Como parte deste material, abordaremos um tópico tão importante quanto a adição de números negativos. No primeiro parágrafo, descreveremos a regra básica para essa ação e, no segundo, analisaremos exemplos específicos de solução de tais problemas.
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Regra básica para somar números naturais
Antes de derivar a regra, vamos relembrar o que geralmente sabemos sobre números positivos e negativos. Anteriormente, concordamos que números negativos deveriam ser percebidos como uma dívida, uma perda. O módulo de um número negativo expressa o tamanho exato dessa perda. Então a adição de números negativos pode ser pensada como a adição de duas perdas.
Usando esse raciocínio, formulamos a regra básica para adicionar números negativos.
Definição 1
Para cumprir adição de números negativos, você precisa somar os valores de seus módulos e colocar um sinal de menos na frente do resultado. Na forma literal, a fórmula se parece com (− a) + (− b) = − (a + b) .
Com base nessa regra, podemos concluir que a adição de números negativos é semelhante à adição de números positivos, só que no final devemos obter definitivamente um número negativo, pois devemos colocar um sinal de menos na frente da soma dos módulos.
Que evidência pode ser dada para esta regra? Para fazer isso, precisamos lembrar as propriedades básicas das operações com números reais (com números inteiros ou com números racionais - elas são as mesmas para todos esses tipos de números). Para provar isso, basta demonstrar que a diferença entre os lados esquerdo e direito da equação (− a) + (− b) = − (a + b) será igual a 0 .
Subtrair um número de outro é o mesmo que adicionar o mesmo número oposto a ele. Portanto, (− a) + (− b) − (− (a + b)) = (− a) + (− b) + (a + b) . Lembre-se de que as expressões numéricas com adição têm duas propriedades principais - associativa e comutativa. Então podemos concluir que (− a) + (− b) + (a + b) = (− a + a) + (− b + b) . Como, adicionando números opostos, sempre obtemos 0, então (− a + a) + (− b + b) \u003d 0 + 0 e 0 + 0 \u003d 0. Nossa igualdade pode ser considerada provada, o que significa que a regra para somar números negativos também provamos.
No segundo parágrafo, abordaremos problemas específicos em que você precisa adicionar números negativos e tentar aplicar a regra aprendida neles.
Exemplo 1
Encontre a soma de dois números negativos - 304 e - 18007.
Decisão
Vamos fazer os passos passo a passo. Primeiro precisamos encontrar os módulos dos números a serem somados: - 304 = 304 , - 180007 = 180007 . Em seguida, precisamos realizar a ação de adição, para a qual usamos o método de contagem de colunas:
Tudo o que nos resta é colocar um menos na frente do resultado e obter - 18 311 .
Responda: - - 18 311 .
Depende de quais números temos, ao que podemos reduzir a ação da adição: encontrar a soma dos números naturais, somar frações ordinárias ou decimais. Vamos analisar o problema com esses números.
Exemplo N
Encontre a soma de dois números negativos - 2 5 e − 4 , (12) .
Decisão
Encontramos os módulos dos números desejados e obtemos 2 5 e 4 , (12) . Temos duas frações diferentes. Reduzimos o problema à adição de duas frações ordinárias, para as quais representamos a fração periódica na forma de uma ordinária:
4 , (12) = 4 + (0 , 12 + 0 , 0012 + . . .) = 4 + 0 , 12 1 - 0 , 01 = 4 + 0 , 12 0 , 99 = 4 + 12 99 = 4 + 4 33 = 136 33
Como resultado, obtivemos uma fração que será fácil de adicionar ao primeiro termo original (se você esqueceu como adicionar frações com denominadores diferentes corretamente, repita o material correspondente).
2 5 + 136 33 = 2 33 5 33 + 136 5 33 5 = 66 165 + 680 165 = 764 165 = 4 86 105
Como resultado, obtivemos um número misto, na frente do qual só precisamos colocar um menos. Isso completa os cálculos.
Responda: - 4 86 105 .
Os números reais negativos são adicionados da mesma maneira. O resultado de tal ação é geralmente escrito como uma expressão numérica. Seu valor não pode ser calculado ou limitado a cálculos aproximados. Então, por exemplo, se precisarmos encontrar a soma - 3 + (− 5) , escrevemos a resposta como - 3 − 5 . Dedicamos um material separado à adição de números reais, no qual você pode encontrar outros exemplos.
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Regra de adição negativa
Se você se lembrar da lição de matemática e do tópico "Adição e subtração de números com sinais diferentes", para adicionar dois números negativos, você precisa:
- realizar a adição de seus módulos;
- adicione o sinal "-" ao valor recebido.
Pela regra da adição, podemos escrever:
$(−a)+(−b)=−(a+b)$.
A regra de adição negativa se aplica a números inteiros negativos, números racionais e números reais.
