Um conceito importante em matemática é função. Com sua ajuda, você pode imaginar visualmente muitos processos que ocorrem na natureza e refletir a relação entre determinadas quantidades por meio de fórmulas, tabelas e imagens em um gráfico. Um exemplo é a dependência da pressão de uma camada de líquido sobre um corpo na profundidade de imersão, aceleração - na ação de uma certa força sobre um objeto, aumento de temperatura - na energia transferida e muitos outros processos. Estudar uma função envolve construir um gráfico, descobrir suas propriedades, domínio de definição e valores, intervalos de aumento e diminuição. Um ponto importante neste processo é encontrar pontos extremos. Falaremos mais sobre como fazer isso corretamente.

Sobre o conceito em si usando um exemplo específico

Na medicina, traçar um gráfico de função pode nos informar sobre o progresso de uma doença no corpo de um paciente, refletindo claramente sua condição. Vamos supor que o eixo OX represente o tempo em dias e o eixo OU represente a temperatura do corpo humano. A figura mostra claramente como este indicador sobe acentuadamente e depois cai. Também é fácil perceber pontos especiais que refletem os momentos em que uma função, antes crescente, começa a diminuir e vice-versa. São pontos extremos, ou seja, valores críticos (máximo e mínimo) neste caso da temperatura do paciente, após os quais ocorrem alterações em seu estado.

Ângulo de inclinaçao

Você pode determinar facilmente pela figura como a derivada da função muda. Se as linhas retas do gráfico aumentarem com o tempo, então é positivo. E quanto mais íngremes forem, maior será o valor da derivada, à medida que o ângulo de inclinação aumenta. Durante os períodos de decréscimo, este valor assume valores negativos, chegando a zero nos pontos extremos, e o gráfico da derivada neste último caso é traçado paralelamente ao eixo OX.

Qualquer outro processo deve ser tratado da mesma forma. Mas a melhor forma de falar sobre esse conceito é o movimento de vários corpos, claramente mostrado nos gráficos.

Movimento

Suponha que um objeto se mova em linha reta, ganhando velocidade uniformemente. Nesse período, a mudança nas coordenadas do corpo é representada graficamente por uma determinada curva, que um matemático chamaria de ramo de uma parábola. Ao mesmo tempo, a função aumenta constantemente, pois os indicadores de coordenadas mudam cada vez mais rápido a cada segundo. O gráfico da velocidade mostra o comportamento da derivada, cujo valor também aumenta. Isso significa que o movimento não possui pontos críticos.

Isso continuaria indefinidamente. Mas e se o corpo de repente decidir desacelerar, parar e começar a se mover em uma direção diferente? Neste caso, os indicadores de coordenadas começarão a diminuir. E a função passará um valor crítico e passará de crescente para decrescente.

Usando este exemplo, você pode entender novamente que os pontos extremos no gráfico de uma função aparecem nos momentos em que ela deixa de ser monotônica.

Significado físico da derivada

O que foi descrito anteriormente mostrou claramente que a derivada é essencialmente a taxa de variação da função. Este esclarecimento contém seu significado físico. Os pontos extremos são áreas críticas no gráfico. Eles podem ser identificados e detectados calculando o valor da derivada, que acaba sendo igual a zero.

Há outro sinal que é condição suficiente para um extremo. A derivada nesses pontos de inflexão muda de sinal: de “+” para “-” na área máxima e de “-” para “+” na área mínima.

Movimento sob a influência da gravidade

Vamos imaginar outra situação. As crianças, brincando com uma bola, jogaram-na de tal forma que ela começou a se mover em ângulo com o horizonte. No momento inicial, a velocidade deste objeto era maior, mas sob a influência da gravidade começou a diminuir, e a cada segundo na mesma proporção, igual a aproximadamente 9,8 m/s 2 . Este é o valor da aceleração que ocorre sob a influência da gravidade terrestre durante a queda livre. Na Lua seria cerca de seis vezes menor.

O gráfico que descreve o movimento de um corpo é uma parábola com ramos apontando para baixo. Como encontrar pontos extremos? Neste caso, este é o topo da função, onde a velocidade do corpo (bola) assume valor zero. A derivada da função torna-se zero. Neste caso, a direção e, portanto, o valor da velocidade, mudam para o oposto. O corpo desce mais rápido a cada segundo e acelera na mesma proporção - 9,8 m/s 2 .

Segunda derivada

No caso anterior, o gráfico do módulo de velocidade é desenhado como uma linha reta. Esta linha está inicialmente direcionada para baixo, pois o valor deste valor está diminuindo constantemente. Tendo atingido zero em um determinado momento, os indicadores desse valor começam a aumentar e a direção da representação gráfica do módulo de velocidade muda drasticamente. A linha agora está apontando para cima.

A velocidade, sendo uma derivada da coordenada em relação ao tempo, também possui um ponto crítico. Nesta região a função, inicialmente decrescente, começa a aumentar. Esta é a localização do ponto extremo da derivada da função. Neste caso, o ângulo de inclinação da tangente torna-se zero. E a aceleração, sendo a segunda derivada da coordenada em relação ao tempo, muda de sinal de “-” para “+”. E o movimento de uniformemente lento torna-se uniformemente acelerado.

