Primeiro, tente encontrar o domínio da função:

Você conseguiu? Vamos comparar as respostas:

Está tudo bem? Bom trabalho!

Agora vamos tentar encontrar o intervalo de valores da função:

Encontrado? Vamos comparar:

Entendi? Bom trabalho!

Vamos trabalhar com gráficos novamente, só que agora é um pouco mais complicado - encontre o domínio de definição da função e o intervalo de valores da função.

Como encontrar o domínio e o contradomínio de uma função (avançado)

Aqui está o que aconteceu:

Acho que você descobriu os gráficos. Agora vamos tentar encontrar o domínio de definição de uma função de acordo com as fórmulas (se você não sabe como fazer isso, leia a seção sobre):

Você conseguiu? Vamos checar respostas:

1. , já que a expressão radical deve ser maior ou igual a zero.
2. , já que você não pode dividir por zero e a expressão radical não pode ser negativa.
3. , já que, respectivamente, para todos.
4. , já que você não pode dividir por zero.

Porém, ainda temos mais um ponto sem resposta...

Vou repetir a definição mais uma vez e enfatizá-la:

Você percebeu? A palavra “solteiro” é um elemento muito, muito importante da nossa definição. Vou tentar explicar para você com meus dedos.

Digamos que temos uma função definida por uma linha reta. . Em, substituímos esse valor em nossa “regra” e obtemos isso. Um valor corresponde a um valor. Podemos até fazer uma tabela com os diferentes valores e representar graficamente esta função para vermos por nós mesmos.

"Olhar! - você diz, ““ ocorre duas vezes!” Então talvez uma parábola não seja uma função? Não é!

O facto de “ ” aparecer duas vezes não é motivo para acusar a parábola de ambiguidade!

O fato é que, no cálculo, recebemos um jogo. E ao calcular, recebemos um jogo. Então é isso mesmo, uma parábola é uma função. Veja o gráfico:

Entendi? Se não, aqui está um exemplo de vida que está muito longe da matemática!

Digamos que temos um grupo de candidatos que se conheceram durante a apresentação de documentos, cada um dos quais contou em uma conversa onde mora:

Concordo, é bem possível que vários caras morem em uma cidade, mas é impossível que uma pessoa more em várias cidades ao mesmo tempo. Isto é como uma representação lógica da nossa “parábola” - Vários X diferentes correspondem ao mesmo jogo.

Agora vamos dar um exemplo em que a dependência não é uma função. Digamos que esses mesmos caras nos contaram para quais especialidades se candidataram:

Aqui temos uma situação completamente diferente: uma pessoa pode facilmente enviar documentos para uma ou mais direções. Aquilo é um elemento conjuntos são colocados em correspondência vários elementos multidões. Respectivamente, isso não é uma função.

Vamos testar seus conhecimentos na prática.

Determine pelas imagens o que é uma função e o que não é:

Entendi? E aqui está respostas:

• A função é - B, E.
• A função não é - A, B, D, D.

Você pergunta por quê? Sim, aqui está o porquê:

Em todas as fotos, exceto EM) E E) São vários para um!

Tenho certeza de que agora você pode distinguir facilmente uma função de uma não função, dizer o que é um argumento e o que é uma variável dependente, e também determinar o intervalo de valores permitidos de um argumento e o intervalo de definição de uma função . Vamos para a próxima seção - como definir uma função?

Métodos para especificar uma função

O que você acha que as palavras significam? "definir função"? Isso mesmo, isso significa explicar a todos de que função estamos falando neste caso. Além disso, explique de forma que todos o entendam corretamente e os gráficos de funções desenhados pelas pessoas com base na sua explicação sejam os mesmos.

Como eu posso fazer isso? Como definir uma função? O método mais simples, que já foi usado mais de uma vez neste artigo, é usando a fórmula. Escrevemos uma fórmula e, substituindo um valor nela, calculamos o valor. E como você lembra, uma fórmula é uma lei, uma regra pela qual fica claro para nós e para outra pessoa como um X se transforma em Y.

Normalmente é exatamente isso que eles fazem - nas tarefas vemos funções prontas especificadas por fórmulas, porém, existem outras maneiras de definir uma função que todos esquecem e, portanto, a pergunta “de que outra forma você pode definir uma função?” desconcertantes. Vamos entender tudo em ordem e começar pelo método analítico.

Método analítico de especificação de uma função

O método analítico consiste em especificar uma função usando uma fórmula. Este é o método mais universal, abrangente e inequívoco. Se você tem uma fórmula, então você sabe absolutamente tudo sobre uma função - você pode fazer uma tabela de valores a partir dela, você pode construir um gráfico, determinar onde a função aumenta e onde ela diminui, em geral, estudá-la na íntegra.

Vamos considerar a função. Qual é a diferença?

"O que isso significa?" - você pergunta. Vou explicar agora.

Deixe-me lembrá-lo de que na notação a expressão entre colchetes é chamada de argumento. E este argumento pode ser qualquer expressão, não necessariamente simples. Conseqüentemente, qualquer que seja o argumento (a expressão entre colchetes), iremos escrevê-lo na expressão.

No nosso exemplo ficará assim:

Consideremos outra tarefa relacionada ao método analítico de especificação de uma função, que você terá no exame.

Encontre o valor da expressão em.

Tenho certeza que a princípio você ficou assustado ao ver tal expressão, mas não há absolutamente nada de assustador nisso!

Tudo é igual ao exemplo anterior: qualquer que seja o argumento (a expressão entre colchetes), vamos escrevê-lo na expressão. Por exemplo, para uma função.

O que precisa ser feito em nosso exemplo? Em vez disso, você precisa escrever e, em vez disso -:

encurte a expressão resultante:

Isso é tudo!

Trabalho independente

Agora tente descobrir você mesmo o significado das seguintes expressões:

1. , Se
2. , Se

Você conseguiu? Vamos comparar nossas respostas: estamos acostumados com o fato de a função ter a forma

Mesmo nos nossos exemplos, definimos a função exatamente desta forma, mas analiticamente é possível especificar a função de forma implícita, por exemplo.

Tente construir essa função você mesmo.

Você conseguiu?

Foi assim que eu construí.

Que equação finalmente derivamos?

Certo! Linear, o que significa que o gráfico será uma linha reta. Vamos fazer uma tabela para determinar quais pontos pertencem à nossa reta:

Era exatamente disso que estávamos falando... Um corresponde a vários.

Vamos tentar desenhar o que aconteceu:

O que temos é uma função?

Isso mesmo, não! Por que? Tente responder a esta pergunta com a ajuda de um desenho. O que você conseguiu?

“Porque um valor corresponde a vários valores!”

Que conclusão podemos tirar disso?

É isso mesmo, uma função nem sempre pode ser expressa explicitamente, e o que está “disfarçado” de função nem sempre é uma função!

Método tabular de especificação de uma função

Como o nome sugere, este método é um sinal simples. Sim Sim. Como aquele que você e eu já fizemos. Por exemplo:

Aqui você notou imediatamente um padrão - o Y é três vezes maior que o X. E agora a tarefa de “pensar com muito cuidado”: ​​você acha que uma função dada em forma de tabela equivale a uma função?

Não vamos conversar por muito tempo, mas vamos desenhar!