Exemplo 1
Some os números negativos $−185$ e $−23 \ 789.$
Decisão.
Vamos usar a regra de somar números negativos.
Vamos encontrar os módulos desses números:
$|-23 \ 789|=23 \ 789$.
Vamos somar os números resultantes:
$185+23 \ 789=23 \ 974$.
Colocamos o sinal $"–"$ na frente do número encontrado e obtemos $−23 \ 974$.
Solução breve: $(−185)+(−23 \ 789)=−(185+23 \ 789)=−23 \ 974$.
Responda: $−23 \ 974$.
Ao adicionar números racionais negativos, eles devem ser convertidos para a forma de números naturais, frações ordinárias ou decimais.
Exemplo 2
Some os números negativos $-\frac(1)(4)$ e $−7.15$.
Decisão.
De acordo com a regra de adicionar números negativos, primeiro você precisa encontrar a soma dos módulos:
$|-\frac(1)(4)|=\frac(1)(4)$;
É conveniente reduzir os valores obtidos a frações decimais e realizar sua adição:
$\frac(1)(4)=0,25$;
$0,25+7,15=7,40$.
Vamos colocar o sinal $"-"$ na frente do valor recebido e obter $-7,4$.
Resumo da solução:
$(-\frac(1)(4))+(−7,15)=−(\frac(1)(4)+7,15)=–(0,25+7,15)=−7, 4$.
Para somar números positivos e negativos:
- calcular módulos de números;
- se forem iguais, então os números originais são opostos e sua soma é igual a zero;
- se eles não forem iguais, você precisará lembrar o sinal do número cujo módulo é maior;
subtraia o menor do maior;
- antes do valor recebido, coloque o sinal do número cujo módulo é maior.
compare os números recebidos:
Adicionar números com sinais opostos é reduzido a subtrair um número negativo menor de um número positivo maior.
A regra de somar números com sinais opostos é realizada para números inteiros, racionais e reais.
Exemplo 3
Some os números $4$ e $−8$.
Decisão.
Você precisa adicionar números com sinais opostos. Vamos usar a regra de adição apropriada.
Vamos encontrar os módulos desses números:
O módulo do número $−8$ é maior que o módulo do número $4$, ou seja, lembre-se do sinal $"-"$.
Colocamos o sinal $"–"$, que memorizamos, na frente do número resultante, e obtemos $−4.$
Resumo da solução:
$4+(–8) = –(8–4) = –4$.
Responda: $4+(−8)=−4$.
Para somar números racionais com sinais opostos, é conveniente representá-los como frações ordinárias ou decimais.
Subtração de números com sinais diferentes e negativos
Regra para subtração de números negativos:
Para subtrair um número negativo $b$ do número $a$, é necessário adicionar ao minuendo $a$ o número $−b$, que é o oposto do $b$ subtraído.
Pela regra da subtração, podemos escrever:
$a−b=a+(−b)$.
Esta regra é válida para números inteiros, racionais e reais. A regra pode ser usada ao subtrair um número negativo de um número positivo, de um número negativo e de zero.
Exemplo 4
Subtraia do número negativo $−28$ o número negativo $−5$.
Decisão.
O número oposto para o número $–5$ é o número $5$.
De acordo com a regra de subtração de números negativos, obtemos:
$(−28)−(−5)=(−28)+5$.
Vamos somar números com sinais opostos:
$(−28)+5=−(28−5)=−23$.
Responda: $(−28)−(−5)=−23$.
Ao subtrair números fracionários negativos, você deve converter os números para a forma de frações ordinárias, números mistos ou frações decimais.
Adição e subtração de números com sinais diferentes
A regra para subtrair números com sinais opostos é a mesma que a regra para subtrair números negativos.
Exemplo 5
Subtraia o número positivo $7$ do número negativo $−11$.
Decisão.
O número oposto para o número $7$ é o número $–7$.
De acordo com a regra para subtrair números com sinais opostos, obtemos:
$(−11)−7=(–11)+(−7)$.
Vamos somar números negativos:
$(−11)+(–7)=−(11+7)=−18$.
Solução breve: $(−28)−(−5)=(−28)+5=−(28−5)=−23$.
Responda: $(−11)−7=−18$.
Ao subtrair números fracionários com sinais diferentes, é necessário converter os números para a forma de frações ordinárias ou decimais.
O desenvolvimento de habilidades matemáticas é um dos principais objetivos perseguidos pelos programas de matemática do 1º ao 6º ano. A rapidez e a precisão com que a criança aprende a realizar operações aritméticas dependerá da velocidade de suas operações lógicas (semânticas) nas classes superiores e do nível de compreensão do assunto como um todo. Não é incomum para um tutor de matemática encontrar problemas computacionais dos alunos que os impedem de alcançar pontuações altas.