Gráfico de aceleração

Agora vamos dar uma olhada em quatro fotos. Cada um deles exibe um gráfico de mudanças ao longo do tempo em uma quantidade física como a aceleração. No caso de “A” seu valor permanece positivo e constante. Isso significa que a velocidade do corpo, assim como sua coordenada, aumenta constantemente. Se imaginarmos que o objeto se moverá dessa maneira por um tempo infinitamente longo, a função que reflete a dependência da coordenada com o tempo acabará aumentando constantemente. Conclui-se que não possui áreas críticas. Também não há pontos extremos no gráfico da derivada, ou seja, velocidade que varia linearmente.

O mesmo se aplica ao caso “B” com aceleração positiva e constantemente crescente. É verdade que os gráficos de coordenadas e velocidade aqui serão um pouco mais complicados.

Quando a aceleração vai para zero

Olhando para a figura “B”, pode-se observar um quadro completamente diferente que caracteriza o movimento do corpo. Sua velocidade será representada graficamente por uma parábola com ramos direcionados para baixo. Se continuarmos a linha que descreve a mudança na aceleração até que ela cruze com o eixo OX e mais adiante, podemos imaginar que até esse valor crítico, onde a aceleração acaba sendo zero, a velocidade do objeto aumentará cada vez mais lentamente . O ponto extremo da derivada da função coordenada estará exatamente no vértice da parábola, após o qual o corpo mudará radicalmente a natureza de seu movimento e começará a se mover em uma direção diferente.

No último caso, “G”, a natureza do movimento não pode ser determinada com precisão. Aqui sabemos apenas que não há aceleração para algum período considerado. Isto significa que o objeto pode permanecer no lugar ou mover-se a uma velocidade constante.

Problema de adição de coordenadas

Passemos às tarefas que são frequentemente encontradas ao estudar álgebra na escola e são oferecidas para preparação para o Exame Estadual Unificado. A figura abaixo mostra o gráfico da função. É necessário calcular a soma dos pontos extremos.

Faremos isso para o eixo das ordenadas, determinando as coordenadas das áreas críticas onde se observa uma mudança nas características da função. Simplificando, encontraremos os valores ao longo do eixo OX para os pontos de inflexão e, em seguida, procederemos à adição dos termos resultantes. De acordo com o gráfico, é óbvio que assumem os seguintes valores: -8; -7; -5; -3; -2; 1; 3. Isso soma -21, que é a resposta.

Solução ideal

Não há necessidade de explicar quão importante pode ser a escolha da solução ideal na execução de tarefas práticas. Afinal, existem muitas maneiras de atingir um objetivo, mas a melhor saída, via de regra, é apenas uma. Isto é extremamente necessário, por exemplo, ao projetar navios, naves espaciais e aviões, e estruturas arquitetônicas para encontrar a forma ideal desses objetos feitos pelo homem.

A velocidade dos veículos depende em grande medida da adequada minimização da resistência que experimentam ao deslocar-se na água e no ar, das sobrecargas que surgem sob a influência das forças gravitacionais e de muitos outros indicadores. Um navio no mar requer qualidades como estabilidade durante uma tempestade; para uma embarcação fluvial, um calado mínimo é importante. Ao calcular o projeto ideal, os pontos extremos do gráfico podem dar visualmente uma ideia da melhor solução para um problema complexo. Problemas deste tipo são frequentemente resolvidos na economia, nas áreas de negócios e em muitas outras situações da vida.

Da história antiga

Até mesmo os antigos sábios estavam ocupados com problemas extremos. Cientistas gregos desvendaram com sucesso o mistério das áreas e volumes através de cálculos matemáticos. Foram eles os primeiros a compreender que num plano de várias figuras que têm o mesmo perímetro, o círculo tem sempre a maior área. Da mesma forma, a bola é dotada do volume máximo entre outros objetos no espaço com a mesma área de superfície. Personalidades famosas como Arquimedes, Euclides, Aristóteles e Apolônio se dedicaram a resolver tais problemas. Heron era excelente em encontrar pontos extremos e, usando cálculos, construiu dispositivos engenhosos. Estes incluíam máquinas movidas a vapor, bombas e turbinas operando com o mesmo princípio.

Construção de Cartago

Existe uma lenda cujo enredo se baseia na resolução de um dos problemas extremos. O resultado da abordagem empresarial demonstrada pela princesa fenícia, que recorreu aos sábios em busca de ajuda, foi a construção de Cartago. O terreno desta antiga e famosa cidade foi dado a Dido (esse era o nome do governante) pelo líder de uma das tribos africanas. A área do loteamento a princípio não lhe pareceu muito grande, pois segundo o contrato deveria ser revestida com couro de boi. Mas a princesa ordenou que seus soldados o cortassem em tiras finas e fizessem um cinto com elas. Acabou sendo tão longo que cobria uma área onde caberia uma cidade inteira.

Origens da análise matemática

Agora vamos passar dos tempos antigos para uma era posterior. É interessante que Kepler tenha sido levado a compreender os fundamentos da análise matemática no século XVII por meio de um encontro com um vendedor de vinhos. O comerciante era tão versado em sua profissão que podia facilmente determinar o volume da bebida no barril simplesmente enfiando nele uma corda de ferro. Refletindo sobre tal curiosidade, o famoso cientista conseguiu resolver sozinho esse dilema. Acontece que os habilidosos tanoeiros daquela época aprenderam a fazer embarcações de tal forma que, a uma determinada altura e raio da circunferência dos anéis de fixação, tivessem capacidade máxima.