Então. Desenhamos a função especificada pelo papel de parede das seguintes maneiras:

Você vê a diferença? Não se trata apenas dos pontos marcados! Olhe mais de perto:

Você viu agora? Quando definimos uma função de forma tabular, exibimos no gráfico apenas os pontos que temos na tabela e a reta (como no nosso caso) passa apenas por eles. Quando definimos uma função analiticamente, podemos considerar quaisquer pontos, e a nossa função não se limita a eles. Esta é a peculiaridade. Lembrar!

Método gráfico de construção de uma função

O método gráfico de construção de uma função não é menos conveniente. Desenhamos nossa função, e outra pessoa interessada pode descobrir a que y é igual em um certo x e assim por diante. Os métodos gráficos e analíticos estão entre os mais comuns.

No entanto, aqui você precisa lembrar o que falamos no início - nem todo “rabisco” desenhado no sistema de coordenadas é uma função! Você se lembra? Por precaução, copiarei aqui a definição do que é uma função:

Via de regra, as pessoas costumam citar exatamente as três formas de especificar uma função que discutimos - analítica (usando uma fórmula), tabular e gráfica, esquecendo completamente que uma função pode ser descrita verbalmente. Assim? Sim, muito simples!

Descrição verbal da função

Como descrever uma função verbalmente? Vejamos nosso exemplo recente - . Esta função pode ser descrita como “cada valor real de x corresponde ao seu valor triplo”. Isso é tudo. Nada complicado. Você, é claro, objetará - “existem funções tão complexas que é simplesmente impossível especificar verbalmente!” Sim, existem, mas existem funções que são mais fáceis de descrever verbalmente do que de definir com uma fórmula. Por exemplo: “cada valor natural de x corresponde à diferença entre os algarismos que o compõem, enquanto o minuendo é considerado o maior algarismo contido na notação do número”. Agora vamos ver como nossa descrição verbal da função é implementada na prática:

O maior dígito de um determinado número é, respectivamente, o minuendo, então:

Principais tipos de funções

Agora vamos para a parte mais interessante - vamos ver os principais tipos de funções com as quais você já trabalhou/está trabalhando e vai trabalhar no curso de matemática escolar e universitária, ou seja, vamos conhecê-las, por assim dizer e dê-lhes uma breve descrição. Leia mais sobre cada função na seção correspondente.

Função linear

Uma função da forma onde, são números reais.

O gráfico desta função é uma linha reta, portanto, construir uma função linear se resume a encontrar as coordenadas de dois pontos.

A posição da linha reta no plano coordenado depende do coeficiente angular.

O escopo de uma função (também conhecido como escopo de valores de argumentos válidos) é.

Faixa de valores - .

Função quadrática

Função do formulário, onde

O gráfico da função é uma parábola; quando os ramos da parábola estão direcionados para baixo, quando os ramos estão direcionados para cima.

Muitas propriedades de uma função quadrática dependem do valor do discriminante. O discriminante é calculado usando a fórmula

A posição da parábola no plano coordenado em relação ao valor e coeficiente é mostrada na figura:

Domínio

A faixa de valores depende do extremo da função dada (ponto do vértice da parábola) e do coeficiente (direção dos ramos da parábola)

Proporcionalidade inversa

A função dada pela fórmula, onde

O número é chamado de coeficiente de proporcionalidade inversa. Dependendo do valor, os ramos da hipérbole estão em quadrados diferentes:

Domínio - .

Faixa de valores - .

RESUMO E FÓRMULAS BÁSICAS

1. Uma função é uma regra segundo a qual cada elemento de um conjunto está associado a um único elemento do conjunto.

• - esta é uma fórmula que denota uma função, ou seja, a dependência de uma variável de outra;
• - valor variável ou argumento;
• - quantidade dependente - muda quando o argumento muda, ou seja, de acordo com alguma fórmula específica que reflita a dependência de uma quantidade em outra.

2. Valores de argumentos válidos, ou domínio de uma função, é o que está associado às possibilidades nas quais a função faz sentido.

3. Faixa de funções- estes são os valores que leva, dados valores aceitáveis.

4. Existem 4 maneiras de definir uma função:

• analítico (usando fórmulas);
• tabular;
• gráfico
• descrição verbal.

5. Principais tipos de funções:

• : , onde, são números reais;
• : , Onde;
• : , Onde.