Que tipo de alunos não tem que trabalhar com um tutor. Os pais precisam se preparar para o exame de matemática, e seu filho não consegue entender frações comuns ou fica confuso com números negativos. Que ações o tutor de matemática deve tomar nesses casos? Como ajudar um aluno? O tutor não tem tempo para um estudo vagaroso e consistente das regras, então os métodos tradicionais geralmente precisam ser substituídos por alguns "produtos-aceleradores semi-acabados" artificiais, por assim dizer. Neste artigo, descreverei uma das maneiras possíveis de desenvolver a habilidade de realizar ações com números negativos, ou seja, subtraí-los.
Suponha que um professor de matemática tenha o prazer de trabalhar com um aluno muito fraco, cujo conhecimento não vai além dos cálculos mais simples com números positivos. Vamos supor também que o tutor conseguiu explicar as leis da adição e se aproximar da regra a-b=a+(-b). Que pontos um tutor de matemática deve levar em consideração?
Reduzir a subtração à adição não é uma conversão simples e óbvia. Os livros didáticos oferecem formulações matemáticas rigorosas e precisas: “Para subtrair o número “b” do número “a”, você precisa adicionar o número oposto a “b” ao número “a”. Formalmente, você não pode encontrar falhas no texto, mas assim que ele começa a ser usado por um professor de matemática como instrução para realizar cálculos específicos, surgem problemas. Uma frase por si só vale alguma coisa: “Para subtrair, você deve adicionar”. Sem um comentário claro do tutor, o aluno não entenderá. Na verdade, o que fazer: subtrair ou adicionar?
Se você trabalha com a regra de acordo com a intenção dos autores do livro didático, além de trabalhar o conceito de “número oposto”, precisa ensinar o aluno a correlacionar as designações “a” e “b” com reais números no exemplo. E isso levará tempo. Considerando também o fato de que o aluno pensa e escreve ao mesmo tempo, a tarefa de um tutor de matemática se torna ainda mais complicada. Um aluno fraco não tem uma boa memória visual, semântica e motora, por isso é melhor oferecer um texto alternativo da regra:
Para subtrair o segundo do primeiro número,
A) Reescreva o primeiro número
B) colocar um plus
B) Mude o sinal do segundo número para o oposto
D) Some os números resultantes
Aqui, os estágios do algoritmo são claramente separados por pontos e não estão vinculados a designações de letras.
Durante a resolução de um trabalho prático de tradução, o tutor de matemática relê este texto para o aluno várias vezes (para memorização). Aconselho-o a anotá-lo em um caderno teórico. Somente depois de trabalhar a regra de transição para adição, você pode escrever a forma geral a-b=a+(-b)
O movimento dos sinais de menos e mais na cabeça de uma criança (um adulto pequeno e fraco) lembra um pouco o browniano. Um tutor de matemática precisa colocar as coisas em ordem nesse caos o mais rápido possível. No processo de resolução de exemplos, são usados prompts de referência (verbais e visuais), que, em combinação com um layout preciso e detalhado, fazem seu trabalho. Deve-se lembrar que cada palavra pronunciada por um professor de matemática no momento da resolução de qualquer problema traz uma dica ou um obstáculo. Cada frase é analisada pela criança para estabelecer uma conexão com um ou outro objeto matemático (fenômeno) e sua imagem no papel.
Um problema típico de escolares fracos é a separação do sinal de uma ação do sinal do número envolvido nela. A mesma imagem visual dificulta o reconhecimento do "a" reduzido e do "b" subtraído na diferença a-b. Quando, no processo de explicação, um tutor de matemática lê uma expressão, você precisa ter certeza de que a palavra “subtrair” é usada em vez de “-”. É necessário! Por exemplo, a entrada deve ser lida assim: “De menos cinco subtrair menos três. Não devemos esquecer a regra de tradução em adição: “Para que do número“ a ” subtrair o número "b" é necessário ... ".
Se um professor de matemática constantemente fala “menos 5 menos menos 3”, fica claro que será mais difícil para o aluno imaginar a estrutura do exemplo. Uma correspondência um-para-um entre uma palavra e uma operação aritmética ajuda um professor de matemática a transmitir informações com precisão.
Como um tutor pode explicar a transição para a adição?
Claro, pode-se consultar a definição de "subtrair" e procurar o número que deve ser adicionado a "b" para obter "a". No entanto, um aluno fraco pensa longe da matemática rigorosa, e o tutor precisará de algumas analogias com ações simples ao trabalhar com ele. Costumo dizer aos meus alunos da sexta série: “Não existe uma operação aritmética em matemática como “diferença”. Escrever 5 - 3 é uma notação simples para o resultado da adição 5 + (-3). O sinal de mais é simplesmente omitido e não é escrito.