Isso se tornou um motivo para Kepler pensar mais. Os tanoeiros chegaram à solução ótima através de uma longa busca, erros e novas tentativas, passando sua experiência de geração em geração. Mas Kepler queria acelerar o processo e aprender como fazer a mesma coisa em pouco tempo por meio de cálculos matemáticos. Todos os seus desenvolvimentos, retomados por seus colegas, transformaram-se nos agora famosos teoremas de Fermat e Newton-Leibniz.

Problema de área máxima

Vamos imaginar que temos um fio com 50 cm de comprimento, como podemos fazer dele um retângulo com a maior área?

Ao iniciar uma decisão, você deve partir de verdades simples e conhecidas por todos. É claro que o perímetro da nossa figura será de 50 cm e é composto pelo dobro do comprimento de ambos os lados. Isto significa que, tendo designado um deles como “X”, o outro pode ser expresso como (25 - X).

A partir daqui obtemos uma área igual a X(25 - X). Esta expressão pode ser considerada uma função que assume vários valores. Resolver o problema requer encontrar o máximo deles, o que significa que você precisa descobrir os pontos extremos.

Para fazer isso, encontramos a primeira derivada e igualamos-a a zero. O resultado é uma equação simples: 25 - 2X = 0.

Com isso aprendemos que um dos lados é X = 12,5.

Portanto, o outro: 25 - 12,5 = 12,5.

Acontece que a solução para o problema será um quadrado com 12,5 cm de lado.

Como encontrar a velocidade máxima

Vejamos outro exemplo. Imaginemos que existe um corpo cujo movimento linear é descrito pela equação S = - t 3 + 9t 2 - 24t - 8, onde a distância percorrida é expressa em metros e o tempo em segundos. Precisamos encontrar a velocidade máxima. Como fazer isso? Baixado, encontramos a velocidade, ou seja, a primeira derivada.

Obtemos a equação: V = - 3t 2 + 18t - 24. Agora, para resolver o problema, precisamos novamente encontrar os pontos extremos. Isso deve ser feito da mesma forma que na tarefa anterior. Encontramos a primeira derivada da velocidade e a igualamos a zero.

Obtemos: - 6t + 18 = 0. Portanto, t = 3 s. Este é o momento em que a velocidade do corpo assume um valor crítico. Substituímos os dados resultantes na equação da velocidade e obtemos: V = 3 m/s.

Mas como podemos entender que esta é a velocidade máxima, já que os pontos críticos de uma função podem ser seus maiores ou menores valores? Para verificar, você precisa encontrar a segunda derivada da velocidade. É expresso pelo número 6 com sinal de menos. Isso significa que o ponto encontrado é máximo. E no caso de um valor positivo, a segunda derivada teria um mínimo. Isso significa que a solução encontrada acabou sendo correta.

Os problemas dados como exemplo são apenas uma parte daqueles que podem ser resolvidos se você souber encontrar os pontos extremos de uma função. Na verdade, existem muitos mais deles. E tal conhecimento abre possibilidades ilimitadas para a civilização humana.

Vejamos dois dentes de um perfil de serra bem conhecido. Vamos direcionar o eixo ao longo do lado plano da serra e o eixo perpendicular a ela. Obtemos um gráfico de alguma função mostrada na Fig. 1.

É bastante óbvio que tanto no ponto quanto no ponto os valores da função são maiores em comparação com os valores dos pontos vizinhos à direita e à esquerda, e no ponto são os menores em comparação com os vizinhos pontos. Os pontos são chamados de pontos extremos da função (do latim extremum - “extremo”), os pontos e - os pontos máximos, e o ponto - o ponto mínimo (do latim máximo e mínimo - “maior” e “menor ”).

Vamos esclarecer a definição de extremo.

Diz-se que uma função em um ponto tem máximo se existe um intervalo que contém o ponto e pertence ao domínio de definição da função tal que para todos os pontos deste intervalo resulta . Conseqüentemente, uma função em um ponto tem um mínimo se a condição for satisfeita para todos os pontos de um determinado intervalo.

Na Fig. 2 e 3 mostram gráficos de funções que possuem um extremo em um ponto.

Prestemos atenção ao fato de que, por definição, o ponto extremo deve estar dentro do intervalo que define a função, e não no seu final. Portanto, para a função mostrada na Fig. 1, não podemos assumir que tenha um mínimo nesse ponto.

Se nesta definição do máximo (mínimo) de uma função substituirmos a desigualdade estrita por uma não estrita , então obtemos a definição de um máximo não estrito (mínimo não estrito). Consideremos, por exemplo, o perfil do topo de uma montanha (Fig. 4). Cada ponto de uma área plana - um segmento - é um ponto de máximo não estrito.

No cálculo diferencial, o estudo de uma função para extremos é muito eficaz e bastante simples usando a derivada. Um dos principais teoremas do cálculo diferencial, que estabelece uma condição necessária para o extremo de uma função diferenciável, é o teorema de Fermat (ver teorema de Fermat). Deixe a função ter um extremo em um ponto. Se existir uma derivada neste ponto, então ela será igual a zero.

Em linguagem geométrica, o teorema de Fermat significa que no ponto extremo a tangente ao gráfico da função é horizontal (Fig. 5). A afirmação inversa, é claro, não é verdadeira, como mostra, por exemplo, o gráfico da Fig. 6.

