seio números uma chamada de ordenada do ponto que representa esse número no círculo numérico. O seno do ângulo em uma radiano é chamado de seno de um número uma.

Seio- função de número x. Sua domínio

Faixa de seno- segmento de -1 antes 1 , uma vez que qualquer número desse segmento no eixo y é uma projeção de algum ponto no círculo, mas nenhum ponto fora desse segmento é uma projeção de qualquer um desses pontos.

Período seno

Sinal de seno:

1. o seno é zero em , onde n- qualquer número inteiro;

2. o seno é positivo em , onde n- qualquer número inteiro;

3. seno é negativo em

Onde n- qualquer número inteiro.

Seio- função ímpar x e -x, então suas ordenadas - senos - também serão opostas. Ou seja para qualquer um x.

1. O seno aumenta nos segmentos , Onde n- qualquer número inteiro.

2. O seno diminui no segmento , Onde n- qualquer número inteiro.

No ;

no .

Cosseno

cosseno números umaé chamado de abcissa do ponto que representa este número no círculo numérico. O cosseno do ângulo em uma radiano é chamado de cosseno de um número uma.

Cossenoé uma função numérica. Sua domínio- o conjunto de todos os números, pois para qualquer número você pode encontrar a ordenada do ponto que o representa.

Faixa de cosseno- segmento de -1 antes 1 , visto que qualquer número desse segmento no eixo x é uma projeção de algum ponto no círculo, mas nenhum ponto fora desse segmento é uma projeção de qualquer um desses pontos.

período de cossenoé igual a . Afinal, toda vez que a posição do ponto que representa o número é exatamente repetida.

Sinal de cosseno:

1. cosseno é zero em , onde n- qualquer número inteiro;

2. cosseno é positivo em , Onde n- qualquer número inteiro;

3. cosseno é negativo em , Onde n- qualquer número inteiro.

Cosseno- função até. Primeiro, o domínio dessa função é o conjunto de todos os números e, portanto, é simétrico em relação à origem. E em segundo lugar, se adiarmos dois números opostos desde o início: x e -x, então suas abcissas - cossenos - serão iguais. Ou seja

para qualquer um x.

1. O cosseno aumenta nos segmentos , Onde n- qualquer número inteiro.

2. O cosseno diminui nos segmentos , Onde n- qualquer número inteiro.

no ;

no .

Tangente

tangente número é a razão entre o seno desse número e o cosseno desse número:.

tangenteângulo em uma radiano é chamado de tangente de um número uma.

Tangenteé uma função numérica. Sua domínio- o conjunto de todos os números cujo cosseno não é igual a zero, pois não há outras restrições na definição da tangente. E como o cosseno é zero em , então , Onde .

Faixa tangente

Período tangente x(diferente), diferindo um do outro por , e traçar uma linha reta através deles, então essa linha reta passará pela origem e cruzará a linha de tangentes em algum ponto t. Então acontece que, ou seja, o número é o período da tangente.

Sinal tangente: tangente é a razão entre seno e cosseno. Então ele

1. é zero quando o seno é zero, ou seja, quando , onde n- qualquer número inteiro.

2. é positivo quando o seno e o cosseno têm os mesmos sinais. Isso acontece apenas no primeiro e terceiro trimestres, ou seja, quando , Onde uma- qualquer número inteiro.

3. é negativo quando o seno e o cosseno têm sinais diferentes. Isso acontece apenas no segundo e quarto trimestres, ou seja, quando , Onde uma- qualquer número inteiro.

Tangente- função ímpar. Primeiro, o domínio de definição desta função é simétrico em relação à origem. E em segundo lugar, . Devido à estranheza do seno e à paridade do cosseno, o numerador da fração resultante é igual a e seu denominador é igual a, o que significa que essa fração em si é igual a.

Então acabou que.

Meios, a tangente aumenta em cada seção de seu domínio de definição, ou seja, em todos os intervalos da forma , Onde uma- qualquer número inteiro.

Co-tangente

Co-tangente número é a razão entre o cosseno desse número e o seno desse número: . Co-tangenteângulo em uma radiano é chamado de cotangente de um número uma. Co-tangenteé uma função numérica. Sua domínio- o conjunto de todos os números cujo seno não é igual a zero, pois não há outras restrições na definição da cotangente. E como o seno é zero em , então , onde

Faixa Cotangenteé o conjunto de todos os números reais.