As crianças ficam surpresas com as palavras do tutor e lembram involuntariamente que você não pode subtrair números diretamente. O tutor de matemática declara 5 e -3 termos, e para maior motivação de suas palavras, compara os resultados das ações 5-3 e 5+(-3). Depois disso, a identidade a-b=a+(-b) é escrita
Qualquer que seja o aluno, e não importa quanto tempo seja dado ao professor de matemática para aulas com ele, você precisa elaborar o conceito de “número oposto” a tempo. O registro “-x” merece atenção especial de um tutor de matemática. Um aluno da 6ª série deve aprender que não apresenta um número negativo, mas o oposto de x.
É necessário se deter separadamente em cálculos com dois sinais de menos localizados lado a lado. Há um problema de entender o funcionamento de sua remoção simultânea. É necessário passar cuidadosamente por todos os pontos do algoritmo declarado para a transição para a adição. Será melhor se, ao trabalhar com a diferença -5- (-3), antes de qualquer comentário, o tutor de matemática destacar os números -5 e -3 em uma caixa ou sublinhá-los. Isso ajudará o aluno a identificar os componentes da ação.
O foco do tutor de matemática na memorização
A memorização confiável é o resultado da aplicação prática de regras matemáticas, por isso é importante que o tutor garanta uma boa densidade de exemplos resolvidos de forma independente. Para melhorar a estabilidade da memorização, você pode pedir ajuda para dicas visuais - fichas. Por exemplo, uma maneira interessante de traduzir a subtração de um número negativo em adição. 
O tutor de matemática conecta dois menos com uma linha (como mostra a figura), e o olhar do aluno abre o sinal de mais (na interseção com o colchete).
Para evitar distrações, recomendo que os professores de matemática destaquem o minuendo e o subtraendo com caixas. 
Se um tutor de matemática usar caixas ou círculos para destacar os componentes de uma operação aritmética, o aluno aprenderá com mais facilidade e rapidez a ver a estrutura do exemplo e correlacioná-la com a regra correspondente. Você não deve colocar pedaços do objeto inteiro ao tomar decisões em diferentes linhas de uma folha de caderno, e também começar a somar até que seja anotado. Todas as ações e transições são mostradas sem falhas (pelo menos no início do estudo do tópico).
Alguns tutores de matemática lutam por uma fundamentação 100% precisa das regras de tradução, considerando esta estratégia a única correta e útil para a formação de habilidades computacionais. No entanto, a prática mostra que esse caminho nem sempre traz bons dividendos. A necessidade de consciência do que uma pessoa está fazendo na maioria das vezes aparece após memorizar as etapas do algoritmo aplicado e a fixação prática das operações computacionais.
É extremamente importante trabalhar a transição para a soma em uma expressão numérica longa com várias subtrações, por exemplo. Antes de prosseguir com a contagem ou conversão, peço ao aluno que circule os números junto com seus sinais à esquerda. A figura mostra um exemplo de como um professor de matemática seleciona os termos. Para alunos da sexta série muito fracos, você também pode colorir os círculos. Use uma cor para termos positivos e outra cor para termos negativos. Em casos especiais, pego uma tesoura nas mãos e corto a expressão em pedaços. Eles podem ser rearranjados arbitrariamente, imitando assim uma permutação de termos. A criança verá que os sinais se movem junto com os próprios termos. Ou seja, se o sinal de menos estiver à esquerda do número 5, onde quer que mudemos o cartão correspondente, ele não sairá do cinco.
Kolpakov A. N. Professor de matemática de 5ª a 6ª série. Moscou. Strogino.
Vamos começar com um exemplo simples. Vamos determinar a que a expressão 2-5 é igual. A partir do ponto +2, vamos colocar cinco divisões, duas a zero e três abaixo de zero. Vamos parar no ponto -3. Isso é 2-5=-3. Agora observe que 2-5 não é igual a 5-2. Se no caso de adição de números sua ordem não importa, então no caso de subtração, tudo é diferente. A ordem numérica é importante.
Agora vamos passar para área negativa escalas. Suponha que você precise adicionar +5 a -2. (De agora em diante, colocaremos os sinais "+" na frente dos números positivos e colocaremos entre parênteses os números positivos e negativos para não confundir os sinais na frente dos números com os sinais de adição e subtração.) Agora nosso problema pode ser escrito como (-2)+ (+5). Para resolvê-lo, a partir do ponto -2 subiremos cinco divisões e nos encontraremos no ponto +3.
Essa tarefa tem algum sentido prático? Claro que tem. Digamos que você tenha $ 2 em dívidas e tenha ganhado $ 5. Assim, depois de pagar a dívida, você terá 3 reais sobrando.
Você também pode mover para baixo a área negativa da escala. Suponha que você precise subtrair 5 de -2, ou (-2)-(+5). A partir do ponto -2 da escala, vamos estabelecer cinco divisões e nos encontramos no ponto -7. Qual é o significado prático desta tarefa? Suponha que você tenha uma dívida de US$ 2 e tenha que pedir emprestado outros US$ 5. Agora, sua dívida é de US$ 7.