O teorema leva o nome do matemático francês P. Fermat, que foi um dos primeiros a resolver uma série de problemas extremos. Ele ainda não tinha o conceito de derivada, mas utilizou um método em sua pesquisa, cuja essência está expressa no enunciado do teorema.

Uma condição suficiente para o extremo de uma função diferenciável é uma mudança no sinal da derivada. Se em um ponto a derivada muda de sinal de menos para mais, ou seja, sua diminuição é substituída por um aumento, então o ponto será um ponto mínimo. Pelo contrário, um ponto será um ponto máximo se a derivada mudar de sinal de mais para menos, ou seja, vai de crescente para decrescente.

O ponto onde a derivada de uma função é igual a zero é denominado estacionário. Se uma função diferenciável for examinada quanto ao seu extremo, então todos os seus pontos estacionários deverão ser encontrados e os sinais da derivada à esquerda e à direita deles deverão ser considerados.

Vamos examinar a função para extremo.

Vamos encontrar sua derivada: .

Vamos voltar ao gráfico da função y = x 3 – 3x 2. Vamos considerar a vizinhança do ponto x = 0, ou seja, algum intervalo contendo este ponto. É lógico que existe tal vizinhança do ponto x = 0 que a função y = x 3 – 3x 2 assume seu maior valor nesta vizinhança no ponto x = 0. Por exemplo, no intervalo (-1; 1 ) a função assume seu maior valor igual a 0 no ponto x = 0. O ponto x = 0 é chamado de ponto máximo desta função.

Da mesma forma, o ponto x = 2 é chamado de ponto mínimo da função x 3 – 3x 2, pois neste ponto o valor da função não é maior que seu valor em outro ponto na vizinhança do ponto x = 2, pois por exemplo, o bairro (1,5; 2,5).

Assim, o ponto máximo da função f(x) é chamado de ponto x 0 se existe uma vizinhança do ponto x 0 tal que a desigualdade f(x) ≤ f(x 0) vale para todos os x desta vizinhança.

Por exemplo, o ponto x 0 = 0 é o ponto máximo da função f(x) = 1 – x 2, pois f(0) = 1 e a desigualdade f(x) ≤ 1 é verdadeira para todos os valores de x .

O ponto mínimo da função f(x) é um ponto x 0 se existe uma vizinhança do ponto x 0 tal que a desigualdade f(x) ≥ f(x 0) é satisfeita para todos os x desta vizinhança.

Por exemplo, o ponto x 0 = 2 é o ponto mínimo da função f(x) = 3 + (x – 2) 2, pois f(2) = 3 e f(x) ≥ 3 para todo x.

Os pontos extremos são chamados de pontos mínimos e máximos.

Passemos à função f(x), que é definida em uma determinada vizinhança do ponto x 0 e tem uma derivada neste ponto.

Se x 0 é o ponto extremo da função diferenciável f(x), então f "(x 0) = 0. Esta afirmação é chamada de teorema de Fermat.

O teorema de Fermat tem um significado geométrico claro: no ponto extremo, a tangente é paralela ao eixo das abcissas e, portanto, à sua inclinação
f "(x 0) é igual a zero.

Por exemplo, a função f(x) = 1 – 3x2 tem um máximo no ponto x0 = 0, sua derivada f "(x) = -2x, f "(0) = 0.

A função f(x) = (x – 2) 2 + 3 tem um mínimo no ponto x 0 = 2, f "(x) = 2(x – 2), f "(2) = 0.

Observe que se f "(x 0) = 0, então isso não é suficiente para afirmar que x 0 é necessariamente o ponto extremo da função f (x).

Por exemplo, se f(x) = x 3, então f "(0) = 0. No entanto, o ponto x = 0 não é um ponto extremo, pois a função x 3 aumenta ao longo de todo o eixo numérico.

Assim, os pontos extremos da função diferenciável devem ser procurados apenas entre as raízes da equação
f "(x) = 0, mas a raiz desta equação nem sempre é um ponto extremo.

Pontos estacionários são pontos nos quais a derivada de uma função é zero.

Assim, para que o ponto x 0 seja um ponto extremo, é necessário que seja um ponto estacionário.

Consideremos condições suficientes para que o ponto estacionário seja um ponto extremo, ou seja, condições sob as quais um ponto estacionário é um ponto de mínimo ou máximo de uma função.

Se a derivada à esquerda do ponto estacionário for positiva e à direita – negativa, ou seja, a derivada muda o sinal “+” para o sinal “-” ao passar por este ponto, então este ponto estacionário é o ponto máximo.

Na verdade, neste caso, à esquerda do ponto estacionário a função aumenta e à direita diminui, ou seja, este ponto é o ponto máximo.

Se a derivada mudar o sinal “-” para o sinal “+” ao passar por um ponto estacionário, então este ponto estacionário é um ponto mínimo.

Se a derivada não mudar de sinal ao passar por um ponto estacionário, ou seja, à esquerda e à direita do ponto estacionário a derivada é positiva ou negativa, então este ponto não é um ponto extremo.

Vamos considerar um dos problemas. Encontre os pontos extremos da função f(x) = x 4 – 4x 3.

Solução.

1) Encontre a derivada: f "(x) = 4x 3 – 12x 2 = 4x 2 (x – 3).

