Uma das áreas de aplicação mais eficaz dos métodos de 2 espinores acabou sendo o estudo de problemas assintóticos na teoria da relatividade. Um exemplo importante de tais problemas é a determinação da energia-momento total contida em um espaço-tempo assintoticamente plano e radiação gravitacional. Neste caso, os métodos espinor são especialmente eficazes em combinação com o método em que o "infinito se torna finito" por uma transformação conforme da métrica. Com esse método, transformamos a métrica de espaço-tempo substituindo a métrica física original por uma nova métrica "não física" conformemente relacionada a

onde é uma função suficientemente suave e em toda parte positiva definida no tensor métrico e seu tensor inverso são transformados pelas fórmulas

Se tiver uma estrutura assintótica apropriada e um fator de conformação adequado for escolhido, então alguma superfície limite 3 pode ser "ligada" a [esta notação lê "borda" - uma abreviação de "script I"]. Esta superfície é introduzida de tal forma que a métrica "não-física" pode ser estendida a novos pontos situados na fronteira sem degeneração e com um certo grau de suavidade. A função J também pode ser estendida com um grau apropriado de suavidade, mas desaparece na superfície. Isso significa que a métrica física deve estar no limite Y do infinito e, portanto, não pode ser estendida a ele. Então, em termos de métricas físicas, novos pontos (ou seja, pontos na superfície são infinitamente distantes de

pontos adjacentes a eles. Na física, isso corresponde a "pontos no infinito".

Anexar uma superfície a esse tipo de espaço-tempo nos dá uma variedade suave com limite, que denotaremos pelo símbolo e

O símbolo da fronteira, é o símbolo da região interior da variedade). A vantagem da abordagem proposta é que agora é possível aplicar métodos locais poderosos de geometria diferencial e álgebra espinor, que fornecerão informações sobre as assintóticas do espaço-tempo. no espaço-tempo assintoticamente plano, não há necessidade de passagens complexas até o limite. E a própria definição de euclidiano assintótico na teoria geral da relatividade pode agora ser dada em uma forma conveniente "sem coordenadas". Métodos conformes são muito adequados para a teoria da relatividade pela simples razão de que grande parte dela é conformemente invariante: equações para um campo livre sem massa, o tensor de Weyl conforme, geodésicas isotrópicas, hipersuperfícies isotrópicas, causalidade relativística e (especialmente no caso de espaço Minkowski) teoria twistor. O método proposto é semelhante ao utilizado na análise complexa, onde um "ponto no infinito" é adicionado ao plano de Argand (capítulo 1, § 2) para obter uma esfera riemanniana, bem como ao método utilizado na geometria projetiva.

Descrição em forma de coordenadas explícitas

Primeiro, considere o procedimento para construir um infinito conforme para o espaço de Minkowski M. Neste caso, a métrica física em coordenadas esféricas tem a forma

Por conveniência, introduzimos dois parâmetros de tempo: retardado e avançado.

A liberdade na escolha de um fator conforme é bastante grande. No entanto, no caso do espaço-tempo de interesse para nós aqui (ou seja, assintoticamente simples) a partir de considerações gerais [ver. texto após a fórmula (9.7.22)], a função deve ser escolhida de modo que tenda a zero ao longo de qualquer raio (tanto no passado quanto no futuro) como o recíproco do parâmetro afim do raio A, (ou seja, para quando ao longo do raio). Qualquer hipersuperfície é um cone de luz do futuro, construído a partir de raios (linhas retas isotrópicas), para os quais os valores 0 e também permanecem constantes. A coordenada desempenha o papel de parâmetro afim do futuro de cada um desses raios radiais. Da mesma forma, a coordenada serve como parâmetro afim do passado desses raios. Portanto, é necessário exigir que as condições para e sobre o raio sejam satisfeitas para e sobre o raio Se também quisermos que a função seja suave em pedaços finitos de espaço-tempo, então a escolha se sugere

(o fator 2 é introduzido por conveniência no que segue), e então

Muitas outras formas da função são possíveis, mas esta, como veremos em breve, é especialmente conveniente.