Vemos que com números negativos pode-se realizar o mesmo operações de adição e subtração, bem como com os positivos.
É verdade que ainda não dominamos todas as operações. Nós apenas adicionamos números negativos e subtraímos apenas os positivos de números negativos. Mas o que fazer se você precisar adicionar números negativos ou subtrair números negativos de números negativos?
Na prática, isso é semelhante a lidar com dívidas. Digamos que você tenha recebido uma dívida de US$ 5, o que significa o mesmo que receber US$ 5. Por outro lado, se de alguma forma eu fizer você aceitar a responsabilidade pela dívida de US$ 5 de alguém, isso é o mesmo que tirar esses US$ 5 de você. Ou seja, subtrair -5 é o mesmo que adicionar +5. E adicionar -5 é o mesmo que subtrair +5.
Isso nos permite livrar-nos da operação de subtração. De fato, "5-2" é o mesmo que (+5)-(+2) ou de acordo com nossa regra (+5)+(-2). Em ambos os casos, obtemos o mesmo resultado. A partir do ponto +5 na escala, precisamos descer duas divisões e obtemos +3. No caso de 5-2, isso é óbvio, porque a subtração é um movimento descendente.
No caso de (+5)+(-2) isso é menos óbvio. Adicionamos um número, o que significa subir na escala, mas somamos um número negativo, ou seja, fazemos a ação oposta, e esses dois fatores juntos significam que precisamos subir não na escala, mas na direção oposta , que está para baixo.
Assim, novamente obtemos a resposta +3.
Por que é realmente necessário substituir subtração por adição? Por que subir "ao contrário"? Não é mais fácil simplesmente descer? A razão é que no caso de adição, a ordem dos termos não importa, enquanto no caso de subtração, é muito importante.
Já descobrimos antes que (+5)-(+2) não é o mesmo que (+2)-(+5). No primeiro caso, a resposta é +3 e no segundo -3. Por outro lado, (-2)+(+5) e (+5)+(-2) resultam em +3. Assim, mudando para a adição e abandonando as operações de subtração, podemos evitar erros aleatórios associados ao rearranjo dos termos.
Da mesma forma, você pode agir ao subtrair um negativo. (+5)-(-2) é o mesmo que (+5)+(+2). Em ambos os casos, obtemos a resposta +7. Começamos no ponto +5 e movemos "para baixo na direção oposta", ou seja, para cima. Da mesma forma, agiríamos ao resolver a expressão (+5) + (+2).
A substituição da subtração pela adição é usada ativamente pelos alunos quando começam a estudar álgebra e, portanto, essa operação é chamada "adição algébrica". Na verdade, isso não é totalmente justo, já que tal operação é obviamente aritmética e não algébrica.
Este conhecimento é inalterado para todos, portanto, mesmo que você obtenha uma educação na Áustria através do www.salls.ru, embora estudar no exterior seja mais valorizado, você ainda pode aplicar essas regras lá.
Neste artigo vamos falar sobre adição de números negativos. Primeiro, damos uma regra para somar números negativos e a provamos. Depois disso, analisaremos exemplos típicos de adição de números negativos.
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Antes de dar a formulação da regra para somar números negativos, voltemos ao material do artigo números positivos e negativos. Lá mencionamos que números negativos podem ser percebidos como dívida, e o módulo do número neste caso determina o valor dessa dívida. Portanto, a soma de dois números negativos é a soma de duas dívidas.
Esta conclusão permite compreender regra de adição negativa. Para somar dois números negativos, você precisa:
- empilhar seus módulos;
- coloque um sinal de menos na frente do valor recebido.
Vamos escrever a regra para adicionar números negativos −a e −b na forma literal: (−a)+(−b)=−(a+b) .
É claro que a regra sonora reduz a adição de números negativos à adição de números positivos (o módulo de um número negativo é um número positivo). Também é claro que o resultado da soma de dois números negativos é um número negativo, como evidenciado pelo sinal de menos que é colocado na frente da soma dos módulos.
A regra para somar números negativos pode ser provada com base em propriedades de ações com números reais(ou as mesmas propriedades de operações com números racionais ou inteiros). Para fazer isso, basta mostrar que a diferença entre as partes esquerda e direita da igualdade (−a)+(−b)=−(a+b) é igual a zero.
Como subtrair um número é o mesmo que adicionar o número oposto (veja a regra para subtrair inteiros), então (−a)+(−b)−(−(a+b))=(−a)+(−b) +(a+b). Em virtude das propriedades comutativas e associativas da adição, temos (−a)+(−b)+(a+b)=(−a+a)+(−b+b) . Como a soma de números opostos é igual a zero, então (−a+a)+(−b+b)=0+0 e 0+0=0 devido à propriedade de somar um número a zero. Isso prova a igualdade (−a)+(−b)=−(a+b) e, portanto, a regra para adicionar números negativos.