Período cotangenteé igual a . Afinal, se tomarmos quaisquer dois valores possíveis x(diferente de ), diferindo entre si por , e traçar uma linha reta através deles, então essa linha reta passará pela origem e cruzará a linha de cotangentes em algum ponto t. Então acontece que, isto é, que o número é o período da cotangente.

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Contando ângulos em um círculo trigonométrico.

Atenção!
Existem adicionais
material na Seção Especial 555.
Para aqueles que fortemente "não muito..."
E para aqueles que "muito...")

É quase o mesmo que na lição anterior. Há eixos, um círculo, um ângulo, tudo é chin-china. Números adicionados de quartos (nos cantos de um grande quadrado) - do primeiro ao quarto. E então de repente quem não sabe? Como você pode ver, os quartos (eles também são chamados de "quadrantes") são numerados no sentido anti-horário. Adicionados valores de ângulo nos eixos. Tudo é claro, sem frescuras.

E adicionou uma seta verde. Com um plus. O que ela quer dizer? Deixe-me lembrá-lo que o lado fixo do canto sempre pregado no eixo positivo OH. Então, se torcermos o lado móvel do canto seta mais, ou seja em números crescentes de trimestres, o ângulo será considerado positivo. Por exemplo, a imagem mostra um ângulo positivo de +60°.

Se adiarmos os cantos sentido contrário, no sentido horário, ângulo será considerado negativo. Passe o mouse sobre a imagem (ou toque na imagem no tablet), você verá uma seta azul com um sinal de menos. Esta é a direção da leitura negativa dos ângulos. Um ângulo negativo (-60°) é mostrado como exemplo. E você também verá como os números nos eixos mudaram... Eu também os traduzi em ângulos negativos. A numeração dos quadrantes não muda.

Aqui, geralmente, começam os primeiros mal-entendidos. Como assim!? E se o ângulo negativo do círculo coincidir com o positivo!? E, em geral, verifica-se que a mesma posição do lado móvel (ou um ponto no círculo numérico) pode ser chamada de ângulo negativo e positivo!?

Sim. Exatamente. Digamos que um ângulo positivo de 90 graus assume um círculo exatamente o mesmo posição como um ângulo negativo de menos 270 graus. Um ângulo positivo, por exemplo +110° graus, leva exatamente o mesmo posição, pois o ângulo negativo é -250°.

Sem problemas. Tudo está correto.) A escolha de um cálculo positivo ou negativo do ângulo depende da condição da atribuição. Se a condição não diz nada texto simples sobre o sinal do ângulo, (como "determinar o menor positivo angle", etc.), então trabalhamos com valores que são convenientes para nós.

Uma exceção (e como sem elas?!) são as desigualdades trigonométricas, mas aí vamos dominar esse truque.

E agora uma pergunta para você. Como sei que a posição do ângulo de 110° é a mesma que a posição do ângulo de -250°?
Vou sugerir que isso é devido ao volume de negócios total. Em 360°... Não está claro? Em seguida, desenhamos um círculo. Desenhamos no papel. Marcando o canto cerca de 110°. E acreditam quanto resta até uma volta completa. Restam apenas 250°...

Entendi? E agora - atenção! Se os ângulos 110° e -250° ocuparem o círculo mesmo posição, e daí? Sim, o fato de os ângulos serem de 110° e -250° exatamente o mesmo seno, cosseno, tangente e cotangente!
Aqueles. sin110° = sin(-250°), ctg110° = ctg(-250°) e assim por diante. Agora isso é muito importante! E em si - há muitas tarefas em que é necessário simplificar expressões e como base para o desenvolvimento subsequente de fórmulas de redução e outros meandros da trigonometria.

Claro, eu peguei 110 ° e -250 ° aleatoriamente, puramente por exemplo. Todas essas igualdades funcionam para quaisquer ângulos que ocupem a mesma posição no círculo. 60° e -300°, -75° e 285°, e assim por diante. Noto imediatamente que os cantos nesses casais - vários. Mas eles têm funções trigonométricas - o mesmo.

