.
Opções possíveis:

1. Águia-Águia-Águia
2. caudas de águia
3. Cabeça-cauda-águia
4. Head-tails-tails
5. cauda-águia-águia
6. Coroa-cara-coroa
7. Caudas-caudas-cabeças
8. Caudas-caudas-caudas

Então aqui estão eventos incompatíveis, esta é uma certa sequência de eventos. são eventos incompatíveis.

Se quisermos determinar qual é a probabilidade de dois (ou mais) eventos incompatíveis, adicionamos as probabilidades desses eventos.

Você precisa entender que a perda de uma águia ou cauda são dois eventos independentes.

Se quisermos determinar qual é a probabilidade de uma sequência cair) (ou qualquer outra), usamos a regra de multiplicar probabilidades.
Qual é a probabilidade de obter cara na primeira jogada e coroa na segunda e na terceira?

Mas se quisermos saber qual é a probabilidade de obter uma das várias sequências, por exemplo, quando sair cara exatamente uma vez, ou seja, opções e, então, devemos somar as probabilidades dessas sequências.

Total de opções nos convém.

Podemos obter a mesma coisa somando as probabilidades de ocorrência de cada sequência:

Assim, adicionamos probabilidades quando queremos determinar a probabilidade de algumas sequências de eventos incompatíveis.

Existe uma ótima regra para ajudá-lo a não ficar confuso quando multiplicar e quando adicionar:

Vamos voltar ao exemplo em que jogamos uma moeda vezes e queremos saber a probabilidade de ver cara uma vez.
O que vai acontecer?

Deve cair:
(cara E coroa E coroa) OU (coroa E cara E coroa) OU (coroa E coroa E cara).
E assim fica:

Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 5

Há lápis na caixa. vermelho, verde, laranja e amarelo e preto. Qual é a probabilidade de desenhar lápis vermelho ou verde?

Decisão:

O que vai acontecer? Temos que retirar (vermelho OU verde).

Agora está claro, somamos as probabilidades desses eventos:

Responda:

Exemplo 6

Um dado é lançado duas vezes, qual é a probabilidade de sair um total de 8?

Decisão.

Como podemos obter pontos?

(e) ou (e) ou (e) ou (e) ou (e).

A probabilidade de cair de uma (qualquer) face é .

Calculamos a probabilidade:

Responda:

Treino.

Acho que agora ficou claro para você quando você precisa contar as probabilidades, quando adicioná-las e quando multiplicá-las. Não é? Vamos fazer algum exercício.

Tarefas:

Vamos pegar um baralho de cartas em que as cartas são espadas, copas, 13 paus e 13 pandeiros. De a Ace de cada naipe.

1. Qual é a probabilidade de tirar paus em sequência (colocamos a primeira carta retirada no baralho e embaralhamos)?
2. Qual é a probabilidade de tirar uma carta preta (espadas ou paus)?
3. Qual é a probabilidade de tirar uma foto (valete, rainha, rei ou ás)?
4. Qual é a probabilidade de tirar duas figuras seguidas (retiramos a primeira carta retirada do baralho)?
5. Qual é a probabilidade, tirando duas cartas, de coletar uma combinação - (Valete, Dama ou Rei) e Ás A sequência em que as cartas serão tiradas não importa.

Respostas:

1. Em um baralho de cartas de cada valor, significa:
2. Os eventos são dependentes, pois após a primeira carta retirada, o número de cartas do baralho diminuiu (assim como o número de “imagens”). Total de valetes, rainhas, reis e ases no baralho inicialmente, o que significa a probabilidade de tirar a “imagem” com a primeira carta:

   Como estamos removendo a primeira carta do baralho, significa que já existe uma carta no baralho, da qual existem fotos. Probabilidade de desenhar uma imagem com o segundo cartão:

   Como estamos interessados ​​na situação quando obtemos do baralho: “picture” AND “picture”, então precisamos multiplicar as probabilidades:

   Responda:

3. Após a retirada da primeira carta, o número de cartas do baralho diminuirá, assim, temos duas opções:
   1) Com a primeira carta tiramos Ás, a segunda - valete, rainha ou rei
   2) Com a primeira carta tiramos um valete, rainha ou rei, a segunda - um ás. (ás e (valete ou rainha ou rei)) ou ((valete ou rainha ou rei) e ás). Não se esqueça de reduzir o número de cartas no baralho!

Se você conseguiu resolver todos os problemas sozinho, então você é um ótimo sujeito! Agora tarefas sobre a teoria da probabilidade no exame você vai clicar como louco!

TEORIA DA PROBABILIDADE. NÍVEL MÉDIO

Considere um exemplo. Digamos que jogamos um dado. Que tipo de osso é esse, você conhece? Este é o nome de um cubo com números nas faces. Quantas faces, tantos números: de até quantos? Antes.

Então, jogamos um dado e queremos que dê um ou. E nós caímos.

Na teoria da probabilidade eles dizem o que aconteceu evento favorável(não confundir com bom).

Se caísse, o evento também seria auspicioso. No total, apenas dois eventos favoráveis ​​podem ocorrer.

