1. Tarefa.
Em quais valores do parâmetro uma a equação ( uma - 1)x 2 + 2x + uma- 1 = 0 tem exatamente uma raiz?

1. Decisão.
No uma= 1 equação tem a forma 2 x= 0 e obviamente tem uma única raiz x= 0. Se uma No. 1, então esta equação é quadrática e tem uma única raiz para aqueles valores do parâmetro para os quais o discriminante do trinômio quadrado é igual a zero. Igualando o discriminante a zero, obtemos uma equação para o parâmetro uma 4uma 2 - 8uma= 0, de onde uma= 0 ou uma = 2.

1. Resposta: a equação tem uma única raiz em uma O(0; 1; 2).

2. Tarefa.
Encontre todos os valores de parâmetro uma, para a qual a equação tem duas raízes diferentes x 2 +4machado+8uma+3 = 0.
2. Decisão.
A equação x 2 +4machado+8uma+3 = 0 tem duas raízes distintas se e somente se D = 16uma 2 -4(8uma+3) > 0. Obtemos (após a redução por um fator comum de 4) 4 uma 2 -8uma-3 > 0, de onde

2. Resposta:

uma O (-Ґ ; 1 -

C 7 2

) E (1 +

C 7 2

; Ґ ).

3. Tarefa.
Sabe-se que
f 2 (x) = 6x-x 2 -6.
a) Faça o gráfico da função f 1 (x) no uma = 1.
b) Em que valor uma gráficos de função f 1 (x) e f 2 (x) têm um único ponto comum?

3. Solução.
3.a. Vamos transformar f 1 (x) Da seguinte maneira
O gráfico desta função uma= 1 é mostrado na figura à direita.
3.b. Notamos imediatamente que os gráficos da função y = kx+b e y = machado 2 +bx+c (uma No. 0) se cruzam em um único ponto se e somente se a equação quadrática kx+b = machado 2 +bx+c tem uma única raiz. Usando a visualização f 1 de 3.a, igualamos o discriminante da equação uma = 6x-x 2 -6 a zero. Da Equação 36-24-4 uma= 0 obtemos uma= 3. Fazendo o mesmo com a equação 2 x-uma = 6x-x 2 -6 encontrar uma= 2. É fácil verificar que esses valores de parâmetros satisfazem as condições do problema. Responda: uma= 2 ou uma = 3.

4. Tarefa.
Encontrar todos os valores uma, sob o qual o conjunto de soluções da desigualdade x 2 -2machado-3uma i 0 contém o segmento .

4. Solução.
A primeira coordenada do vértice da parábola f(x) = x 2 -2machado-3umaé igual a x 0 = uma. Das propriedades de uma função quadrática, a condição f(x) i 0 no intervalo é equivalente à totalidade de três sistemas
tem exatamente duas soluções?

5. Decisão.
Vamos reescrever esta equação na forma x 2 + (2uma-2)x - 3uma+7 = 0. Esta é uma equação quadrática, ela tem exatamente duas soluções se seu discriminante for estritamente maior que zero. Calculando o discriminante, obtemos que a condição para ter exatamente duas raízes é o cumprimento da desigualdade uma 2 +uma-6 > 0. Resolvendo a desigualdade, encontramos uma < -3 или uma> 2. Obviamente, a primeira das desigualdades não tem solução em números naturais, e a menor solução natural da segunda é o número 3.

5. Resposta: 3.

6. Tarefa (10 células)
Encontrar todos os valores uma, para o qual o gráfico da função ou, após transformações óbvias, uma-2 = | 2-uma| . A última equação é equivalente à desigualdade uma eu 2.

6. Resposta: uma O , e não depende do sinal do discriminante. Vamos fazer desenhos esquemáticos (para D>0)

https://pandia.ru/text/78/525/images/image020_10.jpg" width="624" height="209 src=">

Para cada um dos três casos a), b), c) o menor valor da função f(t) = t2-8at+7a2

no segmento é alcançado, respectivamente, nos pontos em x = 1, x = 2a, x = 1/4. Então a pergunta a ser respondida é a solução da totalidade de três sistemas:

1≤4a 1/4<4а<1 4а<1/4

f(1)<0 или f(4а)<0 или f(1/4)<0

a≥1/4 1/16<а<1/4 а≤1/16

1 - 8a + 7a2<0 или 16а2 – 32а2 + 7а2<0 или 1/16 – 2а + 7а2<0.

Responda: 1/28<а<1.

Tarefas de teste

1). Para quais valores do parâmetro a os gráficos das funções y = 2x – a e y = (a + 1)x2 + 1 se cruzam em apenas um ponto?

2). Encontre todos os valores do parâmetro a para os quais os gráficos das funções y = (a + 5)x2 - 1 e

y \u003d (3a + 15) x - 4 não têm pontos comuns?

3). Para quais valores do parâmetro a a equação (a +4)x2 +6x –1 = 0 tem uma solução única?

4). Para quais valores do parâmetro a a equação (2a + 8) x2 - (a + 4) x + 3 = 0 tem uma solução única?

5). Para quais valores do parâmetro a a equação tem mais de uma solução?

a) (a + 6)x2 - 8x + a \u003d 0

b) a (2a + 4) x2 - (a + 2) x - 5a - 10 = 0.