Acho que você entende o que são ângulos negativos. É bem simples. No sentido anti-horário é uma contagem positiva. Ao longo do caminho, é negativo. Considere o ângulo positivo ou negativo depende de nós. Do nosso desejo. Bem, e mais da tarefa, é claro... Espero que você entenda como mover em funções trigonométricas de ângulos negativos para positivos e vice-versa. Desenhe um círculo, um ângulo aproximado, e veja quanto falta antes de uma volta completa, ou seja, até 360°.

Ângulos maiores que 360°.

Vamos lidar com ângulos maiores que 360°. E essas coisas acontecem? Existem, claro. Como desenhá-los em um círculo? Não é um problema! Suponha que precisamos entender em qual quarto um ângulo de 1000° cairá? Facilmente! Damos uma volta completa no sentido anti-horário (o ângulo nos foi dado positivo!). Retroceder 360°. Bem, vamos seguir em frente! Outra volta - já saiu 720 °. Quanto falta? 280°. Não é suficiente para uma volta completa... Mas o ângulo é superior a 270° - e esta é a fronteira entre o terceiro e o quarto quarto. Então nosso ângulo de 1000° cai no quarto trimestre. Tudo.

Como você pode ver, é bem simples. Deixe-me lembrá-lo mais uma vez que o ângulo de 1000° e o ângulo de 280°, que obtivemos descartando as voltas completas "extras", são, estritamente falando, vários cantos. Mas as funções trigonométricas desses ângulos exatamente o mesmo! Aqueles. sin1000° = sin280°, cos1000° = cos280° etc. Se eu fosse um seno, não notaria a diferença entre esses dois ângulos...

Por que tudo isso é necessário? Por que precisamos traduzir ângulos de um para outro? Sim, tudo pelo mesmo.) Para simplificar as expressões. A simplificação de expressões, de fato, é a principal tarefa da matemática escolar. Bem, ao longo do caminho, a cabeça está treinando.)

Bem, vamos praticar?)

Nós respondemos perguntas. Simples no início.

1. Em qual quadrante o ângulo de -325° cai?

2. Em qual quadrante o ângulo de 3000° cai?

3. Em qual quadrante o ângulo de -3000° cai?

Há um problema? Ou insegurança? Vamos para a Seção 555, Trabalho prático com um círculo trigonométrico. Ali, na primeira aula desse mesmo "Trabalho Prático..." tudo é detalhado... Em tal questões de incerteza não deveria!

4. Qual é o sinal de sin555°?

5. Qual é o sinal de tg555°?

Determinado? Multar! Dúvida? É necessário a Seção 555 ... A propósito, você aprenderá a desenhar tangente e cotangente em um círculo trigonométrico. Uma coisa muito útil.

E agora as perguntas mais inteligentes.

6. Traga a expressão sin777° para o seno do menor ângulo positivo.

7. Traga a expressão cos777° para o cosseno do maior ângulo negativo.

8. Converta a expressão cos(-777°) no cosseno do menor ângulo positivo.

9. Traga a expressão sin777° para o seno do maior ângulo negativo.

O que, perguntas 6-9 intrigadas? Acostume-se, não há essas formulações no exame... Assim seja, eu vou traduzir. Apenas para você!

As palavras "reduzir a expressão a ..." significam transformar a expressão para que seu valor não mudou e a aparência mudou de acordo com a tarefa. Assim, nas tarefas 6 e 9, devemos obter um seno, dentro do qual é o menor ângulo positivo. Todo o resto não importa.

Darei as respostas em ordem (violando nossas regras). Mas o que fazer, há apenas dois sinais e apenas quatro quartos ... Você não vai se espalhar nas opções.

6. sin57°.

7.cos(-57°).

8.cos57°.

9.-pecado (-57°)

Suponho que as respostas às perguntas 6-9 confundiram algumas pessoas. Especialmente -pecado(-57°), certo?) De fato, nas regras elementares para contar ângulos há espaço para erros ... É por isso que eu tive que fazer uma lição: "Como determinar os sinais de funções e dar ângulos em um círculo trigonométrico?" Na Seção 555. Lá tarefas 4 - 9 são resolvidas. Bem classificado, com todas as armadilhas. E eles estão aqui.)