Para que nossos "pontos no infinito" correspondam aos valores finais das coordenadas, tanto e o devem ser substituídos por parâmetros tais que

Os limites de variação das variáveis ​​e são mostrados nas Figs. 9.1, onde cada ponto representa uma 2-esfera de raio A linha vertical corresponde à origem espacial e representa apenas uma singularidade coordenada. O mesmo espaço-tempo nesta linha (e em todos os lugares), é claro, não é singular. As linhas oblíquas representam o infinito (isotrópico) (indicado pelos símbolos respectivamente) do espaço de Minkowski (porque essas linhas correspondem aos valores Mas a métrica (9.1.5) é obviamente idealmente regular nessas linhas. Podemos esperar que o espaço-tempo

Arroz. 9.1. A região do espaço correspondente ao espaço M. A linha reta significa, e é o eixo de simetria esférica.

e sua métrica não será singular mesmo fora dessas regiões. A linha vertical também é uma singularidade de coordenadas exatamente do mesmo tipo que a linha reta. Toda a faixa vertical pode ser usada para definir o espaço-tempo cuja estrutura global corresponde ao produto de uma 3-esfera tipo espaço e uma linha infinita tipo tempo (" universo estático de Einstein"). Para verificar isso, escolhemos novas coordenadas

A parte desta métrica entre colchetes é a métrica da unidade de 3 esferas.

A parte do espaço-tempo conforme com o espaço original de Minkowski pode ser considerada como o espaço entre os cones de luz dos pontos O ponto tem coordenadas e o ponto tem coordenadas Esta parte "envolve"

Arroz. 9.2. A área do cilindro de Einstein correspondente ao espaço M.

e fecha no lado “traseiro” em um único ponto com coordenadas.Observe que no ponto a, isso significa que o ponto deve ser considerado como um único ponto, e não uma 2-esfera. A situação considerada é mostrada na Fig. 9.2, onde duas dimensões são descartadas. O espaço de dois Minkowski está em conformidade com o interior do quadrado (representado inclinado a 45°). Este quadrado envolve um cilindro, que é uma versão bidimensional do universo estático de Einstein. A contabilização das medições ausentes não altera nada significativamente. Próximo ao ponto, a região de interesse está dentro do cone de luz do futuro associado ao ponto. do universo de Einstein em um ponto (que no espaço em relação diametralmente oposto ao ponto Perto do ponto de interesse; nós a área (espaço de Minkowski) se estende em direções semelhantes ao espaço do cone de luz Futuro para o ponto novamente foca em um ponto posição espacial

Em primeiro lugar, notamos que o plano projetivo, diferentemente do plano euclidiano, não possui extensão infinita. Vamos descobrir qual é a diferença entre eles e, por outro lado, como eles estão relacionados? Para isso, vamos esclarecer quais posições do plano euclidiano são usadas na geometria projetiva. A geometria projetiva é baseada em seu próprio sistema de axiomas. E embora as construções lógicas sobre uma base axiomática sejam uma ilustração maravilhosa do método matemático, no entanto, divorciada da geometria euclidiana, tal apresentação da geometria projetiva é muito abstrata. Portanto, para maior concretude e clareza, é aconselhável partir do modelo do plano euclidiano.

Sabe-se que uma reta no plano euclidiano continua em ambas as direções indefinidamente e que entre os pontos da reta e todos os números reais pode-se estabelecer uma correspondência biunívoca, na qual a ordenação natural dos pontos do linha reta corresponde à ordenação dos números em sua magnitude.

Vamos agora complementar a reta “à esquerda e à direita” com o mesmo ponto condicional, que chamaremos de ponto no infinito.

É claro que surge uma dúvida - é possível falar sobre a realidade de pontos inexistentes? No entanto, nas teorias modernas isso ocorre com frequência. Assim, por exemplo, embora não haja números infinitamente grandes entre os números reais, na análise matemática a verdade do símbolo é usada não como um número, mas para denotar crescimento ilimitado. (No mesmo sentido, o símbolo é usado em relação às funções trigonométricas.) Depois de adicionar um ponto infinitamente distante a uma linha reta comum, a linha reta “completada” se fecha. Vamos agora adicionar: cada linha comum ao longo de um ponto no infinito, e concordamos que quando as linhas são paralelas, então os pontos adicionados a elas coincidem, quando as linhas não são paralelas, então seus pontos no infinito são diferentes.