6). Encontre todos os valores do parâmetro k para os quais a curva y = x2 + kx + 4 toca o eixo x.

7). Qual é o menor valor inteiro do parâmetro k para o trinômio quadrado

(k–2)x2+8x + k+4 é positivo para todos os valores reais de x?

oito). Os números x, y e são tais que x + y = a -1, x2 + y2 = 5a2 - 3a + 0,5. Em quais valores do parâmetro a o produto xy assume o valor máximo?

nove). Os números x, y e são tais que x + y = a +1, xy = a2 - 3a + 4. Para quais valores do parâmetro

e a soma x2 + y2 tem o valor máximo?

dez). Encontre o maior e 1 menor valor da função y \u003d 2x2 - 2ax + no segmento

onze). Encontre o maior valor do trinômio quadrado 1 - (a - 2) x - x2 no segmento

12). Em quais valores do parâmetro a é o menor valor da função y = x2 + (a + 4) x + 2a + 3 no segmento igual a -4?

treze). Em quais valores do parâmetro a é o menor valor da função y \u003d x2 - (a + 2) x + a2 no segmento [-1; 1] igual a 4?

quatorze). Em quais valores do parâmetro a é o valor máximo da função

f (x) \u003d - (1 / a) x + (7 / a) 3-x - 3a2 no segmento [-1; 0] é negativo?

Respostas para a tarefa de teste

1) a=-2, a=-1, a=0.

2) –19/3<а≤-5.

3) a=-4, a=-13.

5) a) -8<а<-6 и -6<а<2

b) a=-2; -1/40 0.

10) Se um<-2, то наименьшее значение функции при х=-1 и равно 3+2а, наибольшее значение функции при х=1 и равно 3–2а;

se -2≤a<0, то наименьшее значение функции при х= хо и равно 1–а2/2, наибольшее значение функции при х=1 и равно 3–2а;

se 0≤a<2, то наименьшее значение функции при х= хо и равно 1–а2/2, наибольшее значение функции при х=-1 и равно 3+2а;

se a≥2, então o menor valor da função em x= 1 e igual a 3–2a, o maior valor da função em x=-1 e igual a 3+2a;

11) Se a≤0, então -6a2-a+2, se 0<а<8/5, то 2- 6а +а2/4, если а ≥8/5, то 19а-6а2 -14

13) a=-2 ou a=(1+√21)/2

14) |a|>(7√3)/12.

Localização das raízes de um trinômio quadrado

Considere uma série de problemas típicos relacionados à localização das raízes do trinômio quadrado ax2 + bx + c. Faremos todo o raciocínio assumindo a > 0. Se um<0,то рассуждения проводятся аналогично.

Tarefa número 1.

Sob quais condições ambas as raízes da equação quadrática ax2 + bx + c = 0 (não necessariamente diferentes) são maiores do que um determinado número k?

Decisão.

Construímos gráficos esquemáticos da função de um trinômio quadrado y= ax2+bx+c, onde x1 e x2 satisfazem as condições: x1>k, x2>k. Seja f(x)=ax2+bx+c. O gráfico y= f(x) cruza o eixo OX (D>0) ou o toca (D=0). Então é necessário preencher a condição: х>к, y(к)>0. Se um< 0 условие: х1>k, x2>k são determinados pelo sistema de desigualdades:

https://pandia.ru/text/78/525/images/image023_20.gif" largura="14" altura="86">

Fig.4

Tarefa 11. Encontre todos os valores do parâmetro a para o qual todas as raízes da equação

x2–6ax+2–2a+9a2 = 0 mais que 3.

Decisão.

Se a condição exigida for atendida, as seguintes posições da parábola são possíveis, que é o gráfico da função f(x)= x2–6ax+2–2a+9a2

Fig.5

Vamos resolver o sistema de inequações:

https://pandia.ru/text/78/525/images/image026_8.jpg" align="left" width="324" height="239 src=">

É suficiente preencher a condição: y(k)<0, если а >0. Quando um<0, y(к) > 0.

Arroz. 6

Tarefa 12. Encontre todos os valores do parâmetro a para os quais 1 está entre as raízes da equação x2–2ax+3–4a+2a2=0.

Decisão.

Como o coeficiente principal é positivo, basta satisfazer a condição f(1)<0, где f(х)=х2–2ах+3–4а+2а2

4–6a+2a2<0, 1<а<2.

Responda: 1<а<2

Tarefa número 3. Sob quais condições exatamente uma raiz da equação quadrática ax2 + bx + c = 0, que tem raízes diferentes, está no intervalo (k, e)?

Vamos construir esquematicamente os gráficos y = ax2 + bx + c de acordo com a condição deste problema para a > 0.

https://pandia.ru/text/78/525/images/image028_8.jpg" width="623" height="246 src=">

Resolva a desigualdade: f(1) f(2)<0.

(a2+8a+7)(a2+14a+16)<0

7-√33< а<-7; -7+√33<а<-1.

Responda: -7-√33< а<-7; -7+√33<а<-1.

Tarefa 14. Encontre todos os valores do parâmetro a para os quais a equação 2cos(2x)+2asin(x)+a-1=0 tem uma solução única no intervalo (-π/2;0).

Decisão.