Um dos esquemas possíveis para estudar uma função e construir um gráfico é decomposto nas seguintes etapas de resolução do problema: 1. Domínio de definição da função (O.O.F.). 2. Pontos de ruptura de função, sua natureza. Assíntotas verticais. 3. Periodicidade par e ímpar da função. 4. Pontos de intersecção do gráfico com os eixos coordenados. 5. Comportamento da função no infinito. Assíntotas horizontais e oblíquas. 6. Intervalos de monotonicidade de uma função, pontos máximos e mínimos. 7. Direções de convexidade da curva. Pontos de inflexão. 8. Gráfico de funções. Exemplo 1. Construa um gráfico da função y = 1. (vereiora ou cacho de Maria Anyei). - todo o eixo numérico. 2. Não há pontos de interrupção; não há assíntotas verticais. 3. A função é par: , portanto seu gráfico é simétrico em relação ao eixo Oy\ não periódico. Da paridade da função segue-se que basta construir seu gráfico na meia reta x ^ O e depois espelhá-lo no eixo Oy. 4. Em x = 0 temos Yx, de modo que o gráfico da função fica no semiplano superior y > 0. Esquema para construção do gráfico da função Estudo de funções até o extremo usando derivadas de ordem superior Cálculo das raízes de equações usando os métodos de cordas e tangentes que o gráfico tem uma assíntota horizontal y = O, não há assíntotas oblíquas. Portanto, a função aumenta quando e diminui quando. O ponto x = 0 é crítico. Quando x passa pelo ponto x = 0, a derivada y"(x) muda de sinal de menos para mais. Portanto, o ponto x = 0 é o ponto máximo, y(Q) = I. Este resultado é bastante óbvio: / (x) = T^ IV*. A segunda derivada desaparece nos pontos x = . Examinamos o ponto x = 4- (doravante considerações de simetria). Quando temos, a curva é convexa para baixo; quando obtemos (a curva é convexo para cima). Consequentemente, o ponto x = = - é o gráfico do ponto de inflexão da função. Resumimos os resultados do estudo na tabela: Ponto de inflexão max Ponto de inflexão Na tabela, a seta "Y" indica um aumento em a função, a seta "\" indica sua diminuição. O gráfico da função é mostrado na Fig. 33. Exemplo 2. Construa um gráfico da função (tridente de Newton ) - todo o eixo dos números, excluindo o ponto 2. A descontinuidade ponto da função. Temos que a reta x = 0 é uma assíntota vertical. 3. A função não é par nem ímpar [função de posição geral], não periódica. Supondo que obtemos o gráfico da função que cruza o eixo Boi no ponto (-1,0). Não há assíntotas oblíquas e horizontais. Daí o ponto crítico. A segunda derivada da função em um ponto, então x = é o ponto mínimo. A segunda derivada se transforma em uul em um ponto e muda de sinal ao passar por esse ponto. Portanto, o ponto é o ponto de inflexão da curva. Pois) temos e. a convexidade da curva é direcionada para baixo; para -eu nós temos. a convexidade da curva é direcionada para cima. Os resultados do estudo estão resumidos numa tabela: Não existe Não existe Ponto de inflexão Não existe. A assíntota vertical da derivada desaparece em x = e,/2. e quando x passa por este ponto, y" muda de sinal. Conseqüentemente, é a abcissa do ponto de inflexão da curva. Resumimos os resultados do estudo na tabela: Ponto de inflexão. O gráfico da função é mostrado na Fig. 37. Exemplo 4. Construa um gráfico da função em todo o eixo numérico, excluindo o ponto Ponto ponto descontinuidade do 2º tipo de função. Desde Km . então a assíntota vertical direta do gráfico da função. Uma função de posição geral, não -periódico. Definindo y = 0, temos, de onde para que o gráfico da função cruze o eixo do Boi no ponto Portanto, o gráfico da função tem uma assíntota oblíqua Da condição obtemos - o ponto crítico. A segunda derivada da função y" = D > 0 em todo o domínio de definição, em particular, no ponto - o ponto mínimo da função. 7. Visto que, em todo o domínio de definição da função, a convexidade do seu gráfico é direcionada para baixo. Os resultados do estudo estão resumidos numa tabela: Não existe Não existe Não existe. x = 0 - assíntota vertical O gráfico da função é mostrado na Fig. Exemplo 5. Construa um gráfico da função em todo o eixo dos números. 2. Contínuo em todos os lugares. Não existem assíntotas verticais. 3. Posição geral, não periódica. 4. A função desaparece em 5. Assim, o gráfico da função tem uma assíntota inclinada.A derivada desaparece no ponto e não existe em. Quando x passa pelo ponto) a derivada não muda de sinal, então não há extremo no ponto x = 0. Quando um ponto x passa por um ponto, a derivada) muda de sinal de “+” para Portanto, a função tem máximo. Quando x passa pelo ponto x = 3 (x > I), a derivada y"(x) muda de sinal, ou seja, no ponto x = 3 a função tem um mínimo. 7. Encontrando a segunda derivada Esquema para construir um gráfico de uma função Estudo de funções até um extremo usando derivadas de ordem superior Cálculo de raízes de equações por métodos de corda e tangente A segunda derivada y"(x) não existe no ponto x = 0 e quando x passa pelo ponto x = 0 y" muda o sinal de + para de modo que o ponto (0,0) da curva é um ponto de inflexão com uma tangente vertical. No ponto x = 3 não há inflexão no gráfico. Em qualquer lugar do semiplano x > 0 a convexidade da curva está direcionada para cima. Os resultados do estudo estão resumidos na tabela: Não existe Não existe Não existe Não existe Ponto de inflexão (0,0) com tangente vertical O gráfico da função é apresentado em Figo. 39. §7. Estudando funções para extremos usando derivadas de ordem superior Para encontrar os pontos máximo e mínimo das funções, a fórmula de Taylor pode ser usada. Teorema Isso. Deixe a função f(x) em alguma vizinhança do ponto xq ter uma derivada de enésima ordem, contínua no ponto xo. Seja 0. Então se o número n for ímpar, então a função f(x) no ponto x0 tem sem extremo; quando n é par, então no ponto x0 a função f(x) tem máximo se /(n)(x0)< 0, и минимум, если /. В силу определения точек максимума и минимума вопрос о том, имеет ли функция f(x) в точке х0 экстремум, сводится к тому, существует ли такое <5 > 0, que está no intervalo, a diferença - /(x0) mantém seu sinal. Usando a fórmula de Taylor como condição, então de (1) obtemos 1condição f(n*(r) é contínua em um ponto e Φ Portanto, devido à estabilidade do nome de uma função contínua, existe tal que no intervalo () não muda e coincide com o sinal de f(n)( xo) Vamos considerar os casos possíveis: 1) n é um número par e / Então I portanto em virtude de (2). De acordo com a definição, isso significa que o ponto r é o ponto mínimo da função /(r). 2) n - par e. Então teremos i junto com isso e Portanto, o ponto i será neste caso o ponto máximo da função /(r). 3) n é um número ímpar, / - Então para x > x0 o sinal > coincidirá com o sinal de /(n)(th), e para r th será o oposto. Portanto, não importa quão pequeno seja 0, o sinal da diferença f(r) - f(r) não será o mesmo para todos x e (r - 6, r + £). Conseqüentemente, neste caso a função f(r) no ponto não não tem extremo. Exemplo. Consideremos as funções A. É fácil ver que o ponto x = 0 é o ponto crítico de ambas as funções. Para a função y = x4, a primeira das derivadas diferentes de zero no ponto x = 0 é a derivada de 4ª ordem: Assim, aqui n = 4 é par e. Portanto, no ponto x = 0 a função y = x4 tem mínimo. Para a função y = x), a primeira das derivadas diferentes de zero no ponto x = 0 é a derivada de 3ª ordem. Portanto, neste caso n = 3 é ímpar e no ponto x = 0 a função y = x3 não tem extremo. Comente. Usando a fórmula de Taylor, podemos provar o seguinte teorema, que expressa as condições suficientes para o ponto de inflexão. "Teorema 12. Deixe a função /(r) em alguma vizinhança do ponto r0 ter uma derivada de ordem, contínua no ponto xq. Deixe, mas /(n)(*o) Φ 0. Então, se n é um número ímpar, então o ponto Mo(x0, f(x®)) é o ponto de inflexão do gráfico da função y = f(x). O exemplo mais simples é fornecido pela função. §8. Cálculo das raízes de equações usando os métodos de cordas e tangentes O problema é encontrar a raiz real da equação. Suponhamos que as seguintes condições sejam atendidas: 1) a função f(x) é contínua no intervalo [a, 6]; 2 ) os números f(a) e f(b) têm sinais opostos: 3) no intervalo [a, 6] existem derivadas f"(x) e f"(x), preservando um sinal constante neste segmento. Das condições 1) e 2) em virtude do teorema de Bolzano-Cauchy (p. 220) segue-se que a função /(x) desaparece pelo menos em um ponto £ € ( a, b), ou seja, equação (1) tem pelo menos uma raiz real £ no intervalo (a, 6). Visto que, em virtude da condição 3), a derivada /"(x) em [a, b\ permanece com sinal constante, então f(x) é monotônico em [a, b] e, portanto, no intervalo (a, b) a equação (1) tem apenas uma raiz real. Considere um método para calcular o valor aproximado desta única raiz real £ € (a, 6) da equação ( I ) com qualquer grau de precisão. Quatro casos são possíveis (Fig. 40): 1) Fig. 40 Para definição, tomemos o caso quando f\x) > 0, f"(x) > 0 no segmento [a, 6) (Fig. 41). Vamos conectar os pontos A(a, /(a )) e B(b, f(b)) corda AB. Este é um segmento de linha reta que passa pelos pontos A e B, cuja equação é o Ponto aj, no qual a corda AB cruza o eixo do Boi, é localizado entre ai (e é uma melhor aproximação de a. Assumindo em (2) y = 0, encontramos Na Fig. 41 é fácil notar que o ponto a\ estará sempre localizado no lado de onde saem os sinais f( x) e f"(x) são opostos. Vamos agora desenhar uma tangente à curva y = f(x) no ponto B(b, f(b)), ou seja, naquela extremidade do arco ^AB em que f (x) e /"(i) têm o mesmo sinal. Esta é uma condição essencial: sem ela, o ponto de intersecção tangente ao eixo do Boi pode não fornecer uma aproximação da raiz desejada. O ponto b\, em qual a tangente intercepta o eixo do Boi, está localizada entre £ e b no mesmo lado que 6, e é uma aproximação melhor do que b. Esta tangente é determinada pela equação Assumindo y = 0 em (3), encontramos b\ : Esquema para construir um gráfico de uma função Estudo de funções até um extremo usando derivadas de ordem superior Cálculo das raízes das equações usando os métodos de cordas e tangentes Assim, temos Deixe o erro absoluto da aproximação C da raiz £ ser dado antecipadamente. Para o erro absoluto dos valores aproximados de aj e 6, a raiz £, podemos tomar o valor |6i - ai|. Se este erro for maior que o permitido, então, tomando o segmento como o original, encontraremos as seguintes aproximações da raiz onde. Continuando esse processo, obtemos duas sequências de valores aproximados.As sequências (an) e (bn) são monotônicas e limitadas e, portanto, possuem limites. Deixe Pode-se mostrar que se as condições acima forem atendidas, 1 elevado à única raiz da equação / Exemplo. Encontre a raiz (equação r2 - 1 = 0 no segmento . Assim, todas as condições são atendidas para garantir a existência de uma única raiz (equação x2 - 1 = 0 no segmento . . e o método deve funcionar. 8 em nosso caso a = 0, b = 2. Quando n = I de (4) e (5) encontramos Quando n = 2 obtemos o que dá uma aproximação ao valor exato da raiz (com erro absoluto) Exercícios Construa gráficos de funções: Encontre os maiores e menores valores de funções em determinados segmentos: Investigue o comportamento de funções nas proximidades de determinados pontos usando derivadas de ordem superior: Respostas