Duas retas que se cruzam no plano euclidiano se cruzam em um ponto ordinário, e os pontos no infinito dessas retas não coincidem. Portanto, nesta nova geometria não existem linhas paralelas, a cada duas linhas

se cruzam em um ponto. Uma família de linhas paralelas entre si na geometria comum tem um ponto comum no infinito, enquanto linhas em direções opostas têm pontos diferentes no infinito. A este respeito, existem infinitos pontos no infinito.

O conjunto desses pontos no infinito, novamente por definição, constitui uma chamada linha no infinito

Assim obtemos uma geometria na qual uma linha no infinito é adicionada ao plano euclidiano.

Em essência, essa geometria ainda não é muito diferente da geometria euclidiana. Em vez da afirmação sobre o paralelismo de duas linhas, é introduzida a afirmação sobre sua interseção em um ponto infinitamente distante.

Os axiomas básicos aceitos na geometria projetiva afirmam que dois pontos definem uma linha (se ambos os pontos estão no infinito, então eles definem uma linha no infinito e que duas linhas sempre se cruzam em um ponto. E embora as disposições desses dois axiomas sejam muito importantes , mas desde que atribuamos

alguns pontos em uma linha no infinito, praticamente não mudamos a essência da geometria euclidiana e não introduzimos nada de novo na geometria.

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Livros

• , David Deutsch. Citação "... O progresso não precisa necessariamente ter um fim, mas sempre tem um ponto de partida - o motivo pelo qual começou, o evento que contribuiu para ele ou o necessário ...
• Começo do infinito. Explicações que Mudam o Mundo, David Deutsch. Citação `... O progresso não precisa necessariamente terminar, mas sempre tem um ponto de partida - a razão pela qual começou, o evento que contribuiu para ele ou o necessário ...

Se alguma sequência converge para um número finito a , então escrevemos
.
Anteriormente, introduzimos sequências infinitamente grandes em consideração. Aceitamos que eles são convergentes e denotamos seus limites por símbolos e . Esses símbolos representam pontos no infinito. Eles não pertencem ao conjunto dos números reais. Mas o conceito de limite permite introduzir tais pontos e fornece uma ferramenta para estudar suas propriedades com a ajuda de números reais.

Definição
ponto do infinito, ou infinito sem sinal, é o limite para o qual tende uma sequência infinitamente grande.
ponto no infinito mais infinito, é o limite para o qual tende uma sequência infinitamente grande com termos positivos.
ponto no infinito menos infinito, é o limite para o qual tende uma sequência infinitamente grande com termos negativos.

Para qualquer número real a, valem as seguintes desigualdades:
;
.

Usando números reais, introduzimos o conceito vizinhança de um ponto no infinito.
A vizinhança de um ponto é o conjunto.
Finalmente, a vizinhança do ponto é o conjunto .
Aqui M é um número real arbitrário, arbitrariamente grande.

Assim, expandimos o conjunto dos números reais introduzindo novos elementos nele. A esse respeito, segue a seguinte definição:

Linha numérica estendida ou conjunto estendido de números reaisé chamado de conjunto dos números reais, complementado por elementos e :
.

Primeiro, anotamos as propriedades que os pontos e têm. Em seguida, consideramos a questão de uma definição matemática rigorosa de operações para esses pontos e a prova dessas propriedades.

Propriedades dos pontos no infinito

Soma e Diferença.
; ;
; ;

Trabalho e privado.
; ; ;
;
;
; ; .

Conexão com números reais.
Seja a um número real arbitrário. Então
; ;
; ; ; .
Deixe um > 0 . Então
; ; .
Deixe um < 0 . Então
; .

Operações indefinidas.
; ; ; ;
; ; ;
; ;
.

Provas para propriedades de pontos no infinito

Definição de operações matemáticas

Já demos definições para pontos no infinito. Agora temos que definir operações matemáticas para eles. Como definimos esses pontos em termos de sequências, as operações nesses pontos também devem ser definidas em termos de sequências.

Então, soma de dois pontos
c = a + b
pertencentes ao conjunto estendido de números reais,
,
vamos chamar o limite
,
onde e são sequências arbitrárias com limites
e .