2cos(2x)+2a senx+a-1=0

2(1–2 sen2х)+ 2a senx+a–1=0

4 sen2х–2а senx –a–1=0

Seja senx=t Já que -π/2<х<0, то -1< t <0

Encontre os valores do parâmetro a para os quais a equação 4t2– 2at–a–1=0 tem uma solução única no intervalo (-1; 0).

A equação 4t2– 2at–a–1=0 tem uma solução única no intervalo (-1; 0) se:

1). D \u003d 0 D / 4 \u003d (a + 2) 2 D \u003d 0 para \u003d -2.

2). Considere a função f(t)= 4t2– 2at–a–1

Construímos um gráfico esquemático da função y=f(t)

https://pandia.ru/text/78/525/images/image030_16.gif" width="14" height="50 src=">

f(0) f(1) ≤0 a≤-3; a≥-1

Responda: a≤-3; a≥-1; a=-2.

Tarefa número 4. Sob que condições ambas as raízes (não necessariamente diferentes) da equação quadrática ax2 + bx + c estão no segmento [k; e]. Considere sob a condição a>0. Seja uma função f(x)= ax2+bx+c

https://pandia.ru/text/78/525/images/image032_14.gif" largura="14" altura="110"> D≥0

k≤ ho≤ e

Tarefa 15. Encontre os valores do parâmetro a para os quais todas as raízes da equação

х2- 2(а–3)х–а +3=0 estão no intervalo (-3; 0).

Decisão.

Desde que exista pelo menos uma raiz, o gráfico da função f (x) \u003d x2- 2 (a-3) x-a + 3 pode ser localizado esquematicamente de duas maneiras

https://pandia.ru/text/78/525/images/image034_12.gif" largura="14" altura="110"> D≥0 4(à – 3)(à – 2) ≥0

3<хо<0 3<а – 3 <0 1,2<а≤2.

f(-3) >0 5а – 6>0

f(0) >0 -à+3>0

Equação sen x - 1 + a = sen x - 2 . sen x − 2 sen x − 3 Solução. Fazendo t = sin x, reduzimos a equação para a forma at2 − 5at + 6a − 1 = 0. Se a = 0, então não há soluções. Para a = 0 e sob a condição a ∈ (−∞; −4] ∪ (0; +∞) √ 2 + 4a obtemos as raízes da equação t1,2 = 5a ± 2aa . Como o vértice da parábola f (t) = at2 − 5at + 6a − 1 está localizado no ponto tв = 2 , 5 a condição |t|1 para a menor das raízes será satisfeita se a função tiver sinais diferentes nas extremidades do segmento [− 1; 1]: f (−1) f (1) 0 ou (2a−1)(12a−1) 0. A solução para a última 1 inequação é o intervalo a ∈ 12 ;1 .2 √ a2 Resposta: Se a ∈ 12 ;2: x = (−1)n arcosen 5a− 2a +4a +πn, n∈Z, 1 1 não há soluções para outros a. Problema 6.7 Para quais valores do parâmetro a a função f (x) = 8ax − a sen 6x − 7x − sen 5x é crescente em todo o eixo real e não tem pontos críticos? A função f (x) é diferenciável para qualquer valor de a e f (x) = 8a − 6a cos 6x − 7 − 5 cos 5x. O problema pode ser reformulado da seguinte forma: para qual a desigualdade 6a cos 6x + 5 cos 5x< 8a − 7 справедливо для любого x? Так как последнее неравенство должно выполняться для любого значения x, оно должно быть справедливо и для x = 0, от- куда 6a + 5 < 8a − 7 или a >6. Considerando agora que 6a cos 6x + 5 cos 5x 6|a| +5< 8a − 7, приходим к выводу, что при a >6 a desigualdade é válida para qualquer x. Resposta: a > 6. Problemas para solução independente Problema 6.8. (SGAU) Dependendo dos valores do parâmetro a, resolva a equação cos4 x − (a + 2) cos2 x √ a − 3 = 0. − Resposta: Se a ∈ [−3; −2] : x = arccos a + 3 + πk, k ∈ Z, se a ∈ [−3; −2] : sem soluções. Problema 6.9. (SGAU) Dependendo dos valores do parâmetro a, resolva a equação sen4 x + cos4 x + sen 2x + a = 0. 61 √ Resposta: Se a ∈ − 3 ; 2: x = 1 (−1)k arcosin(1− 2a−3) + πk, 2 1 2 3 ; 1: sem soluções. se a ∈ − 2 2 k ∈ Z, Problema 6.10. (SGAU) Para quais valores do parâmetro a faz a equação (a2 +8a+16)(2−2 cos x− sin2 x)+(32+2a2 +16a)(cos x−1)+3a+10 =0 soluções? Resposta: um< − 10 ; −3 < a < −2. 3 Задача 6.11. (СГАУ) При каких значениях параметра a урав- нение loga−2 17 + cos x − sin x = 3 8 имеет решение? √ 2 3 Ответ: a ∈ 2 5 ; 3 ∪ 3; 2 + 26 . 2 Задача 6.12. (СГАУ) При каких значениях параметра a урав- нение loga+1 25 + cos x − 2 sin x = 3 8 2 имеет решение? √3 37 Ответ: a ∈ − 1 ; 0 ∪ 0; 2 − 1 . 2 Задача 6.13. (ЕГЭ) При каких значениях параметра a значение выражения 2+cos x·(3 cos x+a sin x) не равно нулю ни при каких значениях x? √ √ Ответ: a ∈ −2 10; 2 10 . Задача 6.14. (ЕГЭ) При каких значениях параметра a значение выражения 3 + sin x · (2 sin x + a cos x) будет равно −1 хотя бы при одном значении x? √ √ Ответ: a ∈ −∞; −4 6 ∪ 4 6; +∞ . Задача 6.15. (ЕГЭ) При каких значениях параметра a сумма loga (sin x + 2) и loga (sin x + 3) будет равна единице хотя бы при одном значении x? Ответ: a ∈ [ 2; 12 ]. Задача 6.16. (СГАУ) При каких значениях параметра α систе- ма 4 sin x · sin y · cos(x + y) − 0,5 = 0 x−y =α имеет решения? Найдите эти решения в зависимости от значений параметра α. 62 Ответ: Если α = 2πn: x = ±π 6 + π(k+n) π y = ±6 + π(k−n); если α = π+2πn: x = ±π 3 + π + π(k+n) 2 y = ±π 3 − π + π(k−n), 2 n, k ∈ Z. Задача 6.17. (СГАУ) При каких значениях параметра α систе- ма 2 sin x · cos y · sin(x − y) + 0,25 = 0 x+y =α имеет решения? Найдите эти решения в зависимости от значений параметра α. Ответ: Если α = π +2πn: x = (−1)k+1 π + π + π (2n+k) 2 12 4 2 k π + π + π (2n−k); y = (−1) 12 4 2 если α = − 2 π +2πn: x = (−1)k π − π + π (2n+k) 12 4 2 y = (−1) k+1 π − π + π (2n−k), 12 4 2 n, k ∈ Z. Задача 6.18. (СГАУ) При каких значениях параметра a нера- венство √ 2 2 (sin x − cos x) − a + 7 log 2a+34 15 <0 35 выполняется для любых значений x? 1 Ответ: a ∈ (−17; −12) ∪ 2 ; 3 . Задача 6.19. (СГАУ) При каких значениях параметра a нера- венство √ log 3−2a 3 sin x + 3 3 cos x − 2a − 12 >0 23 28 vale para qualquer valor de x? Resposta: a ∈ (−∞; −23) ∪ (−10; −9). Problema 6.20. Dependendo dos valores do parâmetro a, resolva a desigualdade cos x 2 − a2 . Resposta: |a| √ : x ∈ R, 1 1<|a| √3: x ∈ arccos(2−a2)+2πk; π− arccos(2−a2)+2πk , |a|>3: sem soluções. k∈Z Problema 6.21. Para quais valores do parâmetro a a equação tg x (a + 1) tg2 x − 2 cos x + a = 0 não tem soluções? Resposta: a -3; a 1. 63 Guia de estudo PROBLEMA COM PARÂMETROS Compilado por: Efimov Evgeny Alexandrovich Kolomiets Lyudmila Vadimovna Composição e layout do computador E.A. Efimov Samara State Aerospace University em homenagem ao acadêmico S.P. Rainha. 443086, Samara, rodovia de Moscou, 34. - RIO Samara State Aerospace University em homenagem ao acadêmico S.P. Rainha. 443086, Samara, rodovia Moscou, 34.