Quantos ruins? Como todos os eventos possíveis, os desfavoráveis ​​deles são eventos (isto é, se cair ou).

Definição:

A probabilidade é a razão entre o número de eventos favoráveis ​​e o número de todos os eventos possíveis.. Ou seja, a probabilidade mostra qual proporção de todos os eventos possíveis são favoráveis.

Eles denotam a probabilidade com uma letra latina (aparentemente, da palavra inglesa probabilidade - probabilidade).

É costume medir a probabilidade como uma porcentagem (ver tópicos e). Para fazer isso, o valor da probabilidade deve ser multiplicado por. No exemplo dos dados, probabilidade.

E em porcentagem: .

Exemplos (decida por si mesmo):

1. Qual é a probabilidade de que o lançamento de uma moeda dê cara? E qual é a probabilidade de sair coroa?
2. Qual é a probabilidade de que um número par saia quando um dado é lançado? E com o que - estranho?
3. Em uma gaveta de lápis lisos, azuis e vermelhos. Desenhamos aleatoriamente um lápis. Qual é a probabilidade de retirar um simples?

Soluções:

1. Quantas opções existem? Caras e coroas - apenas dois. E quantos deles são favoráveis? Apenas um é uma águia. Então a probabilidade

   O mesmo com caudas: .

2. Total de opções: (quantos lados tem um cubo, tantas opções diferentes). Os favoráveis: (todos são números pares :).
   Probabilidade. Com estranho, é claro, a mesma coisa.
3. Total: . Favorável: . Probabilidade: .

Probabilidade total

Todos os lápis na gaveta são verdes. Qual é a probabilidade de tirar um lápis vermelho? Não há chances: probabilidade (afinal, eventos favoráveis ​​-).

Tal evento é chamado de impossível.

Qual é a probabilidade de desenhar um lápis verde? Existem exatamente tantos eventos favoráveis ​​quanto o total de eventos (todos os eventos são favoráveis). Então a probabilidade é ou.

Tal evento é chamado certo.

Se houver lápis verdes e vermelhos na caixa, qual é a probabilidade de desenhar um verde ou um vermelho? Ainda denovo. Observe o seguinte: a probabilidade de tirar o verde é igual e o vermelho é .

Em suma, essas probabilidades são exatamente iguais. Ou seja, a soma das probabilidades de todos os eventos possíveis é igual a ou.

Exemplo:

Em uma caixa de lápis, entre eles estão azul, vermelho, verde, simples, amarelo e o restante é laranja. Qual é a probabilidade de não desenhar verde?

Decisão:

Lembre-se que todas as probabilidades se somam. E a probabilidade de desenhar verde é igual. Isso significa que a probabilidade de não desenhar verde é igual.

Lembre-se deste truque: A probabilidade de que um evento não ocorra é menos a probabilidade de que o evento ocorra.

Eventos independentes e a regra da multiplicação

Você joga uma moeda duas vezes e quer que dê cara nas duas vezes. Qual é a probabilidade disso?

Vamos passar por todas as opções possíveis e determinar quantas existem:

Águia-Águia, cauda-águia, cauda-águia, cauda-cauda. O quê mais?

Toda a variante. Destes, apenas um nos convém: Águia-Águia. Portanto, a probabilidade é igual.

Bom. Agora vamos jogar uma moeda. Conte você mesmo. Ocorrido? (responda).

Você deve ter notado que, com a adição de cada lance seguinte, a probabilidade diminui em um fator. A regra geral é chamada regra de multiplicação:

As probabilidades de eventos independentes mudam.

O que são eventos independentes? Tudo é lógico: são aqueles que não dependem uns dos outros. Por exemplo, quando lançamos uma moeda várias vezes, cada vez que é feito um novo lance, cujo resultado não depende de todos os lances anteriores. Com o mesmo sucesso, podemos lançar duas moedas diferentes ao mesmo tempo.

Mais exemplos:

1. Um dado é lançado duas vezes. Qual é a probabilidade de que ele apareça nas duas vezes?
2. Uma moeda é lançada vezes. Qual é a probabilidade de obter cara primeiro e depois coroa duas vezes?
3. O jogador rola dois dados. Qual é a probabilidade de que a soma dos números sobre eles seja igual?

Respostas:

1. Os eventos são independentes, o que significa que a regra de multiplicação funciona: .
2. A probabilidade de uma águia é igual. Probabilidade de caudas também. Multiplicamos:
3. 12 só pode ser obtido se dois -ki caírem: .

Eventos incompatíveis e a regra de adição

Eventos incompatíveis são eventos que se complementam com probabilidade total. Como o nome indica, eles não podem acontecer ao mesmo tempo. Por exemplo, se jogarmos uma moeda, cara ou coroa podem sair.

Exemplo.

Em uma caixa de lápis, entre eles estão azul, vermelho, verde, simples, amarelo e o restante é laranja. Qual é a probabilidade de sair verde ou vermelho?

Decisão.

A probabilidade de desenhar um lápis verde é igual. Vermelho - .

Eventos auspiciosos de todos: verde + vermelho. Portanto, a probabilidade de desenhar verde ou vermelho é igual.

A mesma probabilidade pode ser representada da seguinte forma: .

