Para trazer frações para o menor denominador comum, você deve: 1) encontrar o mínimo múltiplo comum dos denominadores dessas frações, ele será o menor denominador comum. 2) encontre um fator adicional para cada uma das frações, para o qual dividimos o novo denominador pelo denominador de cada fração. 3) multiplique o numerador e o denominador de cada fração pelo seu fator adicional.
Exemplos. Reduza as frações a seguir ao menor denominador comum.
Encontramos o mínimo múltiplo comum dos denominadores: LCM(5; 4) = 20, pois 20 é o menor número divisível por 5 e 4. Encontramos para a 1ª fração um fator adicional 4 (20 : 5=4). Para a 2ª fração, o multiplicador adicional é 5 (20 : 4=5). Multiplicamos o numerador e o denominador da 1ª fração por 4, e o numerador e o denominador da 2ª fração por 5. Reduzimos essas frações ao menor denominador comum ( 20 ).
O menor denominador comum dessas frações é 8, pois 8 é divisível por 4 e por ele mesmo. Não haverá multiplicador adicional para a 1ª fração (ou podemos dizer que é igual a um), para a 2ª fração o multiplicador adicional é 2 (8 : 4=2). Multiplicamos o numerador e o denominador da 2ª fração por 2. Reduzimos essas frações ao menor denominador comum ( 8 ).
Essas frações não são irredutíveis.
Reduzimos a 1ª fração em 4 e reduzimos a 2ª fração em 2. ( veja exemplos sobre a redução de frações ordinárias: Mapa do site → 5.4.2. Exemplos de redução de frações ordinárias). Localizar LCM(16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. O multiplicador adicional para a 1ª fração é 5 (80 : 16=5). O multiplicador adicional para a 2ª fração é 4 (80 : 20=4). Multiplicamos o numerador e o denominador da 1ª fração por 5, e o numerador e o denominador da 2ª fração por 4. Reduzimos essas frações ao menor denominador comum ( 80 ).
Encontre o mínimo denominador comum do NOC(5 ; 6 e 15) = LCM(5 ; 6 e 15)=30. O multiplicador adicional à 1ª fração é 6 (30 : 5=6), o multiplicador adicional para a 2ª fração é 5 (30 : 6=5), o multiplicador adicional à 3ª fração é 2 (30 : 15=2). Multiplicamos o numerador e o denominador da 1ª fração por 6, o numerador e o denominador da 2ª fração por 5, o numerador e o denominador da 3ª fração por 2. Reduzimos essas frações ao menor denominador comum ( 30 ).
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Esquema de redução a um denominador comum
- É necessário determinar qual será o mínimo múltiplo comum para os denominadores das frações. Se você estiver lidando com um número misto ou inteiro, deve primeiro transformá-lo em uma fração e só então determinar o mínimo múltiplo comum. Para transformar um inteiro em uma fração, você precisa escrever o próprio número no numerador e um no denominador. Por exemplo, o número 5 como uma fração ficaria assim: 5/1. Para transformar um número misto em fração, você precisa multiplicar o número inteiro pelo denominador e adicionar o numerador a ele. Exemplo: 8 inteiros e 3/5 como fração = 8x5+3/5 = 43/5.
- Depois disso, é necessário encontrar um fator adicional, que é determinado dividindo o NOZ pelo denominador de cada fração.
- O último passo é multiplicar a fração por um fator adicional.
É importante lembrar que a redução a um denominador comum é necessária não apenas para adição ou subtração. Para comparar várias frações com denominadores diferentes, também é necessário primeiro reduzir cada uma delas a um denominador comum.
Trazendo frações para um denominador comum
Para entender como reduzir uma fração a um denominador comum, é necessário entender algumas propriedades das frações. Assim, uma propriedade importante usada para reduzir a NOZ é a igualdade de frações. Em outras palavras, se o numerador e o denominador de uma fração forem multiplicados por um número, o resultado será uma fração igual à anterior. Vamos pegar o exemplo a seguir como exemplo. Para reduzir as frações 5/9 e 5/6 ao menor denominador comum, você precisa fazer o seguinte:
- Primeiro, encontre o mínimo múltiplo comum dos denominadores. Neste caso, para os números 9 e 6, o NOC será 18.