Ministério da Educação e Ciência da Região de Samara

Instituição Estadual de Ensino Autônomo de Educação Profissional Complementar (Desenvolvimento da Qualificação) de Especialistas

INSTITUTO REGIONAL DE DESENVOLVIMENTO PROFISSIONAL DE SAMARA

E REFORMAÇÃO DE TRABALHADORES DA EDUCAÇÃO

Trabalho final

Em cursos de formação avançada

De acordo com WB IOCH

"Características metodológicas do ensino para resolver problemas com parâmetro no contexto da transição para novos padrões educacionais"

(15.06 - 19.06.2015)

Projetando um sistema de tarefas multinível com um parâmetro de tópico:

"Derivado"

Realizado:

Valeva F.G.,

professor de matemática

GBOU escola secundária deles. M.K. Ovsyannikova

com. Isakla

Samara

2015

NOTA EXPLICATIVA

Nome completo (nome completo)

Valieva Fanuzya Galimzyanovna

Local de trabalho

GBOU escola secundária deles. M.K. Aldeia Ovsyannikova de Isakly,

Distrito de Isaklinsky, região de Samara

Posição

Professor de matemática

Coisa

Matemática

Aula

Metas:

1. implementação dos requisitos do Federal State Educational Standard LLC ao estudar o tópico: "Derivativo"

   Generalização e sistematização de conhecimentos e métodos de atuação sobre o tema “Derivativo”; formação de habilidades para resolver problemas com parâmetros.

   Desenvolvimento de pesquisa e atividade cognitiva.

O conceito de desenvolvimento espiritual e moral e educação da personalidade de um cidadão da Rússiaé a base metodológica para o desenvolvimento e implementação do padrão educacional estadual federal para a educação geral.

Padrão educacional estadual federal para o ensino geral básico no curso escolar de matemática.

O padrão é baseado emabordagem de atividade do sistema.

A norma estabelece requisitos para os resultados do domínio pelos alunos do programa educacional principal do ensino geral básico:

pessoal;

meta-sujeito;

tema .