2) Encontre pontos estacionários: 4x 2 (x – 3) = 0, x 1 = 0, x 2 = 3.

3) Usando o método do intervalo, estabelecemos que a derivada f "(x) = 4x 2 (x – 3) é positiva para x > 3, negativa para x< 0 и при 0 < х < 3.

4) Como ao passar pelo ponto x 1 = 0 o sinal da derivada não muda, este ponto não é um ponto extremo.

5) A derivada muda o sinal “-” para o sinal “+” ao passar pelo ponto x 2 = 3. Portanto, x 2 = 3 é o ponto mínimo.

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Definições:

Extremo chame o valor máximo ou mínimo de uma função em um determinado conjunto.

Ponto extremoé o ponto em que o valor máximo ou mínimo da função é alcançado.

Ponto máximoé o ponto em que o valor máximo da função é alcançado.

Ponto mínimoé o ponto em que o valor mínimo da função é alcançado.

Explicação.

Na figura, nas proximidades do ponto x = 3, a função atinge seu valor máximo (ou seja, nas proximidades deste ponto específico não há ponto superior). Na vizinhança de x = 8, novamente tem valor máximo (esclareçamos novamente: é nesta vizinhança que não há ponto superior). Nestes pontos, o aumento dá lugar a uma diminuição. São os pontos máximos:

x máx = 3, x máx = 8.

Nas proximidades do ponto x = 5, o valor mínimo da função é alcançado (ou seja, nas proximidades de x = 5 não há ponto abaixo). Neste ponto a diminuição dá lugar a um aumento. É o ponto mínimo:

Os pontos máximo e mínimo são pontos extremos da função, e os valores da função nesses pontos são seus extremos.

Pontos críticos e estacionários da função:

Condição necessária para um extremo:

Condição suficiente para um extremo:

Em um segmento a função sim = f(x) pode atingir seu valor mínimo ou máximo em pontos críticos ou nas extremidades do segmento.

Algoritmo para estudar uma função contínuasim = f(x) para monotonicidade e extremos:

Deixe a função $z=f(x,y)$ ser definida em alguma vizinhança do ponto $(x_0,y_0)$. Eles dizem que $(x_0,y_0)$ é um ponto máximo (local) se para todos os pontos $(x,y)$ em alguma vizinhança do ponto $(x_0,y_0)$ a desigualdade $f(x,y) é satisfeito< f(x_0,y_0)$. Если же для всех точек этой окрестности выполнено условие $f(x,y)>f(x_0,y_0)$, então o ponto $(x_0,y_0)$ é chamado de ponto mínimo (local).

Os pontos máximo e mínimo são frequentemente chamados de termo geral - pontos extremos.

Se $(x_0,y_0)$ for um ponto máximo, então o valor da função $f(x_0,y_0)$ neste ponto é chamado de máximo da função $z=f(x,y)$. Conseqüentemente, o valor da função no ponto mínimo é chamado de mínimo da função $z=f(x,y)$. Os mínimos e máximos de uma função são unidos por um termo comum - os extremos da função.

Algoritmo para estudar a função $z=f(x,y)$ para extremo

1. Encontre as derivadas parciais $\frac(\partial z)(\partial x)$ e $\frac(\partial z)(\partial y)$. Componha e resolva o sistema de equações $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0 . \ end(aligned) \right.$ Pontos cujas coordenadas satisfazem o sistema especificado são chamados estacionários.
2. Encontre $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)$, $\frac(\partial^2z)(\partial x\partial y)$, $\frac(\partial^2z)(\partial y^2)$ e calcule o valor de $\Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left( \frac (\partial^2z)(\partial x\partial y) \right)^2$ em cada ponto estacionário. Depois disso, use o seguinte esquema:
   1. Se $\Delta > 0$ e $\frac(\partial^2z)(\partial x^2) > 0$ (ou $\frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$), então o ponto em estudo é o ponto mínimo.
   2. Se $\Delta > 0$ e $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)< 0$ (или $\frac{\partial^2z}{\partial y^2} < 0$), то в исследуемая точка есть точкой максимума.
   3. Se $\Delta< 0$, то в расматриваемой стационарной точке экстремума нет.
   4. Se $\Delta = 0$, então nada definitivo pode ser dito sobre a presença de um extremo; pesquisas adicionais são necessárias.

Nota (desejável para uma compreensão mais completa do texto): mostrar\ocultar

Se $\Delta > 0$, então $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\ parcial^2z)(\parcial x\parcial y) \direita)^2 > 0$. E segue-se que $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2) > \left(\frac(\partial^2z) ( \parcial x\parcial y)\direita)^2 ≥ 0$. Aqueles. $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$. Se o produto de certas quantidades for maior que zero, então essas quantidades terão o mesmo sinal. Isto é, por exemplo, se $\frac(\partial^2z)(\partial x^2) > 0$, então $\frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$. Resumindo, se $\Delta > 0$ então os sinais de $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)$ e $\frac(\partial^2z)(\partial y^2)$ coincidem .