A tarefa é realizar um estudo completo da função e construir seu gráfico.

Cada aluno passou por tarefas semelhantes.

A apresentação posterior pressupõe bons conhecimentos. Recomendamos que você consulte esta seção se tiver alguma dúvida.

O algoritmo de pesquisa de função consiste nas seguintes etapas.

Encontrar o domínio de definição de uma função.

Este é um passo muito importante no estudo da função, uma vez que todas as ações posteriores serão realizadas no domínio de definição.

No nosso exemplo, precisamos de determinar os zeros do denominador e excluí-los da região dos números reais.



(Em outros exemplos pode haver raízes, logaritmos, etc. Lembremos que nestes casos o domínio de definição é pesquisado da seguinte forma:
para uma raiz de grau par, por exemplo, o domínio de definição é encontrado a partir da desigualdade;
para o logaritmo - o domínio de definição é encontrado a partir da desigualdade).

Estudo do comportamento de uma função no limite do domínio de definição, encontrando assíntotas verticais.

Nos limites do domínio de definição, a função tem assíntotas verticais, se esses pontos limites forem infinitos.

No nosso exemplo, os pontos limites do domínio de definição são.

Vamos examinar o comportamento da função ao abordar esses pontos pela esquerda e pela direita, para os quais encontramos limites unilaterais:


Como os limites unilaterais são infinitos, as retas são as assíntotas verticais do gráfico.

Exame de uma função quanto à paridade ou estranheza.

A função é até, Se . A paridade da função indica a simetria do gráfico em relação à ordenada.

A função é chance, Se . A estranheza da função indica a simetria do gráfico em relação à origem.

Se nenhuma das igualdades for satisfeita, então temos uma função de forma geral.

No nosso exemplo, a igualdade é válida, portanto, a nossa função é par. Levaremos isso em consideração ao construir o gráfico - ele será simétrico em relação ao eixo oy.

Encontrar intervalos de funções crescentes e decrescentes, pontos extremos.

Os intervalos de aumento e diminuição são soluções para as desigualdades e, respectivamente.

Os pontos em que a derivada desaparece são chamados estacionário.

Pontos críticos da função chame os pontos internos do domínio de definição nos quais a derivada da função é igual a zero ou não existe.

COMENTE(se incluir pontos críticos nos intervalos de aumento e diminuição).

Incluiremos pontos críticos nos intervalos crescentes e decrescentes se eles pertencerem ao domínio da função.

Por isso, para determinar os intervalos de função crescente e decrescente

• primeiro, encontramos a derivada;
• em segundo lugar, encontramos pontos críticos;
• em terceiro lugar, dividimos o domínio de definição por pontos críticos em intervalos;
• em quarto lugar, determinamos o sinal da derivada em cada um dos intervalos. O sinal de mais corresponderá ao intervalo de aumento, o sinal de menos ao intervalo de diminuição.

Ir!

Encontramos a derivada no domínio de definição (se surgirem dificuldades, consulte a seção).


Encontramos pontos críticos para isso:

Representamos esses pontos no eixo dos números e determinamos o sinal da derivada dentro de cada intervalo resultante. Alternativamente, você pode pegar qualquer ponto do intervalo e calcular o valor da derivada nesse ponto. Se o valor for positivo, colocamos um sinal de mais sobre essa lacuna e passamos para a próxima, se for negativo, colocamos um sinal de menos, etc. Por exemplo, , portanto, colocamos um sinal de mais acima do primeiro intervalo à esquerda.


Nós concluimos:

Esquematicamente, mais/menos marcam os intervalos onde a derivada é positiva/negativa. As setas crescentes/descendentes mostram a direção de aumento/diminuição.

Pontos extremos da função são os pontos nos quais a função é definida e passando pelos quais a derivada muda de sinal.

Em nosso exemplo, o ponto extremo é x=0. O valor da função neste ponto é . Como a derivada muda de sinal de mais para menos ao passar pelo ponto x=0, então (0; 0) é um ponto de máximo local. (Se a derivada mudasse de sinal de menos para mais, então teríamos um ponto de mínimo local).

Encontrar os intervalos de convexidade e concavidade de uma função e pontos de inflexão.

Os intervalos de concavidade e convexidade de uma função são encontrados resolvendo as desigualdades e, respectivamente.

Às vezes, a concavidade é chamada de convexa para baixo e a convexa é chamada de convexa para cima.

Aqui também são válidas observações semelhantes às do parágrafo sobre intervalos de aumento e diminuição.

Por isso, para determinar os intervalos de concavidade e convexidade de uma função:

• primeiro, encontramos a segunda derivada;
• em segundo lugar, encontramos os zeros do numerador e denominador da segunda derivada;
• em terceiro lugar, dividimos o domínio de definição pelos pontos obtidos em intervalos;
• em quarto lugar, determinamos o sinal da segunda derivada em cada um dos intervalos. O sinal de mais corresponderá ao intervalo de concavidade, o sinal de menos ao intervalo convexo.

Ir!

Encontramos a segunda derivada no domínio de definição.


No nosso exemplo, não há zeros no numerador, mas zeros no denominador.

Plotamos esses pontos no eixo dos números e determinamos o sinal da segunda derivada dentro de cada intervalo resultante.



Nós concluimos:

O ponto é chamado ponto de inflexão, se em um determinado ponto existe uma tangente ao gráfico da função e a segunda derivada da função muda de sinal ao passar por .

Em outras palavras, os pontos de inflexão podem ser pontos através dos quais a segunda derivada muda de sinal; nos próprios pontos ela é zero ou não existe, mas esses pontos estão incluídos no domínio de definição da função.

No nosso exemplo não existem pontos de inflexão, pois a segunda derivada muda de sinal ao passar pelos pontos, e eles não estão incluídos no domínio de definição da função.