Esta é a regra de adição: as probabilidades de eventos incompatíveis se somam.

Tarefas mistas

Exemplo.

A moeda é lançada duas vezes. Qual é a probabilidade de que o resultado das jogadas seja diferente?

Decisão.

Isso significa que se a cara sair primeiro, a coroa deve ser a segunda e vice-versa. Acontece que existem dois pares de eventos independentes aqui, e esses pares são incompatíveis entre si. Como não ficar confuso sobre onde multiplicar e onde adicionar.

Existe uma regra simples para tais situações. Tente descrever o que deve acontecer conectando os eventos com as uniões "AND" ou "OR". Por exemplo, neste caso:

Deve rolar (cara e coroa) ou (coroa e cara).

Onde houver união "e", haverá multiplicação, e onde "ou" é adição:

Tente você mesmo:

1. Qual é a probabilidade de que dois lançamentos de moedas saiam com o mesmo lado nas duas vezes?
2. Um dado é lançado duas vezes. Qual é a probabilidade de a soma perder pontos?

Soluções:

1. (Cara para cima e cara para cima) ou (coroa para cima e coroa para cima): .
2. Quais são as opções? e. Então:
   Rolou (e) ou (e) ou (e): .

Outro exemplo:

Lançamos uma moeda uma vez. Qual é a probabilidade de sair cara pelo menos uma vez?

Decisão:

Ah, como eu não quero vasculhar as opções... Cara-coroa-coroa, Águia-cara-coroa,... Mas você não precisa! Vamos falar sobre probabilidade total. Lembrou? Qual é a probabilidade de que a águia nunca vai cair? É simples: caudas voam o tempo todo, isso significa.

TEORIA DA PROBABILIDADE. BREVEMENTE SOBRE O PRINCIPAL

A probabilidade é a razão entre o número de eventos favoráveis ​​e o número de todos os eventos possíveis.

Eventos independentes

Dois eventos são independentes se a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro ocorrer.

Probabilidade total

A probabilidade de todos os eventos possíveis é ().

A probabilidade de que um evento não ocorra é menos a probabilidade de que o evento ocorra.

Regra para multiplicar as probabilidades de eventos independentes

A probabilidade de uma certa sequência de eventos independentes é igual ao produto das probabilidades de cada um dos eventos

Eventos incompatíveis

Eventos incompatíveis são aqueles eventos que não podem ocorrer simultaneamente como resultado de um experimento. Vários eventos incompatíveis formam um grupo completo de eventos.

As probabilidades de eventos incompatíveis se somam.

Tendo descrito o que deve acontecer, usando as uniões "AND" ou "OR", em vez de "AND", colocamos o sinal de multiplicação e, em vez de "OR" - adição.

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Quando uma moeda é lançada, pode-se dizer que ela cairá cara, ou probabilidade disso é 1/2. Obviamente, isso não significa que, se uma moeda for lançada 10 vezes, ela necessariamente dará cara 5 vezes. Se a moeda for "justa" e se for lançada muitas vezes, a cara sairá muito perto na metade das vezes. Assim, existem dois tipos de probabilidades: experimental e teórico .

Probabilidade experimental e teórica

Se lançarmos uma moeda um grande número de vezes - digamos 1.000 - e contarmos quantas vezes ela dá cara, podemos determinar a probabilidade de dar cara. Se sair cara 503 vezes, podemos calcular a probabilidade de sair:
503/1000, ou 0,503.

Isso é experimental definição de probabilidade. Esta definição de probabilidade decorre da observação e estudo de dados e é bastante comum e muito útil. Por exemplo, aqui estão algumas probabilidades que foram determinadas experimentalmente:

1. A chance de uma mulher desenvolver câncer de mama é de 1/11.

2. Se você beijar alguém que está resfriado, então a probabilidade de você também pegar um resfriado é 0,07.

3. Uma pessoa que acaba de sair da prisão tem 80% de chance de voltar à prisão.

Se considerarmos o lançamento de uma moeda e levando em conta que é igualmente provável que saia cara ou coroa, podemos calcular a probabilidade de sair cara: 1 / 2. Esta é a definição teórica de probabilidade. Aqui estão algumas outras probabilidades que foram teoricamente determinadas usando matemática:

1. Se houver 30 pessoas em uma sala, a probabilidade de que duas delas façam aniversário no mesmo dia (excluindo o ano) é 0,706.

2. Durante uma viagem, você conhece alguém e, no decorrer da conversa, descobre que se conhece em comum. Reação típica: "Isso não pode ser!" Na verdade, essa frase não se encaixa, porque a probabilidade de tal evento é bastante alta - pouco mais de 22%.

Portanto, a probabilidade experimental é determinada pela observação e coleta de dados. As probabilidades teóricas são determinadas pelo raciocínio matemático. Exemplos de probabilidades experimentais e teóricas, como as discutidas acima, e especialmente aquelas que não esperamos, nos levam à importância do estudo da probabilidade. Você pode perguntar: "O que é a verdadeira probabilidade?" Na verdade, não há nenhum. É experimentalmente possível determinar as probabilidades dentro de certos limites. Eles podem ou não coincidir com as probabilidades que obtemos teoricamente. Há situações em que é muito mais fácil definir um tipo de probabilidade do que outro. Por exemplo, seria suficiente encontrar a probabilidade de pegar um resfriado usando a probabilidade teórica.

