AV Glasco

PALESTRAS SOBRE ANÁLISE MATEMÁTICA

"FUNÇÕES ELEMENTARES E LIMITES"

Moscou, MSTU im. N.E. Bauman

§1. simbolismo lógico.

Ao escrever expressões matemáticas, usaremos os seguintes símbolos lógicos:

	Significado		Significado
			Para todos, para todos, para todos (desde
			Existe, existe, existe (existe)
			implica, segue (portanto)
			Equivalentemente, se e somente se,
			necessário e suficiente
Então, se A e B são quaisquer proposições, então

			Significado
			A ou B (ou A ou B, ou ambos A e B)
			Para qualquer x temos A
			Existe x para o qual A é válido
			De A segue B (se A é verdadeiro, então B é verdadeiro)
(implicação)
			A é equivalente a B, A ocorre se e somente se B ocorre,
			A é necessário e suficiente para B
	Comente. “A B” significa que A é suficiente para B e B é necessário para A.

Exemplo. (x=1) => (x2 -3x+2=0) => ((x=1) (x=2)).

Algumas vezes usaremos outro caractere especial: A =df B.

Isso significa que A = B por definição.

§2. Conjuntos. Elementos e partes de um conjunto.

O conceito de conjunto é um conceito primário, não definido em termos de outros mais simples. As palavras: conjunto, família, conjunto são seus sinônimos.

Exemplos de conjuntos: muitos alunos na sala de aula, muitos professores no departamento, muitos carros no estacionamento, etc.

Conceitos primários também são os conceitos elemento definido e relacionamentos

entre os elementos do conjunto.

Exemplo. N é o conjunto dos números naturais, seus elementos são os números 1,2,3, ... Se xey são elementos de N, então eles estão em uma das seguintes relações: x = y, x sim

Concordamos em denotar conjuntos por letras maiúsculas: A, B, C, X, Y, …, e seus elementos por letras minúsculas: a, b, c, x, y, …

As relações entre elementos ou conjuntos são indicadas por símbolos inseridos entre letras. Por exemplo. Seja A algum conjunto. Então a relação a A significa que a é um elemento do conjunto A. A notação a A significa que a não é um elemento de A.

O conjunto pode ser definido de várias maneiras. 1. Enumeração dos seus elementos.

Por exemplo, A=(a, b, c, d), B=(1, 7, 10)

2. Especificando as propriedades dos elementos. Seja A o conjunto dos elementos a com propriedade p. Isso pode ser escrito como: A=( a:p ) ou A=( ap ).

Por exemplo, a notação А= ( x: (x R ) (x2 -1>0) ) significa que A é um conjunto de números reais que satisfazem a desigualdade x2 -1>0.

Vamos introduzir algumas definições importantes.

Def. Um conjunto é dito finito se consiste em um certo número finito de elementos. Caso contrário, é chamado de infinito.

Por exemplo, o conjunto de alunos na sala de aula é finito, mas o conjunto dos números naturais ou o conjunto dos pontos dentro do segmento é infinito.

Def. Um conjunto que não contém nenhum elemento é chamado de vazio e é denotado.

Def. Dois conjuntos são ditos iguais se eles consistem no mesmo

Aqueles. o conceito de conjunto não implica uma ordem particular de elementos. Def. Um conjunto X é chamado de subconjunto de um conjunto Y se qualquer elemento do conjunto X for um elemento do conjunto Y (neste caso, de um modo geral, não qualquer

um elemento do conjunto Y é um elemento do conjunto X). Neste caso, utiliza-se a designação: X Y.

Por exemplo, o conjunto das laranjas O é um subconjunto do conjunto das frutas F : O F , e o conjunto dos números naturais N é um subconjunto do conjunto dos números reais R : N R .

Os caracteres “ ” e “ ” são chamados de caracteres de inclusão. Cada conjunto é considerado um subconjunto de si mesmo. O conjunto vazio é um subconjunto de qualquer conjunto.

Def. Qualquer subconjunto não vazio B de um conjunto A que não é igual a A é chamado

próprio subconjunto.

§ 3. Diagramas de Euler-Venn. Operações elementares sobre conjuntos.

É conveniente representar conjuntos graficamente, como regiões em um plano. Isso implica que os pontos da região correspondem aos elementos do conjunto. Tais representações gráficas de conjuntos são chamadas de diagramas de Euler-Venn.

Exemplo. A é o conjunto de alunos do MSTU, B é o conjunto de alunos da plateia. Arroz. 1 demonstra claramente que A B .

Diagramas de Euler-Venn são convenientes de usar para uma representação visual de elementos elementares. operações em conjuntos. As principais operações incluem o seguinte.