- Determinamos fatores adicionais para cada uma das frações. Isso é feito da seguinte maneira. Dividimos o LCM pelo denominador de cada uma das frações, como resultado, obtemos 18: 9 \u003d 2 e 18: 6 \u003d 3. Esses números serão fatores adicionais.
- Trazemos duas frações para NOZ. Ao multiplicar uma fração por um número, você precisa multiplicar o numerador e o denominador. A fração 5/9 pode ser multiplicada por um fator adicional de 2, resultando em uma fração igual à dada - 10/18. Fazemos o mesmo com a segunda fração: multiplique 5/6 por 3, resultando em 15/18.
Como você pode ver no exemplo acima, ambas as frações foram reduzidas ao menor denominador comum. Para finalmente entender como encontrar um denominador comum, você precisa dominar mais uma propriedade das frações. Está no fato de que o numerador e o denominador de uma fração podem ser reduzidos pelo mesmo número, que é chamado de divisor comum. Por exemplo, a fração 12/30 pode ser reduzida para 2/5 se for dividida por um divisor comum - o número 6.
Nesta lição, veremos como reduzir frações a um denominador comum e resolver problemas sobre esse tópico. Vamos dar uma definição do conceito de denominador comum e um fator adicional, lembre-se dos números coprimos. Vamos definir o conceito de mínimo denominador comum (LCD) e resolver uma série de problemas para encontrá-lo.
Tópico: Adição e subtração de frações com denominadores diferentes
Lição: Reduzir frações a um denominador comum
Repetição. Propriedade básica de uma fração.
Se o numerador e o denominador de uma fração forem multiplicados ou divididos pelo mesmo número natural, será obtida uma fração igual a ele.
Por exemplo, o numerador e o denominador de uma fração podem ser divididos por 2. Obtemos uma fração. Esta operação é chamada de redução de fração. Você também pode realizar a transformação inversa multiplicando o numerador e o denominador da fração por 2. Nesse caso, dizemos que reduzimos a fração a um novo denominador. O número 2 é chamado de fator adicional.
Conclusão. Uma fração pode ser reduzida a qualquer denominador que seja um múltiplo do denominador da fração dada. Para trazer uma fração para um novo denominador, seu numerador e denominador são multiplicados por um fator adicional.
1. Traga a fração para o denominador 35.
O número 35 é um múltiplo de 7, ou seja, 35 é divisível por 7 sem deixar resto. Então essa transformação é possível. Vamos encontrar um fator adicional. Para fazer isso, dividimos 35 por 7. Obtemos 5. Multiplicamos o numerador e o denominador da fração original por 5.
2. Traga a fração para o denominador 18.
Vamos encontrar um fator adicional. Para fazer isso, dividimos o novo denominador pelo original. Obtemos 3. Multiplicamos o numerador e o denominador desta fração por 3.
3. Traga a fração para o denominador 60.
Ao dividir 60 por 15, obtemos um multiplicador adicional. É igual a 4. Vamos multiplicar o numerador e o denominador por 4.
4. Traga a fração para o denominador 24
Em casos simples, a redução a um novo denominador é realizada na mente. É costume indicar apenas um fator adicional atrás do colchete um pouco à direita e acima da fração original.
Uma fração pode ser reduzida a um denominador de 15 e uma fração pode ser reduzida a um denominador de 15. As frações têm um denominador comum de 15.
O denominador comum das frações pode ser qualquer múltiplo comum de seus denominadores. Para simplificar, as frações são reduzidas ao menor denominador comum. É igual ao mínimo múltiplo comum dos denominadores das frações dadas.
Exemplo. Reduza ao mínimo denominador comum da fração e .
Primeiro, encontre o mínimo múltiplo comum dos denominadores dessas frações. Este número é 12. Vamos encontrar um fator adicional para a primeira e segunda frações. Para fazer isso, dividimos 12 por 4 e por 6. Três é um fator adicional para a primeira fração e dois para a segunda. Trazemos as frações para o denominador 12.
Reduzimos as frações a um denominador comum, ou seja, encontramos frações que são iguais a elas e têm o mesmo denominador.
Regra. Para trazer frações para o menor denominador comum,
Primeiro, encontre o mínimo múltiplo comum dos denominadores dessas frações, que será seu mínimo denominador comum;
Em segundo lugar, divida o mínimo denominador comum pelos denominadores dessas frações, ou seja, encontre um fator adicional para cada fração.