Tarefas:

- educacional: analisar e compreender o texto da tarefa, identificar e formular de forma independente um objetivo cognitivo, reformular a condição, construir uma cadeia lógica de raciocínio, avaliar criticamente a resposta recebida, construção consciente e arbitrária de uma declaração de fala, escolher a maneira mais eficaz de resolver problemas, formular e formular um problema, propor hipóteses e justificá-las, leitura semântica;

- desenvolvendo: estabelecimento de metas, planejar suas atividades de acordo com condições específicas; reflexão dos métodos e condições de atuação, controle e avaliação do processo e resultados das atividades, autorregulação,através da resolução de problemas, para desenvolver a atividade criativa e mental dos alunos, qualidades intelectuais: a capacidade de "visão" do problema, ações avaliativas, independência, flexibilidade de pensamento;

- educacional: formação de sentido, a capacidade de ouvir e dialogar, de participar de uma discussão coletiva de problemas, de cultivar a responsabilidade e a precisão.

Tarefas com parâmetros - estas são tarefas não padronizadas, ou seja,incomum tanto na formulação e conteúdo, quanto nos métodos de solução. O papel de taltarefas, sua importância e benefícios para o desenvolvimento do pensamento lógico, intuição,habilidades criativas dos alunos, a formação de seu alto nível matemáticoculturas são muito grandes. Sabe-se que os educadores enfrentam sériasproblemas metodológicos no ensino para resolver tais problemas, apesar da presença,um grande número de tutoriais e artigos de periódicos. A razão para isso é bastante óbvia: a principal estratégia da educação matemática na escola é o desenvolvimento de habilidades e habilidades para resolver um determinado conjunto de problemas padrão, a maioria deles relacionados à técnica de transformações algébricas. Equações (desigualdades) com parâmetros referem-se a um tipo diferente de tarefas - tarefas para as quais, em primeiro lugar, é necessária a capacidade de realizar - às vezes bastante ramificada - construções lógicas e pesquisas.

Resolver problemas com parâmetros requer pesquisa, mesmo que essa palavra não seja mencionada no enunciado do problema. A aplicação mecânica de fórmulas não é suficiente, é necessário entender os padrões, a capacidade de analisar um caso específico com base nas propriedades gerais conhecidas do objeto, a consistência e consistência na solução, a capacidade de combinar os casos particulares considerados em um único resultado. Isso se deve às dificuldades que os alunos têm em resolver tais problemas.

Atualmente, a ideia de combinar o aprendizado para resolver problemas com o aprendizado para projetá-los tornou-se bastante difundida. Ao construir uma tarefa, entenderemos o processo de criação de uma nova tarefa. A construção do problema é baseada na capacidade de compor um trinômio quadrado. Neste caso, várias técnicas são utilizadas: analogia, variação dos coeficientes de um trinômio quadrado, variação de uma nova variável, variação dos requisitos das tarefas. Funções mais complexas podem atuar como coeficientes e uma nova variável. Assim, você pode usar esse trinômio quadrado, que ajudará na organização da repetição de funções mais complexas: exponencial, logarítmica, trigonométrica. Por um lado, você precisa conhecer as propriedades do trinômio quadrado e, por outro lado, as propriedades da função são repetidas, obtendo assim uma combinação do problema.

A escolha de um problema com parâmetros para ensinar sua solução e projeto pode ser explicada pelas seguintes circunstâncias:

ao resolver problemas com parâmetros, ocorre repetição e, como resultado, uma assimilação mais profunda e sólida dos problemas do programa;

resolver problemas com parâmetros expande os horizontes matemáticos, oferece novas abordagens para resolver problemas;

há um desenvolvimento do pensamento matemático, lógico, a capacidade de analisar, comparar, generalizar;

habilidades para o trabalho de pesquisa são adquiridas;

assistência na preparação para os exames;

há uma formação de traços de personalidade como diligência, determinação, perseverança, força de vontade, precisão.

Formado UUD no âmbito do Padrão Educacional do Estado Federal ao resolver problemas com parâmetros:

Etapas da resolução de problemas

UUD formado

Análise de condição(introdução de cartas)

• estabelecimento de metas;

  destacando informações relevantes;

  formulação do problema e previsão de soluções;

  abstração;

  analogia;

  classificação (tipologia);

  ações simbólicas.

Registro esquemático da condição do problema na forma de uma tabela, diagrama, gráficocom letras inseridas

• planejamento;

  sistematização;

  ações simbólicas;

  modelagem.

Construindo um modelo(procurar um análogo, atração de uma lei conhecida da matemática ou da física)

• criação de um método para resolver zalachi;

  ajuste de condição;

  modelagem em formato gráfico.

Resolvendo equações, sistemas, etc.(procurar o desconhecido)

• análise e identificação de informações relevantes;

  derivação de consequências;

  construção de uma cadeia de raciocínio;

  desenvolvimento e teste de hipóteses;

  transformação do modelo.

Interpretação do modelo(verificação e avaliação de soluções, raízes)

• análise;

  derivação de consequências;

  especificação;

  ação simbólica (interpretação).