Cálculo de probabilidades experimentais

Considere primeiro a definição experimental de probabilidade. O princípio básico que usamos para calcular tais probabilidades é o seguinte.

Princípio P (experimental)

Se em um experimento no qual são feitas n observações, a situação ou evento E ocorre m vezes em n observações, então a probabilidade experimental do evento é P(E) = m/n.

Exemplo 1 Levantamento sociológico. Foi realizado um estudo experimental para determinar o número de canhotos, destros e pessoas em que ambas as mãos estão igualmente desenvolvidas.Os resultados são mostrados no gráfico.

a) Determine a probabilidade de a pessoa ser destra.

b) Determine a probabilidade de a pessoa ser canhota.

c) Determine a probabilidade de que a pessoa seja igualmente fluente em ambas as mãos.

d) A maioria dos torneios PBA tem 120 jogadores. Com base neste experimento, quantos jogadores podem ser canhotos?

Decisão

a) O número de pessoas que são destras é 82, o número de canhotos é 17 e o número daqueles que são igualmente fluentes em ambas as mãos é 1. O número total de observações é 100. Assim, a probabilidade que uma pessoa é destra é P
P = 82/100, ou 0,82, ou 82%.

b) A probabilidade de uma pessoa ser canhota é P, onde
P = 17/100 ou 0,17 ou 17%.

c) A probabilidade de uma pessoa ser igualmente fluente com ambas as mãos é P, onde
P = 1/100 ou 0,01 ou 1%.

d) 120 jogadores e de (b) podemos esperar que 17% sejam canhotos. Daqui
17% de 120 = 0,17,120 = 20,4,
ou seja, podemos esperar que cerca de 20 jogadores sejam canhotos.

Exemplo 2 Controle de qualidade . É muito importante para um fabricante manter a qualidade de seus produtos em alto nível. De fato, as empresas contratam inspetores de controle de qualidade para garantir esse processo. O objetivo é liberar o menor número possível de produtos defeituosos. Mas como a empresa produz milhares de itens todos os dias, ela não pode se dar ao luxo de inspecionar cada item para determinar se está com defeito ou não. Para descobrir qual a porcentagem de produtos com defeito, a empresa testa muito menos produtos.
O USDA exige que 80% das sementes que os produtores vendem germinem. Para determinar a qualidade das sementes que a empresa agrícola produz, são plantadas 500 sementes das que foram produzidas. Após isso, calculou-se que 417 sementes germinaram.

a) Qual é a probabilidade de a semente germinar?

b) As sementes atendem aos padrões governamentais?

Decisão a) Sabemos que de 500 sementes plantadas, 417 germinaram. A probabilidade de germinação de sementes P, e
P = 417/500 = 0,834, ou 83,4%.

b) Como o percentual de sementes germinadas ultrapassou 80% sob demanda, as sementes atendem aos padrões estaduais.

Exemplo 3 Classificações de televisão. Segundo as estatísticas, existem 105.500.000 lares de TV nos Estados Unidos. Toda semana, informações sobre a visualização de programas são coletadas e processadas. Em uma semana, 7.815.000 famílias foram sintonizadas na série de comédia de sucesso da CBS Everybody Loves Raymond e 8.302.000 famílias foram sintonizadas no sucesso da NBC Law & Order (Fonte: Nielsen Media Research). Qual é a probabilidade de que a TV de uma casa esteja sintonizada em "Everybody Loves Raymond" durante uma determinada semana?

Solução A probabilidade de que a TV em uma casa esteja configurada para "Everybody Loves Raymond" é P, e
P = 7.815.000/105.500.000 ≈ 0,074 ≈ 7,4%.
A possibilidade de que a TV doméstica tenha sido configurada para "Lei e Ordem" é P, e
P = 8.302.000/105.500.000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Essas porcentagens são chamadas de classificações.

probabilidade teórica

Suponha que estamos fazendo um experimento, como jogar uma moeda ou dardo, tirar uma carta de um baralho ou testar a qualidade de produtos em uma linha de montagem. Cada resultado possível de tal experimento é chamado Êxodo . O conjunto de todos os resultados possíveis é chamado espaço de resultado . Evento é um conjunto de resultados, ou seja, um subconjunto do espaço de resultados.

Exemplo 4 Lançando dardos. Suponha que no experimento de "lançamento de dardos", o dardo atinja o alvo. Encontre cada um dos seguintes:

b) Espaço de resultados

Decisão
a) Os resultados são: acertar preto (H), acertar vermelho (K) e acertar branco (B).

b) Existe um espaço de resultado (acerte preto, acerte vermelho, acerte branco), que pode ser escrito simplesmente como (B, R, B).

Exemplo 5 Jogando dados. Um dado é um cubo com seis faces, cada uma com um a seis pontos.