Em terceiro lugar, multiplique o numerador e o denominador de cada fração pelo seu fator adicional.
a) Reduza as frações e a um denominador comum.
O menor denominador comum é 12. O fator adicional para a primeira fração é 4, para a segunda - 3. Trazemos as frações para o denominador 24.
b) Reduza as frações e a um denominador comum.
O menor denominador comum é 45. Dividindo 45 por 9 por 15, obtemos 5 e 3, respectivamente. Trazemos as frações para o denominador 45.
c) Reduza as frações e a um denominador comum.
O denominador comum é 24. Os fatores adicionais são 2 e 3, respectivamente.
Às vezes é difícil encontrar verbalmente o mínimo múltiplo comum para os denominadores de frações dadas. Em seguida, o denominador comum e os fatores adicionais são encontrados por fatoração em fatores primos.
Reduza a um denominador comum da fração e .
Vamos decompor os números 60 e 168 em fatores primos. Vamos escrever a expansão do número 60 e adicionar os fatores que faltam 2 e 7 da segunda expansão. Multiplique 60 por 14 e obtenha um denominador comum de 840. O fator adicional para a primeira fração é 14. O fator adicional para a segunda fração é 5. Vamos reduzir as frações a um denominador comum de 840.
Bibliografia
1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. e outros Matemática 6. - M.: Mnemozina, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matemática 6º ano. - Ginásio, 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Atrás das páginas de um livro de matemática. - Iluminismo, 1989.
4. Rurukin A.N., Chaikovsky I.V. Tarefas para o curso de matemática do 5º ao 6º ano. - ZSH MEPHI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Chaikovsky K.G. Matemática 5-6. Um manual para alunos do 6º ano da escola por correspondência MEPhI. - ZSH MEPHI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. e outros Matemática: Um livro-interlocutor para as séries 5-6 do ensino médio. Biblioteca do professor de matemática. - Iluminismo, 1989.
Você pode baixar os livros especificados na cláusula 1.2. esta lição.
Trabalho de casa
Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. e outros Matemática 6. - M.: Mnemozina, 2012. (ver link 1.2)
Dever de casa: Nº 297, Nº 298, Nº 300.
Outras tarefas: #270, #290
Este artigo explica como reduzir frações a um denominador comum e como encontrar o menor denominador comum. As definições são dadas, uma regra para reduzir frações a um denominador comum é dada e exemplos práticos são considerados.
O que é reduzir uma fração a um denominador comum?
As frações ordinárias consistem em um numerador - a parte superior e um denominador - a parte inferior. Se as frações têm o mesmo denominador, dizemos que elas têm um denominador comum. Por exemplo, as frações 11 14 , 17 14 , 9 14 têm o mesmo denominador 14 . Em outras palavras, eles são reduzidos a um denominador comum.
Se as frações têm denominadores diferentes, elas sempre podem ser reduzidas a um denominador comum com a ajuda de ações simples. Para fazer isso, você precisa multiplicar o numerador e o denominador por certos fatores adicionais.
Obviamente, as frações 4 5 e 3 4 não são reduzidas a um denominador comum. Para fazer isso, você precisa usar os fatores adicionais 5 e 4 para trazê-los para um denominador de 20. Como exatamente fazer isso? Multiplique o numerador e o denominador de 45 por 4 e multiplique o numerador e o denominador de 34 por 5. Em vez das frações 4 5 e 3 4 obtemos 16 20 e 15 20 respectivamente.
Trazendo frações para um denominador comum
Reduzir frações a um denominador comum é a multiplicação dos numeradores e denominadores das frações por fatores de tal forma que o resultado seja frações idênticas com o mesmo denominador.
Denominador comum: definição, exemplos
O que é um denominador comum?
Denominador comum
O denominador comum de uma fração é qualquer número positivo que é um múltiplo comum de todas as frações dadas.
Em outras palavras, o denominador comum de algum conjunto de frações será um número natural que é divisível sem resto por todos os denominadores dessas frações.
O conjunto dos números naturais é infinito e, portanto, por definição, todo conjunto de frações comuns tem um número infinito de denominadores comuns. Em outras palavras, existem infinitos múltiplos comuns para todos os denominadores do conjunto original de frações.