Exemplo nº 1

Examine a função $z=4x^2-6xy-34x+5y^2+42y+7$ para seu extremo.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=8x-6y-34; \frac(\parcial z)(\parcial y)=-6x+10y+42. $$

$$ \left \( \begin(aligned) & 8x-6y-34=0;\\ & -6x+10y+42=0. \end(aligned) \right. $$

Vamos reduzir cada equação deste sistema em $2$ e mover os números para o lado direito das equações:

$$ \left \( \begin(aligned) & 4x-3y=17;\\ & -3x+5y=-21. \end(aligned) \right. $$

Obtivemos um sistema de equações algébricas lineares. Nesta situação, parece-me mais conveniente utilizar o método de Cramer para resolver o sistema resultante.

$$ \begin(alinhado) & \Delta=\esquerda| \begin(array) (cc) 4 & -3\\ -3 & 5 \end(array)\right|=4\cdot 5-(-3)\cdot (-3)=20-9=11;\ \& \Delta_x=\esquerda| \begin(array) (cc) 17 & -3\\ -21 & 5 \end(array)\right|=17\cdot 5-(-3)\cdot (-21)=85-63=22;\ \& \Delta_y=\esquerda| \begin(array) (cc) 4 e 17\\ -3 e -21 \end(array)\right|=4\cdot (-21)-17\cdot (-3)=-84+51=-33 .\end(alinhado) \\ x=\frac(\Delta_(x))(\Delta)=\frac(22)(11)=2; \; y=\frac(\Delta_(y))(\Delta)=\frac(-33)(11)=-3. $$

Os valores $x=2$, $y=-3$ são as coordenadas do ponto estacionário $(2;-3)$.

$$ \frac(\partial^2 z)(\partial x^2)=8; \frac(\parcial^2 z)(\parcial y^2)=10; \frac(\partial^2 z)(\parcial x \parcial y)=-6. $$

Vamos calcular o valor de $\Delta$:

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \parcial x\parcial y) \direita)^2= 8\cdot 10-(-6)^2=80-36=44. $$

Como $\Delta > 0$ e $\frac(\partial^2 z)(\partial x^2) > 0$, então de acordo com o ponto $(2;-3)$ é o ponto mínimo da função $ z$. Encontramos o mínimo da função $z$ substituindo as coordenadas do ponto $(2;-3)$ na função dada:

$$ z_(min)=z(2;-3)=4\cdot 2^2-6\cdot 2 \cdot (-3)-34\cdot 2+5\cdot (-3)^2+42\ cponto (-3)+7=-90. $$

Responder: $(2;-3)$ - ponto mínimo; $z_(min)=-90$.

Exemplo nº 2

Examine a função $z=x^3+3xy^2-15x-12y+1$ para seu extremo.

Seguiremos o acima. Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem:

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=3x^2+3y^2-15; \frac(\parcial z)(\parcial y)=6xy-12. $$

Vamos criar um sistema de equações $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0. \end(alinhado) \right.$:

$$ \left \( \begin(aligned) & 3x^2+3y^2-15=0;\\ & 6xy-12=0. \end(aligned) \right. $$

Vamos reduzir a primeira equação em 3 e a segunda em 6.

$$ \left \( \begin(aligned) & x^2+y^2-5=0;\\ & xy-2=0. \end(aligned) \right. $$

Se $x=0$, então a segunda equação nos levará a uma contradição: $0\cdot y-2=0$, $-2=0$. Daí a conclusão: $x\neq 0$. Então a partir da segunda equação temos: $xy=2$, $y=\frac(2)(x)$. Substituindo $y=\frac(2)(x)$ na primeira equação, teremos:

$$ x^2+\left(\frac(2)(x) \right)^2-5=0;\\ x^2+\frac(4)(x^2)-5=0;\\ x^4-5x^2+4=0. $$

Temos uma equação biquadrática. Fazemos a substituição $t=x^2$ (significando que $t > 0$):

$$ t^2-5t+4=0;\\ \begin(alinhado) & D=(-5)^2-4\cdot 1 \cdot 4=9;\\ & t_1=\frac(-(- 5)-\sqrt(9))(2)=\frac(5-3)(2)=1;\\ & t_2=\frac(-(-5)+\sqrt(9))(2)= \frac(5+3)(2)=4.\end(alinhado) $$

Se $t=1$, então $x^2=1$. Portanto, temos dois valores de $x$: $x_1=1$, $x_2=-1$. Se $t=4$, então $x^2=4$, ou seja, $x_3=2$, $x_4=-2$. Lembrando que $y=\frac(2)(x)$, obtemos:

\begin(alinhado) & y_1=\frac(2)(x_1)=\frac(2)(1)=2;\\ & y_2=\frac(2)(x_2)=\frac(2)(-1 )=-2;\\ & y_3=\frac(2)(x_3)=\frac(2)(2)=1;\\ & y_4=\frac(2)(x_4)=\frac(2)( -2)=-1. \fim(alinhado)

Portanto, temos quatro pontos estacionários: $M_1(1;2)$, $M_2(-1;-2)$, $M_3(2;1)$, $M_4(-2;-1)$. Isso completa a primeira etapa do algoritmo.

Agora vamos começar com o algoritmo. Vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem:

$$ \frac(\parcial^2 z)(\parcial x^2)=6x; \frac(\parcial^2 z)(\parcial y^2)=6x; \frac(\partial^2 z)(\parcial x \parcial y)=6y. $$

Vamos encontrar $\Delta$:

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \parcial x\parcial y) \direita)^2= 6x\cdot 6x-(6y)^2=36x^2-36y^2=36(x^2-y^2). $$

Agora calcularemos o valor de $\Delta$ em cada um dos pontos estacionários encontrados anteriormente. Vamos começar do ponto $M_1(1;2)$. Neste ponto temos: $\Delta(M_1)=36(1^2-2^2)=-108$. Desde $\Delta(M_1)< 0$, то согласно в точке $M_1$ экстремума нет.