Suponha que estamos jogando um dado. Encontrar
a) Resultados
b) Espaço de resultados

Decisão
a) Resultados: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Espaço de resultado (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Denotamos a probabilidade de que um evento E ocorra como P(E). Por exemplo, "a moeda cairá em coroa" pode ser denotada por H. Então P(H) é a probabilidade de que a moeda cairá em coroa. Quando todos os resultados de um experimento têm a mesma probabilidade de ocorrer, dizemos que eles são igualmente prováveis. Para ver a diferença entre eventos que são igualmente prováveis ​​e eventos que não são igualmente prováveis, considere a meta mostrada abaixo.

Para o alvo A, os eventos de acerto preto, vermelho e branco são igualmente prováveis, uma vez que os setores preto, vermelho e branco são os mesmos. No entanto, para o alvo B, as zonas com essas cores não são as mesmas, ou seja, acertá-las não é igualmente provável.

Princípio P (Teórico)

Se um evento E pode acontecer de m maneiras de n resultados equiprováveis ​​possíveis do espaço de resultados S, então probabilidade teórica evento, P(E) é
P(E) = m/n.

Exemplo 6 Qual é a probabilidade de sair um 3 jogando um dado?

Decisão Existem 6 resultados igualmente prováveis ​​no dado e há apenas uma possibilidade de lançar o número 3. Então a probabilidade P será P(3) = 1/6.

Exemplo 7 Qual é a probabilidade de sair um número par no dado?

Decisão O evento é o lançamento de um número par. Isso pode acontecer de 3 maneiras (se você rolar 2, 4 ou 6). O número de resultados equiprováveis ​​é 6. Então a probabilidade P(par) = 3/6, ou 1/2.

Usaremos vários exemplos relacionados a um baralho padrão de 52 cartas. Esse baralho consiste nas cartas mostradas na figura abaixo.

Exemplo 8 Qual é a probabilidade de tirar um ás de um baralho de cartas bem embaralhado?

Decisão Existem 52 resultados (o número de cartas no baralho), eles são igualmente prováveis ​​(se o baralho estiver bem misturado) e existem 4 maneiras de tirar um ás, então, de acordo com o princípio P, a probabilidade
P(saque um ás) = 4/52, ou 1/13.

Exemplo 9 Suponha que escolhemos sem olhar uma bolinha de um saco de 3 bolinhas vermelhas e 4 bolinhas verdes. Qual é a probabilidade de escolher uma bola vermelha?

Decisão Existem 7 resultados igualmente prováveis ​​para obter qualquer bola, e como o número de maneiras de tirar uma bola vermelha é 3, temos
P(escolher uma bola vermelha) = 3/7.

As seguintes afirmações são resultados do princípio P.

Propriedades de probabilidade

a) Se o evento E não pode acontecer, então P(E) = 0.
b) Se o evento E está prestes a acontecer, então P(E) = 1.
c) A probabilidade de que o evento E ocorra é um número entre 0 e 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Por exemplo, ao lançar uma moeda, o evento de a moeda cair na borda tem probabilidade zero. A probabilidade de que uma moeda seja cara ou coroa tem uma probabilidade de 1.

Exemplo 10 Suponha que 2 cartas sejam retiradas de um baralho com 52 cartas. Qual é a probabilidade de que ambos sejam espadas?

Decisão O número de maneiras n de tirar 2 cartas de um baralho de 52 cartas bem embaralhado é 52 C 2 . Como 13 das 52 cartas são de espadas, o número m de maneiras de tirar 2 de espadas é 13 C 2 . Então,
P (alongamento de 2 picos) \u003d m / n \u003d 13 C 2 / 52 C 2 \u003d 78/1326 \u003d 1/17.

Exemplo 11 Suponha que 3 pessoas sejam selecionadas aleatoriamente de um grupo de 6 homens e 4 mulheres. Qual é a probabilidade de que 1 homem e 2 mulheres sejam escolhidos?

Decisão Número de maneiras de escolher três pessoas de um grupo de 10 pessoas 10 C 3 . Um homem pode ser escolhido de 6 C 1 maneiras e 2 mulheres podem ser escolhidas de 4 C 2 maneiras. De acordo com o princípio fundamental da contagem, o número de maneiras de escolher o 1º homem e 2 mulheres é 6 C 1 . 4C2. Então, a probabilidade de que 1 homem e 2 mulheres sejam escolhidos é
P = 6C1. 4 C 2 / 10 C 3 \u003d 3/10.

Exemplo 12 Jogando dados. Qual é a probabilidade de lançar um total de 8 em dois dados?

Decisão Existem 6 resultados possíveis em cada dado. Os resultados são duplicados, ou seja, há 6,6 ou 36 maneiras possíveis de cair os números em dois dados. (É melhor se os cubos forem diferentes, digamos que um seja vermelho e o outro azul - isso ajudará a visualizar o resultado.)

Pares de números que somam 8 são mostrados na figura abaixo. Existem 5 maneiras possíveis de obter a soma igual a 8, portanto, a probabilidade é 5/36.