Na próxima lição, vamos lidar com os misteriosos radianos e o número "Pi". Aprenda a converter graus em radianos de maneira fácil e correta e vice-versa. E ficaremos surpresos ao descobrir que esta informação elementar no site já basta para resolver alguns quebra-cabeças de trigonometria fora do padrão!

Se você gosta deste site...

A propósito, tenho mais alguns sites interessantes para você.)

Você pode praticar a resolução de exemplos e descobrir seu nível. Testes com verificação instantânea. Aprendendo - com interesse!)

você pode se familiarizar com funções e derivadas.

O sinal da função trigonométrica depende apenas do quarto de coordenadas em que o argumento numérico está localizado. Da última vez, aprendemos como traduzir argumentos de uma medida em radianos para uma medida em graus (veja a lição “Radianos e medidas em graus de um ângulo”) e, em seguida, determinar esse mesmo quarto de coordenada. Agora vamos lidar, de fato, com a definição do sinal do seno, cosseno e tangente.

O seno do ângulo α é a ordenada (coordenada y) de um ponto em um círculo trigonométrico, que ocorre quando o raio é girado através do ângulo α.

O cosseno do ângulo α é a abscissa (coordenada x) de um ponto em um círculo trigonométrico, que ocorre quando o raio gira através do ângulo α.

A tangente do ângulo α é a razão entre o seno e o cosseno. Ou, equivalentemente, a razão entre a coordenada y e a coordenada x.

Notação: sen α = y ; cosα = x; tgα = y: x.

Todas essas definições são familiares para você no curso de álgebra do ensino médio. No entanto, não estamos interessados ​​nas definições em si, mas nas consequências que surgem no círculo trigonométrico. Dê uma olhada:

A cor azul indica a direção positiva do eixo OY (eixo das ordenadas), a cor vermelha indica a direção positiva do eixo OX (eixo das abcissas). Neste "radar" os sinais das funções trigonométricas tornam-se óbvios. Em particular:

1. sen α > 0 se o ângulo α estiver no quarto das coordenadas I ou II. Isso ocorre porque, por definição, um seno é uma ordenada (coordenada y). E a coordenada y será positiva precisamente nos quadrantes das coordenadas I e II;
2. cos α > 0 se o ângulo α estiver no quarto das coordenadas I ou IV. Porque só aí a coordenada x (é também a abcissa) será maior que zero;
3. tg α > 0 se o ângulo α estiver no I ou III quadrante de coordenadas. Isso decorre da definição: afinal, tg α = y : x , então é positivo apenas onde os sinais de xey coincidem. Isso acontece no 1º quarto de coordenada (aqui x > 0, y > 0) e no 3º quarto de coordenada (x< 0, y < 0).

Para maior clareza, notamos os sinais de cada função trigonométrica - seno, cosseno e tangente - em "radar" separado. Obtemos a seguinte imagem:

Nota: no meu raciocínio, nunca falei sobre a quarta função trigonométrica - a cotangente. O fato é que os sinais da cotangente coincidem com os sinais da tangente - não há regras especiais lá.

Agora proponho considerar exemplos semelhantes às tarefas B11 da prova experimental em matemática, que aconteceu em 27 de setembro de 2011. Afinal, a melhor maneira de entender a teoria é a prática. De preferência muita prática. Claro, as condições das tarefas foram ligeiramente alteradas.

Tarefa. Determine os sinais de funções e expressões trigonométricas (os valores das próprias funções não precisam ser considerados):

1. sin(3π/4);
2. cos(7π/6);
3. tan (5π/3);
4. sin(3π/4) cos(5π/6);
5. cos (2π/3) tg (π/4);
6. sin(5π/6) cos(7π/4);
7. tan (3π/4) cos (5π/3);
8. ctg (4π/3) tg (π/6).