Assim, essa regra de adição se aplica tanto a números inteiros negativos quanto a números racionais, bem como a números reais.
Resta apenas aprender como aplicar a regra de somar números negativos na prática, o que faremos no próximo parágrafo.
Exemplos de adição de números negativos
Vamos analisar exemplos de adição de números negativos. Vamos começar com o caso mais simples - a adição de inteiros negativos, a adição será realizada de acordo com a regra discutida no parágrafo anterior.
Adicione números negativos -304 e -18007 .
Vamos seguir todos os passos da regra de somar números negativos.
Primeiro, encontramos os módulos dos números adicionados: e 
. Agora você precisa adicionar os números resultantes, aqui é conveniente realizar a adição em uma coluna: 
Agora colocamos um sinal de menos na frente do número resultante, como resultado temos −18 311 .
Vamos escrever a solução inteira na forma curta: (−304)+(−18 007)= −(304+18 007)=−18 311 .
A adição de números racionais negativos, dependendo dos próprios números, pode ser reduzida à adição de números naturais, ou à adição de frações ordinárias, ou à adição de frações decimais.
Adicione um número negativo e um número negativo −4,(12) .
De acordo com a regra de adicionar números negativos, primeiro você precisa calcular a soma dos módulos. Os módulos dos números negativos adicionados são 2/5 e 4,(12) respectivamente. A adição dos números resultantes pode ser reduzida à adição de frações ordinárias. Para fazer isso, traduzimos a fração decimal periódica em uma fração ordinária:. Então 2/5+4,(12)=2/5+136/33 . Agora vamos somar frações com denominadores diferentes: .
Resta colocar um sinal de menos na frente do número resultante: . Isso completa a adição dos números negativos originais.
Números reais negativos são adicionados de acordo com a mesma regra para somar números negativos. Vale a pena notar aqui que o resultado da adição de números reais é muitas vezes escrito como uma expressão numérica, e o valor dessa expressão é calculado aproximadamente e, se necessário.
Por exemplo, vamos encontrar a soma de números negativos e -5. Os módulos desses números são iguais à raiz quadrada de três e cinco, respectivamente, e a soma dos números originais é . É assim que a resposta é escrita. Outros exemplos podem ser encontrados no artigo. adição de números reais.
www.cleverstudents.ru
Como somar dois números negativos
Operações com números negativos e positivos
Valor absoluto (módulo). Adição.
Subtração. Multiplicação. Divisão.
Valor absoluto (módulo). Por número negativoé um número positivo obtido alterando seu sinal de “-” para “+”; por número positivo e zeroé o próprio número. Para denotar o valor absoluto (módulo) de um número, são usadas duas linhas retas, dentro das quais esse número é escrito.
EXEMPLOS: | – 5 | = 5, | 7 | = 7, | 0 | = 0.
1) ao somar dois números com o mesmo sinal, some
seus valores absolutos e a soma é precedida por um sinal comum.
2) ao somar dois números com sinais diferentes, seu valor absoluto
valores são subtraídos (do maior o menor) e o sinal é colocado
números com um valor absoluto maior.
Subtração. Você pode substituir a subtração de dois números por adição, enquanto o minuendo mantém seu sinal e o subtraendo é obtido com o sinal oposto.
(+ 8) – (+ 5) = (+ 8) + (– 5) = 3;
(+ 8) – (– 5) = (+ 8) + (+ 5) = 13;
(– 8) – (– 5) = (– 8) + (+ 5) = – 3;
(– 8) – (+ 5) = (– 8) + (– 5) = – 13;
Multiplicação. Quando dois números são multiplicados, seus valores absolutos são multiplicados, e o produto assume o sinal “+” se os sinais dos fatores forem iguais, e o sinal “-” se os sinais dos fatores forem diferentes.
O esquema a seguir é útil ( regras do sinal de multiplicação):
Ao multiplicar vários números (dois ou mais), o produto tem um sinal “+” se o número de fatores negativos for par, e um sinal “-” se seu número for ímpar.
Divisão. Ao dividir dois números, o valor absoluto do dividendo é dividido pelo valor absoluto do divisor, e o quociente assume o sinal "+" se os sinais do dividendo e do divisor forem iguais, e o sinal "-" se os sinais do dividendo e do divisor forem diferentes.
Existem O mesmo regras de sinais, como na multiplicação:
Adicionando números negativos
Adição de números positivos e negativos pode ser analisado usando o eixo numérico.
Adicionando números usando a linha de coordenadas
A adição de números pequenos em valor absoluto é convenientemente realizada na linha de coordenadas, imaginando mentalmente como um ponto que denota que o número se move ao longo do eixo numérico.
Vamos pegar algum número, por exemplo, 3 . Vamos designá-lo em um eixo numérico com um ponto "A".