Encontrando assíntotas horizontais e oblíquas.

Assíntotas horizontais ou oblíquas devem ser procuradas apenas quando a função é definida no infinito.

Assíntotas oblíquas são pesquisados ​​​​na forma de linhas retas, onde e .

Se k = 0 e b não é igual ao infinito, então a assíntota oblíqua se tornará horizontal.

Afinal, quem são essas assíntotas?

Estas são as linhas que o gráfico de uma função se aproxima no infinito. Portanto, eles são muito úteis na representação gráfica de uma função.

Se não houver assíntotas horizontais ou oblíquas, mas a função for definida em mais infinito e (ou) menos infinito, então você deve calcular o limite da função em mais infinito e (ou) menos infinito para ter uma ideia de ​​o comportamento do gráfico da função.

Para nosso exemplo

- assíntota horizontal.

Isso conclui o estudo da função, procedemos à construção do gráfico.

Calculamos os valores da função em pontos intermediários.

Para uma plotagem mais precisa, recomendamos encontrar vários valores de função em pontos intermediários (ou seja, em quaisquer pontos do domínio de definição da função).

Para nosso exemplo, encontraremos os valores da função nos pontos x=-2, x=-1, x=-3/4, x=-1/4. Devido à paridade da função, esses valores coincidirão com os valores nos pontos x=2, x=1, x=3/4, x=1/4.


Construindo um gráfico.

Primeiro, construímos assíntotas, traçamos os pontos de máximos e mínimos locais da função, pontos de inflexão e pontos intermediários. Para a comodidade de construir um gráfico, você também pode designar esquematicamente os intervalos de aumento, diminuição, convexidade e concavidade, não foi à toa que estudamos a função =).


Resta traçar as linhas do gráfico através dos pontos marcados, aproximando-se das assíntotas e seguindo as setas.


Com esta obra-prima de arte, a tarefa de estudar completamente a função e construir um gráfico está concluída.

Gráficos de algumas funções elementares podem ser construídos usando gráficos de funções elementares básicas.

Como estudar uma função e construir seu gráfico?

Parece que estou começando a compreender o rosto espiritualmente perspicaz do líder do proletariado mundial, autor de obras reunidas em 55 volumes... A longa jornada começou com informações básicas sobre funções e gráficos, e agora o trabalho em um tópico trabalhoso termina com um resultado lógico - um artigo sobre um estudo completo da função. A tão esperada tarefa é formulada da seguinte forma:

Estude uma função usando métodos de cálculo diferencial e construa seu gráfico com base nos resultados do estudo

Ou resumindo: examine a função e construa um gráfico.

Por que explorar? Em casos simples, não será difícil compreender as funções elementares e desenhar um gráfico obtido usando transformações geométricas elementares e assim por diante. No entanto, as propriedades e representações gráficas de funções mais complexas estão longe de ser óbvias, razão pela qual é necessário todo um estudo.

As principais etapas da solução estão resumidas no material de referência Esquema de estudo de função, este é o seu guia para a seção. Os leigos precisam de uma explicação passo a passo de um tópico, alguns leitores não sabem por onde começar ou como organizar suas pesquisas e os alunos avançados podem estar interessados ​​apenas em alguns pontos. Mas seja você quem for, caro visitante, o resumo proposto com indicações para diversas lições irá rapidamente orientá-lo e orientá-lo na direção de seu interesse. Os robôs derramaram lágrimas =) O manual foi apresentado em arquivo pdf e ocupou seu devido lugar na página Fórmulas e tabelas matemáticas.

Estou acostumado a dividir a pesquisa de uma função em 5 a 6 pontos:

6) Pontos adicionais e gráfico com base nos resultados da pesquisa.

Quanto à ação final, acho que tudo está claro para todos - será muito decepcionante se em questão de segundos ela for riscada e a tarefa for devolvida para revisão. UM DESENHO CORRETO E PRECISO é o principal resultado da solução! É provável que “encobrirá” erros analíticos, enquanto um cronograma incorreto e/ou descuidado causará problemas mesmo com um estudo perfeitamente conduzido.

Deve-se notar que em outras fontes o número de pontos de pesquisa, a ordem de sua implementação e o estilo de design podem diferir significativamente do esquema que propus, mas na maioria dos casos é suficiente. A versão mais simples do problema consiste em apenas 2-3 etapas e é formulada mais ou menos assim: “investigar a função usando a derivada e construir um gráfico” ou “investigar a função usando a 1ª e 2ª derivadas, construir um gráfico”.

Naturalmente, se o seu manual descreve outro algoritmo em detalhes ou se o seu professor exige estritamente que você siga suas palestras, você terá que fazer alguns ajustes na solução. Não é mais difícil do que substituir um garfo de motosserra por uma colher.

Vamos verificar a função par/ímpar:

Isso é seguido por um modelo de resposta:
, o que significa que esta função não é par nem ímpar.

Como a função é contínua, não existem assíntotas verticais.

Também não existem assíntotas oblíquas.

Observação : Lembro que quanto maior ordem de crescimento, do que , portanto o limite final é exatamente “ mais infinidade."

Vamos descobrir como a função se comporta no infinito:

Por outras palavras, se formos para a direita, então o gráfico vai infinitamente para cima, se formos para a esquerda, ele vai infinitamente para baixo. Sim, também existem dois limites em uma única entrada. Se você tiver dificuldade em decifrar os sinais, visite a lição sobre funções infinitesimais.

Então a função não limitado de cima E não limitado por baixo. Considerando que não temos pontos de interrupção, fica claro faixa de função: – também qualquer número real.

TÉCNICA TÉCNICA ÚTIL

Cada etapa da tarefa traz novas informações sobre o gráfico da função, portanto, durante a solução é conveniente utilizar uma espécie de LAYOUT. Vamos desenhar um sistema de coordenadas cartesianas em um rascunho. O que já se sabe com certeza? Em primeiro lugar, o gráfico não possui assíntotas, portanto, não há necessidade de traçar retas. Em segundo lugar, sabemos como a função se comporta no infinito. De acordo com a análise, traçamos uma primeira aproximação:

Observe que devido a continuidade função ativada e o fato de que o gráfico deve cruzar o eixo pelo menos uma vez. Ou talvez existam vários pontos de intersecção?

3) Zeros da função e intervalos de sinal constante.

Primeiro, vamos encontrar o ponto de intersecção do gráfico com o eixo das ordenadas. É simples. É necessário calcular o valor da função em:

Um ano e meio acima do nível do mar.

Para encontrar os pontos de intersecção com o eixo (zeros da função), precisamos resolver a equação, e aqui nos espera uma surpresa desagradável:

Há um membro gratuito à espreita no final, o que torna a tarefa muito mais difícil.

Tal equação tem pelo menos uma raiz real e, na maioria das vezes, essa raiz é irracional. No pior conto de fadas, os três porquinhos estão à nossa espera. A equação pode ser resolvida usando o chamado Fórmulas Cardano, mas os danos ao papel são comparáveis ​​a quase todo o estudo. Nesse sentido, é mais sensato tentar selecionar pelo menos um, seja verbalmente ou em rascunho. todo raiz. Vamos verificar se esses números são:
- não apropriado;
- Há!