Estudar(generalização do problema ou um método para resolvê-lo para condições modificadas, outras abordagens para resolver)

• análise;

  síntese;

  procurar análogos;

  construção de uma cadeia de raciocínio;

  a capacidade de transmitir conteúdo de forma concisa;

  diagramas de habilidades, símbolos, modelos;

  criação de formas de resolução de problemas de natureza busca, criativa.

Reflexão

• formação de significado;

  planejamento;

  o controle;

  correção;

  grau;

  auto-regulação volitiva;

  prontidão para o autodesenvolvimento, para a autoeducação;

  a capacidade de determinar independentemente os objetivos de seu treinamento;

  definir e formular novas tarefas para si mesmo;

  desenvolver os motivos e interesses de suas atividades educacionais.

Sistema de tarefas multinível

A base da metodologia de ensino baseada em um sistema de tarefas multinível é o desenvolvimento gradual dos blocos de sua matriz. A principal característica desta técnica é que em cada nível, ou seja, ao dominar a coluna correspondente da matriz, o aluno de cada vez encontra todos os três tipos de situações de aprendizagem que surgem ao resolver problemas.

Um sistema de tarefas multinível para cada tópico do curso é formado usando sua representação matricial, destacando uma lista ordenada de elementos básicos do conteúdo da educação e as tarefas básicas correspondentes a eles, por um lado, e níveis de aprendizagem que refletem a capacidade de resolver tarefas familiares, modificadas e desconhecidas, por outro .

Essa matriz do sistema de tarefas de tópicos contém 3 linhas correspondentes a três tipos de situações de aprendizagem que surgem ao resolver problemas eN colunas que refletem o número de tarefas básicas do tópico. Essa representação tabular (matriz) do sistema de tarefas do tópico ajuda a realizar o preenchimento completo em cada nível de seus componentes matemáticos e de atividade (formação de UUD) e, assim, implementarcritérios para a completude do assunto e da atividade (significando UUD cognitivo) o sistema formado de tarefas educacionais. Ao mesmo tempo, se as tarefas básicas do sistema desempenham o papel de uma espécie de integradores do componente assunto-conteúdo, ao projetar e implementar o processo de aprendizagem, um papel semelhante deve ser desempenhado por atividades de aprendizagem universais (métodos gerais e técnicas de atividade) em situações selecionadas.

A atividade educativa na resolução de problemas incluídos na primeira linha da matriz é de natureza reprodutiva (tais ações educativas gerais como classificação, resumindo sob um conceito, derivando consequências, ações, construindo uma cadeia lógica de raciocínio, prova, etc. ) são usados. As tarefas envolvidas são diferentes.conexões explícitas entre os dados e os elementos necessários (conhecidos e desconhecidos). O aluno identifica (reconhece tarefas familiares em várias semelhantes), reproduz os métodos estudados ou algoritmos de ações, aplica o conhecimento adquirido em termos práticos para alguma classe de tarefas conhecida e recebe novas informações com base na aplicação do modelo de atividade aprendido .

Ao resolver tarefas da segunda linha, a atividade de aprendizagem reprodutiva é combinada com a atividade reconstrutiva, na qual os padrões de atividade não são simplesmente reproduzidos da memória, mas são reconstruídos sob condições um tanto modificadas (aqui, ações educacionais gerais como a seleção e formulação de um objetivo cognitivo, a busca e seleção da informação necessária, ações simbólicas simbólicas, incluindo modelagem matemática, estruturação do conhecimento).

Por fim, na resolução de problemas de terceira linha, a atividade educativa é de natureza criativa de pesquisa. O aluno deve ser capaz de navegar em novas situações e desenvolver programas de ação fundamentalmente novos (apresentar uma hipótese, verificar: fundamentar ou refutar, propor uma nova, etc., realizar atividades de pesquisa). Resolver os problemas do bloco correspondente exige que o aluno tenha um extenso fundo de algoritmos comprovados e rapidamente implantados; a capacidade de recodificar rapidamente a informação de uma forma simbólica de signo para uma forma gráfica e, inversamente, de uma forma gráfica para uma forma simbólica de signo; visão sistêmica do curso. Ao mesmo tempo, não envolve apenas o uso de algoritmos antigos em novas condições e aumento da complexidade técnica, mas se destaca pela não obviedade da aplicação e combinação dos algoritmos estudados. As tarefas deste nível têm uma estrutura lógica complicada e são caracterizadas pela presençaconexões latentes entre os dados e os elementos que você está procurando. Tais tarefas geralmente são oferecidas como as mais difíceis em exames de admissão para universidades com altas exigências para a preparação matemática dos candidatos e nas tarefas 17, 18, 20, 21 do KIM USE.

Sistema multinível de tarefas no tópico "Derivativo"

№ p/p

Nome da tarefa

Tipo de tarefa

Cálculo derivado por definição.

33

MOH

Nova Zelândia

Encontrar derivadas de somas, produtos, funções privadas

33

MOH

Nova Zelândia

Investigação da monotonicidade de uma função

33

função aumenta ao longo da reta numérica inteira?

MOH

Em quais valores do parâmetro função decrescente para todos os valores ?

Nova Zelândia

Encontre o conjunto de todos os números a, para cada um dos quais a funçãof(x) = pecado 2 x – 8(uma + 1) sinx + (4 uma 2 + 8 uma – 14) xé crescente em toda a reta real e não tem pontos críticos.