Vamos adicionar o número positivo 2 ao número. Isso significa que o ponto "A" deve ser movido dois segmentos unitários no sentido positivo, ou seja, para a direita. Como resultado, obteremos o ponto "B" com coordenada 5.
Para adicionar um número negativo “-5” a um número positivo, por exemplo, 3, o ponto “A” deve ser movido 5 unidades de comprimento na direção negativa, ou seja, para a esquerda.
Neste caso, a coordenada do ponto "B" é igual a - "2".
Portanto, a ordem de adição de números racionais usando o eixo numérico será a seguinte:
Movendo-se do ponto - 2 para a esquerda (já que há um sinal de menos na frente de 6), obtemos - 8.
Adição de números com os mesmos sinais
Adicionar números racionais é mais fácil se você usar o conceito de módulo.
Suponha que precisamos adicionar números que têm o mesmo sinal.
Para fazer isso, descartamos os sinais dos números e pegamos os módulos desses números. Somamos os módulos e colocamos o sinal na frente da soma, que era comum a esses números.
Um exemplo de adição de números negativos.
Para somar números de mesmo sinal, você precisa somar seus módulos e colocar o sinal na frente da soma que estava na frente dos termos.
Adição de números com sinais diferentes
Se os números tiverem sinais diferentes, agimos de maneira um pouco diferente do que quando adicionamos números com os mesmos sinais.
Um exemplo de adição de um número negativo e um número positivo.
Um exemplo de adição de números mistos.
Para somar números de sinal oposto necessário:
- subtraia o módulo menor do módulo maior;
- antes da diferença resultante, coloque o sinal do número que possui um módulo maior.
- realizar a adição de seus módulos;
- adicione o sinal "-" ao valor recebido.
- calcular módulos de números;
- compare os números recebidos:
- subtraia o menor do maior;
- antes do valor recebido, coloque o sinal do número cujo módulo é maior.
Adição e subtração de números positivos e negativos
Não está claro?
Tente pedir ajuda aos professores.
Regra de adição negativa
Para adicionar dois números negativos:
Pela regra da adição, podemos escrever:
A regra de adição negativa se aplica a números inteiros negativos, números racionais e números reais.
Some os números negativos $−185$ e $−23 \ 789.$
Vamos usar a regra de somar números negativos.
Vamos somar os números resultantes:
$185+23 \ 789=23 \ 974$.
Colocamos o sinal $"–"$ na frente do número encontrado e obtemos $−23 974$.
Solução breve: $(−185)+(−23 \ 789)=−(185+23 \ 789)=−23 \ 974$.
Ao adicionar números racionais negativos, eles devem ser convertidos para a forma de números naturais, frações ordinárias ou decimais.
Some os números negativos $-\frac $ e $−7,15$.
De acordo com a regra de adicionar números negativos, primeiro você precisa encontrar a soma dos módulos:
É conveniente reduzir os valores obtidos a frações decimais e realizar sua adição:
Vamos colocar o sinal $"-"$ na frente do valor recebido e obter $-7,4$.
Resumo da solução:
Adição de números com sinais opostos
Regra para somar números com sinais opostos:
se forem iguais, então os números originais são opostos e sua soma é igual a zero;
se eles não forem iguais, você precisará lembrar o sinal do número cujo módulo é maior;
Adicionar números com sinais opostos é reduzido a subtrair um número negativo menor de um número positivo maior.
A regra de somar números com sinais opostos é realizada para números inteiros, racionais e reais.
Some os números $4$ e $−8$.
Você precisa adicionar números com sinais opostos. Vamos usar a regra de adição apropriada.
Vamos encontrar os módulos desses números:
O módulo do número $−8$ é maior que o módulo do número $4$, ou seja, lembre-se do sinal $"-"$.
Colocamos o sinal $"–"$, que memorizamos, na frente do número resultante, e obtemos $−4.$
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Para somar números racionais com sinais opostos, é conveniente representá-los como frações ordinárias ou decimais.
Subtração de números negativos
Regra para subtração de números negativos:
Para subtrair um número negativo $b$ do número $a$, é necessário adicionar ao minuendo $a$ o número $−b$, que é o oposto do $b$ subtraído.
Pela regra da subtração, podemos escrever:
Esta regra é válida para números inteiros, racionais e reais. A regra pode ser usada ao subtrair um número negativo de um número positivo, de um número negativo e de zero.
Subtraia do número negativo $−28$ o número negativo $−5$.
O número oposto para o número $–5$ é o número $5$.
De acordo com a regra de subtração de números negativos, obtemos:
Vamos somar números com sinais opostos:
Solução breve: $(−28)−(−5)=(−28)+5=−(28−5)=−23$.
Ao subtrair números fracionários negativos, você deve converter os números para a forma de frações ordinárias, números mistos ou frações decimais.