Vamos examinar o ponto $M_2(-1;-2)$. Neste ponto temos: $\Delta(M_2)=36((-1)^2-(-2)^2)=-108$. Já que $\Delta(M_2)< 0$, то согласно в точке $M_2$ экстремума нет.

Vamos examinar o ponto $M_3(2;1)$. Neste ponto obtemos:

$$ \Delta(M_3)=36(2^2-1^2)=108;\;\; \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3)=6\cdot 2=12. $$

Como $\Delta(M_3) > 0$ e $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3) > 0$, então de acordo com $M_3(2; 1)$ é o ponto mínimo da função $z$. Encontramos o mínimo da função $z$ substituindo as coordenadas do ponto $M_3$ na função dada:

$$ z_(min)=z(2;1)=2^3+3\cdot 2\cdot 1^2-15\cdot 2-12\cdot 1+1=-27. $$

Resta explorar o ponto $M_4(-2;-1)$. Neste ponto obtemos:

$$\Delta(M_4)=36((-2)^2-(-1)^2)=108;\;\; \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_4)=6\cdot (-2)=-12. $$

Como $\Delta(M_4) > 0$ e $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_4)< 0$, то согласно $M_4(-2;-1)$ есть точкой максимума функции $z$. Максимум функции $z$ найдём, подставив в заданную функцию координаты точки $M_4$:

$$ z_(máx.)=z(-2;-1)=(-2)^3+3\cdot (-2)\cdot (-1)^2-15\cdot (-2)-12\cdot (-1)+1=29. $$

O estudo extremo está concluído. Resta apenas anotar a resposta.

Responder:

• $(2;1)$ - ponto mínimo, $z_(min)=-27$;
• $(-2;-1)$ - ponto máximo, $z_(max)=29$.

Observação

No caso geral, não há necessidade de calcular o valor de $\Delta$, pois estamos interessados ​​apenas no sinal, e não no valor específico deste parâmetro. Por exemplo, por exemplo nº 2 considerado acima, no ponto $M_3(2;1)$ temos $\Delta=36\cdot(2^2-1^2)$. Aqui é óbvio que $\Delta > 0$ (já que ambos os fatores $36$ e $(2^2-1^2)$ são positivos) e é possível não encontrar um valor específico de $\Delta$. É verdade que para cálculos padrão esta observação é inútil - eles exigem que você reduza os cálculos a um número :)

Exemplo nº 3

Examine a função $z=x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2+3$ para seu extremo.

Nós seguiremos. Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem:

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=4x^3-4x+4y; \frac(\parcial z)(\parcial y)=4y^3+4x-4y. $$

Vamos criar um sistema de equações $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0. \end(alinhado) \right.$:

$$ \left \( \begin(aligned) & 4x^3-4x+4y=0;\\ & 4y^3+4x-4y=0. \end(aligned) \right. $$

Vamos reduzir ambas as equações em $4$:

$$ \left \( \begin(aligned) & x^3-x+y=0;\\ & y^3+x-y=0. \end(aligned) \right. $$

Vamos adicionar a primeira equação à segunda e expressar $y$ em termos de $x$:

$$ y^3+x-y+(x^3-x+y)=0;\\ y^3+x^3=0; y^3=-x^3; y=-x. $$

Substituindo $y=-x$ na primeira equação do sistema, teremos:

$$ x^3-x-x=0;\\ x^3-2x=0;\\ x(x^2-2)=0. $$

Da equação resultante temos: $x=0$ ou $x^2-2=0$. Da equação $x^2-2=0$ segue-se que $x=-\sqrt(2)$ ou $x=\sqrt(2)$. Assim, são encontrados três valores de $x$, a saber: $x_1=0$, $x_2=-\sqrt(2)$, $x_3=\sqrt(2)$. Como $y=-x$, então $y_1=-x_1=0$, $y_2=-x_2=\sqrt(2)$, $y_3=-x_3=-\sqrt(2)$.

A primeira etapa da solução está concluída. Temos três pontos estacionários: $M_1(0;0)$, $M_2(-\sqrt(2),\sqrt(2))$, $M_3(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ .

Agora vamos começar com o algoritmo. Vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem:

$$ \frac(\parcial^2 z)(\parcial x^2)=12x^2-4; \frac(\parcial^2 z)(\parcial y^2)=12y^2-4; \frac(\partial^2 z)(\parcial x \parcial y)=4. $$

Vamos encontrar $\Delta$:

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \parcial x\parcial y) \direita)^2= (12x^2-4)(12y^2-4)-4^2=\\ =4(3x^2-1)\cdot 4(3y^2 -1)-16=16(3x^2-1)(3y^2-1)-16=16\cponto((3x^2-1)(3y^2-1)-1). $$

Agora calcularemos o valor de $\Delta$ em cada um dos pontos estacionários encontrados anteriormente. Vamos começar do ponto $M_1(0;0)$. Neste ponto temos: $\Delta(M_1)=16\cdot((3\cdot 0^2-1)(3\cdot 0^2-1)-1)=16\cdot 0=0$. Como $\Delta(M_1) = 0$, então pesquisas adicionais são necessárias, já que nada definitivo pode ser dito sobre a presença de um extremo no ponto em consideração. Vamos deixar este ponto de lado por enquanto e passar para outros pontos.