O plano de ação é o seguinte: primeiro, convertemos todos os ângulos da medida em radianos para a medida em graus (π → 180°) e, em seguida, verificamos em qual quarto de coordenada está o número resultante. Conhecendo os quartos, podemos encontrar facilmente os sinais - de acordo com as regras que acabamos de descrever. Nós temos:

1. sen (3π/4) = sen (3 180°/4) = sen 135°. Desde 135° ∈ , este é um ângulo do quadrante de coordenadas II. Mas o seno do segundo quarto é positivo, então sen (3π/4) > 0;
2. cos (7π/6) = cos (7 180°/6) = cos 210°. Porque 210° ∈ , este é um ângulo do III quadrante de coordenadas em que todos os cossenos são negativos. Portanto, cos (7π/6)< 0;
3. tg (5π/3) = tg (5 180°/3) = tg 300°. Como 300° ∈ , estamos no quadrante IV, onde a tangente assume valores negativos. Portanto tg (5π/3)< 0;
4. sen (3π/4) cos (5π/6) = sen (3 180°/4) cos (5 180°/6) = sen 135° cos 150°. Vamos lidar com o seno: porque 135° ∈ , este é o segundo trimestre, em que os senos são positivos, ou seja. sen (3π/4) > 0. Agora trabalhamos com o cosseno: 150° ∈ - novamente no segundo trimestre, os cossenos ali são negativos. Portanto cos (5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
5. cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°. Nós olhamos para o cosseno: 120° ∈ é o quarto coordenado II, então cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) >0. Novamente obtivemos um produto em que fatores de sinais diferentes. Como “um menos vezes um mais dá um menos”, temos: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
6. sen (5π/6) cos (7π/4) = sen (5 180°/6) cos (7 180°/4) = sen 150° cos 315°. Trabalhamos com o seno: desde 150° ∈ , estamos falando do quarto coordenado II, onde os senos são positivos. Portanto, sen (5π/6) > 0. Da mesma forma, 315° ∈ é o quarto da coordenada IV, os cossenos ali são positivos. Portanto, cos (7π/4) > 0. Obtemos o produto de dois números positivos - tal expressão é sempre positiva. Concluímos: sen (5π/6) cos (7π/4) > 0;
7. tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°. Mas o ângulo 135° ∈ é o segundo quarto, ou seja. bronzeado (3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. Como “um menos mais dá um sinal de menos”, temos: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
8. ctg (4π/3) tg (π/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30°. Observamos o argumento da cotangente: 240° ∈ é o quarto da coordenada III, portanto ctg (4π/3) > 0. Da mesma forma, para a tangente temos: 30° ∈ é o quarto da coordenada I, ou seja. canto mais fácil. Portanto, tg (π/6) > 0. Obtivemos novamente duas expressões positivas - seu produto também será positivo. Portanto ctg (4π/3) tg (π/6) > 0.

Finalmente, vamos ver alguns problemas mais complexos. Além de descobrir o sinal da função trigonométrica, aqui você tem que fazer um pequeno cálculo - assim como é feito nos problemas reais B11. Em princípio, essas são tarefas quase reais que realmente são encontradas no exame de matemática.

Tarefa. Encontre sen α se sen 2 α = 0,64 e α ∈ [π/2; π].

Como sen 2 α = 0,64, temos: sen α = ±0,8. Resta decidir: mais ou menos? Por hipótese, o ângulo α ∈ [π/2; π] é o quarto da coordenada II, onde todos os senos são positivos. Portanto, sen α = 0,8 - a incerteza com sinais é eliminada.

Tarefa. Encontre cos α se cos 2 α = 0,04 e α ∈ [π; 3π/2].

Agimos de forma semelhante, ou seja, tiramos a raiz quadrada: cos 2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. Por hipótese, o ângulo α ∈ [π; 3π/2], i.e. estamos falando do bairro de coordenadas III. Lá, todos os cossenos são negativos, então cos α = −0,2.

Tarefa. Encontre sen α se sen 2 α = 0,25 e α ∈ .

Temos: sen 2 α = 0,25 ⇒ sen α = ±0,5. Novamente olhamos para o ângulo: α ∈ é o quarto da coordenada IV, no qual, como você sabe, o seno será negativo. Assim, concluímos: sen α = −0,5.

Tarefa. Encontre tg α se tg 2 α = 9 e α ∈ .

Tudo é o mesmo, apenas para a tangente. Tomamos a raiz quadrada: tg 2 α = 9 ⇒ tg α = ±3. Mas pela condição, o ângulo α ∈ é o quadrante da coordenada I. Todas as funções trigonométricas, incl. tangentes, existem positivos, então tg α = 3. É isso!