Sorte aqui. Em caso de falha, você também pode testar e, se esses números não couberem, receio que haja muito pouca chance de uma solução lucrativa para a equação. Então é melhor pular completamente o ponto de pesquisa - talvez algo fique mais claro na etapa final, quando pontos adicionais serão quebrados. E se a(s) raiz(es) são claramente “ruins”, então é melhor permanecer modestamente calado sobre os intervalos de constância dos sinais e desenhar com mais cuidado.

Porém, temos uma raiz bonita, então dividimos o polinômio sem resto:

O algoritmo para dividir um polinômio por um polinômio é discutido em detalhes no primeiro exemplo da lição Limites Complexos.

Como resultado, o lado esquerdo da equação original se decompõe no produto:

E agora um pouco sobre um estilo de vida saudável. Eu, claro, entendo isso equações quadráticas precisa ser resolvido todos os dias, mas hoje abriremos uma exceção: a equação tem duas raízes reais.

Vamos traçar os valores encontrados na reta numérica E método de intervalo Vamos definir os sinais da função:


og Assim, nos intervalos a programação está localizada
abaixo do eixo x e nos intervalos – acima deste eixo.

As descobertas nos permitem refinar nosso layout, e a segunda aproximação do gráfico fica assim:

Observe que uma função deve ter pelo menos um máximo em um intervalo e pelo menos um mínimo em um intervalo. Mas ainda não sabemos quantas vezes, onde e quando a programação irá repetir. A propósito, uma função pode ter infinitos extremos.

4) Crescente, decrescente e extremos da função.

Vamos encontrar os pontos críticos:

Esta equação tem duas raízes reais. Vamos colocá-los na reta numérica e determinar os sinais da derivada:


Portanto, a função aumenta em e diminui em .
No ponto em que a função atinge seu máximo: .
No ponto em que a função atinge o mínimo: .

Os fatos estabelecidos conduzem nosso modelo a uma estrutura bastante rígida:

Escusado será dizer que o cálculo diferencial é algo poderoso. Vamos finalmente entender a forma do gráfico:

5) Convexidade, concavidade e pontos de inflexão.

Vamos encontrar os pontos críticos da segunda derivada:

Vamos definir os sinais:


O gráfico da função é convexo e côncavo. Vamos calcular a ordenada do ponto de inflexão: .

Quase tudo ficou claro.

6) Resta encontrar pontos adicionais que o ajudarão a construir um gráfico com mais precisão e realizar o autoteste. Neste caso são poucos, mas não os negligenciaremos:

Vamos fazer o desenho:

O ponto de inflexão está marcado em verde, os pontos adicionais estão marcados com cruzes. O gráfico de uma função cúbica é simétrico em relação ao seu ponto de inflexão, que está sempre localizado estritamente no meio entre o máximo e o mínimo.

À medida que a tarefa avançava, forneci três desenhos provisórios hipotéticos. Na prática, basta desenhar um sistema de coordenadas, marcar os pontos encontrados e, após cada ponto de pesquisa, estimar mentalmente como ficaria o gráfico da função. Não será difícil para alunos com bom nível de preparação realizar tal análise apenas mentalmente, sem envolver um rascunho.

Para resolver você mesmo:

Exemplo 2

Explore a função e construa um gráfico.

Tudo fica mais rápido e divertido aqui, um exemplo aproximado do desenho final no final da aula.

O estudo das funções racionais fracionárias revela muitos segredos:

Exemplo 3

Utilizar métodos de cálculo diferencial para estudar uma função e, com base nos resultados do estudo, construir seu gráfico.

Solução: a primeira etapa do estudo não se distingue por nada de notável, com exceção de um buraco na área de definição:

1) A função é definida e contínua em toda a reta numérica, exceto no ponto, domínio: .

, o que significa que esta função não é par nem ímpar.

É óbvio que a função não é periódica.

O gráfico da função representa dois ramos contínuos localizados no semiplano esquerdo e direito - esta é talvez a conclusão mais importante do ponto 1.

2) Assíntotas, o comportamento de uma função no infinito.

a) Usando limites unilaterais, examinamos o comportamento da função perto de um ponto suspeito, onde deveria haver claramente uma assíntota vertical:

Na verdade, as funções perduram lacuna sem fim no ponto
e a linha reta (eixo) é assíntota vertical Artes gráficas .

b) Vamos verificar se existem assíntotas oblíquas:

Sim, é direto assíntota oblíqua gráficos, se.

Não faz sentido analisar os limites, pois já está claro que a função abrange a sua assíntota oblíqua não limitado de cima E não limitado por baixo.

O segundo ponto de pesquisa rendeu muitas informações importantes sobre a função. Vamos fazer um esboço:

A conclusão nº 1 diz respeito a intervalos de sinal constante. Em “menos infinito” o gráfico da função está claramente localizado abaixo do eixo x, e em “mais infinito” está acima deste eixo. Além disso, os limites unilaterais disseram-nos que tanto à esquerda como à direita do ponto a função também é maior que zero. Observe que no semiplano esquerdo o gráfico deve cruzar o eixo x pelo menos uma vez. Pode não haver zeros da função no semiplano direito.

A conclusão nº 2 é que a função aumenta à esquerda do ponto (vai “de baixo para cima”). À direita deste ponto, a função diminui (vai “de cima para baixo”). O ramo direito do gráfico certamente deve ter pelo menos um mínimo. À esquerda, os extremos não são garantidos.

A conclusão nº 3 fornece informações confiáveis ​​sobre a concavidade do gráfico nas proximidades do ponto. Ainda não podemos dizer nada sobre convexidade/concavidade no infinito, uma vez que uma linha pode ser pressionada em direção à sua assíntota tanto de cima como de baixo. De modo geral, existe uma maneira analítica de descobrir isso agora, mas a forma do gráfico ficará mais clara posteriormente.

Por que tantas palavras? Para controlar os pontos de pesquisa subsequentes e evitar erros! Cálculos adicionais não devem contradizer as conclusões tiradas.

3) Pontos de intersecção do gráfico com os eixos coordenados, intervalos de sinal constante da função.

O gráfico da função não intercepta o eixo.

Usando o método de intervalo, determinamos os sinais:

, Se ;
, Se .

Os resultados deste ponto são totalmente consistentes com a Conclusão nº 1. Após cada etapa, observe o rascunho, verifique mentalmente a pesquisa e complete o gráfico da função.

No exemplo em consideração, o numerador é dividido termo por termo pelo denominador, o que é muito benéfico para a diferenciação:

Na verdade, isso já foi feito ao encontrar assíntotas.

- ponto crítico.

Vamos definir os sinais:

aumenta em e diminui em

No ponto em que a função atinge o mínimo: .

Também não houve discrepâncias com a Conclusão nº 2 e, muito provavelmente, estamos no caminho certo.

Isto significa que o gráfico da função é côncavo em todo o domínio de definição.

Ótimo - e você não precisa desenhar nada.

Não há pontos de inflexão.

A concavidade é consistente com a Conclusão nº 3, além disso, indica que no infinito (tanto ali como ali) o gráfico da função está localizado mais alto sua assíntota oblíqua.

6) Fixaremos conscientemente a tarefa com pontos adicionais. É aqui que teremos que trabalhar muito, pois só conhecemos dois pontos da pesquisa.