As operações de subtração, multiplicação e divisão são definidas de maneira semelhante. Apenas, no caso de divisão, os elementos do denominador da fração não devem ser iguais a zero.
Então a diferença de dois pontos:
é o limite: .
Produto ponto:
é o limite: .
Privado:
é o limite: .
Aqui e são sequências arbitrárias cujos limites são a e b , respectivamente. No último caso, .

Provas de propriedade

Para provar as propriedades de pontos no infinito, precisamos usar as propriedades de sequências infinitamente grandes.

Considere uma propriedade:
.
Para provar isso, devemos mostrar que
,

Em outras palavras, precisamos provar que a soma de duas sequências que convergem para mais infinito converge para mais infinito.

1 valem as seguintes desigualdades:
;
.
Então para e temos:
.
Deixar . Então
no ,
Onde .
Isso significa que .

Outras propriedades são provadas de maneira semelhante. Como exemplo, apresentamos mais uma prova.

Vamos provar que:
.
Para isso, devemos mostrar que
,
onde e são sequências arbitrárias, com limites e .

Ou seja, precisamos provar que o produto de duas sequências infinitamente grandes é uma sequência infinitamente grande.

Vamos provar isso. Como e , então existem algumas funções e , de modo que para qualquer número positivo M 1 valem as seguintes desigualdades:
;
.
Então para e temos:
.
Deixar . Então
no ,
Onde .
Isso significa que .

Operações indefinidas

Algumas das operações matemáticas com pontos no infinito não estão definidas. Para mostrar sua indeterminação, precisamos dar alguns casos especiais em que o resultado da operação depende da escolha das sequências incluídas neles.

Considere esta operação:
.
É fácil mostrar que se e , então o limite da soma das sequências depende da escolha das sequências e .

De fato, vamos pegar. Os limites dessas sequências são iguais. Limite de valor

é igual ao infinito.

Agora vamos pegar. Os limites dessas sequências também são iguais. Mas o limite de sua soma

igual a zero.

Ou seja, desde que e , o valor do limite de soma pode assumir valores diferentes. Portanto, a operação não está definida.

De forma semelhante, pode-se mostrar a incerteza das demais operações apresentadas acima.

Definição
Subsequência (βn) é chamada de sequência infinita, se para qualquer número M arbitrariamente grande existe um número natural N M , dependendo de M , tal que para todos os números naturais n > N M , a desigualdade
|βn | >M.
Neste caso, escreva
.
Ou em.
Dizem que tende ao infinito, ou converge para o infinito.

Se , a partir de algum número N 0 , então
( converge para mais infinito).
Se então
( converge para menos infinito).

Escrevemos essas definições usando os símbolos lógicos de existência e universalidade:
(1) .
(2) .
(3) .

Sequências com limites (2) e (3) são casos especiais de uma sequência infinitamente grande (1). Destas definições segue-se que se o limite de uma sequência é mais ou menos infinito, então também é igual a infinito:
.
O inverso, é claro, não é verdade. Os membros da sequência podem ter caracteres alternados. Neste caso, o limite pode ser igual ao infinito, mas sem sinal definido.

Observe também que, se uma certa propriedade vale para uma sequência arbitrária com limite igual a infinito, então a mesma propriedade vale para uma sequência cujo limite é mais ou menos infinito.

Em muitos livros de cálculo, a definição de uma sequência infinitamente grande afirma que o número M é positivo: M > 0 . No entanto, este requisito é redundante. Se for cancelado, não haverá contradições. Apenas valores pequenos ou negativos não nos interessam. Estamos interessados ​​no comportamento da sequência para valores positivos arbitrariamente grandes de M . Portanto, se surgir a necessidade, então M pode ser limitado a partir de baixo por qualquer número a, ou seja, suponha que M > a.

Quando definimos ε - a vizinhança do ponto final, então o requisito ε > 0 é um importante. Para valores negativos, a desigualdade não pode valer.

Vizinhanças de pontos no infinito

Quando consideramos limites finitos, introduzimos o conceito de vizinhança de um ponto. Lembre-se de que a vizinhança de um ponto final é um intervalo aberto que contém esse ponto. Também podemos introduzir o conceito de vizinhanças de pontos no infinito.

Seja M um número arbitrário.
A vizinhança do ponto "infinito", , é chamado de conjunto .
A vizinhança do ponto "mais infinito", , é chamado de conjunto .
A vizinhança do ponto "menos infinito", , é chamado de conjunto .