INTRODUÇÃO

Muitas coisas são incompreensíveis para nós, não porque nossos conceitos sejam fracos;
mas porque essas coisas não entram no círculo de nossos conceitos.
Kozma Prutkov

O principal objetivo de estudar matemática em instituições de ensino secundário especializado é fornecer aos alunos um conjunto de conhecimentos matemáticos e habilidades necessárias para estudar outras disciplinas do programa que usam matemática em um grau ou outro, para a capacidade de realizar cálculos práticos, para a formação e desenvolvimento do pensamento lógico.

Neste artigo, todos os conceitos básicos da seção de matemática "Fundamentos da Teoria das Probabilidades e Estatísticas Matemáticas", previstos pelo programa e os Padrões Educacionais Estaduais do Ensino Profissional Secundário (Ministério da Educação da Federação Russa. M., 2002 ), são consistentemente introduzidos, os principais teoremas são formulados, a maioria dos quais não são provados . São consideradas as principais tarefas e métodos para sua solução e tecnologias para aplicar esses métodos à resolução de problemas práticos. A apresentação é acompanhada por comentários detalhados e numerosos exemplos.

Instruções metódicas podem ser usadas para o conhecimento inicial do material estudado, ao tomar notas de aulas, para preparar exercícios práticos, para consolidar os conhecimentos, habilidades e habilidades adquiridos. Além disso, o manual será útil para estudantes de graduação como uma ferramenta de referência que permite restaurar rapidamente na memória o que foi estudado anteriormente.

No final do trabalho são dados exemplos e tarefas que os alunos podem realizar em modo de autocontrolo.

As instruções metodológicas destinam-se aos alunos das formas de educação por correspondência e em tempo integral.

CONCEITOS BÁSICOS

A teoria da probabilidade estuda as regularidades objetivas de eventos aleatórios de massa. É uma base teórica para a estatística matemática, que trata do desenvolvimento de métodos para coletar, descrever e processar os resultados das observações. Através de observações (testes, experimentos), ou seja, experiência no sentido amplo da palavra, há um conhecimento dos fenômenos do mundo real.

Em nossas atividades práticas, muitas vezes encontramos fenômenos cujo resultado não pode ser previsto, cujo resultado depende do acaso.

Um fenômeno aleatório pode ser caracterizado pela razão entre o número de suas ocorrências e o número de tentativas, em cada uma das quais, nas mesmas condições de todas as tentativas, pode ocorrer ou não.

A teoria das probabilidades é um ramo da matemática em que fenômenos aleatórios (eventos) são estudados e regularidades são reveladas durante sua repetição em massa.

A estatística matemática é um ramo da matemática que tem como objeto o estudo de métodos para coletar, sistematizar, processar e usar dados estatísticos para obter conclusões com base científica e tomar decisões.

Ao mesmo tempo, dados estatísticos são entendidos como um conjunto de números que representam as características quantitativas das características dos objetos estudados que nos interessam. Os dados estatísticos são obtidos como resultado de experimentos e observações especialmente projetados.

Os dados estatísticos em sua essência dependem de muitos fatores aleatórios, portanto, a estatística matemática está intimamente relacionada à teoria da probabilidade, que é sua base teórica.

I. PROBABILIDADE. TEOREMA DA ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADE

1.1. Conceitos básicos de combinatória

Na seção de matemática chamada combinatória, alguns problemas são resolvidos relacionados à consideração de conjuntos e à compilação de várias combinações de elementos desses conjuntos. Por exemplo, se pegarmos 10 números diferentes 0, 1, 2, 3,:, 9 e fizermos combinações deles, obteremos números diferentes, por exemplo 143, 431, 5671, 1207, 43, etc.

Vemos que algumas dessas combinações diferem apenas na ordem dos dígitos (por exemplo, 143 e 431), outras nos números incluídos nelas (por exemplo, 5671 e 1207) e outras também diferem no número de dígitos ( por exemplo, 143 e 43).

Assim, as combinações obtidas satisfazem várias condições.

Dependendo das regras de compilação, três tipos de combinações podem ser distinguidos: permutações, canais, combinações.

Vamos primeiro conhecer o conceito fatorial.

O produto de todos os números naturais de 1 a n inclusive é chamado n-fatorial e escrever.

Calcule: a); b); dentro) .

Decisão. uma) .

b) assim como , então você pode tirá-lo dos colchetes

Então obtemos

dentro) .

Permutações.

Uma combinação de n elementos que diferem uns dos outros apenas na ordem dos elementos é chamada de permutação.

As permutações são indicadas pelo símbolo P n , onde n é o número de elementos em cada permutação. ( R- a primeira letra da palavra francesa permutação- permutação).

O número de permutações pode ser calculado usando a fórmula

ou com fatorial:

Vamos lembrar disso 0!=1 e 1!=1.

Exemplo 2. De quantas maneiras seis livros diferentes podem ser organizados em uma prateleira?

Decisão. O número desejado de maneiras é igual ao número de permutações de 6 elementos, ou seja

Acomodações.

Canais de m elementos em n em cada um, são chamados os compostos que diferem uns dos outros pelos próprios elementos (pelo menos um) ou pela ordem da localização.

As localizações são indicadas pelo símbolo , onde mé o número de todos os elementos disponíveis, né o número de elementos em cada combinação. ( MAS- primeira letra da palavra francesa arranjo, que significa "colocação, colocação em ordem").