Vamos examinar o ponto $M_2(-\sqrt(2),\sqrt(2))$. Neste ponto obtemos:

\begin(alinhado) & \Delta(M_2)=16\cdot((3\cdot (-\sqrt(2))^2-1)(3\cdot (\sqrt(2))^2-1)- 1)=16\cdot 24=384;\\ & \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_2)=12\cdot (-\sqrt(2) )^2-4=24-4=20. \fim(alinhado)

Como $\Delta(M_2) > 0$ e $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_2) > 0$, então de acordo com $M_2(-\ sqrt(2),\sqrt(2))$ é o ponto mínimo da função $z$. Encontramos o mínimo da função $z$ substituindo as coordenadas do ponto $M_2$ na função dada:

$$ z_(min)=z(-\sqrt(2),\sqrt(2))=(-\sqrt(2))^4+(\sqrt(2))^4-2(-\sqrt( 2))^2+4\cdot (-\sqrt(2))\sqrt(2)-2(\sqrt(2))^2+3=-5. $$

Da mesma forma que no ponto anterior, examinamos o ponto $M_3(\sqrt(2),-\sqrt(2))$. Neste ponto obtemos:

\begin(alinhado) & \Delta(M_3)=16\cdot((3\cdot (\sqrt(2))^2-1)(3\cdot (-\sqrt(2))^2-1)- 1)=16\cdot 24=384;\\ & \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3)=12\cdot (\sqrt(2)) ^2-4=24-4=20. \fim(alinhado)

Como $\Delta(M_3) > 0$ e $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3) > 0$, então de acordo com $M_3(\sqrt (2),-\sqrt(2))$ é o ponto mínimo da função $z$. Encontramos o mínimo da função $z$ substituindo as coordenadas do ponto $M_3$ na função dada:

$$ z_(min)=z(\sqrt(2),-\sqrt(2))=(\sqrt(2))^4+(-\sqrt(2))^4-2(\sqrt(2 ))^2+4\cdot \sqrt(2)(-\sqrt(2))-2(-\sqrt(2))^2+3=-5. $$

É hora de retornar ao ponto $M_1(0;0)$, onde $\Delta(M_1) = 0$. De acordo com isso, pesquisas adicionais são necessárias. Esta frase evasiva significa "faça o que quiser" :). Não existe uma maneira geral de resolver tais situações, e isso é compreensível. Se tal método existisse, já teria sido incluído em todos os livros didáticos há muito tempo. Enquanto isso, temos que procurar uma abordagem especial para cada ponto em que $\Delta = 0$. Bem, vamos examinar o comportamento da função nas proximidades do ponto $M_1(0;0)$. Notemos imediatamente que $z(M_1)=z(0;0)=3$. Vamos supor que $M_1(0;0)$ seja o ponto mínimo. Então, para qualquer ponto $M$ de alguma vizinhança do ponto $M_1(0;0)$ obtemos $z(M) > z(M_1)$, ou seja, $z(M) > 3$. E se alguma vizinhança contiver pontos nos quais $z(M)< 3$? Тогда в точке $M_1$ уж точно не будет минимума.

Vamos considerar pontos para os quais $y=0$, ou seja, pontos da forma $(x,0)$. Nestes pontos a função $z$ assumirá os seguintes valores:

$$ z(x,0)=x^4+0^4-2x^2+4x\cdot 0-2\cdot 0^2+3=x^4-2x^2+3=x^2(x ^2-2)+3. $$

Em todas as vizinhanças suficientemente pequenas $M_1(0;0)$ temos $x^2-2< 0$, посему $x^2(x^2-2) < 0$, откуда следует $x^2(x^2-2)+3 < 3$. Вывод: любая окрестность точки $M_1(0;0)$ содержит точки, в которых $z < 3$, посему точка $M_1(0;0)$ не может быть точкой минимума.

Mas talvez o ponto $M_1(0;0)$ seja o ponto máximo? Se for assim, então para qualquer ponto $M$ de alguma vizinhança do ponto $M_1(0;0)$ obtemos $z(M)< z(M_1) $, т.е. $z(M) < 3$. А вдруг любая окрестность содержит точки, в которых $z(M) >3$? Então definitivamente não haverá máximo no ponto $M_1$.

Vamos considerar pontos para os quais $y=x$, ou seja, pontos da forma $(x,x)$. Nestes pontos a função $z$ assumirá os seguintes valores:

$$ z(x,x)=x^4+x^4-2x^2+4x\cponto x-2\cdot x^2+3=2x^4+3. $$

Como em qualquer vizinhança do ponto $M_1(0;0)$ temos $2x^4 > 0$, então $2x^4+3 > 3$. Conclusão: qualquer vizinhança do ponto $M_1(0;0)$ contém pontos nos quais $z > 3$, portanto o ponto $M_1(0;0)$ não pode ser um ponto de máximo.

O ponto $M_1(0;0)$ não é um ponto máximo nem mínimo. Conclusão: $M_1$ não é um ponto extremo.

Responder: $(-\sqrt(2),\sqrt(2))$, $(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ são os pontos mínimos da função $z$. Em ambos os pontos $z_(min)=-5$.