A rigor, a vizinhança do ponto "infinito" é o conjunto
(4) ,
onde M 1 e M 2 são números positivos arbitrários. Usaremos a primeira definição, , porque é mais simples. Embora, tudo o que foi dito abaixo também seja verdade ao usar a definição (4).

Podemos agora dar uma definição unificada do limite de uma sequência que se aplica a limites finitos e infinitos.

Definição Universal de Limite de Sequência.
Um ponto a (finito ou no infinito) é o limite de uma sequência se para qualquer vizinhança deste ponto existir um número natural N tal que todos os elementos da sequência com números pertençam a esta vizinhança.

Assim, se o limite existe, então fora da vizinhança do ponto a só pode haver um número finito de membros da sequência, ou um conjunto vazio. Esta condição é necessária e suficiente. A prova desta propriedade é exatamente a mesma que para limites finitos.

Propriedade de vizinhança de uma sequência convergente
Para que o ponto a (finito ou no infinito) seja o limite da sequência , é necessário e suficiente que fora de qualquer vizinhança deste ponto exista um número finito de membros da sequência ou um conjunto vazio.
Prova .

Além disso, algumas vezes são introduzidos os conceitos de ε - vizinhanças de pontos infinitamente distantes.
Lembre-se de que a vizinhança ε do ponto final a é o conjunto.
Vamos introduzir a seguinte notação. Let denota ε - vizinhança de um ponto a . Então, para o ponto final,
.
Para pontos no infinito:
;
;
.
Usando os conceitos de ε - vizinhanças, mais uma definição universal do limite de uma sequência pode ser dada:

Um ponto a (finito ou no infinito) é o limite de uma sequência se para qualquer número positivo ε > 0 existe um número natural N ε dependendo de ε tal que para todos os números n > N ε os termos x n pertencem à vizinhança ε do ponto a :
.

Usando os símbolos lógicos de existência e universalidade, esta definição pode ser escrita da seguinte forma:
.

Exemplos de sequências infinitamente grandes

Vamos primeiro considerar três exemplos semelhantes simples e, em seguida, resolver um mais complexo.

Exemplo 1

.

.
Escrevemos a definição de uma sequência infinitamente grande:
(1) .
No nosso caso
.

Introduzimos números e , ligando-os com desigualdades:
.
De acordo com as propriedades das desigualdades , se e , então
.
Observe que quando essa desigualdade vale para qualquer n . Então você pode escolher assim:
no ;
no .

Assim, para qualquer um pode encontrar um número natural que satisfaça a desigualdade . Então para todos
.
Significa que . Ou seja, a sequência é infinitamente grande.

Exemplo 2

Usando a definição de uma sequência infinitamente grande, mostre que
.

(2) .
O termo comum da sequência dada tem a forma:
.

Digite os números e:
.
.

Então para qualquer um pode encontrar um número natural que satisfaça a desigualdade , de modo que para todos ,
.
Significa que .

.

Exemplo 3

Usando a definição de uma sequência infinitamente grande, mostre que
.

Vamos escrever a definição do limite de uma sequência igual a menos infinito:
(3) .
O termo comum da sequência dada tem a forma:
.

Digite os números e:
.
Isso mostra que se e , então
.

Como para qualquer um pode encontrar um número natural que satisfaça a desigualdade , então
.

Dado , como N, você pode tomar qualquer número natural que satisfaça a seguinte desigualdade:
.

Exemplo 4

Usando a definição de uma sequência infinitamente grande, mostre que
.

Vamos escrever o termo comum da sequência:
.
Vamos escrever a definição do limite de uma sequência igual a mais infinito:
(2) .

Como n é um número natural, n = 1, 2, 3, ... , então
;
;
.

Introduzimos números e M , relacionando-os por desigualdades:
.
Isso mostra que se e , então
.

Assim, para qualquer número M, você pode encontrar um número natural que satisfaça a desigualdade . Então para todos
.
Significa que .

Referências:
L.D. Kudryavtsev. Curso de análise matemática. Volume 1. Moscou, 2003.
CM. Nikolsky. Curso de análise matemática. Volume 1. Moscou, 1983.