Subtração de números com sinais opostos
A regra para subtrair números com sinais opostos é a mesma que a regra para subtrair números negativos.
Subtraia o número positivo $7$ do número negativo $−11$.
O número oposto para o número $7$ é o número $–7$.
De acordo com a regra para subtrair números com sinais opostos, obtemos:
Vamos somar números negativos:
Ao subtrair números fracionários com sinais opostos, é necessário converter os números para a forma de frações ordinárias ou decimais.
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Adição de números negativos: regra, exemplos
Como parte deste material, abordaremos um tópico tão importante quanto a adição de números negativos. No primeiro parágrafo, descreveremos a regra básica para essa ação e, no segundo, analisaremos exemplos específicos de solução de tais problemas.
Regra básica para somar números naturais
Antes de derivar a regra, vamos relembrar o que geralmente sabemos sobre números positivos e negativos. Anteriormente, concordamos que números negativos deveriam ser percebidos como uma dívida, uma perda. O módulo de um número negativo expressa o tamanho exato dessa perda. Então a adição de números negativos pode ser pensada como a adição de duas perdas.
Usando esse raciocínio, formulamos a regra básica para adicionar números negativos.
Para cumprir adição de números negativos, você precisa somar os valores de seus módulos e colocar um sinal de menos na frente do resultado. Na forma literal, a fórmula se parece com (− a) + (− b) = − (a + b) .
Com base nessa regra, podemos concluir que a adição de números negativos é semelhante à adição de números positivos, só que no final devemos obter definitivamente um número negativo, pois devemos colocar um sinal de menos na frente da soma dos módulos.
Que evidência pode ser dada para esta regra? Para fazer isso, precisamos lembrar as propriedades básicas das operações com números reais (com números inteiros ou com números racionais - elas são as mesmas para todos esses tipos de números). Para provar isso, basta demonstrar que a diferença entre os lados esquerdo e direito da equação (− a) + (− b) = − (a + b) será igual a 0 .
Subtrair um número de outro é o mesmo que adicionar o mesmo número oposto a ele. Portanto, (− a) + (− b) − (− (a + b)) = (− a) + (− b) + (a + b) . Lembre-se de que as expressões numéricas com adição têm duas propriedades principais - associativa e comutativa. Então podemos concluir que (− a) + (− b) + (a + b) = (− a + a) + (− b + b) . Como, adicionando números opostos, sempre obtemos 0, então (− a + a) + (− b + b) \u003d 0 + 0 e 0 + 0 \u003d 0. Nossa igualdade pode ser considerada provada, o que significa que a regra para somar números negativos também provamos.
Problemas para adição de números negativos
No segundo parágrafo, abordaremos problemas específicos em que você precisa adicionar números negativos e tentar aplicar a regra aprendida neles.
Encontre a soma de dois números negativos - 304 e - 18007.
Decisão
Vamos fazer os passos passo a passo. Primeiro, precisamos encontrar os módulos dos números a serem adicionados: - 304 \u003d 304, - 180007 \u003d 180007. Em seguida, precisamos realizar a ação de adição, para a qual usamos o método de contagem de colunas:
Tudo o que nos resta é colocar um menos na frente do resultado e obter - 18 311 .
Responda: — — 18 311 .
Depende de quais números temos, ao que podemos reduzir a ação da adição: encontrar a soma dos números naturais, somar frações ordinárias ou decimais. Vamos analisar o problema com esses números.
Encontre a soma de dois números negativos - 2 5 e - 4 , (12) .
Encontramos os módulos dos números desejados e obtemos 2 5 e 4 , (12) . Temos duas frações diferentes. Reduzimos o problema à adição de duas frações ordinárias, para as quais representamos a fração periódica na forma de uma ordinária:
4 , (12) = 4 + (0 , 12 + 0 , 0012 + . . .) = 4 + 0 , 12 1 — 0 , 01 = 4 + 0 , 12 0 , 99 = 4 + 12 99 = 4 + 4 33 = 136 33
Como resultado, obtivemos uma fração que será fácil de adicionar ao primeiro termo original (se você esqueceu como adicionar frações com denominadores diferentes corretamente, repita o material correspondente).
2 5 + 136 33 = 2 33 5 33 + 136 5 33 5 = 66 165 + 680 165 = 764 165 = 4 86 105
Como resultado, obtivemos um número misto, na frente do qual só precisamos colocar um menos. Isso completa os cálculos.
Responda: — 4 86 105 .
Os números reais negativos são adicionados da mesma maneira. O resultado de tal ação é geralmente escrito como uma expressão numérica. Seu valor não pode ser calculado ou limitado a cálculos aproximados. Então, por exemplo, se precisarmos encontrar a soma - 3 + (- 5), escrevemos a resposta como - 3 - 5. Dedicamos um material separado à adição de números reais, no qual você pode encontrar outros exemplos.