Encontrar pontos extremos

33

tem um ponto fixo?

MOH

Determine em que valor do parâmetro função máximaé 9

Nova Zelândia

Para quais valores do parâmetro a funçãof(x) = (uma 2 – 3 uma + 2) (porque 2 – pecado 2 + (uma – 1) x + pecado1 não tem pontos críticos?

Encontrando os maiores e menores valores de uma função contínua em um intervalo e derivável em um intervalo

33

Descubra para quais valores do parâmetrouma menor valor de funçãoy = x 2 -12 x + uma no segmento é zero.

MOH

Em que valor do parâmetro menor valor de funçãoé igual a

Nova Zelândia

Em quais valores do parâmetro função assume valores inferiores a 5 para qualquer

Exploração e plotagem completas

33

3+3x2

MOH

Em que valor do parâmetro a é o mínimo da função f(x) = ax 2 - 6ax + a 2 - 9 é igual a 1?

Nova Zelândia

A equação da tangente ao gráfico de uma função em um determinado ponto

33

Em quais valores do parâmetro Em linha reta é tangente ao gráfico da função ?

MOH

Em quais valores do parâmetro gráfico tangente ao gráfico da função corta do primeiro quarto um triângulo isósceles com área

Nova Zelândia

Em quais valores do parâmetro tangente ao gráfico da função desenhado nos pontos de sua intersecção com o eixo, forma um ângulo

Aplicação da derivada na resolução de problemas de geometria, física e economia

33

Quais devem ser os lados de um retângulo com perímetroPmaximizar sua área?

MOH

A janela tem a forma de um retângulo delimitado na parte superior por um semicírculo (Figura 3). O perímetro da janela é P. Determine o raio do semicírculo R, no qual a área da janela é a maior.

Nova Zelândia

Um quadro de altura a está pendurado na parede de tal forma que sua borda inferior fica h unidades acima do nível dos olhos do observador. A que distância x da parede o observador deve estar para que o ângulo de visão da pintura seja o maior (Figura 7a)?

Soluções

Decisão :

1. A função f(x) diminui para todos os valores de x se a derivada

f′(x) = 6ax 2 + 18ax + 30a = 6a(x 2 + 3x + 5)< 0

para todo x.

2. Assim, descobrimos que um< 0.

3 . Resposta: um (–∞; 0).

1. Encontre o conjunto de todos os números a, para cada um dos quais a função f (x) \u003d sin 2x - 8 (a + 1) sinx + (4a 2 + 8a - 14) x é crescente em toda a reta real e não possuem pontos críticos.

1. Para qualquer a fixo, esta função é diferenciável em todos os pontos da reta real.

2. Como a função f(x) é crescente, a desigualdade f′(x) ≥ 0 deve valer em cada ponto x.

3. Como, além disso, f(x) não tem pontos críticos, então para qualquer x a desigualdade f′(x) ≠ 0 deve valer.

4. Assim, se a função satisfaz a condição do problema, então para todo x a desigualdade f(x) > 0 deve ser satisfeita.

5. Por outro lado, se a desigualdade f′(x) > 0 vale para todo x, então a função obviamente não tem pontos críticos e é crescente.

6. Encontre a derivada desta função:

f′( x) = 2 porque 2 x – 8( uma + 1) cosx + 4 uma 2 + 8 uma – 14.

Agora o problema pode ser reformulado da seguinte forma: encontre todos os valores do parâmetro a, para cada um dos quais, para qualquer x, a desigualdade

cos 2x – 4(a + 1) cos x + 2a 2 + 4a – 7 > 0.(1)

7. Dado que cos 2x = 2 cos 2 x – 1, e definindo cos x = t, onde –1 ≤ t ≤ 1, reescrevemos a desigualdade (1) da seguinte forma:

2t 2 – 1 – 4(a + 1)t + 2a 2 + 4a – 7 > 0,

ou

t 2 – 2(a + 1)t + a 2 + 2a – 4 > 0. (2)

8. Denotando a função do lado esquerdo da desigualdade (2) por ϕ(t), damos uma nova formulação do problema original: encontre todos os valores de a, para cada um dos quais o menor valor da função ϕ( t) no intervalo [–1; 1] é positivo.

9. A derivada ϕ′(t) = 2t – 2(a + 1) se anula em t 0 = a + 1.

10. O menor valor da função ϕ(t) no intervalo [–1; 1] é:

ϕ (–1) = um 2 + 4a – 1,E sea + 1 ≤ –1;

ϕ (a + 1) = -5,E se –1 < a + 1 < 1;

ϕ(1) = a 2 – 5 se a + 1 ≥ 1.

11. Como o menor valor da função ϕ(t) no segmento [–1; 1] deve ser positivo, então os valores do parâmetro a satisfazendo a condição do problema pertencem a dois intervalos: a ≤ –2 e a ≥ 0.

12. Se a ≤ –2, então os valores desejados do parâmetro a satisfazem a desigualdade a 2 + 4a – 1 > 0.

13. Se a ≥ 0, então os valores desejados do parâmetro a satisfazem a desigualdade a 2 – 5 > 0.

14. Conseqüentemente, o conjunto de valores desejados a é a união de soluções de dois sistemas de desigualdades:

(3)

a ≥ 0

uma 2 -5 > 0 (4)

15. O conjunto de soluções para o sistema (3) é o intervalo –∞< a < –2 –√5 , а множество решений системы (4)- промежуток a >√5 .