E uma imagem que provavelmente muita gente imaginou há muito tempo:

Durante a execução da tarefa, é necessário garantir cuidadosamente que não haja contradições entre as etapas da pesquisa, mas às vezes a situação é urgente ou até mesmo um beco sem saída. A análise “não bate certo” - isso é tudo. Neste caso, recomendo uma técnica de emergência: encontramos o maior número possível de pontos que pertencem ao gráfico (tanto quanto tivermos paciência) e marcamos-os no plano de coordenadas. Uma análise gráfica dos valores encontrados irá, na maioria dos casos, dizer onde está a verdade e onde é falso. Além disso, o gráfico pode ser pré-construído por meio de algum programa, por exemplo, no Excel (claro, isso requer habilidades).

Exemplo 4

Use métodos de cálculo diferencial para estudar uma função e construir seu gráfico.

Este é um exemplo para você resolver sozinho. Nele, o autocontrole é potencializado pela paridade da função - o gráfico é simétrico em relação ao eixo, e se em sua pesquisa algo contradizer esse fato, procure um erro.

Uma função par ou ímpar pode ser estudada apenas em e então usar a simetria do gráfico. Esta solução é ideal, mas, na minha opinião, parece muito incomum. Pessoalmente, olho toda a reta numérica, mas ainda encontro pontos adicionais apenas à direita:

Exemplo 5

Faça um estudo completo da função e construa seu gráfico.

Solução: as coisas ficaram difíceis:

1) A função é definida e contínua em toda a reta numérica: .

Isso significa que esta função é ímpar, seu gráfico é simétrico em relação à origem.

É óbvio que a função não é periódica.

2) Assíntotas, o comportamento de uma função no infinito.

Como a função é contínua, não existem assíntotas verticais

Para uma função contendo um expoente, é típico separado estudo do “mais” e “menos do infinito”, porém, nossa vida é facilitada pela simetria do gráfico - ou existe uma assíntota tanto à esquerda quanto à direita, ou não existe. Portanto, ambos os limites infinitos podem ser escritos em uma única entrada. Durante a solução que usamos Regra de L'Hopital:

A linha reta (eixo) é a assíntota horizontal do gráfico em.

Observe como evitei astuciosamente o algoritmo completo para encontrar a assíntota oblíqua: o limite é completamente legal e esclarece o comportamento da função no infinito, e a assíntota horizontal foi descoberta “como se fosse ao mesmo tempo”.

Da continuidade e da existência de uma assíntota horizontal segue-se que a função limitado acima E limitado abaixo.

3) Pontos de intersecção do gráfico com os eixos coordenados, intervalos de sinal constante.

Aqui também encurtamos a solução:
O gráfico passa pela origem.

Não há outros pontos de intersecção com os eixos coordenados. Além disso, os intervalos de constância do sinal são óbvios, e o eixo não precisa ser traçado: , o que significa que o sinal da função depende apenas de “x”:
, Se ;
, Se .

4) Crescentes, decrescentes, extremos da função.


- Pontos críticos.

Os pontos são simétricos em relação a zero, como deveria ser.

Vamos determinar os sinais da derivada:


A função aumenta em um intervalo e diminui em intervalos

No ponto em que a função atinge seu máximo: .

Devido à propriedade (a estranheza da função) o mínimo não precisa ser calculado:

Como a função diminui ao longo do intervalo, então, obviamente, o gráfico está localizado em “menos infinito” sob sua assíntota. Ao longo do intervalo, a função também diminui, mas aqui o oposto é verdadeiro - depois de passar pelo ponto máximo, a reta se aproxima do eixo por cima.

Do exposto segue-se também que o gráfico da função é convexo em “menos infinito” e côncavo em “mais infinito”.

Após este ponto de estudo, foi traçado o intervalo de valores da função:

Caso você tenha algum mal-entendido sobre algum ponto, peço mais uma vez que desenhe eixos coordenados em seu caderno e, com um lápis nas mãos, reanalise cada conclusão da tarefa.

5) Convexidade, concavidade, dobras do gráfico.

- Pontos críticos.

A simetria dos pontos é preservada e, muito provavelmente, não nos enganamos.

Vamos definir os sinais:


O gráfico da função é convexo em e côncavo em .

A convexidade/concavidade nos intervalos extremos foi confirmada.

Em todos os pontos críticos existem dobras no gráfico. Vamos encontrar as ordenadas dos pontos de inflexão e novamente reduzir o número de cálculos usando a estranheza da função:

Uma das tarefas mais importantes do cálculo diferencial é o desenvolvimento de exemplos gerais de estudo do comportamento de funções.

Se a função y=f(x) for contínua no intervalo e sua derivada for positiva ou igual a 0 no intervalo (a,b), então y=f(x) aumenta em (f"(x)0) . Se a função y=f (x) for contínua no segmento e sua derivada for negativa ou igual a 0 no intervalo (a,b), então y=f(x) diminui em (f"(x)0 )

Os intervalos em que a função não diminui nem aumenta são chamados de intervalos de monotonicidade da função. A monotonicidade de uma função só pode mudar nos pontos de seu domínio de definição em que o sinal da primeira derivada muda. Os pontos nos quais a primeira derivada de uma função desaparece ou apresenta descontinuidade são chamados críticos.

Teorema 1 (1ª condição suficiente para a existência de um extremo).

Seja a função y=f(x) definida no ponto x 0 e haja uma vizinhança δ>0 tal que a função seja contínua no intervalo e diferenciável no intervalo (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , e sua derivada retém um sinal constante em cada um desses intervalos. Então se em x 0 -δ,x 0) e (x 0 , x 0 +δ) os sinais da derivada são diferentes, então x 0 é um ponto extremo, e se eles coincidirem, então x 0 não é um ponto extremo . Além disso, se, ao passar pelo ponto x0, a derivada muda de sinal de mais para menos (à esquerda de x 0 f"(x)>0 é satisfeita, então x 0 é o ponto máximo; se a derivada muda de sinal de menos para mais (à direita de x 0 executado f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Os pontos máximo e mínimo são chamados de pontos extremos da função, e os máximos e mínimos da função são chamados de valores extremos.

Teorema 2 (um sinal necessário de um extremo local).

Se a função y=f(x) tem um extremo na corrente x=x 0, então f’(x 0)=0 ou f’(x 0) não existe.
Nos pontos extremos da função diferenciável, a tangente ao seu gráfico é paralela ao eixo do Boi.

Algoritmo para estudar uma função para um extremo:

1) Encontre a derivada da função.
2) Encontre pontos críticos, ou seja, pontos nos quais a função é contínua e a derivada é zero ou não existe.
3) Considere a vizinhança de cada ponto e examine o sinal da derivada à esquerda e à direita deste ponto.
4) Determine as coordenadas dos pontos extremos, para isso substitua os valores dos pontos críticos nesta função. Usando condições suficientes para o extremo, tire as conclusões apropriadas.

Exemplo 18. Examine a função y=x 3 -9x 2 +24x para um extremo

Solução.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Igualando a derivada a zero, encontramos x 1 =2, x 2 =4. Neste caso, a derivada é definida em todos os lugares; Isto significa que além dos dois pontos encontrados, não existem outros pontos críticos.
3) O sinal da derivada y"=3(x-2)(x-4) muda dependendo do intervalo conforme mostrado na Figura 1. Ao passar pelo ponto x=2, a derivada muda de sinal de mais para menos, e ao passar pelo ponto x=4 - de menos para mais.
4) No ponto x=2 a função tem um máximo y max =20, e no ponto x=4 - um mínimo y min =16.