O denominador comum para várias frações é fácil de encontrar usando a definição. Sejam as frações 1 6 e 3 5 . O denominador comum das frações será qualquer múltiplo comum positivo dos números 6 e 5. Esses múltiplos comuns positivos são 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210 e assim por diante.
Considere um exemplo.
Exemplo 1. Denominador comum
As di frações 1 3, 21 6, 5 12 podem ser reduzidas a um denominador comum, que é igual a 150?
Para saber se esse é o caso, você precisa verificar se 150 é um múltiplo comum dos denominadores das frações, ou seja, para os números 3, 6, 12. Em outras palavras, o número 150 deve ser divisível por 3, 6, 12 sem deixar resto. Vamos checar:
150 ÷ 3 = 50, 150 ÷ 6 = 25, 150 ÷ 12 = 12, 5
Isso significa que 150 não é um denominador comum das frações indicadas.
Menor denominador comum
O menor número natural do conjunto de denominadores comuns de algum conjunto de frações é chamado de mínimo denominador comum.
Menor denominador comum
O mínimo denominador comum das frações é o menor número entre todos os denominadores comuns dessas frações.
O mínimo divisor comum de um determinado conjunto de números é o mínimo múltiplo comum (LCM). O MMC de todos os denominadores de frações é o mínimo denominador comum dessas frações.
Como encontrar o menor denominador comum? Encontrá-lo se resume a encontrar o mínimo múltiplo comum de frações. Vejamos um exemplo:
Exemplo 2: Encontre o menor denominador comum
Precisamos encontrar o menor denominador comum para as frações 1 10 e 127 28 .
Estamos procurando o LCM dos números 10 e 28. Nós os decompomos em fatores simples e obtemos:
10 \u003d 2 5 28 \u003d 2 2 7 N O K (15, 28) \u003d 2 2 5 7 \u003d 140
Como trazer frações para o menor denominador comum
Existe uma regra que explica como reduzir frações a um denominador comum. A regra consiste em três pontos.
A regra para reduzir frações a um denominador comum
- Encontre o menor denominador comum das frações.
- Para cada fração, encontre um fator adicional. Para encontrar o multiplicador, você precisa dividir o menor denominador comum pelo denominador de cada fração.
- Multiplique o numerador e o denominador pelo fator adicional encontrado.
Considere a aplicação desta regra em um exemplo específico.
Exemplo 3. Reduzindo frações a um denominador comum
Existem frações 3 14 e 5 18. Vamos trazê-los para o menor denominador comum.
Como regra, primeiro encontramos o MMC dos denominadores das frações.
14 \u003d 2 7 18 \u003d 2 3 3 N O K (14, 18) \u003d 2 3 3 7 \u003d 126
Calculamos fatores adicionais para cada fração. Para 3 14 o fator adicional é 126 ÷ 14 = 9 , e para a fração 5 18 o fator adicional é 126 ÷ 18 = 7 .
Multiplicamos o numerador e o denominador das frações por fatores adicionais e obtemos:
3 9 14 9 \u003d 27 126, 5 7 18 7 \u003d 35 126.
Trazendo várias frações ao mínimo denominador comum
De acordo com a regra considerada, não apenas pares de frações, mas também mais deles podem ser reduzidos a um denominador comum.
Vamos dar outro exemplo.
Exemplo 4. Reduzindo frações a um denominador comum
Traga as frações 3 2 , 5 6 , 3 8 e 17 18 para o menor denominador comum.
Calcule o MMC dos denominadores. Encontre o LCM de três ou mais números:
N O C (2, 6) = 6 N O C (6, 8) = 24 N O C (24, 18) = 72 N O C (2, 6, 8, 18) = 72
Para 3 2 o fator adicional é 72 ÷ 2 = 36 , para 5 6 o fator adicional é 72 ÷ 6 = 12 , para 3 8 o fator adicional é 72 ÷ 8 = 9 , finalmente, para 17 18 o fator adicional é 72 ÷ 18 = 4 .
Multiplicamos as frações por fatores adicionais e vamos para o menor denominador comum:
3 2 36 = 108 72 5 6 12 = 60 72 3 8 9 = 27 72 17 18 4 = 68 72
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