16. Resposta: a (–∞; –2 –√5) (√5; +∞).

1. Como esta função é diferenciável em toda a reta real, os pontos críticos da função f(x) são aqueles pontos nos quais a derivada f′(x) = 0.

2. Neste caso, temos f (x) =(a – 1)(a – 2) (–pecado+ (a – 1).

3. Obviamente, se a = 1, então f (x) = 0 para qualquer x R, ou seja

para uma dada função, cada ponto x R é crítico.

4. Suponha que um 1. Então a equação f (x) = 0 assume a forma

(a - 2) pecado = 2. (1)

Segue que se |a – 2|< 2, т. е. если a (0; 1) (1; 4),

então a equação (1) não tem raízes e, portanto, para os valores indicados de a, a função f(x) não tem pontos críticos.

5 . Responda: uma (0; 1) (1; 4).

O menor valor do numerador e o maior valor do denominador são alcançados em diferentes valores de x. Portanto, para encontrar o menor valor de uma função, é conveniente usar a derivada. Vamos reescrever a desigualdade na forma

Ondet=3- porque 2 x, t

Encontre o menor valor da funçãof( t) = , no segmento. Uma vez que a derivadaf "( t) = negativo emtentãofdiminui e assume o menor valor emt=3, f nome = f(3) = .

Responda:uma

Qual é o menor k natural para o qual a equação x 3+3x2 – 45x + k = 0 tem exatamente uma raiz?

1. Construa um esboço do gráfico da função y 1 = x 3 + 3x 2 – 45x e determine o menor valor natural de k para o qual este gráfico intercepta a linha y 2 = –k em exatamente um ponto.

2. a) D(y 1 ) = R;

Boo 1 / = 3x 2 + 6x - 45; 1 / nos intervalos (–∞; –5), (–5; 3) e (3; +∞) é ilustrado na Fig. 1. Na fig. 2 é uma representação esquemática do gráfico da função y 1 .

3. Obviamente, esta equação tem uma solução única se –k > 175 ou –k< –81, т. е. k < –175 или k >81. O menor valor natural de k é 82.

4. Resposta: k = 82.

Em que valor do parâmetro a o mínimo da função f(x) = ax2 – 6ax + a2 – 9 é igual a 1?

1. f′(x) = –6x 2 + 6x + 12.

2. y′ = 0 para x 1 = 2.

6. Resposta: a = 2.

Em que valor do parâmetro a é o mínimo da função f(x) = –2x 3 + 3x 2 + 12x + 4a é 1?

Para quais valores do parâmetro a a reta y=ax-2 é tangente ao gráfico da função y=1+ln⁡ x?

Em quais valores do parâmetro a a tangente ao gráfico da função y=a-x^2 corta um triângulo isósceles com uma área de 9/32 do primeiro trimestre

como , por condição a tangente deve interceptar a função emquartos significa. Um triângulo isósceles é um triângulo retângulo, então os outros ângulos são iguais, masde onde a tangente toma a forma o ponto de contato da tangente com o gráfico ao longo do eixo x é igual a . de acordo com a fórmula tangente ao gráfico pois a área de um triângulo deve ser , então como trimestre.Onde

Em quais valores do parâmetro a, as tangentes ao gráfico da função y=4x^2-|a|x, desenhadas nos pontos de sua interseção com o eixo x, formam um ângulo de 60° entre elas

Quais devem ser os lados de um retângulo com perímetro P para que sua área seja máxima?

A janela tem a forma de um retângulo delimitado na parte superior por um semicírculo (Figura 3). O perímetro da janela é P. Determine o raio do semicírculo R, no qual a área da janela é a maior.

Um quadro de altura a está pendurado na parede de tal forma que sua borda inferior fica h unidades acima do nível dos olhos do observador. A que distância x da parede o observador deve estar para que o ângulo de visão da pintura seja o maior (Figura 7a)?

Literatura

Azarov A.I., Barvenov S.A., Fedosenko V.S.Métodos para resolver problemas com parâmetros. Matemática para alunos do ensino médio. Minsk: "Aversev", 2003.

V.S. Vysotsky, Tarefas com parâmetros para se preparar para o exame

Gorshtein P.I., Polonsky V.B., Yakir M.S. Tarefas com parâmetros. - K.: RIA "Texto"; MP "OKO", 1992. -290 p.

Kachalova G. A. Sobre a necessidade de incluir a linha metodológica de conteúdo "Problemas com parâmetros" no módulo educacional "Fundamentos da Matemática" //Matériał yMię dzynarodowej Naukowi- PraktycznejkonferencjiPostę pó wwauce. Nowepoglą dy, problemático, saber. 29.07.2012. - 31.07.2012. czêść 2. - Łodź, 2012. - S. 67–70.

Kozko A. I., Panferov V. S., Sergeev I. N., Chirsky V. G. USE 2011. Matemática. Tarefa C5. Tarefas com um parâmetro / Ed. A. L. Semenova e I. V. Yashchenko. - M.: MTsNMO, 2011.-144 p.

Rodionov E. M. Resolvendo problemas com parâmetros. M.: MP "Rus-90", 1995