Ao mesmo tempo, supõe-se que nm.

O número de canais pode ser calculado usando a fórmula

,

Essa. o número de todos os canais possíveis de m elementos por né igual ao produto n inteiros consecutivos, dos quais o maior é m.

Escrevemos esta fórmula na forma fatorial:

Exemplo 3. Quantas opções de distribuição de três vales a um sanatório de vários perfis podem ser feitas para cinco requerentes?

Decisão. O número desejado de opções é igual ao número de colocações de 5 elementos por 3 elementos, ou seja,

.

Combinações.

Combinações são todas as combinações possíveis de m elementos por n, que diferem entre si por pelo menos um elemento (aqui m e n- números naturais e nm).

Número de combinações de m elementos por n são indicados ( Com- a primeira letra da palavra francesa combinação- combinação).

Em geral, o número de m elementos por n igual ao número de canais de m elementos por n dividido pelo número de permutações de n elementos:

Usando fórmulas fatoriais para números de colocação e permutação, obtemos:

Exemplo 4. Em uma equipe de 25 pessoas, você precisa alocar quatro para trabalhar em uma determinada área. De quantas maneiras isso pode ser feito?

Decisão. Como a ordem das quatro pessoas escolhidas não importa, isso pode ser feito de várias maneiras.

Encontramos pela primeira fórmula

.

Além disso, ao resolver problemas, são usadas as seguintes fórmulas que expressam as principais propriedades das combinações:

(por definição, e são assumidos);

.

1.2. Resolvendo problemas combinatórios

Tarefa 1. 16 disciplinas são estudadas na faculdade. Na segunda-feira, você precisa colocar 3 disciplinas na agenda. De quantas maneiras isso pode ser feito?

Decisão. Há tantas maneiras de programar três itens de 16 quanto há posicionamentos de 16 elementos de 3 cada.

Tarefa 2. De 15 objetos, 10 objetos devem ser selecionados. De quantas maneiras isso pode ser feito?

Tarefa 3. Quatro equipes participaram da competição. Quantas opções de distribuição de assentos entre eles são possíveis?

.

Problema 4. De quantas maneiras uma patrulha de três soldados e um oficial pode ser formada se houver 80 soldados e 3 oficiais?

Decisão. Soldado em patrulha pode ser selecionado

maneiras, e oficiais maneiras. Como qualquer oficial pode ir com cada equipe de soldados, existem apenas maneiras.

Tarefa 5. Descubra se é sabido que .

Uma vez que , obtemos

,

,

Por definição de combinação segue-se que , . Que. .

1.3. O conceito de um evento aleatório. Tipos de eventos. Probabilidade do evento

Qualquer ação, fenômeno, observação com vários resultados diferentes, realizado sob um determinado conjunto de condições, será chamado teste.

O resultado desta ação ou observação é chamado evento .

Se um evento sob determinadas condições pode ocorrer ou não ocorrer, então ele é chamado aleatória . No caso em que um evento deve certamente ocorrer, é chamado autêntico , e no caso em que certamente não pode acontecer, - impossível.

Os eventos são chamados incompatível se apenas um deles pode aparecer de cada vez.

Os eventos são chamados articulação se, nas condições dadas, a ocorrência de um desses eventos não excluir a ocorrência do outro no mesmo teste.

Os eventos são chamados oposto , se nas condições de teste eles, sendo seus únicos resultados, forem incompatíveis.

Os eventos são geralmente denotados por letras maiúsculas do alfabeto latino: A, B, C, D, : .

Um sistema completo de eventos A 1 , A 2 , A 3 , : , A n é um conjunto de eventos incompatíveis, cuja ocorrência de pelo menos um é obrigatória para um determinado teste.

Se um sistema completo consiste em dois eventos incompatíveis, então tais eventos são chamados de opostos e são denotados por A e .

Exemplo. Há 30 bolas numeradas em uma caixa. Determine quais dos seguintes eventos são impossíveis, certos, opostos:

tem uma bola numerada (MAS);

desenhar uma bola de número par (NO);

tirou uma bola com um número ímpar (COM);

tem uma bola sem um número (D).

Quais deles formam um grupo completo?

Decisão . MAS- determinado evento; D- evento impossível;

dentro e Com- eventos opostos.

O conjunto completo de eventos é MAS e D, V e Com.

A probabilidade de um evento é considerada como uma medida da possibilidade objetiva da ocorrência de um evento aleatório.

1.4. A definição clássica de probabilidade

O número, que é uma expressão da medida da possibilidade objetiva de ocorrência de um evento, é chamado probabilidade este evento e é indicado pelo símbolo P(A).

Definição. Probabilidade de um evento MASé a razão entre o número de resultados m que favorecem a ocorrência de um determinado evento MAS, para o número n todos os resultados (incompatíveis, únicos e igualmente possíveis), ou seja, .

Portanto, para encontrar a probabilidade de um evento, é necessário, após considerar os vários resultados do teste, calcular todos os possíveis resultados incompatíveis n, escolha o número de resultados em que estamos interessados ​​m e calcule a razão m para n.