Teorema 3. (2ª condição suficiente para a existência de um extremo).

Seja f"(x 0) e no ponto x 0 existe f""(x 0). Então se f""(x 0)>0, então x 0 é o ponto mínimo, e se f""(x 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Em um segmento, a função y=f(x) pode atingir o menor (y o menor) ou o maior (y o maior) valor nos pontos críticos da função situados no intervalo (a;b), ou em as extremidades do segmento.

Algoritmo para encontrar o maior e o menor valor de uma função contínua y=f(x) no segmento:

1) Encontre f"(x).
2) Encontre os pontos em que f"(x)=0 ou f"(x) não existe e selecione entre eles aqueles que estão dentro do segmento.
3) Calcule o valor da função y=f(x) nos pontos obtidos no passo 2), bem como nas extremidades do segmento e selecione o maior e o menor deles: são, respectivamente, os maiores (y o maior) e o menor (e o menor) valores da função no intervalo.

Exemplo 19. Encontre o maior valor da função contínua y=x 3 -3x 2 -45+225 no segmento.

1) Temos y"=3x 2 -6x-45 no segmento
2) A derivada y" existe para todo x. Vamos encontrar os pontos em que y"=0; Nós temos:
3x 2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x1=-3; x 2 = 5
3) Calcule o valor da função nos pontos x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
O segmento contém apenas o ponto x=5. O maior dos valores encontrados da função é 225, e o menor é o número 50. Portanto, y max = 225, y min = 50.

Estudo de uma função na convexidade

A figura mostra gráficos de duas funções. O primeiro deles é convexo para cima, o segundo é convexo para baixo.

A função y=f(x) é contínua no segmento e diferenciável no intervalo (a;b), é chamada convexa para cima (para baixo) neste segmento se, para axb, seu gráfico não estiver acima (nem abaixo) do que o tangente desenhada em qualquer ponto M 0 (x 0 ;f(x 0)), onde axb.

Teorema 4. Deixe a função y=f(x) ter uma segunda derivada em qualquer ponto interior x do segmento e ser contínua nas extremidades deste segmento. Então, se a desigualdade f""(x)0 se mantém no intervalo (a;b), então a função é convexa para baixo no intervalo; se a desigualdade f""(x)0 se mantém no intervalo (a;b), então a função é convexa para cima em .

Teorema 5. Se a função y=f(x) tem uma segunda derivada no intervalo (a;b) e muda de sinal ao passar pelo ponto x 0, então M(x 0 ;f(x 0)) é um ponto de inflexão.

Regra para encontrar pontos de inflexão:

1) Encontre os pontos em que f""(x) não existe ou desaparece.
2) Examine o sinal f""(x) à esquerda e à direita de cada ponto encontrado na primeira etapa.
3) Com base no Teorema 4, tire uma conclusão.

Exemplo 20. Encontre os pontos extremos e pontos de inflexão do gráfico da função y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Temos f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Obviamente, f"(x)=0 quando x 1 =0, x 2 =1. Ao passar pelo ponto x=0, a derivada muda de sinal de menos para mais, mas ao passar pelo ponto x=1 ela não muda de sinal. Isso significa que x=0 é o ponto mínimo (y min =12) e não há extremo no ponto x=1. A seguir, encontramos . A segunda derivada desaparece nos pontos x 1 =1, x 2 =1/3. Os sinais da segunda derivada mudam da seguinte forma: No raio (-∞;) temos f""(x)>0, no intervalo (;1) temos f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Portanto, x= é o ponto de inflexão do gráfico da função (transição da convexidade para baixo para a convexidade para cima) e x=1 também é o ponto de inflexão (transição da convexidade para cima para a convexidade para baixo). Se x=, então y=; se, então x=1, y=13.

Algoritmo para encontrar a assíntota de um gráfico

I. Se y=f(x) como x → a, então x=a é uma assíntota vertical.
II. Se y=f(x) como x → ∞ ou x → -∞, então y=A é uma assíntota horizontal.
III. Para encontrar a assíntota oblíqua, usamos o seguinte algoritmo:
1) Calcule. Se o limite existe e é igual a b, então y=b é uma assíntota horizontal; se , vá para a segunda etapa.
2) Calcule. Se este limite não existir, então não existe assíntota; se existir e for igual a k, vá para a terceira etapa.
3) Calcule. Se este limite não existir, então não existe assíntota; se existir e for igual a b, vá para a quarta etapa.
4) Escreva a equação da assíntota oblíqua y=kx+b.

Exemplo 21: Encontre a assíntota de uma função

1)
2)
3)
4) A equação da assíntota oblíqua tem a forma

Esquema para estudar uma função e construir seu gráfico

I. Encontre o domínio de definição da função.
II. Encontre os pontos de intersecção do gráfico da função com os eixos coordenados.
III. Encontre assíntotas.
4. Encontre possíveis pontos extremos.
V. Encontre pontos críticos.
VI. Usando a figura auxiliar, explore o sinal da primeira e da segunda derivadas. Determine áreas de função crescente e decrescente, encontre a direção de convexidade do gráfico, pontos extremos e pontos de inflexão.
VII. Construa um gráfico, levando em consideração a pesquisa realizada nos parágrafos 1 a 6.

Exemplo 22: Construa um gráfico da função de acordo com o diagrama acima

Solução.
I. O domínio de uma função é o conjunto de todos os números reais, exceto x=1.
II. Como a equação x 2 +1=0 não tem raízes reais, o gráfico da função não tem pontos de intersecção com o eixo Ox, mas intercepta o eixo Oy no ponto (0;-1).
III. Esclareçamos a questão da existência de assíntotas. Vamos estudar o comportamento da função próximo ao ponto de descontinuidade x=1. Como y → ∞ como x → -∞, y → +∞ como x → 1+, então a reta x=1 é a assíntota vertical do gráfico da função.
Se x → +∞(x → -∞), então y → +∞(y → -∞); portanto, o gráfico não possui uma assíntota horizontal. Além disso, da existência de limites

Resolvendo a equação x 2 -2x-1=0 obtemos dois pontos extremos possíveis:
x 1 =1-√2 e x 2 =1+√2

V. Para encontrar os pontos críticos, calculamos a segunda derivada:

Como f""(x) não desaparece, não há pontos críticos.
VI. Vamos examinar o sinal da primeira e da segunda derivada. Possíveis pontos extremos a serem considerados: x 1 =1-√2 e x 2 =1+√2, divida o domínio de existência da função em intervalos (-∞;1-√2),(1-√2;1 +√2) e (1+√2;+∞).

Em cada um desses intervalos, a derivada mantém seu sinal: no primeiro - mais, no segundo - menos, no terceiro - mais. A sequência de sinais da primeira derivada será escrita da seguinte forma: +,-,+.
Descobrimos que a função aumenta em (-∞;1-√2), diminui em (1-√2;1+√2) e aumenta novamente em (1+√2;+∞). Pontos extremos: máximo em x=1-√2, e f(1-√2)=2-2√2 mínimo em x=1+√2, e f(1+√2)=2+2√2. Em (-∞;1) o gráfico é convexo para cima, e em (1;+∞) é convexo para baixo.
VII Vamos fazer uma tabela dos valores obtidos

VIII Com base nos dados obtidos, construímos um esboço do gráfico da função