Arroz. 1. Um exemplo de diagrama de Euler-Venn.

1. A interseção A B dos conjuntos A e B é o conjunto C, que consiste em todos os elementos pertencentes simultaneamente aos conjuntos A e B:

C = A B = df ( z: (z A) (z B) )

(na Fig. 2, o conjunto C é representado pela área sombreada).

Arroz. 2. Intersecção de conjuntos.

2. A união A B dos conjuntos A e B é o conjunto C, que consiste em todos os elementos pertencentes a pelo menos um dos conjuntos A ou B.

C = A B = df ( z: (z A) (z B) )

(na Fig. 3, o conjunto C é representado pela área sombreada).

Arroz. 3. União de conjuntos.

Arroz. 4. Diferença de conjuntos.

3. A diferença A \ B dos conjuntos A e B é o conjunto C, composto por todos os elementos pertencentes ao conjunto A, mas não pertencentes ao conjunto B:

A \ B =( z: (z A) (z B) )

(na Fig. 4, o conjunto C é representado pela área sombreada em amarelo).

§ 4. O conjunto dos números reais.

Vamos construir um conjunto de números reais (reais) R. Para fazer isso, considere, em primeiro lugar, conjunto de números naturais, que definimos a seguir. Vamos tomar o número n=1 como o primeiro elemento. Cada elemento subsequente será obtido do anterior adicionando um:

N = (1, 1+1, (1+1)+1, …) = (1, 2, 3, …, n, …).

N = (-1, -2, -3, ..., -n, ... ).

O conjunto de inteiros Z definir como a união de três conjuntos: N, -N e um conjunto constituído por um único elemento - zero:

O conjunto dos números racionais é definido como o conjunto de todas as razões possíveis de inteiros:

Q = (xx = m/n; m, nZ, n0).

Obviamente, N Z Q.

Sabe-se que todo número racional pode ser escrito como uma fração finita real ou periódica infinita. Os números racionais são suficientes para medir todas as quantidades que podemos encontrar no estudo do mundo ao nosso redor? Já na Grécia Antiga foi demonstrado que não é: se considerarmos um triângulo retângulo isósceles com catetos de comprimento um, o comprimento da hipotenusa não pode ser representado como um número racional. Assim, não podemos nos restringir ao conjunto dos números racionais. É necessário expandir o conceito de número. Esta extensão é conseguida introduzindo conjuntos de números irracionais J, que é mais fácil de pensar como o conjunto de todos os decimais infinitos não periódicos.

A união de conjuntos de números racionais e irracionais é chamada

conjunto de números reais (reais) R: R = Q Y.

Às vezes eles consideram um conjunto estendido de números reais R, entendendo

Os números reais são convenientemente representados como pontos na reta numérica.

Def. O eixo numérico é chamado de linha reta, que indica a origem, escala e direção de referência.

Uma correspondência biunívoca é estabelecida entre números reais e pontos do eixo numérico: qualquer número real corresponde a um único ponto do eixo numérico e vice-versa.

Axioma da completude (continuidade) do conjunto dos números reais. Quaisquer conjuntos não vazios А= ( a ) R e B= (b) R são tais que para qualquer a e b a desigualdade a ≤ b é verdadeira, existe um número cR tal que a ≤ c ≤ b (Fig. 5).

Fig.5. Ilustração do axioma da completude do conjunto dos números reais.

§5. Conjuntos numéricos. Vizinhança.

Def. Conjunto numérico qualquer subconjunto do conjunto R é chamado. Os conjuntos numéricos mais importantes: N, Z, Q, J, e também

segmento: (x R | a x b ),

intervalo: (a ,b ) (x R |a x b ), (,)=R

meios-intervalos: ( x R| a x b),

(xR | xb).

O papel mais importante na análise matemática é desempenhado pelo conceito de vizinhança de um ponto no eixo numérico.

Def. - vizinhança do ponto x 0 é um intervalo de comprimento 2 centrado no ponto x 0 (Fig. 6):

u (x 0 ) (x 0 ,x 0 ).

Arroz. 6. Vizinhança de um ponto.

Def. A vizinhança perfurada de um ponto é a vizinhança deste ponto,

do qual o próprio ponto x 0 é excluído (Fig. 7):

u (x 0 ) u (x 0 )\(x 0 ) (x 0 ,x 0 ) (x 0 ,x 0 ).

Arroz. 7. Vizinhança perfurada de um ponto.

Def. A vizinhança à direita do ponto x0 chamado de meio intervalo

u (x 0 ) , intervalo: E= [-π/2,π/2 ].

Arroz. 11. Gráfico da função y arco sen x.