As seguintes propriedades seguem a partir desta definição:

A probabilidade de qualquer tentativa é um número não negativo não superior a um.

De fato, o número m dos eventos desejados está dentro de . Dividindo ambas as partes em n, Nós temos

2. A probabilidade de um determinado evento é igual a um, porque .

3. A probabilidade de um evento impossível é zero porque .

Problema 1. Há 200 ganhadores de 1.000 bilhetes na loteria. Um bilhete é sorteado ao acaso. Qual é a probabilidade de que este bilhete ganhe?

Decisão. O número total de resultados diferentes é n=1000. O número de resultados que favorecem a vitória é m = 200. Pela fórmula, obtemos

.

Tarefa 2. Em um lote de 18 peças, existem 4 peças defeituosas. 5 peças são escolhidas aleatoriamente. Encontre a probabilidade de que duas dessas 5 peças sejam defeituosas.

Decisão. Número de todos os resultados independentes igualmente possíveis né igual ao número de combinações de 18 a 5, ou seja,

Vamos calcular o número m que favorece o evento A. Entre as 5 peças selecionadas aleatoriamente, deve haver 3 de alta qualidade e 2 defeituosas. O número de maneiras de selecionar duas peças defeituosas de 4 peças defeituosas disponíveis é igual ao número de combinações de 4 a 2:

O número de maneiras de selecionar três peças de qualidade de 14 peças de qualidade disponíveis é igual a

.

Qualquer grupo de peças de qualidade pode ser combinado com qualquer grupo de peças defeituosas, portanto, o número total de combinações mé

A probabilidade desejada do evento A é igual à razão entre o número de resultados m que favorecem esse evento e o número n de todos os resultados independentes igualmente possíveis:

.

A soma de um número finito de eventos é um evento que consiste na ocorrência de pelo menos um deles.

A soma de dois eventos é denotada pelo símbolo A + B, e a soma n símbolo de eventos A 1 +A 2 + : +A n .

O teorema da adição de probabilidades.

A probabilidade da soma de dois eventos incompatíveis é igual à soma das probabilidades desses eventos.

Corolário 1. Se o evento À 1 , À 2 , : , À n formam um sistema completo, então a soma das probabilidades desses eventos é igual a um.

Corolário 2. A soma das probabilidades de eventos opostos e é igual a um.

.

Problema 1. Existem 100 bilhetes de loteria. Sabe-se que 5 bilhetes ganham 20.000 rublos, 10 - 15.000 rublos, 15 - 10.000 rublos, 25 - 2.000 rublos. e nada para o resto. Encontre a probabilidade de que o bilhete comprado ganhe pelo menos 10.000 rublos.

Decisão. Sejam A, B e C eventos que consistem no fato de que um prêmio igual a 20.000, 15.000 e 10.000 rublos recai sobre o ingresso comprado. como os eventos A, B e C são incompatíveis, então

Tarefa 2. O departamento de correspondência da escola técnica recebe provas de matemática das cidades A, B e Com. A probabilidade de recebimento de trabalho de controle da cidade MAS igual a 0,6, da cidade NO- 0,1. Encontre a probabilidade de que o próximo trabalho de controle venha da cidade Com.

O exemplo mais simples de conexão entre dois eventos é uma relação causal, quando a ocorrência de um dos eventos necessariamente leva à ocorrência do outro, ou vice-versa, quando a ocorrência de um exclui a possibilidade da ocorrência do outro.

Para caracterizar a dependência de alguns eventos em relação a outros, o conceito é introduzido Probabilidade Condicional.

Definição. Deixe ser MAS e NO- dois eventos aleatórios do mesmo teste. Então a probabilidade condicional do evento MAS ou a probabilidade do evento A, desde que o evento B tenha ocorrido, é chamada de número.

Denotando a probabilidade condicional, obtemos a fórmula

, .

Tarefa 1. Calcule a probabilidade de um segundo menino nascer em uma família com um menino.

Decisão. Deixe o evento MAS consiste no fato de haver dois meninos na família, e o evento NO- aquele menino.

Considere todos os resultados possíveis: menino e menino; menino e menina; menina e menino; menina e menina.

Então , e pela fórmula encontramos

.

Evento MAS chamado independente do evento NO se a ocorrência do evento NO não tem efeito sobre a probabilidade de um evento ocorrer MAS.

Teorema da multiplicação de probabilidade

A probabilidade de ocorrência simultânea de dois eventos independentes é igual ao produto das probabilidades desses eventos:

A probabilidade de ocorrência de vários eventos independentes no agregado é calculada pela fórmula

Problema 2. A primeira urna contém 6 bolas pretas e 4 brancas, a segunda urna contém 5 bolas pretas e 7 brancas. Uma bola é retirada de cada urna. Qual é a probabilidade de que ambas as bolas sejam brancas.

A e NO há um evento AB. Conseqüentemente,

b) Se o primeiro elemento funcionar, então ocorre um evento (o oposto do evento MAS- a falha deste elemento); se o segundo elemento funcionar - evento NO. Encontre as probabilidades dos eventos e:

Então o evento que consiste no fato de ambos os elementos funcionarem é, e, portanto,