Vamos agora introduzir o conceito de uma função complexa ( exibir composições). Sejam dados três conjuntos D, E, M e sejam f: D→E, g: E→M. Obviamente, é possível construir um novo mapeamento h: D→M, chamado de composição de mapeamentos f e g ou uma função complexa (Fig. 12).

Uma função complexa é denotada como segue: z =h(x)=g(f(x)) ou h = f o g.

Arroz. 12. Ilustração para o conceito de função complexa.

A função f(x) é chamada função interna, e a função g ( y ) - função externa.

1. Função interna f (x) = x², externa g (y) sen y. Função complexa z= g(f(x))=sen(x²)

2. Agora vice-versa. Função interna f (x)= sinx, externa g (y) y 2 . u=f(g(x))=sen²(x)

Deixe a variável x n recebe uma sequência infinita de valores

x 1 , x 2 , ..., x n , ..., (1)

e a lei da mudança da variável é conhecida x n, ou seja para todo número natural n você pode especificar o valor correspondente x n. Assim, supõe-se que a variável x né uma função de n:

x n = f(n)

Vamos definir um dos conceitos mais importantes da análise matemática - o limite de uma sequência, ou, o que dá no mesmo, o limite de uma variável x n sequência de corrida x 1 , x 2 , ..., x n , ... . .

Definição. número constante uma chamado limite de sequência x 1 , x 2 , ..., x n , ... . ou o limite de uma variável x n, se para um número positivo arbitrariamente pequeno e existe tal número natural N(ou seja, número N) que todos os valores da variável x n, começando com x N, difere da uma menor em valor absoluto do que e. Esta definição é resumidamente escrita da seguinte forma:

| x n - uma |< (2)

para todos n  N, ou, o que é o mesmo,

Definição do limite de Cauchy. Um número A é chamado de limite de uma função f(x) em um ponto a se esta função é definida em alguma vizinhança do ponto a, exceto talvez para o próprio ponto a, e para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que para todo x satisfazendo a condição |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Definição do limite de Heine. Um número A é chamado de limite de uma função f(x) em um ponto a se esta função for definida em alguma vizinhança do ponto a, exceto talvez para o próprio ponto a, e para qualquer sequência tal que convergindo para o número a, a sequência correspondente de valores da função converge para o número A.

Se a função f(x) tem um limite no ponto a, então este limite é único.

O número A 1 é chamado de limite esquerdo da função f(x) no ponto a se para cada ε > 0 existe δ >

O número A 2 é chamado de limite direito da função f(x) no ponto a se para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que a desigualdade

O limite à esquerda é denotado como o limite à direita - Esses limites caracterizam o comportamento da função à esquerda e à direita do ponto a. Eles são frequentemente chamados de limites unidirecionais. Na notação de limites laterais como x → 0, o primeiro zero é geralmente omitido: e . Então, para a função

Se para cada ε > 0 existe uma δ-vizinhança de um ponto a tal que para todo x satisfazendo a condição |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >ε, então dizemos que a função f(x) tem um limite infinito no ponto a:

Assim, a função tem um limite infinito no ponto x = 0. Limites iguais a +∞ e –∞ são frequentemente distinguidos. Então,

Se para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que para qualquer x > δ a desigualdade |f (x) – A|< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:

Teorema de existência para o menor limite superior

Definição: AR mR, m - face superior (inferior) de A, se аА аm (аm).

Definição: O conjunto A é limitado a partir de cima (a partir de baixo), se existe m tal que аА, então аm (аm) é satisfeito.

Definição: SupA=m, se 1) m - limite superior de A

2) m': m' m' não é uma face superior de A

InfA = n se 1) n é o ínfimo de A

2) n’: n’>n => n’ não é um ínfimo de A

Definição: SupA=m é um número tal que: 1)  aA am

2) >0 a  A, tal que a  a-

InfA = n é chamado de um número tal que:

2) >0 a  A, tal que a E a+

Teorema: Qualquer conjunto não vazio АR limitado a partir de cima tem um melhor limite superior, e um único.

Prova:

Construímos um número m na reta real e provamos que este é o menor limite superior de A.

[m]=max([a]:aA) [[m],[m]+1]A=>[m]+1 - face superior de A

Segmento [[m],[m]+1] - dividido em 10 partes

m 1 =max:aA)]

m 2 =max,m 1:aA)]

m para =max,m 1 ...m K-1:aA)]

[[m],m 1 ...m K , [m],m 1 ...m K + 1 /10 K ]A=>[m],m 1 ...m K + 1/ 10 K - face superior A

Vamos provar que m=[m],m 1 ...m K é o menor limite superior e que é único:

para: )